¿Cómo aprender a resolver problemas de geometría analítica?
Problema típico con un triángulo en un plano.

Esta lección está creada sobre el acercamiento al ecuador entre la geometría del plano y la geometría del espacio. Actualmente surge la necesidad de sistematizar la información acumulada y responder a una pregunta muy importante: ¿Cómo aprender a resolver problemas de geometría analítica? La dificultad es que se pueden plantear un número infinito de problemas de geometría, y ningún libro de texto contendrá toda la multitud y variedad de ejemplos. No es derivada de una función con cinco reglas de diferenciación, una tabla y varias técnicas….

¡Hay una solucion! No hablaré en voz alta sobre el hecho de que he desarrollado algún tipo de técnica grandiosa, sin embargo, en mi opinión, existe un enfoque eficaz para el problema en cuestión, que permite que incluso un muñeco completo logre buenos y excelentes resultados. Al menos, el algoritmo general para resolver problemas geométricos tomó forma muy claramente en mi cabeza.

LO QUE NECESITAS SABER Y PODER HACER
para resolver exitosamente problemas de geometría?

No hay escapatoria para esto: para no tocar los botones al azar con la nariz, es necesario dominar los conceptos básicos de la geometría analítica. Por lo tanto, si acabas de empezar a estudiar geometría o la has olvidado por completo, comienza con la lección. Vectores para tontos. Además de los vectores y las acciones con ellos, es necesario conocer los conceptos básicos de la geometría plana, en particular, ecuación de una recta en un plano Y . La geometría del espacio se presenta en artículos. Ecuación plana, Ecuaciones de una recta en el espacio, Problemas básicos sobre recta y plano y algunas lecciones más. Las líneas curvas y las superficies espaciales de segundo orden se distinguen un poco y no plantean tantos problemas específicos.

Supongamos que el estudiante ya tiene conocimientos y habilidades básicos para resolver los problemas más simples de geometría analítica. Pero sucede así: lees el enunciado del problema y... quieres cerrar todo del todo, tirarlo a un rincón y olvidarlo, como si fuera un mal sueño. Además, esto no depende fundamentalmente de su nivel de cualificación; de vez en cuando, yo mismo me encuentro con tareas cuya solución no es obvia. ¿Qué hacer en tales casos? ¡No hay por qué tener miedo de una tarea que no comprendes!

En primer lugar, debe instalarse - ¿Es este un problema “plano” o espacial? Por ejemplo, si la condición incluye vectores con dos coordenadas, entonces, por supuesto, esta es la geometría de un plano. Y si el maestro cargó al oyente agradecido con una pirámide, entonces claramente existe la geometría del espacio. Los resultados del primer paso ya son bastante buenos, porque logramos eliminar una gran cantidad de información innecesaria para esta tarea.

Segundo. La condición generalmente le concierne a alguna figura geométrica. De hecho, camine por los pasillos de su universidad natal y verá muchas caras preocupadas.

En los problemas “planos”, sin mencionar los puntos y líneas obvios, la figura más popular es un triángulo. Lo analizaremos con gran detalle. Luego viene el paralelogramo, y mucho menos comunes son el rectángulo, el cuadrado, el rombo, el círculo y otras formas.

En problemas espaciales, pueden volar las mismas figuras planas + los propios planos y pirámides triangulares comunes con paralelepípedos.

Pregunta dos - ¿Sabes todo sobre esta figura? Supongamos que la condición habla de un triángulo isósceles y recuerdas muy vagamente qué tipo de triángulo es. Abrimos un libro de texto escolar y leemos sobre un triángulo isósceles. Qué hacer... el doctor dijo rombo, eso significa rombo. La geometría analítica es geometría analítica, pero el problema se resolverá mediante las propiedades geométricas de las propias figuras., conocido por el plan de estudios de la escuela. Si no sabes cuál es la suma de los ángulos de un triángulo, puedes sufrir durante mucho tiempo.

Tercero. SIEMPRE intenta seguir el dibujo.(en un borrador/copia final/mentalmente), incluso si la condición no lo exige. En los problemas "planos", el propio Euclides ordenó tomar una regla y un lápiz, y no solo para comprender la condición, sino también para realizar una autoevaluación. En este caso, la escala más conveniente es 1 unidad = 1 cm (2 celdas de cuaderno). No hablemos de estudiantes y matemáticos descuidados dando vueltas en sus tumbas; es casi imposible cometer un error en tales problemas. Para tareas espaciales, realizamos un dibujo esquemático, que también ayudará a analizar la condición.

Un dibujo o un dibujo esquemático muchas veces permite ver inmediatamente la manera de resolver un problema. Por supuesto, para ello es necesario conocer los fundamentos de la geometría y comprender las propiedades de las formas geométricas (ver el párrafo anterior).

Cuatro. Desarrollo de un algoritmo de solución.. Muchos problemas de geometría son de varios pasos, por lo que es muy conveniente dividir la solución y su diseño en puntos. A menudo, el algoritmo viene a la mente inmediatamente después de leer la condición o completar el dibujo. En caso de dificultades, comenzamos con la PREGUNTA de la tarea.. Por ejemplo, según la condición "necesitas construir una línea recta...". Aquí la pregunta más lógica es: “¿Qué es suficiente saber para construir esta línea recta?” Supongamos que "conocemos el punto, necesitamos conocer el vector de dirección". Nos hacemos la siguiente pregunta: “¿Cómo encontrar este vector dirección? ¿Dónde?" etc.

A veces hay un "error": el problema no se resuelve y eso es todo. Los motivos de la parada pueden ser los siguientes:

– Grave laguna en los conocimientos básicos. En otras palabras, no sabes y/o no ves algo muy simple.

– Desconocimiento de las propiedades de las figuras geométricas.

- La tarea fue difícil. Sí, sucede. De nada sirve vaporizar durante horas y recoger lágrimas en un pañuelo. Pide consejo a tu profesor, a tus compañeros de estudios o haz una pregunta en el foro. Además, es mejor concretar su afirmación sobre esa parte de la solución que no comprende. Un grito en forma de “¿Cómo solucionar el problema?” no tiene muy buena pinta... y, sobre todo, por tu propia reputación.

Etapa cinco. Decidimos-comprobamos, decidimos-comprobamos, decidimos-comprobamos-damos una respuesta. Es beneficioso comprobar cada punto de la tarea. inmediatamente después de que se complete. Esto le ayudará a detectar el error inmediatamente. Naturalmente, nadie prohíbe resolver rápidamente todo el problema, pero existe el riesgo de reescribir todo nuevamente (a menudo, varias páginas).

Estas son quizás todas las consideraciones principales que se deben seguir al resolver problemas.

La parte práctica de la lección se presenta en geometría plana. Sólo habrá dos ejemplos, pero no parecerán suficientes =)

Repasemos el hilo del algoritmo que acabo de ver en mi pequeño trabajo científico:

Ejemplo 1

Se dan tres vértices de un paralelogramo. Encuentra la cima.

Empecemos a entender:

Paso uno: Es obvio que estamos hablando de un problema “plano”.

Segundo paso: El problema trata con un paralelogramo. ¿Todos recuerdan esta figura del paralelogramo? No hay necesidad de sonreír, muchas personas reciben su educación a los 30-40-50 años o más, por lo que incluso los hechos más simples pueden borrarse de la memoria. La definición de paralelogramo se encuentra en el Ejemplo No. 3 de la lección. Dependencia lineal (no) de vectores. Base de vectores.

Paso tres: Hagamos un dibujo en el que marcamos tres vértices conocidos. Es curioso que no sea difícil construir inmediatamente el punto deseado:

Construirlo es, por supuesto, bueno, pero la solución debe formularse analíticamente.

Paso cuatro: Desarrollo de un algoritmo de solución. Lo primero que me viene a la mente es que se puede encontrar un punto como la intersección de líneas. No conocemos sus ecuaciones, por lo que tendremos que abordar este tema:

1) Los lados opuestos son paralelos. Por puntos Encontremos el vector dirección de estos lados. Este es el problema más simple que se discutió en clase. Vectores para tontos.

Nota: es más correcto decir "la ecuación de una recta que contiene un lado", pero aquí y en adelante por brevedad usaré las frases "ecuación de un lado", "vector director de un lado", etc.

3) Los lados opuestos son paralelos. Usando los puntos, encontramos el vector director de estos lados.

4) Creemos una ecuación de una línea recta usando un punto y un vector director.

Por cierto, en los párrafos 1-2 y 3-4, resolvimos el mismo problema dos veces; se analizó en el ejemplo número 3 de la lección; Los problemas más simples con una línea recta en un avión.. Fue posible tomar una ruta más larga: primero encontrar las ecuaciones de las líneas y solo luego "sacar" de ellas los vectores de dirección.

5) Ahora se conocen las ecuaciones de las rectas. Solo queda componer y resolver el correspondiente sistema de ecuaciones lineales (ver ejemplos No. 4, 5 de la misma lección Los problemas más simples con una línea recta en un avión.).

Se ha encontrado el punto.

El problema es bastante sencillo y su solución obvia, ¡pero hay un camino más corto!

Segunda solución:

Las diagonales de un paralelogramo son bisecadas por su punto de intersección. Marqué el punto, pero para no saturar el dibujo, no dibujé las diagonales.

Creemos una ecuación para el lado punto por punto:

Para comprobarlo, debes sustituir mentalmente o en un borrador las coordenadas de cada punto en la ecuación resultante. Ahora encontremos la pendiente. Para hacer esto, reescribimos la ecuación general en forma de ecuación con un coeficiente de pendiente:

Por tanto, la pendiente es:

De manera similar, encontramos las ecuaciones de los lados. No veo mucho sentido en describir lo mismo, así que daré inmediatamente el resultado final:

2) Encuentra la longitud del lado. Este es el problema más simple cubierto en clase. Vectores para tontos. Por puntos utilizamos la fórmula:

Usando la misma fórmula es fácil encontrar las longitudes de otros lados. La comprobación se puede realizar muy rápidamente con una regla normal.

Usamos la fórmula .

Encontremos los vectores:

De este modo:

Por cierto, en el camino encontramos las longitudes de los lados.

Como resultado:

Bueno, parece ser cierto; para que resulte convincente, puedes colocar un transportador en la esquina.

¡Atención! No confundas el ángulo de un triángulo con el ángulo entre rectas. El ángulo de un triángulo puede ser obtuso, pero el ángulo entre rectas no (ver el último párrafo del artículo Los problemas más simples con una línea recta en un avión.). Sin embargo, para encontrar el ángulo de un triángulo, también puedes usar las fórmulas de la lección anterior, pero la aspereza es que esas fórmulas siempre dan un ángulo agudo. Con su ayuda, resolví este problema en borrador y obtuve el resultado. Y en la copia final tendría que escribir excusas adicionales, eso...

4) Escribe una ecuación para una recta que pasa por un punto paralelo a la recta.

Tarea estándar, analizada en detalle en el ejemplo No. 2 de la lección. Los problemas más simples con una línea recta en un avión.. De la ecuación general de la recta Saquemos el vector guía. Creemos una ecuación de una línea recta usando un punto y un vector director:

¿Cómo encontrar la altura de un triángulo?

5) Creemos una ecuación para la altura y encontremos su longitud.

No hay forma de escapar de las definiciones estrictas, por lo que tendrás que robar de un libro de texto escolar:

Altura del triángulo Se llama perpendicular trazada desde el vértice del triángulo hasta la recta que contiene el lado opuesto.

Es decir, es necesario crear una ecuación para una perpendicular trazada desde el vértice hacia el lado. Esta tarea se analiza en los ejemplos No. 6, 7 de la lección. Los problemas más simples con una línea recta en un avión.. De la ecuación. eliminar el vector normal. Compongamos la ecuación de altura usando un punto y un vector de dirección:

Tenga en cuenta que no conocemos las coordenadas del punto.

A veces, la ecuación de la altura se encuentra a partir de la relación de los coeficientes angulares de las líneas perpendiculares: . En este caso, entonces: . Compongamos la ecuación de altura usando un punto y un coeficiente angular (ver el comienzo de la lección Ecuación de una línea recta en un plano.):

La longitud de la altura se puede encontrar de dos maneras.

Hay un camino indirecto:

a) encontrar – el punto de intersección de la altura y el lado;
b) encuentre la longitud del segmento usando dos puntos conocidos.

pero en clase Los problemas más simples con una línea recta en un avión. Se consideró una fórmula conveniente para la distancia de un punto a una línea. Se conoce el punto: , también se conoce la ecuación de la recta: , De este modo:

6) Calcula el área del triángulo. En el espacio, el área de un triángulo se calcula tradicionalmente utilizando producto vectorial de vectores, pero aquí se nos da un triángulo en un plano. Usamos la fórmula escolar:
– El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura.

En este caso:

¿Cómo encontrar la mediana de un triángulo?

7) Creemos una ecuación para la mediana.

mediana de un triangulo llamado segmento que conecta el vértice de un triángulo con la mitad del lado opuesto.

a) Encuentra el punto: la mitad del lado. Usamos Fórmulas para las coordenadas del punto medio de un segmento.. Se conocen las coordenadas de los extremos del segmento: , entonces las coordenadas del medio:

De este modo:

Compongamos la ecuación mediana punto por punto. :

Para verificar la ecuación, debes sustituir las coordenadas de los puntos en ella.

8) Encuentra el punto de intersección de la altura y la mediana. Creo que todo el mundo ya ha aprendido a realizar este elemento del patinaje artístico sin caerse:

Por segmento Llame a una parte de una línea recta que consta de todos los puntos de esta línea que se encuentran entre estos dos puntos; se llaman extremos del segmento.

Veamos el primer ejemplo. Sea un determinado segmento definido por dos puntos en el plano coordenado. En este caso, podemos encontrar su longitud usando el teorema de Pitágoras.

Entonces, en el sistema de coordenadas dibujamos un segmento con las coordenadas dadas de sus extremos.(x1; y1) Y (x2; y2) . En eje X Y Y Dibuja perpendiculares desde los extremos del segmento. Marquemos en rojo los segmentos que son proyecciones del segmento original en el eje de coordenadas. Después de eso, transferimos los segmentos de proyección paralelos a los extremos de los segmentos. Obtenemos un triángulo (rectangular). La hipotenusa de este triángulo será el segmento AB en sí, y sus catetos serán las proyecciones transferidas.

Calculemos la longitud de estas proyecciones. Entonces, sobre el eje Y la longitud de la proyección es y2-y1 , y en el eje X la longitud de la proyección es x2-x1 . Apliquemos el teorema de Pitágoras: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . En este caso |AB| es la longitud del segmento.

Si usa este diagrama para calcular la longitud de un segmento, ni siquiera tendrá que construir el segmento. Ahora calculemos la longitud del segmento con coordenadas. (1;3) Y (2;5) . Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Esto significa que la longitud de nuestro segmento es igual a 5:1/2 .

Considere el siguiente método para encontrar la longitud de un segmento. Para hacer esto, necesitamos conocer las coordenadas de dos puntos en algún sistema. Consideremos esta opción utilizando un sistema de coordenadas cartesiano bidimensional.

Entonces, en un sistema de coordenadas bidimensional, se dan las coordenadas de los puntos extremos del segmento. Si dibujamos líneas rectas a través de estos puntos, deben ser perpendiculares al eje de coordenadas, entonces obtenemos un triángulo rectángulo. El segmento original será la hipotenusa del triángulo resultante. Los catetos de un triángulo forman segmentos, su longitud es igual a la proyección de la hipotenusa sobre los ejes de coordenadas. Basándonos en el teorema de Pitágoras, concluimos: para encontrar la longitud de un segmento dado, es necesario encontrar las longitudes de las proyecciones sobre dos ejes de coordenadas.

Encontremos las longitudes de proyección. (X y Y) el segmento original sobre los ejes de coordenadas. Los calculamos encontrando la diferencia en las coordenadas de puntos a lo largo de un eje separado: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Calcular la longitud del segmento. A , para ello encontramos la raíz cuadrada:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Si nuestro segmento se ubica entre puntos cuyas coordenadas 2;4 Y 4;1 , entonces su longitud es correspondientemente igual a √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .

Ejemplo. Se dan los vértices del triángulo ABC.
Encuentre: 1) la longitud del lado AB; 2) ecuaciones de los lados AB y AC y sus coeficientes angulares; 3) Ángulo interno A en radianes con una precisión de 0,01; 4) ecuación para la altura del CD y su longitud; 5) la ecuación de un círculo cuya altura CD es el diámetro; 6) un sistema de desigualdades lineales que definen el triángulo ABC.

Longitud de los lados del triángulo:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|antes de Cristo| = 14,14
Distancia d desde el punto M: d = 10
Las coordenadas de los vértices del triángulo están dadas: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Longitud de los lados del triángulo.
La distancia d entre los puntos M 1 (x 1 ; y 1) y M 2 (x 2 ; y 2) está determinada por la fórmula:

8) Ecuación de una recta
Una línea recta que pasa por los puntos A 1 (x 1 ; y 1) y A 2 (x 2 ; y 2) está representada por las ecuaciones:

Ecuación de la recta AB
o
o y = -3 / 4 x -7 / 4 o 4y + 3x +7 = 0
Ecuación de la línea AC
Ecuación canónica de la recta: o
o y = 1/2 x + 9/2 o 2y -x - 9 = 0
Ecuación de la línea BC
Ecuación canónica de la recta: o
o y = -7x + 42 o y + 7x - 42 = 0
3) Ángulo entre rectas
Ecuación de la recta AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Ecuación de la recta AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
El ángulo φ entre dos rectas, dado por ecuaciones con coeficientes angulares y = k 1 x + b 1 e y 2 = k 2 x + b 2, se calcula mediante la fórmula:

Las pendientes de estas rectas son -3/4 y 1/2. Usemos la fórmula y tomemos su módulo del lado derecho:

tg φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 o 1,107 rad.
9) Ecuación de altura a través del vértice C
La recta que pasa por el punto N 0 (x 0 ;y 0) y es perpendicular a la recta Ax + By + C = 0 tiene un vector director (A;B) y, por tanto, está representada por las ecuaciones:



Esta ecuación se puede encontrar de otra manera. Para ello, encontremos la pendiente k 1 de la recta AB.
Ecuación AB: y = -3 / 4 x -7 / 4, es decir k 1 = -3 / 4
Encontremos el coeficiente angular k de la perpendicular a partir de la condición de perpendicularidad de dos rectas: k 1 *k = -1.
Sustituyendo la pendiente de esta recta en lugar de k 1, obtenemos:
-3/4 k = -1, de donde k = 4/3
Como la perpendicular pasa por el punto C(5,7) y tiene k = 4 / 3, buscaremos su ecuación en la forma: y-y 0 = k(x-x 0).
Sustituyendo x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 obtenemos:
y-7 = 4/3 (x-5)
o
y = 4 / 3 x + 1 / 3 o 3y -4x - 1 = 0
Encontremos el punto de intersección con la recta AB:
Tenemos un sistema de dos ecuaciones:
4y + 3x +7 = 0
3 años -4x - 1 = 0
De la primera ecuación expresamos y y la sustituimos en la segunda ecuación.
Obtenemos: x = -1; y=-1
D(-1;-1)
9) Longitud de la altitud del triángulo dibujado desde el vértice C
La distancia d desde el punto M 1 (x 1 ;y 1) a la recta Ax + By + C = 0 es igual al valor absoluto de la cantidad:

Encuentra la distancia entre el punto C(5;7) y la recta AB (4y + 3x +7 = 0)


La longitud de la altura se puede calcular usando otra fórmula, como la distancia entre el punto C(5;7) y el punto D(-1;-1).
La distancia entre dos puntos se expresa en términos de coordenadas mediante la fórmula:

5) la ecuación de un círculo cuya altura CD es el diámetro;
La ecuación de una circunferencia de radio R con centro en el punto E(a;b) tiene la forma:
(xa) 2 + (yb) 2 = R 2
Dado que CD es el diámetro del círculo deseado, su centro E es el punto medio del segmento CD. Usando las fórmulas para dividir un segmento por la mitad, obtenemos:


Por lo tanto, E(2;3) y R = CD / 2 = 5. Usando la fórmula, obtenemos la ecuación del círculo deseado: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) un sistema de desigualdades lineales que definen el triángulo ABC.
Ecuación de la recta AB: y = -3/4 x -7/4
Ecuación de la recta AC: y = 1/2 x + 9/2
Ecuación de la recta BC: y = -7x + 42

¿Qué es una función? Ésta es la dependencia de una cantidad de otra. En una función matemática, suele haber dos incógnitas: independiente y dependiente, o x e y, respectivamente.

¿Qué significa? Esto significa que x puede tomar absolutamente cualquier valor e y se adaptará a él, cambiando de acuerdo con los coeficientes de la función.

Hay situaciones en las que una función tiene múltiples variables. Dependiente siempre es 1, pero puede haber varios factores que influyan en él. No siempre es posible mostrar dicha función en un gráfico. En el mejor de los casos, puede mostrar gráficamente la dependencia de y de 2 variables.

¿Cuál es la forma más sencilla de representar la dependencia y(x)?

Sí, muy sencillo. Imagínese un niño mimado y una madre rica y amorosa. Vienen juntos a la tienda y empiezan a pedir dulces. ¿Quién sabe cuántos dulces pedirá el niño hoy?

Nadie, pero dependiendo de la cantidad de caramelos, aumentará el monto que pagará mamá en la caja. En este caso, la variable dependiente es el monto del cheque y la variable independiente es la cantidad de dulces que el niño quiere hoy.

Es muy importante entender que un valor de la función y siempre corresponde a 1 valor del argumento x. Pero, como ocurre con las raíces de una ecuación cuadrática, estos valores pueden coincidir.

Ecuación de una línea recta

¿Por qué necesitamos la ecuación de una línea recta si hablamos de la ecuación de las longitudes de los lados de un triángulo?

Sí, porque cada lado del triángulo es un segmento. Un segmento es una parte limitada de una línea recta. Es decir, podemos especificar ecuaciones de rectas. Y en los puntos de su intersección, limite las líneas, cortando así las líneas rectas y convirtiéndolas en segmentos.

La ecuación de la recta se ve así:

$$y_1=a_1x+b_1$$

$$y_2=a_2x+b_2$$

$$y_3=a_3x+b_3$$

Ecuación de los lados de un triángulo.

Es necesario encontrar la ecuación para las longitudes de los lados de un triángulo con vértices en los puntos A(3,7); B(5,3); C(12;9)

Todas las coordenadas son positivas, lo que significa que el triángulo estará ubicado en 1 cuadrante de coordenadas.

Tracemos ecuaciones para cada una de las rectas del triángulo una por una.

• La primera línea será AB. Sustituimos las coordenadas de los puntos en la ecuación de la recta en lugar de xey. Obtenemos así un sistema de dos ecuaciones lineales. Una vez resuelto, puedes encontrar el valor de los coeficientes de la función:

A(3,7); B(5,3):

De la primera ecuación expresamos by la sustituimos en la segunda.

Sustituyamos el valor de a y encontremos b.

b=7-3a=7-3*(-2)=7+6=13

Creemos una ecuación para una línea recta.

• Creemos las dos ecuaciones restantes de la misma manera.

B(5,3); C(12;9)

9=12a+b=12a+3-5a

$$b=3-5*(6\sobre7)=-(9\sobre7)$$

$$y=(6\sobre7)x-(9\sobre7)$$

• A(3,7); C(12;9)

9=12a+b=12a+7-3a=9a+7

$$b=7-(6\sobre9)=(57\sobre9)$$

$$y=(2\sobre9)x+(57\sobre9)$$

• Escribamos la ecuación para las longitudes de los lados de un triángulo:

$$y=(6\sobre7)x-(9\sobre7)$$

$$y=(2\sobre9)x+(57\sobre9)$$

¿Qué hemos aprendido?

Aprendimos qué es una función, hablamos de la función de una línea recta y aprendimos a derivar las ecuaciones de los lados de un triángulo a partir de las coordenadas de sus vértices.

Prueba sobre el tema.

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