15 مشخصات امتحانی نحوه حل با لگاریتم کار مانوف "نابرابری های لگاریتمی در امتحان"

"حل نابرابری های لوگاریتمی (استفاده از پروفایل وظیفه 15). کاربرد لوگاریتم ها در حوزه های مختلف زندگی انسان "

اپیگراف درس ، کلمات موریس کلاین خواهد بود "موسیقی می تواند روح را آرام یا آرام کند ، نقاشی می تواند چشم را خوشحال کند ، شعر می تواند احساسات را بیدار کند ، فلسفه می تواند نیازهای عقل را برآورده کند ، مهندسی می تواند جنبه مادی زندگی افراد را بهبود بخشد وریاضیات قادر به دستیابی به همه این اهداف است »

حالا بیایید روحیه موفقیت را ایجاد کنیم!

ما به سوالات زیر پاسخ خواهیم داد:

تمرین راستی آزمایی اوراق معاینه، و من از سال 2005 یک متخصص USE در ریاضیات بودم نشان می دهد که بزرگترین مشکل دانش آموزان حل نابرابری های ماورایی است ، به ویژه نابرابری های لگاریتمیبا پایه متغیر

بنابراین ، من پیشنهاد می کنم که اولاً روش منطقی سازی (روش تجزیه مودنوف) یا روش دیگر جایگزینی ضرب کننده گولوبف را در نظر بگیرم ، که به شما امکان می دهد نابرابری های پیچیده ، به ویژه لگاریتمی را به یک سیستم ساده تر منطقی کاهش دهید. نابرابری ها

به عنوان مثال ، هنگام حل نابرابری
در نسخه ارزشیابی ، پیشنهاد شده به کارشناسان آزمون ، راه حل زیر ارائه شد:

من پیشنهاد می کنم از روش منطقی سازی استفاده کنید:

حل اولین نابرابری با روش فواصل و با در نظر گرفتن اینکه به دست می آوریم

حل نابرابری زیر

من اینطور دیدم:

و من به دانش آموزان توضیح دادم که گاهی راه حل گرافیکی ساده تر است.

و در نتیجه ، راه حل این نابرابری به شکل زیر است:

نابرابری را در نظر بگیرید

برای حل این نابرابری ، می توان از فرمول استفاده کرد

اما رفتن به پایه یک عدد است و مطلقاً هر چیزی:

و نابرابری حاصله را با روش فواصل حل کنید:

ODZ:

و نابرابری حاصله را با روش فواصل حل کنید

و با در نظر گرفتن ODZ بدست می آوریم:

و با حل نوع بعدی نابرابری ، دانش آموزان هنگام نوشتن پاسخ ، معمولاً یکی از راه حل ها را از دست می دهند. قطعاً باید به این موضوع توجه کنید.

بیایید ODZ را پیدا کنیم:

و جایگزینی را انجام دهید: دریافت می کنیم:

توجه شما را به این واقعیت جلب می کنم که اغلب دانشجویانی که این مسئله را حل می کنند ، نابرابری حاصله ، مخرج را کنار می گذارند ، در نتیجه یکی از راه حل ها را از دست می دهند:

با توجه به ODZ ، به دست می آوریم: و

و در پایان درس ، حقایق جالبی را در مورد کاربرد لگاریتم ها در زمینه های مختلف به دانش آموزان ارائه می کنم.

هر جا که فرآیندهایی وجود داشته باشد که با گذشت زمان تغییر کند ، از لگاریتم ها استفاده می شود.

لگاریتم ها یک مفهوم ریاضی هستند که در همه شاخه های علوم استفاده می شوند: شیمی ، زیست شناسی ، فیزیک ، جغرافیا ، علوم کامپیوتر و بسیاری دیگر ، اما گسترده ترین کاربرد لگاریتم ها در اقتصاد یافت می شود.

این مقاله به تجزیه و تحلیل وظایف 15 اختصاص داده شده است امتحان پروفایلدر ریاضیات برای سال 2017 در این کار ، به دانش آموزان پیشنهاد می شود که نابرابری ها را حل کنند ، که اغلب لگاریتمی هستند. اگرچه ممکن است نشانه ای وجود داشته باشد. این مقاله تجزیه و تحلیل نمونه هایی از نابرابری های لگاریتمی ، از جمله مواردی که حاوی یک متغیر در پایه لگاریتم هستند ، ارائه می دهد. همه مثالها برگرفته از بانک بازوظایف USE در ریاضیات (مشخصات) ، به طوری که احتمالاً چنین نابرابری هایی در امتحان به عنوان وظیفه 15. با شما روبرو می شود. ایده آل برای کسانی که در مدت زمان کوتاهی می خواهند نحوه حل کار 15 را از قسمت دوم یاد بگیرند. مشخصات USE در ریاضیات به منظور کسب امتیاز بیشتر در امتحان.

تجزیه و تحلیل 15 وظیفه از آزمون مشخصات در ریاضیات

در وظایف آزمون پانزدهم ریاضی (مشخصات) ، اغلب با نابرابری های لگاریتمی مواجه می شویم. راه حل نابرابری های لگاریتمی با تعریف ناحیه آغاز می شود مقادیر قابل قبول... در این مورد ، هیچ متغیری در پایه هر دو لگاریتم وجود ندارد ، فقط عدد 11 وجود دارد که کار را بسیار ساده می کند. بنابراین ، تنها محدودیتی که در اینجا داریم این است که هر دو عبارت زیر علامت لگاریتم مثبت هستند:

عنوان = "(! LANG: ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

اولین نابرابری در سیستم ، نابرابری مربعی است. برای حل آن ، ما واقعاً به تجزیه آسیب نمی رسانیم سمت چپتوسط عوامل من فکر می کنم شما می دانید که هر کسی سه جمله ای مربعاز نوع به شرح زیر فاکتور گذاری شده است:

ریشه های معادله کجا و کجا هستند. در این حالت ، ضریب 1 است (این ضریب عددی در جلو است). ضریب نیز 1 است و ضریب یک قطع است ، -20 است. ریشه های سه جمله ای به راحتی توسط قضیه ویتا تعیین می شود. معادله ای که داده ایم ، پس مجموع ریشه ها برابر ضریب با علامت مخالف ، یعنی -1 ، و حاصلضرب این ریشه ها برابر ضریب ، یعنی -20 خواهد بود. به راحتی می توان حدس زد که ریشه ها -5 و 4 خواهند بود.

در حال حاضر سمت چپ نابرابری را می توان فاکتور گرفت: title = "(! LANG: ارائه شده توسط QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} ایکسدر نقاط -5 و 4. بنابراین ، راه حل مورد نظر برای نابرابری یک فاصله است. برای کسانی که نمی دانند آنچه در اینجا نوشته شده است ، می توانید جزئیات را در ویدئو مشاهده کنید ، از این لحظه شروع کنید. در آنجا همچنین توضیح مفصلی در مورد نحوه حل نابرابری دوم سیستم خواهید یافت. در حال حل شدن است. علاوه بر این ، پاسخ دقیقاً مشابه اولین نابرابری سیستم است. یعنی مجموعه ای که در بالا نوشته شده ، محدوده مقادیر قابل قبول نابرابری است.

بنابراین ، با در نظر گرفتن عوامل ، نابرابری اصلی شکل می گیرد:

با استفاده از فرمول ، 11 را به قدرت عبارت زیر علامت لگاریتم اول می رسانیم و لگاریتم دوم را به سمت چپ نابرابری منتقل می کنیم ، در حالی که علامت آن را به عکس مقابل تغییر می دهیم:

پس از کاهش به دست می آوریم:

آخرین نابرابری ، به دلیل افزایش تابع ، معادل نابرابری است ، که راه حل آن فاصله است ... باقی مانده است که آن را با طیف وسیعی از مقادیر قابل قبول نابرابری قطع کنید ، و این پاسخی برای کل کار خواهد بود.

بنابراین ، پاسخ مورد نظر برای کار این است:

ما این کار را انجام دادیم ، اکنون به مثال بعدی 15 وظیفه USE در ریاضیات (مشخصات) می پردازیم.

راه حل را با تعیین دامنه مقادیر قابل قبول این نابرابری آغاز می کنیم. در پایه هر لگاریتم باید باشد عدد مثبت، که برابر 1 نیست. همه عبارات زیر علامت لگاریتم باید مثبت باشند. نباید صفر در مخرج کسر وجود داشته باشد. آخرین شرط معادل آن است ، زیرا در غیر این صورت هر دو لگاریتم مخرج ناپدید می شوند. همه این شرایط محدوده مقادیر قابل قبول این نابرابری را تعیین می کند ، که توسط سیستم نابرابری های زیر تعریف شده است:

عنوان = "(! LANG: ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

در محدوده مقادیر معتبر ، می توانیم از فرمولهای تبدیل برای لگاریتم ها به منظور ساده شدن سمت چپ نابرابری استفاده کنیم. با استفاده از فرمول مخرج را از بین ببرید:

اکنون ما فقط لگاریتم های پایه داریم. این در حال حاضر راحت تر است. در مرحله بعد ، ما از فرمول و همچنین فرمول استفاده می کنیم تا عبارت ارزشمند را به شکل زیر بیاوریم:

در محاسبات ، ما از آنچه در محدوده مقادیر قابل قبول است استفاده کردیم. با استفاده از جایگزین ، به عبارت می رسیم:

ما از یک جایگزین دیگر استفاده می کنیم :. در نتیجه به نتیجه زیر می رسیم:

بنابراین ، ما به تدریج به متغیرهای اصلی باز می گردیم. ابتدا به متغیر:

نابرابری های لوگاریتمی در استفاده

سچین میخائیل الکساندرویچ

آکادمی کوچک علوم برای دانشجویان جمهوری قزاقستان "جستجوگر"

MBOU "مدرسه متوسطه Sovetskaya شماره 1" ، کلاس 11 ، شهر. سووتسکی منطقه سووتسکی

Gunko Lyudmila Dmitrievna ، معلم MBOU "مدرسه شوروی №1"

منطقه شوروی

هدف کار:بررسی مکانیسم حل نابرابری های لگاریتمی C3 با استفاده از روشهای غیر استاندارد ، شناسایی حقایق جالبلگاریتم

موضوع مطالعه:

3) یاد بگیرید که چگونه نابرابری های لگاریتمی خاص C3 را با استفاده از روشهای غیر استاندارد حل کنید.

نتایج:

محتوا

مقدمه ……………………………………………………………………… .4

فصل 1. پیشینه ……………………………………………………… 5

فصل 2. مجموعه نابرابری های لگاریتمی ………………………… 7

2.1 گذارهای معادل و روش تعمیم فواصل …………… 7

2.2 روش منطقی ……………………………………………

2.3 جایگزینی غیر استاندارد ……………… ........................................ .. ..... 22

2.4 ماموریت های تله ………………………………………………… 27

نتیجه گیری ………………………………………………………………… 30

ادبیات……………………………………………………………………. 31

معرفی

من کلاس یازدهم هستم و قصد دارم وارد دانشگاه شوم ، جایی که موضوع پروفایلریاضی است بنابراین ، من زیاد با مشکلات قسمت C کار می کنم. در کار C3 ، شما باید یک نابرابری غیر استاندارد یا یک سیستم نابرابری را حل کنید ، که معمولاً با لگاریتم ها مرتبط است. هنگام آماده شدن برای امتحان ، من با مشکل عدم وجود روش ها و تکنیک ها برای حل نابرابری های لگاریتمی آزمون ارائه شده در C3 مواجه شدم. روش هایی که در آن آموخته می شود برنامه آموزشی مدرسهدر این موضوع ، مبنایی برای حل وظایف C3 ارائه ندهید. معلم ریاضی از من دعوت کرد تا با راهنمایی های او به تنهایی با وظایف C3 کار کنم. علاوه بر این ، من به این سوال علاقه داشتم که آیا لگاریتم ها در زندگی ما رخ می دهد؟

با توجه به این موضوع ، موضوع انتخاب شد:

"نابرابری های لگاریتمی در امتحان"

هدف کار:بررسی مکانیسم حل مشکلات C3 با استفاده از روشهای غیر استاندارد ، نشان دادن حقایق جالب لگاریتم.

موضوع مطالعه:

1) پیدا کنید اطلاعات لازمروشهای غیر استاندارد برای حل نابرابری های لگاریتمی

2) اطلاعات بیشتری در مورد لگاریتم ها بیابید.

3) حل کردن را بیاموزید وظایف مخصوص C3 با استفاده از روشهای غیر استاندارد

نتایج:

اهمیت عملی در گسترش دستگاه برای حل مشکلات C3 نهفته است. از این مطالب می توان در برخی از درس ها برای هدایت حلقه ها استفاده کرد. فعالیت های فوق برنامهریاضیات

محصول پروژه مجموعه "نابرابری های لگاریتمی C3 با راه حل ها" خواهد بود.

فصل 1. زمینه

در طول قرن 16 ، تعداد محاسبات تقریبی به سرعت افزایش یافت ، در درجه اول در نجوم. بهبود ابزارها ، مطالعه حرکات سیاره ای و سایر کارها مستلزم محاسبات عظیمی بود ، گاهی اوقات چندین سال. نجوم در خطر غرق شدن واقعی در محاسبات انجام نشده قرار داشت. مشکلات در زمینه های دیگر بوجود آمد ، به عنوان مثال ، در تجارت بیمه ، جداول مورد علاقه برای آنها مورد نیاز بود معانی مختلفدرصد مشکل اصلی ضرب ، تقسیم بود اعداد چند رقمی، به ویژه مقادیر مثلثاتی.

کشف لگاریتم ها بر اساس خواص شناخته شده پیشرفت ها در پایان قرن 16 بود. در مورد ارتباط بین اعضا پیشرفت هندسی q ، q2 ، q3 ، ... و پیشرفت حسابیشاخص های آنها 1 ، 2 ، 3 ، ... در ارمیدس "مزمور" صحبت کردند. پیش نیاز دیگر ، گسترش مفهوم درجه به شاخص های منفی و کسری بود. بسیاری از نویسندگان اشاره کرده اند که ضرب ، تقسیم ، افزایش و استخراج ریشه به صورت نمایی - به همان ترتیب - با جمع ، تفریق ، ضرب و تقسیم مطابقت دارد.

در اینجا ایده لگاریتم به عنوان نماینده وجود داشت.

چندین مرحله در تاریخ توسعه آموزه لگاریتم ها پشت سر گذاشته شده است.

مرحله ی 1

لگاریتم ها حداکثر تا سال 1594 توسط بارون ناپیر اسکاتلندی (1617-1550) و ده سال بعد توسط مکانیک سوئیسی Burghi (1632-11552) اختراع شد. هر دو می خواستند وسیله جدیدی برای محاسبات حسابی ارائه دهند ، اگرچه آنها به روش های مختلف به این کار نزدیک شدند. ناپیر به طور سینماتیکی عملکرد لگاریتمی را بیان کرد و بنابراین وارد آن شد منطقه جدیدنظریه عملکرد برقی بر اساس در نظر گرفتن پیشرفت های گسسته باقی ماند. با این حال ، تعریف لگاریتم برای هر دو شبیه به تعریف مدرن نیست. اصطلاح "لگاریتم" (logarithmus) متعلق به ناپیر است. این از ترکیب کلمات یونانی بوجود آمده است: logos - "رابطه" و ariqmo - "تعداد" ، که به معنی "تعداد روابط" است. در ابتدا ، ناپیر از اصطلاح متفاوتی استفاده می کرد: numeri artificialiales - "اعداد مصنوعی" ، در مقابل اعداد طبیعی - "اعداد طبیعی".

در سال 1615 ، در گفتگو با هنری بریگز (1561-1631) ، استاد ریاضیات در کالج گرش لندن ، ناپیر پیشنهاد کرد که صفر را برای لگاریتم وحدت و 100 را برای لگاریتم ده ، یا ، که به همینطور ، به سادگی 1. به این ترتیب لگاریتم اعشاری ظاهر شد و اولین جداول لگاریتمی چاپ شد. بعداً کتابفروش و ریاضیدان هلندی آندریان فلک (1600-1667) جداول بریگز را تکمیل کرد. ناپیر و بریگز ، اگرچه زودتر از دیگران به لگاریتم رسیدند ، اما جداول خود را دیرتر از سایرین منتشر کردند - در 1620. علائم لاگ و لاگ در سال 1624 توسط آی.کپلر معرفی شد. اصطلاح "لگاریتم طبیعی" توسط منگولی در سال 1659 و سپس N. Mercator در سال 1668 معرفی شد و معلم لندنی جان اسپیدل جداول لگاریتم طبیعی اعداد از 1 تا 1000 را تحت عنوان "لگاریتم های جدید" منتشر کرد.

به زبان روسی ، اولین جداول لگاریتمی در سال 1703 منتشر شد. اما در همه جداول لگاریتمی ، خطاها در محاسبه رخ داده است. اولین جداول بدون خطا در سال 1857 در برلین منتشر شد که توسط ریاضیدان آلمانی K. Bremiker (1807-1884) پردازش شد.

مرحله 2

توسعه بیشتر نظریه لگاریتم ها با کاربرد وسیع تری از هندسه تحلیلی و حساب بی نهایت کوچک همراه است. برقراری ارتباط بین سطح چهارگانه یک ابرخط متساوی الاضلاع و لگاریتم طبیعی به آن زمان برمی گردد. نظریه لگاریتم های این دوره با نام تعدادی از ریاضیدانان همراه است.

نیکلاس مرکاتور ریاضیدان ، ستاره شناس و مهندس آلمانی در ترکیب بندی

"مهندسی لگاریتمی" (1668) مجموعه ای را ارائه می دهد که گسترش ln (x + 1) در

قدرت x:

این عبارت دقیقاً با سیر اندیشه او مطابقت دارد ، اگرچه ، البته ، او از علائم d ، ... ، اما نمادهای دست و پا گیر استفاده نکرده است. با کشف سری لگاریتمی ، روش محاسبه لگاریتم ها تغییر کرد: تعیین آنها با استفاده از سری بی نهایت آغاز شد. در سخنرانی های خود "ریاضیات ابتدایی از بالاترین نقطه" ، که در 1907-1908 ارائه شد ، F. Klein پیشنهاد کرد که از فرمول به عنوان نقطه شروع برای ساختن نظریه لگاریتم ها استفاده شود.

مرحله 3

تعریف یک تابع لگاریتمی به عنوان تابعی از معکوس

لگاریتم نمایی به عنوان شاخص درجه یک پایگاه داده شده است

بلافاصله فرموله نشد نویسندگی لئونارد اویلر (1707-1783)

مقدمه ای بر تجزیه و تحلیل بی نهایت کوچک (1748) به عنوان یک مقاله دیگر مفید بود

توسعه نظریه عملکرد لگاریتمی بدین ترتیب،

از زمان معرفی لگاریتم ها 134 سال می گذرد

(شمارش از 1614) قبل از اینکه ریاضیدانان به این تعریف برسند

مفهوم لگاریتم ، که اکنون اساس دوره مدرسه است.

فصل 2. مجموعه نابرابری های لگاریتمی

2.1 گذارهای معادل و روش تعمیم فواصل

گذارهای معادل

اگر a> 1

اگر 0 < а < 1

روش فاصله کلی

این روش برای حل نابرابری های تقریباً هر نوع ، همه کاره است. طرح راه حل به این شکل است:

1. نابرابری را به شکلی که تابع در آن قرار دارد کاهش دهید
، و در سمت راست 0.

2. دامنه تابع را بیابید
.

3. صفرهای تابع را بیابید
، یعنی حل معادله
(و حل معادله معمولاً آسانتر از حل نابرابری است).

4- دامنه و صفرهای تابع را در خط عدد رسم کنید.

5- علائم تابع را تعیین کنید
در فواصل به دست آمده

6. فواصل زمانی را انتخاب کنید که تابع مقادیر مورد نیاز را بدست آورد و پاسخ را بنویسید.

مثال 1

راه حل:

بیایید روش فاصله را اعمال کنیم

جایی که

برای این مقادیر ، همه عبارات زیر علامت لگاریتم مثبت هستند.

پاسخ:

مثال 2

راه حل:

1 مسیر . ODZ با نابرابری تعیین می شود ایکس> 3. گرفتن لگاریتم برای چنین ایکسپایه 10 ، دریافت می کنیم

آخرین نابرابری را می توان با استفاده از قوانین تجزیه حل کرد ، یعنی مقایسه عوامل با صفر با این حال ، در این مورد ، به راحتی می توان فواصل ثبات تابع را تعیین کرد

بنابراین می توان از روش فاصله استفاده کرد.

عملکرد f(ایکس) = 2ایکس(ایکس- 3،5) lgǀ ایکس- 3ǀ پیوسته در ایکس> 3 و در نقاط ناپدید می شود ایکس 1 = 0, ایکس 2 = 3,5, ایکس 3 = 2, ایکس 4 = 4. بنابراین ، ما فواصل ثبات تابع را تعریف می کنیم f(ایکس):

پاسخ:

راه دوم . اجازه دهید ایده های روش فواصل را مستقیماً بر نابرابری اصلی اعمال کنیم.

برای انجام این کار ، به یاد بیاورید که عبارات آب - آج و ( آ - 1)(ب- 1) یک علامت داشته باشید. سپس نابرابری ما برای ایکس> 3 معادل نابرابری است

یا

آخرین نابرابری با روش فواصل حل می شود

پاسخ:

مثال 3

راه حل:

بیایید روش فاصله را اعمال کنیم

پاسخ:

مثال 4

راه حل:

از آنجا که 2 ایکس 2 - 3ایکس+ 3> 0 برای همه واقعی ایکس، سپس

برای حل نابرابری دوم ، از روش فاصله ها استفاده می کنیم

در اولین نابرابری ، ما جایگزین را انجام می دهیم

سپس به نابرابری 2y 2 می رسیم - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те yکه نابرابری -0.5 را برآورده می کند< y < 1.

کجا ، از آن زمان

نابرابری را بدست می آوریم

که با آن انجام می شود ایکسکه برای آن 2 ایکس 2 - 3ایکس - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

اکنون ، با در نظر گرفتن راه حل نابرابری دوم سیستم ، در نهایت به دست می آوریم

پاسخ:

مثال 5

راه حل:

نابرابری معادل مجموعه ای از سیستم ها است

یا

بیایید روش فواصل یا

پاسخ:

مثال 6

راه حل:

نابرابری معادل سیستم است

بگذار باشد

سپس y > 0,

و اولین نابرابری

سیستم شکل می گیرد

یا با گسترش

سه ضلعی مربعی بر اساس عوامل ،

با استفاده از روش فواصل به آخرین نابرابری ،

ما می بینیم که راه حل های آن شرایط را برآورده می کند y> 0 همه خواهد بود y > 4.

بنابراین ، نابرابری اصلی معادل سیستم است:

بنابراین ، راه حل های نابرابری همه هستند

2.2 روش عقلانیت

پیش از این ، روش منطقی سازی نابرابری حل نشده بود ، مشخص نبود. این "مدرن جدید است روش موثرراه حل های نابرابری های نمایی و لگاریتمی "(به نقل از کتاب S. I. Kolesnikova)
و حتی اگر معلم او را بشناسد ، دلهره وجود داشت - اما آیا او می داند کارشناس امتحان، چرا در مدرسه نمی دهند؟ شرایطی پیش آمد که معلم به دانش آموز گفت: "از کجا آوردی؟ بنشین - 2".
این روش در حال حاضر به طور گسترده ای تبلیغ می شود. و برای متخصصان وجود دارد دستورالعمل هامربوط به این روش ، و در "کاملترین نسخه ها گزینه های استاندارد... "محلول C3 از این روش استفاده می کند.
روشی شگفت انگیز!

"میز جادویی"

در منابع دیگر

اگر a> 1 و b> 1 ، سپس a b> 0 و (a -1) (b -1)> 0 را وارد کنید ؛

اگر a> 1 و 0

اگر 0<آ<1 и b >1 ، سپس a b را وارد کنید<0 и (a -1)(b -1)<0;