El significado geométrico del concepto de derivada. El significado geométrico de la derivada.

La derivada de la función f (x) en el punto x0 es el límite (si existe) de la razón del incremento de la función en el punto x0 al incremento del argumento Δx, si el incremento del argumento tiende a cero y se denota por f '(x0). La acción de encontrar la derivada de una función se llama diferenciación.
La derivada de la función tiene significado físico: derivada de una función en un punto dado - la tasa de cambio de la función en un punto dado.

El significado geométrico de la derivada.. La derivada en el punto x0 es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función y=f(x) en ese punto.

El significado físico de la derivada. Si un punto se mueve a lo largo del eje x y su coordenada cambia de acuerdo con la ley x(t), entonces la velocidad instantánea del punto:

El concepto de diferencial, sus propiedades. Reglas de diferenciación. Ejemplos.

Definición. La diferencial de una función en algún punto x es la parte lineal principal del incremento de la función.La diferencial de la función y = f(x) es igual al producto de su derivada y el incremento de la variable independiente x ( argumento).

Está escrito así:

o

O


Propiedades diferenciales
La diferencial tiene propiedades similares a las de la derivada:





PARA reglas básicas de diferenciación incluir:
1) sacando el factor constante del signo de la derivada
2) derivada de la suma, derivada de la diferencia
3) derivada del producto de funciones
4) derivada de un cociente de dos funciones (derivada de una fracción)

Ejemplos.
Probemos la fórmula: Por la definición de la derivada, tenemos:

Se puede sacar un factor arbitrario del signo del paso al límite (esto se conoce por las propiedades del límite), por lo tanto

Por ejemplo: Encontrar la derivada de una función
Solución: Usamos la regla de sacar el multiplicador del signo de la derivada :

Muy a menudo, primero tiene que simplificar la forma de una función diferenciable para usar la tabla de derivadas y las reglas para encontrar derivadas. Los siguientes ejemplos lo confirman claramente.

Fórmulas de diferenciación. Aplicación del diferencial en cálculos aproximados. Ejemplos.

El uso del diferencial en cálculos aproximados permite el uso del diferencial para cálculos aproximados de valores de funciones.
Ejemplos.
Usando el diferencial, calcule aproximadamente
Para calcular este valor, aplicamos la fórmula de la teoría
Introduzcamos la función a valor ajustado representar en forma
luego calcular

Sustituyendo todo en la fórmula, finalmente obtenemos
Responder:

16. Regla de L'Hopital para la revelación de incertidumbres de la forma 0/0 O ∞/∞. Ejemplos.
El límite de la razón de dos cantidades infinitesimales o infinitamente grandes es igual al límite de la razón de sus derivadas.

1)

17. Función creciente y decreciente. extremo de la función. Algoritmo para el estudio de una función por monotonicidad y extremum. Ejemplos.

Función aumenta en un intervalo si para cualesquiera dos puntos de este intervalo relacionados por la relación , la desigualdad es verdadera. Es decir, un valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función, y su gráfica va “de abajo hacia arriba”. La función de demostración crece a lo largo del intervalo.

Así mismo, la función disminuye en un intervalo si para cualesquiera dos puntos del intervalo dado, tal que , la desigualdad es verdadera. Es decir, un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función, y su gráfica va “de arriba hacia abajo”. El nuestro disminuye en intervalos disminuye en intervalos .

extremos El punto se llama el punto máximo de la función y=f(x) si la desigualdad es verdadera para todo x desde su vecindad. El valor de la función en el punto máximo se llama función máxima y denota.
El punto se llama punto mínimo de la función y=f(x) si la desigualdad es verdadera para todo x desde su vecindad. El valor de la función en el punto mínimo se llama función mínima y denota.
La vecindad de un punto se entiende como el intervalo , donde es un número positivo suficientemente pequeño.
Los puntos mínimo y máximo se denominan puntos extremos, y los valores de la función correspondientes a los puntos extremos se denominan función extrema.

Para explorar una función por monotonía use el siguiente diagrama:
- Encontrar el alcance de la función;
- Encontrar la derivada de la función y el dominio de la derivada;
- Encuentra los ceros de la derivada, es decir el valor del argumento en el que la derivada es igual a cero;
- Marcar en la recta numérica parte general el dominio de la función y el dominio de su derivada, y sobre él, los ceros de la derivada;
- Determinar los signos de la derivada en cada uno de los intervalos obtenidos;
- Por los signos de la derivada, determine en qué intervalos la función crece y en cuáles decrece;
- Registrar los espacios correspondientes separados por punto y coma.

Algoritmo para estudiar una función continua y = f(x) para monotonicidad y extremos:
1) Encuentra la derivada f ′(x).
2) Encontrar puntos estacionarios (f ′(x) = 0) y críticos (f ′(x) no existe) de la función y = f(x).
3) Marcar los puntos estacionario y crítico sobre la recta real y determinar los signos de la derivada sobre los intervalos resultantes.
4) Sacar conclusiones sobre la monotonicidad de la función y sus puntos extremos.

18. Convexidad de una función. Puntos de inflexión. Algoritmo para examinar una función para la convexidad (Concavidad) Ejemplos.

convexo hacia abajo en el intervalo X, si su gráfica no se encuentra más abajo que la tangente a él en cualquier punto del intervalo X.

La función derivable se llama convexo hacia arriba en el intervalo X, si su gráfica no se encuentra más alta que la tangente a él en cualquier punto del intervalo X.

La fórmula del punto se llama punto de inflexión del gráfico función y \u003d f (x), si en un punto dado hay una tangente a la gráfica de la función (puede ser paralela al eje Oy) y existe tal vecindad de la fórmula del punto, dentro de la cual la gráfica de la función tiene diferentes direcciones de convexidad a la izquierda y a la derecha del punto M.

Encontrar intervalos para la convexidad:

Si la función y=f(x) tiene una segunda derivada finita en el intervalo X y si la desigualdad (), entonces la gráfica de la función tiene una convexidad dirigida hacia abajo (hacia arriba) en X.
Este teorema te permite encontrar intervalos de concavidad y convexidad de una función, solo necesitas resolver las desigualdades y , respectivamente, en el dominio de definición de la función original.

Ejemplo: Averigüe los intervalos en los que la gráfica de la función Averigüe los intervalos en los que la gráfica de la función tiene una convexidad dirigida hacia arriba y una convexidad dirigida hacia abajo. tiene una convexidad dirigida hacia arriba y una convexidad dirigida hacia abajo.
Solución: El dominio de esta función es el conjunto completo de números reales.
Encontremos la segunda derivada.

El dominio de definición de la segunda derivada coincide con el dominio de definición de la función original, por lo tanto, para encontrar los intervalos de concavidad y convexidad basta con resolver y respectivamente. Por lo tanto, la función es convexa hacia abajo en la fórmula del intervalo y convexa hacia arriba en la fórmula del intervalo.

19) Asíntotas de una función. Ejemplos.

Llamada directa asíntota vertical gráfica de la función si al menos uno de los valores límite o es igual a o .

Comentario. La línea no puede ser una asíntota vertical si la función es continua en . Por lo tanto, las asíntotas verticales deben buscarse en los puntos de discontinuidad de la función.

Llamada directa asíntota horizontal gráfica de la función si al menos uno de los valores límite o es igual a .

Comentario. Un gráfico de función solo puede tener una asíntota horizontal derecha o solo una izquierda.

Llamada directa asíntota oblicua gráfica de la función si

EJEMPLO:

La tarea. Hallar las asíntotas de la gráfica de una función

Solución. Alcance de la función:

a) asíntotas verticales: una recta es una asíntota vertical, ya que

b) asíntotas horizontales: encontramos el límite de la función en el infinito:

es decir, no hay asíntotas horizontales.

c) asíntotas oblicuas:

Así, la asíntota oblicua es: .

Responder. La asíntota vertical es una línea recta.

La asíntota oblicua es una línea recta.

20) esquema general estudios de funciones y trazados. Ejemplo.

un.
Encuentre la ODZ y los puntos de ruptura de la función.

B. Encuentra los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas.

2. Realizar un estudio de la función utilizando la primera derivada, es decir, encontrar los puntos extremos de la función y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

3. Investiga la función usando la derivada de segundo orden, es decir, encuentra los puntos de inflexión de la función gráfica y los intervalos de su convexidad y concavidad.

4. Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función: a) vertical, b) oblicua.

5. Con base en el estudio, construya un gráfico de la función.

Tenga en cuenta que antes de trazar un gráfico, es útil establecer si función dada par o impar.

Recuerde que se llama a una función incluso si el valor de la función no cambia cuando cambia el signo del argumento: f(-x) = f(x) y una función se llama impar si f(-x) = -f(x).

En este caso basta con estudiar la función y construir su gráfica para valores positivos del argumento que pertenecen a la ODZ. Con valores negativos del argumento, la gráfica se completa sobre la base de que para una función par es simétrica respecto al eje. Oye, y para impar con respecto al origen.

Ejemplos. Explore funciones y construya sus gráficos.

Alcance de la función D(y)= (–∞; +∞). No hay puntos de quiebre.

Intersección del eje Buey: X = 0,y= 0.

La función es impar, por lo tanto, se puede investigar solo en el intervalo , y su argumento está en unidades de [x], luego la derivada (velocidad) se mide en unidades de .

Tarea 6

X(t) = 6t 2 − 48t+ 17, donde X t t= 9 s.

Encontrar la derivada
X"(t) = (6t 2 − 48t + 17)" = 12t − 48.
Así, hemos obtenido la dependencia de la velocidad con el tiempo. Para encontrar la velocidad en un momento dado, debe sustituir su valor en la fórmula resultante:
X"(t) = 12t − 48.
X"(9) = 12 9 − 48 = 60.

Responder: 60

Comentario: Asegurémonos de no cometer un error con las dimensiones de las cantidades. Aquí, la unidad de distancia (función) [x] = metro, la unidad de tiempo (argumento de función) [t] = segundo, por lo tanto, la unidad de derivada = [m/s], es decir la derivada da la velocidad solo en aquellas unidades que se mencionan en la pregunta del problema.

Tarea 7

El punto material se mueve en línea recta de acuerdo con la ley X(t) = −t 4 + 6t 3 + 5t+ 23, donde X- distancia desde el punto de referencia en metros, t- tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en ese momento t= 3 s.

Encontrar la derivada
X"(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)" = −4t 3 + 18t 2 + 5.
Sustituimos el momento de tiempo dado en la fórmula resultante
X"(3) = −4 3 3 + 18 3 2 + 5 = −108 + 162 + 5 = 59.

Responder: 59

Tarea 8

El punto material se mueve en línea recta de acuerdo con la ley X(t) = t 2 − 13t+ 23, donde X- distancia desde el punto de referencia en metros, t- tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. ¿En qué momento (en segundos) su velocidad fue igual a 3 m/s?

Encontrar la derivada
X"(t) = (t 2 − 13t + 23)" = 2t − 13.
Igualamos la velocidad dada por la fórmula obtenida al valor de 3 m/s.
2t − 13 = 3.
Resolviendo esta ecuación, determinamos en qué momento se cumple la igualdad.
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

Responder: 8

Tarea 9

El punto material se mueve en línea recta de acuerdo con la ley X(t) = (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t+ 3, donde X- distancia desde el punto de referencia en metros, t- tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. ¿En qué momento (en segundos) su velocidad fue igual a 2 m/s?

Encontrar la derivada
X"(t) = ((1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3)" = t 2 − 6t − 5.
También hacemos una ecuación:
t 2 − 6t − 5 = 2;
t 2 − 6t − 7 = 0.
Esta ecuación cuadrática, que se puede resolver en términos del discriminante o del teorema de Vieta. Aquí, en mi opinión, la segunda forma es más fácil:
t 1 + t 2 = 6; t una · t 2 = −7.
Es fácil adivinar que t 1 = −1; t 2 = 7.
Ponemos solo la raíz positiva en la respuesta, porque el tiempo no puede ser negativo.