Y tgx es una función infinitamente grande en. Definición de una secuencia infinitamente grande

Cálculo de infinitesimales y grandes.

calculo infinitesimal- cálculos realizados con cantidades infinitesimales, en los que el resultado obtenido se considera como una suma infinita de infinitesimales. El cálculo de infinitesimales es un concepto general del cálculo diferencial e integral, que forma la base de las matemáticas superiores modernas. El concepto de cantidad infinitesimal está estrechamente relacionado con el concepto de límite.

Infinitesimal

Subsecuencia a norte llamado infinitesimal, Si . Por ejemplo, una secuencia de números es infinitesimal.

La función se llama infinitesimal en la proximidad de un punto X 0 si .

La función se llama infinitesimal en el infinito, Si o .

También infinitesimal es una función que es la diferencia entre una función y su límite, es decir, si , Eso F(X) − a = α( X) , .

Cantidad infinitamente grande

Subsecuencia a norte llamado infinitamente grande, Si .

La función se llama infinitamente grande en las proximidades de un punto X 0 si .

La función se llama infinitamente grande en el infinito, Si o .

En todos los casos, se supone que el infinito a la derecha de la igualdad tiene un signo determinado (ya sea “más” o “menos”). Esta es, por ejemplo, la función X pecado X no es infinitamente grande en .

Propiedades de infinitamente pequeño e infinitamente grande.

Comparación de infinitesimales

¿Cómo comparar cantidades infinitesimales?
La proporción de cantidades infinitesimales forma la llamada incertidumbre.

Definiciones

Supongamos que tenemos valores infinitesimales α( X) y β( X) (o, lo que no es importante para la definición, secuencias infinitesimales).

Para calcular dichos límites es conveniente utilizar la regla de L'Hopital.

Ejemplos de comparación

Usando ACERCA DE-simbolismo, los resultados obtenidos se pueden escribir de la siguiente forma X 5 = oh(X 3). En este caso, las siguientes entradas son verdaderas: 2X 2 + 6X = oh(X) Y X = oh(2X 2 + 6X).

Valores equivalentes

Definición

Si , entonces las cantidades infinitesimales α y β se llaman equivalente ().
Es obvio que las cantidades equivalentes son un caso especial de cantidades infinitesimales del mismo orden de pequeñez.

Cuando sean válidas las siguientes relaciones de equivalencia: , , .

Teorema

El límite del cociente (ratio) de dos cantidades infinitesimales no cambiará si una de ellas (o ambas) se reemplaza por una cantidad equivalente..

Este teorema tiene importancia práctica a la hora de encontrar límites (ver ejemplo).

Ejemplo de uso

Reemplazo sinorte 2X valor equivalente 2 X, obtenemos

Bosquejo histórico

El concepto de "infinitesimal" se discutió en la antigüedad en relación con el concepto de átomos indivisibles, pero no se incluyó en las matemáticas clásicas. Revivió nuevamente con la llegada del "método de los indivisibles" en el siglo XVI, dividiendo la figura en estudio en secciones infinitesimales.

En el siglo XVII se produjo la algebraización del cálculo infinitesimal. Comenzaron a definirse como cantidades numéricas que son menores que cualquier cantidad finita (distinta de cero) y, sin embargo, no iguales a cero. El arte del análisis consistía en trazar una relación que contuviera infinitesimales (diferenciales) y luego integrarla.

Los matemáticos de la vieja escuela ponen a prueba el concepto infinitesimal duras críticas. Michel Rolle escribió que el nuevo cálculo es “ conjunto de errores ingeniosos"; Voltaire observó cáusticamente que el cálculo es el arte de calcular y medir con precisión cosas cuya existencia no se puede probar. Incluso Huygens admitió que no entendía el significado de los diferenciales de órdenes superiores.

Como una ironía del destino, se puede considerar el surgimiento a mediados de siglo de un análisis no estándar, que demostró que el punto de vista original, los infinitesimales reales, también era consistente y podía usarse como base para el análisis.

ver también

Fundación Wikimedia. 2010.

Vea qué es "Infinitamente grande" en otros diccionarios:

La cantidad variable Y es la inversa de la cantidad infinitesimal X, es decir, Y = 1/X... Gran diccionario enciclopédico

La variable y es la inversa del infinitesimal x, es decir, y = 1/x. * * * INFINITAMENTE GRANDE INFINITAMENTE GRANDE, cantidad variable Y, inversa a la cantidad infinitesimal X, es decir, Y = 1/X... diccionario enciclopédico

En matemáticas, cantidad variable que, en un proceso dado de cambio, se vuelve y permanece mayor en valor absoluto que cualquier número predeterminado. Estudio de B. b. Las cantidades se pueden reducir al estudio de los infinitesimales (Ver... ... Gran enciclopedia soviética

Funciones infinitesimales

La función %%f(x)%% se llama infinitesimal(b.m.) con %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, si con esta tendencia del argumento el límite de la función es igual a cero.

El concepto de b.m. La función está indisolublemente ligada a instrucciones para cambiar su argumento. Podemos hablar de b.m. funciona en %%a \to a + 0%% y en %%a \to a - 0%%. Generalmente b.m. las funciones se indican con las primeras letras del alfabeto griego %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Ejemplos

1. La función %%f(x) = x%% es b.m. en %%x \to 0%%, ya que su límite en el punto %%a = 0%% es cero. Según el teorema sobre la conexión entre el límite bilateral y el límite unilateral, esta función es b.m. tanto con %%x \to +0%% como con %%x \to -0%%.
2. Función %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. en %%x \to \infty%% (así como en %%x \to +\infty%% y en %%x \to -\infty%%).

Un número constante distinto de cero, por pequeño que sea en valor absoluto, no es una b.m. función. Para números constantes, la única excepción es el cero, ya que la función %%f(x) \equiv 0%% tiene un límite cero.

Teorema

La función %%f(x)%% tiene en el punto %%a \in \overline(\mathbb(R))%% de la recta numérica extendida un límite final igual al número %%b%% si y sólo si esta función es igual a la suma de este número %%b%% y b.m. funciones %%\alpha(x)%% con %%x \to a%%, o $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Propiedades de funciones infinitesimales

De acuerdo con las reglas de paso al límite con %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, se siguen las siguientes afirmaciones:

1. La suma del número final de b.m. funciones para %%x \to a%% es b.m. en %%x \a un%%.
2. El producto de cualquier número b.m. funciones para %%x \to a%% es b.m. en %%x \a un%%.

Producto b.m. funciones en %%x \to a%% y una función limitada en algún vecindario perforado %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% del punto a, hay b.m. en %%x \a una función %%.

Está claro que el producto de una función constante y b.m. en %%x \to a%% hay b.m. funcionar en %%x \to a%%.

Funciones infinitesimales equivalentes

Las funciones infinitesimales %%\alpha(x), \beta(x)%% para %%x \to a%% se llaman equivalente y escribe %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, si

$$ \lim\limits_(x \a a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \a a)(\frac(\beta(x) )(\alfa(x))) = 1. $$

Teorema sobre la sustitución de b.m. funciones equivalentes

Sea %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. funciones para %%x \to a%%, y %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, entonces $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ límites_(x \a a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Equivalente b.m. funciones.

Sea %%\alpha(x)%% b.m. funcionar en %%x \to a%%, entonces

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Ejemplo

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(matriz) $$

Funciones infinitamente grandes

La función %%f(x)%% se llama infinitamente grande(b.b.) con %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, si con esta tendencia del argumento la función tiene límite infinito.

Similar a b.m. concepto de funciones b.b. La función está indisolublemente ligada a instrucciones para cambiar su argumento. Podemos hablar de b.b. funciona con %%x \to a + 0%% y %%x \to a - 0%%. El término "infinitamente grande" no se refiere al valor absoluto de la función, sino a la naturaleza de su cambio en las proximidades del punto en cuestión. Ningún número constante, por grande que sea en valor absoluto, es infinitamente grande.

Ejemplos

1. Función %%f(x) = 1/x%% - b.b. en %%x \a 0%%.
2. Función %%f(x) = x%% - b.b. en %%x \to \infty%%.

Si la definición condiciona $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(array) $$

luego hablan de positivo o negativo cama y desayuno. en la función %%a%%.

Ejemplo

Función %%1/(x^2)%% - positivo b.b. en %%x \a 0%%.

La conexión entre b.b. y b.m. funciones

Si %%f(x)%% es b.b. con %%x \a una función%%, luego %%1/f(x)%% - b.m.

en %%x \a un%%. Si %%\alpha(x)%% - b.m. para %%x \to a%% es una función distinta de cero en alguna vecindad perforada del punto %%a%%, entonces %%1/\alpha(x)%% es b.b. en %%x \a un%%.

Propiedades de funciones infinitamente grandes

Presentemos varias propiedades del b.b. funciones. Estas propiedades se derivan directamente de la definición de b.b. funciones y propiedades de funciones que tienen límites finitos, así como del teorema sobre la conexión entre b.b. y b.m. funciones.

1. El producto de un número finito de b.b. funciones para %%x \to a%% es b.b. funcionar en %%x \to a%%. De hecho, si %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - b.b. funcionar en %%x \to a%%, luego en alguna vecindad perforada del punto %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, y por el teorema de conexión b.b. y b.m. funciones %%1/f_k(x)%% - b.m. funcionar en %%x \to a%%. Resulta %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - función b.m para %%x \to a%%, y %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - b.b. funcionar en %%x \to a%%.
2. Producto b.b. funciones para %%x \to a%% y una función que en alguna vecindad perforada del punto %%a%% en valor absoluto es mayor que una constante positiva es b.b. funcionar en %%x \to a%%. En particular, el producto b.b. una función con %%x \to a%% y una función que tiene un límite finito distinto de cero en el punto %%a%% será b.b. funcionar en %%x \to a%%.

La suma de una función acotada en alguna vecindad perforada del punto %%a%% y b.b. funciones con %%x \to a%% es b.b. funcionar en %%x \to a%%.

Por ejemplo, las funciones %%x - \sin x%% y %%x + \cos x%% son b.b. en %%x \to \infty%%.

3. La suma de dos b.b. funciones en %%x \to a%% hay incertidumbre. Dependiendo del signo de los términos, la naturaleza del cambio en dicha suma puede ser muy diferente.

   Ejemplo

   Sean dadas las funciones %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%%. funciona en %%x \to \infty%%. Entonces:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. función en %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. función en %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% no tiene límite en %%x \to \infty%%.

Se da la definición de una secuencia infinitamente grande. Se consideran los conceptos de vecindad de puntos en el infinito. Se da una definición universal del límite de una secuencia, que se aplica tanto a límites finitos como infinitos. Se consideran ejemplos de aplicación de la definición de secuencia infinitamente grande.

Contenido

Ver también: Determinar el límite de secuencia

Definición

Subsecuencia (βn) llamada secuencia infinitamente grande, si para cualquier número M, por grande que sea, existe un número natural N M que depende de M tal que para todos los números naturales n > N M se cumple la desigualdad
|βn | >M.
En este caso escriben
.
O en .
Dicen que tiende al infinito, o converge al infinito.

Si, a partir de algún número N 0 , Eso
( converge a más infinito).
si entonces
( converge a menos infinito).

Escribamos estas definiciones usando los símbolos lógicos de existencia y universalidad:
(1) .
(2) .
(3) .

Las secuencias con límites (2) y (3) son casos especiales de una secuencia infinitamente grande (1). De estas definiciones se deduce que si el límite de una secuencia es igual a más o menos infinito, entonces también es igual a infinito:
.
Por supuesto, lo contrario no es cierto. Los miembros de una secuencia pueden tener signos alternos. En este caso, el límite puede ser igual al infinito, pero sin un signo específico.

Tenga en cuenta también que si alguna propiedad se cumple para una secuencia arbitraria con un límite igual al infinito, entonces la misma propiedad se cumple para una secuencia cuyo límite es igual a más o menos infinito.

En muchos libros de texto de cálculo, la definición de secuencia infinitamente grande establece que el número M es positivo: M > 0 . Sin embargo, este requisito es innecesario. Si se cancela, no surgen contradicciones. Lo que pasa es que los valores pequeños o negativos no nos interesan. Estamos interesados ​​en el comportamiento de la secuencia para valores positivos arbitrariamente grandes de M. Por lo tanto, si surge la necesidad, entonces M puede limitarse desde abajo por cualquier número predeterminado a, es decir, podemos suponer que M > a.

Cuando definimos ε - la vecindad del punto final, entonces el requisito ε > 0 es una importante. Para valores negativos, la desigualdad no puede satisfacerse en absoluto.

Barrios de puntos en el infinito.

Cuando consideramos límites finitos, introdujimos el concepto de vecindad de un punto. Recuerde que una vecindad de un punto final es un intervalo abierto que contiene este punto. También podemos introducir el concepto de vecindades de puntos en el infinito.

Sea M un número arbitrario.
Barrio del punto "infinito", , se llama conjunto.
Barrio del punto "más infinito", , se llama conjunto.
En las proximidades del punto "menos infinito", , se llama conjunto.

Estrictamente hablando, la vecindad del punto "infinito" es el conjunto
(4) ,
donde M 1 y M 2 - números positivos arbitrarios. Usaremos la primera definición, ya que es más sencilla. Aunque todo lo que se dice a continuación también es cierto cuando se utiliza la definición (4).

Ahora podemos dar una definición unificada del límite de una secuencia que se aplica tanto a límites finitos como a infinitos.

Definición universal de límite de secuencia.
Un punto a (finito o en el infinito) es el límite de una secuencia si para cualquier vecindad de este punto existe un número natural N tal que todos los elementos de la secuencia con números pertenecen a esa vecindad.

Por tanto, si existe un límite, entonces fuera de la vecindad del punto a sólo puede haber un número finito de miembros de la secuencia, o un conjunto vacío. Esta condición es necesaria y suficiente. La demostración de esta propiedad es exactamente la misma que para los límites finitos.

Propiedad de vecindad de una secuencia convergente
Para que un punto a (finito o en el infinito) sea límite de la secuencia, es necesario y suficiente que fuera de cualquier vecindad de este punto haya un número finito de términos de la secuencia o un conjunto vacío.
Prueba .

También a veces se introducen los conceptos de ε - vecindades de puntos en el infinito.
Recuerde que la ε-vecindad de un punto finito a es el conjunto.
Introduzcamos la siguiente notación. Sea ε la vecindad del punto a. Luego, para el punto final,
.
Para puntos en el infinito:
;
;
.
Usando los conceptos de ε-vecindades, podemos dar otra definición universal del límite de una secuencia:

Un punto a (finito o en el infinito) es el límite de la secuencia si para cualquier número positivo ε > 0 existe un número natural N ε que depende de ε tal que para todos los números n > N ε los términos x n pertenecen a la ε-vecindad del punto a:
.

Utilizando los símbolos lógicos de existencia y universalidad, esta definición se escribirá de la siguiente manera:
.

Ejemplos de secuencias infinitamente grandes.

Ejemplo 1

.

.
Anotemos la definición de una secuencia infinitamente grande:
(1) .
En nuestro caso
.

Introducimos los números y , conectándolos con desigualdades:
.
Según las propiedades de las desigualdades, si y , entonces
.
Tenga en cuenta que esta desigualdad es válida para cualquier n. Por lo tanto, puedes elegir así:
en ;
en .

Entonces, para cualquiera podemos encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad. Entonces para todos,
.
Esto significa que . Es decir, la secuencia es infinitamente grande.

Ejemplo 2

Usando la definición de una secuencia infinitamente grande, demuestre que
.

(2) .
El término general de la secuencia dada tiene la forma:
.

Ingrese los números y:
.
.

Entonces, para cualquiera se puede encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad, por lo que para todos,
.
Esto significa que .

.

Ejemplo 3

Usando la definición de una secuencia infinitamente grande, demuestre que
.

Anotemos la definición del límite de una secuencia igual a menos infinito:
(3) .
El término general de la secuencia dada tiene la forma:
.

Ingrese los números y:
.
De esto queda claro que si y , entonces
.

Dado que para cualquiera es posible encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad, entonces
.

Dado , como N podemos tomar cualquier número natural que satisfaga la siguiente desigualdad:
.

Ejemplo 4

Usando la definición de una secuencia infinitamente grande, demuestre que
.

Anotamos el término general de la sucesión:
.
Anotemos la definición del límite de una secuencia igual a más infinito:
(2) .

Como n es un número natural, n = 1, 2, 3, ... , Eso
;
;
.

Introducimos números y M, conectándolos con desigualdades:
.
De esto queda claro que si y , entonces
.

Entonces, para cualquier número M podemos encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad. Entonces para todos,
.
Esto significa que .

Referencias:
L.D. Kudryavtsev. Curso de análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 2003.
CM. Nikolski. Curso de análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 1983.

Ver también:

Definición: La función se llama infinitesimal en , si .

En la notación “ ” asumiremos que x0 podemos tomar como valor final: x0= constante, e infinito: x0= ∞.

Propiedades de funciones infinitesimales:

1) La suma algebraica de un número finito de funciones infinitesimales es una suma infinitesimal de funciones.

2) El producto de un número finito de funciones infinitesimales es una función infinitesimal.

3) El producto de una función acotada y una función infinitesimal es una función infinitesimal.

4) El cociente de dividir una función infinitesimal por una función cuyo límite es distinto de cero es una función infinitesimal.

Ejemplo: Función y = 2 + X es infinitesimal en , porque .

Definición: La función se llama infinitamente grande en , si .

Propiedades de funciones infinitamente grandes:

1) La suma de funciones infinitamente grandes es una función infinitamente grande.

2) El producto de una función infinitamente grande y una función cuyo límite es distinto de cero es una función infinitamente grande.

3) La suma de una función infinitamente grande y una función acotada es una función infinitamente grande.

4) El cociente de dividir una función infinitamente grande por una función que tiene un límite finito es una función infinitamente grande.

Ejemplo: Función y= es infinitamente grande en , porque .

Teorema.Relación entre cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes. Si una función es infinitesimal en , entonces la función es infinitamente grande en . Y a la inversa, si una función es infinitamente grande en , entonces la función es infinitesimal en .

La razón de dos infinitesimales generalmente se indica con el símbolo y la razón de dos infinitesimales con el símbolo. Ambas relaciones son indefinidas en el sentido de que su límite puede existir o no, ser igual a un determinado número o ser infinito, dependiendo del tipo de funciones específicas incluidas en las expresiones indefinidas.

Además de las incertidumbres de tipo y las incertidumbres, las siguientes expresiones son:

Diferencia de infinitamente grandes del mismo signo;

El producto de un infinitesimal por uno infinitamente grande;

Una función exponencial cuya base tiende a 1 y el exponente tiende a ;

Una función exponencial cuya base es infinitesimal y cuyo exponente es infinitamente grande;

Una función exponencial cuya base y exponente son infinitesimales;

Una función exponencial cuya base es infinitamente grande y cuyo exponente es infinitesimal.

Se dice que existe incertidumbre del tipo correspondiente. El cálculo del límite se llama en estos casos. revelando incertidumbre. Para revelar incertidumbre, la expresión bajo el signo de límite se convierte a una forma que no contiene incertidumbre.

Al calcular límites, se utilizan las propiedades de los límites, así como las propiedades de funciones infinitesimales e infinitamente grandes.

Veamos ejemplos de cálculos de varios límites.

1) . 2) .

4) , porque producto de una función infinitesimal en y una función acotada es infinitesimal.

5) . 6) .

7) = =

. En este caso, había una incertidumbre de tipo, que se resolvió factorizando los polinomios y reduciéndolos a un factor común.

= .

En este caso, había una incertidumbre de tipo, que se resolvió multiplicando el numerador y el denominador por la expresión, usando la fórmula, y luego reduciendo la fracción por (+1).

9)
. En este ejemplo, la incertidumbre del tipo se reveló dividiendo el numerador y el denominador de la fracción por la potencia principal.

Límites maravillosos

El primer límite maravilloso. : .

Prueba. Consideremos el círculo unitario (Fig. 3).

Fig. 3. Circulo unitario

Dejar X– medida en radianes del ángulo central MOA(), Entonces OA = R= 1, mk= pecado X, EN= tg X. Comparando las áreas de triángulos OMA, OTA y sectores OMA, obtenemos:

,

.

Divide la última desigualdad por el pecado. X, obtenemos:

.

Desde en , entonces por propiedad 5) límites

De ahí viene el valor inverso, que es lo que había que demostrar.

Comentario: Si la función es infinitesimal en , es decir , entonces el primer límite destacable tiene la forma:

.

Veamos ejemplos de cálculos de límites utilizando el primer límite destacable.

Al calcular este límite, utilizamos la fórmula trigonométrica: .

.

Veamos ejemplos de cálculos de límites utilizando el segundo límite destacable.

2) .

3) . Hay incertidumbre de tipo. Entonces hagamos un reemplazo; en .

Función y=f(x) llamado infinitesimal en x→a o cuando X→∞, si o , es decir una función infinitesimal es una función cuyo límite en un punto dado es cero.

Ejemplos.

1. Función f(x)=(X-1) 2 es infinitesimal en X→1, ya que (ver figura).

2. Función f(x)= tg X– infinitesimal en X→0.

3. f(x)= iniciar sesión(1+ X) – infinitesimal en X→0.

4. f(x) = 1/X– infinitesimal en X→∞.

Establezcamos la siguiente relación importante:

Teorema. Si la función y=f(x) representable con x→a como suma de un número constante b y magnitud infinitesimal α(x): f (x)=b+ α(x) Eso .

Por el contrario, si , entonces f(x)=b+α(x), Dónde hacha)– infinitesimal en x→a.

Prueba.

1. Probemos la primera parte del enunciado. Desde la igualdad f(x)=b+a(x) debería |f(x) – b|=| α|. Pero desde hacha) es infinitesimal, entonces para ε arbitrario hay δ – una vecindad del punto a, en frente de todos X de donde, valores hacha) satisfacer la relación |α(x)|< ε. Entonces |f(x) – b|< ε. Y esto significa eso.

2. Si , entonces para cualquier ε >0 para todos X desde algún δ - vecindad de un punto a voluntad |f(x) – b|< ε. Pero si denotamos f(x) – b= α, Eso |α(x)|< ε, lo que significa que a– infinitesimal.

Consideremos las propiedades básicas de las funciones infinitesimales.

Teorema 1. La suma algebraica de dos, tres y en general cualquier número finito de infinitesimales es una función infinitesimal.

Prueba. Demos una prueba para dos términos. Dejar f(x)=α(x)+β(x), dónde y . Necesitamos demostrar que para ε arbitrariamente pequeño > 0 encontrado δ> 0, tal que para X, satisfaciendo la desigualdad |x – a|<δ , realizado |f(x)|< ε.

Entonces, arreglemos un número arbitrario ε > 0. Dado que según las condiciones del teorema a(x) es una función infinitesimal, entonces existe tal δ 1 > 0, que es |x – a|< δ 1 tenemos |α(x)|< ε / 2. Asimismo, desde β(x) es infinitesimal, entonces existe tal δ 2 > 0, que es |x – a|< δ 2 tenemos | β(x)|< ε / 2.

Echemos δ=mín(δ 1 , δ2 } .Luego en las proximidades del punto a radio δ cada una de las desigualdades será satisfecha |α(x)|< ε / 2 y | β(x)|< ε / 2. Por lo tanto, en este barrio habrá

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

aquellos. |f(x)|< ε, que es lo que había que demostrar.

Teorema 2. Producto de una función infinitesimal hacha) para una función limitada f(x) en x→a(o cuando x→∞) es una función infinitesimal.

Prueba. Desde la función f(x) es limitado, entonces hay un número METRO tal que para todos los valores X desde algún barrio de un punto a|f(x)|≤M. Es más, desde hacha) es una función infinitesimal en x→a, entonces para un ε arbitrario > 0 hay una vecindad del punto a, en el que la desigualdad se mantendrá |α(x)|< ε /METRO. Luego, en el más pequeño de estos barrios tenemos | αf|< ε /METRO= ε. Y esto significa que af– infinitesimal. Para la ocasión x→∞ la prueba se realiza de manera similar.

Del teorema probado se sigue:

Corolario 1. Si y, entonces.

Corolario 2. Si c= constante, entonces.

Teorema 3. Razón de una función infinitesimal a(x) por función f(x), cuyo límite es distinto de cero, es una función infinitesimal.

Prueba. Dejar . Entonces 1 /f(x) hay una función limitada. Por tanto, una fracción es el producto de una función infinitesimal y una función limitada, es decir la función es infinitesimal.