Ejemplos de eventos aleatorios de la teoría de la probabilidad. Probabilidad de evento

1.1. Alguna información de combinatoria

1.1.1. Alojamiento

Considere los conceptos más simples asociados con la elección y ubicación de un conjunto de objetos.
Con frecuencia, cuando se resuelven problemas probabilísticos, se suele contar el número de formas en que se pueden realizar estas acciones.
Definición... Alojamiento desde norte elementos por k (k ≤norte) se llama cualquier subconjunto ordenado de k elementos del conjunto que consta de norte varios elementos.
Ejemplo. Las siguientes secuencias de números son ubicaciones de 2 elementos de 3 elementos del conjunto (1; 2; 3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Tenga en cuenta que las ubicaciones difieren en el orden de sus elementos constitutivos y su composición. Las ubicaciones 12 y 21 contienen los mismos números, pero su orden es diferente. Por lo tanto, estas ubicaciones se consideran diferentes.
Número de ubicaciones diferentes de norte elementos por k denotado y calculado por la fórmula:
,
donde norte! = 1∙2∙...∙(norte - 1)∙norte(lee " norte- factorial ").
El número de números de dos dígitos que se pueden formar a partir de los dígitos 1, 2, 3, siempre que no se repita ningún dígito igual a :.

1.1.2. Permutaciones

Definición... Permutaciones de norte los elementos se denominan ubicaciones de norte elementos que difieren solo en la disposición de los elementos.
Número de permutaciones de norte elementos P n calculado por la fórmula: P n=norte!
Ejemplo.¿De cuántas formas pueden hacer cola 5 personas? El número de formas es igual al número de permutaciones de 5 elementos, es decir
PAG 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definición... Si entre norte elementos k idénticos, luego reorganice estos norte elementos se llama permutación con repeticiones.
Ejemplo. Deje que 2 de los 6 libros sean iguales. Cualquier disposición de todos los libros en el estante: permutación con repeticiones.
El número de permutaciones diferentes con repeticiones (de norte elementos, incluyendo k idéntico) se calcula mediante la fórmula :.
En nuestro ejemplo, la cantidad de formas en que puede colocar los libros en el estante es:

1.1.3. Combinaciones

Definición... Combinaciones de norte elementos por k tales colocaciones de norte elementos por k que se diferencian entre sí por al menos un elemento.
Número de diferentes combinaciones de norte elementos por k denotado y calculado por la fórmula :.
Por definición, 0! = 1.
Las siguientes propiedades son válidas para combinaciones:
1.
2.
3.
4.
Ejemplo. Hay 5 flores de diferentes colores. Se eligen 3 flores para el ramo. El número de ramos diferentes de 3 flores de 5 es igual a :.

1.2. Eventos aleatorios

1.2.1. Desarrollos

La cognición de la realidad en las ciencias naturales se produce como resultado de pruebas (experimento, observación, experiencia).
Prueba o experiencia es la realización de un cierto conjunto de condiciones, que pueden reproducirse tantas veces como se desee.
Aleatorio se denomina evento que puede ocurrir o no como resultado de alguna prueba (experiencia).
Por lo tanto, el evento se considera un resultado de prueba.
Ejemplo. Lanzar una moneda es un desafío. La aparición de un águila cuando se lanza es un evento.
Los eventos que observamos difieren en el grado de posibilidad de que ocurran y en la naturaleza de su interconexión.
El evento se llama de confianza si ocurrirá necesariamente como resultado de esta prueba.
Ejemplo. La obtención de una nota positiva o negativa en el examen por parte de un estudiante es un evento confiable si el examen se desarrolla de acuerdo con las reglas habituales.
El evento se llama imposible si no puede ocurrir como resultado de esta prueba.
Ejemplo. Sacar una bola blanca de una urna, que solo contiene bolas de colores (no blancas), es un evento imposible. Tenga en cuenta que en otras condiciones experimentales no se excluye la aparición de una bola blanca; por lo tanto, este evento es imposible solo bajo las condiciones de nuestra experiencia.
En lo que sigue, los eventos aleatorios se denotarán con letras latinas mayúsculas A, B, C ... Un evento confiable se indicará con la letra Ω, lo imposible - Ø.
Se llaman dos o más eventos igualmente posible en esta prueba, si hay razones para creer que ninguno de estos eventos es más posible o menos posible que los demás.
Ejemplo. Con un lanzamiento de dados, la aparición de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 puntos: todos estos eventos son igualmente posibles. Por supuesto, se supone que los dados están hechos de un material uniforme y tienen la forma correcta.
Dos eventos se llaman inconsistente en una prueba determinada, si la aparición de uno de ellos excluye la aparición del otro, y articulación de lo contrario.
Ejemplo. La caja contiene piezas estándar y no estándar. Tomemos un detalle para la buena suerte. La apariencia de una pieza estándar elimina la apariencia de una pieza no estándar. Estos eventos son inconsistentes.
Se forman varios eventos grupo completo de eventos en esta prueba, si al menos uno de ellos ocurrirá necesariamente como resultado de esta prueba.
Ejemplo. Los eventos del ejemplo forman un grupo completo de eventos igualmente posibles e incompatibles por pares.
Dos eventos incompatibles que forman un grupo completo de eventos en un ensayo dado se denominan eventos opuestos.
Si uno de ellos se denota por A, entonces el otro generalmente se denota por (léase "no A»).
Ejemplo. Golpear y fallar con un tiro a un objetivo son eventos opuestos.

1.2.2. Definición clásica de probabilidad

Probabilidad de evento - una medida numérica de la posibilidad de su ofensiva.
Evento PERO llamada favorable evento EN si cada vez que ocurre un evento PERO, el evento también llega EN.
Desarrollos PERO 1 , PERO 2 , ..., PEROnorte formulario diagrama de caso , si ellos:
1) son igualmente posibles;
2) son incompatibles por pares;
3) forma un grupo completo.
En el esquema de casos (y solo en este esquema) hay una definición clásica de la probabilidad PAG(A) desarrollos PERO... Aquí, se denomina caso a cada uno de los eventos que pertenecen al grupo completo seleccionado de eventos igualmente posibles e incompatibles por pares.
Si norte Es el número de todos los casos del esquema y metro- el número de casos favorables al evento PERO, luego probabilidad de evento PERO se define por la igualdad:

Las siguientes propiedades se derivan de la definición de probabilidad:
1. La probabilidad de un evento confiable es igual a uno.
De hecho, si el evento es cierto, entonces cada evento en el esquema del caso favorece el evento. En este caso metro = norte y por lo tanto

2. La probabilidad de un evento imposible es cero.
De hecho, si un evento es imposible, ninguno de los eventos en el esquema de eventos favorece al evento. por lo tanto metro= 0 y por lo tanto

La probabilidad de un evento aleatorio es un número positivo entre cero y uno.
De hecho, solo una fracción del número total de casos en el esquema de casos favorece un evento aleatorio. Por lo tanto 0<metro<norte, y, por tanto, 0<metro/norte<1 и, следовательно, 0 < P (A) < 1.
Entonces, la probabilidad de cualquier evento satisface las desigualdades
0 ≤ PAG (A) ≤ 1.
En la actualidad, las propiedades de la probabilidad se definen en forma de axiomas formulados por A.N. Kolmogorov.
Una de las principales ventajas de la definición clásica de probabilidad es la capacidad de calcular la probabilidad de un evento directamente, es decir, sin recurrir a experimentos, que son reemplazados por razonamientos lógicos.

Problemas de cálculo directo de probabilidades

Tarea 1.1... ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra un número par de puntos (evento A) en una tirada?
Solución... Considere los eventos PEROI- caído I puntos, I= 1, 2, ..., 6. Obviamente, estos eventos forman un diagrama de casos. Entonces el número de todos los casos norte= 6. Los casos favorecen un número par de puntos PERO 2 , PERO 4 , PERO 6, es decir metro= 3. Entonces .
Tarea 1.2... La urna contiene 5 bolas blancas y 10 negras. Las bolas se mezclan bien y luego se saca 1 bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola que se saca resulte blanca?
Solución... Hay 15 casos en total, que forman un diagrama de casos. Además, el evento esperado PERO- la aparición de una bola blanca, 5 de ellas favorecen, por lo tanto .
Tarea 1.3... El niño juega con seis letras del alfabeto: A, A, E, K, P, T. Calcula la probabilidad de que pueda agregar accidentalmente la palabra CARETA (evento A).
Solución... La decisión se complica por el hecho de que entre las letras hay lo mismo: dos letras "A". Por lo tanto, el número de todos los casos posibles en esta prueba es igual al número de permutaciones con repeticiones de 6 letras:
.
Estos casos son igualmente posibles, incompatibles por pares y forman un grupo completo de eventos, es decir, Forme un diagrama de caso. Solo una ocasión favorece un evento PERO... por lo tanto
.
Tarea 1.4... Tanya y Vanya acordaron celebrar el Año Nuevo en una compañía de 10 personas. Ambos realmente querían sentarse uno al lado del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que se cumpla su deseo, si se acostumbra repartir plazas entre sus amigos por sorteo?
Solución... Denotemos por PERO evento "cumplimiento de los deseos de Tanya y Vanya". ¡10 personas pueden sentarse en la mesa 10! diferentes caminos. Cuantos de estos norte= 10! ¿Son igualmente posibles formas favorables para Tanya y Vanya? Tanya y Vanya, sentadas una al lado de la otra, pueden tomar 20 posiciones diferentes. Al mismo tiempo, ¡ocho de sus amigos pueden sentarse en la mesa 8! de diferentes maneras, por lo tanto metro= 20 ∙ 8!. Como consecuencia,
.
Tarea 1.5... Un grupo de 5 mujeres y 20 hombres selecciona a tres delegados. Suponiendo que se pueda elegir a cada uno de los presentes con la misma probabilidad, calcule la probabilidad de que se elijan dos mujeres y un hombre.
Solución... El número total de resultados de ensayos igualmente probables es igual al número de formas en que se pueden seleccionar tres delegados de 25, es decir, ... Ahora contemos el número de casos favorables, es decir el número de casos en los que se produce el evento de interés. Se puede seleccionar un delegado masculino de veinte maneras. En este caso, los otros dos delegados deben ser mujeres, y puede elegir dos mujeres de cinco. Como consecuencia, . por lo tanto
.
Tarea 1.6. Cuatro bolas se distribuyen aleatoriamente en cuatro hoyos, cada bola golpea un hoyo o el otro con la misma probabilidad e independientemente de los demás (no hay obstáculos para golpear el mismo hoyo para varias bolas). Encuentre la probabilidad de que haya tres bolas en uno de los hoyos, una en el otro y ninguna bola en los otros dos hoyos.
Solución. Número total de casos norte= 4 4. El número de formas en que puede seleccionar un hoyo con tres bolas. El número de formas en que puede seleccionar un hoyo donde habrá una bola. El número de formas que puede elegir entre las cuatro bolas es tres para ponerlas en el primer hoyo. El número total de casos favorables. Probabilidad de evento:
Tarea 1.7. Hay 10 bolas idénticas en la caja, marcadas con los números 1, 2,…, 10. Se han extraído seis bolas para la suerte. Encuentre la probabilidad de que entre las bolas extraídas haya: a) bola # 1; b) bolas n. ° 1 y n. ° 2.
Solución... a) El número total de posibles resultados elementales de la prueba es igual al número de formas en que se pueden extraer seis bolas de diez, es decir,
Encontremos el número de resultados favorables al evento que nos interesa: entre las seis bolas seleccionadas está la bola # 1 y, por lo tanto, las otras cinco bolas tienen números diferentes. El número de tales resultados es obviamente igual al número de formas en que se pueden seleccionar cinco bolas de las nueve restantes, es decir,
La probabilidad deseada es igual a la relación entre el número de resultados favorables al evento en consideración y el número total de posibles resultados elementales:
b) El número de resultados favorables al evento que nos interesa (entre las bolas seleccionadas hay bolas # 1 y # 2, por lo tanto, cuatro bolas tienen números diferentes) es igual a la cantidad de formas en que se pueden extraer cuatro bolas de los ocho restantes, es decir Buscando probabilidad

1.2.3. Probabilidad estadística

La definición estadística de probabilidad se utiliza cuando los resultados de un experimento no son igualmente posibles.
Frecuencia relativa del evento PERO se define por la igualdad:
,
donde metro- el número de ensayos en los que el evento PERO llegó norte- el número total de pruebas realizadas.
J. Bernoulli demostró que con un aumento ilimitado en el número de experimentos, la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento prácticamente diferirá poco de un cierto número constante. Resultó que este número constante es la probabilidad de que ocurra un evento. Por lo tanto, naturalmente, la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con un número suficientemente grande de pruebas se llama probabilidad estadística, en contraste con la probabilidad introducida previamente.
Ejemplo 1.8... ¿Cómo estimar el número aproximado de peces en el lago?
Deja entrar al lago NS pez. Tiramos la red y, digamos, encontramos en ella norte pez. Marcamos cada uno de ellos y los liberamos. Unos días después, con el mismo tiempo y en el mismo lugar, echamos la misma red. Supongamos que encontramos m peces en él, entre los cuales k etiquetado. Deja el evento PERO- "el pescado capturado está etiquetado". Luego, por definición de la frecuencia relativa.
Pero si en el lago NS pescado y lo soltamos norte etiquetado, entonces.
Como R * (PERO) » R(PERO), luego .

1.2.4. Operaciones sobre eventos. Teorema de la suma de probabilidades

La suma o unificación, de varios eventos se denomina evento que consiste en la ocurrencia de al menos uno de estos eventos (en la misma prueba).
Suma PERO 1 + PERO 2 + … + PEROnorte denotado de la siguiente manera:
o .
Ejemplo... Se lanzan dos dados. Deja que el evento PERO consiste en las consecuencias de 4 puntos en 1 dado, y el evento EN- en la caída de 5 puntos en el otro dado. Desarrollos PERO y EN son conjuntos. Por lo tanto, el evento PERO +EN consiste en dejar caer 4 puntos en el primer dado, o 5 puntos en el segundo dado, o 4 puntos en el primer dado y 5 puntos en el segundo al mismo tiempo.
Ejemplo. Evento PERO- ganancias por 1 préstamo, evento EN- ganancias en el segundo préstamo. Entonces el evento A + B- ganar al menos un préstamo (posiblemente dos a la vez).
Por producto o la intersección de varios eventos es un evento que consiste en la aparición conjunta de todos estos eventos (en la misma prueba).
Trabajo EN eventos PERO 1 , PERO 2 , …, PEROnorte denotado de la siguiente manera:
.
Ejemplo. Desarrollos PERO y EN Consisten en la culminación exitosa de la I y II rondas, respectivamente, al ingresar al instituto. Entonces el evento PERO× B consiste en completar con éxito ambas rondas.
Los conceptos de suma y producto de eventos tienen una clara interpretación geométrica. Deja el evento PERO hay un golpe de un punto en el área PERO y el evento EN- golpear un punto en el área EN... Entonces el evento A + B hay un golpe de un punto en la unión de estas áreas (Fig. 2.1), y el evento PEROEN hay un impacto en un punto en la intersección de estas áreas (Fig. 2.2).

Arroz. 2.1 Fig. 2.2
Teorema... Si eventos A yo(I = 1, 2, …, norte) son inconsistentes por pares, entonces la probabilidad de la suma de eventos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos:
.
Permitir PERO y Ā - eventos opuestos, es decir A + Ā= Ω, donde Ω es un evento válido. El teorema de la adición implica que
P (Ω) = R(PERO) + R(Ā ) = 1, por lo tanto
R(Ā ) = 1 – R(PERO).
Si eventos PERO 1 y PERO 2 son consistentes, entonces la probabilidad de la suma de dos eventos conjuntos es:
R(PERO 1 + PERO 2) = R(PERO 1) + R(PERO 2) - P ( PERO 1 × PERO 2).
Los teoremas de la suma para probabilidades permiten pasar del cálculo directo de probabilidades a determinar las probabilidades de eventos complejos.
Tarea 1.8... El tirador dispara un tiro al objetivo. La probabilidad de noquear 10 puntos (evento PERO), 9 puntos (evento EN) y 8 puntos (evento CON) son iguales a 0,11, respectivamente; 0,23; 0,17. Encuentre la probabilidad de que, con un disparo, el tirador anote menos de 8 puntos (evento D).
Solución... Pasemos al evento opuesto: con un disparo, el tirador golpeará al menos 8 puntos. Ocurre un evento si sucede PERO o EN, o CON, es decir. ... Desde eventos A, B, CON son inconsistentes por pares, entonces, por el teorema de la suma,
, donde .
Tarea 1.9... Del equipo de la brigada, que consta de 6 hombres y 4 mujeres, se seleccionan dos personas para la conferencia sindical. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los seleccionados al menos una mujer (evento PERO).
Solución... Si ocurre un evento PERO, entonces seguramente ocurrirá uno de los siguientes eventos inconsistentes: EN- “un hombre y una mujer fueron elegidos”; CON- “Se eligieron dos mujeres”. Por tanto, podemos escribir: A = B + C... Encuentra la probabilidad de eventos EN y CON... Se pueden seleccionar dos personas de cada 10 de distintas formas. Se pueden elegir dos mujeres de cada cuatro. Se puede seleccionar un hombre y una mujer de 6 × 4 formas. Luego . Desde eventos EN y CON son inconsistentes, entonces, por el teorema de la suma,
P (A) = P (B + C) = P (B) + P (C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Tarea 1.10. Quince libros de texto están ordenados al azar en un estante de la biblioteca, cinco de los cuales están encuadernados. El bibliotecario toma tres libros de texto al azar. Encuentre la probabilidad de que al menos uno de los libros de texto tomados esté encuadernado (evento PERO).
Solución... La primera forma. El requisito - al menos uno de los tres libros de texto encuadernados tomados - se cumplirá si ocurre alguno de los siguientes tres eventos inconsistentes: EN- un libro de texto encuadernado, CON- dos libros de texto encuadernados, D- tres libros de texto encuadernados.
Evento de interés para nosotros PERO se puede representar como una suma de eventos: A = B + C + D... Por el teorema de la suma,
P (A) = P (B) + P (C) + P (D). (2.1)
Encuentra la probabilidad de eventos ANTES DE CRISTO y D(ver esquemas combinatorios):

Al representar estas probabilidades en igualdad (2.1), finalmente obtenemos
P (A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Segunda vía. Evento PERO(al menos uno de los tres libros de texto tomados está encuadernado) y Ā (ninguno de los libros de texto tomados está encuadernado) son opuestos, por lo que P (A) + P (Ā) = 1 (la suma de las probabilidades de dos eventos opuestos es 1). De aquí P (A) = 1 – P (Ā). Probabilidad de evento Ā (ninguno de los libros de texto tomados está encuadernado)
Buscando probabilidad
P (A) = 1 - P (Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. La probabilidad condicional. Teorema de la multiplicación de probabilidades

La probabilidad condicional P (B/PERO) es la probabilidad del evento B, calculada bajo el supuesto de que el evento A ya ha ocurrido.
Teorema... La probabilidad de ocurrencia conjunta de dos eventos es igual al producto de las probabilidades de uno de ellos por la probabilidad condicional del otro, calculada bajo el supuesto de que el primer evento ya ocurrió:
P (A∙B) = P (A) ∙ Р ( EN/PERO). (2.2)
Dos eventos se denominan independientes si la ocurrencia de cualquiera de ellos no cambia la probabilidad de que ocurra el otro, es decir,
P (A) = P (A / B) o P (B) = P (B/PERO). (2.3)
Si eventos PERO y EN son independientes, entonces las fórmulas (2.2) y (2.3) implican
P (A∙B) = P (A)∙P (B). (2.4)
Lo contrario también es cierto, es decir si la igualdad (2.4) se cumple para dos eventos, entonces estos eventos son independientes. De hecho, las fórmulas (2.4) y (2.2) implican
P (A∙B) = P (A)∙P (B) = P (A) × P (B/PERO), donde P (A) = P (B/PERO).
La fórmula (2.2) se puede generalizar al caso de un número finito de eventos PERO 1 , PERO 2 ,…,Un:
P (A 1 ∙PERO 2 ∙…∙Un)=P (A 1)∙P (A 2 /PERO 1)∙P (A 3 /PERO 1 PERO 2)∙…∙Sartén/PERO 1 PERO 2 …Un -1).
Tarea 1.11... De la urna, en la que hay 5 bolas blancas y 10 negras, saca dos bolas seguidas. Encuentre la probabilidad de que ambas bolas sean blancas (evento PERO).
Solución... Considere los eventos: EN- la primera bola que se saca es blanca; CON- la segunda bola extraída es blanca. Luego A = BC.
El experimento se puede realizar de dos formas:
1) con devolución: la bola extraída, después de fijar el color, se devuelve a la urna. En este caso, los eventos EN y CON independiente:
P (A) = P (B)∙P (C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) sin retorno: la bola retirada se deposita a un lado. En este caso, los eventos EN y CON dependiente:
P (A) = P (B)∙P (C/EN).
Para un evento EN las condiciones son las mismas, y para CON la situación ha cambiado. Sucedió EN, por tanto, quedan 14 bolas en la urna, de las cuales 4 son blancas.
Tan, .
Tarea 1.12... Entre las 50 bombillas, 3 no son estándar. Encuentre la probabilidad de que dos bombillas tomadas al mismo tiempo no sean estándar.
Solución... Considere los eventos: PERO- la primera luz no es estándar, EN- la segunda luz no es estándar, CON- Ambas bombillas no son estándar. Está claro que C = A∙EN... Evento PERO 3 casos de 50 son favorables, es decir P (A) = 3/50. Si el evento PERO ya ha llegado, entonces el evento EN dos casos de 49 son favorables, es decir P (B/PERO) = 2/49. Como consecuencia,
.
Tarea 1.13... Dos atletas disparan de forma independiente a un objetivo. La probabilidad de acertar en el objetivo del primer atleta es 0,7 y el segundo es 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que el objetivo sea alcanzado?
Solución... El objetivo será alcanzado si golpea al primer tirador, al segundo o a ambos a la vez, es decir, un evento ocurrirá A + B donde es el evento PERO es el primer atleta que alcanza el objetivo, y el evento EN- el segundo. Luego
P (A+EN)=P (A)+P (B)–P (A∙EN)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Tarea 1.14. La sala de lectura contiene seis libros de texto sobre teoría de la probabilidad, de los cuales tres están encuadernados. El bibliotecario tomó dos libros de texto al azar. Calcula la probabilidad de que dos libros de texto estén encuadernados.
Solución... Introducimos la notación de eventos. : A- el primer libro de texto tomado está encuadernado, EN- el segundo libro de texto está encuadernado. La probabilidad de que el primer libro de texto esté encuadernado es
P (A) = 3/6 = 1/2.
La probabilidad de que el segundo libro de texto esté encuadernado, siempre que el primer libro de texto tomado estuviera encuadernado, es decir, probabilidad condicional de un evento EN, Es esto: P (B/PERO) = 2/5.
Buscando la probabilidad de que ambos libros de texto estén encuadernados, por el teorema de la multiplicación para las probabilidades de eventos es igual a
P (AB) = P (A) ∙ P (B/PERO)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Tarea 1.15. El taller emplea a 7 hombres y 3 mujeres. Tres personas fueron seleccionadas al azar por número de personal. Encuentre la probabilidad de que todos los individuos seleccionados sean hombres.
Solución... Introduzcamos la notación de eventos: A- el hombre fue seleccionado primero, EN- un hombre fue seleccionado en segundo lugar, CON - el tercero es un hombre. La probabilidad de que un hombre sea seleccionado primero, P (A) = 7/10.
La probabilidad de que un hombre sea seleccionado en segundo lugar, siempre que un hombre ya haya sido seleccionado primero, es decir probabilidad condicional de un evento EN próximo : P (B / A) = 6/9 = 2/3.
La probabilidad de que un hombre sea seleccionado en tercer lugar, siempre que ya se hayan seleccionado dos hombres, es decir, probabilidad condicional de un evento CON Es esto: P (C/AB) = 5/8.
Buscando la probabilidad de que los tres individuos seleccionados sean hombres, P (ABC) = P (A) P (B/PERO) P (C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.

1.2.6. Fórmula de probabilidad total y fórmula de Bayes

Permitir B 1 , B 2 ,…, B n- eventos incompatibles por pares (hipótesis) y PERO- un evento que puede ocurrir solo en conjunto con uno de ellos.
Que, además, sepamos P (B i) y P (A/B i) (I = 1, 2, …, norte).
En estas condiciones, las siguientes fórmulas son válidas:
(2.5)
(2.6)
La fórmula (2.5) se llama fórmula de probabilidad total ... Calcula la probabilidad de un evento. PERO(probabilidad total).
La fórmula (2.6) se llama Fórmula de Bayes ... Le permite volver a calcular las probabilidades de hipótesis si el evento PERO sucedió.
Al compilar ejemplos, conviene asumir que las hipótesis forman un grupo completo.
Objetivo 1,16... En la canasta hay manzanas de cuatro árboles del mismo tipo. Desde el primero - 15% de todas las manzanas, desde el segundo - 35%, desde el tercero - 20%, desde el cuarto - 30%. Las manzanas maduras representan el 99%, 97%, 98%, 95%, respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una manzana tomada al azar esté madura (evento PERO).
b) Siempre que la manzana tomada al azar esté madura, calcule la probabilidad de que sea del primer árbol.
Solución... a) Tenemos 4 hipótesis:
B 1 - una manzana tomada al azar se retira del primer árbol;
B 2 - una manzana tomada al azar se retira del segundo árbol;
B 3 - una manzana tomada al azar se retira del tercer árbol;
B 4 - una manzana tomada al azar se toma del cuarto árbol.
Sus probabilidades por condición: P (B 1) = 0,15; P (B 2) = 0,35; P (B 3) = 0,2; P (B 4) = 0,3.
Probabilidades de eventos condicionales PERO:
P (A/B 1) = 0,99; P (A/B 2) = 0,97; P (A/B 3) = 0,98; P (A/B 4) = 0,95.
La probabilidad de que una manzana tomada al azar resulte madura se calcula mediante la fórmula de la probabilidad total:
P (A)=P (B 1)∙P (A/B 1)+P (B 2)∙P (A/B 2)+P (B 3)∙P (A/B 3)+P (B 4)∙P (A/B 4)=0,969.
b) La fórmula de Bayes para nuestro caso se ve así:
.
Tarea 1.17. Se deja caer una bola blanca en una urna que contiene dos bolas, después de lo cual se toma una bola al azar. Encuentre la probabilidad de que la bola extraída resulte ser blanca si todas las suposiciones posibles sobre la composición inicial de las bolas (por color) son igualmente posibles.
Solución... Denotemos por PERO evento: se elimina la bola blanca. Son posibles las siguientes suposiciones (hipótesis) sobre la composición inicial de las bolas: B 1- no hay bolas blancas, A LAS 2- una bola blanca, A LAS 3- dos bolas blancas.
Dado que hay tres hipótesis en total, y la suma de las probabilidades de las hipótesis es 1 (ya que forman un grupo completo de eventos), la probabilidad de cada una de las hipótesis es 1/3, es decir
P (B 1) = P (B 2)= P (B 3) = 1/3.
La probabilidad condicional de que se saque una bola blanca, siempre que no haya bolas blancas inicialmente en la urna, P (A/B 1) = 1/3. La probabilidad condicional de que salga una bola blanca, dado que originalmente había una bola blanca en la urna, P (A/B 2) = 2/3. La probabilidad condicional de que salga una bola blanca, siempre que inicialmente hubiera dos bolas blancas en la urna. P (A/B 3)=3/ 3=1.
Encontramos la probabilidad deseada de que la bola blanca sea extraída por la fórmula para la probabilidad total:
R(PERO)=P (B 1)∙P (A/B 1)+P (B 2)∙P (A/B 2)+P (B 3)∙P (A/B 3) = 1/3 1/3 + 1/3 2/3 + 1/3 1 = 2/3 .
Objetivo 1,18... Dos máquinas producen piezas idénticas que van a un transportador común. La productividad de la primera máquina es el doble que la de la segunda. La primera máquina automática produce en promedio el 60% de las piezas de excelente calidad y la segunda, el 84%. La pieza tomada al azar de la línea de montaje resultó ser de excelente calidad. Encuentre la probabilidad de que esta pieza haya sido producida por la primera máquina.
Solución... Denotemos por PERO el evento es un artículo de excelente calidad. Se pueden hacer dos suposiciones: B 1- además, la pieza es producida por la primera máquina (ya que la primera máquina produce el doble de piezas que la segunda) P (A/B 1) = 2/3; B 2 - la pieza es producida por la segunda máquina, y P (B 2) = 1/3.
La probabilidad condicional de que la pieza sea de excelente calidad si es producida por la primera máquina automática, P (A/B 1)=0,6.
La probabilidad condicional de que la pieza sea de excelente calidad si es producida por la segunda máquina automática, P (A/B 1)=0,84.
La probabilidad de que una pieza tomada al azar resulte de excelente calidad, según la fórmula de probabilidad total, es
P (A)=P (B 1) ∙P (A/B 1)+P (B 2) ∙P (A/B 2) = 2/3 0,6 + 1/3 0,84 = 0,68.
Buscando la probabilidad de que la parte excelente tomada sea producida por el primer autómata, según la fórmula de Bayes es igual a

Objetivo 1,19... Hay tres lotes de piezas con 20 piezas cada uno. El número de partes estándar en el primer, segundo y tercer lote es, respectivamente, 20, 15, 10. Una parte que resultó ser estándar se extrajo al azar del lote seleccionado. Las piezas se devuelven al lote y, por segunda vez, se extrae aleatoriamente una pieza del mismo lote, que también resulta ser estándar. Encuentre la probabilidad de que las partes se recuperaron del tercer lote.
Solución... Denotemos por PERO evento: en cada una de las dos pruebas (con devolución) se eliminó una parte estándar. Se pueden hacer tres suposiciones (hipótesis): B 1 - las partes se eliminan del primer lote, EN 2 - las partes se retiran del segundo lote, EN 3 - las partes se retiran del tercer lote.
Los detalles se tomaron al azar de un lote dado, por lo que las probabilidades de las hipótesis son las mismas: P (B 1) = P (B 2) = P (B 3) = 1/3.
Encuentra la probabilidad condicional P (A/B 1), es decir la probabilidad de que dos partes estándar se eliminen secuencialmente del primer lote. Este evento es confiable porque en el primer lote, todas las piezas son estándar, por lo tanto P (A/B 1) = 1.
Encuentra la probabilidad condicional P (A/B 2), es decir la probabilidad de que dos partes estándar se eliminen secuencialmente (con devolución) del segundo lote: P (A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Encuentra la probabilidad condicional P (A/B 3), es decir la probabilidad de que dos partes estándar se eliminen secuencialmente (con devolución) del tercer lote: P (A/B 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Buscando la probabilidad de que ambas partes estándar extraídas sean de un tercer lote, usando la fórmula de Bayes es

1.2.7. Pruebas repetidas

Si se realizan varias pruebas y la probabilidad de un evento PERO en cada ensayo no depende de los resultados de otros ensayos, entonces dichos ensayos se denominan independiente con respecto al evento A. En varios ensayos independientes, el evento PERO puede tener diferentes probabilidades o la misma probabilidad. Además, consideraremos solo aquellas pruebas independientes en las que el evento PERO tiene la misma probabilidad.
Deja que se produzca NS pruebas independientes, en cada una de las cuales un evento PERO puede o no aparecer. Aceptemos suponer que la probabilidad de un evento PERO en cada prueba es el mismo, es decir, igual R. Por tanto, la probabilidad de no ocurrencia del evento PERO en cada prueba también es constante e igual a 1– R. Tal esquema probabilístico se llama Esquema de Bernoulli... Fijémonos la tarea de calcular la probabilidad de que para NS Evento de prueba de Bernoulli PERO se hará realidad exactamente k una vez ( k Es el número de éxitos) y, por tanto, no se realizará NS- una vez. Es importante enfatizar que no se requiere que el evento PERO repetido exactamente k veces en una secuencia específica. La probabilidad requerida se denota por P n (k). Por ejemplo, el símbolo R 5 (3) significa la probabilidad de que en cinco intentos el evento aparezca exactamente 3 veces y, por lo tanto, no ocurra 2 veces.
La tarea se puede resolver utilizando el llamado Fórmulas de Bernoulli, que se parece a:
.
Tarea 1.20. La probabilidad de que el consumo de energía eléctrica durante un día no supere la norma establecida es igual a R= 0,75. Encuentre la probabilidad de que en los próximos 6 días el consumo de energía durante 4 días no exceda la norma.
Solución. La probabilidad de consumo eléctrico normal durante cada uno de los 6 días es constante e igual a R= 0,75. En consecuencia, la probabilidad de un consumo excesivo de electricidad por día también es constante e igual a q = 1–R=1–0,75=0,25.
La probabilidad deseada por la fórmula de Bernoulli es
.
Objetivo 1,21... Dos jugadores de ajedrez equivalentes juegan al ajedrez. ¿Qué es más probable: ganar dos juegos de cuatro o tres juegos de seis (no se tienen en cuenta los empates)?
Solución... Jugadores de ajedrez equivalentes juegan, por lo que la probabilidad de ganar R= 1/2, por lo tanto, la probabilidad de perder q también es 1/2. Porque en todos los juegos la probabilidad de ganar es constante y no importa en qué secuencia se ganen los juegos, entonces se aplica la fórmula de Bernoulli.
Encontremos la probabilidad de que se ganen dos juegos de cada cuatro:

Encontremos la probabilidad de que se ganen tres juegos de seis:

Porque PAG 4 (2) > PAG 6 (3), es más probable que gane dos juegos de cuatro que tres de seis.
Sin embargo, se puede ver que usando la fórmula de Bernoulli para valores grandes norte es bastante difícil, ya que la fórmula requiere realizar acciones en grandes números y, por lo tanto, en el proceso de cálculo se acumulan errores; como resultado, el resultado final puede diferir significativamente del verdadero.
Para resolver este problema, existen varios teoremas límite que se utilizan para el caso de una gran cantidad de pruebas.
1. Teorema de Poisson
Al realizar una gran cantidad de pruebas según el esquema de Bernoulli (con norte=> ∞) y con un pequeño número de resultados favorables k(en este caso, se supone que la probabilidad de éxito pag es pequeño), la fórmula de Bernoulli se aproxima a la fórmula de Poisson
.
Ejemplo 1.22. La probabilidad de un matrimonio cuando una empresa produce una unidad de producción es igual a pag= 0,001. ¿Cuál es la probabilidad de que con el lanzamiento de 5000 unidades de productos, haya menos de 4 defectuosos (evento PERO Solución... Porque norte es grande, usamos el teorema local de Laplace:

Vamos a calcular X:
Función - par, por lo tanto φ (–1.67) = φ (1.67).
De acuerdo con la tabla del Apéndice A.1, encontramos φ (1.67) = 0.0989.
Buscando probabilidad PAG 2400 (1400) = 0,0989.
3. Teorema de la integral de Laplace
Si la probabilidad R ocurrencia de un evento A en cada prueba según el esquema de Bernoulli es constante y diferente de cero y uno, luego con una gran cantidad de pruebas norte, probabilidad P n (k 1 , k 2) la ocurrencia del evento A en estas pruebas de k 1 a k 2 veces es aproximadamente igual a
R p(k 1 , k 2) = Φ ( X "") – Φ ( X "), donde
- función de Laplace,

La integral definida en la función de Laplace no se calcula sobre la clase de funciones analíticas, por lo tanto, para calcularla se utiliza la Tabla 1. A.2, que figura en el apéndice.
Ejemplo 1.24. La probabilidad de que ocurra un evento en cada una de las cien pruebas independientes es constante e igual a pag= 0,8. Encuentre la probabilidad de que el evento ocurra: a) al menos 75 veces y no más de 90 veces; b) al menos 75 veces; c) no más de 74 veces.
Solución... Usemos el teorema integral de Laplace:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( X "") – Φ( X "), donde Ф ( X) Es la función de Laplace,

a) Por condición, norte = 100, pag = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Calcular X "" y X " :


Teniendo en cuenta que la función de Laplace es extraña, es decir Ф (- X) = - Ф ( X), obtenemos
PAG 100 (75; 90) = Ф (2.5) - Ф (–1.25) = Ф (2.5) + Ф (1.25).
Según la tabla. A.2. encontraremos aplicaciones:
F (2,5) = 0,4938; Ф (1,25) = 0,3944.
Buscando probabilidad
PAG 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) El requisito de que el evento aparezca al menos 75 veces significa que el número de ocurrencias del evento puede ser igual a 75, o 76, ... o 100. Por lo tanto, en este caso, se debe aceptar k 1 = 75, k 2 = 100. Entonces

.
Según la tabla. A.2. aplicaciones, encontramos Ф (1.25) = 0.3944; Ф (5) = 0,5.
Buscando probabilidad
PAG 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Evento - " PERO apareció al menos 75 veces "y" PERO aparecieron no más de 74 veces "son opuestas, por lo que la suma de las probabilidades de estos eventos es 1. Por lo tanto, la probabilidad deseada
PAG 100 (0;74) = 1 – PAG 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

La teoría de la probabilidad es una rama independiente bastante extensa de las matemáticas. En el curso escolar, la teoría de la probabilidad se considera muy superficialmente, sin embargo, en el examen y el GIA hay tareas sobre este tema. Sin embargo, resolver los problemas del curso escolar no es tan difícil (al menos en lo que respecta a las operaciones aritméticas); aquí no es necesario contar derivadas, tomar integrales y resolver transformaciones trigonométricas complejas; lo principal es poder manejar números primos y fracciones.

Teoría de la probabilidad - términos básicos

Los términos principales de la teoría de la probabilidad son ensayo, resultado y evento aleatorio. Una prueba en la teoría de la probabilidad es un experimento: lanzar una moneda, sacar una carta, sacar suertes, todas estas son pruebas. El resultado de la prueba, lo adivinó, se llama resultado.

¿Y cuál es la aleatoriedad de un evento? En la teoría de la probabilidad, se asume que la prueba se realiza más de una vez y hay muchos resultados. Muchos resultados de un ensayo se denominan evento aleatorio. Por ejemplo, si lanza una moneda, pueden ocurrir dos eventos aleatorios: cara o cruz.

No confunda los conceptos de resultado y evento aleatorio. El resultado es uno de los resultados de un ensayo. Un evento aleatorio es un conjunto de posibles resultados. Por cierto, existe un término como evento imposible. Por ejemplo, el evento "número 8" en un dado de juego estándar no es posible.

¿Cómo hallas la probabilidad?

Todos entendemos aproximadamente qué es probabilidad y, con bastante frecuencia, usamos esta palabra en nuestro vocabulario. Además, incluso podemos sacar algunas conclusiones con respecto a la probabilidad de tal o cual evento, por ejemplo, si hay nieve fuera de la ventana, lo más probable es que podamos decir que ahora no es verano. Sin embargo, ¿cómo se puede expresar numéricamente esta suposición?

Para introducir una fórmula para encontrar la probabilidad, introducimos un concepto más: un resultado favorable, es decir, un resultado que es favorable para un evento en particular. La definición es bastante ambigua, por supuesto, sin embargo, de acuerdo con la condición del problema, siempre está claro cuál de los resultados es favorable.

Por ejemplo: hay 25 personas en la clase, tres de ellas son Katya. La maestra nombra a Olya de turno y ella necesita un compañero. ¿Cuál es la probabilidad de que Katya se convierta en socia?

En este ejemplo, un resultado favorable es la pareja Katya. Resolveremos este problema un poco más tarde. Pero primero, con la ayuda de una definición adicional, presentamos una fórmula para encontrar la probabilidad.

• P = A / N, donde P es la probabilidad, A es el número de resultados favorables, N es el número total de resultados.

Todos los problemas escolares giran en torno a esta fórmula y la principal dificultad suele estar en encontrar los resultados. A veces es fácil encontrarlos, a veces no es muy fácil.

¿Cómo resolver probabilidades?

Problema 1

Así que ahora solucionemos el problema planteado anteriormente.

El número de resultados favorables (el maestro elegirá a Katya) es tres, porque hay tres Katya en la clase y hay 24 resultados generales (25-1, porque Olya ya ha sido seleccionada). Entonces la probabilidad es: P = 3/24 = 1/8 = 0.125. Por lo tanto, la probabilidad de que Katya sea la pareja de Olya es del 12,5%. No es difícil, ¿verdad? Veamos algo un poco más complicado.

Tarea 2

La moneda se lanzó dos veces, ¿cuál es la probabilidad de la combinación: una cara y una cruz?

Por lo tanto, considere los resultados generales. ¿Cómo pueden caer las monedas: cara / cara, cruz / cruz, cara / cruz, cruz / cara? Esto significa que el número total de resultados es 4. ¿Cuántos resultados favorables? Dos: caras / colas y colas / caras. Por tanto, la probabilidad de obtener una combinación cara / cruz es:

• P = 2/4 = 0,5 o 50 por ciento.

Ahora consideremos el siguiente problema. Masha tiene 6 monedas en su bolsillo: dos - 5 rublos y cuatro - 10 rublos. Masha puso 3 monedas en otro bolsillo. ¿Cuál es la probabilidad de que las monedas de 5 rublos terminen en diferentes bolsillos?

Para simplificar, designaremos monedas con números: 1,2 - monedas de cinco rublos, 3,4,5,6 - monedas de diez rublos. Entonces, ¿cómo pueden estar las monedas en tu bolsillo? Hay 20 combinaciones en total:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

A primera vista puede parecer que han desaparecido algunas combinaciones, por ejemplo, la 231, pero en nuestro caso las combinaciones 123, 231 y 321 son equivalentes.

Ahora contamos cuántos resultados favorables tenemos. Para ellos, tomamos aquellas combinaciones en las que existe el número 1 o el número 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Hay 12 de ellos. , la probabilidad es:

• P = 12/20 = 0,6 o 60%.

Los problemas de la teoría de la probabilidad que se presentan aquí son bastante sencillos, pero no piense que la teoría de la probabilidad es una simple rama de las matemáticas. Si decides continuar tu educación en una universidad (a excepción de las especialidades humanitarias), definitivamente tendrás pares en matemáticas superiores, donde te introducirán a términos más complejos de esta teoría, y los problemas allí serán mucho más difíciles. .

Teoría breve

Para una comparación cuantitativa de eventos según el grado de posibilidad de que ocurran, se introduce una medida numérica, que se denomina probabilidad de un evento. La probabilidad de un evento aleatorio llamado número que es una expresión de la medida de la posibilidad objetiva de que ocurra un evento.

Las cantidades que determinan cuán significativos son los motivos objetivos para esperar la ocurrencia de un evento, se caracterizan por la probabilidad del evento. Cabe destacar que la probabilidad es un valor objetivo que existe independientemente del conocedor y está condicionado por el conjunto completo de condiciones que contribuyen a la ocurrencia de un evento.

Las explicaciones que hemos dado al concepto de probabilidad no son una definición matemática, ya que no cuantifican el concepto. Existen varias definiciones de probabilidad de un evento aleatorio que se utilizan ampliamente para resolver problemas específicos (definición clásica, geométrica de probabilidad, estadística, etc.).

La definición clásica de la probabilidad de un evento. reduce este concepto a un concepto más elemental de sucesos igualmente posibles, que ya no está sujeto a definición y se supone intuitivamente claro. Por ejemplo, si el dado es un cubo uniforme, entonces la caída de cualquiera de las caras de este cubo serán eventos igualmente posibles.

Dejemos que un evento confiable se divida en casos igualmente posibles, la suma de los cuales da un evento. Es decir, los casos de los que se escinde se denominan favorables para el evento, ya que la aparición de uno de ellos asegura la ofensiva.

La probabilidad de un evento se indicará con el símbolo.

La probabilidad de un evento es igual a la razón del número de casos favorables al mismo, del número total de los únicos casos posibles, igualmente posibles e inconsistentes al número, es decir,

Ésta es la definición clásica de probabilidad. Por lo tanto, para encontrar la probabilidad de un evento, es necesario, después de considerar los diversos resultados de la prueba, encontrar un conjunto de los únicos casos posibles, igualmente posibles e inconsistentes, para calcular su número total n, el número de casos m, favorables a este evento, y luego realizar el cálculo de acuerdo con la fórmula anterior.

La probabilidad de un evento, igual a la razón entre el número de resultados favorables del evento de la experiencia y el número total de resultados de la experiencia se llama probabilidad clásica evento aleatorio.

Las siguientes propiedades de la probabilidad se derivan de la definición:

Propiedad 1. La probabilidad de cierto evento es igual a uno.

Propiedad 2. La probabilidad de un evento imposible es cero.

Propiedad 3. La probabilidad de un evento aleatorio es un número positivo entre cero y uno.

Propiedad 4. La probabilidad de que ocurran eventos que formen un grupo completo es igual a uno.

Propiedad 5. La probabilidad de que ocurra el evento opuesto se determina de la misma manera que la probabilidad de que ocurra el evento A.

La cantidad de veces que ocurre el evento opuesto. Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra el evento opuesto es igual a la diferencia entre la unidad y la probabilidad de que ocurra el evento A:

Una ventaja importante de la definición clásica de probabilidad de un evento es que con su ayuda se puede determinar la probabilidad de un evento sin recurrir a la experiencia, sino partiendo del razonamiento lógico.

Cuando se cumplen una serie de condiciones, seguramente sucederá un evento confiable, y lo imposible no necesariamente sucederá. Entre los eventos que, al crear un complejo de condiciones, pueden ocurrir o no, se puede contar con la aparición de algunos con más razón, con la aparición de otros con menos razón. Si, por ejemplo, hay más bolas blancas en una urna que negras, entonces hay más razones para esperar la aparición de una bola blanca cuando se saca de la urna al azar que la aparición de una bola negra.

Se examina la página siguiente.

Un ejemplo de solución del problema.

Ejemplo 1

La caja contiene 8 bolas blancas, 4 negras y 7 rojas. Se extraen 3 bolas al azar. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos: - se extrae al menos 1 bola roja, - hay al menos 2 bolas del mismo color, - hay al menos 1 bola roja y 1 blanca.

La solucion del problema

Encontramos el número total de resultados de prueba como el número de combinaciones de 19 (8 + 4 + 7) elementos de 3:

Encuentra la probabilidad de un evento- eliminado al menos 1 bola roja (1,2 o 3 bolas rojas)

Buscando probabilidad:

Deja que el evento- hay al menos 2 bolas del mismo color (2 o 3 bolas blancas, 2 o 3 bolas negras y 2 o 3 bolas rojas)

Número de resultados favorables al evento:

Buscando probabilidad:

Deja que el evento- hay al menos una bola roja y una blanca

(1 rojo, 1 blanco, 1 negro o 1 rojo, 2 blancos o 2 rojos, 1 blanco)

Número de resultados favorables al evento:

Buscando probabilidad:

Respuesta: P (A) = 0,773; P (C) = 0,7688; P (D) = 0,6068

Ejemplo 2

Se lanzan dos dados. Encuentre la probabilidad de que la suma de los puntos sea al menos 5.

Solución

Sea el evento la suma de puntos no menos de 5

Usemos la definición clásica de probabilidad:

Número total de posibles resultados del ensayo

El número de juicios favorables al evento de interés.

Un punto, dos puntos ..., pueden aparecer seis puntos en el borde tirado del primer dado. Asimismo, son posibles seis resultados en la segunda tirada del dado. Cada uno de los resultados de lanzar el primer dado se puede combinar con cada uno de los resultados del segundo. Por lo tanto, el número total de posibles resultados de pruebas elementales es igual al número de ubicaciones con repeticiones (elección con ubicaciones de 2 elementos de un conjunto de 6):

Encuentre la probabilidad del evento opuesto: la suma de los puntos es menor que 5

Las siguientes combinaciones de puntos perdidos favorecerán el evento:

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Originalmente solo una colección de información y observaciones empíricas de dados, la teoría de la probabilidad se ha convertido en una ciencia sólida. Los primeros en darle un marco matemático fueron Fermat y Pascal.

De pensar en lo eterno a la teoría de la probabilidad

Dos personas a quienes la teoría de la probabilidad debe muchas de sus fórmulas fundamentales, Blaise Pascal y Thomas Bayes, son conocidas como personas profundamente religiosas, siendo este último un sacerdote presbiteriano. Al parecer, el deseo de estos dos científicos de probar la falacia de la opinión sobre una determinada fortuna, otorgando buena suerte a sus mascotas, dio impulso a la investigación en esta área. De hecho, de hecho, cualquier juego de apuestas con sus ganancias y pérdidas es solo una sinfonía de principios matemáticos.

Gracias a la emoción del caballero de Mere, que era a la vez un jugador y una persona que no era indiferente a la ciencia, Pascal se vio obligado a buscar la forma de calcular la probabilidad. De Mere estaba interesado en la siguiente pregunta: "¿Cuántas veces necesitas lanzar dos dados en pares para que la probabilidad de obtener 12 puntos supere el 50%?" La segunda pregunta, que fue de gran interés para el señor: "¿Cómo repartir la apuesta entre los participantes en la partida inconclusa?" Por supuesto, Pascal respondió con éxito a ambas preguntas de Mere, quien se convirtió involuntariamente en el pionero del desarrollo de la teoría de la probabilidad. Es interesante que la persona de Mere siguiera siendo conocida en este campo, y no en la literatura.

Anteriormente, ningún matemático había intentado calcular las probabilidades de eventos, ya que se creía que esto era solo una solución de adivinanzas. Blaise Pascal dio la primera definición de la probabilidad de un evento y mostró que se trata de una cifra específica que puede fundamentarse matemáticamente. La teoría de la probabilidad se ha convertido en la base de la estadística y se utiliza ampliamente en la ciencia moderna.

¿Qué es la aleatoriedad?

Si consideramos una prueba que se puede repetir un número infinito de veces, entonces podemos definir un evento aleatorio. Este es uno de los resultados probables de la experiencia.

La experiencia es la implementación de acciones concretas en condiciones constantes.

Para poder trabajar con los resultados del experimento, los eventos se suelen designar con las letras A, B, C, D, E ...

La probabilidad de un evento aleatorio

Para poder iniciar la parte matemática de la probabilidad, es necesario dar definiciones a todos sus componentes.

La probabilidad de un evento es una medida numérica de la probabilidad de que un evento (A o B) ocurra como resultado de la experiencia. La probabilidad se denota como P (A) o P (B).

En la teoría de la probabilidad se distinguen los siguientes:

• de confianza se garantiza que el evento ocurrirá como resultado del experimento P (Ω) = 1;
• imposible el evento nunca puede suceder Р (Ø) = 0;
• accidental un evento se encuentra entre cierto e imposible, es decir, la probabilidad de que ocurra es posible, pero no garantizada (la probabilidad de un evento aleatorio siempre está dentro del rango de 0≤P (A) ≤ 1).

Relaciones entre eventos

Considere tanto uno como la suma de los eventos A + B, cuando el evento se cuenta cuando ocurre al menos uno de los componentes, A o B, o A y B.

En relación entre sí, los eventos pueden ser:

• Igualmente posible.
• Compatible.
• Incompatible.
• Opuesto (mutuamente excluyentes).
• Fanático.

Si dos eventos pueden ocurrir con la misma probabilidad, entonces igualmente posible.

Si la ocurrencia del evento A no anula la probabilidad de ocurrencia del evento B, entonces compatible.

Si los eventos A y B nunca ocurren simultáneamente en la misma experiencia, entonces se denominan incompatible... Lanzar una moneda es un buen ejemplo: las cruces automáticamente no son caras.

La probabilidad de la suma de tales eventos incompatibles consiste en la suma de las probabilidades de cada uno de los eventos:

P (A + B) = P (A) + P (B)

Si el inicio de un evento hace imposible el inicio de otro, entonces se denominan opuestos. Luego, uno de ellos se designa como A, y el otro - Ā (se lee como "no A"). La ocurrencia del evento A significa que Ā no sucedió. Estos dos eventos forman un grupo completo con la suma de probabilidades igual a 1.

Los eventos dependientes tienen una influencia mutua, disminuyendo o aumentando la probabilidad de que se produzcan entre sí.

Relaciones entre eventos. Ejemplos de

Usando ejemplos, es mucho más fácil comprender los principios de la teoría de probabilidad y combinación de eventos.

El experimento que se realizará consiste en sacar las bolas de la caja, y el resultado de cada experimento es un resultado elemental.

Un evento es uno de los posibles resultados de un experimento: una bola roja, una bola azul, la bola número seis, etc.

Prueba No. 1. Participan 6 bolas, tres de las cuales son de color azul con números impares y otras tres son rojas con números pares.

Prueba número 2. Participan 6 bolas de color azul con números del uno al seis.

Según este ejemplo, puede nombrar combinaciones:

• Un evento creíble. En isp. No. 2, el evento “conseguir la bola azul” es confiable, ya que la probabilidad de que ocurra es 1, ya que todas las bolas son azules y no puede fallar. Mientras que el evento "conseguir la pelota con el número 1" es aleatorio.
• Evento imposible. En isp. №1 con bolas azules y rojas, el evento "conseguir la bola violeta" es imposible, ya que la probabilidad de que ocurra es igual a 0.
• Eventos igualmente posibles. En isp. El número 1 de los eventos "obtener la pelota con el número 2" y "obtener la pelota con el número 3" son igualmente posibles, y los eventos "obtener la pelota con un número par" y "obtener la pelota con el número 2". "tienen diferentes probabilidades.
• Eventos compatibles. Obtener seis seguidos dos veces seguidas son eventos compatibles.
• Eventos incompatibles. En el mismo isp. No. 1, los eventos "obtener una bola roja" y "obtener una bola con un número impar" no se pueden combinar en el mismo experimento.
• Eventos opuestos. El ejemplo más sorprendente de esto es un lanzamiento de moneda en el que sacar cara equivale a no sacar cruz, y la suma de sus probabilidades es siempre 1 (grupo completo).
• Eventos dependientes... Entonces, en isp. # 1, puede establecer un objetivo para extraer la bola roja dos veces seguidas. Se recupera o no se recupera la primera vez que afecta la probabilidad de recuperarlo por segunda vez.

Se puede observar que el primer evento afecta significativamente la probabilidad del segundo (40% y 60%).

Fórmula de probabilidad de eventos

La transición de los pensamientos de adivinación a los datos precisos se produce al traducir el tema a un plano matemático. Es decir, los juicios sobre un evento aleatorio como "alta probabilidad" o "probabilidad mínima" se pueden traducir a datos numéricos específicos. Dicho material ya está permitido para evaluar, comparar y realizar cálculos más complejos.

Desde el punto de vista del cálculo, la definición de la probabilidad de un evento es la relación entre el número de resultados positivos elementales y el número de todos los resultados posibles de la experiencia con respecto a un evento en particular. La probabilidad se denota mediante P (A), donde P significa la palabra "probabilite", que se traduce del francés como "probabilidad".

Entonces, la fórmula para la probabilidad de un evento:

Donde m es el número de resultados favorables para el evento A, n es la suma de todos los resultados posibles para esta experiencia. En este caso, la probabilidad de un evento siempre se encuentra entre 0 y 1:

0 ≤ P (A) ≤ 1.

Cálculo de la probabilidad de un evento. Ejemplo

Tomemos el español. Bola # 1 como se describió anteriormente: 3 bolas azules con números 1/3/5 y 3 bolas rojas con números 2/4/6.

Se pueden considerar varias tareas diferentes en función de esta prueba:

• A - bola roja que se cae. Hay 3 bolas rojas y hay 6 opciones en total Este es el ejemplo más simple, en el que la probabilidad de un evento es P (A) = 3/6 = 0.5.
• B - un número par abandonó. Hay 3 (2,4,6) números pares en total, y el número total de posibles opciones numéricas es 6. La probabilidad de este evento es P (B) = 3/6 = 0,5.
• C - saliendo de un número mayor que 2. Hay 4 opciones de este tipo (3,4,5,6) del número total de resultados posibles 6. La probabilidad del evento C es P (C) = 4/6 = 0,67.

Como se puede ver en los cálculos, el evento C tiene una alta probabilidad, ya que el número de resultados positivos probables es mayor que en A y B.

Eventos incompatibles

Tales eventos no pueden aparecer simultáneamente en la misma experiencia. Como en isp. No. 1 es imposible conseguir la bola azul y roja al mismo tiempo. Es decir, puede obtener una bola azul o roja. Del mismo modo, un número par y un número impar no pueden aparecer en un dado al mismo tiempo.

La probabilidad de dos eventos se considera como la probabilidad de su suma o producto. La suma de dichos eventos A + B se considera un evento que consiste en la aparición de un evento A o B, y su producto AB está en la aparición de ambos. Por ejemplo, la aparición de dos seises a la vez en los bordes de dos dados en una tirada.

La suma de varios eventos es un evento que presupone la ocurrencia de al menos uno de ellos. La producción de varios eventos es la aparición conjunta de todos ellos.

En la teoría de la probabilidad, como regla, el uso de la unión "y" denota la suma, la unión "o" - la multiplicación. Las fórmulas con ejemplos te ayudarán a comprender la lógica de la suma y la multiplicación en la teoría de la probabilidad.

La probabilidad de la suma de eventos inconsistentes.

Si se considera la probabilidad de eventos inconsistentes, entonces la probabilidad de la suma de eventos es igual a la suma de sus probabilidades:

P (A + B) = P (A) + P (B)

Por ejemplo: calculemos la probabilidad de que en isp. El número 1 con bolas azules y rojas arrojará un número entre 1 y 4. Calculemos no en una acción, sino la suma de las probabilidades de los componentes elementales. Entonces, en una experiencia de este tipo, solo hay 6 bolas o 6 de todos los resultados posibles. Los números que satisfacen la condición son 2 y 3. La probabilidad de obtener el número 2 es 1/6, la probabilidad del número 3 también es 1/6. La probabilidad de que se elimine un número entre 1 y 4 es:

La probabilidad de la suma de eventos incompatibles del grupo completo es 1.

Entonces, si, en el experimento con un cubo, sumas las probabilidades de caer de todos los números, entonces el resultado será uno.

Esto también es cierto para eventos opuestos, por ejemplo, en la experiencia con una moneda, donde un lado es el evento A y el otro es el evento opuesto Ā, como sabes,

P (A) + P (Ā) = 1

La probabilidad de producir eventos inconsistentes.

La multiplicación de probabilidades se usa cuando se considera la aparición de dos o más eventos incompatibles en una observación. La probabilidad de que los eventos A y B aparezcan en él simultáneamente es igual al producto de sus probabilidades, o:

P (A * B) = P (A) * P (B)

Por ejemplo, la probabilidad de que en isp. №1 como resultado de dos intentos, una bola azul aparecerá dos veces, igual a

Es decir, la probabilidad de que ocurra un evento cuando, como resultado de dos intentos con la extracción de bolas, solo se extraerán bolas azules, es igual al 25%. Es muy fácil hacer experimentos prácticos en esta tarea y ver si este es realmente el caso.

Eventos conjuntos

Los eventos se consideran conjuntos cuando la aparición de uno de ellos puede coincidir con la aparición de otro. Aunque son conjuntos, se considera la probabilidad de eventos independientes. Por ejemplo, lanzar dos dados puede dar un resultado cuando ambos obtienen el número 6. Aunque los eventos coincidieron y aparecieron simultáneamente, son independientes entre sí: solo un seis podría caer, el segundo dado no tiene ningún efecto sobre él.

La probabilidad de eventos conjuntos se considera como la probabilidad de su suma.

La probabilidad de la suma de eventos conjuntos. Ejemplo

La probabilidad de la suma de los eventos A y B, que son conjuntos entre sí, es igual a la suma de las probabilidades del evento menos la probabilidad de su producto (es decir, su implementación conjunta):

Articulación R (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB)

Digamos que la probabilidad de dar en el blanco con un solo disparo es de 0,4. Luego, el evento A - golpear al objetivo en el primer intento, B - en el segundo. Estos eventos son conjuntos, ya que es posible que sea posible dar en el blanco tanto en el primer como en el segundo disparo. Pero los eventos no son dependientes. ¿Cuál es la probabilidad de que un objetivo golpee con dos disparos (al menos uno)? Según la fórmula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

La respuesta a la pregunta es: "La probabilidad de dar en el blanco con dos disparos es del 64%".

Esta fórmula para la probabilidad de un evento también se puede aplicar a eventos inconsistentes, donde la probabilidad de la ocurrencia conjunta de un evento P (AB) = 0. Esto significa que la probabilidad de la suma de eventos inconsistentes puede considerarse un caso especial. de la fórmula propuesta.

Geometría de probabilidad para mayor claridad.

Curiosamente, la probabilidad de la suma de eventos conjuntos se puede representar en forma de dos regiones A y B, que se cruzan entre sí. Como puede ver en la imagen, el área de su unión es igual al área total menos el área de su intersección. Estas explicaciones geométricas hacen que la fórmula, ilógica a primera vista, sea más clara. Tenga en cuenta que las soluciones geométricas no son infrecuentes en la teoría de la probabilidad.

Determinar la probabilidad de la suma de un conjunto (más de dos) de eventos conjuntos es bastante engorroso. Para calcularlo, debe utilizar las fórmulas que se proporcionan para estos casos.

Eventos dependientes

Los eventos dependientes se denominan si la ocurrencia de uno (A) de ellos afecta la probabilidad de que ocurra otro (B). Además, se tiene en cuenta la influencia tanto de la aparición del evento A como de su no aparición. Aunque los eventos se denominan dependientes por definición, solo uno de ellos es dependiente (B). La probabilidad habitual se denotó como P (B) o la probabilidad de eventos independientes. En el caso de dependiente, se introduce un nuevo concepto: la probabilidad condicional P A (B), que es la probabilidad del evento dependiente B bajo la condición del evento A (hipótesis), del cual depende.

Pero el evento A también es accidental, por lo tanto, también tiene una probabilidad que debe y puede tenerse en cuenta en los cálculos. El siguiente ejemplo mostrará cómo trabajar con eventos e hipótesis dependientes.

Un ejemplo de cálculo de la probabilidad de eventos dependientes

Un buen ejemplo de cálculo de eventos dependientes es una baraja de cartas estándar.

Usando una baraja de 36 cartas como ejemplo, considere los eventos dependientes. Es necesario determinar la probabilidad de que la segunda carta extraída del mazo sea de diamantes, si se extrae la primera carta:

1. Diamantes
2. Otro traje.

Obviamente, la probabilidad del segundo evento B depende del primero A. Entonces, si la primera opción es verdadera, que hay 1 carta (35) en la baraja y 1 pandereta (8) menos, la probabilidad del evento B:

P A (B) = 8/35 = 0,23

Si la segunda opción es verdadera, entonces hay 35 cartas en la baraja y aún se conserva el número completo de panderetas (9), entonces la probabilidad del siguiente evento B:

PA (B) = 9/35 = 0,26.

Puede verse que si se acuerda el evento A que la primera carta es una pandereta, entonces la probabilidad del evento B disminuye, y viceversa.

Multiplicación de eventos dependientes

Guiados por el capítulo anterior, tomamos el primer evento (A) como un hecho, pero en esencia, es aleatorio. La probabilidad de este evento, es decir, la extracción de una pandereta de una baraja de cartas, es igual a:

P (A) = 9/36 = 1/4

Dado que la teoría no existe por sí misma, sino que está destinada a fines prácticos, es justo decir que la probabilidad de producir eventos dependientes se necesita con mayor frecuencia.

De acuerdo con el teorema sobre el producto de probabilidades de eventos dependientes, la probabilidad de ocurrencia de eventos dependientes conjuntamente A y B es igual a la probabilidad de un evento A, multiplicada por la probabilidad condicional del evento B (dependiente de A):

P (AB) = P (A) * P A (B)

Entonces, en el ejemplo con una baraja, la probabilidad de sacar dos cartas con un palo de pandereta es:

9/36 * 8/35 = 0,0571 o 5,7%

Y la probabilidad de extraer primero no panderetas, y luego panderetas, es igual a:

27/36 * 9/35 = 0,19 o 19%

Se puede ver que la probabilidad de que ocurra el evento B es mayor, siempre que se saque primero la carta del palo que no sea la pandereta. Este resultado es bastante lógico y comprensible.

Probabilidad total del evento

Cuando un problema con probabilidades condicionales se vuelve multifacético, no se puede calcular con métodos convencionales. Cuando hay más de dos hipótesis, a saber, A1, A2, ..., And n, .. forma un grupo completo de eventos bajo la condición:

• P (A i)> 0, i = 1,2, ...
• Una yo ∩ UNA j = Ø, yo ≠ j.
• Σ k A k = Ω.

Entonces, la fórmula para la probabilidad total del evento B con un grupo completo de eventos aleatorios A1, A2, ..., Yn es igual a:

Una mirada al futuro

La probabilidad de un evento aleatorio es extremadamente necesaria en muchas áreas de la ciencia: econometría, estadística, física, etc. Dado que algunos procesos no pueden describirse de manera determinista, dado que ellos mismos tienen una naturaleza probabilística, se necesitan métodos especiales de trabajo. La teoría de la probabilidad se puede utilizar en cualquier campo tecnológico como una forma de determinar la posibilidad de error o mal funcionamiento.

Podemos decir que, reconociendo la probabilidad, de alguna manera damos un paso teórico hacia el futuro, mirándolo a través del prisma de fórmulas.

CapítuloI... EVENTOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD

1.1. Regularidad y aleatoriedad, variabilidad aleatoria en las ciencias exactas, en biología y medicina

La teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia patrones en fenómenos aleatorios. Un fenómeno aleatorio es un fenómeno que, con la reproducción repetida de la misma experiencia, puede proceder de manera algo diferente cada vez.

Evidentemente, no existe un único fenómeno en la naturaleza en el que los elementos de la aleatoriedad no estén presentes en un grado u otro, pero en diferentes situaciones los tomamos en cuenta de diferentes maneras. Entonces, en una serie de problemas prácticos, se pueden descuidar y en lugar de un fenómeno real, se puede considerar su esquema simplificado - "modelo", asumiendo que bajo las condiciones dadas de la experiencia el fenómeno procede de una manera bastante definida. Al mismo tiempo, se destacan los factores más importantes y decisivos que caracterizan el fenómeno. Es este esquema de estudio de fenómenos el que se usa con mayor frecuencia en física, tecnología, mecánica; así es como sale a la luz el patrón básico , característica de este fenómeno y que permite predecir el resultado del experimento según las condiciones iniciales dadas. Y la influencia de factores aleatorios, secundarios, en el resultado del experimento se tiene en cuenta aquí mediante errores de medición aleatorios (consideraremos el método para calcularlos a continuación).

Sin embargo, el esquema clásico descrito de las llamadas ciencias exactas no es adecuado para resolver muchos problemas en los que numerosos factores aleatorios estrechamente entrelazados desempeñan un papel notable (a menudo decisivo). Aquí pasa a primer plano la naturaleza aleatoria del fenómeno, que ya no puede pasarse por alto. Este fenómeno debe ser estudiado precisamente desde el punto de vista de las leyes inherentes a él como un fenómeno aleatorio. En física, ejemplos de tales fenómenos son el movimiento browniano, la desintegración radiactiva, varios procesos de mecánica cuántica, etc.

El objeto de estudio de los biólogos y médicos es un organismo vivo, cuyo origen, desarrollo y existencia está determinado por muchos y variados factores externos e internos, a menudo aleatorios. Es por eso que los fenómenos y eventos del mundo viviente también son, en muchos sentidos, de naturaleza accidental.

Los elementos de incertidumbre, complejidad y multicausalidad inherentes a los fenómenos aleatorios requieren la creación de métodos matemáticos especiales para estudiar estos fenómenos. El desarrollo de tales métodos, el establecimiento de patrones específicos inherentes a los fenómenos aleatorios, son las principales tareas de la teoría de la probabilidad. Es característico que estos patrones se cumplan solo cuando los fenómenos aleatorios son masivos. Además, las características individuales de los casos individuales parecen suprimirse mutuamente, y el resultado medio de una masa de fenómenos aleatorios resulta que ya no es aleatorio, sino bastante natural. . En gran medida, esta circunstancia fue la razón del uso generalizado de métodos de investigación probabilística en biología y medicina.

Consideremos los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.

1.2. La probabilidad de un evento aleatorio

Cada ciencia que desarrolla una teoría general de cualquier rango de fenómenos se basa en una serie de conceptos básicos. Por ejemplo, en geometría, estos son los conceptos de un punto, una línea recta; en mecánica - los conceptos de fuerza, masa, velocidad, etc. Existen conceptos básicos en la teoría de la probabilidad, uno de ellos es un evento aleatorio.

Un evento aleatorio es cualquier fenómeno (hecho) que, como resultado de la experiencia (prueba), puede ocurrir o no.

Los eventos aleatorios se indican con letras A B C... y así sucesivamente. A continuación, se muestran algunos ejemplos de eventos aleatorios:

PERO–La caída del águila (escudo de armas) cuando se lanza una moneda estándar;

EN- el nacimiento de una niña en esta familia;

CON- el nacimiento de un niño con un peso corporal predeterminado;

D- la aparición de una enfermedad epidémica en una región determinada en un período de tiempo determinado, etc.

La principal característica cuantitativa de un evento aleatorio es su probabilidad. Permitir PERO- algún evento aleatorio. La probabilidad de un evento aleatorio A es una cantidad matemática que determina la probabilidad de que ocurra. Se denota R(PERO).

Considere dos métodos principales para determinar este valor.

La definición clásica de la probabilidad de un evento aleatorio. generalmente se basa en los resultados del análisis de experimentos especulativos (pruebas), cuya esencia está determinada por la condición de la tarea. En este caso, la probabilidad de un evento aleatorio P (A) es igual a:

donde metro- el número de casos favorables para la ocurrencia del evento PERO; norte- el número total de casos igualmente posibles.

Ejemplo 1. Se coloca una rata de laboratorio en un laberinto en el que solo una de las cuatro posibles vías conduce a recompensas alimentarias. Determina la probabilidad de que la rata siga este camino.

Solución: por la condición del problema, de cuatro casos igualmente posibles ( norte= 4) evento PERO(la rata encuentra comida)
solo uno favorece, es decir metro= 1 Entonces R(PERO) = R(la rata encuentra comida) = = 0,25 = 25%.

Ejemplo 2. Hay 20 bolas negras y 80 blancas en la urna. Se saca una bola al azar. Determina la probabilidad de que esta bola sea negra.

Solución: el número de todas las bolas en la urna es el número total de casos igualmente posibles norte, es decir. norte = 20 + 80 = 100, de los cuales evento PERO(quitar la bola negra) solo es posible en 20, es decir, metro= 20. Entonces R(PERO) = R(alto peso) = = 0,2 = 20%.

Enumeremos las propiedades de la probabilidad siguiendo su definición clásica - fórmula (1):

1. La probabilidad de un evento aleatorio es una cantidad adimensional.

2. La probabilidad de un evento aleatorio es siempre positiva y menor que uno, es decir, 0< PAG (A) < 1.

3. La probabilidad de un evento confiable, es decir, un evento que necesariamente ocurrirá como resultado del experimento ( metro = norte) es igual a uno.

4. La probabilidad de un evento imposible ( metro= 0) es igual a cero.

5. La probabilidad de cualquier evento no es negativa y no excede de uno:
0 £ PAG (A) £ 1.

Determinación estadística de la probabilidad de un evento aleatorio. se utiliza cuando es imposible utilizar la definición clásica (1). Este es a menudo el caso de la biología y la medicina. En este caso, la probabilidad R(PERO) se determina resumiendo los resultados de una serie de pruebas (experimentos) realmente realizadas.

Introduzcamos el concepto de frecuencia relativa de ocurrencia de un evento aleatorio. Sea una serie que consista en norte experimentos (número norte se puede seleccionar de antemano); evento de interés para nosotros PERO sucedió en METRO de ellos ( METRO < norte). La razón del número de experimentos. METRO en el que ocurrió este evento, al número total de experimentos norte llamado la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento aleatorio PERO en esta serie de experimentos - R* (PERO)

R *(PERO) = .

Se ha establecido experimentalmente que si se realizan una serie de pruebas (experimentos) en las mismas condiciones y en cada una de ellas el número norte es lo suficientemente grande, entonces la frecuencia relativa exhibe la propiedad de estabilidad : de serie en serie cambia poco , acercándose con un aumento en el número de experimentos a un cierto valor constante . Se toma para la probabilidad estadística de un evento aleatorio. PERO:

R(PERO)= lim, para norte , (2)

Entonces, la probabilidad estadística R(PERO) evento aleatorio PERO Se llama el límite al que tiende la frecuencia relativa de ocurrencia de este evento con un aumento ilimitado en el número de pruebas (con norte → ∞).

La probabilidad estadística aproximada de un evento aleatorio es igual a la frecuencia relativa de ocurrencia de este evento con un gran número de pruebas:

R(PERO)≈ P *(PERO)= (para grandes norte) (3)

Por ejemplo, en experimentos sobre el lanzamiento de una moneda, la frecuencia relativa de caída del emblema con 12 000 lanzamientos resultó ser de 0,5016 y con 24 000 lanzamientos, 0,5005. Según la fórmula (1):

PAG(escudo de armas) = ​​= 0.5 = 50%

Ejemplo . Durante un examen médico de 500 personas, se descubrió que 5 de ellas tenían un tumor en los pulmones (o. L.). Determine la frecuencia relativa y la probabilidad de esta enfermedad.

Solución: por la condición del problema METRO = 5, norte= 500, frecuencia relativa R* (o. l.) = METRO/norte= 5/500 = 0,01; porque el norte es lo suficientemente grande, se puede suponer con buena precisión que la probabilidad de la presencia de un tumor en los pulmones es igual a la frecuencia relativa de este evento:

R(o. l.) = R* (o. l.) = 0.01 = 1%.

Las propiedades enumeradas anteriormente de la probabilidad de un evento aleatorio se conservan incluso durante la determinación estadística de esta cantidad.

1.3. Tipos de eventos aleatorios. Teoremas fundamentales de la teoría de la probabilidad

Todos los eventos aleatorios se pueden dividir en:

¾ incompatible;

¾ independiente;

¾ dependiente.

Cada tipo de evento tiene sus propias características y teoremas de la teoría de la probabilidad.

1.3.1. Eventos aleatorios incompatibles. Teorema de la suma de probabilidades

Eventos aleatorios (A, B, C,D...) se llaman inconsistentes , si la ocurrencia de uno de ellos excluye la ocurrencia de otros eventos en el mismo ensayo.

Ejemplo 1 . Lanzamiento de una moneda. Cuando cae, la aparición del "escudo de armas" excluye la aparición de "colas" (inscripción que determina el precio de la moneda). Los hechos "cayó el escudo de armas" y "cayeron las colas" son inconsistentes.

Ejemplo 2 . Lograr que un estudiante en un examen califique "2", o "3", o "4" o "5" son eventos inconsistentes, ya que una de estas calificaciones excluye a la otra en el mismo examen.

Para eventos aleatorios inconsistentes, teorema de la suma: probabilidad de ocurrencia uno, pero aún cuál, de varios eventos incompatibles A1, A2, A3 ... Ak es igual a la suma de sus probabilidades:

P (A1 o A2 ... o Ak) = P (A1) + P (A2) + ... + P (Ak). (4)

Ejemplo 3. Hay 50 bolas en la urna: 20 blancas, 20 negras y 10 rojas. Encuentre la probabilidad de un evento blanco PERO) o una bola roja (evento EN) cuando la bola se saca de la urna al azar.

Solución: P(A o B)= P(PERO)+ P(EN);

R(PERO) = 20/50 = 0,4;

R(EN) = 10/50 = 0,2;

R(PERO o EN)= P(b. w. o k. w.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Ejemplo 4 . Hay 40 niños en la clase. De estos, a la edad de 7 a 7,5 años, 8 varones ( PERO) y 10 niñas ( EN). Calcule la probabilidad de tener hijos de esta edad en el aula.

Solución: P(PERO)= 8/40 = 0,2; R(EN) = 10/40 = 0,25.

P (A o B) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

El siguiente concepto importante es grupo completo de eventos: varios eventos incompatibles forman un grupo completo de eventos si como resultado de cada prueba, solo puede aparecer uno de los eventos de este grupo y ningún otro.

Ejemplo 5 . El tirador disparó un tiro al objetivo. Seguramente ocurrirá uno de los siguientes eventos: llegar al top ten, al nueve, al ocho, ..., al uno, o fallar. Estos 11 eventos inconsistentes forman un grupo completo.

Ejemplo 6 . En el examen universitario, un alumno puede recibir una de las siguientes cuatro notas: 2, 3, 4 o 5. Estos cuatro eventos incompatibles también forman un grupo completo.

Si eventos inconsistentes A1, A2 ... Ak forman un grupo completo, entonces la suma de las probabilidades de estos eventos es siempre igual a uno:

R(A1)+ P(A2)+ ... P(PEROk) = 1, (5)

Esta declaración se usa a menudo para resolver muchos problemas aplicados.

Si dos eventos son los únicos posibles e incompatibles, entonces se denominan opuestos y denotan PERO y . Tales eventos forman un grupo completo, por lo que la suma de sus probabilidades siempre es igual a uno:

R(PERO)+ P() = 1. (6)

Ejemplo 7. Sea R(PERO) - la probabilidad de muerte en una determinada enfermedad; es conocido e igual al 2%. Entonces, la probabilidad de un resultado exitoso en esta enfermedad es del 98% ( R() = 1 – R(PERO) = 0,98), ya que R(PERO) + R() = 1.

1.3.2. Eventos aleatorios independientes. Teorema de la multiplicación de probabilidades

Los eventos aleatorios se denominan independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta de ninguna manera la probabilidad de que ocurran otros eventos.

Ejemplo 1 . Si hay dos o más urnas con bolas de colores, sacar cualquier bola de una urna no afectará de ninguna manera la probabilidad de sacar otras bolas de las urnas restantes.

Para eventos independientes, es cierto teorema de multiplicación de probabilidad: la probabilidad de una articulación(simultáneo)la ocurrencia de varios eventos aleatorios independientes es igual al producto de sus probabilidades:

P (A1 y A2 y A3 ... y Ak) = Р (А1) ∙ Р (А2) ∙ ... ∙ Р (Аk). (7)

La ocurrencia conjunta (simultánea) de eventos significa que los eventos ocurren y A1, y A2, y A3… y PEROk .

Ejemplo 2 . Hay dos urnas. Uno contiene 2 bolas negras y 8 blancas, el otro contiene 6 bolas negras y 4 blancas. Deja que el evento PERO- elegir al azar una bola blanca de la primera urna, EN- desde el segundo. ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar de estas urnas al mismo tiempo usando una bola blanca, es decir, cuál es R (PERO y EN)?

Solución: la probabilidad de obtener la bola blanca de la primera urna
R(PERO) = = 0.8 desde el segundo - R(EN) = = 0,4. La probabilidad de obtener simultáneamente una bola blanca de ambas urnas es
R(PERO y EN) = R(PERO)· R(EN) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Ejemplo 3 Una dieta con bajo contenido de yodo provoca un agrandamiento de la glándula tiroides en el 60% de los animales en una gran población. El experimento requiere 4 glándulas agrandadas. Encuentre la probabilidad de que 4 animales seleccionados al azar tengan una glándula tiroides agrandada.

Solución: Evento aleatorio PERO- elegir al azar un animal con agrandamiento de la glándula tiroides. Según la condición del problema, la probabilidad de este evento es R(PERO) = 0,6 = 60%. Entonces, la probabilidad de la ocurrencia conjunta de cuatro eventos independientes, eligiendo al azar 4 animales con una glándula tiroides agrandada, será igual a:

R(PERO 1 y PERO 2 y PERO 3 y PERO 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. Eventos dependientes. Teorema de multiplicación de probabilidades para eventos dependientes

Los eventos aleatorios A y B se denominan dependientes si la aparición de uno de ellos, por ejemplo, A cambia la probabilidad de que aparezca otro evento: B. Por lo tanto, para eventos dependientes, se utilizan dos valores de probabilidad: probabilidades incondicionales y condicionales .

Si PERO y EN eventos dependientes, entonces la probabilidad de que ocurra el evento EN primero (es decir, antes del evento PERO) se llama incondicional probabilidad este evento y está designado R(EN). La probabilidad de que ocurra un evento EN siempre que el evento PERO ya ha pasado, llamado la probabilidad condicional desarrollos EN y denotado R(EN/PERO) o REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES(EN).

Incondicional tiene un significado similar: R(PERO) y condicional - R(A / B) probabilidades para el evento PERO.

El teorema para multiplicar las probabilidades de dos eventos dependientes: la probabilidad de la ocurrencia simultánea de dos eventos dependientes A y B es igual al producto de la probabilidad incondicional del primer evento por la probabilidad condicional del segundo:

R(A y B)= P(PERO)∙ R(B / A) , (8)

PERO, o

R(A y B)= P(EN)∙ R(A / B), (9)

si el evento es lo primero EN.

Ejemplo 1. Hay 3 bolas negras y 7 bolas blancas en la urna. Encuentre la probabilidad de que de esta urna una tras otra (y la primera bola no regrese a la urna) se saquen 2 bolas blancas.

Solución: la probabilidad de obtener la primera bola blanca (evento PERO) es 7/10. Una vez sacada, quedan 9 bolas en la urna, de las cuales 6 son blancas. Entonces, la probabilidad de la aparición de la segunda bola blanca (evento EN) es igual a R(EN/PERO) = 6/9, y la probabilidad de obtener dos bolas blancas seguidas es

R(PERO y EN) = R(PERO)∙R(EN/PERO) = = 0,47 = 47%.

El teorema anterior de multiplicación de probabilidades para eventos dependientes se puede generalizar a cualquier número de eventos. En particular, para tres eventos relacionados entre sí:

R(PERO y EN y CON)= P(PERO)∙ R(B / A)∙ R(TAXI). (10)

Ejemplo 2. En dos jardines de infancia, cada uno de los cuales atiende a 100 niños, se produjo un brote de una enfermedad infecciosa. La proporción de casos es de 1/5 y 1/4, respectivamente, con un 70% en la primera institución y en la segunda - 60% de los casos - niños menores de 3 años. Se selecciona un niño al azar. Determine la probabilidad de que:

1) el niño seleccionado pertenece al primer jardín de infancia (evento PERO) y enfermo (evento EN).

2) se seleccionó a un niño del segundo jardín de infancia (evento CON), enfermo (evento D) y mayores de 3 años (evento mi).

Solución. 1) la probabilidad deseada -

R(PERO y EN) = R(PERO) ∙ R(EN/PERO) = = 0,1 = 10%.

2) la probabilidad requerida:

R(CON y D y mi) = R(CON) ∙ R(D/C) ∙ R(mi/CD) = = 5%.

1.4. Fórmula de Bayes

Si la probabilidad de ocurrencia conjunta de eventos dependientes PERO y EN no depende del orden en que ocurren, entonces R(PERO y EN)= P(PERO)∙ R(B / A)= P(EN) × R(A / B). En este caso, la probabilidad condicional de uno de los eventos se puede encontrar conociendo las probabilidades de ambos eventos y la probabilidad condicional del segundo:

R(B / A) = (11)

La fórmula de Bayes es una generalización de esta fórmula al caso de muchos eventos.

Permitir " norte»Eventos aleatorios inconsistentes Í1, Í2, ..., Ínorte, forman un grupo completo de eventos. Las probabilidades de estos eventos son: R(H1), R(H2),…, R(Hnorte) son conocidos y como forman un grupo completo, entonces = 1.

Algún evento aleatorio PERO relacionado con eventos Í1, Í2, ..., Ínorte, y se conocen las probabilidades condicionales de ocurrencia del evento PERO con cada uno de los eventos HI, es decir, conocido R(A / H1), R(A / H2),…, R(A / Hnorte). En este caso, la suma de probabilidades condicionales R(A / HI) puede no ser igual a uno, es decir ≠ 1.

Entonces la probabilidad condicional de que ocurra el evento HI cuando se implementa el evento PERO(es decir, siempre que el evento PERO sucedió) está determinada por la fórmula de Bayes :

Además, para estas probabilidades condicionales .

La fórmula de Bayes ha encontrado una amplia aplicación no solo en matemáticas, sino también en medicina. Por ejemplo, se usa para calcular las probabilidades de ciertas enfermedades. Así que si H 1,…, Hnorte- los diagnósticos estimados para un paciente determinado, PERO- algún signo relacionado con ellos (un síntoma, un cierto indicador de un análisis de sangre, análisis de orina, un detalle de una radiografía, etc.) y probabilidades condicionales R(A / HI) manifestaciones de este síntoma con cada diagnóstico HI (I = 1,2,3,…norte) se conocen de antemano, entonces la fórmula de Bayes (12) permite calcular las probabilidades condicionales de enfermedades (diagnósticos) R(HI/PERO) una vez que se ha establecido que el rasgo característico PERO está presente en el paciente.

Ejemplo 1. En el examen inicial del paciente, se asumen 3 diagnósticos H 1, H 2, H 3. Sus probabilidades, según el médico, se distribuyen de la siguiente manera: R(H 1) = 0,5; R(H 2) = 0,17; R(H 3) = 0,33. Por tanto, el primer diagnóstico parece ser el más probable de antemano. Para aclararlo, por ejemplo, se prescribe un análisis de sangre, en el que se espera un aumento de la VSG (evento PERO). Se sabe de antemano (según los resultados de la investigación) que las probabilidades de un aumento de la VSG en caso de sospecha de enfermedades son iguales:

R(PERO/H 1) = 0,1; R(PERO/H 2) = 0,2; R(PERO/H 3) = 0,9.

El análisis resultante registró un aumento en la ESR (evento PERO sucedió). Luego, el cálculo según la fórmula de Bayes (12) da los valores de las probabilidades de las supuestas enfermedades con un valor de VSG aumentado: R(H 1/PERO) = 0,13; R(H 2/PERO) = 0,09;
R(H 3/PERO) = 0,78. Estas cifras muestran que, teniendo en cuenta los datos de laboratorio, el más realista no es el primero, sino el tercer diagnóstico, cuya probabilidad ahora ha resultado ser bastante alta.

El ejemplo dado es la ilustración más simple de cómo se puede utilizar la fórmula bayesiana para formalizar la lógica de un médico a la hora de realizar un diagnóstico y, gracias a ello, crear métodos de diagnóstico informático.

Ejemplo 2. Determine la probabilidad que estima el riesgo de mortalidad perinatal * de un niño en mujeres con pelvis anatómicamente estrecha.

Solución: deja el evento H 1 - parto exitoso. Según informes clínicos, R(H 1) = 0.975 = 97.5%, entonces si H2- el hecho de la mortalidad perinatal, entonces R(H 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Nosotros denotamos PERO- el hecho de que una mujer en trabajo de parto tenga la pelvis estrecha. De los estudios realizados se conocen los siguientes: a) R(PERO/H 1) - la probabilidad de una pelvis estrecha con un parto favorable, R(PERO/H 1) = 0,029, b) R(PERO/H 2) - la probabilidad de una pelvis estrecha con mortalidad perinatal,
R(PERO/H 2) = 0,051. Luego, la probabilidad buscada de mortalidad perinatal con pelvis estrecha en una mujer en trabajo de parto se calcula utilizando la fórmula de Bayes (12) y es igual a:

Por tanto, el riesgo de mortalidad perinatal en la pelvis anatómicamente estrecha es significativamente mayor (casi el doble) que el riesgo medio (4,4% frente a 2,5%).

Dichos cálculos, generalmente realizados con la ayuda de una computadora, son la base de los métodos de formación de grupos de pacientes con mayor riesgo asociado con la presencia de uno u otro factor agravante.

La fórmula de Bayes es muy útil para evaluar muchas otras situaciones biomédicas, que se harán evidentes al resolver los problemas presentados en el manual.

1.5. En eventos aleatorios con probabilidades cercanas a 0 o 1

Al resolver muchos problemas prácticos, uno tiene que lidiar con eventos, cuya probabilidad es muy pequeña, es decir, cercana a cero. Sobre la base de la experiencia con tales eventos, se ha adoptado el siguiente principio. Si un evento aleatorio tiene una probabilidad muy baja, entonces en la práctica se puede suponer que no ocurrirá en una sola prueba, en otras palabras, se puede descuidar la posibilidad de que ocurra. La respuesta a la pregunta de cuán pequeña debería ser esta probabilidad está determinada por la esencia de los problemas que se están resolviendo, por lo importante que es el resultado de la predicción para nosotros. Por ejemplo, si la probabilidad de que el paracaídas no se abra durante el salto es de 0.01, entonces el uso de tales paracaídas es inaceptable. Sin embargo, la probabilidad de que un tren de larga distancia llegue tarde, igual al mismo 0,01, nos hace casi seguros de que llegará a tiempo.

Una probabilidad suficientemente pequeña en la que (en un problema específico dado) un evento puede considerarse prácticamente imposible se llama nivel de significancia. En la práctica, el nivel de significancia generalmente se toma igual a 0.01 (nivel de significancia del uno por ciento) o 0.05 (nivel de significancia del cinco por ciento), y con mucha menos frecuencia se toma igual a 0.001.

La introducción del nivel de significancia nos permite afirmar que si algún evento PERO casi imposible, entonces el evento opuesto - Prácticamente confiable, es decir, para él. R() » 1.

CapítuloII... VALORES ALEATORIOS

2.1. Variables aleatorias, sus tipos

En matemáticas, una cantidad es un nombre general para varias características cuantitativas de objetos y fenómenos. Longitud, área, temperatura, presión, etc. son ejemplos de diferentes cantidades.

La cantidad que toma diferente valores numéricos bajo la influencia de circunstancias aleatorias, llamada variable aleatoria... Ejemplos de variables aleatorias: número de pacientes en una cita con el médico; las dimensiones exactas de los órganos internos de las personas, etc.

Distinguir entre variables aleatorias discretas y continuas .

Una variable aleatoria se llama discreta si solo toma ciertos valores, separados entre sí, que se pueden establecer y enumerar.

Ejemplos de variables aleatorias discretas son:

- el número de alumnos en el aula - solo puede ser un número entero positivo: 0,1,2,3,4… .. 20… ..;

- el número que aparece en el borde superior cuando se lanza el dado - solo puede tomar valores enteros del 1 al 6;

- frecuencia relativa de dar en el blanco con 10 disparos - sus valores: 0; 0,1; 0,2; 0,3 ... 1

- el número de eventos que ocurren en los mismos intervalos de tiempo: frecuencia cardíaca, número de llamadas de ambulancia por hora, número de operaciones por mes con desenlace fatal, etc.

Una variable aleatoria se llama continua si puede tomar cualquier valor dentro de un cierto intervalo, que a veces tiene límites claramente definidos y otras no.*. Las variables aleatorias continuas incluyen, por ejemplo, el peso corporal y la altura de los adultos, el peso corporal y el volumen cerebral, el contenido cuantitativo de enzimas en personas sanas, el tamaño de las células sanguíneas, R H sangre, etc.

El concepto de variable aleatoria juega un papel decisivo en la teoría de la probabilidad moderna, que ha desarrollado técnicas especiales para la transición de eventos aleatorios a variables aleatorias.

Si una variable aleatoria depende del tiempo, entonces podemos hablar de un proceso aleatorio.

2.2. Ley de distribución de una variable aleatoria discreta

Para dar una descripción completa de una variable aleatoria discreta, es necesario indicar todos sus valores posibles y sus probabilidades.

La correspondencia entre los posibles valores de una variable aleatoria discreta y sus probabilidades se denomina ley de distribución de esta cantidad.

Denotamos los posibles valores de la variable aleatoria NS al otro lado de NSI, y las probabilidades correspondientes, a través de RI *. Entonces, la ley de distribución de una variable aleatoria discreta se puede especificar de tres maneras: en forma de tabla, gráfico o fórmula.

En una tabla llamada serie de distribución, enumera todos los valores posibles de una variable aleatoria discreta NS y las probabilidades correspondientes R(NS):

NS

…..

…..

PAG(X)

…..

…..

Además, la suma de todas las probabilidades RI debe ser igual a uno (condición de normalización):

RI = pag1 + pag2 + ... + pn = 1. (13)

Gráficamente la ley está representada por una línea discontinua, que generalmente se denomina polígono de distribución (Fig. 1). Aquí, todos los valores posibles de la variable aleatoria se trazan a lo largo del eje horizontal NSI, , y a lo largo del eje vertical - las probabilidades correspondientes RI

Analíticamente la ley se expresa mediante la fórmula. Por ejemplo, si la probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo es R, entonces la probabilidad de golpear al objetivo 1 vez en norte las inyecciones viene dada por la fórmula R(norte) = norte qn-1 × pag, donde q= 1 - p- la probabilidad de fallar con un disparo.

2.3. La ley de distribución de una variable aleatoria continua. Densidad de distribución de probabilidad

Para las variables aleatorias continuas, es imposible aplicar la ley de distribución en las formas dadas anteriormente, ya que dicha cantidad tiene un conjunto infinito ("incontable") de valores posibles que llenan completamente un cierto intervalo. Por lo tanto, es imposible compilar una tabla en la que se enumeren todos sus valores posibles, o construir un polígono de distribución. Además, la probabilidad de cualquier valor específico es muy pequeña (cercana a 0) *. Al mismo tiempo, diferentes áreas (intervalos) de valores posibles de una variable aleatoria continua no son igualmente probables. Así, en este caso, existe una determinada ley de distribución, aunque no en el mismo sentido.

Considere una variable aleatoria continua NS, cuyos posibles valores llenan completamente un cierto intervalo (pero, B)**. La ley de distribución de probabilidad de tal cantidad debería permitir encontrar la probabilidad de que su valor caiga en cualquier intervalo dado ( x1, x2) acostado adentro ( pero,B), Figura 2.

Esta probabilidad se denota R(x1< Х < х2 ), o
R(x1£ NS£ x2).

Considere primero un rango de valores muy pequeño NS- desde NS antes de ( x +DNS); ver figura 2. Baja probabilidad DR el hecho de que la variable aleatoria NS tomará algún valor del intervalo ( x, x +DNS), será proporcional al valor de este intervalo DNS:DR~ DNS, o introduciendo el coeficiente de proporcionalidad F que a su vez puede depender de NS, obtenemos:

DP =F(NS) × D x =F(X) × dx (14)

La función introducida aquí F(NS) se llama densidad de distribución de probabilidad variable aleatoria NS, o, en resumen, densidad de probabilidad, densidad de distribución... La ecuación (13) es una ecuación diferencial, cuya solución da la probabilidad de acertar la cantidad NS en el intervalo x1,x2):

R(x1<NS<x2) = F(NS) DNS. (15)

Gráficamente la probabilidad R(x1<NS<x2) es igual al área del trapezoide curvilíneo delimitada por el eje de abscisas, la curva F(NS) y líneas rectas X = x1 y X = x2(Fig. 3). Esto se sigue del significado geométrico de la integral definida (15) Curva F(NS) se llama curva de distribución.

De (15) se deduce que si se conoce la función F(NS), luego, cambiando los límites de integración, podemos encontrar la probabilidad para cualquier intervalo que nos interese. Por tanto, es tarea de la función F(NS) determina completamente la ley de distribución para variables aleatorias continuas.

Para la densidad de probabilidad F(NS) la condición de normalización debe cumplirse en la forma:

F(NS) Dx = 1, (16)

si se sabe que todos los valores NS mentir en el intervalo pero,B), o en la forma:

F(NS) Dx = 1, (17)

si los límites del intervalo para valores NS definitivamente vago. Las condiciones para normalizar la densidad de probabilidad (16) o (17) son consecuencia del hecho de que los valores de la variable aleatoria NS mentir confiablemente dentro pero,B) o (- ¥, + ¥). De (16) y (17) se deduce que el área de la figura delimitada por la curva de distribución y el eje de abscisas es siempre igual a 1 .

2.4. Características numéricas básicas de las variables aleatorias

Los resultados presentados en las Secciones 2.2 y 2.3 muestran que se puede obtener una caracterización completa de variables aleatorias discretas y continuas conociendo las leyes de su distribución. Sin embargo, en muchas situaciones prácticamente significativas se utilizan las denominadas características numéricas de variables aleatorias, el propósito principal de estas características es expresar de forma concisa las características más significativas de la distribución de variables aleatorias. Es importante que estos parámetros representen valores específicos (constantes) que pueden estimarse utilizando los datos obtenidos en los experimentos. La estadística descriptiva se ocupa de estas evaluaciones.

Se utilizan muchas características diferentes en la teoría de la probabilidad y la estadística matemática, pero consideraremos solo las más utilizadas. Y solo para algunos de ellos daremos las fórmulas mediante las cuales se calculan sus valores, en otros casos dejaremos los cálculos al ordenador.

Considerar características de la posición - expectativa matemática, moda, mediana.

Caracterizan la posición de una variable aleatoria en el eje numérico. , es decir, indicar algún valor aproximado, alrededor del cual se agrupan todos los valores posibles de la variable aleatoria. Entre ellos, el papel más importante lo juega la expectativa matemática METRO(NS).