2 derivada de una función compleja. Derivados complejos

La operación de encontrar una derivada se llama diferenciación.

Como resultado de resolver los problemas de encontrar derivadas para las funciones más simples (y no muy simples) definiendo la derivada como el límite de la relación entre el incremento y el incremento del argumento, una tabla de derivadas y reglas de diferenciación definidas con precisión. apareció. Los primeros en el campo de la búsqueda de derivados fueron Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Por lo tanto, en nuestro tiempo, para encontrar la derivada de cualquier función, no es necesario calcular el límite mencionado anteriormente de la razón del incremento de la función al incremento del argumento, pero solo necesita usar el tabla de derivadas y las reglas de diferenciación. El siguiente algoritmo es adecuado para encontrar la derivada.

Para encontrar la derivada, necesitas una expresión debajo del signo de trazo desmontar funciones simples y determinar que acciones (producto, suma, cociente) estas funciones están vinculadas. Además, las derivadas de funciones elementales se encuentran en la tabla de derivadas, y las fórmulas para derivadas del producto, suma y cociente se encuentran en las reglas de diferenciación. La tabla de derivadas y las reglas de diferenciación se dan después de los dos primeros ejemplos.

Ejemplo 1. Encuentra la derivada de una función

Solución. De las reglas de diferenciación, encontramos que la derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de funciones, es decir

De la tabla de derivadas encontramos que la derivada de la "x" es igual a uno, y la derivada del seno es igual al coseno. Sustituimos estos valores en la suma de derivadas y encontramos la derivada requerida por la condición del problema:

Ejemplo 2. Encuentra la derivada de una función

Solución. Diferenciamos como la derivada de la suma, en la que el segundo término con un factor constante, se puede tomar fuera del signo de la derivada:

Si todavía hay preguntas sobre de dónde viene qué, por regla general, se vuelven más claras después de familiarizarse con la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación más simples. Vamos a ellos ahora mismo.

Tabla derivada de funciones simples

1. Derivada de una constante (número). Cualquier número (1, 2, 5, 200 ...) que esté en la expresión de la función. Siempre cero. Es muy importante recordar esto, ya que se requiere con mucha frecuencia.
2. Derivada de la variable independiente. Más a menudo "x". Siempre igual a uno. También es importante recordar esto durante mucho tiempo.
3. Grado derivado. Al resolver problemas, debe transformar raíces no cuadradas en un grado.
4. Derivada de una variable a la potencia de -1
5. Derivado raíz cuadrada
6. Derivada del seno
7. Derivada del coseno
8. Derivada de la tangente
9. Derivada de la cotangente
10. Derivada del arcoseno
11. Derivada del arcocoseno
12. Derivada del arcangente
13. Derivada del arco cotangente
14. Derivada del logaritmo natural
15. Derivada de la función logarítmica
16. Derivada del exponente
17. Derivada de la función exponencial

Reglas de diferenciación

1. Derivada de la suma o diferencia
2. Derivado del trabajo
2a. Derivada de una expresión multiplicada por un factor constante
3. Derivada del cociente
4. Derivada de una función compleja

Regla 1.Si funciones

diferenciables en algún punto, entonces en el mismo punto las funciones

es más

aquellos. la derivada de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones.

Consecuencia. Si dos funciones diferenciables difieren en un término constante, entonces sus derivadas son iguales, es decir.

Regla 2.Si funciones

diferenciable en algún punto, entonces en el mismo punto su producto también es diferenciable

es más

aquellos. la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones por la derivada de la otra.

Corolario 1. El factor constante se puede mover fuera del signo de la derivada.:

Corolario 2. La derivada del producto de varias funciones diferenciables es igual a la suma de los productos de la derivada de cada uno de los factores por todos los demás.

Por ejemplo, por tres factores:

Regla 3.Si funciones

diferenciable en algún momento y , entonces en este punto es diferenciable y su cocienteu / v, y

aquellos. la derivada del cociente de dos funciones es igual a la fracción, cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado de el numerador anterior.

Dónde que buscar en otras páginas

Al encontrar la derivada del producto y el cociente en problemas reales, siempre es necesario aplicar varias reglas de diferenciación a la vez, por lo que hay más ejemplos de estas derivadas en el artículo."Derivado de una obra y una función particular".

Comentario.¡No confunda una constante (es decir, un número) como suma y como factor constante! En el caso de un término, su derivada es igual a cero, y en el caso de un factor constante, se saca del signo de las derivadas. eso error típico, que ocurre en la etapa inicial del estudio de las derivadas, pero como ya se han resuelto varios ejemplos de uno o dos componentes, el estudiante promedio ya no comete este error.

Y si, a la hora de diferenciar una obra o un particular, tienes un término tu"v, en el cual tu- un número, por ejemplo, 2 o 5, es decir, una constante, entonces la derivada de este número será igual a cero y, por lo tanto, el término completo será igual a cero (este caso se analiza en el Ejemplo 10).

Otro error común es la solución mecánica de una derivada de una función compleja como derivada de una función simple. Es por eso derivada de una función compleja se dedica un artículo aparte. Pero primero, aprenderemos a encontrar las derivadas de funciones simples.

En el camino, no puede prescindir de las transformaciones de expresión. Para hacer esto, es posible que deba abrir los tutoriales en nuevas ventanas Acciones con poderes y raíces y Acciones con fracciones .

Si está buscando soluciones para derivadas de fracciones con potencias y raíces, es decir, cuando una función se parece a , luego siga la lección Derivada de la suma de fracciones con potencias y raíces.

Si tienes una tarea como , luego su lección "Derivadas de funciones trigonométricas simples".

Ejemplos paso a paso: cómo encontrar la derivada

Ejemplo 3. Encuentra la derivada de una función

Solución. Determinamos las partes de la expresión de la función: la expresión completa representa el producto y sus factores son sumas, en el segundo de los cuales uno de los términos contiene un factor constante. Aplicamos la regla de la diferenciación de productos: la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones por la derivada de la otra:

A continuación, aplicamos la regla para diferenciar la suma: la derivada de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones. En nuestro caso, en cada suma, el segundo término con un signo menos. En cada suma vemos tanto una variable independiente, cuya derivada es igual a uno, como una constante (número), cuya derivada es igual a cero. Entonces, "x" para nosotros se convierte en uno y menos 5 en cero. En la segunda expresión, "x" se multiplica por 2, por lo que multiplicamos dos por la misma unidad que la derivada de "x". Obtenemos los siguientes valores de las derivadas:

Sustituimos las derivadas encontradas en la suma de los productos y obtenemos la derivada de la función completa requerida por la condición del problema:

Y puede verificar la solución del problema para la derivada en.

Ejemplo 4. Encuentra la derivada de una función

Solución. Estamos obligados a encontrar la derivada del cociente. Aplicamos la fórmula para diferenciar el cociente: la derivada del cociente de dos funciones es igual a una fracción, cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada de la denominador, y el denominador es el cuadrado del numerador anterior. Obtenemos:

Ya hemos encontrado la derivada de los factores en el numerador en el Ejemplo 2. No olvidemos que el producto que es el segundo factor en el numerador en el ejemplo actual se toma con un signo menos:

Si está buscando soluciones a problemas en los que necesita encontrar la derivada de una función, donde hay un montón continuo de raíces y potencias, como, por ejemplo, entonces bienvenido a clase "Derivada de la suma de fracciones con potencias y raíces" .

Si necesita aprender más sobre las derivadas de senos, cosenos, tangentes y otros funciones trigonométricas, es decir, cuando la función se parece a , luego tu lección "Derivadas de funciones trigonométricas simples" .

Ejemplo 5. Encuentra la derivada de una función

Solución. En esta función, vemos un producto, uno de cuyos factores es la raíz cuadrada de la variable independiente, cuya derivada nos familiarizamos en la tabla de derivadas. Según la regla de diferenciación del producto y el valor tabular de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Puede verificar la solución del problema para la derivada en calculadora de derivados en línea .

Ejemplo 6. Encuentra la derivada de una función

Solución. En esta función, vemos el cociente, cuyo dividendo es la raíz cuadrada de la variable independiente. Según la regla de diferenciación del cociente, que repetimos y aplicamos en el ejemplo 4, y el valor de la tabla de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Para deshacerse de la fracción en el numerador, multiplique el numerador y el denominador por.

Funciones tipo complejo no es del todo correcto llamarlo una "función compleja". Por ejemplo, se ve muy impresionante, pero esta función no es complicada, a diferencia.

En este artículo trataremos el concepto función compleja, aprenderemos a identificarlo como parte de funciones elementales, daremos una fórmula para encontrar su derivada y consideraremos en detalle la solución de ejemplos típicos.

Usaremos constantemente la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación al resolver los ejemplos, así que manténgalos frente a sus ojos.

Función compleja Es una función cuyo argumento también es una función.

Desde nuestro punto de vista, esta definición es la más comprensible. Se puede denotar convencionalmente como f (g (x)). Es decir, g (x) es como un argumento de la función f (g (x)).

Por ejemplo, si f es la función arcotangente y g (x) = lnx es la función logaritmo natural, entonces la función compleja f (g (x)) es arctan (lnx). Otro ejemplo: f es la función de elevar a la cuarta potencia, y - entero función racional(mira) entonces .

A su vez, g (x) también puede ser una función compleja. Por ejemplo, ... Convencionalmente, tal expresión se puede denotar como ... Aquí f es la función seno, es la función raíz cuadrada, - función racional fraccionaria. Es lógico suponer que el grado de anidamiento de funciones puede ser cualquier finito número natural.

A menudo puede escuchar que una función compleja se llama composición de funciones.

Fórmula para encontrar la derivada de una función compleja.

Ejemplo.

Encuentra la derivada de una función compleja.

Solución.

V este ejemplo f es la función de elevación al cuadrado y g (x) = 2x + 1 es una función lineal.

Aquí hay una solución detallada usando una fórmula de derivada de función compuesta:

Encontremos esta derivada después de simplificar la forma de la función original.

Por eso,

Como puede ver, los resultados son los mismos.

Trate de no confundir qué función es f y cuál es g (x).

Expliquemos esto con un ejemplo de atención.

Ejemplo.

Encuentra derivadas de funciones complejas y.

Solución.

En el primer caso, f es la función de elevación al cuadrado y g (x) es la función de seno, por lo que
.

En el segundo caso, f es la función seno, y - función de potencia... Por lo tanto, por la fórmula del producto de una función compleja, tenemos

La fórmula derivada de la función tiene la forma

Ejemplo.

Diferenciar la función .

Solución.

En este ejemplo, una función compleja se puede escribir condicionalmente como , donde es la función seno, la función de elevar a la tercera potencia, la función de llevar el logaritmo a la base e, la función de tomar la función arcangente y la función lineal, respectivamente.

Por la fórmula de la derivada de una función compleja

Ahora encontramos

Juntando los resultados intermedios obtenidos:

No hay nada de miedo, desmonte funciones complejas como anidar muñecos.

Este podría ser el final del artículo, si no uno solo, pero ...

Es aconsejable comprender claramente cuándo aplicar las reglas de diferenciación y la tabla de derivadas, y cuándo la fórmula para la derivada de una función compleja.

AHORA TENGA ESPECIAL CUIDADO. Hablaremos de la diferencia entre funciones complejas y funciones complejas. La cantidad de esta diferencia que vea determinará el éxito de la búsqueda de derivados.

Comencemos con algunos ejemplos sencillos. Función puede verse como complejo: g (x) = tgx, ... Por lo tanto, puede aplicar inmediatamente la fórmula para la derivada de una función compleja.

Y aqui esta la funcion difícil ya no se puede llamar.

Esta función es la suma de tres funciones, 3tgx y 1. Aunque - es una función compleja: es una función de potencia (parábola cuadrática) y f es una función tangente. Por tanto, primero aplicamos la fórmula para diferenciar la suma:

Queda por encontrar la derivada de una función compleja:

Es por eso .

Esperamos que entiendas lo esencial.

En términos más generales, se puede argumentar que las funciones de tipo complejo pueden ser parte de funciones complejas y las funciones complejas pueden ser parte de funciones de tipo complejo.

Como ejemplo, analicemos partes componentes función .

En primer lugar, esta es una función compleja que se puede representar como, donde f es la función logarítmica en base 3, y g (x) es la suma de dos funciones y ... Es decir, .

en segundo lugar, nos ocuparemos de la función h (x). Representa una relación con .

Esta es la suma de las dos funciones y , dónde - una función compleja con un coeficiente numérico de 3. - función de cubicación, - función coseno, - función lineal.

Esta es la suma de dos funciones y, donde - función compleja, - función de exponenciación, - función de potencia.

Por lo tanto, .

En tercer lugar, ir a, que es el producto de una función compleja y toda una función racional

La función de elevar al cuadrado es la función de llevar el logaritmo a la base e.

Por eso, .

Resumamos:

Ahora la estructura de la función está clara y quedó claro qué fórmulas y en qué secuencia aplicar al diferenciarla.

En la sección sobre diferenciar una función (encontrar la derivada), puede familiarizarse con la solución de problemas similares.

Decidir tareas fisicas o ejemplos en matemáticas es completamente imposible sin el conocimiento de la derivada y los métodos para calcularla. La derivada es una de conceptos esenciales Análisis matemático... Decidimos dedicar el artículo de hoy a este tema fundamental. ¿Qué es una derivada, cuál es su significado físico y geométrico, cómo calcular la derivada de una función? Todas estas preguntas se pueden combinar en una: ¿cómo entender la derivada?

Significado geométrico y físico de la derivada

Que haya una función f (x) dado en algún intervalo (a, b) ... Los puntos х y х0 pertenecen a este intervalo. Cuando x cambia, la función en sí cambia. Cambiar un argumento: la diferencia entre sus valores x-x0 ... Esta diferencia se escribe como delta x y se llama incremento de argumento. Un cambio o incremento de una función es la diferencia en los valores de una función en dos puntos. Definición de derivada:

La derivada de una función en un punto es el límite de la relación entre el incremento de la función en un punto dado y el incremento del argumento cuando este último tiende a cero.

De lo contrario, se puede escribir así:

¿De qué sirve encontrar ese límite? Y esto es lo que:

la derivada de la función en un punto es igual a la tangente del ángulo entre el eje OX y la tangente a la gráfica de la función en este punto.

Sentido fisico derivado: la derivada de la trayectoria con respecto al tiempo es igual a la velocidad del movimiento rectilíneo.

De hecho, desde la época escolar, todo el mundo sabe que la velocidad es un camino privado. x = f (t) y tiempo t ... Velocidad promedio durante un período de tiempo:

Para averiguar la velocidad de movimiento a la vez t0 necesitas calcular el límite:

Regla uno: saca una constante

La constante se puede mover fuera del signo de la derivada. Además, debe hacerse. Al resolver ejemplos en matemáticas, tome como regla: si puede simplificar la expresión, asegúrese de simplificar .

Ejemplo. Calculemos la derivada:

Regla dos: derivada de la suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de estas funciones. Lo mismo es cierto para la derivada de la diferencia de funciones.

No daremos una prueba de este teorema, sino que consideraremos un ejemplo práctico.

Encuentra la derivada de una función:

Regla tres: derivada del producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones diferenciables se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo: encuentra la derivada de una función:

Solución:

Es importante decir aquí sobre el cálculo de derivadas de funciones complejas. La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio por la derivada del argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

En el ejemplo anterior, encontramos la expresión:

En este caso, el argumento intermedio es 8x elevado a la quinta potencia. Para calcular la derivada de dicha expresión, primero calculamos la derivada de la función externa con respecto al argumento intermedio, y luego multiplicamos por la derivada del argumento intermedio inmediato con respecto a la variable independiente.

Regla cuatro: el cociente derivado de dos funciones

Fórmula para determinar la derivada del cociente de dos funciones:

Intentamos informarle sobre los derivados de los maniquíes desde cero. Este tema no es tan simple como parece, así que tenga cuidado: a menudo hay errores en los ejemplos, así que tenga cuidado al calcular las derivadas.

Para cualquier consulta sobre este y otros temas, puede ponerse en contacto con el servicio al alumno. En poco tiempo, lo ayudaremos a resolver la prueba más difícil y a ocuparnos de las tareas, incluso si nunca antes ha hecho el cálculo de derivadas.

Después de la preparación preliminar de la artillería, los ejemplos con accesorios de funciones 3-4-5 serán menos atemorizantes. Quizás los siguientes dos ejemplos parezcan difíciles para algunos, pero si los entiendes (alguien sufrirá), entonces casi todo lo demás en el cálculo diferencial parecerá una broma infantil.

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de una función

Como ya se señaló, al encontrar la derivada de una función compleja, en primer lugar, es necesario Derecha ENTIENDA los archivos adjuntos. En los casos en los que hay dudas, recuerdo una técnica útil: tomamos el valor experimental "X", por ejemplo, y tratamos (mentalmente o en un borrador) de sustituir este valor en la "expresión terrible".

1) Primero, necesitamos calcular la expresión, lo que significa que el monto es la inversión más profunda.

2) Entonces necesitas calcular el logaritmo:

4) Luego eleva el coseno a un cubo:

5) En el quinto paso, la diferencia:

6) Y finalmente, la función más externa es la raíz cuadrada:

Fórmula de diferenciación de funciones complejas aplicado en orden inverso, desde la función más externa a la más interna. Nosotros decidimos:

Parece sin errores:

1) Saca la derivada de la raíz cuadrada.

2) Tomamos la derivada de la diferencia usando la regla

3) La derivada del triple es cero. En el segundo término, tomamos la derivada del grado (cubo).

4) Tomamos la derivada del coseno.

6) Y finalmente, tomamos la derivada del anidamiento más profundo.

Puede parecer demasiado difícil, pero este no es todavía el ejemplo más brutal. Tome, por ejemplo, la colección de Kuznetsov y apreciará todo el encanto y la simplicidad del derivado analizado. Noté que les gusta dar algo similar en el examen para verificar si el estudiante entiende cómo encontrar la derivada de una función compleja, o no la entiende.

Siguiente ejemplo para decisión independiente.

Ejemplo 3

Encuentra la derivada de una función

Sugerencia: primero, aplique las reglas de linealidad y la regla de diferenciación de productos

Solución completa y respuesta al final del tutorial.

Ahora es el momento de pasar a algo más compacto y lindo.
No es raro que un ejemplo dé un producto no de dos, sino de tres funciones. ¿Cómo encontrar la derivada del producto de tres factores?

Ejemplo 4

Encuentra la derivada de una función

Primero, veamos si es posible convertir el producto de tres funciones en el producto de dos funciones. Por ejemplo, si tuviéramos dos polinomios en el producto, entonces podríamos expandir los corchetes. Pero en este ejemplo, todas las funciones son diferentes: grado, exponente y logaritmo.

En tales casos, es necesario consecuentemente aplicar la regla de diferenciación de productos dos veces

El truco es que para "y" denotamos el producto de dos funciones: y para "ve", el logaritmo :. ¿Por qué se puede hacer esto? Lo es - ¡¿Esto no es producto de dos factores y la regla no funciona ?! No hay nada complicado:

Ahora queda por segunda vez aplicar la regla. al paréntesis:

Todavía puede ser pervertido y poner algo fuera de los corchetes, pero en este caso es mejor dejar la respuesta en este formulario, será más fácil de verificar.

El ejemplo considerado se puede resolver de la segunda forma:

Ambas soluciones son absolutamente equivalentes.

Ejemplo 5

Encuentra la derivada de una función

Este es un ejemplo para una solución independiente, en la muestra se resuelve de la primera forma.

Veamos ejemplos similares con fracciones.

Ejemplo 6

Encuentra la derivada de una función

Hay varias formas de hacerlo:

O así:

Pero la solución se escribirá de forma más compacta si, en primer lugar, usamos la regla para diferenciar el cociente , tomando el numerador completo:

En principio el ejemplo está resuelto, y si lo dejas como está, no será un error. Pero si tienes tiempo, siempre es recomendable revisar un borrador, pero ¿es posible simplificar la respuesta?

Llevemos la expresión del numerador a común denominador y deshacerse de la fracción de tres pisos:

La desventaja de las simplificaciones adicionales es que existe el riesgo de cometer un error no al encontrar la derivada, sino en el caso de transformaciones escolares banales. Por otro lado, los profesores a menudo rechazan la tarea y piden "recordar" la derivada.

Un ejemplo más simple de una solución de bricolaje:

Ejemplo 7

Encuentra la derivada de una función

Continuamos dominando los métodos para encontrar la derivada, y ahora consideraremos un caso típico en el que se propone el logaritmo "terrible" para la diferenciación.

Si seguimos la definición, entonces la derivada de una función en un punto es el límite de la razón del incremento de la función Δ y al incremento del argumento Δ X:

Todo parece estar claro. Pero intente calcular usando esta fórmula, digamos, la derivada de una función F(X) = X 2 + (2X+ 3) mi X Pecado X... Si lo hace todo por definición, luego de un par de páginas de cálculos simplemente se quedará dormido. Por tanto, existen formas más sencillas y eficaces.

Para empezar, observamos que las llamadas funciones elementales se pueden distinguir de toda la variedad de funciones. Estas son expresiones relativamente simples, cuyas derivadas se han calculado e ingresado en la tabla durante mucho tiempo. Estas funciones son bastante fáciles de recordar, junto con sus derivadas.

Derivadas de funciones elementales

Las funciones elementales son todo lo que se enumera a continuación. Las derivadas de estas funciones deben conocerse de memoria. Además, memorizarlos no es nada difícil, por eso son elementales.

Entonces, las derivadas de funciones elementales:

Nombre	Función	Derivado
Constante	F(X) = C, C ∈ R	0 (¡sí, cero!)
Grado racional	F(X) = X norte	norte · X norte − 1
Seno	F(X) = pecado X	porque X
Coseno	F(X) = cos X	- pecado X(menos seno)
Tangente	F(X) = tg X	1 / cos 2 X
Cotangente	F(X) = ctg X	- 1 / pecado 2 X
Logaritmo natural	F(X) = ln X	1/X
Logaritmo arbitrario	F(X) = registro a X	1/(X Ln a)
Funcion exponencial	F(X) = mi X	mi X(nada ha cambiado)

Si la función elemental se multiplica por una constante arbitraria, entonces la derivada de la nueva función también se calcula fácilmente:

(C · F)’ = C · F ’.

En general, las constantes se pueden mover fuera del signo de la derivada. Por ejemplo:

(2X 3) ’= 2 · ( X 3) '= 2 3 X 2 = 6X 2 .

Obviamente, las funciones elementales se pueden agregar, multiplicar, dividir y mucho más. Así, aparecerán nuevas funciones, que ya no son especialmente elementales, sino también diferenciables según determinadas reglas. Estas reglas se analizan a continuación.

Derivada de la suma y la diferencia

Dejemos funciones F(X) y gramo(X), cuyos derivados conocemos. Por ejemplo, puede tomar las funciones elementales discutidas anteriormente. Entonces puedes encontrar la derivada de la suma y la diferencia de estas funciones:

1. (F + gramo)’ = F ’ + gramo ’
2. (F − gramo)’ = F ’ − gramo ’

Entonces, la derivada de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las derivadas. Puede haber más términos. Por ejemplo, ( F + gramo + h)’ = F ’ + gramo ’ + h ’.

Estrictamente hablando, no existe el concepto de "resta" en álgebra. Existe un concepto de "elemento negativo". Por lo tanto la diferencia F − gramo se puede reescribir como suma F+ (−1) gramo, y luego solo queda una fórmula: la derivada de la suma.

F(X) = X 2 + sen x; gramo(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Función F(X) Es la suma de dos funciones elementales, por lo tanto:

F ’(X) = (X 2 + pecado X)’ = (X 2) ’+ (pecado X)’ = 2X+ cos x;

Razonamos de manera similar para la función gramo(X). Solo que ya hay tres términos (desde el punto de vista del álgebra):

gramo ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Respuesta:
F ’(X) = 2X+ cos x;
gramo ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivado de una obra

Las matemáticas son una ciencia lógica, por lo que muchos creen que si la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas, entonces la derivada del producto Huelga"> es igual al producto de las derivadas. ¡Pero te imaginas! La derivada del producto se calcula utilizando una fórmula completamente diferente. A saber:

(F · gramo) ’ = F ’ · gramo + F · gramo ’

La fórmula es simple, pero a menudo se pasa por alto. Y no solo escolares, sino también estudiantes. El resultado son problemas resueltos incorrectamente.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = X 3 cos x; gramo(X) = (X 2 + 7X- 7) mi X .

Función F(X) es el producto de dos funciones elementales, por lo que todo es simple:

F ’(X) = (X 3 porque X)’ = (X 3) 'porque X + X 3 (porque X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (- pecado X) = X 2 (3cos X − X Pecado X)

La función gramo(X) el primer factor es un poco más complicado, pero esquema general no cambia de esto. Obviamente, el primer factor de la función gramo(X) es un polinomio y su derivada es la derivada de la suma. Tenemos:

gramo ’(X) = ((X 2 + 7X- 7) mi X)’ = (X 2 + 7X- 7) ’ mi X + (X 2 + 7X- 7) ( mi X)’ = (2X+ 7) mi X + (X 2 + 7X- 7) mi X = mi X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · mi X = X(X+ 9) mi X .

Respuesta:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X Pecado X);
gramo ’(X) = X(X+ 9) mi X .

Tenga en cuenta que en el último paso, la derivada se factoriza. Formalmente, no es necesario hacer esto, sin embargo, la mayoría de las derivadas no se calculan por sí mismas, sino para investigar la función. Esto significa que, además, la derivada se equiparará a cero, sus signos se aclararán, etc. Para tal caso, es mejor tener una expresión factorizada.

Si hay dos funciones F(X) y gramo(X), y gramo(X) ≠ 0 en el conjunto que nos interesa, podemos definir una nueva función h(X) = F(X)/gramo(X). Para tal función, también puede encontrar una derivada:

No es débil, ¿eh? ¿De dónde vino el menos? Por qué gramo 2? ¡Así es como! Esta es una de las fórmulas más difíciles: no se puede resolver sin una botella. Por tanto, es mejor estudiarlo con ejemplos concretos.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones:

El numerador y denominador de cada fracción contiene funciones elementales, por lo que todo lo que necesitamos es la fórmula para la derivada del cociente:

Por tradición, factorizar el numerador en factores simplificará enormemente la respuesta:

Una función compleja no es necesariamente una fórmula de medio kilómetro de largo. Por ejemplo, basta con tomar la función F(X) = pecado X y reemplaza la variable X digamos en X 2 + ln X... Resultará F(X) = pecado ( X 2 + ln X) Es una función compleja. También tiene una derivada, pero no funcionará para encontrarla de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente.

¿Cómo ser? En tales casos, el reemplazo de variables y la fórmula para la derivada de una función compleja ayudan:

F ’(X) = F ’(t) · t', si X es reemplazado por t(X).

Como regla general, con la comprensión de esta fórmula, la situación es aún más triste que con la derivada del cociente. Por tanto, también es mejor explicarlo con ejemplos concretos, con Descripción detallada cada paso.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = mi 2X + 3 ; gramo(X) = pecado ( X 2 + ln X)

Tenga en cuenta que si en la función F(X) en lugar de la expresión 2 X+ 3 será fácil X entonces resultará función elemental F(X) = mi X... Por lo tanto, hacemos una sustitución: sea 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = mi t... Buscamos la derivada de una función compleja mediante la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (mi t)’ · t ’ = mi t · t ’

Y ahora, ¡atención! Realizamos la reposición inversa: t = 2X+ 3. Obtenemos:

F ’(X) = mi t · t ’ = mi 2X+ 3 (2 X + 3)’ = mi 2X+ 3 2 = 2 mi 2X + 3

Ahora tratemos con la función gramo(X). Obviamente, necesitas reemplazar X 2 + ln X = t... Tenemos:

gramo ’(X) = gramo ’(t) · t’= (Sin t)’ · t’= Cos t · t ’

Reemplazo inverso: t = X 2 + ln X... Luego:

gramo ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X) ’= Cos ( X 2 + ln X) (2 X + 1/X).

¡Eso es todo! Como puede ver en la última expresión, todo el problema se redujo a calcular la suma derivada.

Respuesta:
F ’(X) = 2 mi 2X + 3 ;
gramo ’(X) = (2X + 1/X) Porque ( X 2 + ln X).

Muy a menudo en mis lecciones utilizo la palabra "trazo" en lugar del término "derivada". Por ejemplo, una prima de la cantidad es igual a la suma trazos. ¿Está más claro? Bueno, eso es bueno.

Por lo tanto, calcular la derivada se reduce a deshacerse de estos mismos trazos de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente. Como ejemplo final, volvamos a la derivada del exponente con el exponente racional:

(X norte)’ = norte · X norte − 1

Pocos saben cuál es el papel norte bien puede ser un número fraccionario. Por ejemplo, la raíz es X 0,5. Pero, ¿y si hay algo elegante en la raíz? Una vez más, esto resultará ser una función compleja, a tales construcciones les gusta ceder obras de control y exámenes.

Tarea. Encuentra la derivada de una función:

Primero, reescribamos la raíz como una potencia con un exponente racional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Ahora hacemos un reemplazo: dejemos X 2 + 8X − 7 = t... Encontramos la derivada por la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0,5) ' t'= 0,5 t−0,5 t ’.

Hacemos el reemplazo inverso: t = X 2 + 8X- 7. Tenemos:

F ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X- 7) −0,5 X 2 + 8X- 7) ’= 0.5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Finalmente, de vuelta a las raíces: