Convergencia y divergencia de integrales internas. Integrales inválidas
Ejemplos del estudio de integrales inadecuadas para la convergencia.
Ejemplo 1.
.
Por lo tanto, esta integral converge a A\u003e 1 y disipa a un £ 1.
Ejemplo 2.
Explora la convergencia. Calcule lo integral por definición: 
.
Por lo tanto, esta integral converge cuando un<1 и расходится при a³1.
Ejemplo 3.
Explorar la convergencia 
.
<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два
.
La convergencia de la primera integral I1 está investigando utilizando una función equivalente: (t. N\u003e 0), y la integral converge en M\u003e -1 (Ejemplo 2). Del mismo modo, para I2 integral:
Y la integral converge en m + n<-1 (пример2). Следовательно, исходный интеграл сходится при выполнении одновременно двух условий m>-1 y m + n<-1, и будет расходится при нарушении хотя бы одного из них.
Ejemplo 4. Explora la convergencia.
La función integrada puede ser infinitamente grande (si m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два:
Desde Arctgx »X en X®0, entonces el I1 integral es equivalente a la integral, que converge en M + 1\u003e -1 I.E. en M\u003e -2 (Ejemplo 1).
Para la función integradora en la integral incompatible del primer tipo de I2, seleccionaremos equivalentes:
T. K. ArctgX »P / 2 con x® ¥. En consecuencia, de acuerdo con el segundo signo de comparación, la I2 integral se converguará en M + N<-1, и расходится в противном случае.
Combinando condiciones para la convergencia de integrales I1 y I2 Obtenemos las condiciones para la convergencia de la integral original: M\u003e -2 y M + N<-1 одновременно.
Comentario. En los Ejemplos 2-4, se utilizaron 2 signos de comparación, lo que proporciona las condiciones necesarias y suficientes para la convergencia, que permite, establecer la convergencia en una determinada condición a los valores de los parámetros, no para demostrar la divergencia integral en violación de las condiciones de convergencia.
Ejemplo 5. Explora la convergencia.
Esta integral contiene un punto especial 0, en el que la función integrar puede convertirse en infinito en P<0, поэтому снова разобьем исходный интеграл на два:
.
La I1 Integral es una integral incompatible del segundo género, y la función Integrand es equivalente a X®0 XP (E-X ®1 en X®), I1 converge en P\u003e -1 (Ejemplo 1).
La I2 Integral es una integral incompatible del primer tipo. Elija una función que sea equivalente a la función Integrand, de modo que no contenga una función indicativa, falla. Por lo tanto, para usar un signo de comparación 2, como en ejemplos anteriores, es imposible. Aplique el primer signo de comparación, para lo cual usamos el siguiente hecho bien conocido:
Con A\u003e 0 y cualquier p. A partir de esto, y el hecho de que la función XPE-AX es continua, se deduce que esta función es limitada, es decir, existe una constante M\u003e 0 que XPE-AX< M. Возьмем, например, a=1/2, и оценим интеграл I2 сверху:
Es decir, la I2 integral converge en cualquier p.
Por lo tanto, la integral original converge en p\u003e -1.
Ejemplo 6. Explora la convergencia.
Reemplazaremos la variable: t \u003d lnx, y obtener
La división de la integral de dos se produjo de forma análoga al ejemplo 5. El I1 integral es completamente equivalente a la I1 integral del Ejemplo 5 y, por lo tanto, converge cuando q<1.
Considere el I2 integral. Proporcionado 1-P<0 этот интеграл полностью эквивалентен интегралу I2 в примере 5 (доказательство сходимости аналогично, а условие 1-p<0 нужно для выполнения 
y a \u003d (1-P) / 2.).
Entonces, I2 converge en P\u003e 1. Sin embargo, en este estudio de la convergencia de esta integral no se completa, ya que el signo usado de la convergencia da solo condiciones suficientes para la convergencia. Por lo tanto, es necesario estudiar la convergencia en 1-P £ 0.
Considere el caso P \u003d 1. Luego, la I2 Integral es equivalente, que converge en Q\u003e 1 (observamos que, en este caso, el I1 integral está divergido) y se dispersó de lo contrario.
En P.<1 оценим интеграл I2 и покажем его расходимость. Для этого вспомним, что 
En 1-P\u003e 0, y, por lo tanto, a partir de algunos a\u003e 1. T.-
P.MI.(1-
pag.)
T. ³ m \u003d const\u003e 0. Entonces, para la I2 Integral es válida.
,
Donde la parte integral en la parte derecha disipa, lo que demuestra la divergencia de la I2 integral.
Sumando los resultados obtenidos, obtenemos que la fuente integral converge cuando q<1 и p>1, de lo contrario, la integral está divergida.
Ejemplo 6. Explora la convergencia absoluta y condicional.
Severo la integral original de dos:
.
Convergencia. I1 integral equivalente 
, es decir. Converge en P<2 (пример 1) , причем абсолютно, так как подынтегральная функция положительна на отрезке интегрирования.
El I2 integral converge en el signo del Dirichlet-Abel en P\u003e 0 t. El primer pecado (x) es limitado, y la función 1 / xp tiende monótonamente a cero con X-X tiende a infinito.
Demostramos eso en P $ 0 divergencias integrales. Utilizamos el criterio de Cauchy para esto, o más bien por negación.
.
Tome los siguientes valores como R1I R2: R1 \u003d 2PK y R2 \u003d 2PK + P / 2, luego
, con p\u003e 0.
Por lo tanto, la integral converge a 0. Convergencia absoluta La absoluta convergencia de la I1 integral ya está establecida, considere la convergencia absoluta de I2. Estimamos la integral desde arriba: Para probar la divergencia en P £ 1, estimamos la integral desde la parte inferior. Rompemos la última integral de la diferencia de funciones en la diferencia de integrales. Si ambas integrales convergen, la integral de la diferencia converge, si una de las integrales diverge, y la otra converge, entonces la integral se separa de la diferencia. En el caso de la divergencia de ambas integrales, la convergencia de la integral de la diferencia está sujeta a un estudio adicional. Estamos interesados \u200b\u200ben el segundo de los casos descritos. Divergente (Ejemplo 1) en P<1. сходится по признаку Дирихле-Абеля при 1>p\u003e 0 (ver convergencia), por lo tanto, la integral se estima en la parte inferior con una integral divergente, es decir, se dispersa. El caso de P³1 no nos interesa, ya que estos valores del parámetro divergen integrales. Por lo tanto, la integral original converge absolutamente en 0 Teorema 12.11 (signo de comparación de integrales internas). Deje que las funciones f (x) y g (x) sean continuas en el intervalo [A "\u003e) y satisfacer la condición de 0 FIX)? (X). Luego de la convergencia de la integral. sigue la convergencia de la integral. a la inversa, la divergencia integral (12.64) debe incluir divergencia integral (12.63). Evidencia. Presentamos la notación: Función PAQUETE) es inconsistente; De hecho, si y yo 2, entonces J. reparar) DX\u003e 0, y luego Tomar la secuencia de valores (/? ") -\u003e"\u003e; Luego la secuencia correspondiente de los valores de la función. (F (r n))) Es monótono y sin recordar. Deje que la integral (12.63) converja, luego la secuencia (67 ( R. )) Limited; Pero luego limitado y consistencia (F. (/? ")), Por lo que, en virtud del teorema 7.13, converge. En consecuencia, hay un límite. F (r) por R. - + "\u003e, es decir, El integral (12.64) converge. Ahora probaremos la segunda parte del teorema; Deja que la integral (12.64) disipara. Si asume que la integral (12.63) converge, entonces, en la parte probada anteriormente integral (12.64), también debe converger, lo que contradice la condición. El teorema está probado. ? Comentario. Un signo similar de comparación también es justo para integrales incorrectas del segundo tipo. Si funciona / (x) y gRAMO. (x) Continuo en semi-intervalo [A\u003e b) Y para todos los puntos en algún barrio de un punto especial. b. Terminado condiciones 0. (x), luego de la convergencia del JG integral (X) DX sigue el puente de la integral J / (X) DX, y de la divergencia de la integral J / (X) DX - el puente de la integral JG (X) DX. Considere ejemplos en el estudio de la convergencia de integrales internas. Ejemplo 27. t. ^ -. X 3 (1 + e l) Decisión. Compara la función integrada en esta integral con la función. DG. Obviamente, sobre - - h. g * (1 + 0 x j el Condado J-JDX converge; Por lo tanto, debido a un signo de comparación converge y dan- 1 H. nY Integral. Ejemplo 28. I-. Decisión. Comparando la función integrando de esta integral con una función de 1 / x, vemos que (1 + en x) / x\u003e 1 / x en el intervalo 1
por lo tanto, esta integral también se basa en un signo de comparación. En conclusión, damos sin pruebas el criterio de la convergencia Cauchy de la integral incomprensible del primer tipo. 12.10.4. Convergencia absoluta y condicional de integrales internas. Definición 5. Enthegl J / (x) DX incomfated se llama absolutamente convergenteSi la integral J | / (x) se converve | DX. Definición 6. INVISIÓN INTEGRAL J / (X) DX se llama DX sentado condicionalmente agotadorSi converge, y la integral J | / (x) | DX diverge. Tenga en cuenta que de la absoluta convergencia de la integral y su convergencia debido a la estimación de la integral 3 específica y el criterio de Cauchy. Teorema 12.13 (un signo de Dirichlet - Abel *). Deje que la función / (x) sea continua y tenga primitivas limitadas F. (x) En el intervalo [A ",\u003e), y la función G (x) tiene un derivado continuo en este espacio, no aumenta y se esfuerza por cero en x -\u003e © acerca de. Entonces imaginario integral converge. Evidencia. Aplique la integración en partes a la integral J / (X) G (X) DX en un corte arbitrario R r " de [ pero, °°). Tenemos: Teorema 12.12. Para la convergencia de la Inmunidad Integral (12.64), es necesaria y suficiente para encontrar un número de este tipo para cualquier E\u003e 0 PERO \u003e 0, que para cualquier R " y /? "grande que PERO, Se realiza la desigualdad: Por el teorema de la condición F (x) Limitado, es decir. | F (x) | K. La función G (x) no aumenta y tiende a cero en X - ""\u003e, significa. g (x) \u003e 0, a g "(x) Abel Niels Henrik (1802-1829) - Matemático noruego. Dado que bajo la condición del teorema G (x) - "0 a x -\u003e © °, para un número arbitrario E\u003e 0 se puede encontrar A\u003e. tal que R "l Se realizará la desigualdad g (r ") sustituyendo esto en la evaluación (12.68), obtenemos: lo que corresponde al curioso criterio de la convergencia integral (12.66). El teorema está probado. ? Considere los ejemplos de usar la característica de Dirichlet - Abel convergencia de las integrales internas. Ejemplo 29. F ^^ DX, A\u003e 0. Decisión. PUT / (X) \u003d Sin X g (x) \u003d L / x "; es fácil asegurarse de que todas las condiciones del teorema se realicen, es decir, esta integral converge. Cuando A\u003e 1 esta integral rAL converge absolutamente. Realmente, pecado x / xp 1 / d l, integral j (l / x e) dx converge, es decir,. Según una comparación (teorema 12.11), esta integral se converve. Ejemplo 30. Jsin x 2 DX - Fresnel Integral, Decisión. Imagina esta integral en forma de la cantidad: Dado que Sin X 2 es una función continua en el segmento (0, 1J, existe la primera integral en (12.69). Para determinar la convergencia de la integral incompatible en el lado derecho (12.69), ponemos / (x) \u003d x pecado 2, gRAMO. (x) \u003d 1 / x. Luego para la función / (x) primitiva F (x) = -Cosx 2 /! Está limitado al intervalo | 1, "\u003e), y # (x) es positivo, tiende a cero a X -" °° y tiene un derivado continuo en (1, © O). Significa sobre la base de Dirichlet - Abel, la segunda integral en (12.69) converge, es decir, es decir, Fresnel Integral también converge. Como usted sabe, encontrar la integral puede ser una tarea bastante complicada. Sería una gran decepción hacer un cálculo de una integral incompatible y detectar al final de la forma en que disipara. Por lo tanto, los métodos permiten, sin computación grave, en un tipo de funciones, concluir una conclusión sobre la convergencia o la divergencia de una integral incompleta. Los teoremas de la primera y la segunda comparación que se discutirán a continuación están ayudando en gran medida a explorar integrales incompletos para la convergencia. Sea F (x)? 0. Entonces funciones están aumentando monótonamente de las variables T or-D (como tomamos D\u003e 0, busca cero a la izquierda). Si, con un aumento en los argumentos de la función F 1 (t) y F 2 (-d) permanecen limitados desde arriba, esto significa que convergen las integrales incomprensibles correspondientes. Esto se basa en el primer teorema de comparación para integrales de funciones no negativas. Supongamos que para la función f (x) y g (x) con x? A condiciones: Luego, desde la convergencia de la integral, sigue la convergencia de la integral, y la divergencia de la integral debe ser ¿Desde 0? F (x)? G (x) y las funciones son continuas, entonces Por condición, la integral converge, es decir, Tiene la magnitud final. En consecuencia, la integral también converge. Deja que la integral ahora diverge. Supongamos que la integral converge, pero luego la integral debe ser convergente, lo que contradice la condición. Nuestra suposición es incorrecta, las desviaciones integrales. El teorema de comparación para integrales inadecuadas del 2do tipo. Supongamos que para las funciones f (x) y g (x) en la brecha, aumenta cada vez más con x\u003e +0. Para ella en x\u003e +0 desigualdad<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также. El teorema de comparación para integrales inadecuadas del 1er género. Supongamos que para la función f (x) y G (x) en el intervalo, y el segmento de intercomunicador es la final, es decir, los números son limitados y no infinitos. Algunas tareas llevan a la necesidad de abandonar estas restricciones. Aparecen las integrales indispensables. Significado geométrico de una integral incompatible Resulta bastante simple. En el caso de que la función de programación. y = f.(x.)
Ubicado sobre el eje BUEY. La integral definida expresa el área del trapecio curvilíneo, curva limitada. y = f.(x.)
, Axis de Abscissa y Órdenes. x. = uNA.
, x. = b. . A su vez, la integral inapropiada expresa el área de trapecio curvilíneo ilimitado (infinito), concluido entre las líneas y = f.(x.)
(en la figura debajo - rojo), x. = uNA. y un eje de abscisa. De la misma manera, se determinan las integrales incompatibles y para otros intervalos infinitos: El área de un trapecio curvilíneo infinito puede ser un número finito y, en este caso, la integral inmutable se llama convergente. El área puede ser infinita y, en este caso, la integral inmutable se llama divergente. Use el límite integral en lugar de la integral más incompatible. Para calcular la integral incompatible, debe utilizar el límite de una integral específica. Si este límite existe y es finito (no es igual al infinito), entonces una integral incomparable se llama convergente y de otra manera, divergente. Lo que una variable se esfuerza por un signo de un límite, depende de si tenemos el caso con una integral incompatible del primer tipo o segundo tipo. Lo descubriremos ahora. Por lo tanto, el registro de la Inmunidad Integral es diferente de la parte integral habitual habitual en el hecho de que el límite de integración superior es infinito. Definición. Inválido integral con un límite superior interminable de integración de la función continua f.(x.)
En el intervalo ot uNA.
antes de ∞
Llamado el límite de la integral de esta función con el límite de integración superior. b.
y menor límite de integración uNA.
siempre que el límite superior de la integración esté creciendo indefinidamente. Si este límite existe y es igual a algún número, no infinito, entonces la integral entrante se llama convergente., y el número al que el límite es igual a su valor. De lo contrario involucrado integral se llama divergente. Y él no atribuye ningún significado. Ejemplo 1. Calcule la integral incompatible. (Si converge). Decisión. Basado en la definición de una integral incompatible, encontramos Dado que el límite existe y es igual a 1, entonces convergen integral involucrado e igual a 1. En el siguiente ejemplo, la función Integrand es casi como en el Ejemplo 1, solo el grado de ICA no es un dos veces, sino la letra de Alpha, pero la tarea es estudiar una integral incompleta para la convergencia. Es decir, para responder a la pregunta: bajo ¿Qué valores del Alfa, esta integral entrante converge, y en qué divergencia? Ejemplo 2. Explorar la convergencia de la integral de inmovilidad. (El límite de integración más bajo es mayor que cero). Decisión. Supongamos primero que, entonces En la expresión resultante, pasamos al límite cuando: Es fácil ver que el límite en la parte correcta existe y es cero, cuando, es decir, no hay, cuándo, eso es. En el primer caso, es decir, cuando hay un lugar. Si, entonces El retiro de nuestro estudio es el siguiente: este convergen integral involucrado en I. divergir a. Aplicando al tipo enviado de fórmula integral interna Newton-Leibnia Esta es la fórmula generalizada de Newton Labitsa. Ejemplo 3. Calcule la integral incompatible. (Si converge). El límite de esta integral existe: La segunda integral que constituye la cantidad que expresa la integral original: El límite de esta integral también existe: Encontramos la suma de dos integrales, que es y el valor de la integral inicial incompatible con dos límites infinitos: Deja que la función f.(x.)
Establecer en el segmento de uNA.
antes de b.
Y ilimitado en ello. Supongamos que la función aborda el infinito en el punto. b.
, mientras que en todos los demás puntos del segmento es continuo. Definición. Función integral incompatible f.(x.)
En el corte de uNA.
antes de b.
Llamado el límite de la integral de esta función con el límite de integración superior. c.
Si con una persecución c.
a b.
La función aumenta indefinidamente, y en el punto. x. = b.
La función no está definida.. Si existe este límite, la integral entrante del segundo tipo se llama convergente, de lo contrario divergente. Usando la fórmula de Newton-Labends, derivamos.
, es decir. La integral converge en P\u003e 1.
.
.
INCOMBATY Integrales del primer tipo: con límites infinitos y su convergencia.
Integras poco económicas con un límite superior sin fin
.
Y no hay.
, Puede retirar la siguiente fórmula muy similar a ella:
.
.INTEGRALES NOUALES DEL SEGUNDO TIPO - DE FUNCIONES UNLIMITADAS Y SU CONVERGENCIA
.
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