Si el límite tiende al número. Límites

Veamos algunos ejemplos ilustrativos.

Sea x una variable numérica, X el área de su cambio. Si cada número x perteneciente a X está asociado a un determinado número y, entonces se dice que se define una función en el conjunto X, y se escribe y = f(x).
El conjunto X en este caso es un plano que consta de dos ejes de coordenadas: 0X y 0Y. Por ejemplo, representemos la función y = x 2. Los ejes 0X y 0Y forman X, el área de su cambio. La figura muestra claramente cómo se comporta la función. En este caso, dicen que la función y = x 2 está definida en el conjunto X.

El conjunto Y de todos los valores parciales de una función se llama conjunto de valores f(x). En otras palabras, el conjunto de valores es el intervalo a lo largo del eje 0Y donde se define la función. La parábola representada muestra claramente que f(x) > 0, porque x2 > 0. Por tanto, el rango de valores será . Observamos muchos valores por 0Y.

El conjunto de todos los x se llama dominio de f(x). Miramos muchas definiciones por 0X y en nuestro caso el rango de valores aceptables es [-; +].

Un punto a (a pertenece a o X) se llama punto límite del conjunto X si en cualquier vecindad del punto a hay puntos del conjunto X diferentes de a.

Ha llegado el momento de entender ¿cuál es el límite de una función?

La b pura a la que tiende la función cuando x tiende al número a se llama límite de la función. Esto está escrito de la siguiente manera:

Por ejemplo, f(x) = x2. Necesitamos averiguar a qué tiende la función (a qué no es igual) en x 2. Primero, escribimos el límite:

Miremos el gráfico.

Dibujemos una línea paralela al eje 0Y que pase por el punto 2 del eje 0X. Intersectará nuestra gráfica en el punto (2;4). Dejemos caer una perpendicular desde este punto al eje 0Y y lleguemos al punto 4. Esto es lo que busca nuestra función en x 2. Si ahora sustituimos el valor 2 en la función f(x), la respuesta será la misma .

Ahora antes de pasar a calculo de limites, introduzcamos definiciones básicas.

Introducido por el matemático francés Augustin Louis Cauchy en el siglo XIX.

Supongamos que la función f(x) está definida en un intervalo determinado que contiene el punto x = A, pero no es en absoluto necesario que se defina el valor de f(A).

Entonces, según la definición de Cauchy, límite de la función f(x) será un cierto número B con x tendiendo a A si para cada C > 0 existe un número D > 0 para el cual

Aquellos. si la función f(x) en x A está limitada por el límite B, esto se escribe en la forma

Límite de secuencia se llama un cierto número A si para cualquier número positivo arbitrariamente pequeño B > 0 hay un número N para el cual todos los valores en el caso n > N satisfacen la desigualdad

Este límite parece .

Una sucesión que tiene límite se llamará convergente; si no, la llamaremos divergente.

Como ya habrás notado, los límites se indican mediante el ícono lim, bajo el cual se escribe alguna condición para la variable y luego se escribe la función misma. Dicho conjunto se leerá como “el límite de una función sujeta a...”. Por ejemplo:

- el límite de la función cuando x tiende a 1.

La expresión “acercarse a 1” significa que x toma sucesivamente valores que se aproximan a 1 infinitamente cercanos.

Ahora queda claro que para calcular este límite basta con sustituir x por el valor 1:

Además de un valor numérico específico, x también puede tender al infinito. Por ejemplo:

La expresión x significa que x aumenta constantemente y se acerca al infinito sin límite. Por lo tanto, sustituyendo infinito en lugar de x, resulta obvio que la función 1-x tenderá a , pero con el signo opuesto:

De este modo, calculo de limites Se reduce a encontrar su valor específico o un área determinada en la que cae la función limitada por el límite.

De lo anterior se deduce que al calcular los límites es importante utilizar varias reglas:

Comprensión esencia del límite y reglas básicas cálculos de límites, obtendrá información clave sobre cómo resolverlos. Si algún límite le causa dificultades, escriba los comentarios y definitivamente lo ayudaremos.

Nota: La jurisprudencia es la ciencia de las leyes que ayuda en conflictos y otras dificultades de la vida.

Al resolver problemas de búsqueda de límites, conviene recordar algunos límites para no volver a calcularlos cada vez. Combinando estos límites conocidos, encontraremos nuevos límites utilizando las propiedades indicadas en el § 4. Por conveniencia, presentamos los límites más frecuentes: Límites 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), si f (x) es continua x a Si se sabe que la función es continua, entonces en lugar de encontrar el límite, calculamos el valor de la función. Ejemplo 1. Encuentre lím (x*-6l:+ 8). Como hay muchos - X->2

la función miembro es continua, entonces lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Ejemplo 2. Encuentre lim -r. . Primero, encontramos el límite del denominador: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; no es igual a X-Y1 cero, lo que significa que podemos aplicar la propiedad 4 § 4, entonces x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. El límite de el denominador X X es igual a cero, por lo tanto, no se puede aplicar la propiedad 4 del § 4. Dado que el numerador es un número constante y el denominador [x2x) -> -0 para x - - 1, entonces toda la fracción aumenta ilimitadamente en valor absoluto, es decir, lim " 1 X - * - - 1 x* + x Ejemplo 4. Encuentre lim\-ll*"!"" "El límite del denominador es cero: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, por lo que la propiedad X 4 § 4 no es aplicable. Pero el límite del numerador también es igual a cero: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Entonces, los límites del numerador y del denominador son simultáneamente iguales a cero. Sin embargo, el número 2 es la raíz tanto del numerador como del denominador, por lo que la fracción se puede reducir por la diferencia x-2 (según el teorema de Bezout). De hecho, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" por lo tanto, xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Ejemplo 5. Encuentre lim xn (n entero, positivo). X con Tenemos xn = X* X . . X, n veces Dado que cada factor crece sin límite, el producto también crece sin límite, es decir, lim xn = oo. x oo Ejemplo 6. Encuentre lim xn(n entero, positivo). X -> - CO Tenemos xn = x x... x. Dado que cada factor crece en valor absoluto sin dejar de ser negativo, entonces, en el caso de un grado par, el producto crecerá ilimitadamente sin dejar de ser positivo, es decir, lim *n = + oo (para n par). *-* -о En el caso de un grado impar, el valor absoluto del producto aumenta, pero sigue siendo negativo, es decir, lim xn = - oo (para n impar). p -- 00 Ejemplo 7. Encuentre lim . x x-*- co * Si m>pu entonces podemos escribir: m = n + kt donde k>0. Por lo tanto xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x -x> A x yu Llegamos al ejemplo 6. Si ti uTL xm I lim lim lim t.X - O x-* yu L X ->co Aquí el numerador permanece constante y el denominador aumenta en valor absoluto, por lo tanto lim -ь = 0. Х-*оо X* Se recomienda recordar el resultado de este ejemplo de la siguiente forma: La función de potencia crece más rápido cuanto mayor es el exponente. $хв_Зхг + 7

Ejemplos

Ejemplo 8. Encuentre lim g L -g-=. En este ejemplo x-*® "J* "G bX -ox-o y el numerador y el denominador aumentan sin límite. Dividamos tanto el numerador como el denominador por la potencia más alta. de x, es decir, en xb, entonces 3 7_ Ejemplo 9. Encuentra lira... Realizando transformaciones, obtenemos lira... ^ = lim X CO + 3 7 3 Dado que lim -5 = 0, lim -, = 0, entonces el límite del denominador rad-*® X X-+-CD X es cero, mientras que el límite del numerador es 1. En consecuencia, toda la fracción aumenta sin límite, es decir, t 7x hm X-+ yu Ejemplo 10. Encuentre lim calcule el denominador límite S, recordando que la función cos* es continua: lira (2 + cos x) = 2 + cosy = 2. Entonces x->- S lim (l-fsin*) Ejemplo 15. Encuentre lim *<*-e>2 y lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO presione (l: - a)2 = z; dado que (Λ;-a)2 siempre crece de forma no negativa y sin límite con x, entonces para x - ±oo la nueva variable z-*oc. Por lo tanto obtenemos qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (ver nota al §5). g -*■ co De manera similar lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, ya que x ± oo g m - (x- a)z disminuye sin límite cuando x ->±oo (ver nota al §

Por lo general, el segundo límite destacable se escribe de esta forma:

\begin(ecuación) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(ecuación)

El número $e$ indicado en el lado derecho de la igualdad (1) es irracional. El valor aproximado de este número es: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Si reemplazamos $t=\frac(1)(x)$, entonces la fórmula (1) se puede reescribir de la siguiente manera:

\begin(ecuación) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(ecuación)

En cuanto al primer límite notable, no importa qué expresión reemplaza a la variable $x$ en la fórmula (1) o en lugar de la variable $t$ en la fórmula (2). Lo principal es cumplir dos condiciones:

1. La base del grado (es decir, la expresión entre paréntesis de las fórmulas (1) y (2)) debe tender a la unidad;
2. El exponente (es decir, $x$ en la fórmula (1) o $\frac(1)(t)$ en la fórmula (2)) debe tender al infinito.

Se dice que el segundo límite notable revela la incertidumbre de $1^\infty$. Tenga en cuenta que en la fórmula (1) no especificamos de qué infinito ($+\infty$ o $-\infty$) estamos hablando. En cualquiera de estos casos, la fórmula (1) es correcta. En la fórmula (2), la variable $t$ puede tender a cero tanto a la izquierda como a la derecha.

Observo que también hay varias consecuencias útiles del segundo límite notable. Los ejemplos del uso del segundo límite notable, así como sus consecuencias, son muy populares entre los compiladores de cálculos y pruebas estándar.

Ejemplo No. 1

Calcula el límite $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

Notemos inmediatamente que la base del grado (es decir, $\frac(3x+1)(3x-5)$) tiende a la unidad:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

En este caso, el exponente (expresión $4x+7$) tiende al infinito, es decir $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

La base del grado tiende a la unidad, el exponente tiende al infinito, es decir estamos lidiando con la incertidumbre $1^\infty$. Apliquemos una fórmula para revelar esta incertidumbre. En la base de la potencia de la fórmula está la expresión $1+\frac(1)(x)$, y en el ejemplo que estamos considerando, la base de la potencia es: $\frac(3x+1)(3x- 5)$. Por lo tanto, la primera acción será un ajuste formal de la expresión $\frac(3x+1)(3x-5)$ a la forma $1+\frac(1)(x)$. Primero, suma y resta uno:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Tenga en cuenta que no puede simplemente agregar una unidad. Si nos vemos obligados a sumar uno, también debemos restarlo para no cambiar el valor de toda la expresión. Para continuar con la solución, tenemos en cuenta que

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

Dado que $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, entonces:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ izquierda(1+\frac(6)(3x-5)\derecha)^(4x+7) $$

Sigamos con el ajuste. En la expresión $1+\frac(1)(x)$ de la fórmula, el numerador de la fracción es 1, y en nuestra expresión $1+\frac(6)(3x-5)$ el numerador es $6$. Para obtener $1$ en el numerador, coloca $6$ en el denominador usando la siguiente conversión:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

De este modo,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

Entonces, la base del título, es decir. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, ajustado a la forma $1+\frac(1)(x)$ requerida en la fórmula. Ahora comencemos a trabajar con el exponente. Observa que en la fórmula las expresiones en los exponentes y en el denominador son iguales:

Esto significa que en nuestro ejemplo, el exponente y el denominador deben tener la misma forma. Para obtener la expresión $\frac(3x-5)(6)$ en el exponente, simplemente multiplicamos el exponente por esta fracción. Naturalmente, para compensar tal multiplicación, tendrás que multiplicar inmediatamente por la fracción recíproca, es decir por $\frac(6)(3x-5)$. Entonces tenemos:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Consideremos por separado el límite de la fracción $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ ubicada en la potencia:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ fracción(4)(3) =8. $$

Respuesta: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

Ejemplo No. 4

Encuentre el límite $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

Dado que para $x>0$ tenemos $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, entonces:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ izquierda(\frac(x+1)(x)\derecha)\derecha) $$

Desarrollando la fracción $\frac(x+1)(x)$ en la suma de fracciones $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ obtenemos:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

Respuesta: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

Ejemplo No. 5

Encuentra el límite $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Dado que $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ y $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, entonces estamos tratando con una incertidumbre de la forma $1^\infty$. Se dan explicaciones detalladas en el ejemplo número 2, pero aquí nos limitaremos a una breve solución. Haciendo el reemplazo $t=x-2$, obtenemos:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(alineado)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(alineado)\right| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Puedes resolver este ejemplo de una manera diferente, usando el reemplazo: $t=\frac(1)(x-2)$. Por supuesto, la respuesta será la misma:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(alineado)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(alineado)\right| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Respuesta: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Ejemplo No. 6

Encuentre el límite $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

Averigüemos a qué tiende la expresión $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ bajo la condición $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Por lo tanto, en un límite dado estamos tratando con una incertidumbre de la forma $1^\infty$, que revelaremos usando el segundo límite destacable:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Respuesta: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

La teoría de los límites es una de las ramas del análisis matemático. La cuestión de la resolución de límites es bastante extensa, ya que existen decenas de métodos para resolver límites de varios tipos. Hay decenas de matices y trucos que te permitirán solucionar tal o cual límite. Sin embargo, intentaremos comprender los principales tipos de límites que se encuentran con mayor frecuencia en la práctica.

Comencemos con el concepto mismo de límite. Pero primero, un breve contexto histórico. En el siglo XIX vivió un francés, Augustin Louis Cauchy, que sentó las bases del análisis matemático y dio definiciones estrictas, en particular la definición de límite. Hay que decir que este mismo Cauchy estuvo, está y estará en las pesadillas de todos los estudiantes de los departamentos de física y matemáticas, ya que demostró una gran cantidad de teoremas de análisis matemático, y cada teorema es más repugnante que el otro. En este sentido, no consideraremos una definición estricta del límite, sino que intentaremos hacer dos cosas:

1. Entender qué es un límite.
2. Aprender a resolver los principales tipos de límites.

Pido disculpas por algunas explicaciones poco científicas, es importante que el material sea comprensible incluso para una tetera, que, de hecho, es tarea del proyecto.

Entonces ¿cuál es el límite?

Y solo un ejemplo de por qué a la abuela peluda....

Cualquier límite consta de tres partes.:

1) El conocido ícono de límite.
2) Entradas bajo el ícono de límite, en este caso . La entrada dice "X tiende a uno". La mayoría de las veces, exactamente, aunque en lugar de "X" en la práctica hay otras variables. En tareas prácticas, el lugar de uno puede ser absolutamente cualquier número, así como el infinito ().
3) Funciones bajo el signo de límite, en este caso .

La grabación en sí. dice así: "el límite de una función cuando x tiende a la unidad".

Veamos la siguiente pregunta importante: ¿qué significa la expresión "x"? se esfuerza a uno"? ¿Y qué significa “esforzarse”?
El concepto de límite es un concepto, por así decirlo, dinámica. Construyamos una secuencia: primero, luego,,…, , ….
Es decir, la expresión “x se esfuerza a uno” debe entenderse de la siguiente manera: “x” toma consistentemente los valores que se acercan infinitamente a la unidad y prácticamente coinciden con ella.

¿Cómo resolver el ejemplo anterior? Con base en lo anterior, solo necesitas sustituir uno en la función debajo del signo de límite:

Entonces, la primera regla: Cuando se nos da un límite, primero simplemente intentamos introducir el número en la función.

Hemos considerado el límite más simple, pero esto también ocurre en la práctica, ¡y no tan raramente!

Ejemplo con infinito:

¿Averigüemos qué es? Este es el caso cuando aumenta sin límite, es decir: primero, luego, luego, luego, y así hasta el infinito.

¿Qué sucede con la función en este momento?
, , , …

Entonces: si , entonces la función tiende a menos infinito:

En términos generales, según nuestra primera regla, en lugar de "X" sustituimos infinito en la función y obtenemos la respuesta.

Otro ejemplo con infinito:

Nuevamente comenzamos a aumentar hasta el infinito y observamos el comportamiento de la función:

Conclusión: cuando la función aumenta sin límite:

Y otra serie de ejemplos:

Intente analizar mentalmente lo siguiente por sí mismo y recuerde los tipos de límites más simples:

, , , , , , , , ,
Si tienes dudas en algún lado, puedes coger una calculadora y practicar un poco.
En caso afirmativo, intente construir la secuencia , , . Si , entonces , , .

Nota: estrictamente hablando, este enfoque para construir secuencias de varios números es incorrecto, pero para comprender los ejemplos más simples es bastante adecuado.

También preste atención a lo siguiente. Incluso si se da un límite con un número grande en la parte superior, o incluso con un millón: , entonces es lo mismo , ya que tarde o temprano “X” adquirirá valores tan gigantescos que un millón comparado con ellos será un microbio real.

¿Qué necesitas recordar y entender de lo anterior?

1) Cuando se nos da algún límite, primero simplemente intentamos sustituir el número en la función.

2) Debes comprender y resolver inmediatamente los límites más simples, como , , etc.

Ahora consideraremos el grupo de límites cuando , y la función es una fracción cuyo numerador y denominador contienen polinomios

Ejemplo:

Calcular límite

Según nuestra regla, intentaremos sustituir el infinito en la función. ¿Qué obtenemos en la cima? Infinidad. ¿Y qué pasa a continuación? También el infinito. Así, tenemos lo que se llama incertidumbre de especie. Se podría pensar que , y la respuesta está lista, pero en el caso general no es así en absoluto, y es necesario aplicar alguna técnica de solución, que consideraremos ahora.

¿Cómo resolver límites de este tipo?

Primero miramos el numerador y encontramos la potencia más alta:

La potencia principal en el numerador es dos.

Ahora miramos el denominador y también lo encontramos elevado a la potencia más alta:

El grado más alto del denominador es dos.

Luego elegimos la potencia más alta del numerador y denominador: en este ejemplo, son iguales e iguales a dos.

Entonces, el método de solución es el siguiente: para revelar la incertidumbre, es necesario dividir el numerador y el denominador entre la potencia más alta.

Aquí está la respuesta, y no el infinito en absoluto.

¿Qué es fundamentalmente importante en el diseño de una decisión?

Primero, indicamos la incertidumbre, si la hay.

En segundo lugar, es aconsejable interrumpir la solución para dar explicaciones intermedias. Normalmente uso el signo, no tiene ningún significado matemático, pero significa que la solución se interrumpe para una explicación intermedia.

En tercer lugar, en el límite conviene marcar qué va hacia dónde. Cuando el trabajo está elaborado a mano, es más conveniente hacerlo de esta forma:

Es mejor utilizar un simple lápiz para las notas.

Por supuesto, no es necesario hacer nada de esto, pero entonces, tal vez, el profesor señalará las deficiencias en la solución o comenzará a hacer preguntas adicionales sobre la tarea. ¿Lo necesitas?

Ejemplo 2

Encuentra el límite
Nuevamente en el numerador y denominador encontramos en mayor grado:

Grado máximo en numerador: 3
Grado máximo en denominador: 4
Elegir mayor valor, en este caso cuatro.
Según nuestro algoritmo, para revelar la incertidumbre, dividimos el numerador y el denominador entre .
La tarea completa podría verse así:

Dividir el numerador y denominador por

Ejemplo 3

Encuentra el límite
Grado máximo de “X” en el numerador: 2
Grado máximo de “X” en el denominador: 1 (se puede escribir como)
Para revelar la incertidumbre, es necesario dividir el numerador y el denominador entre . La solución final podría verse así:

Dividir el numerador y denominador por

La notación no significa división por cero (no se puede dividir por cero), sino división por un número infinitesimal.

Por lo tanto, al descubrir la incertidumbre sobre las especies, podremos ser capaces de numero final, cero o infinito.

Límites con incertidumbre de tipo y método para resolverlos.

El siguiente grupo de límites es algo similar a los límites que acabamos de considerar: el numerador y el denominador contienen polinomios, pero “x” ya no tiende al infinito, sino a Número finito.

Ejemplo 4

Límite de resolución
Primero, intentemos sustituir -1 en la fracción:

En este caso se obtiene la llamada incertidumbre.

Regla general: si el numerador y el denominador contienen polinomios y hay incertidumbre en la forma, entonces revelarlo necesitas factorizar el numerador y el denominador.

Para hacer esto, la mayoría de las veces necesitas resolver una ecuación cuadrática y/o usar fórmulas de multiplicación abreviadas. Si estas cosas se han olvidado, entonces visita la página. Fórmulas y tablas matemáticas. y leer el material didáctico Fórmulas calientes para el curso de matemáticas escolares.. Por cierto, es mejor imprimirlo, es necesario hacerlo con mucha frecuencia y la información se absorbe mejor en papel.

Entonces, resolvamos nuestro límite.

Factorizar el numerador y el denominador

Para factorizar el numerador es necesario resolver la ecuación cuadrática:

Primero encontramos el discriminante:

Y la raíz cuadrada del mismo: .

Si el discriminante es grande, por ejemplo 361, utilizamos una calculadora; la función de extraer la raíz cuadrada está en la calculadora más sencilla.

! Si la raíz no se extrae en su totalidad (se obtiene un número fraccionario con coma), es muy probable que el discriminante se haya calculado incorrectamente o haya habido un error tipográfico en la tarea.

A continuación encontramos las raíces:

De este modo:

Todo. El numerador está factorizado.

Denominador. El denominador ya es el factor más simple y no hay forma de simplificarlo.

Obviamente, se puede abreviar a:

Ahora sustituimos -1 en la expresión que queda debajo del signo de límite:

Naturalmente, en una prueba, prueba o examen, la solución nunca se describe con tanto detalle. En la versión final, el diseño debería verse así:

Factoricemos el numerador.

Ejemplo 5

Calcular límite

Primero, la versión "final" de la solución.

Factoricemos el numerador y el denominador.

Numerador:
Denominador:



,

¿Qué es importante en este ejemplo?
En primer lugar, debes tener una buena comprensión de cómo se revela el numerador, primero quitamos 2 entre paréntesis y luego usamos la fórmula para la diferencia de cuadrados. Esta es la fórmula que necesitas conocer y ver.

En el artículo anterior puede descubrir cuál es el límite y con qué se come; esto es MUY importante. ¿Por qué? Puede que no entiendas qué son los determinantes y los resuelvas con éxito; puede que no entiendas en absoluto qué es una derivada y los encuentres con una “A”. Pero si no comprende qué es un límite, le resultará difícil resolver problemas prácticos. También sería una buena idea familiarizarse con las soluciones de muestra y mis recomendaciones de diseño. Toda la información se presenta de forma sencilla y accesible.

Y para los propósitos de esta lección necesitaremos los siguientes materiales didácticos: Límites maravillosos Y Fórmulas trigonométricas. Se pueden encontrar en la página. Es mejor imprimir los manuales; es mucho más conveniente y, además, a menudo tendrás que consultarlos sin conexión.

¿Qué tienen de especial los límites notables? Lo notable de estos límites es que fueron probados por las mentes más brillantes de matemáticos famosos, y sus agradecidos descendientes no tienen que sufrir límites terribles con un montón de funciones trigonométricas, logaritmos y potencias. Es decir, a la hora de encontrar los límites utilizaremos resultados ya preparados y probados teóricamente.

Hay varios límites maravillosos, pero en la práctica, en el 95% de los casos, los estudiantes a tiempo parcial tienen dos límites maravillosos: El primer límite maravilloso., Segundo límite maravilloso. Cabe señalar que estos son nombres históricamente establecidos, y cuando, por ejemplo, hablan de "el primer límite notable", se refieren a algo muy específico, y no a un límite aleatorio tomado del techo.

El primer límite maravilloso.

Considere la siguiente limitación: (en lugar de la letra nativa “él”, usaré la letra griega “alfa”, esto es más conveniente desde el punto de vista de la presentación del material).

Según nuestra regla para encontrar límites (ver artículo Límites. Ejemplos de soluciones) intentamos sustituir cero en la función: en el numerador obtenemos cero (el seno de cero es cero), y en el denominador, obviamente, también hay cero. Nos encontramos, pues, ante una incertidumbre de forma que, afortunadamente, no es necesario revelar. En el curso del análisis matemático, se demuestra que:

Este hecho matemático se llama El primer límite maravilloso.. No daré una prueba analítica del límite, pero veremos su significado geométrico en la lección sobre funciones infinitesimales.

A menudo, en las tareas prácticas, las funciones se pueden organizar de forma diferente, pero esto no cambia nada:

- el mismo primer límite maravilloso.

¡Pero no puedes reorganizar el numerador y el denominador tú mismo! Si se da un límite en la forma , entonces se debe resolver de la misma forma, sin reordenar nada.

En la práctica, no sólo una variable puede actuar como parámetro, sino también una función elemental o una función compleja. Lo único importante es que tiende a cero..

Ejemplos:
, , ,

Aquí , , , , y todo está bien: se aplica el primer límite maravilloso.

Pero la siguiente entrada es una herejía:

¿Por qué? Como el polinomio no tiende a cero, tiende a cinco.

Por cierto, una pregunta rápida: ¿cuál es el límite? ? La respuesta se puede encontrar al final de la lección.

En la práctica, no todo es tan sencillo, casi nunca a un estudiante se le ofrece resolver un límite gratuito y obtener un pase fácil. Mmmm... Estoy escribiendo estas líneas y me vino a la mente un pensamiento muy importante: después de todo, es mejor recordar de memoria las definiciones y fórmulas matemáticas "libres", esto puede proporcionar una ayuda invaluable en la prueba, cuando la pregunta Se decide entre “dos” y “tres”, y el profesor decide hacerle al alumno alguna pregunta sencilla u ofrecerle resolver un ejemplo sencillo (“¡¿quizás todavía sepa qué?!”).

Pasemos a considerar ejemplos prácticos:

Ejemplo 1

Encuentra el límite

Si notamos un seno en el límite, esto debería llevarnos inmediatamente a pensar en la posibilidad de aplicar el primer límite destacable.

Primero, intentamos sustituir 0 en la expresión bajo el signo de límite (lo hacemos mentalmente o en un borrador):

Entonces tenemos una incertidumbre de la forma asegúrese de indicar en la toma de una decisión. La expresión bajo el signo de límite es similar al primer límite maravilloso, pero no es exactamente así, está bajo el seno, sino en el denominador.

En tales casos, debemos organizar nosotros mismos el primer límite notable, utilizando una técnica artificial. La línea de razonamiento podría ser la siguiente: "bajo el seno tenemos , lo que significa que también necesitamos ingresar el denominador".
Y esto se hace de forma muy sencilla:

Es decir, el denominador se multiplica artificialmente en este caso por 7 y se divide por el mismo siete. Ahora nuestra grabación ha adquirido una forma familiar.
Cuando la tarea está trazada a mano, es recomendable marcar el primer límite destacable con un simple lápiz:

¿Qué pasó? De hecho, nuestra expresión rodeada por un círculo se convirtió en una unidad y desapareció en la obra:

Ahora solo queda deshacerse de la fracción de tres pisos:

Quien haya olvidado la simplificación de fracciones de varios niveles, actualice el material en el libro de referencia. Fórmulas calientes para el curso de matemáticas escolares. .

Listo. Respuesta final:

Si no desea utilizar marcas de lápiz, la solución se puede escribir así:

“

Usemos el primer límite maravilloso.

“

Ejemplo 2

Encuentra el límite

Nuevamente vemos una fracción y un seno en el límite. Intentemos sustituir cero en el numerador y denominador:

De hecho, tenemos incertidumbre y, por tanto, debemos intentar organizar el primer límite maravilloso. En la lección Límites. Ejemplos de soluciones Consideramos la regla de que cuando tenemos incertidumbre, debemos factorizar el numerador y el denominador. Aquí ocurre lo mismo, representaremos los grados como un producto (multiplicadores):

Al igual que en el ejemplo anterior, dibujamos con un lápiz los límites notables (aquí hay dos) e indicamos que tienden a la unidad:

En realidad, la respuesta está lista:

En los siguientes ejemplos, no haré arte en Paint, pienso cómo redactar correctamente una solución en un cuaderno; ya lo entiendes.

Ejemplo 3

Encuentra el límite

Sustituimos cero en la expresión bajo el signo de límite:

Se ha obtenido una incertidumbre que necesita ser revelada. Si hay una tangente en el límite, casi siempre se convierte en seno y coseno usando la conocida fórmula trigonométrica (por cierto, hacen aproximadamente lo mismo con la cotangente, ver material metodológico Fórmulas trigonométricas calientes En la pagina Fórmulas matemáticas, tablas y materiales de referencia.).

En este caso:

El coseno de cero es igual a uno y es fácil deshacerse de él (no olvides marcar que tiende a uno):

Por lo tanto, si en el límite el coseno es un MULTIPLICADOR, entonces, en términos generales, es necesario convertirlo en una unidad, que desaparece en el producto.

Aquí todo resultó más sencillo, sin multiplicaciones ni divisiones. El primer límite destacable también se convierte en uno y desaparece en el producto:

Como resultado, se obtiene el infinito y esto sucede.

Ejemplo 4

Encuentra el límite

Intentemos sustituir cero en el numerador y denominador:

Se obtiene la incertidumbre (el coseno de cero, como recordamos, es igual a uno)

Usamos la fórmula trigonométrica. ¡Tomar nota! Por alguna razón, los límites al utilizar esta fórmula son muy comunes.

Muevamos los factores constantes más allá del icono de límite:

Organicemos el primer límite maravilloso:

Aquí sólo tenemos un límite destacable, que se convierte en uno y desaparece en el producto:

Deshagámonos de la estructura de tres pisos:

Efectivamente el límite está resuelto, indicamos que el seno restante tiende a cero:

Ejemplo 5

Encuentra el límite

Este ejemplo es más complicado, intenta resolverlo tú mismo:

Algunos límites se pueden reducir al primer límite notable cambiando una variable; puedes leer sobre esto un poco más adelante en el artículo. Métodos para resolver límites..

Segundo límite maravilloso

En la teoría del análisis matemático se ha demostrado que:

Este hecho se llama segundo límite maravilloso.

Referencia: es un número irracional.

El parámetro puede ser no sólo una variable, sino también una función compleja. Lo único importante es que aspira al infinito..

Ejemplo 6

Encuentra el límite

Cuando la expresión bajo el signo del límite está en un grado, este es el primer signo en el que debes intentar aplicar el segundo límite maravilloso.

Pero primero, como siempre, intentamos sustituir un número infinitamente grande en la expresión; el principio mediante el cual se hace esto se analiza en la lección. Límites. Ejemplos de soluciones.

Es fácil notar que cuando la base del grado es y el exponente es , es decir, hay incertidumbre de la forma:

Esta incertidumbre se revela precisamente con la ayuda del segundo límite notable. Pero, como suele suceder, el segundo límite maravilloso no está en bandeja de plata y es necesario organizarlo artificialmente. Puedes razonar de la siguiente manera: en este ejemplo el parámetro es , lo que significa que también debemos organizarnos en el indicador. Para ello elevamos la base a la potencia, y para que no cambie la expresión la elevamos a la potencia:

Cuando la tarea se completa a mano, marcamos con un lápiz:

Casi todo está listo, el terrible título se ha convertido en una bonita carta:

En este caso, movemos el propio icono de límite al indicador.:

Ejemplo 7

Encuentra el límite

¡Atención! Este tipo de límite ocurre muy a menudo, estudie este ejemplo con mucha atención.

Intentemos sustituir un número infinitamente grande en la expresión bajo el signo de límite:

El resultado es la incertidumbre. Pero el segundo límite destacable se aplica a la incertidumbre de la forma. ¿Qué hacer? Necesitamos convertir la base del grado. Razonamos así: en el denominador tenemos , lo que significa que en el numerador también necesitamos organizar .