Integración en partes de la fracción. Integrando una función racional fraccionaria.

Como he notado, no hay fórmula conveniente para integrar la fracción en el cálculo integral. Y, por lo tanto, hay una tendencia triste: la fracción "floreciente", más difícil es encontrar una integral de ella. En este sentido, tienes que recurrir a varios trucos, que lo diré ahora. Los lectores preparados pueden aprovechar de inmediato. oficina de mesa:

Guardar un método de señal diferencial para las fracciones más simples

El método de transformación artificial del numerador.

Ejemplo 1.

Por cierto, la integral considerada se puede resolver y el método para reemplazar la variable, denotando, pero el registro de la solución será mucho más largo.

Ejemplo 2.

Encuentra una integral indefinida. Realizar cheque.

Este es un ejemplo para autodecgua. Cabe señalar que el método de reemplazo de la variable ya no pasará.

ATENCIÓN, IMPORTANTE! Los ejemplos del número 1,2 son típicos y con frecuencia ocurren. Incluir integrales similares a menudo ocurren durante la solución de otras integrales, en particular, al integrar las funciones irracionales (raíces).

La recepción receptora también está trabajando en el caso. si el grado más alto de numerador, más grado senior denominador.

Ejemplo 3.

Encuentra una integral indefinida. Realizar cheque.

Comenzamos a recoger un numerador.

El algoritmo para selección selectora es de aproximadamente ese tipo:

1) En el numerador, necesito organizar, pero allí. ¿Qué hacer? Concluyo entre paréntesis y me multiplico :.

2) Ahora trata de revelar estos soportes, ¿qué pasará? . Hmm ... ya mejor, pero no hay dos con el número original en el numerador. ¿Qué hacer? Necesito dominar:

3) Revalo los soportes de nuevo :. ¡Y aquí está el primer éxito! ¡Lo correcto resultó! Pero el problema es que la discrepancia ha aparecido. ¿Qué hacer? Para que la expresión no haya cambiado, debo agregar a mi diseño es:
. La vida se ha vuelto más fácil. ¿Es posible organizar en el numerador una vez más?

4) puede ser. Intentamos: . Revelar paréntesis del segundo término:
. Lo siento, pero realmente tuve en el paso anterior, y no. ¿Qué hacer? Necesito multiplicar el segundo término en:

5) Soportes recociados en el segundo término:
. ¡Ahora es normal: obtenido del diseño final del párrafo 3! Pero nuevamente hay un pequeño "pero", la discrepancia ha aparecido, significa que debo agregar a mi expresión:

Si todo se hace correctamente, entonces, cuando la divulgación de todos los paréntesis, debemos tener un número de origen de una función de origen. Cheque:
Capucha.

De este modo:

Listo. En el último término, aplicé un método para resumir una función para el diferencial.

Si encuentra un derivado de la respuesta y trae la expresión a común denominador, Tendremos exactamente la función INTERNA INTEGRANDAND. El método considerado de descomposición en la cantidad no es más que el efecto opuesto para llevar la expresión al denominador general.

El algoritmo de selección en tales ejemplos se realiza mejor en el borrador. En algunas habilidades también será mentalmente. Recuerdo un caso récord cuando jugué la selección del 11º grado, y la descomposición del numerador tomó casi dos líneas de VODO.

Ejemplo 4.

Encuentra una integral indefinida. Realizar cheque.

Este es un ejemplo para una solución independiente.

Guardar un método de señal diferencial para las fracciones más simples

Nos dirigimos a la consideración del siguiente tipo de fracciones.
,,, los coeficientes no son iguales a cero).

De hecho, un par de casos con Arksinus y Arctennes ya se han deslizado en una lección. Método para reemplazar una variable en una integral indefinida.. Dichos ejemplos se resuelven por la forma de resumir la función de la integración diferencial y adicional utilizando la tabla. Aquí todavía son ejemplos típicos con logaritmo largo y alto:

Ejemplo 5.

Ejemplo 6.

Aquí es aconsejable tomar una tabla de integrales y rastrear para las fórmulas y como Se lleva a cabo la transformación. Nota, como y por qué Los cuadrados se asignan en estos ejemplos. En particular, en el Ejemplo 6, primero debe enviar un denominador en forma de , luego traer bajo el signo del diferencial. Y todo esto es necesario para aprovechar la fórmula de tabla estándar. .

Sí, qué mirar, intente resolver ejemplos №77,8, especialmente, son lo suficientemente cortas)

Ejemplo 7.

Ejemplo 8.

Encuentra una integral indefinida:

Si logra realizar una mayor verificación de estos ejemplos, entonces el gran respeto son sus habilidades de diferenciación a la altura.

Método de aislamiento cuadrado completo

Integrales de la forma (coeficientes y no iguales cero) se resuelven método de asignación de un cuadrado completo.Lo que ya apareció en la lección. Transformaciones de gráficos geométricos..

De hecho, tales integrales se reducen a una de las cuatro integrales tabulares que acabamos de considerar. Y esto se logra con la ayuda de fórmulas familiares de multiplicación abreviada:

Las fórmulas se usan precisamente en esta dirección, es decir, la idea del método es organizar artificialmente expresiones en el denominador o, y luego convertirlas según tampoco.

Ejemplo 9.

Encuentra una integral indefinida

Este es el ejemplo más simple en el que con un estrecho: un solo coeficiente (y no algunos números o menos).

Miramos el denominador, todo está claramente reducido al caso. Comenzamos la conversión del denominador:

Obviamente, es necesario agregar 4. y para que la expresión no cambie, las mismas cuatro y restan:

Ahora puedes aplicar la fórmula:

Después de que se completa la transformación. SIEMPRE Es recomendable realizar el movimiento inverso: todo está bien, no hay errores.

El diseño final del ejemplo bajo consideración debería verse algo así:

Listo. Resumiendo "Freebie" función compleja Bajo el signo del diferencial:, en principio, fue posible descuidar

Ejemplo 10.

Encuentra una integral indefinida:

Este es un ejemplo para una decisión independiente, la respuesta al final de la lección.

Ejemplo 11.

Encuentra una integral indefinida:

¿Qué hacer cuando está delante de es menos? En este caso, debe hacer un mínimo de los soportes y organizar los componentes en el orden que necesitamos :. Constaña ("Dos" en este caso) ¡No tocar!

Ahora entre paréntesis, agregue uno. Analizando la expresión, llegamos a la conclusión de que es necesario agregar al soporte - Agregar:

Aquí resultó la fórmula, usamos:

SIEMPRE Realice un cheque en el borrador:
Lo que se requería para comprobar.

El diseño del condado del ejemplo se ve así:

Completa la tarea

Ejemplo 12.

Encuentra una integral indefinida:

Aquí, con un término ya no hay un solo coeficiente, sino "cinco".

(1) Si cuando hay una constante, entonces se toma inmediatamente por paréntesis.

(2) Y en general, esta constante siempre es mejor soportar fuera de la integral para que no interfiera con las piernas.

(3) Obviamente, todo se reducirá a la fórmula. Debemos averiguar el término, a saber, conseguir un "Deuce"

(4) Sí ,. Así que agrega a la expresión, y la misma fracción se deducirá.

(5) Ahora destacamos un cuadrado completo. En general, también es necesario calcular, pero aquí tenemos una larga fórmula de logaritmo. Y la acción no tiene sentido, por qué se aclara justo debajo.

(6) En realidad, puedes aplicar la fórmula. , Solo en lugar de "X", tenemos que no cancela la justicia de la mesa integral. Al hablar estrictamente, faltaba un paso, antes de integrar la función seguido el signo diferencial: Pero, como he notado repetidamente, a menudo se descuida.

(7) En respuesta, es deseable revelar todos los paréntesis hacia atrás:

¿Complicado? Esto no es lo más difícil en el cálculo integral. Aunque, los ejemplos en consideración no son tan complejos, ya que requieren buenas técnicas de computación.

Ejemplo 13.

Encuentra una integral indefinida:

Este es un ejemplo para una solución independiente. La respuesta al final de la lección.

Hay integrales con raíces en el denominador, que al reemplazar se reducen a las integrales del tipo considerado, puede leer sobre ellos en el artículo. Integras complejasPero está diseñado para estudiantes muy capacitados.

Sumando el numerador bajo el signo del diferencial.

¡Esta es la parte final de la lección, sin embargo, las integrales de este tipo son bastante comunes! Si la fatiga se ha acumulado, ¡tal vez es mejor leer mañana? ;)

Integrales que consideraremos son similares a las integrales del párrafo anterior, se ven: o (coeficientes, y no igual a cero).

Es decir, en el numerador, tenemos una función lineal. ¿Cómo resolver tales integrales?

La tarea de encontrar una integral indefinida de una función racional fraccionaria se reduce a la integración de las fracciones más simples. Por lo tanto, lo recomendamos primero para familiarizarnos con la sección de la descomposición de la teoría de la fracción en lo más sencillo.

Ejemplo.

Encuentra una integral indefinida.

Decisión.

Dado que el grado de numerador de la función Integrand es igual al grado del denominador, entonces para el principio asignamos toda la parte, realizando la división del polinomio al polinomio:

Por lo tanto, .

La descomposición de la fracción racional adecuada en la fracción más sencilla tiene la forma. . Por eso,

La integral resultante es la integral de la fracción más sencilla del tercer tipo. Ejecute un poco hacia adelante, notamos que podemos llevarlo a cabo utilizando el método para resumir un signo diferencial.

Como T. . por lo tanto

Por eso,

Ahora recurrimos a la descripción de los métodos de integración de las fracciones más simples de cada uno de los cuatro tipos.

Integrando las fracciones más simples del primer tipo.

Para resolver esta tarea, el método de integración directa es ideal:

Ejemplo.

Encuentra una variedad de características

Decisión.

Encontramos una integral indefinida utilizando las propiedades de la primitiva, la tabla de primitiva y la regla de integración.

Parte superior de la página

Integración de las fracciones más simples del segundo tipo.

Para resolver esta tarea, el método de integración directa también es adecuado:

Ejemplo.

Decisión.

Parte superior de la página

Integración de las fracciones más simples del tercer tipo.

Para empezar, imagina una integral indefinida. Monto:

La primera integral toma el método para resumir un signo diferencial:

Por lo tanto,

La transformación integral resultante del denominador:

Por eso,

La fórmula de integración de las fracciones más simples del tercer tipo toma la forma:

Ejemplo.

Encuentra una integral indefinida .

Decisión.

Utilizamos la fórmula resultante:

Si no tuviéramos esta fórmula, cómo haríamos:

Parte superior de la página

Integración de las fracciones más simples del cuarto tipo.

El primer paso es firmar el diferencial:

El segundo paso es encontrar la integral del tipo. . Las integrales de esta especie se utilizan utilizando fórmulas recurrentes. (Consulte la sección de integración usando fórmulas recurrentes). Para nuestro caso se adapta a la siguiente fórmula recurrente:

Ejemplo.

Encuentra una integral indefinida

Decisión.

Para este tipo de función integrada, use el método de sustitución. Introducimos una nueva variable (consulte la sección Integración de funciones irracionales):

Después de la sustitución tenemos:

Llegó a encontrar la cuarta fracción integral. En nuestro caso tenemos coeficientes. M \u003d 0, p \u003d 0, q \u003d 1, n \u003d 1 y n \u003d 3.. Utilizamos la fórmula recurrente:

Después del reemplazo inverso, obtenemos el resultado:

Integración funciones trigonométricas

1. Indemas de tipo

Calculado por la transformación del producto de las funciones trigonométricas en la cantidad de las fórmulas:

Por ejemplo, 2. Inintlas de la especie.

dónde mETRO. o nORTE.- Un número positivo impar se calcula sumando el signo diferencial. Por ejemplo,

3. intelintlles de tipo

dónde mETRO. y nORTE.-Bíbulo números positivosse calculan utilizando fórmulas de reducción de grado: por ejemplo,

4. Integras

donde se calcula el reemplazo de la variable: o por ejemplo,

5. Los integrales del tipo se reducen a las integrales de fracciones racionales Con la ayuda de una sustitución trigonométrica universal entonces (porque

\u003d [Después de dividir el numerador y el denominador en] \u003d;

Por ejemplo,

Cabe señalar que el uso de una sustitución universal a menudo conduce a cálculos voluminosos.

§cinco. Integrando las irracionalidades más simples.

Considere los métodos para integrar los tipos más simples de irracionalidades. uno.

Las funciones de este tipo se integran de la misma manera que las fracciones racionales más simples del 3er tipo: en el denominador de cuadrado de tres zapatos Se distingue un cuadrado completo y se ingresa una nueva variable. Ejemplo.

2. (bajo el signo de la función integral-racional de los argumentos). Las integrales de este tipo se calculan por reemplazo. En particular, en las integrales de la especie designada. Si una función de origen contiene raíces diferentes grados:

, se denota donde nORTE.- El número múltiple total más pequeño. m, k.. Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

-Naprar la fracción racional, resalta la parte entera:

–

3. intelintlles de tipo Calculado con sustituciones trigonométricas:

45 definido integral

Ciertamente integral - Funcionalidad normalizada monotonal aditiva especificada en una variedad de pares, cuyo primer componente es una función o funcional integrabilidad, y el segundo es el área en el conjunto de tareas de esta función (funcional).

Definición

Dejar definirse en. Entramos en partes con varios puntos arbitrarios. Luego dicen que la división del segmento siguiente elegirá un punto arbitrario. , ,

Una cierta integral de la función en el segmento se denomina límite de las cantidades integradas cuando el rango de rotura a cero, si existe, independientemente de la partición y selección de puntos, es decir,

Si hay un límite específico, la función se llama INTEGRADA EN RIEMANN.

Designaciones

· - límite inferior.

· - limite superior.

· - Función inhibitoria.

· - La longitud del segmento parcial.

· - Importe integral de la función en la partición correspondiente.

· - Longitud máxima frecuente.

Propiedades

Si la función está integrada de acuerdo con Riemann, se limita a él.

Significado geométrico

Definido integral como un área de figuras.

Un cierto numérico integral igual a cuadrado Figuras, limitadas por el eje de la función abscisa, directa y gráfica.

Theorem de Newton - Leibnia

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(Redirigido con Fórmula Newton Leibnitsa)

Fórmula de Newton - Leibnia o análisis básico teorema Da una relación entre dos operaciones: tomar una integral específica y el cálculo de la primitiva.

Evidencia

Deje que se especifique una función integrable en el segmento. Empecemos con el hecho de que notamos que

es decir, no importa qué letra (o) esté bajo el signo en una cierta integral en el segmento.

Establezca un valor arbitrario y defina una nueva característica. . Se define para todos los valores, porque sabemos que si existe una integral, entonces también hay una integral de dónde. Recuerde que consideramos por definición.

(1)

Darse cuenta de

Demostramos que es continuo en el segmento. De hecho, dejarlo; luego

y si, entonces

Por lo tanto, es continuo, sin importar si no tiene interrupciones; Es importante que se integre.

La figura muestra un gráfico. El área de la figura variable es igual a. Su incremento es igual al área de la figura. que, debido a la limitación, obviamente se esfuerza por cero, sin importar si habrá un punto de continuidad o espacio, como un punto.

Ahora deje que la función no solo esté integrable, sino continua en el punto. Demostramos que luego tiene un derivado en este punto igual a

(2)

De hecho, para el punto especificado.

(1) , (3)

Ponemos, y desde constante en relación a, a . A continuación, en virtud de la continuidad en el punto de cualquiera, puede especificar tal que para.

lo que demuestra que parte izquierda Esta desigualdad es sobre (1) en.

La transición al límite a (3) con la existencia de un derivado desde el punto y la validez de la igualdad (2). En esto viene aquí, respectivamente, sobre el derivado derecho e izquierdo.

Si la función es continua, entonces sobre la base de la función de procedimiento de función anterior

(4)

tiene un derivado igual. En consecuencia, la función es una primitiva para ON.

Esta conclusión a veces se llama el teorema integral con el límite superior variable o el teorema de la carretilla.

Hemos demostrado que una función continua arbitraria en el segmento tiene una igualdad primitiva y definida (4) en este segmento. Esto se demuestra la existencia de una función primitiva para cualquier continuo en el segmento.

Deja que ahora tenga una función primitiva arbitraria. Sabemos que, dónde, algunos permanentes. Creyendo en esta igualdad y considerando qué, obtenemos.

De este modo, . Pero

Involucrado integral

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Wikipedia Material - Enciclopedia gratis

Ciertamente integral llamada inválidoSi se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

· El límite A o B (o ambos límites) son infinitos;

· La función F (x) tiene uno o más puntos de ruptura dentro del segmento.

[editar] INCLUSIONES INTEGRALES DE I LEY

. Luego:

1. Si y la integral se llama . En este caso Llamado convergente.

, o simplemente divergentes.

Sean definidos y continuos en el set de y . Luego:

1. Si Entonces se utiliza la designación. y la integral se llama integral incompatible de Riemann del primer tipo.. En este caso Llamado convergente.

2. Si no hay finito. (o), entonces la integral se llama divergente , o simplemente divergentes.

Si la función se define y continúa en toda la línea numérica, puede haber una integral inmutable de esta función con dos límites de integración infinita, que está determinada por la fórmula:

donde C es un número arbitrario.

[editar] Significado geométrico de la integral incompatible.

Participa Integral expresa un área de un trapecio curvilíneo infinitamente largo.

[editar] Ejemplos

[editar] INCLUSIONES INTEGRALES DEL GÉNERO

Supongamos que está determinado por, tolera la brecha sin fin en el punto x \u003d a y . Luego:

1. Si Entonces se utiliza la designación. y la integral se llama

llamado divergente k , o simplemente divergentes.

Supongamos que está determinado por, tolera la brecha infinita en X \u003d B y . Luego:

1. Si Entonces se utiliza la designación. y la integral se llama invalo de integrales Riemann del segundo tipo.. En este caso, la integral se llama convergente.

2. Si o, se conserva la designación, y llamado divergente k , o simplemente divergentes.

Si la función rompe la brecha en el punto interno del segmento, la fórmula se determina la integral interna del segundo tipo:

[editar] Significado geométrico integrales internas II tipo

Implicado integral expresa el área de un trapecio curvo infinitamente alto.

[editar] Ejemplo

[editar] caso separado

Supongamos que la función se determina en todo el eje numérico y tiene un espacio en los puntos.

Entonces puedes encontrar una inmunidad integral.

[editar] CRITERIO CURIO

1. Se vamos a determinar en el set de y .

Luego converger

2. Se definen en y .

Luego converger

[editar] convergencia absoluta

Integral llamada absolutamente convergente, si un converge.
Si la integral converge absolutamente, converge.

[editar] Convergencia condicional

La integral se llama condicionalmente convergenteSi convergen, pero divergen.

48 12. Integrales inválidas.

Al considerar ciertas integrales, asumimos que el área de integración es limitada (más específicamente, es un segmento [ uNA. ,b. ]); Para la existencia de una integral específica, se requiere el límite de la función Integrand para [ uNA. ,b. ]. Llamaremos a ciertas integrales para las cuales se realizan ambas condiciones (áreas limitadas y de integración y la función integrada) propio; Integrales para los cuales estos requisitos se violan (es decir, la función ilimitada o integrada, o un área de integración, o ambos, ambos juntos) inválido. En esta sección exploraremos integrales incompatibles.

12.1. Integrales incompletos en un intervalo ilimitado (integrales incomprensibles del primer tipo).

12.1.1. Determinación de una integral incompatible en una brecha infinita. Ejemplos.
12.1.2. La Fórmula Newton Labnice para una integral incompatible.
12.1.3. Signos de comparación para funciones no negativas.

12.1.3.1. Signo de comparación.
12.1.3.2. Signo de comparación en forma límite.

12.1.4. Convergencia absoluta de integrales internas en un intermedio infinito.
12.1.5. Signos de convergencia de Abel y Dirichle.

12.2. Integrales incompletos de funciones ilimitadas (integrales incomprensibles del segundo tipo).

12.2.1. Determinación de una integral incompatible desde una función ilimitada.

12.2.1.1. Característica en el extremo izquierdo del intervalo de integración.
12.2.1.2. Aplicación de Newton Labitsa Fórmula.
12.2.1.3. Característica en el extremo derecho del intervalo de integración.
12.2.1.4. Característica en el punto interno del intervalo de integración.
12.2.1.5. Varias características en el intervalo de integración.

12.2.2. Signos de comparación para funciones no negativas.

12.2.2.1. Signo de comparación.
12.2.2.2. Signo de comparación en forma límite.

12.2.3. Convergencia absoluta y condicional de integrales internas de funciones discontinuas.
12.2.4. Signos de convergencia de Abel y Dirichle.

12.1. Integrales inválidas para un intervalo ilimitado

(Integrales incomprensibles del primer tipo).

12.1.1. Determinación de una integral incompatible en un intermedio infinito.. Deja que la función f. (x. ) se determina en el semi-eje e integrable para cualquier segmento [ De, lo que implica en cada uno de estos casos la existencia y la extremidad de los límites correspondientes. Ahora las soluciones de ejemplos se ven más simplemente: .

12.1.3. Signos de comparación para funciones no negativas.. En esta sección, asumiremos que todas las funciones integradas no son negativas durante todo el campo de la definición. Hasta ahora, hemos determinado la convergencia de la integral, calculándola: si hay un límite finito de la primitiva con el deseo apropiado (o), la integral converge, de lo contrario, disipar. Sin embargo, al resolver tareas prácticas, es importante primero establecer el hecho de la convergencia en sí, y solo luego calcular la integral (además, la primaria a menudo no se expresa a través de funciones elementales). Formulamos y demostramos una serie de teoremas que le permiten establecer la convergencia y la divergencia de las integrales de inmunidad de las funciones no negativas sin calcularlas.
12.1.3.1. Signo de comparación. Deja funciones f. (x. ) I. gRAMO. (x. ) Integra

El material establecido en este tema se basa en la información presentada en el tema "Fracciones racionales. Descomposición de fracciones racionales en fracciones elementales (simples)". Estoy muy aconsejado al menos a través de este tema antes de pasar a leer este material. Además, necesitamos una tabla de integrales inciertos.

Déjame recordar un par de términos. Por lo tanto, estábamos hablando de ellos en el tema relevante, limitaré la breve formulación aquí.

La proporción de dos polinomios $ \\ FRC (P_N (X)) (Q_M (X)) $ se llama una función racional o una fracción racional. Se llama fracción racional derechaSi $ n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется equivocado.

Fracciones racionales elementales (simples) referirse a las fracciones racionales cuatro tipos:

$ \\ Frac (a) (x-a) $;
$ \\ Frac (a) ((x-a) ^ n) $ ($ n \u003d 2,3,4, \\ ldots $);
$ \\ FRAC (MX + N) (x ^ 2 + px + q) $ ($ P ^ 2-4q< 0$);
$ \\ FRAC (MX + N) ((X ^ 2 + PX + Q) ^ N) $ ($ P ^ 2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Nota (deseable para una comprensión de texto más completa): Mostrar / Ocultar

¿Por qué necesitas una condición $ P ^ 2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Por ejemplo, para expresar $ X ^ 2 + 5x + $ 10, obtenemos: $ P ^ 2-4Q \u003d 5 ^ 2-4 \\ CDOT 10 \u003d -15 $. Desde $ P ^ 2-4Q \u003d -15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Por cierto, no es necesario decir para esta verificación de que el coeficiente antes de $ x ^ 2 $ sea igual a 1. Por ejemplo, por $ 5x ^ 2 + 7x-3 \u003d 0 $ obtenemos: $ D \u003d 7 ^ 2-4 \\ CDOT 5 \\ CDOT (-3) \u003d $ 109. Desde $ D\u003e 0 $, luego la expresión $ 5x ^ 2 + 7x-3 $ descompuesta en multiplicadores.

Se pueden encontrar ejemplos de fracciones racionales (correctas e incorrectas), así como ejemplos de descomposición de la fracción racional en la primaria. Aquí solo estaremos interesados \u200b\u200ben su integración. Empecemos con la integración de las fracciones elementales. Por lo tanto, cada uno de los cuatro tipos de las franes elementales mencionadas anteriormente es fácil de integrar utilizando las fórmulas indicadas a continuación. Permítanme recordarle que al integrar las fracciones de tipo (2) y (4) se supone que es $ n \u003d 2,3,4, \\ ldots $. Las fórmulas (3) y (4) requieren la ejecución de la condición $ P ^ 2-4q< 0$.

\\ Comenzar (ecuación) \\ Int \\ FRAC (A) (XA) DX \u003d A \\ CDOT \\ LN | XA | + C \\ Ecuación \\ Comenzar (Ecuación) \\ Int \\ FRAC (A) ((XA) ^ N) DX \u003d - \\ FRC (A) ((N - 1) (XA) ^ (N - 1)) + C \\ Ecuación \\ Comenzar (ecuación) \\ int \\ frac (mx + n) (x ^ 2 + px + q) dx \u003d \\ FRAC (M) (2) \\ CDOT \\ LN (X ^ 2 + PX + Q) + \\ FRAC (2N-MP) (\\ SQRT (4T-P ^ 2)) \\ arctg \\ frac (2x + p) (\\ SQRT (4T-P ^ 2)) + C \\ Ecuación

Por $ \\ INT \\ FRAC (MX + N) ((X ^ 2 + PX + Q) ^ N) DX $ reemplazo $ t \u003d x + \\ frac (p) (2) $, después de que los interlers recibidos se dividen en dos . El primero se calculará utilizando la introducción en el signo del diferencial, y el segundo tendrá un formulario $ i_n \u003d \\ int \\ frac (dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) $. Esta integral se toma con la ayuda de una relación recurrente.

\\ Comenzar (ecuación) i_ (n + 1) \u003d \\ frac (1) (2na ^ 2) \\ frac (t) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) + \\ frac (2n-1) (2NA ^ 2) i_n, \\; N \\ in n \\ end (ecuación)

El cálculo de tal integral se desmonta en el Ejemplo No. 7 (ver la tercera parte).

Esquema para calcular integrales de funciones racionales (fracciones racionales):

Si la fracción integrada es elemental, luego aplica fórmulas (1) - (4).
Si la fracción integrada no es elemental, entonces envíela en forma de la cantidad de fracciones elementales, y luego integre usando fórmulas (1) - (4).

El algoritmo anterior para la integración de fracciones racionales tiene una dignidad innegable: es universal. Esos. Usando este algoritmo que puedes integrar alguien fracción racional. Es por eso que casi todas las reemplazamientos de variables en una integral indefinida (sustitución de Euler, Chebyshev, una sustitución trigonométrica universal) están hechas con un cálculo de este tipo, de modo que, después de que se reemplace, se obtiene la fracción racional. Y ya aplicamos el algoritmo. El uso inmediato de este algoritmo verá los ejemplos, después de hacer una pequeña nota.

$$ \\ INT \\ FRC (7DX) (x + 9) \u003d 7 \\ ln | x + 9 | + c. $$.

En principio, esta integral es fácil de obtener sin uso mecánico de la fórmula. Si realiza una constante de $ 7 de factura para el signo integral y tiene en cuenta que $ dx \u003d d (x + 9) $, entonces obtenemos:

$$ \\ INT \\ FRAC (7DX) (x + 9) \u003d 7 \\ CDOT \\ INT \\ FRAC (DX) (x + 9) \u003d 7 \\ CDOT \\ INT \\ FRAC (D (x + 9)) (x + 9 ) \u003d | U \u003d x + 9 | \u003d 7 \\ cdot \\ int \\ frac (du) (u) \u003d 7 \\ ln | u | + c \u003d 7 \\ ln | x + 9 | + c. $$.

Para información detallada concedida para ver el tema. Se explica en detalle cómo se resuelven las integrales similares. Por cierto, la fórmula está demostrada por las mismas transformaciones que se aplicaron en este punto al hacer "manualmente".

2) De nuevo, hay dos formas: aplicar la fórmula terminada o hacer sin ella. Si aplica la fórmula, se debe tener en cuenta que el coeficiente antes de $ X $ (número 4) deberá eliminarse. Para hacer esto, simplemente soportás el cuarto:

$$ \\ INT \\ FRC (11DX) ((4x + 19) ^ 8) \u003d \\ int \\ frac (11dx) (\\ \\ \\ a la izquierda (4 \\ izquierda (x + \\ frac (19) (4) \\ derecha) \\ derecha) ^ 8) \u003d \\ int \\ frac (11dx) (4 ^ 8 \\ a la izquierda (x + \\ frac (19) (4) \\ derecha) ^ 8) \u003d \\ int \\ frac (\\ frac (11) (4 ^ 8) Dx) (\\ \\ a la izquierda (x + \\ frac (19) (4) \\ derecha) ^ 8). $$.

Ahora el esqueleto ha llegado para el uso de la fórmula:

$$ \\ INT \\ FRC (\\ FRC (11) (4 ^ 8) DX) (\\ \\ \\ \\ \\ x + \\ frac (19) (4) \\ derecha) ^ 8) \u003d - \\ frac (\\ frac (11) ( 4 ^ 8)) ((8-1) \\ izquierda (x + \\ frac (19) (4) \\ derecha) ^ (8-1)) + c \u003d - \\ frac (\\ frac (11) (4 ^ 8 )) (7 \\ aj izquierdo (x + \\ frac (19) (4) \\ derecha) ^ 7) + c \u003d - \\ frac (11) (7 \\ CDOT 4 ^ 8 \\ izquierda (x + \\ frac (19) ( 4) \\ Derecha) ^ 7) + c. $$.

Puedes hacer sin el uso de la fórmula. E incluso sin representar un constante de $ 4 $ para paréntesis. Si consideramos que $ dx \u003d \\ frac (1) (4) d (4x + 19) $, entonces obtenemos:

$$ \\ INT \\ FRC (11DX) ((4x + 19) ^ 8) \u003d 11 \\ int \\ frac (dx) ((4x + 19) ^ 8) \u003d \\ frac (11) (4) \\ int \\ frac ( d (4x + 19)) ((4x + 19) ^ 8) \u003d | u \u003d 4x + 19 | \u003d \\\\ \u003d \\ frac (11) (4) \\ int \\ frac (du) (u ^ 8) \u003d \\ FRAC (11) (4) \\ Int u ^ (- 8) \\; du \u003d \\ frac (11) (4) \\ CDOT \\ FRAC (U ^ (- 8 + 1)) (- 8 + 1) + C \u003d \\\\ \u003d \\ frac (11) (4) \\ CDOT \\ FRAC (U ^ (- 7)) (- 7) + C \u003d - \\ FRC (11) (28) \\ CDOT \\ FRAC (1) (U ^ 7 ) + C \u003d - \\ frac (11) (28 (4x + 19) ^ 7) + C. $$.

Las explicaciones detalladas para encontrar tales integrales se dan en el tema "Integración de la sustitución (Introducción en el signo del diferencial)".

3) Necesitamos integrar la fracción de $ \\ FRAC (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) $. Esta fracción tiene una estructura $ \\ FRC (MX + N) (x ^ 2 + px + q) $, donde $ m \u003d $ 4, $ n \u003d $ 7, $ P \u003d $ 10, $ q \u003d $ 34. Sin embargo, para asegurarse de que esta sea una fracción verdaderamente elemental del tercer tipo, debe verificar la ejecución de la condición $ P ^ 2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \\ INT \\ FRC (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d \\ frac (4) (2) \\ CDOT \\ LN (x ^ 2 + 10x + 34) + \\ FRAC (2 \\ CDOT 7-4 \\ CDOT 10) (\\ SQRT (4 \\ CDOT 34-10 ^ 2)) \\ arctg \\ frac (2x + 10) (\\ sqrt (4 \\ cdot 34-10 ^ 2)) + c \u003d \\\\ \u003d \u003d 2 \\ CDOT \\ LN (x ^ 2 + 10x + 34) + \\ frac (-26) (\\ sqrt (36)) \\ arctg \\ frac (2x + 10) (\\ sqrt (36)) + c \u003d 2 \\ CDOT \\ ln (x ^ 2 + 10x + 34) + \\ frac (-26) (6) \\ arctg \\ frac (2x + 10) (6) + c \u003d \\\\ \u003d 2 \\ CDOT \\ LN (x ^ 2 + 10x +34) - \\ frac (13) (3) \\ arctg \\ frac (x + 5) (3) + C. $$.

Solucioné el mismo ejemplo, pero sin el uso de la fórmula terminada. Intentemos seleccionar el derivado del denominador en el numerador. ¿Qué significa esto? Sabemos que $ (x ^ 2 + 10x + 34) "\u003d 2x + $ 10. Es una expresión de $ 2x + $ 10 a nosotros y que se determine en el numerador. Hasta el momento, el numerador contiene sólo $ 4x + $ 7, pero no es larga Aplicar al numerador tal conversión a.:

$$ 4X + 7 \u003d 2 \\ cdot 2X + 7 \u003d 2 \\ cdot (2X + 10-10) + 7 \u003d 2 \\ cdot (2x + 10) -2 \\ cdot 10 + 7 \u003d 2 \\ cdot (2x + 10) -13. $$.

Ahora, apareció la expresión requerida de $ 2x + $ 10 en el numerador. Y nuestra integral se puede reescribir en este formulario:

$$ \\ INT \\ FRC (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d \\ int \\ frac (2 \\ cdot (2x + 10) -13) (x ^ 2 + 10x + 34) DX. $$.

Amenazar la fracción integrando para dos. Bueno, en consecuencia, la propia integral también está "dividida":

$$ \\ int \\ frac (2 \\ cdot (2x + 10) -13) (x ^ 2 + 10x + 34) DX \u003d \\ INT \\ left (\\ frac (2 \\ cdot (2x + 10)) (x ^ 2 + 10x + 34) - \\ frac (13) (x ^ 2 + 10x + 34) \\ derecha) \\; dx \u003d \\\\ \u003d \\ int \\ frac (2 \\ cdot (2x + 10)) (x ^ 2 + 10x + 34) dx- \\ int \\ frac (13dx) (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d 2 \\ cdot \\ Int \\ FRC ((2x + 10) dx) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 \\ CDOT \\ INT \\ FRAC (DX) (x ^ 2 + 10x + 34). $$.

Vamos a hablar primero sobre la primera integral, es decir,. Alrededor de $ \\ int \\ frac ((2x + 10) dx) (x ^ 2 + 10x + 34) $. Desde $ D (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d (x ^ 2 + 10x + 34) "dx \u003d (2x + 10) DX $, luego en el numerador de fracción integrado es el diferencial del denominador. En resumen, en cambio de una expresión $ (2x + 10) DX $ escribimos $ d (x ^ 2 + 10x + 34) $.

Ahora digamos algunas palabras sobre la segunda integral. Resaltamos el cuadrado completo en el denominador: $ x ^ 2 + 10x + 34 \u003d (x + 5) ^ 2 + 9 $. Además, tenemos en cuenta $ dx \u003d d (x + 5) $. Ahora obtenemos anteriormente, la cantidad de integrales se puede reescribir en algunas otras formas:

$$ 2 \\ cdot \\ INT \\ FRAC ((2x + 10) DX) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 \\ cdot \\ INT \\ FRAC (DX) (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d 2 \\ cdot \\ int \\ frac (D (x ^ 2 + 10x + 34)) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 \\ cdot \\ INT \\ FRAC (D (x + 5)) ((x + 5) ^ 2 + nueve). $$.

Si en la primera integral para reemplazar $ u \u003d x ^ 2 + 10x + 34 $, entonces tomará el formulario $ \\ int \\ frac (du) (u) $ y toma el uso de la segunda fórmula. En cuanto a la segunda integral, se realiza el reemplazo de $ u \u003d x + $ 5 para ello, después de lo cual tomará el formulario $ \\ int \\ frac (du) (u ^ 2 + 9) $. Esta es la fórmula más pura undécima del agua de la tabla de integrales inciertos. Entonces, volviendo a la suma de las integrales, tendremos:

$$ 2 \\ CDOT \\ INT \\ FRAC (D (X ^ 2 + 10x + 34)) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 \\ CDOT \\ INT \\ FRC (D (x + 5)) ((x + 5) 5) ^ 2 + 9) \u003d 2 \\ CDOT \\ LN (x ^ 2 + 10x + 34) - \\ frac (13) (3) \\ arctg \\ frac (x + 5) (3) + C. $$.

Tenemos la misma respuesta que cuando usamos la fórmula, que, de hecho, no es sorprendente. En general, la fórmula está probada por los mismos métodos, Koi solíamos encontrar esta integral. Yo creo eso lector atento Puede haber una pregunta, por lo tanto, lo formulé:

Pregunta número 1.

Si $ \\ int \\ frac integral (D (x ^ 2 + 10x + 34)) (x ^ 2 + 10x + 34) $ aplicar la segunda fórmula de la tabla de integrales inciertos, a continuación, vamos a obtener lo siguiente:

$$ \\ INT \\ FRAC (D (x ^ 2 + 10x + 34)) (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d | u \u003d x ^ 2 + 10x + 34 | \u003d \\ int \\ frac (DU) (U) \u003d \\ ln | u | + c \u003d \\ ln | x ^ 2 + 10x + 34 | + c. $$.

¿Por qué había un módulo en resuelto?

Respuesta a la pregunta №1

La pregunta es completamente aprende. El módulo estaba ausente solo porque la expresión $ x ^ 2 + 10x + 34 $ con cualquier $ x \\ en R $ más cero. Es completamente fácil mostrar varios caminos. Por ejemplo, ya que $ x ^ 2 + 10x + 34 \u003d (x + 5) ^ 2 + 9 $ y $ (x + 5) ^ 2 ≥ 0 $, entonces $ (x + 5) ^ 2 + 9\u003e 0 $ . Puede ser juzgado y en una diferente, no atraer la liberación de un cuadrado completo. Desde $ 10 ^ 2-4 \\ CDOT 34 \u003d -16< 0$, то $x^2+10x+34 > 0 $ por cualquier $ X \\ en R $ (si esta cadena lógica es sorprendente, le aconsejo que vea el método gráfico para resolver las desigualdades cuadradas). En cualquier caso, desde $ x ^ 2 + 10x + 34\u003e 0 $, luego $ | x ^ 2 + 10x + 34 | \u003d x ^ 2 + 10x + 34 $, es decir. En lugar del módulo, puede usar paréntesis convencionales.

Todos los artículos del ejemplo No. 1 están resueltos, solo sigue siendo solo para anotar la respuesta.

Respuesta:

$ \\ int \\ frac (7dx) (x + 9) \u003d 7 \\ ln | x + 9 | + C $;
$ \\ INT \\ FRC (11DX) ((4x + 19) ^ 8) \u003d - \\ FRAC (11) (28 (4x + 19) ^ 7) + C $;
$ \\ int \\ frac (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d 2 \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + 10x + 34) - \\ frac (13) (3) \\ arctg \\ frac (x +5) (3) + C $.

Ejemplo número 2.

Encuentre la integral $ \\ INT \\ FRAC (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) DX $.

A primera vista, una fracción de reemplazo de $ \\ FRAC (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) $ es muy similar a la fracción elemental del tercer tipo, es decir. En $ \\ FRAC (MX + N) (x ^ 2 + px + q) $. Parece que la diferencia de una sola vista es un coeficiente de $ 3 $ antes de $ x ^ $ 2, pero el coeficiente y que se eliminará durante mucho tiempo (para los corchetes). Sin embargo, esta similitud es evidente. Para fracciones $ \\ frac (MX + N) (x ^ 2 + px + q) $ obligatorio es la condición $ P ^ 2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Tenemos un coeficiente antes de $ x ^ $ 2 igual a la unidadPor lo tanto, compruebe la condición $ P ^ 2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D > 0 $, por lo tanto, la expresión $ 3x ^ 2-5x-2 $ se puede descomponer en multiplicadores. Y esto significa que la fracción de $ \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) $ no es una fracción elemental del tercer tipo, y se aplica a la integral de $ \\ INT \\ FRAC (7x + 12) (3x ^ 2- 5x-2) DX $ fórmula es imposible.

Bueno, si la fracción racional especificada no es elemental, entonces debe representarse como la cantidad de fracciones elementales y luego integrar. En resumen, la traza aprovecha. Cómo descomponer la fracción racional en el elemental está escrito en detalle. Empecemos con el hecho de que el denominador se descompondrá:

$$ 3x ^ 2-5x-2 \u003d 0; \\\\ \\ Comenzar (alineado) y D \u003d (- 5) ^ 2-4 \\ CDOT 3 \\ CDOT (-2) \u003d 49; \\\\ & x_1 \u003d \\ frac ( - (- 5) - \\ SQRT (49)) (2 \\ cdot 3) \u003d \\ frac (5-7) (6) \u003d \\ frac (-2) (6) \u003d - \\ frac (1) (3); \\\\ y x_2 \u200b\u200b\u003d \\ frac (- (- 5) + \\ sqrt (49)) (2 \\ cdot 3) \u003d \\ frac (5 + 7) (6) \u003d \\ frac (12) (6) \u003d 2. \\ \\ \\ End (alineado) \\\\ 3x ^ 2-5x-2 \u003d 3 \\ CDOT \\ IZQUIERDA (X- \\ IZQUIERDA (- \\ FRAC (1) (3) \\ Derecha) \\ Derecha) \\ CDOT (X-2) \u003d 3 \\ CDOT \\ izquierda (x + \\ frac (1) (3) \\ derecha) (X-2). $$.

La fracción subengural se enviará en este formulario:

$$ \\ FRAC (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) \u003d \\ frac (7x + 12) (3 \\ cdot \\ left (X + \\ frac (1) (3) \\ derecha) (x-2 )) \u003d \\ frac (\\ frac (7) (3) X + 4) (\\ left (X + \\ frac (1) (3) \\ right) (X-2)). $$.

Ahora descomponer la fracción $ \\ FRAC (\\ frac (7) (3) X + 4) (\\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ derecha) (x-2)) $ por elemental:

$$ \\ FRAC (\\ frac (7) (3) X + 4) (\\ left (X + \\ frac (1) (3) \\ right) (X-2)) \u003d \\ frac (A) (X + \\ FRAC (1) (3)) + \\ frac (B) (X - 2) \u003d \\ frac (A (X-2) + B \\ left (X + \\ frac (1) (3) \\ derecho)) (\\ izquierda (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (X-2)); \\\\ \\ FRAC (7) (3) X + 4 \u003d A (X - 2) + B \\ left (X + \\ FRAC (1) (3) \\ right). $$.

Para encontrar los coeficientes de $ A $ y $ B $, hay dos rutas estándar: un método de coeficientes inciertos y un método para sustituir los valores privados. Utilizamos el método de sustitución de valores privados, sustituyendo $ x \u003d 2 $, y luego $ x \u003d - \\ frac (1) (3) $:

$$ \\ FRC (7) (3) x + 4 \u003d a (x-2) + b \\ izquierda (x + \\ frac (1) (3) \\ derecha). \\\\ x \u003d 2; \\; \\ FRAC (7) (3) \\ CDOT 2 + 4 \u003d A (2-2) + B \\ IZQUIERDA (2+ \\ FRAC (1) (3) \\ Derecha); \\; \\ Frac (26) (3) \u003d \\ frac (7) (3) B; \\; B \u003d \\ frac (26) (7). \\\\ x \u003d - \\ frac (1) (3); \\; \\ FRAC (7) (3) \\ CDOT \\ Izquierda (- \\ FRC (1) (3) \\ Derecha) + 4 \u003d A \\ I izquierda (- \\ FRC (1) (3) -2 \\ Derecha) + B \\ IZQUIERDA (- \\ frac (1) (3) + \\ frac (1) (3) \\ derecha); \\; \\ Frac (29) (9) \u003d - \\ frac (7) (3) a; \\; A \u003d - \\ FRC (29 \\ CDOT 3) (9 \\ CDOT 7) \u003d - \\ FRAC (29) (21). \\\\ $$

Dado que se encuentran los coeficientes, sigue sólo para registrar una descomposición terminada:

$$ \\ FRC (\\ FRC (7) (3) x + 4) (\\ \\ a la izquierda (x + \\ frac (1) (3) \\ derecha) (x-2)) \u003d \\ frac (- \\ frac (29) (21)) (X + \\ frac (1) (3)) + \\ frac (\\ frac (26) (7)) (X-2). $$.

En principio, puede dejar este registro, pero tengo una opción más precisa:

$$ \\ FRAC (\\ frac (7) (3) X + 4) (\\ left (X + \\ frac (1) (3) \\ right) (X-2)) \u003d - \\ frac (29) (21) \\ cdot \\ frac (1) (X + \\ frac (1) (3)) + \\ frac (26) (7) \\ cdot \\ frac (1) (X-2). $$.

Volviendo a la integral inicial, sustituiremos la descomposición resultante. Luego rompemos la integral en dos, y a cada uno aplique la fórmula. Las constantes prefiero soportar de inmediato el signo integral:

$$ \\ INT \\ FRAC (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) DX \u003d \\ INT \\ IZQUIERDO (- \\ FRAC (29) (21) \\ CDOT \\ FRAC (1) (x + \\ frac (1 ) (3)) + \\ frac (26) (7) \\ cdot \\ frac (1) (X-2) \\ derecha) DX \u003d \\\\ \u003d \\ INT \\ left (- \\ frac (29) (21) \\ cdot \\ FRAC (1) (X + \\ frac (1) (3)) \\ right) dx + \\ INT \\ left (\\ frac (26) (7) \\ cdot \\ frac (1) (X-2) \\ derecho) DX \u003d - \\ frac (29) (21) \\ cdot \\ INT \\ FRAC (DX) (X + \\ frac (1) (3)) + \\ frac (26) (7) \\ cdot \\ INT \\ FRAC (DX) (X-2) dx \u003d \\\\ \u003d - \\ frac (29) (21) \\ cdot \\ ln \\ left | x + \\ frac (1) (3) \\ Haga | + \\ frac (26) (7) \\ cdot \\ LN | X 2 | + c. $$.

Respuesta: $ \\ int \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) dx \u003d - \\ frac (29) (21) \\ CDOT \\ LN \\ Izquierda | X + \\ FRAC (1) (3) \\ Derecha | + \\ frac (26) (7) \\ cdot \\ ln | x-2 | + C $.

Ejemplo número 3.

Encuentre la integral de $ \\ INT \\ FRAC (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) DX $.

Necesitamos integrar la fracción de $ \\ FRAC (x ^ 2-38x + 157) ((X-1) (x + 4) (X-9)) $. El número contiene un polinomio del segundo grado, y en el denominador, el tercer grado polinomial. Dado que el grado de polinomio en un numerador es menor que el grado de polinomio en el denominador, es decir, $ 2.< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \\ FRAC (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9) \u003d - \\ frac (3) (x - 1) + \\ frac (5) (x +4) - \\ FRAC (1) (X-9). $$.

Solo tendremos que romper la integral especificada de tres, y para aplicar la fórmula. Las constantes prefiero soportar de inmediato el signo integral:

$$ \\ int \\ frac (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) dx \u003d \\ int \\ izquierda (- \\ frac (3) (x-1) + \\ Frac (5) (x + 4) - \\ frac (1) (x-9) \\ derecha) dx \u003d \\\\ \u003d - 3 \\ CDOT \\ INT \\ FRAC (DX) (X - 1) + 5 \\ CDOT \\ int \\ frac (dx) (x + 4) - \\ int \\ frac (dx) (x-9) \u003d - 3 \\ ln | x-1 | +5 \\ ln | x + 4 | - \\ ln | x- 9 | + c. $$.

Respuesta: $ \\ Int \\ frac (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) dx \u003d -3 \\ ln | x-1 | 5 \\ ln | x + 4 | - \\ ln | x-9 | + c $.

La continuación del análisis de los ejemplos de este tema se encuentra en la segunda parte.

Se consideran ejemplos de integración de funciones racionales (fracciones) con soluciones detalladas.

Contenido

Ver también: Raíces de la ecuación cuadrada

Aquí leemos soluciones detalladas de tres ejemplos de integración de las siguientes fracciones racionales:
, , .

Ejemplo 1.

Calcular la integral:
.

Aquí, bajo el signo integral, existe una función racional, ya que la integración es una fracción de polinomios. El grado de polinomio del denominador ( 3 ) Menos que el grado de numerador polinomio ( 4 ). Por lo tanto, al principio es necesario asignar toda la parte de la fracción.

1. Resaltamos toda la parte del Fraci. Delim X. 4 en X. 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

De aquí
.

2. Espátula el denomotor de las fracciones en multiplicadores. Para hacer esto, resuelva una ecuación cúbica:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Sustituto x \u003d 1 :
.

1 . Dividimos en X - 1 :

De aquí
.
Resolvemos la ecuación cuadrada.
.
Ecuaciones de la raíz: ,.
Luego
.

3. Descomponemos la fracción en lo más sencillo.

.

Entonces, encontramos:
.
Nos integramos.

Ejemplo 2.

Calcular la integral:
.

Aquí en el numerador de la fracción, un polinomio de grado cero ( 1 \u003d x 0). En el denominador, un polinomio del tercer grado. En la medida en 0 < 3 , el aplastamiento es correcto. Difundirlo en la fracción más sencilla.

1. Espátula el denomotor de las fracciones en multiplicadores. Para hacer esto, es necesario resolver la ecuación del tercer grado:
.
Supongamos que tiene al menos una raíz completa. Entonces él es un divisor del número 3 (Miembro sin X). Es decir, toda la raíz puede ser uno de los números:
1, 3, -1, -3 .
Sustituto x \u003d 1 :
.

Entonces, encontramos una raíz x \u003d 1 . Delim X. 3 + 2 x - 3 en x - 1 :

Entonces,
.

Resolvemos la ecuación cuadrada:
x. 2 + x + 3 \u003d 0.
Encontramos discriminante: D \u003d 1 2 - 4 · 3 \u003d -11. Desde D.< 0 La ecuación no tiene raíces válidas. Por lo tanto, recibimos una descomposición del denominador para multiplicadores:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Sustituto x \u003d 1 . Entonces x - 1 = 0 ,
.

Sustituto B. (2.1) x \u003d. 0 :
1 \u003d 3 a - c;
.

Asegurar B. (2.1) Coeficientes en X. 2 :
;
0 \u003d a + b;
.

3. Nos integramos.
(2.2) .
Para calcular la segunda integral, seleccione el derivado del denominador en el numerador y dé el denominador a la suma de los cuadrados.

;
;
.

Calcular I. 2 .

.
Desde la ecuación X. 2 + x + 3 \u003d 0 no tiene raíces válidas, entonces x 2 + x + 3\u003e 0. Por lo tanto, el signo del módulo se puede omitir.

Suministro en (2.2) :
.

Ejemplo 3.

Calcular la integral:
.

Aquí, bajo el signo de la integral, vale la pena una fracción de los polinomios. Por lo tanto, la integración es una función racional. El grado de polinomio en el numerador es igual. 3 . El grado de polinomio del denominador de la fracción es igual. 4 . En la medida en 3 < 4 , el aplastamiento es correcto. Por lo tanto, se puede colocar en la fracción más sencilla. Pero para esto necesitas descomponer el denominador para multiplicadores.

1. Espátula el denomotor de las fracciones en multiplicadores. Para hacer esto, es necesario resolver la ecuación de cuarto grado:
.
Supongamos que tiene al menos una raíz completa. Entonces él es un divisor del número 2 (Miembro sin X). Es decir, toda la raíz puede ser uno de los números:
1, 2, -1, -2 .
Sustituto x \u003d -1 :
.

Entonces, encontramos una raíz x \u003d -1 . Dividimos en X - (-1) \u003d x + 1:

Entonces,
.

Ahora necesitas resolver la ecuación del tercer grado:
.
Si asumimos que esta ecuación tiene una raíz completa, entonces es un divisor del número 2 (Miembro sin X). Es decir, toda la raíz puede ser uno de los números:
1, 2, -1, -2 .
Sustituto x \u003d -1 :
.

Entonces, encontramos otra raíz x \u003d -1 . Sería posible, como en el caso anterior, dividirá el polinomio, pero agrupamos a los miembros:
.

Desde la ecuación X. 2 + 2 = 0 No tiene raíces reales, recibimos una descomposición del denominador para factores:
.

2. Descomponemos la fracción en lo más sencillo. Estamos buscando una descomposición en la forma:
.
Somos liberados del denominador las fracciones, se multiplica en (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Sustituto x \u003d -1 . Luego x +. 1 = 0 ,
.

Diferencia (3.1) :

;

.
Sustituto x \u003d -1 Y tenemos en cuenta que x + 1 = 0 :
;
; .

Sustituto B. (3.1) x \u003d. 0 :
0 \u003d 2 A + 2 B + D;
.

Asegurar B. (3.1) Coeficientes en X. 3 :
;
1 \u003d B + C;
.

Entonces, encontramos una descomposición en las fracciones más simples:
.

3. Nos integramos.

.

Ver también:

Recordar que racional fraccionario Funciones de llamada del tipo $$ F (x) \u003d \\ FRAC (P_N (X)) (Q_M (X)), $$ en el caso general es la proporción de dos polinomios %% P_N (X) %% y %% q_m (x)%%.

Si %% M\u003e N \\ GEQ 0 %%, entonces se llama la fracción racional derechaDe lo contrario, mal. Usando la regla divisoria de los polinomios, la fracción racional incorrecta se puede representar como la cantidad del polinomio %% p_ (n - m) %% del grado %% n - m %% y alguna fracción correcta, es decir. $$ \\ FRAC (P_N (X)) (Q_M (X)) \u003d P_ (NM) (X) + \\ FRAC (P_L (X)) (q_n (x)), $$, donde %% L %% polinomial% polinomial % P_L (X) %% Menos que el grado %% n %% del polinomio %% q_n (x) %%.

Por lo tanto, se puede presentar una integral indefinida de una función racional a la suma de integrales inciertos de polinomio y de la fracción racional correcta.

Integrales de las fracciones racionales más simples.

Entre las fracciones racionales correctas, se distinguen cuatro tipos que pertenecen a las fracciones racionales más simples:

%% \\ DisplayStyle \\ FRAC (A) (X - A) %%,
%% \\ DisplayStyle \\ FRAC (A) ((X - A) ^ k) %%,
%% \\ DisplayStyle \\ FRC (AX + B) (x ^ 2 + px + q) %%,
%% \\ DisplayStyle \\ FRAC (AX + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ k) %%,

donde %% k\u003e 1 %% - entero y %% p ^ 2 - 4q< 0%%, т.е. ecuaciones cuadráticas No tenga raíces válidas.

Cálculo de integrales inciertos de las fracciones de los dos primeros tipos.

El cálculo de las integrales inciertas de las fracciones de los dos primeros tipos no causa dificultades: $$ \\ Comenzar (ARRAY) (LL) \\ INT \\ FRC (A) (X - A) \\ MATHRM (D) X & \u003d A \\ int \\ Frac (\\ mathrm (d) (x - a)) (x - a) \u003d a \\ ln | x - a | + C, \\\\ \\\\ \\ int \\ frac (a) ((x - a) ^ k) \\ mathrm (d) x \\ \u003d A \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) (x - a)) (( x - a) ^ k) \u003d a \\ frac ((xa) ^ (- k + 1)) (- k + 1) + c \u003d \\\\ \\ - \\ frac (a) ((k-1) (xa) ^ (K-1)) + C. \\ End (Array) $$

Cálculo de integrales inciertos de fracciones del tercer tipo.

La fracción del tercer tipo primero transformamos, resaltamos el cuadrado completo en el denominador: $$ \\ FRAC (AX + B) (X ^ 2 + PX + Q) \u003d \\ FRAC (AX + B) ((X + P / 2) ^ 2 + Q - P ^ 2/4), $$ como %% P ^ 2 - 4Q< 0%%, то %%q - p^2/4 > 0 %%, que denota como %% A ^ 2 %%. Reemplazo también %% t \u003d x + p / 2, \\ mathrm (d) t \u003d \\ mathrm (d) x %%, convertimos el denominador y escribimos la integral de la fracción del tercer tipo en el formulario $$ \\ comience (matriz ) (Ll) \\ int \\ frac (AX + B) (x ^ 2 + px + q) \\ mathrm (d) x \\ \u003d \\ int \\ frac (AX + B) ((X + P / 2) ^ 2 + Q - P ^ 2/4) \\ MATHRM (D) X \u003d \\\\ \\ \\ INT \\ FRAC (A (T - P / 2) + B) (t ^ 2 + a ^ 2) \\ mathrm (d) t \u003d \\ int \\ frac (AT + (B - A P / 2)) (T ^ 2 + A ^ 2) \\ MathRM (D) T. \\ End (Array) $$

La última integral, utilizando la linealidad de una integral indefinida, imagina en forma de la suma de dos y, en primer lugar, introduce %% t %% bajo el signo diferencial: $$ \\ comience (matriz) \\ int \\ frac ( En + (B - AP / 2)) (t ^ 2 + a ^ 2) \\ mathrm (d) t & \u003d a \\ int \\ frac (t \\ mathrm (d) t) (t ^ 2 + a ^ 2) + \\ Izquierda (B - \\ FRC (PA) (2) \\ Derecha) \\ Int \\ FRAC (\\ MathRM (D) T) (T ^ 2 + A ^ 2) \u003d \\\\ \\ \u003d \\ FRAC (A) (2 ) \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) \\ izquierda (t ^ 2 + a ^ 2 \\ derecha) (t ^ 2 + a ^ 2) + - \\ frac (2b - pa) (2) \\ int \\ frac (\\ MathRM (D) T) (t ^ 2 + a ^ 2) \u003d \\\\ \\ \\ frac (a) (2) \\ l \\ izquierda | T ^ 2 + a ^ 2 \\ derecha | + \\ FRAC (2B - PA) (2A) \\ Texto (ARCTG) \\ FRAC (T) (A) + C. \\ End (Array) $$

Volviendo a la variable original %% x %%, como resultado, para la fracción del tercer tipo, obtenemos $$ \\ INT \\ FRC (AX + B) (X ^ 2 + PX + Q) \\ MATHRM (D) X \u003d \\ frac (a) (2) \\ l \\ izquierda | x ^ 2 + px + q \\ derecha | + \\ FRAC (2B - PA) (2A) \\ Texto (ARCTG) \\ FRAC (X + P / 2) (A) + C, $$, donde %% A ^ 2 \u003d Q - P ^ 2/4\u003e 0% %.

El cálculo de la integral del tipo 4 es difícil, por lo tanto, no se considera en este curso.