Porque el pecado es igual. Fórmulas y identidades trigonométricas básicas Pecado, COS, TG, CTG

Las fórmulas trigonométricas tienen una serie de propiedades, una de las cuales es el uso de una fórmula de reducción de grado. Contribuyen a la simplificación de las expresiones al reducir la extensión.

Definición 1.

Las fórmulas de disminución operan sobre la base de la expresión del grado de seno y coseno a través del seno y coseno del primer grado, pero una esquina múltiple. Cuando se simplifica, la fórmula se vuelve conveniente para los cálculos, y la multiplicidad del ángulo de α a n α aumenta.

Fórmulas de reducción de grado, su prueba.

A continuación se muestra una tabla de reducción de las fórmulas 2 a 4 para el ángulo del pecado y de los cos. Después de la familiarización con ellos, establecemos la fórmula general para todos los grados.

pecado 2 α \u003d 1 - cos 2 α 2 cos 2 α \u003d 1 + cos 2 α 2 pecado 3 \u003d 3 · pecado α - pecado 3 α 4 pecado 4 \u003d 3 - 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α \u003d 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Estas fórmulas están diseñadas para reducir el grado.

Hay una fórmula de un ángulo doble en coseno y sinusal, de los cuales las fórmulas del grado de grado COS 2 α \u003d 1 - 2 · SIN 2 α y COS 2 α \u003d 2 · COS 2 α - 1. La igualdad se resuelve en relación con el seno y el cuadrado de coseno, que se proporcionan como SIN 2 α \u003d 1 - COS 2 α 2 y COS 2 α \u003d 1 + COS 2 α 2.

Fórmulas para bajar los grados de las funciones trigonométricas eco con las fórmulas del seno y el coseno del medio ángulo. .

La fórmula del ángulo triple pecado 3 α \u003d 3 · pecado α - 4 · pecado 3 α y cos 3 α \u003d - 3 · cos α + 4 · cos 3 α se usa.

Si resuelve la igualdad en relación con la seno y el coseno en Cuba, obtenemos la disminución de los grados para el seno y el coseno:

pecado 3 α \u003d 3 - 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 y cos 3 α \u003d 3 · cos α + cos 3 α 4.

Las fórmulas del cuarto grado de funciones trigonométricas se ven así: pecado 4 α \u003d 3 - 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 y cos 4 α \u003d 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8.

Para bajar los grados de estas expresiones, puede actuar en las 2 etapas, es decir, disminuir dos veces, luego se ve como:

pecado 4 α \u003d (pecado 2 α) 2 \u003d (1 - cos 2 α 2) 2 \u003d 1 - 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 \u003d 1 - 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 \u003d 3 - 4 · cos 2 α + cos 4 α 8; Cos 4 α \u003d (cos 2 α) 2 \u003d (1 + cos 2 α 2) 2 \u003d 1 + 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 \u003d \u003d 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 \u003d 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Las proporciones entre las funciones trigonométricas principales - seno, coseno, tangente y catangiente - están establecidos fórmulas trigonométricas. Y como hay muchas conexiones entre las funciones trigonométricas, entonces la abundancia de fórmulas trigonométricas también se explica por esto. Algunas fórmulas unen las funciones trigonométricas del mismo ángulo, otras: las funciones de un ángulo múltiple, el tercero: permite reducir el grado, la cuarta: para expresar todas las funciones a través de un medio ángulo tangente, etc.

En este artículo, enumeramos todas las fórmulas trigonométricas importantes que son suficientes para resolver la abrumadora mayoría de los problemas de trigonometría. Para facilitar la memorización y el uso, los agrionaremos a propósito, y entraremos en la tabla.

Navegando.

Identidades trigonométricas básicas.

Identidades trigonométricas básicas. Establezca la relación entre el seno, el coseno, la tangente y el catangiente de una esquina. Salen sin la definición de seno, coseno, tangente y catangiente, así como los conceptos de un solo círculo. Te permiten expresar una función trigonométrica a través de cualquier otra.

Una descripción detallada de estas fórmulas de trigonometría, su conclusión y ejemplos de solicitud ven el artículo.

Fórmulas del elenco.

Fórmulas del elenco. Siga desde las propiedades del seno, coseno, tangente y catangiente, es decir, reflejan las propiedades de la frecuencia de las funciones trigonométricas, la propiedad de simetría, así como la propiedad de cambio para el ángulo. Estas fórmulas trigonométricas le permiten trabajar con ángulos arbitrarios para cambiar a la operación con ángulos que van desde cero a 90 grados.

El fundamento para estas fórmulas, la regla mnemónica para su memorización y ejemplos de su solicitud se puede explorar en el artículo.

Adición de fórmulas

Adición de fórmulas trigonométricas. Mostrar, como funciones trigonométricas de la suma o diferencia de dos ángulos, se expresan a través de las funciones trigonométricas de estos ángulos. Estas fórmulas sirven como base para la conclusión después de las fórmulas trigonométricas.

Fórmulas dobles, triples, etc. Ángulo

Fórmulas dobles, triples, etc. El ángulo (también se llaman múltiples fórmulas de esquina) muestran cómo las funciones trigonométricas de doble, triple, etc. Los ángulos () se expresan a través de las funciones trigonométricas del ángulo único. Su conclusión se basa en fórmulas de adición.

Se recopila información más detallada en el artículo de la fórmula de doble, triple, etc. esquina.

Fórmulas de medio ángulo

Fórmulas de medio ángulo Mostrar, ya que las funciones trigonométricas de un medio ángulo se expresan a través de un kosineus de un ángulo entero. Estas fórmulas trigonométricas siguen desde las fórmulas del ángulo doble.

Su conclusión y sus ejemplos de solicitud se pueden ver en el artículo.

Fórmulas de reducción de grado

Fórmulas de reducción de grado trigonométrico. Se requiere promover la transición de grados naturales de funciones trigonométricas a los senos y coseno en el primer grado, pero varias esquinas. En otras palabras, permiten reducir los grados de las funciones trigonométricas a la primera.

Fórmulas de la suma y diferencia de funciones trigonométricas.

destino principal fórmulas de la suma y diferencia de funciones trigonométricas. Es para cambiar al producto de las funciones, que es muy útil al simplificar las expresiones trigonométricas. Estas fórmulas también se utilizan ampliamente para resolver ecuaciones trigonométricas, ya que nos permiten establecer la suma y la diferencia en los senos y coseno.

Fórmulas funciona de senos, coseno y seno en coseno.

La transición del producto de las funciones trigonométricas a la cantidad o la diferencia se lleva a cabo por las fórmulas de las obras de los senos, el coseno y el seno en el coseno.

Sustitución trigonométrica universal

Descripción general de las fórmulas básicas de trigonometría completas por fórmulas que expresan funciones trigonométricas a través de un medio ángulo tangente. Tal reemplazo fue nombrado sustitución trigonométrica universal. Su conveniencia es que todas las funciones trigonométricas se expresan a través de un medio ángulo tangente racionalmente sin raíces.

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Las principales fórmulas de trigonometría son fórmulas que establecen relaciones entre las funciones trigonométricas principales. Sine, coseno, tangente y catangenos están interconectados por muchos índices. A continuación, le damos las principales fórmulas trigonométricas, y por conveniencia, los agruparon a su propósito previsto. Usando estas fórmulas, puede resolver casi cualquier tarea del curso de trigonometría estándar. Inmediatamente, notamos que a continuación se presentan solo las fórmulas, y no es su conclusión de que se dedicarán los artículos separados.

Las principales identidades de trigonometría.

Las identidades trigonométricas dan la relación entre seno, coseno, tangente y catangiente de una esquina, lo que le permite expresar una función a través de otra.

Identidades trigonométricas

sin 2 A + COS 2 A \u003d 1 TG α \u003d Sin α cos α, CTG α \u003d cos α pecado α tg α · ctg α \u003d 1 tg 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, CTG 2 α + 1 \u003d 1 pecado 2 α.

Estas identidades se miden directamente a partir de las definiciones de un solo círculo, seno (pecado), coseno (COS), tangente (TG) y cotangente (CTG).

Fórmulas del elenco.

Las fórmulas de aclaración le permiten pasar de trabajar con ángulos arbitrarios y arbitrariamente con ángulos grandes para trabajar con ángulos que van desde 0 a 90 grados.

Fórmulas del elenco.

sin α + 2 π z \u003d sin α, cos α + 2 π z \u003d cos α tg α + 2 π z \u003d tg α, ctg α + 2 π z \u003d ctg α sin - α + 2 π z \u003d - Sin α, COS - α + 2 π z \u003d cos α tg - α + 2 π z \u003d - tg α, ctg - α + 2 π z \u003d - ctg α sin π 2 + α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 + α + 2 π z \u003d - sin α tg π 2 + α + 2 π z \u003d - ctg α, ctg π 2 + α + 2 π z \u003d - tg α sin π 2 - α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 - α + 2 π z \u003d sin α tg π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg π 2 - α + 2 π z \u003d tg α sin π + α + 2 π z \u003d - Sin α, cos π + α + 2 π z \u003d - cos α tg π + α + 2 π z \u003d tg α, ctg π + α + 2 π z \u003d ctg α sin π - α + 2 π z \u003d pecado α, cos π - α + 2 π z \u003d - cos α tg π - α + 2 π z \u003d - tg α, ctg π - α + 2 π z \u003d - ctg α pecado 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z \u003d sin α tg 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - ctg α, ctg 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - tg α sin 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - sin α tg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d tg α

Las fórmulas resultantes son una consecuencia de la frecuencia de las funciones trigonométricas.

Adición de fórmulas trigonométricas.

Las fórmulas de adición en trigonometría le permiten expresar la función trigonométrica de la suma o diferencia de ángulos a través de las funciones trigonométricas de estos ángulos.

Adición de fórmulas trigonométricas.

pecado α ± β \u003d pecado α · cos β ± cos α · pecado β cos α + β \u003d cos α · cos β - pecado α · pecado β cos α - β \u003d cos α · cos β + pecado α · pecado β tg α ± β \u003d tg α ± tg β 1 ± tg α · tg β ctg α ± β \u003d - 1 ± CTG α · CTG β CTG α ± CTG β

Basado en las fórmulas de adición, se derivan fórmulas trigonométricas de una esquina múltiple.

Múltiples fórmulas de esquina: doble, triple, etc.

Fórmulas de ángulo doble y triple.

pecado 2 α \u003d 2 · pecado α · cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - pecado 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 pecado 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 tg 2 α \u003d 2 · TG α 1 - TG 2 α con TG 2 α \u003d con TG 2 α - 1 2 · C TG α-SIN 3 α \u003d 3 Sin α · cos 2 α - pecado 3 α, pecado 3 α \u003d 3 Sin α - 4 Sin 3 α cos 3 α \u003d cos 3 α - 3 pecado 2 α · cos α, cos 3 α \u003d - 3 cos α + 4 cos 3 α tg 3 α \u003d 3 tg α - tg 3 α 1 - 3 tg 2 α Ctg 3 α \u003d CTG 3 α - 3 CTG α 3 CTG 2 α - 1

Fórmulas de medio ángulo

Las fórmulas de medio ángulo en trigonometría son una consecuencia de las fórmulas del ángulo doble y expresan las relaciones entre las funciones principales del medio ángulo y el coseno de todo el ángulo.

Fórmulas de medio ángulo

pecado 2 α 2 \u003d 1 - cos α 2 cos 2 α 2 \u003d 1 + cos α 2 t g 2 α 2 \u003d 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 \u003d 1 + cos α 1 - cos α

Fórmulas de reducción de grado

pecado 2 α \u003d 1 - cos 2 α 2 cos 2 α \u003d 1 + cos 2 α 2 pecado 3 α \u003d 3 pecado α - pecado 3 α 4 cos 3 α \u003d 3 cos α + cos 3 α 4 pecado 4 α \u003d 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α \u003d 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

A menudo, al calcular el acto con grados engorrosos es inconveniente. Las fórmulas de reducción de grado permiten reducir el grado de función trigonométrica con un arbitrariamente grande a la primera. Presentamos su opinión general:

Vista general de una fórmula de reducción de grado.

incluso para N.

sin N α \u003d C N 2 N 2 N + 1 2 N - 1 Σ K \u003d 0 N 2 - 1 (- 1) N 2 - K · C KN · COS ((N - 2 K) α) COS N α \u003d C n 2 N 2 N + 1 2 N - 1 Σ K \u003d 0 N 2 - 1 C KN · COS ((N - 2 K) α)

por impar n

sin n α \u003d 1 2 N - 1 Σ k \u003d 0 N - 1 2 (- 1) N - 1 2 - K · C KN · Sin ((N - 2 K) α) COS N α \u003d 1 2 N - 1 Σ k \u003d 0 n - 1 2 c kn · cos ((n - 2 k) α)

La suma y la diferencia de las funciones trigonométricas.

La diferencia y la suma de las funciones trigonométricas se pueden representar como un producto. La descomposición de la diferencia en los senos y las diferencias de coseno es muy conveniente para aplicar para resolver ecuaciones trigonométricas y simplificar las expresiones.

La suma y la diferencia de las funciones trigonométricas.

sin α + pecado β \u003d 2 Sin α + β 2 · COS α - β 2 Sin α - pecado β \u003d 2 Sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β \u003d 2 cos α + β 2 · cos α - β 2 COS α - COS β \u003d - 2 Sin α + β 2 · Sin α - β 2, COS α - COS β \u003d 2 Sin α + β 2 · Sin β - α 2

Trabajo de funciones trigonométricas.

Si las fórmulas de la suma y la diferencia de las funciones le permiten ir al producto, las fórmulas para el producto de las funciones trigonométricas realizan una transición inversa, desde el producto hasta la cantidad. Se consideran las fórmulas de la obra de los senos, coseno y seno en coseno.

Fórmulas para las obras de funciones trigonométricas.

sin α · Sin β \u003d 1 2 · (COS (α - β) - COS (α + β)) cos α · cos β \u003d 1 2 · (COS (COS (α - β) + COS (α + β)) Sin α · COS β \u003d 1 2 · (pecado (α - β) + pecado (α + β))

Sustitución trigonométrica universal

Todas las funciones trigonométricas importantes son sinusales, coseno, tangente y catangiente, se pueden expresar a través de una media esquina tangente.

Sustitución trigonométrica universal

pecado α \u003d 2 tg α 2 1 + tg 2 α 2 cos α \u003d 1 - tg 2 α 2 1 + tg 2 α 2 tg α \u003d 2 tg α 2 1 - tg 2 α 2 ctg α \u003d 1 - tg 2 α 2 2 tg α 2

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Si decimos simplemente, estos son verduras cocinadas en agua por una receta especial. Consideraré dos componentes de origen (ensalada de verduras y agua) y el resultado terminado - Borsch. Geométricamente, esto se puede representar como un rectángulo en el que un lado denota una ensalada, el segundo lado denota agua. La suma de estos dos lados denotará a Borsch. La diagonal y el área de un rectángulo de "ráfaga" son conceptos puramente matemáticos y nunca se utilizan en las recetas de la navegación Borsch.

¿Cómo se convierten la ensalada y el agua en Borsch en términos de matemáticas? ¿Cómo se puede transformar la suma de dos segmentos en trigonometría? Para entender esto, necesitamos funciones angulares lineales.

En los libros de texto matemáticos, no encontrará nada sobre las funciones angulares lineales. Pero sin ellos no puede haber matemáticos. Las leyes de las matemáticas, así como las leyes de la naturaleza, trabajan independientemente de si conocemos su existencia o no.

Las funciones angulares lineales son las leyes de suma. Vea cómo la álgebra se convierte en geometría, y la geometría se convierte en trigonometría.

¿Es posible hacer sin funciones angulares lineales? Es posible, porque las matemáticas todavía lo hacen sin ellos. El truco de los matemáticos es que siempre nos dicen solo aquellos desafíos que ellos mismos pueden decidir, y nunca hablar sobre esas tareas que no saben cómo decidir. Ver. Si conocemos el resultado de la adición y un término, para buscar otro complementario, usamos la resta. Todo. No conocemos otras tareas y no sabemos cómo resolverlo. ¿Qué hacer en el caso de que solo seamos conocidos por el resultado de la adición y no se conocen ambos términos? En este caso, el resultado de la adición debe descomponerse en dos términos con funciones angulares lineales. Luego, ya decidimos, cómo puede ser un término, y las funciones angulares lineales muestran lo que debería ser el segundo término, para que el resultado de la adición fuera exactamente lo que necesitamos. Tales pares de términos pueden ser un conjunto infinito. En la vida cotidiana, nos despertamos sin descomposición de la cantidad, tenemos suficiente restación. Pero en la investigación científica de las leyes de la naturaleza, la descomposición de la cantidad en los componentes puede ser muy útil.

Otra ley de suma, sobre las cuales no les gusta hablar las matemáticas (otra de su truco), requiere que los componentes tengan las mismas unidades de medición. Para la lechuga, el agua y el Borschor, puede ser una unidad de medición, volumen, costo o unidad de medición.

La figura muestra dos niveles de diferencias para matemáticas. El primer nivel es las diferencias en el campo de los números que se indican. uNA., b., c.. Esto es lo que se comprometen las matemáticas. El segundo nivel es las diferencias en el campo de las unidades de medición, que se muestran en corchetes y se indican por la letra U.. La física está comprometida en esto. Podemos entender el tercer nivel: diferencias en el campo de los objetos descritos. Los diferentes objetos pueden tener el mismo número de unidades idénticas de medición. Por lo que es importante, podemos ver el ejemplo de trigonometría de Borscht. Si agregamos índices más bajos a la misma designación de unidades de medición de diferentes objetos, podemos decir con precisión qué valor matemático describe un objeto específico y cómo cambia con el tiempo o en relación con nuestras acciones. Letra W. Voy a referiré el agua, carta S. Deja que la ensalada y la letra. B. - Borsch. Así es como se ven las funciones angulares lineales para Borscht.

Si tomamos parte del agua y parte de la ensalada, juntos se convertirán en una parte del Borscht. Aquí te sugiero un poco distraer del Borscht y recuerda la infancia lejana. ¿Recuerdas cómo nos enseñaron a doblar los conejitos y el empleado juntos? Era necesario encontrar cuánto animales tendrían éxito. ¿Qué nos enseñaron entonces a hacer? Nos enseñaron a arrancar las unidades de las medidas de los números y agregar números. Sí, uno se puede doblar un número con otro número. Este es un camino directo a los autores de las matemáticas modernas, lo hacemos, no está claro qué, no está claro por qué y muy bien entiende cómo se refiere esto a la realidad, debido a los tres niveles de diferencias matemáticas solo una. Será más correcto aprender a pasar de unidades de medición a otras.

Y conejitos, y clarops, y los animales pueden ser calculados en pedazos. Una unidad común de medición para diferentes objetos nos permite plegarlos juntos. Esta es una opción de tarea para niños. Veamos una tarea similar para adultos. ¿Qué pasa si dobla los conejitos y el dinero? Aquí puedes ofrecer dos soluciones.

Primera opción. Definimos el valor de mercado de los conejitos y nos plegamos con la cantidad de dinero. Recibimos el costo total de nuestra riqueza en el equivalente en efectivo.

Segunda opción. Puede agregar el número de conejitos con el número de facturas en efectivo disponibles. Recibiremos el número de bienes muebles en pedazos.

Como puede ver, la misma ley de arreglos le permite obtener resultados diferentes. Todo depende de lo que queremos saber exactamente.

Pero de vuelta a nuestros Boors. Ahora podemos ver qué sucederá en diferentes valores del ángulo de las funciones angulares lineales.

El ángulo es cero. Tenemos una ensalada, pero no hay agua. No podemos cocinar a Borsch. La cantidad de tableros es también cero. Esto no significa que Zero Borschor sea cero de agua. Cero cero puede ser en cero ensalada (ángulo recto).

Para mí personalmente, es la principal evidencia matemática del hecho de que. Cero no cambia el número al agregar. Esto se debe a que la suma en sí es imposible si solo hay un término y no hay un segundo término. Usted puede tratarlo de todos modos, pero recuerde: todas las operaciones matemáticas con cero se les ocurrió las propias matemáticas, así que arrojando tu lógica y estúpidamente herramienta las definiciones inventadas por los matemáticos: "La división en cero es imposible", "cualquier número multiplicado por cero es Cero "," para un punto de pato cero "y otras tonterías. Es simplemente recordar que cero no es un número, y nunca tendrá una pregunta, es un número natural cero o no, porque tal pregunta se priva generalmente de cualquier significado: ¿Cómo se puede considerar un número que el número es? no. Es como preguntar de qué color es el color invisible. Agregar cero al número es el mismo que pintar pintura, que no lo es. Borla seca se lava y habla con todos los que "pintamos". Pero estaba un poco distraída.

El ángulo es mayor que cero, pero menos de cuarenta y cinco grados. Tenemos mucha lechuga, pero poca agua. Como resultado, obtenemos un grueso Borsch.

El ángulo es de cuarenta y cinco grados. Tenemos en igual cantidad de agua y ensalada. Este es el Borsch perfecto (y perdóname un cocinero, es solo un matemático).

El ángulo es de más de cuarenta y cinco grados, pero menos de noventa grados. Tenemos mucha agua y pequeña lechuga. Resulta que el líquido Borsch.

Ángulo recto. Tenemos agua. Solo los recuerdos permanecieron de ensalada, porque el ángulo continuamos mediendo desde la línea, que una vez marcó la ensalada. No podemos cocinar a Borsch. La cantidad de Borscht es cero. En este caso, sostenga y beba agua mientras está))))

Aquí. Algo como esto. Puedo decir aquí y otras historias que serán más que apropiadas aquí.

Dos amigos tenían sus propias acciones en el negocio general. Después del asesinato de uno de ellos, todo fue a otro.

La aparición de matemáticas en nuestro planeta.

Se dicen todas estas historias en el lenguaje de las matemáticas utilizando funciones angulares lineales. En otro momento, le mostraré el lugar real de estas funciones en la estructura de las matemáticas. Mientras tanto, volver a la trigonometría de Borscht y considerar la proyección.

sábado, 26 de octubre de 2019.

Visto un video interesante sobre fila Grande Uno menos uno más uno menos uno - Numberphile . Matemáticas mentir. No verificaron la igualdad durante su razonamiento.

Esto se hace eco sobre mis argumentos.

Veamos los signos de engañarnos con matemáticos. Al comienzo del razonamiento, las matemáticas dicen que la suma de la secuencia depende del número par de elementos o no. Este es un hecho objetivamente establecido. ¿Qué pasa después?

Matemáticas adicionales de la unidad deducen la secuencia. ¿A qué lleva esto? Esto conduce a un cambio en el número de elementos de secuencia, incluso los cambios de cantidad a un cambio impares y extraños para incluso. Después de todo, agregamos a una secuencia un elemento igual a uno. A pesar de toda la similitud externa, la secuencia antes de la conversión no es igual a la secuencia después de la transformación. Incluso si discutimos sobre la secuencia infinita, es necesario recordar que la secuencia infinita con un número impar de elementos no es igual a una secuencia infinita con un número par de elementos.

Al firmar la igualdad entre dos elementos diferentes por secuencias, las matemáticas argumentan que la suma de secuencia no depende de la cantidad de elementos en la secuencia, lo que contradice el hecho objetivamente establecido. El razonamiento adicional sobre la suma de la secuencia infinita es falsa, ya que se basan en la falsa igualdad.

Si ve que las matemáticas en el curso de las pruebas establecen los paréntesis, los elementos de la expresión matemática se reorganizan por lugares, se agrega o se elimina algo, es muy atento, lo más probable es que estés tratando de engañarte. Al igual que los magos de las tarjetas, las matemáticas con varias manipulaciones con una expresión distraen su atención para sustentar el resultado falso como resultado. Si el enfoque de la tarjeta no puede repetir, sin saber el secreto del engaño, entonces en matemáticas, todo es mucho más simple: ni siquiera sospecha nada sobre el engaño, pero la repetición de todas las manipulaciones con la expresión matemática le permite convencer a los demás. En la exactitud del resultado, al igual que cuando está bien, te convenció.

Pregunta desde la sala: e infinito (como el número de elementos en la (secuencia), ¿es par o impar? ¿Cómo se puede cambiar la paridad que la paridad no tiene?

Infinito para los matemáticos, como el reino de los cielos para Popov, nadie ha estado allí, pero todos saben exactamente cómo se organiza todo))) Estoy de acuerdo, después de la muerte, será absolutamente indiferente, incluso o un número impar de días. Vivió, pero ... agregando solo un día al comienzo de su vida, obtendremos una persona completamente diferente: el apellido, el nombre y el patrónímico de él es exactamente igual, solo la fecha de nacimiento es completamente diferente. Nació en un día antes que tú.

Y ahora esencialmente))) Supongamos que la secuencia final que tiene paridad pierde esta paridad al pasar al infinito. Luego, cualquier segmento finito de la secuencia infinita debe perder la paridad. No observamos esto. El hecho de que no podamos decir con seguro, un número par o impar de elementos en una secuencia infinita, no significa que la paridad desapareciera. No puede paridad si lo es, desapareció sin rastro en el infinito, como en la manga de Shulera. Para este caso hay una muy buena analogía.

Nunca le preguntó al cuco sentado en el reloj, ¿en qué dirección rota la flecha del reloj? Para ella, la flecha gira en la dirección opuesta de la que llamamos "en el sentido de las agujas del reloj". Como no suencia paradójicamente, pero la dirección de rotación depende únicamente de qué lado observamos la rotación. Y así, tenemos una rueda que gira. No podemos decir, en qué dirección es la rotación, ya que podemos observarlo, por un lado, el plano de rotación y el otro. Solo podemos presenciar el hecho de que la rotación es. Analogía completa con la paridad de la secuencia infinita. S..

Ahora agregue la segunda rueda giratoria, cuyo plano de rotación es paralelo al plano de rotación de la primera rueda giratoria. Todavía no podemos decir con seguridad, en qué dirección rotan estas ruedas, pero podemos decir absolutamente, ambas ruedas se giran en una dirección o en oposición. Comparando dos secuencias sin fin S. y 1-s.Yo, con la ayuda de las matemáticas, mostró que estas secuencias tienen una paridad diferente y colocan el signo de la igualdad entre ellos, este es un error. Yo personalmente creo que las matemáticas, no confío en los matemáticos)) por cierto, para una comprensión completa de la geometría de transformaciones de secuencias infinitas, es necesario introducir el concepto. "simultaneidad". Tendrá que dibujarlo.

miércoles, 7 de agosto de 2019.

Completando la conversación sobre, debe considerar el conjunto infinito. Dio que el concepto de "infinito" actúa sobre matemáticos como canotaje al conejo. Impresionante horror antes de que el infinito priva a los matemáticos del sentido común. Aquí hay un ejemplo:

La fuente se encuentra. Alpha denota un número válido. El signo de la igualdad en las expresiones anteriores sugiere que, si al infinito para agregar un número o infinito, nada cambiará, lo que resultará en el mismo infinito. Si como ejemplo, tome un conjunto infinito de números naturales, los ejemplos considerados se pueden representar en este formulario:

Para la prueba visual de sus matemáticas, surgieron muchos métodos diferentes. Personalmente, miro todos estos métodos, como en la danza de los chamanes con panderetas. Esencialmente, todos se reducen al hecho de que la parte de los números no está ocupada y los nuevos invitados se resuelven en ellos, o del hecho de que parte de los visitantes se lanza al pasillo para liberar el lugar para los huéspedes (muy humanamente). Describo mi opinión sobre tales soluciones en forma de una historia fantástica sobre la rubia. ¿En qué se basa mi razonamiento? El reasentamiento del infinito número de visitantes requiere infinitamente mucho tiempo. Después de liberamos la primera habitación para el huésped, uno de los visitantes siempre seguirá el corredor de su habitación al siglo vecino. Por supuesto, el factor de tiempo puede ser ignorado estúpidamente, pero no se escribirá de la categoría de "tontos". Todo depende de lo que hagamos: personalizar la realidad para las teorías matemáticas o viceversa.

¿Cuál es el "hotel sin fin"? El hotel sin fin es un hotel donde siempre hay varios lugares gratuitos, sin importar cuántas habitaciones estén ocupadas. Si todas las habitaciones del pasillo infinito "para los visitantes" están ocupadas, hay otro corredor sin fin con los números de invitado. Tales corredores serán un conjunto infinito. En este caso, el "hotel sin fin" es un número infinito de pisos en una cantidad infinita de carcasas en una cantidad infinita de planetas en un número infinito de universos creados por una cantidad infinita de dioses. Las matemáticas no pueden eliminar los problemas de los hogares banales: Dios-Allah-Buddha es siempre solo uno, el hotel es uno, el pasillo es solo uno. Aquí están los matemáticos y están tratando de barrer los números ordinales de habitaciones de hotel, convenciéndonos en el hecho de que puede "empujar a los impedimentos".

La lógica de su razonamiento, lo demostraré en el ejemplo de un conjunto infinito de números naturales. Primero necesitas responder una pregunta muy simple: ¿Cuántos conjuntos de números naturales existen, uno o por mucho? No hay una respuesta correcta a esta pregunta, porque los números surgieron ellos mismos, no hay números de naturaleza. Sí, la naturaleza sabe cómo contar perfectamente, pero para esto utiliza otras herramientas matemáticas que no nos familiarizan. Cómo cree la naturaleza, te diré otra vez. Dado que los números surgieron con nosotros, nosotros mismos decidimos cuántos conjuntos de números naturales existen. Considere ambas opciones, como lo presenta este científico.

Opción primero. "Damos" un solo conjunto de números naturales, que se encuentra sereno en el estante. Tómalo del Shellf, esto es mucho. Todo, otros números naturales en el estante no queda y no les lleva a ninguna parte. No podemos agregar una unidad a este conjunto, ya que ya lo tenemos. ¿Y si realmente quieres? No hay problema. Podemos tomar una unidad de los muchos ya han tomado y devolverlo al estante. Después de eso, podemos tomar una unidad del refugio y agregarlo a lo que nos queda. Como resultado, volvemos a obtener un conjunto infinito de números naturales. Escribe todas nuestras manipulaciones como esta:

Registré las acciones en el sistema algebraico de designaciones y en el sistema de designaciones adoptadas en la teoría de los conjuntos, con una lista detallada de conjuntos de conjuntos. El índice más bajo indica que los muchos números naturales tenemos la única. Resulta que el conjunto de números naturales se mantendrá sin cambios solo si se resta de una unidad y agregue la misma unidad.

Opción segundo. Tenemos muchos conjuntos infinitos diferentes de números naturales en nuestro estante. Enfatizo, diferente, a pesar del hecho de que prácticamente no se distinguen. Toma uno de estos conjuntos. Luego, desde otro conjunto de números naturales, tomamos una unidad y agregamos un conjunto de nosotros ya tomado. Incluso podemos doblar dos conjuntos de números naturales. Éso es lo que hacemos:

Los índices más bajos "uno" y "dos" indican que estos elementos pertenecían a diferentes conjuntos. Sí, si agrega una unidad a un conjunto infinito, el resultado también es un conjunto infinito, pero no será el mismo que el conjunto inicial. Si se agrega un conjunto infinito a un conjunto infinito, el resultado es un nuevo conjunto infinito que consiste en elementos de los dos primeros conjuntos.

El conjunto de números naturales se utiliza para la cuenta igual de regla para mediciones. Ahora imagina que agregaste un centímetro a la regla. Esto ya será otra línea, no igual al original.

Puede aceptar o no aceptar mi razonamiento es su materia personal. Pero si alguna vez se encuentran con problemas matemáticos, piense en si está caminando por el camino de la falsa razonamiento, generaciones trotadas de matemáticos. Después de todo, las clases en matemáticas, en primer lugar, forman un estereotipo constante de pensamiento, y solo luego agregar habilidades mentales a nosotros (o viceversa, privarnos de la carga).

pozg.ru.

domingo, 4 de agosto de 2019.

Postscript actualizado al artículo sobre y vio este maravilloso texto en Wikipedia:

Leemos: "... la rica base teórica de las matemáticas de Babilonia no tuvo una naturaleza holística y se redujo al conjunto de técnicas dispersas sin un sistema común y una evidencia".

¡Guau! ¿Qué somos inteligentes y qué tan bien podemos ver las deficiencias de los demás? ¿Y miramos ligeramente las matemáticas modernas en el mismo contexto? Ligeramente parafrasear el texto dado, personalmente logré lo siguiente:

La rica base teórica de las matemáticas modernas no es una naturaleza holística y se reduce al conjunto de secciones dispersas desprovistas de un sistema común y una base de evidencia.

Para la confirmación de sus palabras, no voy a caminar lejos, tiene un idioma y designaciones condicionales que no sean el idioma y los símbolos de muchas otras secciones de las matemáticas. Los mismos nombres en diferentes secciones de matemáticas pueden tener un significado diferente. Los bultos más obvios de las matemáticas modernas, quiero dedicar un ciclo completo de publicaciones. Nos vemos pronto.

sábado, 3 de agosto de 2019.

¿Cómo dividir el conjunto en subconjuntos? Para hacer esto, ingrese una nueva unidad de medida, que está presente a partir de la parte de los elementos del conjunto seleccionado. Considere un ejemplo.

Que tengamos muchos PEROConsta de cuatro personas. Este conjunto se forma sobre la base de "personas" que denotamos los elementos de este conjunto a través de la letra peroEl índice inferior con el número indicará el número de secuencia de cada persona en este conjunto. Presentamos una nueva unidad de medición "pene" y denota su carta. b.. Dado que los signos sexuales son inherentes a todas las personas, multiplique cada elemento del conjunto PERO En signo sexual b.. Tenga en cuenta que ahora nuestras muchas personas se han convertido en muchas "personas con signos sexuales". Después de eso, podemos dividir signos genitales para los hombres. bm. y mujeres bw Signos sexuales. Ahora podemos aplicar un filtro matemático: elegimos uno de estos signos sexuales, que es indiferente a lo que es hombre o mujer. Si está presente en los humanos, luego lo multiplica en uno, si no hay tal señal, lo multiplica en cero. Y luego aplicar las matemáticas de la escuela habitual. Mira lo que pasó.

Después de la multiplicación, las abreviaturas y la reagrupación, recibimos dos subconjuntos: un subconjunto de hombres. Bm. y un subconjunto de mujeres Bw. Aproximadamente los mismos matemáticos razonan cuando usan la teoría de los conjuntos en la práctica. Pero en los detalles, no nos dedican a nosotros, sino que emiten el resultado final: "Mucha gente consiste en un subconjunto de hombres y un subconjunto de mujeres". Naturalmente, es posible que tenga una pregunta. ¿Cómo se aplican las matemáticas correctas en las transformaciones anteriores? Me atrevo a asegurarte, esencialmente las transformaciones hechas todo correctamente, es suficiente conocer la justificación matemática de la aritmética, el álgebra booleana y otras secciones de las matemáticas. ¿Lo que es? Cualquier otra persona te lo diré.

En cuanto a los ejemplos, es posible combinar dos conjuntos en una premisa, pose una unidad de medición presente en los elementos de estos dos conjuntos.

Como puede ver, las unidades de medición y las matemáticas ordinarias convierten la teoría de los conjuntos en la reliquia del pasado. Un signo del hecho de que con la teoría de los conjuntos no está bien, es que para la teoría de los conjuntos de matemáticas, surgió su propio idioma y sus propias designaciones. Las matemáticas fueron aceptadas como chamanes una vez. Sólo los chamanes saben cómo "correctamente" aplican su "conocimiento". Estos "conocimientos" nos enseñan.

En conclusión, quiero mostrarte cómo se manipulan las matemáticas.
Supongamos que Achilles se extiende diez veces más rápido que la tortuga, y está detrás de él a una distancia de mil escalones. Durante el tiempo, para los cuales Aquiles se está ejecutando a través de esta distancia, cien pasos se estrellarán en el mismo lado. Cuando Achilles se extiende cien escalones, la tortuga se arrastrará unos diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará la tortuga.

Este razonamiento se ha convertido en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... todos ellos de alguna manera consideraron la apriología de Zenon. El shock resultó ser tan fuerte que " ... las discusiones continúan y en la actualidad, para llegar a la opinión general sobre la esencia de las paradojas a la comunidad científica aún no ha sido posible ... un análisis matemático, la teoría de los conjuntos, los nuevos enfoques físicos y filosóficos estuvieron involucrados en el Estudio del tema; Ninguno de ellos se convirtió en un tema generalmente aceptado de la cuestión ..."[Wikipedia", Yenon Apriya "]. Todos entienden que están bloqueados, pero nadie entiende lo que es el engaño.

Desde el punto de vista de las matemáticas, Zeno en su APRORIA demostró claramente la transición del valor a. Esta transición implica la aplicación en lugar de constante. Por lo que entiendo, el aparato matemático del uso de variables de unidades de medición aún no está desarrollado, o no se aplicó a la aporición de Zenon. El uso de nuestra lógica ordinaria nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia de pensamiento, usamos unidades de medición de tiempo permanente al inversor. Desde un punto de vista físico, parece una desaceleración en el tiempo a su parada completa en el momento en que Aquiles está llena de una tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no puede superar a la tortuga.

Si gira la lógica generalmente, todo está en su lugar. Aquiles corre a una velocidad constante. Cada segmento subsiguiente de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a su superación, diez veces menos que la anterior. Si aplica el concepto de "infinito" en esta situación, dirá correctamente "Aquiles infinitamente recuperará rápidamente la tortuga".

¿Cómo evitar esta trampa lógica? Manténgase en unidades de medición de tiempo permanente y no se mueva a los valores de reversa. En el idioma de Zenon, se ve así:

Durante ese tiempo, para los cuales Aquiles corre mil pasos, cien pasos se romperán la tortuga al mismo lado. Para el próximo intervalo de hora, igual a la primera, Aquiles correrá a otros miles de los miles, y la tortuga se agrietará a cien pasos. Ahora Aquiles está a unos ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esta no es una solución completa para el problema. En el Agrac de Achilles y Turtle Zenonian, es muy similar a la declaración de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz. Todavía tenemos que estudiar este problema, repensar y resolver. Y la decisión no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medición.

Otro yenón interesante. Aproria cuenta sobre las flechas voladoras:

La flecha voladora sigue siendo, ya que en cada momento ella descansa, y como descansa en cada momento del tiempo, siempre descansa.

En esta mansión, la paradoja lógica es muy simple: es suficiente para aclarar que en cada momento la flecha voladora está descansando en diferentes puntos de espacio, lo que, de hecho, es el movimiento. Aquí necesitas tener en cuenta otro momento. Según una foto del auto en la carretera, es imposible determinar el hecho de su movimiento, ni la distancia a ella. Para determinar el hecho del movimiento del automóvil, necesita dos fotos hechas de un punto en diferentes puntos en el tiempo, pero es imposible determinar la distancia. Para determinar la distancia al automóvil, dos fotos hechas de diferentes puntos de espacio en un momento dado, pero es imposible determinar el hecho del movimiento (naturalmente, los datos adicionales aún se necesitan para los cálculos, la trigonometría lo ayude). Lo que quiero prestar especial atención es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque proporcionan diferentes oportunidades para la investigación.
Mostraré el proceso en el ejemplo. Seleccionamos "Red Solid a la almohada": este es nuestro "completo". Al mismo tiempo, vemos que estas cosas están con un arco, y hay un arco. Después de eso, seleccionamos parte del "entero" y formamos un montón de "con un arco". Así que los chamanes hacen su alimento, atan su teoría de los conjuntos a la realidad.

Ahora vamos a hacer un poco sucio. Tome un "duro en un parar con un arco" y unir estos "enteros" en el signo de color, columpios de elementos rojos. Tenemos un montón de "rojo". Ahora, la pregunta está en la columna vertebral: los conjuntos obtenidos "con un arco" y "rojo" son el mismo conjunto o dos conjuntos diferentes? Sólo los chamanes saben la respuesta. Más precisamente, ellos mismos no saben nada, pero dirán, por lo que será.

Este simple ejemplo muestra que la teoría de los conjuntos es completamente inútil cuando se trata de la realidad. ¿Cuál es el secreto? Formamos un montón de "sólido rojo en un parejo con un arco". La formación ocurrió en cuatro unidades diferentes de medición: color (rojo), resistencia (sólido), rugosidad (en un tirón), decoraciones (con un arco). Solo el conjunto de unidades de medición permite adecuadamente describir los objetos reales en el lenguaje de las matemáticas.. Eso es lo que parece.

La letra "A" con índices diferentes indica diferentes unidades de medición. Entre paréntesis asignó unidades de medida en las que se resalta el "entero" en el paso preliminar. Detrás de los soportes hicieron una unidad de medida, que está formada por un conjunto. La última línea muestra el resultado final: el elemento del conjunto. Como puede ver, si usa unidades de medición para formar un conjunto, entonces el resultado no depende del orden de nuestras acciones. Y esto ya es matemático, no baila de chamanes con panderetas. Los chamanes pueden ser "intuitivos" para llegar al mismo resultado al argumentarlo "aparente", porque las unidades de medición no están incluidas en su arsenal "científico".

Uso de unidades de medición, es muy fácil dividir uno o combinar varios conjuntos en una alarma. Veamos con más cuidado el algebra de este proceso.

Fórmulas en trigonometría mucho.

Recuerde que son mecánicamente muy difíciles, casi imposibles. En clase, muchos escolares y estudiantes disfrutan de impresiones en las forebas de libros de texto y cuadernos, carteles en las paredes, cunas, finalmente. ¿Y cómo estar en el examen?

Sin embargo, si echa un vistazo a estas fórmulas, encontrará que todos están interconectados y tienen una cierta simetría. Analicemos que tengan en cuenta las definiciones y las propiedades de las funciones trigonométricas para determinar el mínimo que realmente vale la pena aprender de memoria.

I Grupo Identidades principales

sin 2 α + cos 2 α \u003d 1;

tgα \u003d. ____ Sinα COSα; Ctgα \u003d. ____ COSα SINα. ;

tgα · ctgα \u003d 1;

1 + tg 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 α \u003d _____ 1 Sin 2 α.

Este grupo contiene las fórmulas más simples y populares. La mayoría de los estudiantes los conocen. Pero si todavía hay dificultades, para recordar las primeras tres fórmulas, imaginan mentalmente un triángulo rectangular con una hipotenuclear igual. Luego, sus kartets serán iguales, respectivamente, SINα para determinar el seno (la relación de la Catech opuesta a la hipotenusa) y COSα para determinar el coseno (la proporción del Catech adyacente para hipotenusa).

La primera fórmula es el teorema de Pitágoras para tal triángulo: la suma de los cuadrados de los catéteres es igual al cuadrado de la hipotenusa (1 2 \u003d 1), la segunda y la tercera son las definiciones de la tangente (la relación de la Categoría opuesta al adyacente) y el catangen (la proporción de la categoría adyacente al opuesto).
El trabajo de tangente en Kotangenes es 1 porque el catangiente registrado en forma de una fracción (Fórmula Tercera) es una tangente invertida (segunda fórmula). La última consideración, por cierto, hace posible excluir de entre las fórmulas que es necesario memorizar todas las fórmulas largas posteriores con Kotangent. Si cumple con CTGα en cualquier tarea difícil, simplemente reemplácela con una fracción ___ 1 tgα. Y use las fórmulas para tangentes.

Las dos últimas fórmulas no pueden ser memorizadas. Son menos comunes. Y si lo necesita, siempre puede retirarlos en el borrador de nuevo. Para hacer esto, es suficiente sustituir en lugar de una tangente o contacto de su definición después de una fracción (Fórmula dos y tercero, respectivamente) y guiar la expresión al denominador general. Pero es importante recordar que existen tales fórmulas que unen los cuadrados de tangentes y coseno, y existen los cuadrados de kotangens y seno. De lo contrario, no puede adivinar qué conversiones se necesitan para resolver una tarea en particular.

II grupo. Adición de fórmulas

pecado (α + β) \u003d sinα · cosβ + cosα · sinβ;

pecado (α - β) \u003d sinα · cosβ - cosα · sinβ;

cos (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinβ;

cos (α - β) \u003d cosα · cosβ + sinα · sinβ;

tg (α + β) \u003d TGα + TGβ _________ 1 - TGα · TGβ;

tg (α - β) \u003d

Recuerde la precisión de la paridad / rareza de las funciones trigonométricas:

pecado (-α) \u003d - pecado (α); cos (-α) \u003d cos (α); TG (-α) \u003d - TG (α).

De todas las funciones trigonométricas, solo el coseno es una función uniforme y no cambia su signo al cambiar el signo de argumento (ángulo), las funciones restantes son extrañas. La precisión de la función, de hecho, significa que el signo menos se puede hacer y apagar el signo de la función. Por lo tanto, si encuentra una expresión trigonométrica con una diferencia de dos ángulos, siempre puede entenderlo como una suma de ángulos positivos y negativos.

Por ejemplo, pecado ( x. - 30º) \u003d pecado ( x. + (-30º)).
A continuación, utilizamos la suma de fórmula de dos ángulos y tratamos con signos:
pecado ( x. + (-30º)) \u003d pecado x.· COS (-30º) + COS x.· Sin (-30º) \u003d
\u003d Pecado x.· COS30º - COS x.· Sin30º.

Por lo tanto, todas las fórmulas que contienen la diferencia de ángulos se pueden saltar simplemente en la primera memorización. Luego, debe aprender a restaurarlos en general, primero en el borrador, y luego mentalmente.

Por ejemplo, TG (α - β) \u003d TG (α + (-β)) \u003d TGα + TG (-β) ___________ 1 - TGα · TG (-β) = TGα - TGβ _________ 1 + TGα · TGβ.

Esto ayudará en más rápido para adivinar qué transformaciones deben aplicarse para resolver una tarea de trigonometría.

Grupo sh Fórmulas de múltiples argumentos.

sin2α \u003d 2 · sinα · cosα;

cOS2α \u003d cos 2 α - Sin 2 α;

tg2α \u003d. 2TGα _______ 1 - TG 2 α;

sin3α \u003d 3sinα - 4sin 3 α;

cOS3α \u003d 4cos 3 α - 3cosα.

La necesidad de usar fórmulas para seno y coseno de un doble ángulo ocurre con mucha frecuencia, para tangente, también. Estas fórmulas deben ser conocidas por corazón. Además, no hay dificultades en su memorización. Primero, las fórmulas son cortas. En segundo lugar, son fácilmente controlados por las fórmulas del grupo anterior, basadas en el hecho de que 2α \u003d α + α.
Por ejemplo:
pecado (α + β) \u003d sinα · cosβ + cosα · sinβ;
pecado (α + α) \u003d sinα · cosα + cosα · sinα;
Sin2α \u003d 2Sinα · COSα.

Sin embargo, si ha aprendido estas fórmulas más rápido, y no las anteriores, entonces puede actuar por el contrario: recordar la fórmula para la suma de dos ángulos por la fórmula correspondiente para un ángulo doble.

Por ejemplo, si necesita una fórmula de coseno de la suma de dos ángulos:
1) Recuerde la fórmula de coseno de la esquina doble: cOS2. x. \u003d Cos 2. x. - Sin 2. x.;
2) Lo pintamos mucho: cos x. + x.) \u003d Cos. x.· COS. x. - PECADO x.· PECADO x.;
3) Reemplazar uno h. En α, el segundo en β: cos (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinβ.

Repita de manera similar a restaurar fórmulas para la suma sinusoidal y la cantidad de tangentes. En casos responsables, como el EGE, verifique la precisión de las fórmulas reducidas en el conocido primer trimestre: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Comprobación de la fórmula anterior (obtenida por reemplazo en la línea 3):
permitir α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
luego cOS (α + β) \u003d cos90 ° \u003d 0, cosα \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosβ \u003d cos30 ° \u003d √3 _ / 2, sinα \u003d sin60 ° \u003d √3 _ / 2, sinβ \u003d sin30 ° \u003d 1/2;
Sustituamos los valores en la fórmula: 0 \u003d (1/2) · ( √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2);
0 ≡ 0, no se detectan errores.

Fórmulas para un ángulo triple, en mi opinión, no es necesario para "Herramienta". Rara vez se encuentran en los exámenes del EGE. Se derivan fácilmente de las fórmulas que fueron más altas, porque Sin3α \u003d pecado (2α + α). Y aquellos estudiantes que por alguna razón todavía necesitan aprender estas fórmulas por corazón, le aconsejo que preste atención a sus "simetrías" y recuerde que no las fórmulas, sino las reglas mnemónicas. Por ejemplo, el orden en que se ubican los números en dos fórmulas "33433433", etc.

Grupo IV. Cantidad / diferencia -

sinα + sinβ \u003d 2 · pecado α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2 ;

sinα - sinβ \u003d 2 · pecado α - β ____ 2· COS. α + β ____ 2 ;

cOSα + COSβ \u003d 2 · COS α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2 ;

cOSα - COSβ \u003d -2 · pecado α - β ____ 2· PECADO α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ \u003d pecado (α + β) ________ cosα · cosβ ;

tgα - tgβ \u003d pecado (α - β) ________ cosα · cosβ .

Usando la precisión de las funciones del seno y la tangente: pecado (-α) \u003d - pecado (α); TG (-α) \u003d - TG (α),
Puede fórmulas para las diferencias de dos funciones para reducir las fórmulas para sus sumas. Por ejemplo,

sin90º - sin30º \u003d sin90º + pecado (-30º) \u003d 2 · pecado 90º + (-30º) __________ 2· COS. 90º - (-30º) __________ 2 =

2 · SIN30º · COS60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.

Por lo tanto, las fórmulas de la diferencia de los senos y tangentes no necesariamente memorizan de inmediato.
Con la suma y la diferencia de coseno, la situación es más complicada. Estas fórmulas no son intercambiables. Pero de nuevo, utilizando la paridad del coseno, puede recordar las siguientes reglas.

La cantidad de COSα + COSβ no puede cambiar su signo para ningún cambio en los signos de los ángulos, por lo que el producto también debe consistir en funciones, es decir, Dos cosuses.

La señal de diferencia COSα - COSβ depende de los valores de las propias funciones, lo que significa que la marca de trabajo debe depender de la correlación de los ángulos, por lo que el producto debe consistir en funciones impares, es decir. Dos sines.

Sin embargo, este grupo de fórmulas no es el más fácil de memorizar. Este es el caso cuando es mejor afilar, pero más cheque. Para evitar errores en la fórmula en un examen dado, asegúrese de grabarlo primero en el borrador y verificar de dos maneras. Primeras sustituciones β \u003d α y β \u003d -α, luego por valores conocidos de funciones para ángulos simples. Para hacer esto, es mejor tomar 90º y 30º, ya que se realizó en el ejemplo anterior, porque la media dieta y la sedimentación de estos valores, nuevamente dan ángulos simples, y puede ver fácilmente cómo la igualdad se convierte en la identidad para la opción correcta O, por el contrario, no ejecutado si está equivocado.

Ejemplocheques de la fórmula COSα - COSβ \u003d 2 · pecado α - β ____ 2· PECADO α + β ____ 2 Por la diferencia de cosíneos. con un error !

1) Deja que β \u003d α, luego COSα - COSα \u003d 2 · pecado α - α _____ 2· PECADO α + α _____ 2 \u003d 2SIN0 · SINα \u003d 0 · SINα \u003d 0. COSα - COSα ≡ 0.

2) Deje β \u003d - α, luego COSα - COS (- α) \u003d 2 · pecado α - (-α) _______ 2· PECADO α + (-α) _______ 2 \u003d 2sinα · sin0 \u003d 0 · sinα \u003d 0. COSα - COS (- α) \u003d COSα - COSα ≡ 0.

Estos controles mostraron que las funciones en la fórmula se utilizan correctamente, pero debido al hecho de que la identidad obtuvo el tipo 0 ≡ 0, se puede perder un error con un signo o un coeficiente. Hacemos un tercer cheque.

3) Deje α \u003d 90º, β \u003d 30º, luego cos90º - cos30º \u003d 2 · pecado 90º - 30º ________ 2· PECADO 90º + 30º ________ 2 \u003d 2SIN30º · SIN60º \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cOS90 - COS30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

El error fue realmente en el signo y solo en el signo antes del trabajo.

V banda. Trabajo - en la cantidad / diferencia

sinα · sinβ \u003d 1 _ 2 · (COS (α - β) - COS (α + β));

cOSα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (COS (α - β) + COS (α + β));

sinα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Sin (α - β) + pecado (α + β)).

El nombre del quinto grupo de fórmulas sugiere que estas fórmulas están reversas con respecto al grupo anterior. Está claro que, en este caso, es más fácil restaurar la fórmula en el borrador, que aprenderlo nuevamente, lo que aumenta el riesgo de crear "gachas en la cabeza". Lo único que tiene sentido enfocarse para una recuperación más rápida de la fórmula, estas son las siguientes ecualidades (compruebe):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Considerar ejemplo: Necesito convertir SIN5 x.· COS3. x. En la suma de dos funciones trigonométricas.
Dado que el trabajo incluye el seno, y el coseno, entonces tomamos del grupo anterior la fórmula para la cantidad de senos, que ya se aprendió, y lo escribió en el borrador.

sinα + sinβ \u003d 2 · pecado α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2

Deja 5. x. = α + β ____ 2 y 3. x. = α - β ____ 2 , luego α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x. + 3x. = 8x., β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x. − 3x. = 2x..

Reemplazamos en la fórmula en el borrador de los valores de los ángulos, expresados \u200b\u200ba través de las variables α y β, en los valores de los ángulos, expresados \u200b\u200ba través de la variable x..
Recibir sin8. x. + Sin2. x. \u003d 2 · sin5 x.· COS3. x.

Dividimos tanto la parte de la justicia para 2 y lo escribimos a la final a la derecha a la derecha. sin5 x.· COS3. x. = 1 _ 2 (Sin8. x. + Sin2. x.). La respuesta está lista.

Como ejercicio: Explique por qué en la fórmula del libro de texto para transformar la cantidad / diferencia en el trabajo de 6 e inverso (para convertir un producto en suma o diferencia) - solo 3?

VI GRUPO. Fórmulas de reducción de grado

cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;

sin 2 α \u003d 1 - COS2α _________ 2;

cos 3 α \u003d 3COSα + COS3α ____________ 4;

pecado 3 α \u003d 3SINα - Sin3α ____________ 4.

Las dos primeras fórmulas de este grupo son muy necesarias. A menudo se usa para resolver ecuaciones trigonométricas, incluido el nivel de un solo examen, así como al calcular los integrales que contienen las funciones elementales de un tipo trigonométrico.

Puede ser más fácil recordarlos en el siguiente formulario de "una historia"
2cos 2 α \u003d 1 + cos2α;
2 Sin 2 α \u003d 1 - COS2α,
Y siempre puedes dividir en 2 o en el borrador.

La necesidad de usar las siguientes dos fórmulas (con cubos de funciones) en los exámenes es mucho menos común. En otro entorno, siempre tendrá tiempo de usar el borrador. Las siguientes opciones son posibles:
1) Si recuerda las dos últimas fórmulas del Grupo III, usándolas para expresar el pecado 3 α y COS 3 α por transformaciones simples.
2) Si en las últimas dos fórmulas de este grupo notó los elementos de simetría, que contribuyen a su memorización, luego escriben los bocetos de fórmulas en el borrador y verifican los valores de las esquinas principales.
3) Si, además, existen tales fórmulas de reducción de grado, no sabe nada de ellos, luego resuelva el problema en las etapas, en función del hecho de que el pecado 3 α \u003d pecado 2 α · sinα y otras fórmulas aprendidas. Fórmulas de reducción de grado para la plaza y la fórmula para la transformación del trabajo en la cantidad.

VII GRUPO. Medio argumento

pecado. α _ 2. = ± √ 1 - COSα ________ 2;_____

cos. α _ 2. = ± √ 1 + COSα ________ 2;_____

tg. α _ 2. = ± √ 1 - COSα ________ 1 + COSα._____

No veo el punto de memorizar por corazón de este grupo de fórmulas en el formulario en el que se presentan en libros de texto y libros de referencia. Si entiendes eso α es la mitad de 2α, Que esto sea suficiente para derivar rápidamente la fórmula deseada del medio argumento, según las dos primeras fórmulas para bajar el grado.

Esto también se aplica a un medio ángulo tangente, la fórmula para la cual se obtiene dividiendo la expresión para el seno a la expresión correspondiente para el coseno.

No olvides solo cuando quitamos la raíz cuadrada para poner un signo. ± .

VIII GRUPO. Sustitución universal

sinα \u003d 2TG (α / 2) _________ 1 + TG 2 (α / 2);

cosα \u003d 1 - TG 2 (α / 2) __________ 1 + TG 2 (α / 2);

tgα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - TG 2 (α / 2).

Estas fórmulas pueden ser extremadamente útiles para resolver tareas trigonométricas de todos los tipos. Le permiten realizar el principio de "Un argumento es una función", lo que le permite reemplazar las variables que reducen las expresiones trigonométricas complejas al algebraico. No es de extrañar que esta sustitución se llama universal.
Las dos primeras fórmulas aprenden deben. El tercero se puede obtener dividiendo los dos primeros entre sí por la definición de TGα Tangent \u003d sinα ___ COSα.

Grupo IX. Fórmulas de reclamación.

Para lidiar con este grupo de fórmulas trigonométricas, FIE

X grupo. Valores para las esquinas principales.

Se dan los valores de las funciones trigonométricas para las esquinas principales del primer trimestre.

Así que hazlo producción: Las fórmulas trigonometría necesitan saber. Cuanto más grande, mejor. Pero para que pase su tiempo y esfuerzo, memorice las fórmulas o en su recuperación en el proceso de resolución de tareas, todos deben resolver de manera independiente.

Ejemplo de la tarea de usar fórmulas de trigonometría.

Resolver la ecuación sin5 x.· COS3. x. - Sin8. x.· COS6. x. = 0.

Tenemos dos funciones diferentes pecando () y cos () y cuatro! Diferentes argumentos 5. x., 3x., 8x. y 6. x.. Sin transformaciones preliminares, no será posible reducir los tipos más simples de ecuaciones trigonométricas. Por lo tanto, primero intentamos reemplazar las obras sobre las cantidades o la diferencia de funciones.
Lo hacemos de la misma manera que en el ejemplo anterior (ver sección).

pecado (5. x. + 3x.) + pecado (5 x. − 3x.) \u003d 2 · sin5 x.· COS3. x.
sin8. x. + Sin2. x. \u003d 2 · sin5 x.· COS3. x.

pecado (8. x. + 6x.) + pecado (8 x. − 6x.) \u003d 2 · sin8 x.· COS6. x.
Sin14. x. + Sin2. x. \u003d 2 · sin8 x.· COS6. x.

Expresando el trabajo de estas igualdad, los sustituimos a la ecuación. Obtenemos:

(Sin8. x. + Sin2. x.) / 2 - (sin14 x. + Sin2. x.)/2 = 0.

Multiplicamos en 2 de ambas partes de la ecuación, revelamos paréntesis y damos a tales miembros

Sin8. x. + Sin2. x. - Sin14. x. - Sin2. x. = 0;
sin8. x. - Sin14. x. = 0.

La ecuación se ha simplificado significativamente, pero para resolverlo así que SIN8 x. \u003d Sin14. x., por lo tanto, 8. x. = 14x. + T, donde t, el período es incorrecto, ya que no sabemos el valor de este período. Por lo tanto, usamos que en la parte correcta de la igualdad vale 0, con lo que es fácil comparar los multiplicadores en cualquier expresión.
Para descomponer a SIN8 x. - Sin14. x. Para multiplicadores, debe ir desde la diferencia hasta el trabajo. Para hacer esto, puede usar la fórmula de diferencia sinusal, o nuevamente la suma de fórmula de los senos y la rareza de la función del seno (ver ejemplo en la sección).

sin8. x. - Sin14. x. \u003d Sin8. x. + pecado (-14 x.) \u003d 2 · pecado 8x. + (−14x.) __________ 2 · COS. 8x. − (−14x.) __________ 2 \u003d pecado (-3 x.· · Cos11 x. \u003d -Sin3 x.· Cos11 x..

Entonces, ecuación sin8 x. - Sin14. x. \u003d 0 es equivalente a la ecuación sin 3 x.· Cos11 x. \u003d 0, que, a su vez, es equivalente a la combinación de dos ecuaciones simples de SIN3 x. \u003d 0 y cos11 x. \u003d 0. Resolviendo este último, obtenemos dos series de respuestas.
x. 1 \u003d π. nORTE./3, nORTE.εz.
x. 2 \u003d π / 22 + π k./11, k.εz.

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