پیشرفت حسابی: چیست؟ فرمول عضو n یک پیشروی حسابی فرمول حاصل جمع n یک پیشرفت حسابی.

به عنوان مثال، دنباله \(2\); \(5\); \(8\); \(یازده\)؛ \(14\)… یک تصاعد حسابی است، زیرا هر عنصر بعدی با عنصر قبلی سه تفاوت دارد (با اضافه کردن سه عنصر با عنصر قبلی می توان به دست آورد):

در این پیشرفت، تفاوت \(d\) مثبت است (برابر با \(3\)) و بنابراین هر جمله بعدی از جمله قبلی بیشتر است. چنین پیشرفت هایی نامیده می شود افزایش می یابد.

با این حال، \(d\) همچنین می تواند یک عدد منفی باشد. مثلا، در پیشروی حسابی \(16\); \(10\)؛ \(4\); \(-2\); \(-8\)… اختلاف پیشرفت \(d\) برابر با منهای شش است.

و در این صورت هر عنصر بعدی کمتر از عنصر قبلی خواهد بود. این پیشرفت ها نامیده می شوند در حال کاهش.

نماد پیشرفت حسابی

پیشرفت با یک حرف کوچک لاتین نشان داده می شود.

اعدادی که یک پیشروی را تشکیل می دهند آن را می گویند اعضا(یا عناصر).

آنها را با همان حروف پیشروی حسابی نشان می دهند، اما با یک شاخص عددی برابر با عدد عنصر به ترتیب.

برای مثال، پیشروی حسابی \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) از عناصر \(a_1=2\) تشکیل شده است. \(a_2=5\); \(a_3=8\) و غیره.

به عبارت دیگر، برای پیشرفت \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

حل مسائل بر روی پیشروی حسابی

در اصل، اطلاعات فوق در حال حاضر برای حل تقریباً هر مشکلی در یک پیشرفت حسابی (از جمله موارد ارائه شده در OGE) کافی است.

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط \(b_1=7؛ d=4\) داده می شود. \(b_5\) را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \(b_5=23\)

مثال (OGE). سه جمله اول یک تصاعد حسابی آورده شده است: \(62; 49; 36…\) مقدار اولین جمله منفی این پیشرفت را بیابید.
راه حل:

	اولین عناصر دنباله به ما داده شده است و می دانیم که این یک پیشرفت حسابی است. یعنی هر عنصر با عنصر همسایه به همان تعداد متفاوت است. با کم کردن عنصر قبلی از عنصر بعدی، دریابید که کدام یک را کم کنید: \(d=49-62=-13\).
	اکنون می توانیم پیشرفت خود را به عنصر مورد نظر (اول منفی) بازگردانیم.
	آماده. میتونی جواب بنویسی

پاسخ: \(-3\)

مثال (OGE). چندین عنصر متوالی از یک پیشروی حسابی داده می شود: \(...5; x; 10; 12.5...\) مقدار عنصر را که با حرف \(x\) نشان داده شده است بیابید.
راه حل:

	برای پیدا کردن \(x\)، باید بدانیم که عنصر بعدی چقدر با عنصر قبلی تفاوت دارد، به عبارت دیگر، تفاوت پیشرفت. بیایید آن را از دو عنصر مجاور شناخته شده پیدا کنیم: \(d=12.5-10=2.5\).
	و اکنون آنچه را که به دنبال آن هستیم بدون هیچ مشکلی پیدا می کنیم: \(x=5+2.5=7.5\).
	آماده. میتونی جواب بنویسی

پاسخ: \(7,5\).

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط زیر داده می شود: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) مجموع شش جمله اول این پیشرفت را بیابید.
راه حل:

	ما باید مجموع شش ترم اول پیشرفت را پیدا کنیم. اما ما معانی آنها را نمی دانیم، تنها عنصر اول به ما داده شده است. بنابراین، ابتدا مقادیر را به نوبه خود با استفاده از داده شده محاسبه می کنیم: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) و با محاسبه شش عنصر مورد نیاز، مجموع آنها را پیدا می کنیم.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	مبلغ درخواستی پیدا شد

پاسخ: \(S_6=9\).

مثال (OGE). در پیشروی حسابی \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). تفاوت این پیشرفت را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \(d=7\).

فرمول های مهم پیشرفت حسابی

همانطور که می بینید، بسیاری از مسائل پیشروی حسابی را می توان به سادگی با درک نکته اصلی حل کرد - اینکه یک پیشروی حسابی زنجیره ای از اعداد است و هر عنصر بعدی در این زنجیره با اضافه کردن همان عدد به عدد قبلی به دست می آید (تفاوت از پیشرفت).

با این حال، گاهی اوقات شرایطی وجود دارد که حل کردن "روی پیشانی" بسیار ناخوشایند است. به عنوان مثال، تصور کنید که در همان مثال اول، نه عنصر پنجم \(b_5\)، بلکه سیصد و هشتاد و ششمین \(b_(386)\) را باید پیدا کنیم. چه چیزی است، ما \ (385 \) بار برای اضافه کردن چهار؟ یا تصور کنید که در مثال ماقبل آخر، باید مجموع هفتاد و سه عنصر اول را پیدا کنید. شمارش گیج کننده است...

بنابراین، در چنین مواردی، آنها "روی پیشانی" را حل نمی کنند، بلکه از فرمول های ویژه ای استفاده می کنند که برای پیشرفت حسابی به دست آمده است. و اصلی ترین آنها فرمول nامین ترم پیشرفت و فرمول مجموع \(n\) جمله های اول هستند.

فرمول \(n\)امین عضو: \(a_n=a_1+(n-1)d\)، که در آن \(a_1\) اولین عضو پیشرفت است.
\(n\) - تعداد عنصر مورد نیاز.
\(a_n\) عضوی از پیشرفت با عدد \(n\) است.

این فرمول به ما اجازه می دهد تا حداقل عنصر سه صدم و حتی میلیونمین عنصر را به سرعت پیدا کنیم، تنها با دانستن تفاوت اول و پیشرفت.

مثال. پیشروی حسابی با شرایط داده می شود: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \(b_(246)=1850\).

فرمول مجموع n جمله اول این است: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)، که در آن

\(a_n\) آخرین عبارت جمع شده است.

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط \(a_n=3.4n-0.6\) داده می شود. مجموع اولین \(25\) عبارت های این پیشرفت را بیابید.
راه حل:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		برای محاسبه مجموع بیست و پنج عنصر اول، باید مقدار جمله اول و بیست و پنجم را بدانیم. پیشرفت ما با فرمول ترم n بسته به تعداد آن داده می شود (به جزئیات مراجعه کنید). بیایید اولین عنصر را با جایگزین کردن \(n\) با یک محاسبه کنیم.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		حالا بیایید عبارت بیست و پنجم را با جایگزین کردن بیست و پنج به جای \(n\) پیدا کنیم.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		خوب حالا بدون مشکل مقدار مورد نیاز را محاسبه می کنیم.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		پاسخ آماده است.

پاسخ: \(S_(25)=1090\).

برای مجموع \(n\) جمله های اول، می توانید فرمول دیگری دریافت کنید: فقط باید \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) به جای \(a_n\) فرمول را جایگزین کنید \(a_n=a_1+(n-1)d\). ما گرفتیم:

فرمول مجموع n عبارت اول این است: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)، جایی که

\(S_n\) - جمع مورد نیاز \(n\) عناصر اول؛
\(a_1\) اولین جمله ای است که جمع می شود.
\(d\) - تفاوت پیشرفت؛
\(n\) - تعداد عناصر موجود در جمع.

مثال. مجموع اولین ترم های \(33\)-ex پیشروی حسابی را بیابید: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
راه حل:

پاسخ: \(S_(33)=-231\).

مسائل پیچیده تر پیشرفت حسابی

اکنون شما تمام اطلاعات مورد نیاز برای حل تقریباً هر مشکل پیشروی حسابی را دارید. بیایید موضوع را با در نظر گرفتن مسائلی به پایان برسانیم که در آنها نه تنها باید فرمول ها را اعمال کنید، بلکه کمی فکر کنید (در ریاضیات، این می تواند مفید باشد ☺)

مثال (OGE). مجموع تمام عبارات منفی پیشرفت را بیابید: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
راه حل:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		کار بسیار شبیه به کار قبلی است. به همین ترتیب شروع به حل می کنیم: ابتدا \(d\) را پیدا می کنیم.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		حالا ما \(d\) را در فرمول جمع ... و در اینجا یک تفاوت کوچک ظاهر می شود - ما \(n\) را نمی دانیم. به عبارت دیگر، ما نمی دانیم که چند عبارت باید اضافه شود. چگونه متوجه شویم؟ بیایید فکر کنیم. وقتی به اولین عنصر مثبت رسیدیم اضافه کردن عناصر را متوقف خواهیم کرد. یعنی باید تعداد این عنصر را دریابید. چگونه؟ بیایید فرمول محاسبه هر عنصر یک پیشرفت حسابی را بنویسیم: \(a_n=a_1+(n-1)d\) برای مورد خود.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		ما باید \(a_n\) بزرگتر از صفر باشد. بیایید دریابیم برای چه \(n\) این اتفاق خواهد افتاد.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		دو طرف نابرابری را بر \(0,3\) تقسیم می کنیم.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		منهای یک را منتقل می کنیم، فراموش نمی کنیم که علائم را تغییر دهیم
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		محاسبه...
\(n>65,333…\)		... و معلوم می شود که اولین عنصر مثبت دارای عدد \(66\) خواهد بود. بر این اساس، آخرین منفی دارای \(n=65\) است. در هر صورت، بیایید آن را بررسی کنیم.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		بنابراین، باید اولین عناصر \(65\) را اضافه کنیم.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		پاسخ آماده است.

پاسخ: \(S_(65)=-630.5\).

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط داده می شود: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). حاصل جمع عنصر \(26\)th تا \(42\) را بیابید.
راه حل:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	در این مشکل، شما همچنین باید مجموع عناصر را پیدا کنید، اما نه از اول، بلکه از \(26\)th شروع کنید. ما فرمولی برای این نداریم. چگونه تصمیم بگیریم؟ آسان - برای بدست آوردن مجموع از \(26\)th به \(42\)th، ابتدا باید مجموع \(1\)th تا \(42\)th را پیدا کنید و سپس مجموع را از آن کم کنید. اولین تا \ (25 \) ام (تصویر را ببینید).
	برای پیشرفت ما \(a_1=-33\)، و تفاوت \(d=4\) (در آخر، ما چهار عنصر را به عنصر قبلی اضافه می کنیم تا عنصر بعدی را پیدا کنیم). با دانستن این موضوع، مجموع اولین عناصر \(42\)-uh را پیدا می کنیم.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	اکنون مجموع اولین عناصر \(25\)-ام است.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	و در نهایت پاسخ را محاسبه می کنیم.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

پاسخ: \(S=1683\).

برای یک پیشروی حسابی، چندین فرمول دیگر وجود دارد که در این مقاله به دلیل کاربرد عملی کم آنها را در نظر نگرفته ایم. با این حال، شما به راحتی می توانید آنها را پیدا کنید.

ماهیت فرمول چیست؟

این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هر با شماره او" n" .

البته باید ترم اول را بدانید یک 1و تفاوت پیشرفت دخوب، بدون این پارامترها، نمی توانید یک پیشرفت خاص را یادداشت کنید.

حفظ کردن (یا تقلب) این فرمول کافی نیست. لازم است جوهر آن را جذب کرد و فرمول را در مسائل مختلف به کار برد. بله، و در زمان مناسب فراموش نکنید، بله ...) چگونه فراموش نکن- من نمی دانم. و اینجا چگونه به خاطر بسپاریمدر صورت نیاز به شما راهنمایی می کنم. برای کسانی که تا آخر درس را تسلط دارند.)

بنابراین، اجازه دهید با فرمول n-امین یک پیشروی حسابی بپردازیم.

به طور کلی فرمول چیست - ما تصور می کنیم.) پیشرفت حسابی، عدد عضو، اختلاف پیشروی چیست - در درس قبل به وضوح بیان شده است. اگر نخوانده اید نگاه کنید. آنجا همه چیز ساده است. باقی مانده است که بفهمیم چه چیزی نهمین عضو

به طور کلی پیشرفت را می توان به صورت یک سری اعداد نوشت:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

یک 1- نشان دهنده اولین جمله یک پیشرفت حسابی است، یک 3- عضو سوم یک 4- چهارم و غیره. اگر به دوره پنجم علاقه مندیم، فرض کنیم که با آن کار می کنیم یک 5، اگر صد و بیستم - از یک 120.

چگونه به طور کلی تعریف کنیم هرعضو یک پیشرفت حسابی، s هرعدد؟ بسیار ساده! مثل این:

a n

همین است n-امین عضو یک پیشرفت حسابی.زیر حرف n همه اعداد اعضا به طور همزمان پنهان می شوند: 1، 2، 3، 4 و غیره.

و چنین رکوردی چه چیزی به ما می دهد؟ فقط فکر کن به جای عدد، یک نامه نوشتند...

این نماد یک ابزار قدرتمند برای کار با پیشرفت های حسابی به ما می دهد. با استفاده از نماد a n، ما می توانیم به سرعت پیدا کنیم هرعضو هرپیشرفت حسابی و مجموعه ای از کارها برای حل در حال پیشرفت. در ادامه خواهید دید.

در فرمول عضو n یک پیشرفت حسابی:

a n = a 1 + (n-1)d

یک 1- اولین عضو پیشروی حسابی؛

n- شماره عضو

فرمول پارامترهای کلیدی هر پیشرفتی را به هم مرتبط می کند: a n ; a 1 ; دو n. حول این پارامترها، تمام پازل ها در حال چرخش هستند.

از فرمول ترم n نیز می توان برای نوشتن یک پیشرفت خاص استفاده کرد. به عنوان مثال، در مسئله می توان گفت که پیشرفت با شرط داده می شود:

a n = 5 + (n-1) 2.

چنین مشکلی حتی می تواند گیج شود ... هیچ سری وجود ندارد، هیچ تفاوتی وجود ندارد ... اما، با مقایسه شرایط با فرمول، به راحتی می توان فهمید که در این پیشرفت a 1 \u003d 5 و d \u003d 2.

و حتی می تواند عصبانی تر باشد!) اگر همین شرط را در نظر بگیریم: a n = 5 + (n-1) 2،بله، براکت ها را باز کنید و مشابه آن را بدهید؟ ما یک فرمول جدید دریافت می کنیم:

an = 3 + 2n.

این فقط نه کلی، بلکه برای یک پیشرفت خاص. این همان جایی است که دام نهفته است. برخی از مردم فکر می کنند که ترم اول یک سه است. اگر چه در واقع اولین عضو پنج ... کمی پایین تر ما با چنین فرمول اصلاح شده کار خواهیم کرد.

در وظایف پیشرفت، نماد دیگری وجود دارد - یک n+1. حدس زدید این عبارت "n به اضافه اولین" پیشروی است. معنی آن ساده و بی ضرر است.) این عضوی از پیشروی است که تعداد آن از عدد n در یک بیشتر است. به عنوان مثال، اگر در برخی از مشکل ما برای a nترم پنجم، پس یک n+1ششمین عضو خواهد بود. و غیره.

اغلب تعیین یک n+1در فرمول های بازگشتی رخ می دهد. از این کلمه وحشتناک نترسید!) این فقط راهی برای بیان یک اصطلاح یک پیشرفت حسابی است. از طریق قبلیفرض کنید با استفاده از فرمول مکرر، یک پیشرفت حسابی به این شکل داده شده است:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

چهارم - از طریق سوم، پنجم - از طریق چهارم، و غیره. و چگونه فوراً بشماریم، بگوییم ترم بیستم، یک 20? اما به هیچ وجه!) در حالی که ترم 19 مشخص نیست، 20 ام قابل شمارش نیست. این تفاوت اساسی بین فرمول بازگشتی و فرمول ترم n است. بازگشتی فقط از طریق کار می کند قبلیترم، و فرمول ترم n - از طریق اولینو اجازه می دهد فوراهر عضوی را با شماره آن پیدا کنید. بدون شمارش کل سری اعداد به ترتیب.

در یک پیشرفت حسابی، یک فرمول بازگشتی به راحتی می تواند به یک فرمول معمولی تبدیل شود. یک جفت عبارت متوالی بشمارید، تفاوت را محاسبه کنید د،در صورت لزوم، اولین ترم را پیدا کنید یک 1فرمول را به شکل معمول بنویسید و با آن کار کنید. در GIA، چنین وظایفی اغلب یافت می شود.

استفاده از فرمول n-امین عضو یک پیشروی حسابی.

ابتدا به کاربرد مستقیم فرمول نگاه می کنیم. در پایان درس قبلی یک مشکل وجود داشت:

با توجه به پیشرفت حسابی (a n). اگر 1=3 و d=1/6 باشد عدد 121 را پیدا کنید.

این مشکل را می توان بدون هیچ فرمولی، به سادگی بر اساس معنای پیشروی حسابی حل کرد. اضافه کنید، بله اضافه کنید... یک یا دو ساعت.)

و طبق فرمول حل کمتر از یک دقیقه طول خواهد کشید. شما می توانید آن را زمان بندی کنید.) ما تصمیم می گیریم.

شرایط تمام داده ها را برای استفاده از فرمول فراهم می کند: a 1 \u003d 3، d \u003d 1/6.باید دید چه چیزی nمشکلی نیست! ما باید پیدا کنیم یک 121. در اینجا می نویسیم:

لطفا توجه کنید! به جای شاخص nیک عدد مشخص ظاهر شد: 121. که کاملاً منطقی است.) ما به عضوی از پیشروی حسابی علاقه مند هستیم. شماره یکصد و بیست و یکاین ما خواهد بود nاین معناست n= 121 ما بیشتر در فرمول، در پرانتز جایگزین خواهیم کرد. تمام اعداد فرمول را جایگزین کرده و محاسبه کنید:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد. به همین سرعت می توان پانصد و دهمین عضو و هزار و سومین عضو را پیدا کرد. به جای آن قرار دادیم nعدد مورد نظر در نمایه حرف " آ"و در پرانتز، و در نظر می گیریم.

اجازه دهید ماهیت را به شما یادآوری کنم: این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هراصطلاح یک پیشرفت حسابی با شماره او" n" .

بیایید مشکل را هوشمندتر حل کنیم. فرض کنید مشکل زیر را داریم:

جمله اول پیشروی حسابی (a n) را بیابید اگر a 17 =-2; d=-0.5.

اگر مشکلی دارید، قدم اول را پیشنهاد می کنم. فرمول n ام یک پیشروی حسابی را بنویسید!بله بله. درست در دفترچه یادداشت خود بنویسید:

a n = a 1 + (n-1)d

و حالا با نگاه کردن به حروف فرمول، متوجه می شویم که چه داده هایی داریم و چه چیزی کم است؟ در دسترس d=-0.5،یک عضو هفدهم وجود دارد ... همه چیز؟ اگر فکر می کنید این همه است، پس نمی توانید مشکل را حل کنید، بله ...

یک عدد هم داریم n! در شرایط a 17 =-2پنهان شده است دو گزینه.این هم مقدار عضو هفدهم (-2) و هم عدد آن (17) است. آن ها n=17.این «چیز کوچک» اغلب از سر می‌گذرد و بدون آن، (بدون «چیز کوچک»، نه سر!) مشکل حل نمی‌شود. اگرچه ... و بدون سر نیز.)

اکنون می توانیم داده های خود را احمقانه با فرمول جایگزین کنیم:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

آه بله، یک 17ما می دانیم که -2 است. خوب، بیایید آن را در آن قرار دهیم:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

این، در اصل، همه چیز است. باقی مانده است که عبارت اول پیشرفت حسابی را از فرمول بیان کنیم و محاسبه کنیم. جواب میگیرید: a 1 = 6.

چنین تکنیکی - نوشتن یک فرمول و جایگزینی ساده داده های شناخته شده - در کارهای ساده بسیار کمک می کند. خوب، البته شما باید بتوانید یک متغیر را از یک فرمول بیان کنید، اما چه باید کرد!؟ بدون این مهارت، ریاضیات اصلا قابل مطالعه نیست...

یکی دیگر از مشکلات رایج:

تفاوت پیشروی حسابی (a n) را در صورت 1 =2 بیابید. a 15 = 12.

ما چه کار می کنیم؟ شگفت زده خواهید شد، ما فرمول را می نویسیم!)

a n = a 1 + (n-1)d

آنچه را که می دانیم در نظر بگیرید: a 1 = 2; a 15 = 12; و (برجستگی ویژه!) n=15. با خیال راحت در فرمول جایگزین کنید:

12=2 + (15-1) روز

بیایید حساب را انجام دهیم.)

12=2 + 14 روز

د=10/14 = 5/7

این جواب درست است.

بنابراین، وظایف a n، a 1و دتصمیم گرفت. باقی مانده است که یاد بگیرید چگونه شماره را پیدا کنید:

عدد 99 عضوی از یک تصاعد حسابی (a n) است که در آن 1 =12; d=3. شماره این عضو را پیدا کنید.

ما مقادیر شناخته شده را به فرمول n ام جایگزین می کنیم:

a n = 12 + (n-1) 3

در نگاه اول، دو کمیت ناشناخته در اینجا وجود دارد: a n و nولی a nبرخی از اعضای پیشرفت با شماره است n... و این عضو از پیشرفت ما می دانیم! 99 است. شماره او را نمی دانیم. nبنابراین این عدد نیز باید پیدا شود. عبارت پیشرفت 99 را با فرمول جایگزین کنید:

99 = 12 + (n-1) 3

از فرمول بیان می کنیم n، ما فکر می کنیم. جواب میگیریم: n=30.

و اکنون یک مشکل در همان موضوع، اما خلاقانه تر):

تعیین کنید که آیا عدد 117 عضوی از پیشروی حسابی (an) خواهد بود یا خیر:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

بیایید دوباره فرمول را بنویسیم. چه، هیچ گزینه ای وجود ندارد؟ هوم... چرا به چشم نیاز داریم؟) آیا اولین عضو پیشرفت را می بینیم؟ می بینیم. این -3.6 است. می توانید با خیال راحت بنویسید: a 1 \u003d -3.6.تفاوت داز سریال مشخص میشه؟ اگر بدانید تفاوت یک پیشرفت حسابی چیست آسان است:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

بله، ما ساده ترین کار را انجام دادیم. باقی مانده است که با یک شماره ناشناخته مقابله کنیم nو عدد نامفهوم 117. در مسئله قبلی حداقل معلوم بود که اصطلاح پیشروی داده شده است. اما اینجا ما حتی نمی دانیم که ... چگونه باشیم!؟ خوب، چگونه بودن، چگونه بودن... توانایی های خلاقانه خود را روشن کنید!)

ما فرض کنیدبالاخره 117 عضوی از پیشرفت ماست. با شماره نامعلوم n. و درست مانند مشکل قبلی، بیایید سعی کنیم این عدد را پیدا کنیم. آن ها ما فرمول را می نویسیم (بله-بله!)) و اعداد خود را جایگزین می کنیم:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

دوباره از فرمول بیان می کنیمn، می شماریم و می گیریم:

اوه! شماره معلوم شد کسری!صد و یک و نیم. و اعداد کسری در پیشرفت نمیتونه باشه.چه نتیجه ای می گیریم؟ آره! شماره 117 نیستعضو پیشرفت ما جایی بین اعضای 101 و 102 است. اگر عدد طبیعی بود، یعنی. عدد صحیح مثبت، آنگاه عدد عضوی از پیشرفت با عدد یافت شده خواهد بود. و در مورد ما، پاسخ به این مشکل خواهد بود: خیر

وظیفه مبتنی بر نسخه واقعی GIA:

پیشروی محاسباتی با شرط داده می شود:

a n \u003d -4 + 6.8n

عبارت اول و دهم پیشرفت را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت به روشی غیرعادی تنظیم شده است. نوعی فرمول ... این اتفاق می افتد.) با این حال، این فرمول (همانطور که در بالا نوشتم) - همچنین فرمول n-امین یک پیشروی حسابی!او هم اجازه می دهد هر عضوی از پیشرفت را با تعداد آن پیدا کنید.

ما به دنبال اولین عضو هستیم. اونی که فکر میکنه این که عبارت اول منهای چهار است، به طرز مهلکی اشتباه است!) زیرا فرمول در مسئله اصلاح شده است. اولین جمله یک پیشرفت حسابی در آن پنهان شده است.هیچی، الان پیداش می کنیم.)

همانطور که در کارهای قبلی جایگزین می کنیم n=1به این فرمول:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

اینجا! جمله اول 2.8 است نه -4!

به همین ترتیب، ما به دنبال ترم دهم هستیم:

a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد.

و اکنون، برای کسانی که تا این سطور خوانده اند، پاداش وعده داده شده است.)

فرض کنید، در یک موقعیت رزمی دشوار GIA یا آزمون یکپارچه دولتی، فرمول مفید n-امین یک پیشرفت حسابی را فراموش کرده اید. چیزی به ذهن می رسد، اما به نحوی نامشخص ... آیا nوجود دارد، یا n+1 یا n-1...چگونه باشیم!؟

آرام! این فرمول به راحتی قابل استخراج است. خیلی سخت نیست، اما قطعا برای اطمینان و تصمیم درست کافی است!) برای نتیجه گیری، کافی است معنای ابتدایی پیشروی حسابی را به خاطر بسپارید و چند دقیقه وقت داشته باشید. شما فقط باید یک تصویر بکشید. برای شفافیت.

یک محور عددی رسم می کنیم و اولی را روی آن علامت می زنیم. دوم، سوم و غیره اعضا. و به تفاوت توجه کنید دبین اعضا مثل این:

به تصویر نگاه می کنیم و فکر می کنیم: جمله دوم برابر است با چیست؟ دومین یکی د:

آ 2 =a 1 + 1 د

ترم سوم چیست؟ سومترم برابر با ترم اول به اضافه است دو د.

آ 3 =a 1 + 2 د

متوجه شدي؟ من بعضی از کلمات را بیهوده به صورت پررنگ نمی نویسم. خوب، یک قدم دیگر.)

ترم چهارم چیست؟ چهارمترم برابر با ترم اول به اضافه است سه د.

آ 4 =a 1 + 3 د

وقت آن رسیده است که متوجه شویم تعداد شکاف ها، یعنی. د، همیشه یک کمتر از تعداد عضو مورد نظر شما n. یعنی تا تعداد n، تعداد شکاف هااراده n-1.بنابراین، فرمول (بدون گزینه!):

a n = a 1 + (n-1)d

به طور کلی، تصاویر بصری در حل بسیاری از مسائل در ریاضیات بسیار مفید هستند. از تصاویر غافل نشوید اما اگر کشیدن یک تصویر دشوار است، پس ... فقط یک فرمول!) علاوه بر این، فرمول ترم n به شما امکان می دهد کل زرادخانه قدرتمند ریاضیات را به راه حل متصل کنید - معادلات، نابرابری ها، سیستم ها و غیره. شما نمی توانید یک تصویر را در یک معادله قرار دهید ...

وظایف برای تصمیم گیری مستقل

برای گرم کردن:

1. در پیشرفت حسابی (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. 3 را پیدا کنید.

نکته: طبق تصویر، مشکل در 20 ثانیه حل می شود ... طبق فرمول، دشوارتر می شود. اما برای تسلط بر فرمول مفیدتر است.) در قسمت 555 این مشکل هم با تصویر و هم با فرمول حل می شود. تفاوت را احساس کنید!)

و این دیگر گرم کردن نیست.)

2. در پیشرفت حسابی (a n) a 85 \u003d 19.1؛ a 236 = 49، 3. یک 3 را پیدا کنید.

چه، بی میلی به کشیدن نقاشی؟) هنوز! در فرمول بهتر است، بله ...

3. پیشرفت محاسباتی با شرط داده می شود:a 1 \u003d -5.5؛ a n+1 = a n +0.5. جمله صد و بیست و پنجم این پیشروی را پیدا کنید.

در این کار، پیشرفت به صورت مکرر داده می شود. اما شمردن تا ترم صد و بیست و پنجم... همه نمی توانند چنین شاهکاری کنند.) اما فرمول ترم n در توان همه است!

4. با توجه به پیشروی حسابی (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

عدد کوچکترین جمله مثبت پیشرفت را پیدا کنید.

5. با توجه به شرط تکلیف 4، مجموع کوچکترین اعضای مثبت و بزرگترین اعضای منفی پیشروی را پیدا کنید.

6. حاصل ضرب جمله های پنجم و دوازدهم یک تصاعد حسابی فزاینده 5/2- است و مجموع جمله های سوم و یازدهم صفر است. 14 را پیدا کنید.

ساده ترین کار نیست، بله ...) در اینجا روش "روی انگشتان" کار نخواهد کرد. شما باید فرمول بنویسید و معادلات را حل کنید.

پاسخ ها (به هم ریخته):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

اتفاق افتاد؟ خوبه!)

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. به هر حال، در آخرین کار یک نکته ظریف وجود دارد. دقت در هنگام خواندن مشکل مورد نیاز خواهد بود. و منطق.

راه حل همه این مشکلات به تفصیل در بخش 555 مورد بحث قرار گرفته است. و عنصر فانتزی برای چهارم، و لحظه ظریف برای ششم، و رویکردهای کلی برای حل هر مشکلی برای فرمول ترم n - همه چیز نقاشی شده است. من توصیه می کنم.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

کسی با کلمه "پیشرفت" به عنوان یک اصطلاح بسیار پیچیده از بخش های ریاضیات عالی با احتیاط برخورد می کند. در همین حال، ساده ترین پیشروی حسابی کار تاکسی پیشخوان است (جایی که هنوز باقی مانده اند). و درک ماهیت (و در ریاضیات هیچ چیز مهمتر از "درک ماهیت" نیست) یک دنباله حسابی با تجزیه و تحلیل چند مفهوم ابتدایی چندان دشوار نیست.

دنباله اعداد ریاضی

مرسوم است که یک دنباله عددی را مجموعه ای از اعداد نامیده می شود که هر کدام شماره مخصوص به خود را دارند.

و 1 اولین عضو دنباله است.

و 2 دومین عضو دنباله است.

و 7 هفتمین عضو دنباله است.

و n n امین عضو دنباله است.

با این حال، هیچ مجموعه ای از ارقام و اعداد دلخواه ما را مورد توجه قرار نمی دهد. ما توجه خود را بر روی یک دنباله عددی متمرکز خواهیم کرد که در آن مقدار عضو n با یک وابستگی که می تواند به وضوح به صورت ریاضی فرموله شود با عدد ترتیبی آن مرتبط است. به عبارت دیگر: مقدار عددی عدد n تابعی از n است.

a - مقدار عضوی از دنباله عددی؛

n شماره سریال آن است.

f(n) تابعی است که در آن ترتیبی در دنباله عددی n آرگومان است.

تعریف

یک پیشروی حسابی معمولاً دنباله ای عددی نامیده می شود که در آن هر جمله بعدی با همان عدد بزرگتر (کمتر) از جمله قبلی است. فرمول n ام یک دنباله حسابی به شرح زیر است:

a n - مقدار عضو فعلی پیشرفت حسابی.

a n+1 - فرمول عدد بعدی؛

د - تفاوت (عدد معین).

به راحتی می توان تعیین کرد که اگر اختلاف مثبت باشد (d>0)، آنگاه هر عضو بعدی از سری مورد نظر بزرگتر از قبلی خواهد بود و چنین پیشرفت حسابی افزایش می یابد.

در نمودار زیر به راحتی می توان فهمید که چرا دنباله اعداد "افزایش" نامیده می شود.

در مواردی که تفاوت منفی است (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

مقدار عضو مشخص شده

گاهی اوقات لازم است مقدار یک جمله دلخواه a n یک پیشرفت حسابی تعیین شود. شما می توانید این کار را با محاسبه متوالی مقادیر تمام اعضای پیشروی حسابی، از اول تا مورد نظر، انجام دهید. با این حال، این راه همیشه قابل قبول نیست، به عنوان مثال، نیاز به یافتن ارزش عبارت پنج هزارم یا هشت میلیونی است. محاسبه سنتی زمان زیادی می برد. با این حال، یک پیشرفت محاسباتی خاص را می توان با استفاده از فرمول های خاصی بررسی کرد. همچنین یک فرمول برای جمله n وجود دارد: مقدار هر عضو یک پیشرفت حسابی را می توان به عنوان مجموع اولین عضو پیشرفت با اختلاف پیشروی، ضرب در تعداد عضو مورد نظر، منهای یک تعیین کرد. .

فرمول جهانی برای افزایش و کاهش پیشرفت است.

مثالی از محاسبه مقدار یک عضو معین

بیایید مشکل زیر را در یافتن مقدار عضو n یک پیشرفت حسابی حل کنیم.

شرط: یک پیشرفت حسابی با پارامترها وجود دارد:

اولین عضو دنباله 3 است.

تفاوت در سری اعداد 1.2 است.

وظیفه: باید مقدار 214 عبارت را پیدا کرد

راه حل: برای تعیین مقدار یک عضو معین، از فرمول استفاده می کنیم:

a(n) = a1 + d(n-1)

با جایگزینی داده های دستور مشکل به عبارت، داریم:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

پاسخ: عضو 214 دنباله برابر با 258.6 است.

مزایای این روش محاسبه واضح است - کل راه حل بیش از 2 خط طول نمی کشد.

مجموع تعداد معینی از اصطلاحات

اغلب اوقات، در یک سری حسابی معین، لازم است که مجموع مقادیر برخی از بخش های آن تعیین شود. همچنین نیازی به محاسبه مقادیر هر عبارت و سپس جمع بندی آنها نیست. این روش در صورتی قابل اجرا است که تعداد عباراتی که جمع آنها باید یافت شود کم باشد. در موارد دیگر، استفاده از فرمول زیر راحت تر است.

مجموع اعضای یک پیشروی حسابی از 1 به n برابر است با مجموع اعضای اول و n ام که در عدد عضو n ضرب و بر دو تقسیم می شود. اگر در فرمول مقدار عضو n با عبارت پاراگراف قبلی مقاله جایگزین شود، دریافت می کنیم:

مثال محاسبه

به عنوان مثال، اجازه دهید یک مشکل را با شرایط زیر حل کنیم:

جمله اول دنباله صفر است.

تفاوت 0.5 است.

در مسئله باید مجموع عبارت های سری از 56 تا 101 مشخص شود.

راه حل. بیایید از فرمول برای تعیین مجموع پیشرفت استفاده کنیم:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ابتدا، مجموع مقادیر 101 عضو پیشرفت را با جایگزین کردن شرایط داده شده مسئله خود در فرمول تعیین می کنیم:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

بدیهی است که برای فهمیدن مجموع شرایط پیشرفت از 56 به 101 باید S 55 را از S 101 کم کرد.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

بنابراین مجموع پیشروی حسابی برای این مثال به صورت زیر است:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

مثالی از کاربرد عملی پیشروی حسابی

در پایان مقاله، اجازه دهید به مثال دنباله حسابی ارائه شده در پاراگراف اول - تاکسی متر (تاکسی متر) برگردیم. بیایید چنین مثالی را در نظر بگیریم.

سوار شدن به تاکسی (که شامل 3 کیلومتر است) 50 روبل هزینه دارد. هر کیلومتر بعدی با نرخ 22 روبل در کیلومتر پرداخت می شود. مسافت سفر 30 کیلومتر. هزینه سفر را محاسبه کنید.

1. بیایید 3 کیلومتر اول را که قیمت آن در هزینه فرود گنجانده شده است.

30 - 3 = 27 کیلومتر.

2. محاسبه بیشتر چیزی نیست جز تجزیه یک سری اعداد حسابی.

شماره عضو تعداد کیلومترهای طی شده (منهای سه اول) است.

ارزش عضو جمع است.

اولین عبارت در این مشکل برابر با 1 = 50 روبل خواهد بود.

اختلاف پیشرفت d = 22 p.

تعداد مورد علاقه ما - مقدار (27 + 1)امین عضو پیشرفت حسابی - قرائت متر در پایان کیلومتر 27 - 27.999 ... = 28 کیلومتر.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

محاسبات داده های تقویم برای یک دوره دلخواه طولانی بر اساس فرمول هایی است که توالی های عددی خاصی را توصیف می کند. در نجوم، طول مدار از نظر هندسی به فاصله جسم آسمانی تا نور بستگی دارد. علاوه بر این، سری های عددی مختلف با موفقیت در آمار و سایر شاخه های کاربردی ریاضیات استفاده می شود.

نوع دیگری از دنباله اعداد هندسی است

یک پیشرفت هندسی با یک نرخ تغییر بزرگ در مقایسه با یک تغییر حسابی مشخص می شود. تصادفی نیست که در سیاست، جامعه شناسی، پزشکی، اغلب برای نشان دادن سرعت بالای گسترش یک پدیده خاص، مثلاً یک بیماری در طول یک بیماری همه گیر، می گویند که این روند به طور تصاعدی توسعه می یابد.

عضو N-امین سری اعداد هندسی با شماره قبلی متفاوت است زیرا در یک عدد ثابت ضرب می شود - مخرج، به عنوان مثال، اولین عضو 1 است، مخرج به ترتیب 2 است، سپس:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32،

b n - مقدار عضو فعلی پیشرفت هندسی.

b n+1 - فرمول عضو بعدی پیشرفت هندسی.

q مخرج یک تصاعد هندسی (عدد ثابت) است.

اگر نمودار یک پیشروی حسابی یک خط مستقیم باشد، نمودار هندسی یک تصویر کمی متفاوت ترسیم می کند:

همانطور که در مورد حساب، یک پیشرفت هندسی فرمولی برای مقدار یک عضو دلخواه دارد. هر جمله n ام یک تصاعد هندسی برابر است با حاصل ضرب جمله اول و مخرج پیشرفت به توان n یک کاهش می یابد:

مثال. ما یک تصاعد هندسی داریم که جمله اول برابر با 3 و مخرج پیشروی برابر با 1.5 است. جمله پنجم پیشرفت را پیدا کنید

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

مجموع تعداد معینی از اعضا نیز با استفاده از فرمول خاصی محاسبه می شود. مجموع n عضو اول یک پیشرفت هندسی برابر است با تفاوت بین حاصلضرب عضو n پیشرفت و مخرج آن و اولین عضو پیشرفت، تقسیم بر مخرج تقلیل شده بر یک:

اگر b n با استفاده از فرمول مورد بحث در بالا جایگزین شود، مقدار مجموع n عضو اول سری اعداد در نظر گرفته شده به شکل زیر خواهد بود:

مثال. پیشروی هندسی با جمله اول برابر با 1 شروع می شود. مخرج برابر با 3 است. بیایید مجموع هشت جمله اول را پیدا کنیم.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

هنگام مطالعه جبر در دبیرستان (پایه نهم)، یکی از موضوعات مهم مطالعه دنباله های عددی است که شامل پیشرفت ها - هندسی و حسابی است. در این مقاله یک پیشروی حسابی و مثال هایی همراه با جواب را در نظر خواهیم گرفت.

پیشروی حسابی چیست؟

برای درک این موضوع، لازم است تعریفی از پیشرفت در نظر گرفته شود و همچنین فرمول های اساسی ارائه شود که بیشتر در حل مسائل مورد استفاده قرار می گیرند.

پیشروی حسابی یا جبری مجموعه ای از اعداد گویا مرتب شده است که هر عضو آن با مقداری ثابت با اعداد قبلی متفاوت است. این مقدار تفاوت نامیده می شود. یعنی با دانستن هر عضوی از یک سری اعداد مرتب شده و تفاوت، می توانید کل پیشروی حسابی را بازیابی کنید.

بیایید یک مثال بزنیم. دنباله بعدی اعداد یک پیشرفت حسابی خواهد بود: 4، 8، 12، 16، ...، زیرا تفاوت در این مورد 4 است (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). اما مجموعه اعداد 3، 5، 8، 12، 17 را دیگر نمی توان به نوع پیشرفت در نظر گرفته نسبت داد، زیرا تفاوت برای آن یک مقدار ثابت نیست (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

فرمول های مهم

اکنون فرمول های اساسی را ارائه می دهیم که برای حل مسائل با استفاده از پیشروی حسابی مورد نیاز است. بگذارید a n نشانگر nامین عضو دنباله باشد، جایی که n یک عدد صحیح است. تفاوت با حرف لاتین d نشان داده می شود. سپس عبارات زیر درست هستند:

1. برای تعیین مقدار عبارت n، فرمول مناسب است: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. برای تعیین مجموع n جمله اول: S n = (a n + a 1)*n/2.

برای درک هر نمونه ای از یک پیشروی حسابی با یک راه حل در درجه 9، کافی است این دو فرمول را به خاطر بسپارید، زیرا هر گونه مشکل از نوع مورد بررسی بر اساس استفاده از آنها است. همچنین، فراموش نکنید که تفاوت پیشرفت با فرمول تعیین می شود: d = a n - a n-1 .

مثال شماره 1: یافتن یک عضو ناشناس

ما یک مثال ساده از یک پیشروی حسابی و فرمول هایی که باید برای حل استفاده شوند، ارائه می دهیم.

بگذارید دنباله 10، 8، 6، 4، ... داده شود، لازم است پنج عبارت در آن پیدا شود.

قبلاً از شرایط مسئله بر می آید که 4 عبارت اول شناخته شده است. پنجم را می توان به دو صورت تعریف کرد:

1. بیایید ابتدا تفاوت را محاسبه کنیم. ما داریم: d = 8 - 10 = -2. به طور مشابه، می توان هر دو اصطلاح دیگر را در کنار یکدیگر قرار داد. به عنوان مثال، d = 4 - 6 = -2. از آنجایی که مشخص است d \u003d a n - a n-1 ، سپس d \u003d a 5 - a 4 ، از جایی که می گیریم: a 5 \u003d a 4 + d. مقادیر شناخته شده را جایگزین می کنیم: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. روش دوم همچنین نیاز به آگاهی از تفاوت پیشرفت مورد نظر دارد، بنابراین ابتدا باید آن را تعیین کنید، همانطور که در بالا نشان داده شده است (d = -2). با دانستن اینکه جمله اول a 1 = 10 است، از فرمول n عدد دنباله استفاده می کنیم. ما داریم: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. با جایگزینی n = 5 به آخرین عبارت، به دست می آوریم: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

همانطور که می بینید، هر دو راه حل به یک نتیجه منجر می شوند. توجه داشته باشید که در این مثال تفاوت d پیشرفت منفی است. این دنباله ها را کاهشی می نامند زیرا هر جمله متوالی کمتر از عبارت قبلی است.

مثال شماره 2: تفاوت پیشرفت

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم، مثالی از چگونگی آن بزنید

مشخص است که در برخی جمله اول برابر با 6 و جمله هفتم برابر با 18 است.

بیایید از فرمول برای تعیین عبارت مجهول استفاده کنیم: a n = (n - 1) * d + a 1 . ما داده های شناخته شده از شرط را در آن جایگزین می کنیم، یعنی اعداد a 1 و a 7، داریم: 18 \u003d 6 + 6 * d. از این عبارت، می توانید به راحتی تفاوت را محاسبه کنید: d = (18 - 6) / 6 = 2. بنابراین، بخش اول مسئله پاسخ داده شد.

برای بازگرداندن دنباله به عضو هفتم، باید از تعریف پیشروی جبری استفاده کنید، یعنی a 2 = a 1 + d، a 3 = a 2 + d و غیره. در نتیجه، کل دنباله را بازیابی می کنیم: a 1 = 6، a 2 = 6 + 2=8، a 3 = 8 + 2 = 10، a 4 = 10 + 2 = 12، a 5 = 12 + 2 = 14 6 = 14 + 2 = 16 و 7 = 18.

مثال شماره 3: ایجاد یک پیشرفت

اجازه دهید شرایط مشکل را حتی بیشتر پیچیده کنیم. اکنون باید به این سوال پاسخ دهید که چگونه یک پیشرفت حسابی را پیدا کنید. می‌توانیم مثال زیر را بزنیم: دو عدد داده می‌شود، مثلاً 4 و 5. لازم است یک پیشروی جبری انجام دهیم تا سه عبارت دیگر بین اینها قرار گیرد.

قبل از شروع حل این مشکل، لازم است بدانیم اعداد داده شده چه جایگاهی در پیشرفت آینده خواهند داشت. از آنجایی که سه عبارت دیگر بین آنها وجود خواهد داشت، سپس یک 1 \u003d -4 و یک 5 \u003d 5. پس از ایجاد این، به کار مشابه قبلی ادامه می دهیم. دوباره برای ترم n از فرمول استفاده می کنیم: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. از: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. در اینجا، تفاوت یک مقدار صحیح نیست، بلکه یک عدد گویا است، بنابراین فرمول‌های پیشروی جبری ثابت می‌مانند.

حالا بیایید تفاوت پیدا شده را به 1 اضافه کنیم و اعضای گمشده پیشرفت را بازیابی کنیم. دریافت می کنیم: a 1 = - 4، a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، a 5 \u003d 2.75 + 2.35 \u. که مصادف با شرایط مشکل بود.

مثال شماره 4: اولین عضو پیشرفت

ما به ارائه مثال هایی از یک پیشرفت حسابی با یک راه حل ادامه می دهیم. در تمام مسائل قبلی، عدد اول پیشروی جبری مشخص بود. اکنون یک مسئله از نوع دیگری را در نظر بگیرید: اجازه دهید دو عدد داده شود، که در آن 15 = 50 و 43 = 37. باید مشخص شود که این دنباله از چه عددی شروع می شود.

فرمول هایی که تاکنون استفاده شده است، دانش 1 و d را فرض می کند. در مورد این اعداد در شرایط مشکل چیزی مشخص نیست. با این وجود، بیایید عباراتی را برای هر عبارتی که اطلاعاتی در مورد آن داریم بنویسیم: a 15 = a 1 + 14 * d و a 43 = a 1 + 42 * d. ما دو معادله به دست آوردیم که در آنها 2 کمیت مجهول وجود دارد (a 1 و d). این بدان معنی است که مسئله به حل یک سیستم معادلات خطی کاهش می یابد.

اگر در هر معادله 1 را بیان کنید و سپس عبارات حاصل را با هم مقایسه کنید، سیستم مشخص شده ساده ترین حل است. معادله اول: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; معادله دوم: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. با معادل سازی این عبارات، به دست می آوریم: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d، از آنجا تفاوت d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (فقط 3 رقم اعشار داده شده است).

با دانستن d، می توانید از هر یک از 2 عبارت بالا برای 1 استفاده کنید. به عنوان مثال، ابتدا: 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

اگر در مورد نتیجه شک دارید، می توانید آن را بررسی کنید، به عنوان مثال، عضو 43 پیشرفت را که در شرط مشخص شده است، تعیین کنید. دریافت می کنیم: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. یک خطای کوچک به این دلیل است که از گرد کردن به هزارم در محاسبات استفاده شده است.

مثال شماره 5: جمع

حال بیایید به چند مثال با راه حل هایی برای مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه کنیم.

یک پیشروی عددی به شکل زیر داده شود: 1، 2، 3، 4، ...،. چگونه می توان مجموع 100 عدد از این اعداد را محاسبه کرد؟

به لطف توسعه فناوری رایانه، می توان این مشکل را حل کرد، یعنی به صورت متوالی همه اعداد را جمع کرد، که رایانه به محض فشار دادن کلید Enter انجام می دهد. با این حال، اگر توجه داشته باشید که سری اعداد ارائه شده یک پیشرفت جبری است و تفاوت آن 1 است، مشکل را می توان به صورت ذهنی حل کرد. / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

جالب است بدانید که این مشکل "گاوسی" نامیده می شود، زیرا در آغاز قرن هجدهم آلمانی مشهور، هنوز در سن 10 سالگی، توانست آن را در چند ثانیه در ذهن خود حل کند. پسر فرمول مجموع یک پیشرفت جبری را نمی دانست، اما متوجه شد که اگر جفت اعدادی را که در لبه های دنباله قرار دارند اضافه کنید، همیشه یک نتیجه را دریافت می کنید، یعنی 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ...، و از آنجایی که این مجموع دقیقاً 50 خواهد بود (100 / 2)، پس برای به دست آوردن پاسخ صحیح کافی است 50 را در 101 ضرب کنید.

مثال شماره 6: مجموع عبارت ها از n تا m

نمونه معمولی دیگر از مجموع یک پیشروی حسابی به شرح زیر است: با توجه به یک سری اعداد: 3، 7، 11، 15، ...، باید دریابید که مجموع عبارت های آن از 8 تا 14 چقدر خواهد بود.

مشکل به دو صورت حل می شود. اولین مورد شامل یافتن عبارات مجهول از 8 تا 14 و سپس جمع بندی آنها به ترتیب است. از آنجایی که اصطلاحات کمی وجود دارد، این روش به اندازه کافی پر زحمت نیست. با این وجود، حل این مشکل با روش دوم پیشنهاد می شود که جهانی تر است.

ایده این است که فرمولی برای مجموع یک پیشروی جبری بین ترم های m و n بدست آوریم که در آن n > m اعداد صحیح هستند. برای هر دو مورد، دو عبارت برای جمع می نویسیم:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

از آنجایی که n > m، بدیهی است که مجموع 2 شامل اولین است. نتیجه آخر به این معناست که اگر تفاضل بین این مجموع را بگیریم و عبارت a m را به آن اضافه کنیم (در صورت گرفتن اختلاف از مجموع S n کسر شود)، پاسخ لازم را برای مسئله می گیریم. داریم: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). لازم است که فرمول های n و m را در این عبارت جایگزین کنید. سپس دریافت می کنیم: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

فرمول حاصل تا حدودی دست و پا گیر است، با این حال، مجموع S mn فقط به n، m، a 1 و d بستگی دارد. در مورد ما، a 1 = 3، d = 4، n = 14، m = 8. با جایگزینی این اعداد، به دست می آوریم: S mn = 301.

همانطور که از راه حل های بالا مشاهده می شود، همه مسائل بر اساس دانش عبارت ترم n و فرمول مجموع مجموعه جمله های اول است. قبل از شروع حل هر یک از این مشکلات، توصیه می شود که شرایط را به دقت بخوانید، به وضوح بفهمید که چه چیزی می خواهید پیدا کنید و تنها پس از آن راه حل را ادامه دهید.

نکته دیگر این است که برای سادگی تلاش کنید، یعنی اگر بتوانید بدون استفاده از محاسبات پیچیده ریاضی به سؤال پاسخ دهید، باید دقیقاً این کار را انجام دهید، زیرا در این حالت احتمال اشتباه کمتر است. به عنوان مثال، در مثال یک پیشروی حسابی با حل شماره 6، می توان در فرمول S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m متوقف شد و وظیفه کلی را به وظایف فرعی جداگانه تقسیم کنید (در این مورد ابتدا عبارت a n و a m را پیدا کنید).

اگر در مورد نتیجه به دست آمده شک دارید، توصیه می شود همانطور که در برخی از مثال های ارائه شده انجام شد، آن را بررسی کنید. چگونه یک پیشرفت حسابی را پیدا کنیم، متوجه شدیم. وقتی آن را فهمیدید، آنقدرها هم سخت نیست.