Encuentre el gradiente de una función con calculadora en línea. Gradiente de una función y derivada con respecto a la dirección de un vector

Breve teoría

Un gradiente es un vector cuya dirección indica la dirección del aumento más rápido en la función f(x). Encontrar esta cantidad vectorial está asociado con la determinación de las derivadas parciales de la función. La derivada direccional es una cantidad escalar y muestra la tasa de cambio de una función cuando se mueve en la dirección especificada por algún vector.

Ejemplo de solución de problema

La tarea

Dada una función, un punto y un vector. Encontrar:

La solución del problema

Encontrar el gradiente de una función

1) Encuentra la pendiente de la función en el punto:

El gradiente deseado:

Encontrar la derivada con respecto a la dirección de un vector

2) Encuentra la derivada en la dirección del vector:

¿Dónde está el ángulo formado por el vector y el eje?

La derivada requerida en el punto:

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Definición 1

Si para cada par $(x,y)$ de valores de dos variables independientes de algún dominio se asocia un determinado valor $z$, entonces se dice que $z$ es función de dos variables $(x,y) $. Notación: $z=f(x,y)$.

Considere la función $z=f(x,y)$, que está definida en alguna región del espacio $Oxy$.

Por eso,

Definición 3

Si a cada triplete $(x,y,z)$ de valores de tres variables independientes de algún dominio se le asocia un determinado valor $w$, entonces se dice que $w$ es función de tres variables $(x, y,z)$ en esta área.

Designación:$w=f(x,y,z)$.

Considere la función $w=f(x,y,z)$, que se define en alguna región del espacio $Oxyz$.

Para una función dada, definimos un vector para el cual las proyecciones sobre los ejes de coordenadas son los valores de las derivadas parciales de la función dada en algún punto $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac( \partial z)(\partial y) $.

Definición 4

El gradiente de una función dada $w=f(x,y,z)$ es un vector $\overrightarrow(gradw)$ de la siguiente forma:

Teorema 3

Dejemos que un campo de gradientes se defina en algún campo escalar $w=f(x,y,z)$

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k).\]

La derivada $\frac(\partial w)(\partial s) $ en la dirección de un vector dado $\overrightarrow(s) $ es igual a la proyección del vector gradiente $\overrightarrow(gradw) $ sobre un vector dado $\overrightarrow(s) $.

Ejemplo 4

Solución:

La expresión del gradiente se encuentra usando la fórmula

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k).\]

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =2.\]

Por eso,

\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]

Ejemplo 5

Determinar el gradiente de una función dada.

en el punto $M(1;2;1)$. Calcule $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $.

Solución:

La expresión del gradiente en un punto dado se encuentra mediante la fórmula

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\partial w)(\partial x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\partial w)(\partial y) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\partial w)(\partial z) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k).\]

Las derivadas parciales tienen la forma:

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =6z^(2) .\]

Derivados en el punto $M(1;2)$:

\[\frac(\w parcial)(\x parcial) =2\cdot 1=2;\frac(\w parcial)(\y parcial) =4\cdot 2=8;\frac(\w parcial)( \parcial z) =6\cdot 1^(2) =6.\]

Por eso,

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]

\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104).\]

Enumeremos algunos propiedades del gradiente:

La derivada de una función dada en un punto dado en la dirección de algún vector $\overrightarrow(s) $ tiene el mayor valor si la dirección de este vector $\overrightarrow(s) $ coincide con la dirección del gradiente. En este caso, este valor más grande de la derivada coincide con la longitud del vector gradiente, es decir $|\overrightarrow(gradw) |$.

La derivada de una función dada en la dirección de un vector que es perpendicular al vector gradiente, es decir $\overrightarrow(gradw) $ es igual a 0. Dado que $\varphi =\frac(\pi )(2) $, entonces $\cos \varphi =0$; por lo tanto, $\frac(\partial w)(\partial s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.

Concepto derivado direccional considerado para funciones de dos y tres variables. Para comprender el significado de la derivada direccional, es necesario comparar las derivadas por definición.

Por eso,

Ahora podemos encontrar la derivada direccional de esta función usando su fórmula:

Y ahora, tarea. Da una función no de tres, sino sólo de dos variables, pero el vector de dirección se especifica de forma algo diferente. Entonces tendrás que hacerlo de nuevo. álgebra vectorial .

Ejemplo 2. Encuentra la derivada de una función en un punto. METRO0 (1; 2) en la dirección del vector, donde METRO1 - punto con coordenadas (3; 0).

El vector que especifica la dirección de la derivada también se puede dar en la forma del siguiente ejemplo: en la forma expansión en vectores unitarios de ejes de coordenadas, pero este es un tema familiar desde el comienzo del álgebra vectorial.

Ejemplo 3. Encuentra la derivada de una función. en el punto METRO0 (1; 1; 1) en la dirección del vector.

Solución. Encontremos los cosenos directores del vector.

Encontremos las derivadas parciales de la función en el punto METRO0 :

Por tanto, podemos encontrar la derivada direccional de esta función usando su fórmula:

Función de gradiente

gradiente de una función de varias variables en un punto METRO0 caracteriza la dirección de máximo crecimiento de esta función en el punto METRO0 y la magnitud de este crecimiento máximo.

¿Cómo encontrar el gradiente?

Necesidad de determinar un vector cuyas proyecciones sobre los ejes de coordenadas son los valores Derivadas parciales, , esta función en el punto correspondiente:

Es decir, debería funcionar. representación de un vector mediante vectores unitarios de ejes de coordenadas, en el que se multiplica por cada unidad la derivada parcial correspondiente a su eje.

1 0 El gradiente se dirige normal a la superficie nivelada (o a la línea de nivel si el campo es plano).

2 0 El gradiente está dirigido a aumentar la función de campo.

3 0 El módulo de gradiente es igual a la mayor derivada en dirección en un punto dado del campo:

Estas propiedades proporcionan una característica invariante del gradiente. Dicen que el vector gradU indica la dirección y magnitud del mayor cambio en el campo escalar en un punto dado.

Observación 2.1. Si la función U(x,y) es función de dos variables, entonces el vector

se encuentra en el plano oxi.

Sean U=U(x,y,z) y V=V(x,y,z) diferenciables en el punto M 0 (x,y,z) funciones. Entonces se cumplen las siguientes igualdades:

a) graduado()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(UV)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, donde , U=U() tiene una derivada con respecto a .

Ejemplo 2.1. Se da la función U=x 2 +y 2 +z 2. Determine el gradiente de la función en el punto M(-2;3;4).

Solución. Según la fórmula (2.2) tenemos

Las superficies niveladas de este campo escalar son la familia de esferas x 2 +y 2 +z 2 , el vector gradU=(-4;6;8) es el vector normal de planos.

Ejemplo 2.2. Encuentra el gradiente del campo escalar U=x-2y+3z.

Solución. Según la fórmula (2.2) tenemos

Las superficies niveladas de un campo escalar dado son planos.

x-2y+3z=C; el vector gradU=(1;-2;3) es el vector normal de planos de esta familia.

Ejemplo 2.3. Encuentre la mayor pendiente de la elevación de la superficie U=x y en el punto M(2;2;4).

Solución. Tenemos:

Ejemplo 2.4. Encuentre el vector unitario normal a la superficie nivelada del campo escalar U=x 2 +y 2 +z 2 .

Solución. Las superficies de nivel de una esfera de campo escalar dada x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

El gradiente se dirige normal a la superficie nivelada, por lo que

Define el vector normal a la superficie nivelada en el punto M(x,y,z). Para un vector normal unitario obtenemos la expresión

Ejemplo 2.5. Encuentre el gradiente de campo U=, donde y son vectores constantes, r es el vector de radio del punto.

Solución. Dejar

Entonces: . Por la regla de diferenciación del determinante obtenemos

Por eso,

Ejemplo 2.6. Encuentre el gradiente de distancia, donde P(x,y,z) es el punto de campo que se está estudiando, P 0 (x 0,y 0,z 0) es algún punto fijo.

Solución. Tenemos - vector de dirección unitario.

Ejemplo 2.7. Encuentre el ángulo entre los gradientes de las funciones en el punto M 0 (1,1).

Solución. Encontramos los gradientes de estas funciones en el punto M 0 (1,1), tenemos

; El ángulo entre gradU y gradV en el punto M 0 se determina a partir de la igualdad

Por tanto =0.

Ejemplo 2.8. Encuentre la derivada direccional, el vector de radio es igual a

Solución. Encuentra el gradiente de esta función:

Sustituyendo (2.5) en (2.4), obtenemos

Ejemplo 2.9. Encuentre en el punto M 0 (1;1;1) la dirección del mayor cambio en el campo escalar U=xy+yz+xz y la magnitud de este mayor cambio en este punto.

Solución. La dirección del mayor cambio en el campo está indicada por el vector grad U(M). Lo encontramos:

Y eso significa... Este vector determina la dirección del mayor aumento en este campo en el punto M 0 (1;1;1). La magnitud del mayor cambio de campo en este punto es igual a

Ejemplo 3.1. Encuentra las líneas vectoriales del campo vectorial donde hay un vector constante.

Solución. tenemos para que

Multiplica el numerador y denominador de la primera fracción por x, la segunda por y, la tercera por z y suma término por término. Usando la propiedad de las proporciones obtenemos

Por lo tanto xdx+ydy+zdz=0, lo que significa

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. Ahora multiplicando el numerador y denominador de la primera fracción (3.3) por c 1, la segunda por c 2, la tercera por c 3 y sumando término por término, obtenemos

Donde de 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Y, por tanto, con 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 -constante.

Las ecuaciones requeridas de líneas vectoriales.

Estas ecuaciones muestran que las rectas vectoriales se obtienen mediante la intersección de esferas que tienen un centro común en el origen con planos perpendiculares al vector. De ello se deduce que las líneas vectoriales son círculos cuyos centros están en una línea recta que pasa por el origen en la dirección del vector c. Los planos de los círculos son perpendiculares a la línea especificada.

Ejemplo 3.2. Encuentre la línea de campo vectorial que pasa por el punto (1,0,0).

Solución. Ecuaciones diferenciales de rectas vectoriales.

Por lo tanto tenemos. Resolviendo la primera ecuación. O si introducimos el parámetro t, entonces tendremos En este caso, la ecuación toma la forma o dz=bdt, de donde z=bt+c 2.

Degradado funciones– una cantidad vectorial, cuya determinación está asociada a la determinación de las derivadas parciales de la función. La dirección del gradiente indica la ruta de crecimiento más rápido de la función de un punto del campo escalar a otro.

Instrucciones

1. Para resolver el problema del gradiente de una función se utilizan métodos de cálculo diferencial, es decir, encontrar derivadas parciales de primer orden con respecto a tres variables. Se supone que la función misma y todas sus derivadas parciales tienen la propiedad de continuidad en el dominio de definición de la función.

2. El gradiente es un vector, cuya dirección indica la dirección del aumento más rápido de la función F. Para hacer esto, se seleccionan dos puntos M0 y M1 en el gráfico, que son los extremos del vector. La magnitud del gradiente es igual a la tasa de aumento de la función desde el punto M0 al punto M1.

3. La función es diferenciable en todos los puntos de este vector, por tanto, las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas son todas sus derivadas parciales. Entonces la fórmula del gradiente se ve así: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, donde i, j, k son las coordenadas del vector unitario . En otras palabras, el gradiente de una función es un vector cuyas coordenadas son sus derivadas parciales grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Ejemplo 1. Sea dada la función F = sin(x z?)/y. Se requiere detectar su gradiente en el punto (?/6, 1/4, 1).

5. Solución. Determine las derivadas parciales con respecto a cada variable: F'_х = 1/y сos(х z?) z?; F'_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?); '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Sustituye los famosos valores de coordenadas del punto: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F’_y = pecado(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. Aplique la fórmula de gradiente de función:grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Ejemplo 2. Encuentre las coordenadas del gradiente de la función F = y arсtg (z/x) en el punto (1, 2, 1).

9. Solución.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arco(z/х) = arco 1 = ?/4;F'_z = 0 arco(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

El gradiente de campo escalar es una cantidad vectorial. Así, para encontrarlo, es necesario determinar todas las componentes del vector correspondiente, basándose en el conocimiento de la división del campo escalar.

Instrucciones

1. Lea en un libro de texto de matemáticas superiores cuál es el gradiente de un campo escalar. Como sabes, esta cantidad vectorial tiene una dirección caracterizada por la tasa máxima de caída de la función escalar. Esta interpretación de esta cantidad vectorial se justifica por la expresión para determinar sus componentes.

2. Recuerda que cualquier vector está determinado por las magnitudes de sus componentes. Los componentes de un vector son en realidad proyecciones de este vector sobre uno u otro eje de coordenadas. Por tanto, si se considera el espacio tridimensional, entonces el vector debe tener tres componentes.

3. Escribe cómo se determinan las componentes de un vector que es el gradiente de un determinado campo. Todas las coordenadas de dicho vector son iguales a la derivada del potencial escalar con respecto a la variable cuya coordenada se está calculando. Es decir, si necesita calcular el componente "x" del vector de gradiente de campo, entonces necesita diferenciar la función escalar con respecto a la variable "x". Tenga en cuenta que la derivada debe ser parcial. Esto significa que durante la diferenciación, las variables restantes que no participan en ella deben considerarse constantes.

4. Escribe una expresión para el campo escalar. Como es bien sabido, este término implica sólo una función escalar de varias variables, que también son cantidades escalares. El número de variables de una función escalar está limitado por la dimensión del espacio.

5. Diferenciar la función escalar por separado con respecto a cada variable. Como resultado, obtendrás tres nuevas funciones. Escribe cualquier función en la expresión del vector gradiente de campo escalar. Cada una de las funciones obtenidas es en realidad un indicador de un vector unitario de una coordenada determinada. Por tanto, el vector gradiente final debería verse como un polinomio con exponentes en forma de derivadas de la función.

Al considerar cuestiones relacionadas con la representación de gradientes, es común pensar en funciones como campos escalares. Por tanto, es necesario introducir la notación adecuada.

Necesitará

– auge;
- bolígrafo.

Instrucciones

1. Sea la función especificada por tres argumentos u=f(x, y, z). La derivada parcial de una función, por ejemplo, con respecto a x, se define como la derivada con respecto a este argumento, obtenida fijando los argumentos restantes. Lo mismo ocurre con otros argumentos. La notación para la derivada parcial se escribe en la forma: df/dx = u’x...

2. El diferencial total será igual a du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz. Las derivadas parciales pueden entenderse como derivadas a lo largo de las direcciones de los ejes de coordenadas. En consecuencia, surge la cuestión de encontrar la derivada con respecto a la dirección de un vector dado s en el punto M(x, y, z) (no olvidemos que la dirección s está determinada por el vector unitario s^o). En este caso, el diferencial vectorial de los argumentos (dx, dy, dz) = (дscos(alfa), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Considerando la forma del diferencial total du, podemos concluir que la derivada en la dirección s en el punto M es igual a: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ (( дf/дy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma).Si s= s(sx,sy,sz), entonces cosenos directores (cos(alfa), cos(beta ), cos(gamma)) se calculan (ver Fig. 1a).

4. La definición de la derivada direccional, considerando el punto M como variable, se puede reescribir en forma de producto escalar: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). Esta expresión será objetiva para un campo escalar. Si se considera fácilmente una función, entonces gradf es un vector que tiene coordenadas coincidentes con las derivadas parciales f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Aquí (i, j, k) son los vectores unitarios de los ejes de coordenadas en un sistema de coordenadas cartesiano rectangular.

5. Si utilizamos el operador vectorial diferencial hamiltoniano, entonces gradf se puede escribir como la multiplicación de este operador vectorial por el escalar f (ver Fig. 1b). Desde el punto de vista de la conexión entre gradf y la derivada direccional, la igualdad (gradf, s^o)=0 es aceptable si estos vectores son ortogonales. En consecuencia, gradf se define a menudo como la dirección de la metamorfosis más rápida del campo escalar. Y desde el punto de vista de las operaciones diferenciales (gradf es una de ellas), las propiedades de gradf repiten exactamente las propiedades de las funciones diferenciadoras. En particular, si f=uv, entonces gradf=(vgradu+u gradv).

Vídeo sobre el tema.

Degradado Se trata de una herramienta que, en los editores gráficos, rellena una silueta con una transición suave de un color a otro. Degradado Puede darle a una silueta el resultado de volumen, imitar la iluminación, el resplandor de la luz sobre la superficie de un objeto, o el resultado de una puesta de sol en el fondo de una fotografía. Esta herramienta es muy utilizada, por lo que para procesar fotografías o crear ilustraciones es muy importante aprender a utilizarla.

Necesitará

Computadora, editor gráfico Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net u otro.

Instrucciones

1. Abra una imagen en el programa o tome una nueva. Haz una silueta o selecciona el área deseada en la imagen.

2. Active la herramienta de degradado en la barra de herramientas del editor de gráficos. Coloque el cursor del mouse en el punto dentro del área o silueta seleccionada donde comenzará el primer color del degradado. Haga clic y mantenga presionado el botón izquierdo del mouse. Mueva el cursor al punto donde desea que el degradado cambie al color final. Suelte el botón izquierdo del ratón. La silueta seleccionada se rellenará con un relleno degradado.

3. Degradado Puede establecer la transparencia, los colores y sus proporciones en un punto determinado del relleno. Para hacer esto, abra la ventana de edición de degradado. Para abrir la ventana de edición en Photoshop, haga clic en el ejemplo de degradado en el panel de Opciones.

4. La ventana que se abre muestra las opciones de relleno de degradado disponibles en forma de ejemplos. Para editar una de las opciones, selecciónela con un clic del mouse.

5. En la parte inferior de la ventana se muestra un ejemplo de degradado en forma de escala ancha en la que se encuentran los controles deslizantes. Los controles deslizantes indican los puntos en los que el degradado debería tener intercalaciones especificadas y, en el intervalo entre los controles deslizantes, el color pasa uniformemente del color especificado en el primer punto al color del segundo punto.

6. Los controles deslizantes ubicados en la parte superior de la escala configuran la transparencia del degradado. Para cambiar la transparencia, haga clic en el control deslizante requerido. Aparecerá un campo debajo de la escala en el que ingresa el grado de transparencia requerido como porcentaje.

7. Los controles deslizantes en la parte inferior de la escala establecen los colores del degradado. Al hacer clic en uno de ellos, podrás seleccionar el color deseado.

8. Degradado Puede tener varios colores de transición. Para establecer otro color, haga clic en el espacio libre en la parte inferior de la escala. Aparecerá otro control deslizante. Dale el color requerido. La escala mostrará un ejemplo del degradado con un punto más. Puede mover los controles deslizantes manteniéndolos presionados con el botón izquierdo del mouse para lograr la combinación deseada.

9. Degradado Los hay de varios tipos que pueden dar forma a siluetas planas. Por ejemplo, para darle a un círculo la forma de una bola, se usa un gradiente radial y para darle la forma de un cono, se usa un gradiente en forma de cono. Para darle a la superficie la ilusión de convexidad, puede usar un degradado de espejo y un degradado en forma de diamante para crear reflejos.

Vídeo sobre el tema.