Tabla de derivadas de funciones algebraicas elementales con conclusiones. Derivadas de funciones elementales básicas

Presentamos una tabla resumen para mayor comodidad y claridad a la hora de estudiar el tema.

Constantey = C

Función de potencia y = x p

(x p) " = p x p - 1

Funcion exponencialy = hacha

(a x) " = a x ln a

En particular, cuandoa = mitenemos y = e x

(ex) " = ex

función logarítmica

(log a x) " = 1 x ln a

En particular, cuandoa = mitenemos y = logx

(ln x) " = 1 x

Funciones trigonométricas

(sen x) " = cos x (cos x) " = - sen x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sen 2 x

Funciones trigonométricas inversas

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Funciones hiperbólicas

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Analicemos cómo se obtuvieron las fórmulas de la tabla especificada o, en otras palabras, probaremos la derivación de fórmulas derivadas para cada tipo de función.

Derivada de una constante

Evidencia 1

Para derivar esta fórmula, tomamos como base la definición de derivada de una función en un punto. Usamos x 0 = x, donde X toma el valor de cualquier número real, o, en otras palabras, X es cualquier número del dominio de la función f (x) = C. Escribamos el límite de la relación entre el incremento de una función y el incremento del argumento como ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Tenga en cuenta que la expresión 0 ∆ x cae bajo el signo de límite. No es la incertidumbre “cero dividido por cero”, ya que el numerador no contiene un valor infinitesimal, sino precisamente cero. En otras palabras, el incremento de una función constante es siempre cero.

Entonces, la derivada de la función constante f (x) = C es igual a cero en todo el dominio de definición.

Ejemplo 1

Las funciones constantes están dadas:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Solución

Describamos las condiciones dadas. En la primera función vemos la derivada del número natural 3. En el siguiente ejemplo, es necesario tomar la derivada de A, Dónde A- cualquier número real. El tercer ejemplo nos da la derivada del número irracional 4. 13 7 22, el cuarto es la derivada de cero (el cero es un número entero). Finalmente, en el quinto caso tenemos la derivada de la fracción racional - 8 7.

Respuesta: Las derivadas de funciones dadas son cero para cualquier real. X(en toda el área de definición)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivada de una función de potencia

Pasemos a la función potencia y la fórmula de su derivada, que tiene la forma: (x p) " = p x p - 1, donde el exponente pag es cualquier número real.

Evidencia 2

Aquí está la prueba de la fórmula cuando el exponente es un número natural: pag = 1, 2, 3,…

Nuevamente nos basamos en la definición de derivada. Anotemos el límite de la relación entre el incremento de una función de potencia y el incremento del argumento:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Para simplificar la expresión en el numerador, utilizamos la fórmula binomial de Newton:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

De este modo:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p -. 1+0+.

Así, hemos demostrado la fórmula para la derivada de una función potencia cuando el exponente es un número natural.

Evidencia 3

Para proporcionar evidencia para el caso cuando pag- cualquier número real distinto de cero, utilizamos la derivada logarítmica (aquí debemos entender la diferencia con la derivada de una función logarítmica). Para tener una comprensión más completa, es recomendable estudiar la derivada de una función logarítmica y además comprender la derivada de una función implícita y la derivada de una función compleja.

Consideremos dos casos: cuando X positivo y cuando X negativo.

Entonces x > 0. Entonces: x p > 0 . Logaritmemos la igualdad y = x p en base e y apliquemos la propiedad del logaritmo:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

En esta etapa, hemos obtenido una función especificada implícitamente. Definamos su derivada:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Ahora consideremos el caso cuando X - un número negativo.

Si el indicador pag es un número par, entonces la función de potencia está definida para x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Entonces xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Si pag es un número impar, entonces la función de potencia está definida para x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

La última transición es posible debido al hecho de que si pag es un número impar, entonces pag - 1 ya sea un número par o cero (para p = 1), por lo tanto, para números negativos X la igualdad (- x) p - 1 = x p - 1 es verdadera.

Entonces, hemos demostrado la fórmula para la derivada de una función de potencia para cualquier p real.

Ejemplo 2

Funciones dadas:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Determinar sus derivadas.

Solución

Transformamos algunas de las funciones dadas en forma tabular y = x p, según las propiedades del grado, y luego usamos la fórmula:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - iniciar sesión 7 12 x - iniciar sesión 7 12 - 1 = - iniciar sesión 7 12 x - iniciar sesión 7 12 - iniciar sesión 7 7 = - iniciar sesión 7 12 x - iniciar sesión 7 84

Derivada de una función exponencial

Prueba 4

Derivemos la fórmula derivada usando la definición como base:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Tenemos incertidumbre. Para expandirlo, escribamos una nueva variable z = a ∆ x - 1 (z → 0 como ∆ x → 0). En este caso, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Para la última transición se utilizó la fórmula de transición a una nueva base logarítmica.

Sustituyamos en el límite original:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Recordemos el segundo límite notable y luego obtenemos la fórmula para la derivada de la función exponencial:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Ejemplo 3

Las funciones exponenciales están dadas:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Es necesario encontrar sus derivadas.

Solución

Usamos la fórmula para la derivada de la función exponencial y las propiedades del logaritmo:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivada de una función logarítmica

Evidencia 5

Proporcionemos una prueba de la fórmula para la derivada de una función logarítmica para cualquier X en el dominio de definición y cualquier valor permitido de la base a del logaritmo. Basándonos en la definición de derivada, obtenemos:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

De la cadena de igualdad indicada se desprende claramente que las transformaciones se basaron en la propiedad del logaritmo. La igualdad lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e es cierta de acuerdo con el segundo límite destacable.

Ejemplo 4

Se dan funciones logarítmicas:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Es necesario calcular sus derivadas.

Solución

Apliquemos la fórmula derivada:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3); f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Entonces, la derivada del logaritmo natural es uno dividido por X.

Derivadas de funciones trigonométricas

Prueba 6

Usemos algunas fórmulas trigonométricas y el primer límite maravilloso para derivar la fórmula de la derivada de una función trigonométrica.

Según la definición de la derivada de la función seno, obtenemos:

(sen x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sen x ∆ x

La fórmula de la diferencia de senos nos permitirá realizar las siguientes acciones:

(sen x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sen ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sen ∆ x 2 ∆ x 2

Finalmente, usamos el primer límite maravilloso:

pecado " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 pecado ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Entonces, la derivada de la función pecado x voluntad porque x.

También probaremos la fórmula de la derivada del coseno:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sen ∆ x 2 sen x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sen x + 0 2 lim ∆ x → 0 sen ∆ x 2 ∆ x 2 = - sen x

Aquellos. la derivada de la función cos x será – pecado x.

Derivamos las fórmulas para las derivadas de tangente y cotangente basándonos en las reglas de diferenciación:

t g " x = sen x cos x " = sen " x · cos x - sen x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sen x · (- sen x) cos 2 x = sen 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x pecado 2 x = - pecado 2 x + cos 2 x pecado 2 x = - 1 pecado 2 x

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

La sección sobre la derivada de funciones inversas proporciona información completa sobre la demostración de las fórmulas para las derivadas de arcoseno, arcocoseno, arcotangente y arcocotangente, por lo que no duplicaremos el material aquí.

Derivadas de funciones hiperbólicas

Evidencia 7

Podemos derivar las fórmulas para las derivadas del seno, coseno, tangente y cotangente hiperbólicos usando la regla de diferenciación y la fórmula para la derivada de la función exponencial:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

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Si sigues la definición, entonces la derivada de una función en un punto es el límite de la relación del incremento de la función Δ y al incremento del argumento Δ X:

Todo parece estar claro. Pero intenta usar esta fórmula para calcular, digamos, la derivada de la función F(X) = X 2 + (2X+ 3) · mi X pecado X. Si hace todo por definición, después de un par de páginas de cálculos simplemente se quedará dormido. Por tanto, existen formas más sencillas y eficaces.

Para empezar, observamos que entre toda la variedad de funciones podemos distinguir las llamadas funciones elementales. Se trata de expresiones relativamente simples, cuyas derivadas se han calculado y tabulado desde hace mucho tiempo. Estas funciones son bastante fáciles de recordar, junto con sus derivadas.

Derivadas de funciones elementales

Las funciones elementales son todas las que se enumeran a continuación. Las derivadas de estas funciones deben saberse de memoria. Además, no es nada difícil memorizarlos, por eso son elementales.

Entonces, derivadas de funciones elementales:

Nombre	Función	Derivado
Constante	F(X) = C, C ∈ R	0 (¡sí, cero!)
Potencia con exponente racional	F(X) = X norte	norte · X norte − 1
Seno	F(X) = pecado X	porque X
Coseno	F(X) = porque X	−pecado X(menos seno)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangente	F(X) = ctg X	− 1/sen 2 X
Logaritmo natural	F(X) = iniciar sesión X	1/X
Logaritmo arbitrario	F(X) = iniciar sesión a X	1/(X en a)
Funcion exponencial	F(X) = mi X	mi X(nada ha cambiado)

Si una función elemental se multiplica por una constante arbitraria, entonces la derivada de la nueva función también se calcula fácilmente:

(C · F)’ = C · F ’.

En general, las constantes se pueden sacar del signo de la derivada. Por ejemplo:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Obviamente, las funciones elementales se pueden sumar, multiplicar, dividir y mucho más. Así aparecerán nuevas funciones, ya no especialmente elementales, pero también diferenciadas según determinadas reglas. Estas reglas se analizan a continuación.

Derivada de suma y diferencia

Se dan las funciones F(X) Y gramo(X), cuyos derivados conocemos. Por ejemplo, puede tomar las funciones elementales analizadas anteriormente. Luego puedes encontrar la derivada de la suma y diferencia de estas funciones:

(F + gramo)’ = F ’ + gramo ’
(F − gramo)’ = F ’ − gramo ’

Entonces, la derivada de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las derivadas. Puede haber más términos. Por ejemplo, ( F + gramo + h)’ = F ’ + gramo ’ + h ’.

Estrictamente hablando, no existe el concepto de "resta" en álgebra. Existe un concepto de "elemento negativo". Por lo tanto la diferencia F − gramo se puede reescribir como una suma F+ (-1) gramo, y luego solo queda una fórmula: la derivada de la suma.

F(X) = X 2 + senx; gramo(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Función F(X) es la suma de dos funciones elementales, por tanto:

F ’(X) = (X 2 + pecado X)’ = (X 2)’ + (pecado X)’ = 2X+ porquex;

Razonamos de manera similar para la función gramo(X). Solo que ya hay tres términos (desde el punto de vista del álgebra):

gramo ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Respuesta:
F ’(X) = 2X+ porquex;
gramo ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivado del producto

Las matemáticas son una ciencia lógica, por eso mucha gente cree que si la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas, entonces la derivada del producto huelga">igual al producto de las derivadas. ¡Pero que te jodan! La derivada de un producto se calcula utilizando una fórmula completamente diferente. A saber:

(F · gramo) ’ = F ’ · gramo + F · gramo ’

La fórmula es sencilla, pero a menudo se olvida. Y no sólo los escolares, sino también los estudiantes. El resultado son problemas resueltos incorrectamente.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = X 3 porque x; gramo(X) = (X 2 + 7X− 7) · mi X .

Función F(X) es el producto de dos funciones elementales, por lo que todo es sencillo:

F ’(X) = (X 3 porque X)’ = (X 3)' porque X + X 3 (porque X)’ = 3X 2 porque X + X 3 (-pecado X) = X 2 (3cos X − X pecado X)

Función gramo(X) el primer multiplicador es un poco más complicado, pero el esquema general no cambia. Obviamente, el primer factor de la función. gramo(X) es un polinomio y su derivada es la derivada de la suma. Tenemos:

gramo ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · mi X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · mi X + (X 2 + 7X− 7) ( mi X)’ = (2X+ 7) · mi X + (X 2 + 7X− 7) · mi X = mi X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · mi X = X(X+ 9) · mi X .

Respuesta:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X pecado X);
gramo ’(X) = X(X+ 9) · mi X .

Tenga en cuenta que en el último paso se factoriza la derivada. Formalmente, esto no es necesario hacer, pero la mayoría de las derivadas no se calculan por sí solas, sino para examinar la función. Esto significa que además la derivada se igualará a cero, se determinarán sus signos, etc. Para tal caso, es mejor tener una expresión factorizada.

Si hay dos funciones F(X) Y gramo(X), y gramo(X) ≠ 0 en el conjunto que nos interesa, podemos definir una nueva función h(X) = F(X)/gramo(X). Para tal función también puedes encontrar la derivada:

No débil, ¿eh? ¿De dónde vino el inconveniente? Por qué gramo 2? ¡Y así! Esta es una de las fórmulas más complejas: no puedes entenderla sin una botella. Por tanto, es mejor estudiarlo con ejemplos concretos.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones:

El numerador y denominador de cada fracción contienen funciones elementales, por lo que todo lo que necesitamos es la fórmula para la derivada del cociente:

Según la tradición, factorizamos el numerador; esto simplificará enormemente la respuesta:

Una función compleja no es necesariamente una fórmula de medio kilómetro de longitud. Por ejemplo, basta con tomar la función. F(X) = pecado X y reemplazamos la variable X, digamos, en X 2 + en X. Funcionará F(X) = pecado ( X 2 + en X) - esta es una función compleja. También tiene una derivada, pero no será posible encontrarla utilizando las reglas comentadas anteriormente.

¿Qué tengo que hacer? En tales casos, reemplazar una variable y una fórmula para la derivada de una función compleja ayuda:

F ’(X) = F ’(t) · t', Si X es reemplazado por t(X).

Como regla general, la situación al comprender esta fórmula es incluso más triste que con la derivada del cociente. Por tanto, también es mejor explicarlo mediante ejemplos concretos, con una descripción detallada de cada paso.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = mi 2X + 3 ; gramo(X) = pecado ( X 2 + en X)

Tenga en cuenta que si en la función F(X) en lugar de la expresión 2 X+ 3 será fácil X, entonces obtenemos una función elemental F(X) = mi X. Por lo tanto, hacemos un reemplazo: sea 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = mi t. Buscamos la derivada de una función compleja usando la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (mi t)’ · t ’ = mi t · t ’

Y ahora, ¡atención! Realizamos el reemplazo inverso: t = 2X+ 3. Obtenemos:

F ’(X) = mi t · t ’ = mi 2X+ 3 (2 X + 3)’ = mi 2X+ 3 2 = 2 mi 2X + 3

Ahora veamos la función. gramo(X). Obviamente hay que cambiarlo X 2 + en X = t. Tenemos:

gramo ’(X) = gramo ’(t) · t' = (pecado t)’ · t' = porque t · t ’

Reemplazo inverso: t = X 2 + en X. Entonces:

gramo ’(X) = porque ( X 2 + en X) · ( X 2 + en X)’ = porque ( X 2 + en X) · (2 X + 1/X).

¡Eso es todo! Como puede verse en la última expresión, todo el problema se ha reducido a calcular la suma derivada.

Respuesta:
F ’(X) = 2 · mi 2X + 3 ;
gramo ’(X) = (2X + 1/X) porque ( X 2 + en X).

Muy a menudo en mis lecciones, en lugar del término "derivada", uso la palabra "principal". Por ejemplo, el trazo de la suma es igual a la suma de los trazos. ¿Está eso más claro? Bueno, eso es bueno.

Por tanto, calcular la derivada se reduce a deshacerse de estos mismos trazos según las reglas comentadas anteriormente. Como ejemplo final, volvamos a la derivada de potencia con exponente racional:

(X norte)’ = norte · X norte − 1

Pocas personas saben que en el papel. norte bien puede ser un número fraccionario. Por ejemplo, la raíz es X 0,5. ¿Qué pasa si hay algo elegante debajo de la raíz? Una vez más, el resultado será una función compleja: les gusta dar este tipo de construcciones en pruebas y exámenes.

Tarea. Encuentra la derivada de la función:

Primero, reescribamos la raíz como una potencia con un exponente racional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Ahora hacemos un reemplazo: dejemos X 2 + 8X − 7 = t. Encontramos la derivada usando la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Hagamos el reemplazo inverso: t = X 2 + 8X− 7. Tenemos:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Finalmente, volvamos a las raíces:

Muy fácil de recordar.

Bueno, no vayamos muy lejos, consideremos inmediatamente la función inversa. ¿Qué función es la inversa de la función exponencial? Logaritmo:

En nuestro caso, la base es el número:

Tal logaritmo (es decir, un logaritmo con base) se llama "natural" y usamos una notación especial para él: en su lugar, escribimos.

¿A qué es igual? Por supuesto, .

La derivada del logaritmo natural también es muy sencilla:

Ejemplos:

Encuentra la derivada de la función.
¿Cuál es la derivada de la función?

Respuestas: Los logaritmos exponencial y natural son funciones singularmente simples desde una perspectiva derivativa. Las funciones exponenciales y logarítmicas con cualquier otra base tendrán una derivada diferente, que analizaremos más adelante, después de repasar las reglas de derivación.

Reglas de diferenciación

¿Reglas de qué? ¡¿Otra vez un nuevo término, otra vez?!...

Diferenciación es el proceso de encontrar la derivada.

Eso es todo. ¿Cómo más se puede llamar a este proceso en una palabra? No derivada... Los matemáticos llaman diferencial al mismo incremento de una función en. Este término proviene del latín diferencial - diferencia. Aquí.

Al derivar todas estas reglas, usaremos dos funciones, por ejemplo, y. También necesitaremos fórmulas para sus incrementos:

Hay 5 reglas en total.

La constante se quita del signo de la derivada.

Si - algún número constante (constante), entonces.

Obviamente, esta regla también sirve para la diferencia: .

Demostrémoslo. Déjalo así, o más sencillo.

Ejemplos.

Encuentra las derivadas de las funciones:

en un punto;
en un punto;
en un punto;
en el punto.

Soluciones:

(la derivada es la misma en todos los puntos, ya que es una función lineal, ¿recuerdas?);

Derivado del producto

Aquí todo es similar: introduzcamos una nueva función y encontremos su incremento:

Derivado:

Ejemplos:

Encuentra las derivadas de las funciones y;
Encuentra la derivada de la función en un punto.

Soluciones:

Derivada de una función exponencial

Ahora tus conocimientos son suficientes para aprender a encontrar la derivada de cualquier función exponencial, y no sólo de los exponentes (¿ya has olvidado qué es eso?).

Entonces, ¿dónde está algún número?

Ya conocemos la derivada de la función, así que intentemos llevar nuestra función a una nueva base:

Para ello utilizaremos una regla sencilla: . Entonces:

Bueno, funcionó. Ahora intenta encontrar la derivada y no olvides que esta función es compleja.

¿Sucedió?

Aquí, compruébalo tú mismo:

La fórmula resultó ser muy similar a la derivada de un exponente: tal como estaba, sigue igual, solo apareció un factor, que es solo un número, pero no una variable.

Ejemplos:
Encuentra las derivadas de las funciones:

Respuestas:

Este es solo un número que no se puede calcular sin una calculadora, es decir, no se puede escribir de una forma más simple. Por tanto, lo dejamos así en la respuesta.

Tenga en cuenta que aquí está el cociente de dos funciones, por lo que aplicamos la regla de diferenciación correspondiente:

En este ejemplo, el producto de dos funciones:

Derivada de una función logarítmica

Aquí es similar: ya conoces la derivada del logaritmo natural:

Por tanto, para encontrar un logaritmo arbitrario con diferente base, por ejemplo:

Necesitamos reducir este logaritmo a la base. ¿Cómo se cambia la base de un logaritmo? Espero que recuerdes esta fórmula:

Sólo que ahora escribiremos en su lugar:

El denominador es simplemente una constante (un número constante, sin variable). La derivada se obtiene de forma muy sencilla:

Las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas casi nunca se encuentran en el Examen Estatal Unificado, pero no será superfluo conocerlas.

Derivada de una función compleja.

¿Qué es una "función compleja"? No, esto no es un logaritmo ni un arcotangente. Estas funciones pueden ser difíciles de entender (aunque si te resulta difícil el logaritmo, lee el tema “Logaritmos” y estarás bien), pero desde un punto de vista matemático, la palabra “complejo” no significa “difícil”.

Imaginemos una pequeña cinta transportadora: dos personas están sentadas y realizan algunas acciones con algunos objetos. Por ejemplo, el primero envuelve una barra de chocolate en un envoltorio y el segundo la ata con una cinta. El resultado es un objeto compuesto: una barra de chocolate envuelta y atada con una cinta. Para comer una barra de chocolate, debes realizar los pasos inversos en orden inverso.

Creemos una tubería matemática similar: primero encontraremos el coseno de un número y luego elevaremos al cuadrado el número resultante. Entonces, nos dan un número (chocolate), encuentro su coseno (envoltorio) y luego elevas al cuadrado lo que obtuve (lo atas con una cinta). ¿Qué pasó? Función. Este es un ejemplo de función compleja: cuando, para encontrar su valor, realizamos la primera acción directamente con la variable, y luego una segunda acción con lo resultante de la primera.

En otras palabras, una función compleja es una función cuyo argumento es otra función: .

Para nuestro ejemplo, .

Podemos hacer fácilmente los mismos pasos en orden inverso: primero lo elevas al cuadrado y luego busco el coseno del número resultante: . Es fácil adivinar que el resultado casi siempre será diferente. Una característica importante de las funciones complejas: cuando cambia el orden de las acciones, la función cambia.

Segundo ejemplo: (lo mismo). .

La acción que hagamos en último lugar se llamará función "externa", y la acción realizada primero, en consecuencia función "interna"(Estos son nombres informales, los uso sólo para explicar el material en un lenguaje sencillo).

Intente determinar usted mismo qué función es externa y cuál interna:

Respuestas: Separar funciones internas y externas es muy similar a cambiar variables: por ejemplo, en una función

¿Qué acción realizaremos primero? Primero, calculemos el seno y solo luego lo elevamos al cubo. Esto quiere decir que es una función interna, pero externa.
Y la función original es su composición: .
Interno: ; externo: .
Examen: .
Interno: ; externo: .
Examen: .
Interno: ; externo: .
Examen: .
Interno: ; externo: .
Examen: .

Cambiamos variables y obtenemos una función.

Bueno, ahora extraeremos nuestra barra de chocolate y buscaremos el derivado. El procedimiento siempre es inverso: primero buscamos la derivada de la función exterior, luego multiplicamos el resultado por la derivada de la función interior. En relación con el ejemplo original, se ve así:

Otro ejemplo:

Entonces, finalmente formulemos la regla oficial:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

Parece sencillo, ¿verdad?

Comprobemos con ejemplos:

Soluciones:

1) Interno: ;

Externo: ;

2) Interno: ;

(¡Pero no intentes cortarlo ahora! No sale nada de debajo del coseno, ¿recuerdas?)

3) Interno: ;

Externo: ;

Inmediatamente queda claro que se trata de una función compleja de tres niveles: después de todo, esto ya es una función compleja en sí misma, y también le extraemos la raíz, es decir, realizamos la tercera acción (poner el chocolate en un envoltorio y con una cinta en el maletín). Pero no hay por qué tener miedo: todavía "desempaquetaremos" esta función en el mismo orden habitual: desde el final.

Es decir, primero derivamos la raíz, luego el coseno y solo luego la expresión entre paréntesis. Y luego lo multiplicamos todo.

En tales casos conviene numerar las acciones. Es decir, imaginemos lo que sabemos. ¿En qué orden realizaremos acciones para calcular el valor de esta expresión? Veamos un ejemplo:

Cuanto más tarde se realice la acción, más "externa" será la función correspondiente. La secuencia de acciones es la misma que antes:

Aquí el anidamiento suele ser de 4 niveles. Determinemos el orden de acción.

1. Expresión radical. .

2. Raíz. .

3. Seno. .

4. Cuadrado. .

5. Poniéndolo todo junto:

DERIVADO. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Derivada de una función- la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento para un incremento infinitesimal del argumento:

Derivados básicos:

Reglas de diferenciación:

La constante se saca del signo de la derivada:

Derivada de la suma:

Derivado del producto:

Derivada del cociente:

Derivada de una función compleja:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

Definimos la función "interna" y encontramos su derivada.
Definimos la función "externa" y encontramos su derivada.
Multiplicamos los resultados del primer y segundo punto.

Pruebe usted mismo las fórmulas 3 y 5.

REGLAS BÁSICAS DE DIFERENCIACIÓN

Utilizando el método general para encontrar la derivada utilizando el límite, se pueden obtener las fórmulas de diferenciación más simples. Dejar u=u(x),v=v(x)– dos funciones diferenciables de una variable X.

Pruebe usted mismo las fórmulas 1 y 2.

Prueba de Fórmula 3.

Dejar y = u(x) + v(x). Para el valor del argumento X+Δ X tenemos y(X+Δ X)=tu(X+Δ X) + v(X+Δ X).

Δ y=y(X+Δ X) – y(x) = tu(x+Δ X) + v(x+Δ X) – tu(x) – v(x) = Δ tu +Δ v.

Por eso,

Prueba de Fórmula 4.

Dejar y=u(x)·v(x). Entonces y(X+Δ X)=tu(X+Δ X)· v(X+Δ X), Es por eso

Δ y=tu(X+Δ X)· v(X+Δ X) – tu(X)· v(X).

Tenga en cuenta que dado que cada una de las funciones tu Y v diferenciable en el punto X, entonces son continuos en este punto, lo que significa tu(X+Δ X)→u(x),v(X+Δ X)→v(x), en Δ X→0.

Por lo tanto podemos escribir

Con base en esta propiedad, se puede obtener una regla para derivar el producto de cualquier número de funciones.

Dejemos, por ejemplo, y=u·v·w. Entonces,

y " = tu "·( v w) + tu·( v·w) " = tu "· v·w + tu·( v"·w+ v·w ") = tu "· v·w + tu· v"·w+ u·v·w".

Prueba de fórmula 5.

Dejar . Entonces

En la prueba utilizamos el hecho de que v(x+Δ X)→v(x) en Δ X→0.

Ejemplos.

TEOREMA DE LA DERIVADA DE FUNCIÓN COMPLEJA

Dejar y = f(tu), A tu= tu(X). Obtenemos la función y dependiendo del argumento X: y = f(u(x)). La última función se llama función de una función o función compleja.

Dominio de definición de funciones y = f(u(x)) es el dominio completo de definición de la función tu=tu(X) o aquella parte en la que se determinan los valores tu, sin salir del dominio de definición de la función y= f(u).

La operación “función a función” se puede realizar no sólo una vez, sino cualquier número de veces.

Establezcamos una regla para derivar una función compleja.

Teorema. Si la función tu= tu(X) ha en algún momento x0 derivada y toma el valor en este punto tu 0 = tu(x0), y la función y=f(u) tiene en el punto tu 0 derivado y"tu = F "(tu 0), entonces una función compleja y = f(u(x)) en el punto especificado x0 también tiene una derivada, que es igual a y" x = F "(tu 0)· tu "(x0), donde en lugar de tu la expresión debe ser sustituida tu= tu(X).

Por tanto, la derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de una función dada con respecto al argumento intermedio. tu a la derivada del argumento intermedio con respecto a X.

Prueba. Por un valor fijo X 0 tendremos tu 0 =tu(X 0), en 0 =f(t 0 ). Para un nuevo valor de argumento x0+Δ X:

Δ tu= tu(x0 + Δ X) – tu(X 0), Δ y=F(tu 0+Δ tu) – F(tu 0).

Porque tu– diferenciable en un punto x0, Eso tu– es continuo en este punto. Por lo tanto, en Δ X→0 Δ tu→0. De manera similar para Δ tu→0 Δ y→0.

Por condición . De esta relación, usando la definición del límite, obtenemos (en Δ tu→0)

donde α→0 en Δ tu→0, y, en consecuencia, en Δ X→0.

Reescribamos esta igualdad en la forma:

Δ y=y" uΔ tu+α·Δ tu.

La igualdad resultante también es válida para Δ tu=0 para α arbitrario, ya que se convierte en la identidad 0=0. En Δ tu=0 asumiremos α=0. Dividamos todos los términos de la igualdad resultante por Δ X

Por condición . Por lo tanto, pasando al límite en Δ X→0, obtenemos y" x = y"u·u" x. El teorema ha sido demostrado.

Entonces, para diferenciar una función compleja y = f(u(x)), necesitas tomar la derivada de la función "externa" F, tratando su argumento simplemente como una variable, y multiplicado por la derivada de la función "interna" con respecto a la variable independiente.

Si la función y=f(x) se puede representar en la forma y=f(u), u=u(v), v=v(x), luego encontrar la derivada y " x se realiza mediante aplicación secuencial del teorema anterior.

Según la regla probada, tenemos y" x = y"tú tu"x. Aplicando el mismo teorema para tu"x obtenemos, es decir

y" x = y" X tu"v v" x = F"tú( tu)· tu" v ( v)· v" X ( X).

Ejemplos.

CONCEPTO DE FUNCIÓN INVERSA

Comencemos con un ejemplo. Considere la función y=x3. Consideraremos la igualdad. y= x3 como una ecuación relativa X. Esta es la ecuación para cada valor. en define un solo valor X: . Geométricamente, esto significa que toda línea recta paralela al eje Buey interseca la gráfica de una función y=x3 sólo en un punto. Por lo tanto podemos considerar X como una función de y. Una función se llama inversa de una función. y=x3.

Antes de pasar al caso general, introducimos definiciones.

Función y = f(x) llamado creciente en un segmento determinado, si el valor mayor del argumento X de este segmento corresponde a un valor mayor de la función, es decir Si X 2 >X 1, entonces f(x) 2 ) > f(x 1 ).

La función se llama de manera similar. decreciente, si un valor menor del argumento corresponde a un valor mayor de la función, es decir Si X 2 < X 1, entonces f(x) 2 ) > f(x 1 ).

Entonces, nos dan una función creciente o decreciente. y=f(x), definido en algún intervalo [ a; b]. Para mayor precisión, consideraremos una función creciente (para una decreciente todo es similar).

Consideremos dos valores diferentes. X 1 y X 2. Dejar y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). De la definición de función creciente se deduce que si X 1 <X 2, entonces en 1 <en 2. Por lo tanto, dos valores diferentes X 1 y X 2 corresponde a dos valores de función diferentes en 1 y en 2. Lo contrario también es cierto, es decir Si en 1 <en 2, entonces de la definición de función creciente se deduce que X 1 <X 2. Aquellos. otra vez dos valores diferentes en 1 y en 2 corresponde a dos valores diferentes X 1 y X 2. Así, entre los valores X y sus valores correspondientes y Se establece una correspondencia uno a uno, es decir. la ecuacion y=f(x) para cada y(tomado del rango de la función y=f(x)) define un solo valor X, y podemos decir que X hay alguna función de argumento y: x= g(y).

Esta función se llama contrarrestar para función y=f(x). Obviamente, la función y=f(x) es la inversa de la función x=g(y).

Tenga en cuenta que la función inversa x=g(y) encontrado resolviendo la ecuación y=f(x) relativamente X.

Ejemplo. Sea dada la función y= e x . Esta función aumenta en –∞< X <+∞. Она имеет обратную функцию X= iniciar sesión y. Dominio de la función inversa 0< y < + ∞.

Hagamos algunos comentarios.

Nota 1. Si una función creciente (o decreciente) y=f(x) es continua en el intervalo [ a; b], y f(a)=c, f(b)=d, entonces la función inversa está definida y es continua en el intervalo [ C; d].

Nota 2. Si la función y=f(x) no aumenta ni disminuye en un intervalo determinado, entonces puede tener varias funciones inversas.

Ejemplo. Función y=x2 definido en –∞<X<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤X<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <X Función ≤ 0 – disminuye y su inversa.

Nota 3. Si las funciones y=f(x) Y x=g(y) son mutuamente inversas, entonces expresan la misma relación entre variables X Y y. Por tanto, la gráfica de ambas es la misma curva. Pero si denotamos nuevamente el argumento de la función inversa por X, y la función a través de y y trazarlos en el mismo sistema de coordenadas, obtendremos dos gráficas diferentes. Es fácil notar que las gráficas serán simétricas con respecto a la bisectriz del primer ángulo coordenado.

TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA DERIVADA

Demostremos un teorema que nos permita encontrar la derivada de la función. y=f(x), conociendo la derivada de la función inversa.

Teorema. Si para la función y=f(x) hay una función inversa x=g(y), que en algún momento en 0 tiene una derivada gramo "(v 0), distinto de cero, luego en el punto correspondiente x0=gramo(x0) función y=f(x) tiene una derivada F "(x0), igual a , es decir la fórmula es correcta.

Prueba. Porque x=g(y) diferenciable en el punto y 0, Eso x=g(y) es continua en este punto, por lo que la función y=f(x) continuo en un punto x0=gramo(y 0). Por lo tanto, en Δ X→0 Δ y→0.

demostremos que .

Dejar . Entonces, por la propiedad del límite . Pasemos en esta igualdad al límite en Δ y→0. Entonces Δ X→0 y α(Δx)→0, es decir .

Por eso,

Q.E.D.

Esta fórmula se puede escribir en la forma .

Veamos la aplicación de este teorema usando ejemplos.

Al derivar la primera fórmula de la tabla, partiremos de la definición de la función derivada en un punto. vamos a donde X– cualquier número real, es decir, X– cualquier número del dominio de definición de la función. Anotemos el límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento en:

Cabe señalar que bajo el signo de límite se obtiene la expresión, que no es la incertidumbre del cero dividida por cero, ya que el numerador no contiene un valor infinitesimal, sino precisamente cero. En otras palabras, el incremento de una función constante es siempre cero.

De este modo, derivada de una función constantees igual a cero en todo el dominio de definición.

Derivada de una función de potencia.

La fórmula para la derivada de una función de potencia tiene la forma , donde el exponente pag– cualquier número real.

Primero demostremos la fórmula del exponente natural, es decir, de pag = 1, 2, 3,…

Usaremos la definición de derivada. Anotemos el límite de la relación entre el incremento de una función de potencia y el incremento del argumento:

Para simplificar la expresión en el numerador, recurrimos a la fórmula binomial de Newton:

Por eso,

Esto prueba la fórmula para la derivada de una función potencia para un exponente natural.

Derivada de una función exponencial.

Presentamos la derivación de la fórmula derivada basada en la definición:

Hemos llegado a la incertidumbre. Para expandirlo, introducimos una nueva variable y en . Entonces . En la última transición, utilizamos la fórmula para pasar a una nueva base logarítmica.

Sustituyamos en el límite original:

Si recordamos el segundo límite notable, llegamos a la fórmula para la derivada de la función exponencial:

Derivada de una función logarítmica.

Demostremos la fórmula para la derivada de una función logarítmica para todos X del dominio de definición y todos los valores válidos de la base a logaritmo Por definición de derivada tenemos:

Como habrás notado, durante la demostración las transformaciones se realizaron utilizando las propiedades del logaritmo. Igualdad es cierto debido al segundo límite notable.

Derivadas de funciones trigonométricas.

Para derivar fórmulas para derivadas de funciones trigonométricas, tendremos que recordar algunas fórmulas trigonométricas, así como el primer límite destacable.

Por definición de la derivada de la función seno tenemos .

Usemos la fórmula de diferencia de senos:

Queda por abordar el primer límite destacable:

Por tanto, la derivada de la función pecado x Hay porque x.

La fórmula para la derivada del coseno se demuestra exactamente de la misma manera.

Por tanto, la derivada de la función porque x Hay –pecado x.

Deduciremos fórmulas para la tabla de derivadas de tangente y cotangente utilizando reglas de diferenciación probadas (derivada de una fracción).

Derivadas de funciones hiperbólicas.

Las reglas de diferenciación y la fórmula para la derivada de la función exponencial de la tabla de derivadas nos permiten derivar fórmulas para las derivadas del seno, coseno, tangente y cotangente hiperbólicos.

Derivada de la función inversa.

Para que no haya confusión durante la presentación, denotamos en un subíndice el argumento de la función por el cual se realiza la diferenciación, es decir, es la derivada de la función. f(x) Por X.

Ahora formulemos Regla para encontrar la derivada de una función inversa.

Deja que las funciones y = f(x) Y x = g(y) mutuamente inversos, definidos en los intervalos y respectivamente. Si en un punto existe una derivada finita distinta de cero de la función f(x), entonces en el punto hay una derivada finita de la función inversa g(y), y . en otra publicación .

Esta regla puede reformularse para cualquier X del intervalo, entonces obtenemos .

Comprobemos la validez de estas fórmulas.

Encontremos la función inversa del logaritmo natural. (Aquí y es una función y X- argumento). Habiendo resuelto esta ecuación para X, obtenemos (aquí X es una función y y– su argumento). Eso es, y funciones mutuamente inversas.

De la tabla de derivadas vemos que Y .

Asegurémonos de que las fórmulas para encontrar las derivadas de la función inversa nos lleven a los mismos resultados:

Como puede ver, obtuvimos los mismos resultados que en la tabla de derivadas.

Ahora tenemos el conocimiento para probar fórmulas para las derivadas de funciones trigonométricas inversas.

Empecemos por la derivada del arcoseno.

. Luego, usando la fórmula para la derivada de la función inversa, obtenemos

Ya sólo queda realizar las transformaciones.

Dado que el rango del arcoseno es el intervalo , Eso (ver la sección sobre funciones elementales básicas, sus propiedades y gráficas). Por tanto, no lo estamos considerando.