Operaciones básicas sobre conjuntos. Diagramas de Euler-Venn

Secciones: Ciencias de la Computación

1. Introducción

En la carrera de Informática y TIC de la escuela básica y superior se tratan temas tan importantes como “Fundamentos de Lógica” y “Búsqueda de Información en Internet”. A la hora de resolver un determinado tipo de problema, es conveniente utilizar círculos de Euler (diagramas de Euler-Venn).

Referencia matemática. Los diagramas de Euler-Venn se utilizan principalmente en teoría de conjuntos como una representación esquemática de todas las posibles intersecciones de varios conjuntos. En general, representan las 2 n combinaciones de n propiedades. Por ejemplo, con n=3, el diagrama de Euler-Venn generalmente se representa como tres círculos con centros en los vértices de un triángulo equilátero y el mismo radio, aproximadamente igual a la longitud del lado del triángulo.

2. Representación de conectivos lógicos en consultas de búsqueda.

Al estudiar el tema "Búsqueda de información en Internet", se consideran ejemplos de consultas de búsqueda que utilizan conectivos lógicos, similares en significado a las conjunciones "y", "o" del idioma ruso. El significado de los conectivos lógicos se vuelve más claro si los ilustra utilizando un diagrama gráfico: círculos de Euler (diagramas de Euler-Venn).

3. Conexión de operaciones lógicas con la teoría de conjuntos.

Los diagramas de Euler-Venn se pueden utilizar para visualizar la conexión entre las operaciones lógicas y la teoría de conjuntos. Para una demostración, puede utilizar las diapositivas de Anexo 1.

Las operaciones lógicas se especifican mediante sus tablas de verdad. EN Apéndice 2 Se analizan en detalle ilustraciones gráficas de operaciones lógicas junto con sus tablas de verdad. Expliquemos el principio de construcción de un diagrama en el caso general. En el diagrama, el área del círculo con el nombre A muestra la verdad del enunciado A (en la teoría de conjuntos, el círculo A es la designación de todos los elementos incluidos en un conjunto dado). En consecuencia, el área fuera del círculo muestra el valor "falso" de la declaración correspondiente. Para comprender qué área del diagrama mostrará una operación lógica, debe sombrear solo aquellas áreas en las que los valores de la operación lógica en los conjuntos A y B son iguales a "verdaderos".

Por ejemplo, el valor de implicación es verdadero en tres casos (00, 01 y 11). Sombreemos secuencialmente: 1) el área fuera de los dos círculos que se cruzan, que corresponde a los valores A=0, B=0; 2) un área relacionada únicamente con el círculo B (media luna), que corresponde a los valores A=0, B=1; 3) el área relacionada tanto con el círculo A como con el círculo B (intersección) - corresponde a los valores A=1, B=1. La combinación de estas tres áreas será una representación gráfica de la operación lógica de implicación.

4. Uso de los círculos de Euler para demostrar igualdades lógicas (leyes)

Para demostrar igualdades lógicas, puede utilizar el método del diagrama de Euler-Venn. Demostremos la siguiente igualdad ¬(АvВ) = ¬А&¬В (ley de Morgan).

Para representar visualmente el lado izquierdo de la igualdad, hagámoslo secuencialmente: sombrea ambos círculos (aplica disyunción) con color gris, luego, para mostrar la inversión, sombrea el área fuera de los círculos con color negro:

Fig. 3 Fig.4

Para representar visualmente el lado derecho de la igualdad, hagámoslo secuencialmente: sombreamos el área para mostrar la inversión (¬A) en gris y, de manera similar, el área ¬B también en gris; luego, para mostrar la conjunción necesitas tomar la intersección de estas áreas grises (el resultado de la superposición se representa en negro):

Fig.5 Fig.6 Fig.7

Vemos que las áreas para mostrar las partes izquierda y derecha son iguales. Q.E.D.

5. Tareas en el formato Examen Estatal y Examen Estatal Unificado sobre el tema: “Búsqueda de información en Internet”

Problema No. 18 de la versión demo de GIA 2013.

La tabla muestra consultas al servidor de búsqueda. Para cada solicitud, se indica su código: la letra correspondiente de la A a la G. Organice los códigos de solicitud de izquierda a derecha en orden descendiendo el número de páginas que el motor de búsqueda encontrará para cada solicitud.

Para cada consulta, construiremos un diagrama de Euler-Venn:

Respuesta: VAGB.

Problema B12 de la versión demo del Examen Estatal Unificado 2013.

La tabla muestra las consultas y el número de páginas encontradas para un determinado segmento de Internet.

¿Cuántas páginas (en miles) se encontrarán para la consulta? Destructor?

Se cree que todas las consultas se ejecutaron casi simultáneamente, por lo que el conjunto de páginas que contienen todas las palabras buscadas no cambió durante la ejecución de las consultas.

Ф – número de páginas (en miles) a pedido Fragata;

E – número de páginas (en miles) a pedido Destructor;

X: número de páginas (en miles) para una consulta que menciona Fragata Y No mencionado Destructor;

Y: número de páginas (en miles) para una consulta que menciona Destructor Y No mencionado Fragata.

Construyamos diagramas de Euler-Venn para cada consulta:

Según los diagramas tenemos:

1. X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. De aquí encontramos Y = 3400-2100 = 1300.
2. E = 900+U = 900+1300= 2200.

Respuesta: 2200.

6. Resolver problemas lógicos significativos utilizando el método del diagrama de Euler-Venn

Hay 36 personas en la clase. Los alumnos de esta clase asisten a círculos de matemáticas, física y química, de los cuales 18 personas asisten al círculo de matemáticas, 14 personas asisten al círculo de física, 10 personas asisten al círculo de química. Además, se sabe que 2 personas asisten a los tres círculos, 8 personas. asisten tanto a matemáticas como a física, 5 y a matemáticas y química, 3 - tanto a física como a química.

¿Cuántos estudiantes de la clase no asisten a ningún club?

Para solucionar este problema, es muy cómodo e intuitivo utilizar los círculos de Euler.

El círculo más grande es el conjunto de todos los estudiantes de la clase. Dentro del círculo hay tres conjuntos que se cruzan: miembros del matemático ( METRO), físico ( F), químico ( X) círculos.

Dejar MFC- muchos chicos, cada uno de los cuales visita los tres clubes. MF¬X- muchos niños, cada uno de los cuales asiste a clubes de matemáticas y física y No visitas químicas. ¬M¬FH- muchos chicos, cada uno de los cuales asiste al club de química y no al de física y matemáticas.

Introducimos conjuntos de manera similar: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Se sabe que a los tres círculos asisten 2 personas, por lo tanto, en la región MFC Ingresemos el número 2. Porque 8 personas asisten a los círculos matemáticos y físicos, y entre ellos ya hay 2 personas que asisten a los tres círculos, luego en la región MF¬X entremos 6 personas (8-2). Determinemos de manera similar el número de estudiantes en los conjuntos restantes:

Resumamos el número de personas en todas las regiones: 7+6+3+2+4+1+5=28. En consecuencia, 28 personas de la clase asisten a clubes.

Esto significa que 36-28 = 8 estudiantes no asisten a clubes.

Después de las vacaciones de invierno, la maestra de la clase preguntó cuál de los niños iba al teatro, al cine o al circo. Resultó que de los 36 estudiantes de la clase, dos nunca habían ido al cine. Ni en el teatro ni en el circo. 25 personas fueron al cine, 11 al teatro, 17 al circo; tanto en cine como en teatro - 6; tanto en el cine como en el circo - 10; y en teatro y circo - 4.

¿Cuánta gente ha ido al cine, al teatro y al circo?

Sea x el número de niños que han ido al cine, al teatro y al circo.

Luego puedes construir el siguiente diagrama y contar el número de chicos en cada área:

Por lo tanto, los círculos de Euler (diagramas de Euler-Venn) encuentran una aplicación práctica en la resolución de problemas en el formato del Examen Estatal Unificado y el Examen Estatal y en la resolución de problemas lógicos significativos.

Literatura

1. V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Lógica en informática. M.: Informática y Educación, 2006. 155 p.
2. L.L. Bosova. Fundamentos aritméticos y lógicos de la informática. M.: Informática y Educación, 2000. 207 p.
3. L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Libro de texto. Informática y TIC para 8º grado: BINOM. Laboratorio de Conocimiento, 2012. 220 p.
4. L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Libro de texto. Informática y TIC para 9º grado: BINOM. Laboratorio de Conocimiento, 2012. 244 p.
5. Sitio web de FIPI: http://www.fipi.ru/

Si crees que no sabes nada sobre los círculos de Euler, estás equivocado. De hecho, probablemente te hayas topado con ellos más de una vez, sólo que no sabías cómo se llamaban. ¿Donde exactamente? Los esquemas en forma de círculos de Euler formaron la base de muchos memes populares de Internet (imágenes que circulan en línea sobre un tema específico).

Averigüemos juntos qué tipo de círculos son, por qué se llaman así y por qué son tan convenientes para resolver muchos problemas.

Origen del término

es un diagrama geométrico que ayuda a encontrar y/o hacer más claras las conexiones lógicas entre fenómenos y conceptos. También ayuda a representar la relación entre un conjunto y su parte.

Aún no está muy claro, ¿verdad? Mira esta imagen:

La imagen muestra una variedad: todos los juguetes posibles. Algunos de los juguetes son juegos de construcción y están resaltados en un óvalo separado. Esto es parte de un gran conjunto de "juguetes" y, al mismo tiempo, un conjunto separado (después de todo, un juego de construcción puede ser "Lego" o juegos de construcción primitivos hechos con bloques para niños). Una parte de la gran variedad de “juguetes” pueden ser juguetes de cuerda. No son constructores, por lo que les dibujamos un óvalo separado. El “coche de cuerda” ovalado de color amarillo se refiere al conjunto “juguete” y forma parte del conjunto más pequeño “juguete de cuerda”. Por lo tanto, está representado dentro de ambos óvalos a la vez.

Bueno, ¿ha quedado más claro? Por eso los círculos de Euler son un método que demuestra claramente: es mejor ver una vez que oír cien veces. Su mérito es que la claridad simplifica el razonamiento y ayuda a obtener una respuesta de forma más rápida y sencilla.

El autor del método es el científico Leonhard Euler (1707-1783). Dijo esto sobre los diagramas que llevan su nombre: “los círculos son adecuados para facilitar nuestro pensamiento”. Euler es considerado un matemático, mecánico y físico alemán, suizo e incluso ruso. El hecho es que trabajó durante muchos años en la Academia de Ciencias de San Petersburgo y hizo una contribución significativa al desarrollo de la ciencia rusa.

Antes que él, el matemático y filósofo alemán Gottfried Leibniz se guió por un principio similar a la hora de sacar sus conclusiones.

El método de Euler ha recibido un merecido reconocimiento y popularidad. Y después de él, muchos científicos lo utilizaron en su trabajo y también lo modificaron a su manera. Por ejemplo, el matemático checo Bernard Bolzano utilizó el mismo método, pero con circuitos rectangulares.

El matemático alemán Ernest Schroeder también hizo su contribución. Pero los principales méritos pertenecen al inglés John Venn. Era un especialista en lógica y publicó el libro “Lógica simbólica”, en el que describía en detalle su versión del método (utilizaba principalmente imágenes de intersecciones de conjuntos).

Gracias a la contribución de Venn, el método incluso se llama diagramas de Venn o diagramas de Euler-Venn.

¿Por qué se necesitan los círculos de Euler?

Los círculos de Euler tienen un propósito aplicado, es decir, con su ayuda se resuelven en la práctica problemas que involucran la unión o intersección de conjuntos en matemáticas, lógica, gestión y más.

Si hablamos de los tipos de círculos de Euler, podemos dividirlos en aquellos que describen la unificación de algunos conceptos (por ejemplo, la relación entre género y especie); los consideramos usando un ejemplo al principio del artículo.

Y también aquellos que describen la intersección de conjuntos según alguna característica. John Venn se guió por este principio en sus planes. Y esto es lo que subyace a muchos memes populares en Internet. Aquí hay un ejemplo de tales círculos de Euler:

Es gracioso, ¿no? Y lo más importante es que todo queda claro de inmediato. Puede dedicar muchas palabras a explicar su punto de vista o simplemente dibujar un diagrama simple que inmediatamente pondrá todo en su lugar.

Por cierto, si no puedes decidir qué profesión elegir, intenta dibujar un diagrama en forma de círculos de Euler. Quizás un dibujo como este te ayude a elegir:

Esas opciones que estarán en la intersección de los tres círculos son la profesión que no solo podrá alimentarte, sino que también te complacerá.

Resolver problemas usando círculos de Euler

Veamos algunos ejemplos de problemas que se pueden resolver usando círculos de Euler.

Aquí, en este sitio: http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Elena Sergeevna Sazhenina ofrece problemas interesantes y sencillos, cuya solución requerirá el método de Euler. Utilizando la lógica y las matemáticas, analizaremos uno de ellos.

Problema sobre dibujos animados favoritos.

Los alumnos de sexto grado completaron un cuestionario preguntando sobre sus dibujos animados favoritos. Resultó que a la mayoría de ellos les gustaba “Blancanieves y los siete enanitos”, “Bob Esponja” y “El lobo y el ternero”. Hay 38 estudiantes en la clase. 21 estudiantes como Blancanieves y los siete enanitos. Además, a tres de ellos también les gusta “El lobo y el ternero”, a seis les gusta “Bob Esponja” y a un niño le gustan igualmente los tres dibujos animados. “El lobo y el ternero” tiene 13 fans, cinco de los cuales nombraron dos dibujos animados en el cuestionario. Necesitamos determinar a cuántos estudiantes de sexto grado les gusta Bob Esponja.

Solución:

Como según las condiciones del problema se nos dan tres conjuntos, dibujamos tres círculos. Y como las respuestas de los chicos muestran que los conjuntos se cruzan entre sí, el dibujo se verá así:

Recordamos que según los términos de la tarea, entre los fanáticos de la caricatura "El lobo y el ternero", cinco chicos eligieron dos caricaturas a la vez:

Resulta que:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – los chicos eligieron sólo “Blancanieves y los siete enanitos”.

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – los chicos solo ven “El lobo y el ternero”.

Sólo queda descubrir cuántos estudiantes de sexto grado prefieren la caricatura "Bob Esponja" a las otras dos opciones. Del total de alumnos restamos todos aquellos que aman los otros dos dibujos animados o eligen varias opciones:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – la gente solo ve “Bob Esponja”.

Ahora podemos sumar con seguridad todos los números resultantes y descubrir que:

El dibujo animado “Bob Esponja” fue elegido por 8 + 2 + 1 + 6 = 17 personas. Esta es la respuesta a la pregunta planteada en el problema.

Miremos también tarea, que en 2011 se presentó a la prueba de demostración del Examen Estatal Unificado en informática y TIC (fuente: http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Condiciones del problema:

En el lenguaje de consulta del motor de búsqueda, el símbolo "|" se utiliza para indicar la operación lógica "O", y el símbolo "&" se utiliza para la operación lógica "Y".

La tabla muestra las consultas y el número de páginas encontradas para un determinado segmento de Internet.

¿Cuántas páginas (en miles) se encontrarán para la consulta? Crucero y acorazado?

Se supone que todas las preguntas se ejecutan casi simultáneamente, de modo que el conjunto de páginas que contienen todas las palabras buscadas no cambia durante la ejecución de las consultas.

Solución:

Utilizando círculos de Euler representamos las condiciones del problema. En este caso utilizamos los números 1, 2 y 3 para designar las áreas resultantes.

Con base en las condiciones del problema, creamos las ecuaciones:

1. Crucero | Acorazado: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Crucero: 1 + 2 = 4800
3. Acorazado: 2 + 3 = 4500

Encontrar Crucero y acorazado(indicada en el dibujo como área 2), sustituya la ecuación (2) en la ecuación (1) y descubra que:

4800 + 3 = 7000, de donde obtenemos 3 = 2200.

Ahora podemos sustituir este resultado en la ecuación (3) y encontrar que:

2 + 2200 = 4500, de los cuales 2 = 2300.

Respuesta: 2300: el número de páginas encontradas por solicitud Crucero y acorazado.

Como puede ver, los círculos de Euler ayudan a resolver rápida y fácilmente incluso problemas a primera vista bastante complejos o simplemente confusos.

Conclusión

Creo que hemos logrado convencerte de que los círculos de Euler no solo son algo divertido e interesante, sino también un método muy útil para resolver problemas. Y no sólo problemas abstractos en las lecciones escolares, sino también problemas bastante cotidianos. Elegir una futura profesión, por ejemplo.

Probablemente también sienta curiosidad por saber que en la cultura popular moderna los círculos de Euler se reflejan no sólo en forma de memes, sino también en series de televisión populares. Como “The Big Bang Theory” y “4Isla”.

Utilice este método útil y visual para resolver problemas. Y asegúrese de contárselo a sus amigos y compañeros de clase. Hay botones especiales debajo del artículo para este propósito.

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Historia

Definición 1

A Leonhard Euler le preguntaron: ¿Es posible, paseando por Königsberg, rodear todos los puentes de la ciudad sin pasar por ninguno dos veces? Se incluye un plano de la ciudad con siete puentes.

En una carta a un matemático italiano que conocía, Euler dio una solución breve y hermosa al problema de los puentes de Königsberg: con tal disposición el problema es irresoluble. Al mismo tiempo, indicó que la pregunta le parecía interesante, porque... “Ni la geometría ni el álgebra son suficientes para resolverlo...”.

Al resolver muchos problemas, L. Euler representó conjuntos utilizando círculos, de ahí el nombre "Círculos eulerianos". Este método fue utilizado anteriormente por el filósofo y matemático alemán Gottfried Leibniz, quien los utilizó para explicar geométricamente las conexiones lógicas entre conceptos, pero con mayor frecuencia utilizó diagramas lineales. Euler desarrolló el método bastante a fondo. Los métodos gráficos se hicieron especialmente famosos gracias al lógico y filósofo inglés John Venn, quien introdujo los diagramas de Venn y diagramas similares a menudo se denominan Diagramas de Euler-Venn. Se utilizan en muchos campos, por ejemplo, en teoría de conjuntos, teoría de probabilidades, lógica, estadística e informática.

Principio de diagramación

Hasta ahora, los diagramas de Euler-Venn se utilizan ampliamente para representar esquemáticamente todas las posibles intersecciones de varios conjuntos. Los diagramas muestran todas las combinaciones $2^n$ de n propiedades. Por ejemplo, cuando $n=3$ el diagrama muestra tres círculos con centros en los vértices de un triángulo equilátero y el mismo radio, que es aproximadamente igual a la longitud del lado del triángulo.

Las operaciones lógicas definen tablas de verdad. El diagrama muestra un círculo con el nombre del conjunto que representa, por ejemplo $A$. El área en el medio del círculo $A$ representará la verdad de la expresión $A$, y el área fuera del círculo indicará falso. Para mostrar una operación lógica, solo se sombrean aquellas áreas en las que los valores de la operación lógica para los conjuntos $A$ y $B$ son verdaderos.

Por ejemplo, la conjunción de dos conjuntos $A$ y $B$ es verdadera sólo si ambos conjuntos son verdaderos. En este caso, en el diagrama, el resultado de la conjunción de $A$ y $B$ será el área en medio de los círculos, que pertenece simultáneamente al conjunto $A$ y al conjunto $B$ (la intersección de los conjuntos).

Figura 1. Conjunción de los conjuntos $A$ y $B$

Uso de diagramas de Euler-Venn para demostrar igualdades lógicas

Consideremos cómo se utiliza el método de construcción de diagramas de Euler-Venn para demostrar igualdades lógicas.

Probemos la ley de De Morgan, que se describe por la igualdad:

Prueba:

Figura 4. Inversión de $A$

Figura 5. Inversión de $B$

Figura 6. Conjunción de las inversiones $A$ y $B$

Después de comparar el área para mostrar las partes izquierda y derecha, vemos que son iguales. De esto se sigue la validez de la igualdad lógica. La ley de De Morgan se demuestra mediante diagramas de Euler-Venn.

Resolver el problema de buscar información en Internet mediante diagramas de Euler-Venn.

Para buscar información en Internet, es conveniente utilizar consultas de búsqueda con conectivos lógicos, de significado similar a las conjunciones "y", "o" en el idioma ruso. El significado de los conectivos lógicos queda más claro si se ilustran mediante diagramas de Euler-Venn.

Ejemplo 1

La tabla muestra ejemplos de consultas al servidor de búsqueda. Cada solicitud tiene su propio código: una letra de $A$ a $B$. Debe organizar los códigos de solicitud en orden descendente según el número de páginas encontradas para cada solicitud.

Figura 7.

Solución:

Construyamos un diagrama de Euler-Venn para cada solicitud:

Figura 8.

Respuesta: BVA.

Resolver un problema lógico significativo utilizando diagramas de Euler-Venn

Ejemplo 2

Durante las vacaciones de invierno, de los 36$ estudiantes de la clase de $2$ no fueron ni al cine, ni al teatro, ni al circo. $25$ personas fueron al cine, $11$ personas fueron al teatro, $17$ personas fueron al circo; tanto en el cine como en el teatro - $6$; tanto al cine como al circo: 10$; y al teatro y circo - $4$.

¿Cuánta gente ha ido al cine, al teatro y al circo?

Solución:

Denotemos el número de niños que han ido al cine, al teatro y al circo como $x$.

Construyamos un diagrama y averigüemos la cantidad de chicos en cada área:

Figura 9.

No he ido al teatro, al cine ni al circo: 2$ por persona.

Entonces, $36 - 2 = $34 personas. asistieron a eventos.

$6$ personas fueron al cine y al teatro, lo que significa solo al cine y al teatro ($6 - x)$ personas.

$10$ personas fueron al cine y al circo, lo que significa solo al cine y al circo ($10 - x$) personas.

$4$ personas fueron al teatro y al circo, lo que significa que solo $4 - x$ personas fueron al teatro y al circo.

$25$ personas fueron al cine, lo que significa que $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ fueron al cine solos.

De manera similar, solo ($1+x$) personas fueron al teatro.

Sólo ($3+x$) personas fueron al circo.

Entonces fuimos al teatro, al cine y al circo:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = $34;

Aquellos. sólo una persona fue al teatro, al cine y al circo.

Agencia Federal para la Educación

Institución educativa estatal de educación profesional superior.

Investigación Nacional

Universidad Politécnica de Tomsk

Instituto de Recursos Naturales

Departamento de VM

ABSTRACTO

Sujeto : « Diagrama de Euler-Venn»

Ejecutor:

Estudiante del grupo 2U00

Supervisor:

Introducción……………………………………………………………………………….…………..3

1. De la historia……………………………………………………………………………….….…..4

2. Diagrama de Euler-Venn……………………………………………………………….…..4

3. Operaciones en conjuntos de diagramas de Euler-Venn…………………….5

a) Asociación………………………….. …………………………….……7

b) Intersección, adición…………………….………………………………..7

c) La flecha de Peirce, el trazo de Schaeffer y la diferencia................................8

d) Diferencia………………………………………………………………8

e) Diferencia simétrica y equivalencia…………………….…….9

Conclusión……………………………………………………………………………………10

Referencias…………………………………………………….…………..11

Introducción

Los círculos de Euler son un diagrama geométrico que se puede utilizar para representar relaciones entre subconjuntos para una representación visual. Los círculos fueron inventados por Leonhard Euler. Utilizado en matemáticas, lógica, gestión y otras áreas aplicadas.

Un caso especial importante de los círculos de Euler son los diagramas de Euler-Venn, que representan las 2n combinaciones de n propiedades, es decir, un álgebra booleana finita. Cuando n = 3, el diagrama de Euler-Venn generalmente se representa como tres círculos con centros en los vértices de un triángulo equilátero y el mismo radio, aproximadamente igual a la longitud del lado del triángulo.

Al resolver una serie de problemas, Leonhard Euler utilizó la idea de representar conjuntos mediante círculos. Sin embargo, este método fue utilizado incluso antes que Euler por un destacado filósofo y matemático alemán (1646-1716). Leibniz los utilizó para una interpretación geométrica de las conexiones lógicas entre conceptos, pero aun así prefirió utilizar diagramas lineales.

Pero el propio L. Euler desarrolló este método con bastante profundidad. El método del círculo de Euler también fue utilizado por el matemático alemán Ernst Schröder (1841-1902) en su libro “Álgebra de la lógica”. Los métodos gráficos alcanzaron un particular florecimiento en los trabajos del lógico inglés John Venn (1843-1923), quien los describió detalladamente en el libro “Symbolic Logic”, publicado en Londres en 1881. Por lo tanto, estos diagramas a veces se denominan diagramas de Euler-Venn.

1.De la historia

Leonardo Euler(1707 - 1783, San Petersburgo, Imperio Ruso) - matemático, mecánico, físico. Adjunto en fisiología, profesor de física, profesor de matemáticas superiores, que hizo una importante contribución al desarrollo de las matemáticas, así como de la mecánica, la física, la astronomía y varias ciencias aplicadas.

Euler es autor de más de 800 trabajos sobre análisis matemático, geometría diferencial, teoría de números, cálculos aproximados, mecánica celeste, física matemática, óptica, balística, construcción naval, teoría musical, etc.

Pasó casi la mitad de su vida en Rusia, donde hizo una importante contribución al desarrollo de la ciencia rusa. En 1726 fue invitado a trabajar en San Petersburgo, donde se trasladó un año después. De 1711 a 1741, y también desde 1766, fue académico de la Academia de Ciencias de San Petersburgo (en 1741-1766 trabajó en Berlín, mientras seguía siendo miembro honorario de la Academia de San Petersburgo). Conocía bien el idioma ruso y publicó algunas de sus obras (especialmente libros de texto) en ruso. Los primeros matemáticos académicos rusos (S.K. Kotelnikov) y astrónomos (S.Ya. Rumovsky) fueron alumnos de Euler. Algunos de sus descendientes todavía viven en Rusia.

Juan Venn (1, lógico inglés. Trabajó en el campo de la lógica de clases, donde creó un aparato gráfico especial (los llamados diagramas de Venn), que encontró aplicación en la teoría lógico-matemática de las "redes neuronales formales". Venn es responsable de La justificación de las operaciones inversas en el cálculo lógico de J. Boole. El área de interés de Main John era la lógica, y publicó tres trabajos sobre este tema: The Logic of Chance, que introdujo la interpretación de la frecuencia o teoría de la probabilidad de la frecuencia en 1866. con el que se introdujeron los diagramas de Venn en 1881; la lógica empírica" ​​en 1889, que justifica las operaciones inversas en la lógica booleana.

En matemáticas, los dibujos en forma de círculos que representan conjuntos se utilizan desde hace mucho tiempo. Uno de los primeros en utilizar este método fue un destacado matemático y filósofo alemán (1 En sus bocetos se encontraron dibujos con tales círculos. Luego, este método fue desarrollado bastante a fondo por Leonhard Euler. Trabajó durante muchos años en la Academia de San Petersburgo de Ciencias. Esta época se remonta a sus famosas "Cartas a una princesa alemana", escritas en el período de 1761 a 1768. En algunas de estas "Cartas..." Euler habla de su método. Después de Euler, se desarrolló el mismo método. por el matemático checo Bernard Bolzano (1Solo que en A diferencia de Euler, no dibujó diagramas circulares, sino rectangulares. El método de los círculos de Euler también fue utilizado por el matemático alemán Ernest Schroeder (1Este método se usa ampliamente en el libro "Álgebra de la lógica". Pero Los métodos gráficos alcanzaron su mayor florecimiento en las obras del lógico inglés John Venn (1C este método alcanzó su mayor plenitud, el método fue descrito por él en el libro "Symbolic Logic", publicado en Londres en 1881. En honor a Venn, en lugar de círculos de Euler, los dibujos correspondientes a veces se denominan diagramas de Venn; en algunos libros también se les llama diagramas (o círculos) de Euler-Venn.

2. Diagrama de Euler-Venn

Los conceptos de conjunto y subconjunto se utilizan en la definición de muchos conceptos en matemáticas y, en particular, en la definición de figura geométrica. Definamos un plano como un conjunto universal. Entonces podemos dar la siguiente definición de figura geométrica en planimetría:

Figura geométrica Cualquier conjunto de puntos en un plano se llama. Para mostrar visualmente conjuntos y relaciones entre ellos, dibuje figuras geométricas que estén en estas relaciones entre sí. Estas imágenes de conjuntos se denominan diagramas de Euler-Venn. Los diagramas de Euler-Venn aclaran varias afirmaciones sobre los conjuntos. En ellos, el conjunto universal se representa como un rectángulo y sus subconjuntos como círculos. Utilizado en matemáticas, lógica, gestión y otras áreas aplicadas.

El diagrama de Euler-Venn consta de un gran rectángulo que representa el conjunto universal Ud., y dentro de él, círculos (o algunas otras figuras cerradas) que representan conjuntos. Las formas deben intersectarse de la manera más general requerida por el problema y deben etiquetarse en consecuencia. Los puntos que se encuentran dentro de diferentes áreas del diagrama pueden considerarse elementos de los conjuntos correspondientes. Una vez construido el diagrama, puedes sombrear ciertas áreas para indicar conjuntos recién formados.

Operaciones básicas en conjuntos:

Diferencia de unión de intersección

3.Operaciones en conjuntos de diagramas de Euler-Venn

Se consideran operaciones de conjuntos para obtener nuevos conjuntos a partir de los existentes.

Ahora con más detalle con ejemplos.

Dejemos que se dé un cierto conjunto de objetos, que después de un nuevo cálculo podría denotarse como

A = (1, 2, 4, 6) y B = (2, 3, 4, 8, 9)

Objetos redondos y blancos. Puedes llamar al conjunto original. fundamental, y los subconjuntos A y B son simplemente conjuntos.

Como resultado, obtenemos cuatro clases de elementos:

C 0 = (5, 7, 10, 11) - los elementos no tienen ninguna de las propiedades nombradas,

C 1 = (1, 6) - los elementos solo tienen la propiedad A (redonda),

C 2 = (3, 8, 9) - los elementos solo tienen la propiedad B (blanco),

C 3 = (2, 4) - los elementos poseen simultáneamente dos propiedades A y B.

En la Fig. 1.1. las clases especificadas se representan usando Diagramas de Euler-Venn.

Arroz. 1.1

A menudo los diagramas no tienen una generalidad completa, por ejemplo el que se muestra en la Fig. 1.2. En él, el conjunto A ya está completamente incluido en B. Para este caso, se utiliza un símbolo de inclusión especial (Ì): A Ì B = (1, 2, 4) Ì (1, 2, 3, 4, 6) .

Si se cumplen simultáneamente dos condiciones: A Ì B y B Ì A, entonces A = B, en este caso se dice que los conjuntos A y B completamente equivalente.

Arroz. 1.2

Una vez definidas las cuatro clases de elementos y proporcionada la información necesaria sobre los diagramas de Euler-Venn, introducimos las operaciones en conjuntos. Primero, consideremos la operación. asociaciones.

a) Asociación

Asociación establece A = (1, 2, 4, 6) y B = (2, 3, 4, 8, 9)

llamemos al conjunto

A È B = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9),

donde È es el símbolo de la unión de conjuntos. Por tanto, la union cubre tres clases de elementos: C 1, C 2 y C 3, que están sombreados en el diagrama (Fig. 1.3).

Lógicamente, la operación de combinar dos conjuntos se puede caracterizar con las palabras: elemento X pertenece al conjunto A o al conjunto B. Además, el conectivo “o” significa simultáneamente el conectivo “y”. Hecho de propiedad del elemento. X el conjunto A se denota como XО A. Por lo tanto, ¿qué X pertenece a un o y B, expresado por la fórmula:

XÎ A È B = ( XÎ A) Ú ( XО B),

donde Ú es el símbolo del conectivo lógico o, que se llama disyunción.

b) Intersección, suma

Al cruzar Los conjuntos A y B se denominan conjuntos A Ç B que contienen aquellos elementos de A y B que se incluyen simultáneamente en ambos conjuntos. Para nuestro ejemplo numérico tendremos:

A Ç B = (1, 2, 4, 6) Ç (2, 3, 4, 8, 9) = (2, 4) = C 3.

El diagrama de Euler-Venn para la intersección se muestra en la figura. 1.4.

Qué X pertenece simultáneamente a dos conjuntos A y B se puede representar mediante la expresión:

XÎ A Ç B = ( XÎ A) Ù ( XО B),

donde Ù es el símbolo del conectivo lógico “y”, que se llama conjunción.

Imaginemos una operación que resulta en zonas sombreadas. C 1 y C 3, formando el conjunto A (Fig. 1.5). Luego otra operación que cubrirá otras dos áreas: C 0 y C 2 no incluido en A, que se denota como A(Figura 1.6).

Si combinamos las áreas sombreadas de ambos diagramas, obtenemos el conjunto sombreado completo 1; la intersección de A y A dará el conjunto vacío 0, que no contiene un solo elemento:

A È A= 1, A Ç A = 0.

Un montón de A complementos establezca A en el conjunto fundamental V (o 1); de ahí el nombre: adicional conjunto A, o suma como una operación. Complemento de variable booleana X, es decir. X (No- X), llamado con mayor frecuencia negación de x.

Después de introducir las operaciones de intersección y suma, las cuatro áreas Ci El diagrama de Euler-Venn se puede expresar de la siguiente manera:

C 0 = A Ç B, C 1 = AÇ B, C 2 = AÇB, C 3 = AÇB.

Combinando áreas relevantes Ci Puedes imaginar cualquier operación múltiple, incluida la propia unión:

A È B = (A Ç B) È ( AÇ B) È (A Ç B).

El diagrama de implicación de Euler-Venn (figura 1.10) muestra parcial inclusión del conjunto A en el conjunto B, que debe distinguirse de lleno inclusiones (Fig. 1.2).

Si se afirma que "los elementos del conjunto A están incluidos en el conjunto B", entonces el dominio C 3 deben estar sombreados y el área C 1 con la misma necesidad debe dejarse en blanco. En cuanto a áreas C 0 y C 1 ubicado en A, tenga en cuenta que no tenemos derecho a dejarlos blancos, pero aún estamos obligados a las áreas que caen en A, sombra.

E) Diferencia simétrica y equivalencia

Queda por dar dos operaciones más mutuamente complementarias: diferencia simétrica y equivalencia. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es la unión de dos diferencias:

A + B = (A – B) È (B – A) = C 1 È C 2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

La equivalencia está determinada por aquellos elementos de los conjuntos A y B que les son comunes. Sin embargo, los elementos que no están ni en A ni en B también se consideran equivalentes:

A ~ B = ( AÇ B) È (A Ç B) = C 0 È C 3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

En la Fig. Las figuras 1.11 y 1.12 muestran el sombreado de los diagramas de Euler-Venn.

En conclusión, observamos que la diferencia simétrica tiene varios nombres: disyunción estricta, alternativa excluyente, suma módulo dos. Esta operación se puede expresar en palabras: "ya sea A o B", es decir, es un conectivo lógico "o", pero sin el conectivo "y" incluido en él.

Conclusión

Los diagramas de Euler-Venn son representaciones geométricas de conjuntos. Un diagrama simple proporciona una representación visual del conjunto universal. Ud., y dentro de él, círculos (o algunas otras figuras cerradas) que representan conjuntos. Las figuras se cruzan en el caso más general requerido en el problema y corresponden a la imagen figurativa. Los puntos que se encuentran dentro de diferentes áreas del diagrama pueden considerarse elementos de los conjuntos correspondientes. Una vez construido el diagrama, puedes sombrear ciertas áreas para indicar conjuntos recién formados. Esto nos permite tener la comprensión más completa del problema y su solución. La simplicidad de los diagramas de Euler-Venn permite utilizar esta técnica en áreas como las matemáticas, la lógica, la gestión y otras áreas aplicadas.

Bibliografía

1. Diccionario de lógica. - M.: Tumanit, ed. Centro VLADOS. , . 1997

2. Weisstein, Eric W. “Venn Diagram” (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld.

Historia

Definición 1

A Leonhard Euler le preguntaron: ¿Es posible, paseando por Königsberg, rodear todos los puentes de la ciudad sin pasar por ninguno dos veces? Se incluye un plano de la ciudad con siete puentes.

En una carta a un matemático italiano que conocía, Euler dio una solución breve y hermosa al problema de los puentes de Königsberg: con tal disposición el problema es irresoluble. Al mismo tiempo, indicó que la pregunta le parecía interesante, porque... “Ni la geometría ni el álgebra son suficientes para resolverlo...”.

Al resolver muchos problemas, L. Euler representó conjuntos utilizando círculos, de ahí el nombre "Círculos eulerianos". Este método fue utilizado anteriormente por el filósofo y matemático alemán Gottfried Leibniz, quien los utilizó para explicar geométricamente las conexiones lógicas entre conceptos, pero con mayor frecuencia utilizó diagramas lineales. Euler desarrolló el método bastante a fondo. Los métodos gráficos se hicieron especialmente famosos gracias al lógico y filósofo inglés John Venn, quien introdujo los diagramas de Venn y diagramas similares a menudo se denominan Diagramas de Euler-Venn. Se utilizan en muchos campos, por ejemplo, en teoría de conjuntos, teoría de probabilidades, lógica, estadística e informática.

Principio de diagramación

Hasta ahora, los diagramas de Euler-Venn se utilizan ampliamente para representar esquemáticamente todas las posibles intersecciones de varios conjuntos. Los diagramas muestran todas las combinaciones $2^n$ de n propiedades. Por ejemplo, cuando $n=3$ el diagrama muestra tres círculos con centros en los vértices de un triángulo equilátero y el mismo radio, que es aproximadamente igual a la longitud del lado del triángulo.

Las operaciones lógicas definen tablas de verdad. El diagrama muestra un círculo con el nombre del conjunto que representa, por ejemplo $A$. El área en el medio del círculo $A$ representará la verdad de la expresión $A$, y el área fuera del círculo indicará falso. Para mostrar una operación lógica, solo se sombrean aquellas áreas en las que los valores de la operación lógica para los conjuntos $A$ y $B$ son verdaderos.

Por ejemplo, la conjunción de dos conjuntos $A$ y $B$ es verdadera sólo si ambos conjuntos son verdaderos. En este caso, en el diagrama, el resultado de la conjunción de $A$ y $B$ será el área en medio de los círculos, que pertenece simultáneamente al conjunto $A$ y al conjunto $B$ (la intersección de los conjuntos).

Figura 1. Conjunción de los conjuntos $A$ y $B$

Uso de diagramas de Euler-Venn para demostrar igualdades lógicas

Consideremos cómo se utiliza el método de construcción de diagramas de Euler-Venn para demostrar igualdades lógicas.

Probemos la ley de De Morgan, que se describe por la igualdad:

Prueba:

Figura 4. Inversión de $A$

Figura 5. Inversión de $B$

Figura 6. Conjunción de las inversiones $A$ y $B$

Después de comparar el área para mostrar las partes izquierda y derecha, vemos que son iguales. De esto se sigue la validez de la igualdad lógica. La ley de De Morgan se demuestra mediante diagramas de Euler-Venn.

Resolver el problema de buscar información en Internet mediante diagramas de Euler-Venn.

Para buscar información en Internet, es conveniente utilizar consultas de búsqueda con conectivos lógicos, de significado similar a las conjunciones "y", "o" en el idioma ruso. El significado de los conectivos lógicos queda más claro si se ilustran mediante diagramas de Euler-Venn.

Ejemplo 1

La tabla muestra ejemplos de consultas al servidor de búsqueda. Cada solicitud tiene su propio código: una letra de $A$ a $B$. Debe organizar los códigos de solicitud en orden descendente según el número de páginas encontradas para cada solicitud.

Figura 7.

Solución:

Construyamos un diagrama de Euler-Venn para cada solicitud:

Figura 8.

Respuesta: BVA.

Resolver un problema lógico significativo utilizando diagramas de Euler-Venn

Ejemplo 2

Durante las vacaciones de invierno, de los 36$ estudiantes de la clase de $2$ no fueron ni al cine, ni al teatro, ni al circo. $25$ personas fueron al cine, $11$ personas fueron al teatro, $17$ personas fueron al circo; tanto en el cine como en el teatro - $6$; tanto al cine como al circo: 10$; y al teatro y circo - $4$.

¿Cuánta gente ha ido al cine, al teatro y al circo?

Solución:

Denotemos el número de niños que han ido al cine, al teatro y al circo como $x$.

Construyamos un diagrama y averigüemos la cantidad de chicos en cada área:

Figura 9.

No he ido al teatro, al cine ni al circo: 2$ por persona.

Entonces, $36 - 2 = $34 personas. asistieron a eventos.

$6$ personas fueron al cine y al teatro, lo que significa solo al cine y al teatro ($6 - x)$ personas.

$10$ personas fueron al cine y al circo, lo que significa solo al cine y al circo ($10 - x$) personas.

$4$ personas fueron al teatro y al circo, lo que significa que solo $4 - x$ personas fueron al teatro y al circo.

$25$ personas fueron al cine, lo que significa que $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ fueron al cine solos.

De manera similar, solo ($1+x$) personas fueron al teatro.

Sólo ($3+x$) personas fueron al circo.

Entonces fuimos al teatro, al cine y al circo:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = $34;

Aquellos. sólo una persona fue al teatro, al cine y al circo.