10 روش برای حل معادله مربع. روش ها برای حل معادلات مربع

در دوره مدرسه ریاضیات، فرمول های ریشه های معادلات مربع مورد مطالعه قرار می گیرند، که هر معادله مربع را می توان حل کرد. با این حال، راه های دیگری برای حل معادلات مربع وجود دارد که به بسیاری از معادلات بسیار سریع و منطقی اجازه می دهد. ده راه برای حل معادلات مربع وجود دارد. به طور دقیق در کار من، من هر یک از آنها را جدا کردم.

1. روش : تجزیه قسمت چپ معادله کارخانه.

حل معادله

x 2 + 10x - 24 \u003d 0.

جابجایی سمت چپ عوامل:

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

در نتیجه، معادله را می توان بازنویسی کرد:

(x + 12) (x - 2) \u003d 0

از آنجا که محصول صفر است، حداقل یکی از عوامل آن صفر است. بنابراین، بخش چپ معادله توسط صفر کشیده شده است x \u003d 2همچنین x \u003d - 12. این به این معنی است که تعداد 2 و - 12 معادلات ریشه هستند x 2 + 10x - 24 \u003d 0.

2. روش : روش تخصیص یک مربع کامل.

حل معادله x 2 + 6x - 7 \u003d 0.

ما مربع کامل را در سمت چپ برجسته می کنیم.

برای انجام این کار، بیان X 2 + 6X را به صورت زیر بنویسید:

x 2 + 6x \u003d x 2 + 2 x 3.

در بیان نتیجه، اولین اصطلاح مربع شماره x است، و دوم - محصول دوگانه X به 3. در این برای دریافت مربع کامل، شما باید 3 2 را اضافه کنید، از آنجایی که

x 2 +. 2 x 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2.

ما اکنون قسمت چپ معادله را تغییر می دهیم

x 2 + 6x - 7 \u003d 0,

اضافه کردن آن و کم کردن 3 2. ما داریم:

x 2 + 6x - 7 \u003dx 2 +. 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16.

بنابراین، این معادله را می توان به عنوان:

(x + 3) 2 - 16 \u003d 0، (x + 3) 2 \u003d 16.

از این رو، x + 3 - 4 \u003d 0، X 1 \u003d 1، یا X + 3 \u003d -4، X 2 \u003d -7.

3. روش : راه حل معادلات مربع توسط فرمول.

هر دو بخش معادله را چند برابر کنید

آه 2 +بx + c \u003d 0، و ≠ 0

در 4A و به طور مداوم ما:

4A 2 x 2 + 4aبx + 4AS \u003d 0،

((2AH) 2 + 2AHب + ب 2 ) - ب 2 + 4 قسم = 0,

(2ax + b) 2 \u003d b 2 - 4ac،

2X + B \u003d ± √ B 2 - 4AC،

2Ax \u003d - B ± √ B 2 - 4AC،

مثال ها.

ولی) حل معادله: 4x 2 + 7x + 3 \u003d 0.

a \u003d 4ب \u003d 7، c \u003d 3،D. = ب 2 - 4 قسم = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D. > 0, دو ریشه متفاوت؛

بنابراین، در مورد یک تبعیض مثبت، I.E. برای

ب 2 - 4 قسم >0 ، معادله آه 2 +بx + c \u003d 0 این دو ریشه متفاوت دارد.

ب) حل معادله: 4x 2 - 4x + 1 \u003d 0،

a \u003d 4ب \u003d - 4، c \u003d 1،D. = ب 2 - 4 قسم = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D. = 0, یک ریشه؛

بنابراین، اگر تبعیض آمیز صفر باشد، I.E. ب 2 - 4 قسم = 0 ، سپس معادله

آه 2 +بx + c \u003d 0 تنها ریشه دارد

که در) حل معادله: 2x 2 + 3x + 4 \u003d 0،

a \u003d 2ب \u003d 3، C \u003d 4،D. = ب 2 - 4 قسم = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D. < 0.

این معادله ریشه ندارد

بنابراین، اگر معجزه منفی باشد، I.E. ب 2 - 4 قسم < 0 ,

معادله آه 2 +بx + c \u003d 0 این ریشه ندارد

فرمول (1) ریشه های معادله مربع آه 2 +بx + c \u003d 0 به شما اجازه می دهد ریشه ها را پیدا کنید هر کسی معادله مربع (در صورت وجود)، از جمله بالا و ناقص. فرمول معتبر (1) بیان شده است: ریشه های معادله مربع برابر با کسری است، عددی که برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است، به علاوه منهای مربع ریشه از مربع این ضریب بدون محصول پایدار از ضریب اول به عضو آزاد، و نامزدی دارای ضریب دوگانه است.

4. روش: حل معادلات با استفاده از قضیه Vieta.

همانطور که می دانید، معادله مربع کاهش یافته دارای فرم است

x 2 +.pX + c. = 0. (1)

ریشه های او تئوری Vieta را برآورده می کند که a \u003d 1 ظاهر دارد

ایکس. 1 ایکس. 2 = q.,

ایکس. 1 + ایکس. 2 = - پ.

از اینجا می توانید نتیجه های زیر را جلب کنید (با توجه به ضرایب P و Q شما می توانید علائم ریشه را پیش بینی کنید).

الف) اگر یک عضو تثبیت شده باشد q. معادله داده شده (1) مثبت است ( q. > 0 ) معادله دارای دو نشانه ریشه مشابه است و حسادت از ضریب دوم است پ.. اگر یک r< 0 سپس هر دو ریشه منفی هستند r< 0 ، هر دو ریشه مثبت هستند.

مثلا،

ایکس. 2 – 3 ایکس. + 2 = 0; ایکس. 1 = 2 و ایکس. 2 = 1, مانند q. = 2 > 0 و پ. = - 3 < 0;

ایکس. 2 + 8 ایکس. + 7 = 0; ایکس. 1 = - 7 و ایکس. 2 = - 1, مانند q. = 7 > 0 و پ.= 8 > 0.

ب) اگر یک عضو آزاد باشد q. معادله داده شده (1) منفی است ( q. < 0 ) معادله دارای دو نوع متفاوت در علامت ریشه است و ریشه بزرگتر در ماژول مثبت خواهد بود پ. < 0 یا منفی اگر پ. > 0 .

مثلا،

ایکس. 2 + 4 ایکس. – 5 = 0; ایکس. 1 = - 5 و ایکس. 2 = 1, مانند q.= - 5 < 0 و پ. = 4 > 0;

ایکس. 2 – 8 ایکس. – 9 = 0; ایکس. 1 = 9 و ایکس. 2 = - 1, مانند q. = - 9 < 0 و پ. = - 8 < 0.

5. روش: حل معادلات با روش "حمل و نقل".

معادله مربع را در نظر بگیرید

آه 2 +بx + c \u003d 0،جایی که ≠ 0.

ضرب هر دو بخش توسط یک، ما معادله را دریافت می کنیم

2 x 2 + aبx + ac \u003d 0.

بیایید آه \u003d تواز جانب! x \u003d y / a؛ سپس به معادله آمده

در 2 +توسط + AC \u003d 0،

معادل این. ریشه های او در 1.و w. 2 ما با کمک قضیه Vieta پیدا خواهیم کرد.

سرانجام دریافت

x 1 \u003d y 1 / aو x 1 \u003d y 2 / a.

با این ضریب روش ولی ضرب شده توسط یک عضو رایگان، به عنوان اگر "حرکت" به او، به طوری که آن را نامیده می شود هولنگ "حمل و نقل". این روش زمانی استفاده می شود که شما به راحتی می توانید ریشه های معادله را با استفاده از قضیه Vieta پیدا کنید و مهمتر از همه، زمانی که تبعیض یک مربع دقیق است.

مثال.

حل معادله 2x 2 - 11x + 15 \u003d 0.

تصمیم گیری "ما یک ضریب 2 به یک عضو آزاد را انتقال خواهیم داد، زیرا نتیجه معادله را به دست می آوریم

در 2 تا 11 + 30 \u003d 0.

با توجه به قضیه ویتنام

در 1 \u003d 5 x 1 \u003d 5/2ایکس. 1 = 2,5

U 2 \u003d 6ایکس. 2 = 6/2 ایکس. 2 = 3.

پاسخ: 2.5؛ 3

6. روش: خواص ضرایب معادله مربع.

ولی. اجازه دهید معادله مربع داده شود

آه 2 +بx + c \u003d 0،جایی که ≠ 0.

1) اگر، A +ب + C \u003d 0 (به عنوان مثال، مجموع ضرایب صفر است)، سپس x 1 \u003d 1،

x 2 \u003d s / a.

شواهد و مدارک. ما هر دو بخش معادله را بر روی ≠ 0 تقسیم می کنیم، ما معادله مربع کاهش یافته را به دست می آوریم

ایکس. 2 + ب/ آ. ایکس. + c./ آ. = 0.

با توجه به قضیه ویتنام

ایکس. 1 + ایکس. 2 = - ب/ آ.,

ایکس. 1 ایکس. 2 = 1 c./ آ..

با شرایط ولی -ب + c \u003d 0،از جانب ب \u003d a + sبه این ترتیب،

x 1 + x 2 \u003d -ولی + b / a \u003d -1 - c / a،

x 1 x 2 \u003d - 1 (- c / a)،

کسانی که. x 1 \u003d -1 و x 2 \u003dc./ آ.که من نیاز به اثبات

مثال ها.

1) حل معادله 345X 2 - 137X - 208 \u003d 0.

تصمیم گیریمانند A +ب + C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0)،که

x 1 \u003d 1، x 2 \u003d \u003dc./ آ. = -208/345.

پاسخ 1؛ -208/345

2) معادله راه حل 132X 2 - 247X + 115 \u003d 0.

تصمیم گیریمانند A +ب + C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0)، که

x 1 \u003d 1، x 2 \u003d \u003dc./ آ. = 115/132.

پاسخ 1؛ 115/132.

ب اگر ضریب دوم باشد ب = 2 k.- حتی تعداد، سپس فرمول ریشه

مثال.

حل معادله 3x2 - 14x + 16 \u003d 0.

تصمیم. ما داریم: a \u003d 3ب \u003d - 14، c \u003d 16،k. = - 7 ;

D. = k. 2 – قسم = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D. > 0, دو ریشه متفاوت؛

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه

منطقه Bryansk منطقه Zhukovsky

MOU RJANITSKA مدرسه راهنمایی

پژوهش

راه حل های

Pavlikov دیمیتری، 9 CL.

رهبر: Prikhodko Yuri
vladimirovich،

معلم ریاضی

برینسک، 2009

من.. تاریخ توسعه معادلات مربع ……………………….2

1. معادلات مربع در بابل باستان ............................. 2

2. به عنوان معادلات مربع دیوفانت حل شده و حل شده است ............ ... 2

3. معادلات مربع در هند .......................................... . 3

4. معادلات مربع در الکل .................................... 4

5. معادلات مربع در اروپا XIII - قرن ها XVII .................. .......... 5

6. درباره قضیه Vieta ............................................ ................... 6

دوم. روش ها برای حل معادلات مربع ……………………….7

روش ................................................. .......................... 7.

روش ................................................. ....................... .... 9

روش ................................................. ....................... ... 10

روش ................................................. ....................... ... 12

روش ................................................. ....................... ... 13

روش ................................................. ....................... ... 15

روش ................................................. ....................... ... 16

III. نتیجه…………………………………………………..............18

ادبیات……………………………………………………………….19

تاریخ توسعه معادلات مربع.

1. معادلات مربع در بابل باستان.

نیاز به حل معادلات نه تنها اولین، بلکه همچنین درجه دوم در دوران باستان ناشی از نیاز به حل وظایف مربوط به محل زمین های زمین و با زمین های زمین های نظامی، و همچنین با توسعه نجوم و همچنین خود ریاضیات معادلات مربع قادر به حل حدود 2000 سال قبل بودند. e بابل

با استفاده از یک رکورد جبری مدرن، می توانیم بگوییم که در متون کلیوکس آنها، به جز ناقص، و به عنوان مثال، معادلات مربع کامل، وجود دارد:

ایکس. 2 + ایکس. = ¾; ایکس. 2 - ایکس. = 14,5

حاکمیت حل این معادلات که در متون بابلی آمده است، اساسا با مدرن است، اما شناخته شده نیست که بابلیان به این قانون رسیده اند. تقریبا تمام متون کلی کمان تا کنون، تنها وظایف با تصمیمات در قالب دستور العمل ها، بدون نشان دادن اینکه چگونه آنها یافت می شود، انجام می شود.

علیرغم سطح بالایی از توسعه جبر در بابل، هیچ مفهومی از تعداد منفی و روش های کلی برای حل معادلات مربع در متون کلیوکس وجود ندارد.

2. به عنوان معادلات مربع دیوفانت حل شده و حل شده است.

در "محاسبات" دیوفانا هیچ ارائه سیستماتیک جبر وجود ندارد، اما شامل تعداد سیستماتیک وظایف همراه با توضیحات و آماده سازی معادلات درجه های مختلف است.

هنگام تدوین معادلات Diofant برای ساده سازی راه حل به طرز ماهرانه ای ناشناخته را انتخاب می کند.

در اینجا، به عنوان مثال، یکی از وظایف او.

وظیفه 11 "پیدا کردن دو عدد، دانستن اینکه مجموع آنها 20 است، و کار 96"

Diofant استدلال می کند: از شرایط مشکل، به شرح زیر است که اعداد مورد نظر برابر نیستند، زیرا اگر آنها برابر باشند، کار آنها 96 و 100 نیست. بنابراین، یکی از آنها بیش از نیمی از آنها خواهد بود مجموع آنها، یعنی. 10 + H.دیگر کمتر است، به عنوان مثال 10 - H.. تفاوت بین آنها 2x.

از این رو معادله:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - H. 2 = 96

h. 2 - 4 = 0 (1)

از اینجا x \u003d 2. یکی از اعداد مورد نظر است 12 ، دیگر 8 . تصمیم x \u003d -2. این برای دیوفانتا وجود ندارد، زیرا ریاضیات یونانی تنها تعداد مثبت را می دانستند.

اگر ما این کار را انتخاب کنیم، انتخاب یکی از اعداد مورد نظر به عنوان ناشناخته، ما برای حل معادله خواهیم آمد

y (20 - y) \u003d 96،

w. 2 - 20u + 96 \u003d 0. (2)

روشن است که انتخاب به عنوان یک بازی ناشناخته از اعداد مورد نظر، Diofant تصمیم گیری را ساده تر می کند؛ او می تواند وظیفه حل معادله مربع ناقص را کاهش دهد (1).

3. معادلات مربع در هند.

وظایف هر معادلات مربع در حال حاضر در دستگاه نجومی "Ariabhatti" یافت می شود، که در 499 تشکیل شده است. ریاضیدان هند و ستاره شناس Ariabhatta. یکی دیگر از دانشمندان هندی، برهماگپتا (قرن هفتم)، قانون کلی حل معادلات مربع را به یک فرم کانونیک اختصاص داد:

اوه 2 + بx \u003d c، و 0 (1)

در معادله (1) ضرایب به جز ولیممکن است منفی باشد قانون برماگتاپا اساسا با ما همخوانی دارد.

در هند باستان، مسابقات عمومی در حل وظایف دشوار توزیع شد. در یکی از کتاب های قدیمی هندی، مسابقات زیر در مورد چنین مسابقات گفته می شود: "همانطور که خورشید با ستارگان خود پر زرق و برق می شود، بنابراین دانشمند، اصطلاحات دیگر را در مجلس ملی، ارائه و حل وظایف جبری را تحت فشار قرار می دهد." وظایف اغلب در شکل شاعرانه لذت می برند.

در اینجا یکی از وظایف معروف ریاضیات معروف هند XII است. باسکرا

وظیفه 13

"بیانیه میمون ها و دوازده نفر در لیانام ...

قدرت روبرو شدن، لذت بردن از آن. شروع به پریدن، حلق آویز ...

آنها در قسمت مربع هشتم هستند که چگونه بسیاری از میمون ها بودند

در گلدان سرگرم شد آیا به من بگویید، در این پشته؟ "

تصمیم باسکرا به این واقعیت شهادت می دهد که او در مورد دو برابر ریشه های معادلات مربع می دانست (شکل 3).

وظیفه مربوط به 13 معادله:

(ایکس./8) 2 + 12 = ایکس.

Bhaskara تحت پوشش قرار می نویسد:

h. 2 - 64x \u003d -768

و برای تکمیل بخش چپ این معادله به مربع به هر دو قسمت اضافه می شود 32 2 ، گرفتن سپس:

h. 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 \u003d ± 16،

h. 1 \u003d 16، X 2 = 48.

4. معادلات مربع در الخورزمی.

در رساله جبری الخورزمی طبقه بندی معادلات خطی و مربع را می دهد. نویسنده شامل 6 گونه از معادلات است، که آنها را به شرح زیر بیان می کند:

1) "مربع ها ریشه ها هستند"، به عنوان مثال اوه 2 + c \u003d.بایکس.

2) "مربع برابر با شماره"، به عنوان مثال اوه 2 \u003d s

3) "ریشه ها برابر با عدد هستند"، به عنوان مثال ah \u003d s

4) "مربع ها و اعداد برابر با ریشه هستند"، به عنوان مثال اوه 2 + c \u003d.بایکس.

5) "مربع ها و ریشه ها برابر با شماره هستند"، به عنوان مثال اوه 2 + bx \u003d s

6) "ریشه ها و اعداد برابر با مربع هستند"، به عنوان مثالbx + c \u003d ah 2 .

برای الخورزمی، اجتناب از استفاده از اعداد منفی، اعضای هر یک از این معادلات اجزای سازنده هستند و نه کم. در عین حال، معادلات که هیچ راه حل مثبتی ندارند، به طور واضح به حساب نمی آیند. نویسنده راه حل هایی را برای حل این معادلات، با استفاده از تکنیک های الجبر و الموکابا، راه اندازی می کند. تصمیمات او، البته، با ما همخوانی ندارد. در حال حاضر ذکر نشده است که صرفا لفظی است، به عنوان مثال، باید اشاره کرد که در حل معادله مربع ناقص از نوع اول از سایر کارها، مانند تمام ریاضیات تا قرن XVII، احتمالا به محلول صفر برسد از آنجا که در عملکردی عملی است، وظایف مهم نیست. هنگام حل معادلات کامل مربع الگوریک در نمونه های عددی خصوصی، قوانین تصمیم گیری و سپس شواهد هندسی را تعیین می کند.

بگذارید یک مثال بگذاریم:

وظیفه 14 "مربع و شماره 21 برابر با 10 ریشه هستند. ریشه را پیدا کنید »

(به معنای ریشه معادله x است 2 + 21 \u003d 10x).

تصمیم نویسنده چیزی شبیه به این را می خواند: ما تعداد ریشه ها را تقسیم می کنیم، شما 5 را دریافت خواهید کرد، شما خود را به دست خواهید آورد، از کار یک 21، از کار 21، باقی می ماند. از بین بردن ریشه از 4، شما 2 را دریافت خواهید کرد . Onde 2 OT5، شما 3 دریافت خواهید کرد، این ریشه مورد نظر خواهد بود. یا اضافه کردن 2 تا 5، که 7 را می دهد، آن را نیز ریشه دارد.

رساله الخورزمی اولین است که کتاب را به ما رساند که در آن طبقه بندی معادلات مربع به طور سیستماتیک تعیین شده و فرمول ها داده می شود.

5. معادلات مربع در اروپاXIII - جونیور انفجار

فرمول های حل معادلات مربع برای الخورزمی در اروپا ابتدا در کتاب "کتاب Abaka" نوشته شده است که در سال 1202 توسط ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی نوشته شده است. این کار کامل، که منعکس کننده نفوذ ریاضیات، هر دو کشور اسلام و یونان باستان است، با هر دو کامل و وضوح ارائه، متمایز است. نویسنده به طور مستقل برخی از نمونه های جبری جدید برای حل مشکلات را توسعه داد و اولین بار در اروپا به معرفی تعداد منفی رسید. کتاب او گسترش دانش جبری را نه تنها در ایتالیا بلکه در آلمان، فرانسه، فرانسه و سایر کشورهای اروپایی ارتقا داد. چالش های بسیاری از کتاب "Abaka" تقریبا تمام کتاب های درسی اروپا XVI - قرن ها را تصویب کرد. و به طور جزئی XVIII.

قاعده کلی حل معادلات مربع به همان فرم کانونی:

h. 2 + bx \u003d C،

برای همه نوع ترکیبی از علائم ضریب ب, از جانباین در اروپا تنها در سال 1544 M. Stiffel فرموله شد.

خروجی فرمول محلول معادله مربع به طور کلی در Vieta در دسترس است، اما ویتن تنها ریشه های مثبت را به رسمیت می شناسد. ریاضیدان ایتالیایی Tartalia، Kardano، بمباران در میان اول در قرن XVI. داده شده، علاوه بر ریشه های مثبت و منفی. فقط در قرن XVII. با توجه به کار Girard، دکارت، نیوتن و سایر دانشمندان، روش حل معادلات مربع، ظاهر مدرن را به نمایش می گذارد.

6. درباره قضیه Vieta.

قضیه بیان رابطه بین ضرایب معادله مربع و ریشه های آن، که نام Vieta است، برای اولین بار در سال 1591 به شرح زیر است: "اگر ب + D.ضربدر آ. - آ. 2 خوب bdT. آ. به همان اندازه که در و برابر است D.».

برای درک ویتا، باید آن را به یاد داشته باشید ولیمانند هر نامه واکه به معنای او ناشناخته است (ما h.) حروف صدادار که در،D. - ضرایب ناشناخته. در زبان جبر مدرن بالا، اصطلاحات Vieta به معنی است: اگر وجود دارد

(A +.ب) x - x 2 = اب,

h. 2 - (A +ب) x + aب = 0,

h. 1 \u003d a، x 2 = ب.

بیان رابطه بین ریشه ها و ضرایب معادلات با فرمول های رایج با استفاده از نمادها، Visiet یکنواختی را در روش های حل معادلات تعیین کرده است. با این حال، نمادگرایی ویتنام از گونه های فعلی دور است. او اعداد منفی را به رسمیت نمی شناسد و برای این، هنگام حل معادلات، تنها مواردی را در نظر گرفت که تمام ریشه ها مثبت هستند.

بنابراین: معادلات مربع پایه ای هستند که ساختمان با شکوه جبر در حال استراحت است. معادلات مربع به طور گسترده ای در حل معادلات سه گانه، نشان دهنده، لگاریتمی، غیر منطقی و متعالی و نابرابری استفاده می شود. همه ما می دانیم که چگونه می توانیم معادلات مربع از نیمکت مدرسه (درجه 8) را قبل از پایان دانشگاه حل کنیم.

1. روش : تجزیه قسمت چپ معادله کارخانه.

حل معادله h. 2 + 10x - 24 \u003d 0. جابجایی سمت چپ عوامل:

h. 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

در نتیجه، معادله را می توان بازنویسی کرد:

(x + 12) (x - 2) \u003d 0

2. روش : روش تخصیص یک مربع کامل.

حل معادله h. 2 + 6x - 7 \u003d 0. ما مربع کامل را در سمت چپ برجسته می کنیم.

برای انجام این کار، بیان X 2 + 6X را به صورت زیر بنویسید:

h. 2 + 6x \u003d x 2 + 2 H. 3.

x 2 +. 2 H. 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2 .

ما اکنون قسمت چپ معادله را تغییر می دهیم

h. 2 + 6x - 7 \u003d 0,

اضافه کردن آن و کم کردن 3 2. ما داریم:

h. 2 + 6x - 7 \u003dx 2 +. 2 H. 3 + 3 2 - 3 2 - 7 \u003d (X + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (X + 3) 2 - 16.

بنابراین، این معادله را می توان به عنوان:

(x + 3) 2 - 16 \u003d 0، (x + 3) 2 = 16.

از این رو، x + 3 - 4 \u003d 0، x 1 \u003d 1، یا x + 3 \u003d -4، x 2 = -7.

3. روش : راه حل معادلات مربع توسط فرمول.

هر دو بخش معادله را چند برابر کنید

اوه 2 + بx + c \u003d 0، و ≠ 0

در 4A و به طور مداوم ما:

4A 2 h. 2 + 4A.بx + 4AS \u003d 0،

((2AH) 2 + 2 ب + ب 2 ) - ب 2 + 4 قسم = 0,

(2ax + b) 2 \u003d ب 2 - 4AC،

2x + b \u003d ± √ b 2 - 4AC،

2Ax \u003d - B ± √ b 2 - 4AC،

مثال ها.

ولی) حل معادله: 4x 2 + 7x + 3 \u003d 0.

a \u003d 4ب \u003d 7، c \u003d 3،D. = ب 2 - 4 قسم = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D. 0, دو ریشه متفاوت؛

بنابراین، در مورد یک تبعیض مثبت، I.E. برای

ب 2 - 4 قسم 0 ، معادله اوه 2 + بx + c \u003d 0 این دو ریشه متفاوت دارد.

ب) حل معادله: 4x 2 - 4x + 1 \u003d 0،

a \u003d 4ب \u003d - 4، c \u003d 1،D. = ب 2 - 4 قسم = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D. = 0, یک ریشه؛

بنابراین، اگر تبعیض آمیز صفر باشد، I.E. ب 2 - 4 قسم = 0 ، سپس معادله

اوه 2 + بx + c \u003d 0 تنها ریشه دارد

که در) حل معادله: 2x 2 + 3x + 4 \u003d 0،

a \u003d 2ب \u003d 3، C \u003d 4،D. = ب 2 - 4 قسم = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D.

این معادله ریشه ندارد

بنابراین، اگر معجزه منفی باشد، I.E. ب 2 - 4 قسم ، معادله

اوه 2 + بx + c \u003d 0 این ریشه ندارد

فرمول (1) ریشه های معادله مربع اوه 2 + بx + c \u003d 0 به شما اجازه می دهد ریشه ها را پیدا کنید هر کسی معادله مربع (در صورت وجود)، از جمله بالا و ناقص. فرمول معتبر (1) بیان شده است: ریشه های معادله مربع برابر با کسری است، عددی که برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است، به علاوه منهای مربع ریشه از مربع این ضریب بدون محصول پایدار از ضریب اول به عضو آزاد، و نامزدی دارای ضریب دوگانه است.

4. روش: حل معادلات با استفاده از قضیه Vieta.

همانطور که می دانید، معادله مربع کاهش یافته دارای فرم است

h. 2 + pX + c. = 0. (1)

ریشه های او تئوری Vieta را برآورده می کند که a \u003d 1 ظاهر دارد

ایکس. 1 ایکس. 2 = q.,

ایکس. 1 + ایکس. 2 = - پ.

از اینجا می توانید نتیجه های زیر را جلب کنید (با توجه به ضرایب P و Q شما می توانید علائم ریشه را پیش بینی کنید).

الف) اگر یک عضو تثبیت شده باشد q. معادله داده شده (1) مثبت است ( q. 0 ) معادله دارای دو نشانه ریشه مشابه است و حسادت از ضریب دوم است پ.. اگر یک p، هر دو ریشه منفی هستند p، هر دو ریشه مثبت هستند.

مثلا،

ایکس. 2 – 3 ایکس. + 2 = 0; ایکس. 1 = 2 و ایکس. 2 = 1, مانند q. = 2 0 و پ. = - 3

ایکس. 2 + 8 ایکس. + 7 = 0; ایکس. 1 = - 7 و ایکس. 2 = - 1, مانند q. = 7 0 و پ.= 8 0.

ب) اگر یک عضو آزاد باشد q. معادله داده شده (1) منفی است ( q.) معادله دارای دو نوع متفاوت در علامت ریشه است و ریشه بزرگتر در ماژول مثبت خواهد بود پ. یا منفی اگر پ. 0 .

مثلا،

ایکس. 2 + 4 ایکس. – 5 = 0; ایکس. 1 = - 5 و ایکس. 2 = 1, مانند q.\u003d - 5 و پ. = 4 0;

ایکس. 2 – 8 ایکس. – 9 = 0; ایکس. 1 = 9 و ایکس. 2 = - 1, مانند q. \u003d - 9 و پ. = - 8

5. روش: حل معادلات با روش "حمل و نقل".

معادله مربع را در نظر بگیرید

اوه 2 + بx + c \u003d 0،جایی که ≠ 0.

ضرب هر دو بخش توسط یک، ما معادله را دریافت می کنیم

ولی 2 h. 2 + A.بx + ac \u003d 0.

بیایید آه \u003d تواز جانب! x \u003d y / a؛ سپس به معادله آمده

w. 2 + توسط + AC \u003d 0،

معادل این. ریشه های او w. 1 و w. 2 ما با کمک قضیه Vieta پیدا خواهیم کرد.

سرانجام دریافت h. 1 \u003d W. 1 /ولیو h. 1 \u003d W. 2 /ولی. با این ضریب روش ولی ضرب شده توسط یک عضو رایگان، به عنوان اگر "حرکت" به او، به طوری که آن را نامیده می شود هولنگ "حمل و نقل". این روش زمانی استفاده می شود که شما به راحتی می توانید ریشه های معادله را با استفاده از قضیه Vieta پیدا کنید و مهمتر از همه، زمانی که تبعیض یک مربع دقیق است.

مثال.

حل معادله 2x 2 - 11x + 15 \u003d 0.

تصمیم گیری "ما یک ضریب 2 به یک عضو آزاد را انتقال خواهیم داد، زیرا نتیجه معادله را به دست می آوریم

w. 2 - 11th + 30 \u003d 0.

با توجه به قضیه ویتنام

w.1 \u003d 5 x 1 = 5/2 ایکس. 1 = 2,5

w. 2 = 6 ایکس. 2 = 6/2 ایکس. 2 = 3.

پاسخ: 2.5؛ 3

6. روش: خواص ضرایب معادله مربع.

ولی. اجازه دهید معادله مربع داده شود اوه 2 + بx + c \u003d 0،جایی که ≠ 0.

1) اگر، A +ب + C \u003d 0 (به عنوان مثال، مجموع ضرایب صفر است)، سپس X 1 = 1,

h. 2 \u003d s / a

شواهد و مدارک. ما هر دو بخش معادله را بر روی ≠ 0 تقسیم می کنیم، ما معادله مربع کاهش یافته را به دست می آوریم

ایکس. 2 + ب/ آ. ایکس. + c./ آ. = 0.

با توجه به قضیه ویتنام

ایکس. 1 + ایکس. 2 = - ب/ آ.,

ایکس. 1 ایکس. 2 = 1 c./ آ..

با شرایط ولی -ب + c \u003d 0،از جانب ب \u003d a + sبه این ترتیب،

ایکس. 1 + ایکس. 2 \u003d - A +ب/ آ.= -1 – c./ آ.,

ایکس. 1 ایکس. 2 = - 1 (- c./ آ.),

کسانی که. h. 1 = -1 و h. 2 = c./ آ.که من نیاز به اثبات

مثال ها.

حل معادله 345X 2 - 137X - 208 \u003d 0.

تصمیم گیریمانند A +ب + C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0)،که

h. 1 \u003d 1، x 2 = c./ آ. = -208/345.

پاسخ 1؛ -208/345

2) معادله راه حل 132X 2 - 247x + 115 \u003d 0.

تصمیم گیریمانند a +ب + C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0)، که

h. 1 \u003d 1، x 2 = c./ آ. = 115/132.

پاسخ 1؛ 115/132.

ب اگر ضریب دوم باشد ب = 2 k. - حتی تعداد، سپس فرمول ریشه

مثال.

حل معادله 3x2 - 14x + 16 \u003d 0.

تصمیم. ما داریم: a \u003d 3ب \u003d - 14، c \u003d 16،k. = - 7 ;

D. = k. 2 – قسم = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D. 0, دو ریشه متفاوت؛

پاسخ: 2؛ 8/3

که در. معادله کاهش یافته

h. 2 + RH +q.= 0

با معادله نمای کلی در آن منطبق است a \u003d 1, ب \u003d R. و c \u003d.q.. بنابراین، برای معادله مربع کاهش یافته از ریشه های فرمول

طول می کشد:

فرمول (3) به خصوص مناسب برای استفاده از زمانی است r- عدد زوج.

مثال. حل معادله h. 2 - 14x - 15 \u003d 0.

تصمیم گیریما داریم: h. 1,2 \u003d 7 ±

پاسخ: H. 1 \u003d 15؛ H. 2 = -1.

7. روش: راه حل گرافیکی معادله مربع.

E. اگر در معادله

h. 2 + pX + q. = 0

اعضای دوم و سوم را در سمت راست انتقال دهید، سپس دریافت می کنیم

h. 2 = - pX - q..

ما نمودار های وابستگی Y \u003d x 2 و y \u003d - PX - Q را ساختیم.

اولین برنامه وابستگی Parabola است که از طریق منشاء مختصات عبور می کند. نمودار وابستگی دوم -

راست (شکل 1). موارد زیر ممکن است:

مستقیم و پارابولا می تواند در دو نقطه تقاطع،

abscissions از نقاط تقاطع ریشه های نسبت چهار است؛

مستقیم و پارابولا می تواند لمس (تنها یک نقطه مشترک)، به عنوان مثال معادله یک راه حل دارد؛

مستقیم و پارابولا نقاط مشترک ندارند، به عنوان مثال معادله مربع ریشه ندارد

مثال ها.

1) معادله بزرگ h. 2 - 3x - 4 \u003d 0 (شکل 2).

تصمیم گیری ما یک معادله را در فرم بنویسیم H. 2 \u003d 3x + 4.

بیایید یک پارابولا بسازیم y \u003d x 2 و راست y \u003d 3x + 4. سر راست

y \u003d 3x + 4 می تواند بر روی دو نقطه ساخته شود متر (0؛ 4) و

n. (3; 13) . مستقیم و پارابولا در دو نقطه تقاطع می شوند

ولی و که در با سوء استفاده h. 1 = - 1 و h. 2 = 4 . پاسخ : H. 1 = - 1;

h. 2 = 4.

2) مقاوم در برابر معادله گرافیکی (شکل 3) h. 2 - 2x + 1 \u003d 0.

تصمیم گیری ما یک معادله را در فرم بنویسیم h. 2 \u003d 2x - 1.

بیایید یک پارابولا بسازیم y \u003d x 2 و راست y \u003d 2x - 1.

سر راست y \u003d 2x - 1 ساخت دو نقطه متر (0؛ - 1)

و n.(1/2; 0) . مستقیم و parabola در نقطه تقاطع ولی از جانب

اوکیسا x \u003d 1. پاسخ: x \u003d 1

3) معادله بزرگ h. 2 - 2x + 5 \u003d 0(شکل 4).

تصمیم گیری ما یک معادله را در فرم بنویسیم h. 2 \u003d 5x - 5. بیایید یک پارابولا بسازیم y \u003d x 2 و راست y \u003d 2x - 5. سر راست y \u003d 2x - 5 ما در کنار دو نقطه m (0؛ - 5) و n (2.5؛ 0) ساختیم. مستقیم و پارابولا نقاط تقاطع ندارند، I.E. این معادله ریشه ندارد

پاسخ. معادله h. 2 - 2x + 5 \u003d 0 هیچ ریشه ای ندارد

8. روش: راه حل معادلات مربع با گردش خون و

خط

روش گرافیکی حل معادلات مربع با یک پارابولا ناخوشایند است. اگر شما یک پارابولا را در نقاط بسازید، زمان زیادی طول می کشد و درجه دقت نتایج حاصل از آن کوچک است.

من روش زیر را پیشنهاد می کنم که ریشه های معادله مربع را پیدا کنم اوه 2 + بx + c \u003d 0 با کمک گردش و حاکم (شکل 5).

فرض کنید که دایره مورد نظر از محور عبور می کند

abscissa در نقاط در (x. 1 ; 0) و D. (H. 2 ; 0), جایی که h. 1 و h. 2 - ریشه های معادله اوه 2 + بx + c \u003d 0و از طریق نقاط عبور می کند

a (0؛ 1)و C (0؛c./ آ.) در محور Ordinate. سپس، توسط قضیه در توالی ما ob. od. = oa OC.از جانب! OC. = ob. od./ oa\u003d H. 1 h. 2 / 1 = c./ آ..

مرکز دایره در نقطه تقاطع عمود بر عمق واقع شده است sf و skدر وسط وتر بازسازی شده است قسم و bd، بنابراین

1) ساخت نقاط (مرکز دایره) و آ.(0; 1) ;

2) ما یک دایره را با شعاع انجام می دهیم sa;

3) نقاط Abscissa از تقاطع این دایره با محور اوه ریشه های معادله مربع اصلی هستند.

این امکان وجود دارد سه مورد.

1) شعاع دایره مرکز واحد (مانند sk، یاR. آ. + c./2 آ.) ، دایره از محور آه در دو نقطه عبور می کند (شکل 6، الف) در (x. 1 ; 0) و D.(H. 2 ; 0) جایی که h. 1 و h. 2 - ریشه های معادله مربع اوه 2 + بx + c \u003d 0.

2) شعاع دایره برابر با مرکز ارشد است (مانند = sb، یاR. = آ. + c./2 آ.) ، دایره مربوط به محور آه (شکل 6، ب) در نقطه در (x. 1 ; 0) جایی که x 1 ریشه معادله مربع است.

3) شعاع دایره پایین تر مرکز مرکزی

دایره نقاط مشترک با محور Abscissa ندارد (شکل 6، ب)، در این مورد معادله هیچ راه حل ندارد.

مثال.

حل معادله h. 2 - 2x - 3 \u003d 0 (شکل 7).

تصمیم گیریما مختصات مرکز مرکز مرکز را تعریف می کنیم:

ما دایره شعاع SA را انجام می دهیم، جایی که A (0؛ 1).

پاسخ: h. 1 \u003d - 1؛ H. 2 = 3.

9. روش: راه حل معادلات مربع با استفاده از

نوموگراف ها

این یک راه قدیمی و نامطلوب فراموش شده برای حل معادلات مربع است،

ارسال شده در S.83 (نگاه کنید به Bradis v.m. جدول های ریاضی چهار رقمی. - M.، روشنگری، 1990).

جدول xxii Nomogram برای حل معادله z. 2 + pz + q. = 0 . این اسموگرام اجازه می دهد بدون حل معادله مربع، با توجه به ضریب آن

وجود دارد تا ریشه های معادله را تعیین کنید.

مقیاس انحصاری انحصاری ساخته شده است

با توجه به فرمول ها (شکل 11):

معتقد OS \u003d P،ادا = q.، o \u003d a (همه در دیدن)، از

مثل مثلث سان و CDF دريافت كردن

تناسب، قسمت

از کجا پس از جایگزینی و ساده سازی معادله را دنبال کنید

z. 2 + pz + q. = 0,

علاوه بر این، نامه z. به معنی یک برچسب از هر نقطه از مقیاس انحصاری است.

مثال ها.

1) برای معادله z. 2 - 9 z. + 8 = 0 نوموگرام ریشه ها را می دهد z. 1 = 8,0 و z. 2 = 1,0 (شکل 12).

2) حل معادله نامزدی

2 z. 2 - 9 z. + 2 = 0.

ما ضرایب این معادله را با 2 تقسیم می کنیم

ما معادله را دریافت می کنیم

z. 2 - 4,5 z. + 1 = 0.

نوموگرام ریشه ها را می دهد z. 1 = 4 و z. 2 = 0,5.

3) برای معادله

z. 2 - 25 z. + 66 = 0

ضرایب P و Q فراتر از مقیاس مقیاس، جایگزینی را انجام می دهند z. = 5 t.,

ما معادله را دریافت می کنیم

t. 2 - 5 t. + 2,64 = 0,

که ما نامزد را حل می کنیم و دریافت می کنیم t. 1 = 0,6 و t. 2 = 4,4, از جانب z. 1 = 5 t. 1 = 3,0 و z. 2 = 5 t. 2 = 22,0.

10. روش: روش هندسی برای حل مربع

معادلات

در دوران باستان، زمانی که هندسه بیشتر از جبر توسعه یافت، معادلات مربع به صورت جبری حل نمی شدند، بلکه به صورت هندسی. من به مثال معروف از جبر جبر الخورزمی می دهم.

مثال ها.

1) حل معادله h. 2 + 10x \u003d 39.

در اصل، این وظیفه به صورت زیر فرموله شده است: "مربع و ده ریشه 39 ساله هستند (شکل 15).

تصمیم گیری مربع را از طرف X در نظر بگیرید، مستطیل ها بر روی احزاب آن ساخته شده اند تا طرف دیگر هر یک از آنها 2.5 باشد، بنابراین هر منطقه 2.5 برابر است. شکل نتیجه سپس به یک مربع جدید ABCD تکمیل می شود، تکمیل چهار مربع مساوی در گوشه ها، طرف هر یک از آنها 2.5 است، و منطقه 6.25 است.

حوزه S. مربع آ ب پ ت. می تواند به عنوان مجموع مربع نشان داده شود: مربع اصلی H. 2 ، چهار مستطیل (4 2.5x \u003d 10x) و چهار مربع متصل (6,25 4 = 25) . S. = h. 2 + 10x + 25.جایگزینی

h. 2 + 10x عدد 39 ، گرفتم S. = 39 + 25 = 64 جایی که آن را از طرف مربع دنبال می کند آ ب پ ت.. بخش AB \u003d 8. برای طرف مورد نظر h. مربع اولیه دریافت کنید

2) اما، به عنوان مثال، به عنوان یونانیان باستان معادله را حل کرد w. 2 + 6th - 16 \u003d 0.

تصمیمارائه شده در شکل. 16، کجا

w. 2 + 6 \u003d 16، یا 2 + 6U + 9 \u003d 16 + 9.

تصمیم گیری اصطلاحات w. 2 + 6U + 9 و 16 + 9 هندسی نشان دهنده است

مربع همان، و معادله اولیه w. 2 + 6th - 16 + 9 - 9 \u003d 0 - همان معادله کجا و آن را دریافت کنید y + 3 \u003d ± 5، یا w. 1 \u003d 2، 2 = - 8 (شکل 16).

3) حل معادله هندسی w. 2 - 6th - 16 \u003d 0.

تبدیل معادله، دریافت

w. 2 - 6 \u003d 16

در شکل 17 پیدا کردن "تصاویر" عبارات w. 2 - 6th، کسانی که. از مربع مربع سمت، مربع مربع از طرف طرف کم است 3 . بنابراین اگر برای بیان w. 2 - 6U اضافه کردن 9 ، سپس مربع مربع را با طرف به دست می آوریم y - 3.. جایگزینی بیان w. 2 - 6U برابر با شماره 16،

ما گرفتیم: (y - 3) 2 = 16 + 9, کسانی که. y - 3 \u003d ± √25، یا y - 3 \u003d ± 5، جایی که w. 1 = 8 و W. 2 = - 2.

نتیجه

معادلات مربع به طور گسترده ای در حل معادلات سه گانه، نشان دهنده، لگاریتمی، غیر منطقی و متعالی و نابرابری استفاده می شود.

با این حال، ارزش معادلات مربع نه تنها در فضل و ضعف حل مشکلات، اگر چه بسیار مهم است. به همان اندازه مهم این است که، به عنوان یک نتیجه از استفاده از معادلات مربع، قطعات جدید به ندرت در هنگام حل مشکلات شناسایی نمی شوند، قطعات جدید شناسایی می شوند، ممکن است تعمیم جالبی را ایجاد کنید و توضیح دهید که از طریق تجزیه و تحلیل فرمول های به دست آمده از آن استفاده می شود و نسبت.

من می خواهم توجه داشته باشم که هنوز موضوع مورد مطالعه کمی در این کار وجود دارد، فقط این کار را انجام ندهید، بنابراین آن را پنهان و ناشناخته است، که فرصتی عالی برای کار بیشتر بر روی آن می دهد.

در اینجا ما بر روی حل مسئله حل معادلات مربع متوقف شدیم، و اگر راه های دیگری برای حل آنها وجود داشته باشد؟! باز هم پیدا کردن الگوهای زیبا، برخی از حقایق، توضیحات، تعمیم، باز کردن همه جدید و جدید. اما این ها سوالاتی هستند که قبلا دنبال کار هستند.

خلاصه، ما می توانیم نتیجه گیری کنیم: معادلات مربع نقش مهمی در توسعه ریاضیات ایفا می کنند. همه ما می دانیم که چگونه می توانیم معادلات مربع از نیمکت مدرسه (درجه 8) را قبل از پایان دانشگاه حل کنیم. این دانش می تواند در طول زندگی مفید باشد.

از آنجایی که این روش ها برای حل معادلات مربع آسان برای استفاده هستند، مطمئنا علاقه مند به علاقه مند به ریاضیات دانش آموزان خواهند بود. کار ما باعث می شود که در مورد وظایفی که ریاضیات مطرح می شود متفاوت باشد.

ادبیات:

1. Alimov S.A.، Ilyin v.A. و دیگران جبر، 6-8. آموزش آزمایشی برای دبیرستان 6-8 کلاس. - M.، روشنگری، 1981.

2. bradis v.m. جداول ریاضی چهار رقمی برای دبیرستان.

اد. 57 - M.، روشنگری، 1990. ص 83.

3. Krozhapov A.K.، Rubanov A.T. مشکل در جبر و توابع ابتدایی. آموزش برای موسسات آموزشی ویژه ثانویه. - M.، مدرسه عالی، 1969.

4. Okunev A.K. توابع درجه دوم، معادلات و نابرابری. راهنمای معلم - M.، روشنگری، 1972.

5. Presman A.A. حل معادله مربع با یک گردش و یک حاکم. - M.، Kvant، شماره 4/72. ص 34.

6. Solomnik V.S.، Milov P.i. مجموعه سوالات و وظایف در ریاضیات. اد. - 4، علاوه بر این. - M.، مدرسه عالی، 1973.

7. خدوبین A.I. مجموعه وظایف جبر و توابع ابتدایی. راهنمای معلم اد. دوم - M.، روشنگری، 1970.

درخواست مدیریت

کار تحقیقاتی

رهبر: Prikhodko Yury Vladimirovich (معلم ریاضیات)

موضوع تخمینی: "10 راه حل معادلات مربع"

مشاوران:

Prikhodko Yuri Vladimirovich (معلم ریاضیات)؛

Eroshenkov دیمیتری Aleksandrovich (معلم فناوری)

زمینه آموزشی دانش، موضوع آموزشی، در چارچوب پروژه ریاضیات

رشته های آموزشی نزدیک به موضوع پروژه: ریاضیات

کلاس آموزشی: درجه 9.

ترکیب گروه تحقیق: Kursin Dmitry، Pavlikov دیمیتری

نمایش پروژه در فعالیت غالب دانش آموز: مطالعه روش های عقلانی برای حل معادلات مربع

نوع پروژه مدت زمان: طولانی مدت

نوع آموزش: دوره انتخابی

تجهیزات لازم: ادبیات علمی و محبوب مرتبط با توجه به روش های مختلف برای حل معادلات مربع

محصول تخمینی محصول: ایجاد مواد آموزشی و روش شناختی در استفاده از روش های عقلانی برای حل معادلات مربع

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif "ارتفاع \u003d" 952 "\u003e Mou" Sergievsky مدرسه متوسطه "

انجام شده: Sizikov Stanislav

معلم:

از جانب. Sergievka، 2007

1. مقدمه. معادلات مربع در بابل باستان .................. 3

2. معادلات مربع در دیافراگم ............ .. ............................. .4

3. معادلات مربع در هند ............................................ .... 5

4. معادلات مربع در الخورزمی .......................................... ..............

5. معادلات مربع در اروپا XIII - XYII ................................ ... 7

6. درباره قضیه Vieta ............................................ ...................... ..9

7. ده راه برای حل معادلات مربع ........................ ..10

8. نتیجه گیری ................................................. ......................... 20

9. مراجع ................................................. ........................... ... 21

معرفی

معادلات درجه دوم

معادلات مربع پایه ای هستند که ساختمان با شکوه جبر در حال استراحت است. معادلات مربع به طور گسترده ای در حل معادلات مثلثاتی، نشانگر، لگاریتمی، غیر منطقی استفاده می شود. همه ما می دانیم که چگونه معادلات مربع را حل کنیم، از کلاس هشتم شروع کنیم. اما چه چیزی باعث شد تاریخچه راه حل های معادلات مربع؟

معادلات مربع در بابل باستان

نیاز به حل معادلات نه تنها نخستین، بلکه درجه دوم در دوران باستان ناشی از نیاز به حل مشکلات مربوط به پیدا کردن منطقه از قطعه زمین بود؛ زمین شناسی یک طبیعت نظامی، و همچنین توسعه نجوم و ریاضیات خود. معادلات مربع قادر به حل حدود 2000 سال قبل بودند. e بابل با استفاده از یک رکورد جبری مدرن، می توانیم بگوییم که در متون Clinox آنها، به جز ناقص، و به عنوان مثال، به عنوان مثال، معادلات مربع کامل: x2 + x \u003d، x2 - x \u003d 14HTTPS: //pandia.ru/text / 78/082 / IMAGE005_150.gif "width \u003d" 16 "ارتفاع \u003d" 41 src \u003d "\u003e) 2 + 12 \u003d x؛ باسکرا تحت پوشش می نویسد

x2- 64h. = - 768

و برای تکمیل بخش چپ این معادله به مربع، به هر دو قسمت 322 اضافه می شود، سپس دریافت کنید: x2- 64x + 322 \u003d - 768 + 1024؛

(H.- 32)2 = 256; ایکس -32 \u003d ± 16، xt = 16, xg= 48.

معادلات مربع در الخورزمی

رساله جبری الخورزمی طبقه بندی معادلات خطی و مربع را فراهم می کند. نویسنده شامل 6 گونه برابر است و آنها را به صورت زیر بیان می کند:

1) "مربع برابر با ریشه ها"، به عنوان مثال ah2 \u003d wt

2) "مربع برابر با شماره"، به عنوان مثال aH2= از جانب.

3) "ریشه ها برابر با عدد هستند"، به عنوان مثال ah \u003d s

4) "مربع ها و اعداد برابر با ریشه هستند"، به عنوان مثال aH2+ c \u003d wk.

5) "مربع ها و ریشه ها برابر با شماره هستند"، به عنوان مثال aH2+ in \u003d s

6) "ریشه ها و اعداد برابر با مربع هستند"، به عنوان مثال جنبه+ c \u003d ah2 برای الخورزمی، اجتناب از استفاده از اعداد منفی، اعضای هر یک از این معادلات اجزای تشکیل دهنده هستند و نه کم. در عین حال، معادلات که هیچ راه حل مثبتی ندارند، به طور واضح به حساب نمی آیند. نویسنده راه هایی برای حل این معادلات را تعیین می کند. تصمیم او، البته، با ما همخوانی ندارد. در حال حاضر ذکر نشده است که آن را صرفا لفظی است، به عنوان مثال، لازم به ذکر است که هنگام حل معادله مربع ناقص از نوع اول الخورزمی، مانند تمام ریاضیات تا قرن XVII، راه حل صفر را در نظر نمی گیرد ، احتمالا به این دلیل که در عملکردی عملی عملی، مهم نیست وظایف. در هنگام حل معادلات مربع کامل، ال-کارها در نمونه های عددی خصوصی، قوانین راه حل را تعیین می کند، و سپس شواهد هندسی آنها.

بگذارید یک مثال بگذاریم

وظیفه 14. "مربع و شماره 21 برابر با 10 ریشه هستند. ریشه را پیدا کنید "(اندازه گیری ریشه معادله را اندازه گیری می کند x2 +. 21 = 10ایکس).

تصمیم نویسنده چیزی شبیه به این را می خواند: ما تعداد ریشه ها را تقسیم می کنیم، شما 5 را دریافت خواهید کرد، 5، ضرب 5 به خودی خود، از کار یک 21، باقی خواهد ماند 4. از بین بردن ریشه از 4، شما 2 را دریافت خواهید کرد. گرفته شده 2 از 5، شما 3 دریافت خواهید کرد، این ریشه دلخواه خواهد بود. یا اضافه کردن 2 تا 5، که 7 را می دهد، آن را نیز ریشه دارد.

رساله الخورزمی اولین کتاب است که به ما رسیده است که در آن طبقه بندی معادلات مربع به طور سیستماتیک ارائه شده است و فرمول های آنها داده می شود.

معادلات مربع در اروپاXIII- جونیور انفجار

فرمول های محلول معادلات مربع برای الخورزمی در اروپا ابتدا در کتاب "Abaka" (منتشر شده در رم در اواسط قرن گذشته "کتاب Abaca" فیبوناچی شامل 459 صفحه است)، که در سال 1202 نوشته شده است ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی. این کار کامل، که نشان دهنده نفوذ ریاضیات هر دو کشور اسلام و یونان باستان است، همچنین با تکمیل کامل و وضوح ارائه، متمایز است. نویسنده به طور مستقل برخی از نمونه های جبری جدید از حل مشکلات و اول را توسعه داده است که دراروپا به معرفی اعداد منفی نزدیک شد. کتاب او گسترش دانش جبری را نه تنها در ایتالیا بلکه در آلمان، فرانسه، فرانسه و سایر کشورهای اروپایی ارتقا داد. چالش های بسیاری از "کتاب Abaka" تقریبا تمام کتاب های اروپایی قرن ها از قرن های XVI-XVII را تصویب کرد. و به طور جزئی XVIII.

قاعده کلی حل معادلات مربع به یک فرم کانونیک x2+ q \u003d s، برای همه نوع ترکیبی از علائم ضریب لیسانس.این تنها در سال 1544 در اروپا فرموله شد. M. Stiffel.

خروجی فرمول محلول معادله مربع به طور کلی در Vieta در دسترس است، اما ویتن تنها ریشه های مثبت را به رسمیت می شناسد. ریاضیدان ایتالیایی تارتالیا، کارداکو، بمباران در میان اولین قرن XVI. داده شده، علاوه بر ریشه های مثبت و منفی. فقط در قرن XVII. با تشکر از آثار Girard، Decartes، نیوتن و سایر دانشمندان، روش حل معادلات مربع، ظاهر مدرن را به نمایش می گذارد.

درباره تئوری ویتنام

قضیه بیان رابطه بین ضرایب معادله مربع و ریشه های آن، که نام Vieta است، برای اولین بار در سال 1591 به شرح زیر است: "اگر که در+ D., ضرب شده توسط ولیمنهای A2،به همان اندازه bd, که ولیبه همان اندازه که درو برابر است D.».

برای درک ویتا، باید آن را به یاد داشته باشید ولی،مثل همه
نامه واضح به این معنی بود که او ناشناخته بود (ما ایکس)واکه
که در،D. - ضرایب ناشناخته. در زبان جبر مدرن بالا، اصطلاحات Vieta به معنی است: اگر وجود دارد

(ولی+ ج) x - x2 = اب, x2 - (A +. ب) ایکس. + اب = 0, x1 \u003d a، x2 \u003d c.

بیان رابطه بین ریشه ها و ضرایب معادلات با فرمول های رایج با استفاده از نمادها، Visiet یکنواختی را در روش های حل معادلات تعیین کرده است. با این حال، نمادگرایی ویتنام از گونه های فعلی دور است. او اعداد منفی را به رسمیت نمی شناسد و بنابراین، هنگام حل معادلات، او تنها مواردی را در نظر گرفت که تمام ریشه ها مثبت هستند

ده راه برای حل معادلات مربع

در دوره مدرسه ریاضیات، فرمول های ریشه های معادلات مربع مورد مطالعه قرار می گیرند، که هر معادله مربع را می توان حل کرد. با این حال، راه های دیگری برای حل معادلات مربع وجود دارد که به بسیاری از معادلات بسیار سریع و منطقی اجازه می دهد. ده راه برای حل معادلات مربع وجود دارد. هر یک از آنها را در نظر بگیرید.

1. تجزیه قسمت چپ معادله کارخانه

حل معادله x2+ 10h. - 24 \u003d 0. بخش سمت چپ معادله عوامل را گسترش دهید:

x2 + 10x - 24 \u003d x2 + 12x - 2x - 24 \u003d

x (x + x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

در نتیجه، معادله را می توان بازنویسی کرد:

(h. + 12) (x - 2) \u003d 0.

از آنجا که کار صفر است، حداقل یکی از عوامل او صفر است. بنابراین، بخش چپ معادله به صفر رسید x \u003d2، و همچنین h.\u003d - 12. این بدان معنی است که اعداد 2 و - 12 ریشه های معادله x2 + 10x هستند - 24 \u003d 0.

2. روش تخصیص یک مربع کامل

بگذارید این روش را در مثال توضیح دهیم.

من معادله x2 + 6x را حل می کنم - 7 \u003d 0. مربع کامل را در سمت چپ اختصاص می دهیم. برای انجام این کار، بیان X2 + 6X را در فرم زیر بنویسید:

x2 + 6x \u003d x2 + 2 * x * 3.

در بیان نتیجه، اولین اصطلاح مربع شماره X است، و دوم - محصول دو محصول X توسط 3. بنابراین، برای دریافت یک مربع کامل، شما باید 32 را اضافه کنید

x2 + 2 x 3 + 32 \u003d (x + 3) 2.

ما اکنون قسمت چپ معادله را تغییر می دهیم

x2 + 6x - 7 \u003d 0،

اضافه کردن آن و کم کردن 32. ما داریم:

x2 + 6x - 7 \u003d x2 + 2 h. 3 +– 7 = (H.- \u003d (x - z) 2 - 16 .

بنابراین، این حیاط را می توان به صورت زیر نوشته شده است:

(x + \u003d 0، I.E. (x + 3) 2 \u003d 16.

از این رو، h.+ 3 \u003d 4 x1 \u003d 1، یا x + 3 \u003d - 4، x2 \u003d - 7.

3. راه حل معادلات مربع در فرمول

هر دو بخش معادله را چند برابر کنید

aH2+ جنبه+ c \u003d.0, ≠0، توسط 4Aو به طور مداوم ما:

4a2 x2 + 4abx + 4AS \u003d.0,

((2AH) 2 + 2 aXB + ب2 ) - ب2 + 4AS= 0,

(2AH +.ب) 2 \u003d B2- 4AS،

2+ ب \u003d ± https://pandia.ru/text/78/082/Images/Image006_128.gif "width \u003d" 71 "ارتفاع \u003d" 27 "\u003e، x1،2 \u003d

در مورد یک تبعیض مثبت، I.E. b2 - 4AS\u003e0، معادله aH2+ vK + S.\u003d 0 دارای دو ریشه متفاوت است.

اگر تبعیض آمیز صفر باشد، I.E. b2 - 4AS \u003d0، سپس معادله aH2+ جنبه+ از جانب\u003d 0 تنها ریشه، x \u003d - https://pandia.ru/text/78/082/mages/image009_95.gif "width \u003d" 14 "ارتفاع \u003d" 62 "\u003e ریشه های آن، قضیه Vieta را برآورده می کند که ولی\u003d 1 دارای فرم است

x1 x2 \u003d q.,

x1 + x2 \u003d - r.

از اینجا می توانید نتیجه های زیر را به دست آورید (با ضرایب rو q. شما می توانید علائم ریشه را پیش بینی کنید).

الف) اگر یک عضو آزاد باشد q. معادله داده شده (1)
مثبت (q. \u003e 0) معادله دارای دو برابر است
در علامت ریشه و بستگی به ضریب دوم دارد r
اگر یک r\u003e 0، هر دو ریشه منفی هستند اگر r< 0, سپس هر دو
ریشه مثبت است.

مثلا،

x2- 3h. + 2 = 0; x1\u003d 2 و x2 \u003d 1، از آن زمان q. = 2 > 0 تو پ. = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 \u003d 0؛ x 1 \u003d - 7 و x2 \u003d - 1، از آنجا که q. \u003d 7\u003e 0 و r = 8 > 0.

ب) اگر یک عضو آزاد باشد q. معادله داده شده (1)
منفی (q. < 0) معادله دارای دو نوع متفاوت در علامت ریشه است و ریشه بزرگتر در ماژول مثبت خواهد بود r< 0، یا منفی اگر p\u003e0.

مثلا،

x2 + 4x - 5 \u003d 0؛ x1 \u003d - 5 و x2 \u003d 1، از آنجا که q. = - 5 < 0 и r= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 \u003d 0؛ x1 \u003d9 I. x2\u003d - 1، از آنجا که q. = - 9 < и r= - 8 < 0.

5. حل معادلات توسط روش "حمل و نقل"

معادله مربع را در نظر بگیرید ah2 + vh+ c \u003d.0، جایی که ≠0. ضرب هر بخش از آن بر روی ولی،ما معادله را دریافت می کنیم a2X2 +.abx + AC= 0.

بیایید ah \u003d y،از جانب h.\u003d؛ سپس به معادله آمده

u2+ توسط + ac \u003d.0,

معادل این. ریشه های او u1و u2ما با کمک قضیه Vieta پیدا خواهیم کرد. سرانجام دریافت x1\u003d https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif "width \u003d" 24 "ارتفاع \u003d" 43 "\u003e.

با این ضریب روش ولیضرب شده توسط یک عضو رایگان، به عنوان اگر "حرکت" به او، به طوری که آن را نامیده می شود روش "حمل و نقل".این روش زمانی استفاده می شود که شما به راحتی می توانید ریشه های معادله را با استفاده از قضیه Vieta پیدا کنید و مهمتر از همه، زمانی که تبعیض یک مربع دقیق است.

1. حل معادله 2x2 - 11x + 15 \u003d 0.

تصمیم گیری"ما یک ضریب 2 به یک عضو آزاد را انتقال خواهیم داد، زیرا نتیجه معادله را به دست می آوریم

u2 - 11 w.+ 30 = 0.

با توجه به قضیه Vieta U1 \u003d 5، U2 \u003d 6، از این رو X1 \u003d https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif "width \u003d" 16 ارتفاع \u003d 41 "ارتفاع \u003d" 41 " \u003e، t. e

x1 \u003d 2.5 x2 \u003d 3.

پاسخ:2,5; 3.

6. خواص ضرایب مربعمعادلات

A. اجازه دهید معادله مربع

aH2 + VX + با\u003d 0، جایی که ولی ≠ 0.

1. اگر + b + S.= 0 (به عنوان مثال مجموع ضرایب معادله صفر است)، سپس x1 \u003d1، x2 \u003d.

2. اگر a - در + با= 0, یاب = ولی + c، سپس x1 \u003d -1, h.2 \u003d - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif "width \u003d" 44 ارتفاع \u003d 41 "ارتفاع \u003d" 41 "\u003e.

پاسخ:1; 184">

موارد زیر ممکن است:

مستقیم و پارابولا می تواند در دو نقطه تقاطع، سوء استفاده از نقاط تقاطع، ریشه های معادله مربع است؛

مستقیم و پارابولا می تواند نگرانی (تنها یک نقطه مشترک)، به عنوان مثال معادله یک راه حل دارد؛

مستقیم و پارابولا نقاط مشترک ندارند، به عنوان مثال معادله مربع هیچ ریشه ای ندارد.

مثال ها.

1. حل معادلات گرافیکی X2 - 3x - 4 \u003d 0 (شکل 2).

تصمیم گیریما یک معادله را در فرم بنویسیم x2 \u003d 3x + 4.

بیایید یک پارابولا بسازیم y \u003d x2.و مستقیم y \u003d.3 + 4. راست w.\u003d 3x + 4 می تواند توسط دو نقطه m (0، 4) و n (3؛ 13) ساخته شود. مستقیم و پارابولا در دو نقطه تقاطع می شوند و به ببا سوء استفاده x1\u003d - 1 و x2 \u003d 4.

پاسخ: x1\u003d - 1، x، \u003d 4.

8. حل معادلات مربع با گردش و حاکم

ما روش زیر را برای پیدا کردن ریشه های معادله مربع ارائه می دهیم

aH2+ جنبه+ از جانب= 0

با کمک گردش و حاکم (شکل).

فرض کنید که دایره مورد نظر از محور Abscissa عبور می کند ب(x1؛0) I. D.(ایکس.2 ; 0) کجا x1و x2- ریشه های معادله ah2 + vh+از جانب=0,
و عبور از نقاط A (0؛ 1) و از (0؛) در محور عادی ..gif "width \u003d" 197 "height \u003d" 123 "\u003e

بنابراین: 1) ساخت امتیاز https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif "width \u003d" 171 "ارتفاع \u003d" 45 "\u003e دایره عبور از محور آه در نقطه در (x1؛ 0)، و d (x1 ; 0)، جایی که X1 و X2 - ریشه های معادله مربع AH2 + BX + C = 0.

2) شعاع دایره برابر با مرکز ارشد است ، دایره مربوط به محور آه در نقطه در (x1؛ 0)، جایی که جامه- ریشه معادله مربع.

3) شعاع دایره کمتر از حد مرکزی سمت چپ "\u003e

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif "width \u003d" 612 "ارتفاع \u003d" 372 "\u003e 40" ارتفاع \u003d "14"\u003e

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif "width \u003d" 612 "height \u003d" 432 src \u003d "\u003e

پس از جایگزینی و

ساده سازی ها عبارتند از معادله Z2 + PZ + Q \u003d 0، و نامه Z به معنای برچسب هر نقطه از مقیاس منحنی است.

10. روش هندسی حل معادلات مربع

در دوران باستان، زمانی که هندسه بیشتر از جبر توسعه یافت، معادلات مربع به صورت جبری حل نمی شدند، بلکه به صورت هندسی. ما نمونه معروف جبر جبر را با جبر به ارمغان می آوریم.

و چهار مربع متصل، بنابراین. s \u003d x2 + 10x + 25. جایگزینی X2 + 10X توسط شماره 39، ما آن را S \u003d 39 + 25 \u003d 64 به دست می آوریم، از آنجایی که آن را دنبال می کنید که طرف مربع است آ ب پ ت., i.E. برش au\u003d 8. برای طرف مورد نظر h.میدان اولیه دریافت کنید

نتیجه

همه ما می دانیم که چگونه می توانیم معادلات مربع را حل کنیم، تا پایان سال دانشگاه شروع به کار می کنیم. اما در دوره مدرسه ریاضیات، فرمول ریشه های معادلات مربع مورد مطالعه قرار گرفته است، که هر معادله مربع را می توان حل کرد. با این حال، با مطالعه این سوال در مورد عمیق تر، من متقاعد شدم که راه های دیگری برای حل معادلات مربع وجود دارد که به بسیاری از معادلات بسیار سریع و منطقی اجازه می دهد.

شاید ریاضی جایی در ابعاد دیگر، چشم قابل مشاهده نیست، - همه و ما فقط همه حقایق جدید را از سوراخ با جهان دریافت می کنیم؟ ... نگاه خدا؛ اما معلوم می شود که اگر فیزیکدانان، مواد شیمیایی، اقتصاددانان یا باستان شناسان نیاز به یک مدل جدید از جهان داشته باشند، این مدل همیشه می تواند از قفسه استفاده شود، که سه سال پیش ریاضیات را جمع آوری کرد یا از بخش هایی که در همان قفسه قرار گرفته اند، جمع آوری می شود. شاید این موارد باید پیچ \u200b\u200bو تاب داشته باشند، به یکدیگر متصل شوند، آلودگی، به سرعت به سرعت بخشیدن به یک زن و شوهر از بوشینگ های جدید از قضیه ها؛ اما نظریه نتیجه نه تنها وضعیت واقعی را توصیف می کند، بلکه پیامدهای آن را پیش بینی می کند! ...

چیز عجیب و غریب - این ذهن بازی است که همیشه درست است ...

ادبیات

1. Alimov sha.، ایلین VA. و دیگران جبر، 6-8. آموزش آزمایشی برای نمرات دبیرستان 6-8. - M.، روشنگری، 1981.

2.BRADIS جداول ریاضی برای دبیرستان. اد. 57 - M.، روشنگری، 1990. ص 83.

3. اختلال در هنگام تدریس ریاضیات. کتاب برای معلم - M.، روشنگری، 1992.

4.M.، ریاضیات (آپاندیس به روزنامه "اول سپتامبر)، شماره 21/96، 10/97، 24/97، 18/98، 21/98.

5. توابع، معادلات و نابرابری. راهنمای معلم - M.، روشنگری، 1972.

6. Acrane B. C.، سوالات ناز و وظایف در ریاضیات. اد. 4، علاوه بر این. - M.، مدرسه عالی، 1973.

7.M.، ریاضیات (پیوست به روزنامه "اول از سپتامبر)، شماره 40، 2000.

مرور

به کار دانش آموز 11 کلاس MOU "Sergievskaya میانگین

مدرسه جامع "

Copsevskaya دبیرستان روستایی

10 راه حل معادلات مربع

رهبر: Patrekva Galina Anatolyevna،

معلم ریاضی

s.Kopievo، 2007.

1. تاریخ توسعه معادلات مربع

1.1 معادلات مربع در بابل باستان

1.2 به عنوان معادلات مربع دیفانت حل شده و حل شده است

معادلات مربع 1.3 در هند

1.4 معادلات مربع در ALCOHISE

1.5 معادلات مربع در اروپا XIII - قرن ها XVII

1.6 درباره قضیه Vieta

2. روش های حل معادلات مربع

نتیجه

ادبیات

1. تاریخ توسعه معادلات مربع

1 .1 مربع مربعدر بابل باستان

ایکس. 2 + ایکس. = ѕ; ایکس. 2 - ایکس. = 14,5

1.2 به عنوان ساخته شده و حل معادلات مربع دیوفانت.

هنگام تدوین معادلات Diofant برای ساده سازی راه حل به طرز ماهرانه ای ناشناخته را انتخاب می کند.

در اینجا، به عنوان مثال، یکی از وظایف او.

وظیفه 11 "پیدا کردن دو عدد، دانستن اینکه مجموع آنها 20 است، و کار 96"

از این رو معادله:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - H. 2 = 96

h. 2 - 4 = 0 (1)

اگر ما این کار را انتخاب کنیم، انتخاب یکی از اعداد مورد نظر به عنوان ناشناخته، ما برای حل معادله خواهیم آمد

y (20 - y) \u003d 96،

w. 2 - 20u + 96 \u003d 0. (2)

1.3 معادلات مربع در هند

اوه 2 + بx \u003d s، a\u003e 0. (1)

در معادله (1) ضرایب به جز ولیممکن است منفی باشد قانون برماگتاپا اساسا با ما همخوانی دارد.

در اینجا یکی از وظایف معروف ریاضیات معروف هند XII است. باسکرا

وظیفه 13

"بیانیه میمون ها و دوازده نفر در لیانام ...

قدرت روبرو شدن، لذت بردن از آن. شروع به پریدن، حلق آویز ...

آنها در قسمت مربع هشتم هستند که چگونه بسیاری از میمون ها بودند

در گلدان سرگرم شد آیا به من بگویید، در این پشته؟ "

تصمیم باسکرا به این واقعیت شهادت می دهد که او در مورد دو برابر ریشه های معادلات مربع می دانست (شکل 3).

وظیفه مربوط به 13 معادله:

(ایکس./8) 2 + 12 = ایکس.

Bhaskara تحت پوشش قرار می نویسد:

h. 2 - 64x \u003d -768

و برای تکمیل بخش چپ این معادله به مربع به هر دو قسمت اضافه می شود 32 2 ، گرفتن سپس:

h. 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 \u003d ± 16،

h. 1 = 16, h. 2 = 48.

1.4 مربع مربعالخورزمی

1) "مربع ها ریشه ها هستند"، به عنوان مثال اوه 2 + c \u003d.بایکس.

2) "مربع برابر با شماره"، به عنوان مثال اوه 2 \u003d s

3) "ریشه ها برابر با عدد هستند"، به عنوان مثال ah \u003d s

4) "مربع ها و اعداد برابر با ریشه هستند"، به عنوان مثال اوه 2 + c \u003d.بایکس.

5) "مربع ها و ریشه ها برابر با شماره هستند"، به عنوان مثال اوه 2 + bx \u003d s

6) "ریشه ها و اعداد برابر با مربع هستند"، به عنوان مثال bx + c \u003d ah 2 .

الخورزمی، مانند تمام ریاضیات تا قرن هجدهم، راه حل صفر را در نظر می گیرد، احتمالا به این دلیل که در وظایف عملی خاص مهم نیست. هنگام حل معادلات کامل مربع الگوریک در نمونه های عددی خصوصی، قوانین تصمیم گیری و سپس شواهد هندسی را تعیین می کند.

وظیفه 14 "مربع و شماره 21 برابر با 10 ریشه هستند. ریشه را پیدا کنید » (به معنای ریشه معادله x است 2 + 21 \u003d 10x).

1.5 معادلات مربع در اروپاXIII - جونیور bb

قاعده کلی حل معادلات مربع به همان فرم کانونی:

h. 2 + bx \u003d C،

برای همه نوع ترکیبی از علائم ضریب ب, از جانباین در اروپا تنها در سال 1544 M. Stiffel فرموله شد.

1.6 درباره قضیه Vieta

(A +.ب) x - x 2 = اب,

h. 2 - (A +ب) x + aب = 0,

h. 1 \u003d a، h. 2 = ب.

بیان رابطه بین ریشه ها و ضرایب معادلات با فرمول های رایج با استفاده از نمادها، Visiet یکنواختی را در روش های حل معادلات تعیین کرده است. در عین حال، نمادگرایی Vieta هنوز از گونه های فعلی دور است. او اعداد منفی را به رسمیت نمی شناسد و برای این، هنگام حل معادلات، تنها مواردی را در نظر گرفت که تمام ریشه ها مثبت هستند.

2. روش های حل معادلات مربع

معادلات مربع پایه ای هستند که ساختمان با شکوه جبر در حال استراحت است. معادلات مربع به طور گسترده ای در حل معادلات سه گانه، نشان دهنده، لگاریتمی، غیر منطقی و متعالی و نابرابری استفاده می شود. همه ما می دانیم که چگونه می توانیم معادلات مربع از نیمکت مدرسه (درجه 8) را قبل از پایان دانشگاه حل کنیم.

در دوره مدرسه ریاضیات، فرمول های ریشه های معادلات مربع مورد مطالعه قرار می گیرند، که هر معادله مربع را می توان حل کرد. در این مورد، راه های دیگری برای حل معادلات مربع وجود دارد که به بسیاری از معادلات بسیار سریع و منطقی اجازه می دهد. ده راه برای حل معادلات مربع وجود دارد. به طور دقیق در کار من، من هر یک از آنها را جدا کردم.

1. روش : تجزیه قسمت چپ معادله کارخانه.

حل معادله

h. 2 + 10x - 24 \u003d 0.

جابجایی سمت چپ عوامل:

h. 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

در نتیجه، معادله را می توان بازنویسی کرد:

(x + 12) (x - 2) \u003d 0

2. روش : روش تخصیص یک مربع کامل.

حل معادله h. 2 + 6x - 7 \u003d 0.

ما مربع کامل را در سمت چپ برجسته می کنیم.

برای انجام این کار، بیان X 2 + 6X را به صورت زیر بنویسید:

h. 2 + 6x \u003d x 2 + 2 * x * 3.

x 2 +. 2 * x * 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2 .

ما اکنون قسمت چپ معادله را تغییر می دهیم

h. 2 + 6x - 7 \u003d 0,

اضافه کردن آن و کم کردن 3 2. ما داریم:

h. 2 + 6x - 7 \u003dx 2 +. 2 * x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 \u003d (X + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (X + 3) 2 - 16.

بنابراین، این معادله را می توان به عنوان:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

از این رو، x + 3 - 4 \u003d 0، x 1 \u003d 1، یا x + 3 \u003d -4، x 2 = -7.

3. روش : راه حل معادلات مربع توسط فرمول.

هر دو بخش معادله را چند برابر کنید

اوه 2 + بx + c \u003d 0، و؟ 0

در 4A و به طور مداوم ما:

4A 2 h. 2 + 4A.بx + 4AS \u003d 0،

((2AH) 2 + 2AH *ب + ب 2 ) - ب 2 + 4 قسم = 0,

(2ax + b) 2 \u003d ب 2 - 4AC،

2x + b \u003d ± v b 2 - 4AC،

2 آزمایش \u003d - b ± v b 2 - 4AC،

مثال ها.

ولی) حل معادله: 4x 2 + 7x + 3 \u003d 0.

a \u003d 4ب \u003d 7، c \u003d 3،D. = ب 2 - 4 قسم = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D. > 0, دو ریشه متفاوت؛

بنابراین، در مورد یک تبعیض مثبت، I.E. برای

ب 2 - 4 قسم >0 ، معادله اوه 2 + بx + c \u003d 0 این دو ریشه متفاوت دارد.

ب) حل معادله: 4x 2 - 4x + 1 \u003d 0،

a \u003d 4ب \u003d - 4، c \u003d 1،D. = ب 2 - 4 قسم = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D. = 0, یک ریشه؛

بنابراین، اگر تبعیض آمیز صفر باشد، I.E. ب 2 - 4 قسم = 0 ، سپس معادله

اوه 2 + بx + c \u003d 0 تنها ریشه دارد

که در) حل معادله: 2x 2 + 3x + 4 \u003d 0،

a \u003d 2ب \u003d 3، C \u003d 4،D. = ب 2 - 4 قسم = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , D. < 0.

این معادله ریشه ندارد

بنابراین، اگر معجزه منفی باشد، I.E. ب 2 - 4 قسم < 0 ,

معادله اوه 2 + بx + c \u003d 0 این ریشه ندارد

فرمول (1) ریشه های معادله مربع اوه 2 + بx + c \u003d 0 به شما اجازه می دهد ریشه ها را پیدا کنید هر کسی معادله مربع (در صورت وجود)، از جمله بالا و ناقص. فرمول معتبر (1) بیان شده است: ریشه های معادله مربع برابر با کسری است، عددی که برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است، به علاوه منهای مربع ریشه از مربع این ضریب بدون محصول پایدار از ضریب اول به عضو آزاد، و نامزدی دارای ضریب دوگانه است.

4. روش: حل معادلات با استفاده از قضیه Vieta.

همانطور که می دانید، معادله مربع کاهش یافته دارای فرم است

h. 2 + pX + c. = 0. (1)

ریشه های او تئوری Vieta را برآورده می کند که a \u003d 1 ظاهر دارد

ایکس. 1 ایکس. 2 = q.,

ایکس. 1 + ایکس. 2 = - پ.

از اینجا می توانید نتیجه های زیر را جلب کنید (با توجه به ضرایب P و Q شما می توانید علائم ریشه را پیش بینی کنید).

مثلا،

ایکس. 2 - 3 ایکس. + 2 = 0; ایکس. 1 = 2 و ایکس. 2 = 1, مانند q. = 2 > 0 و پ. = - 3 < 0;

ایکس. 2 + 8 ایکس. + 7 = 0; ایکس. 1 = - 7 و ایکس. 2 = - 1, مانند q. = 7 > 0 و پ.= 8 > 0.

مثلا،

ایکس. 2 + 4 ایکس. - 5 = 0; ایکس. 1 = - 5 و ایکس. 2 = 1, مانند q.= - 5 < 0 و پ. = 4 > 0;

ایکس. 2 - 8 ایکس. - 9 = 0; ایکس. 1 = 9 و ایکس. 2 = - 1, مانند q. = - 9 < 0 و پ. = - 8 < 0.

5. روش: حل معادلات با روش "حمل و نقل".

معادله مربع را در نظر بگیرید

اوه 2 + بx + c \u003d 0،جایی که ولی؟ 0

ضرب هر دو بخش توسط یک، ما معادله را دریافت می کنیم

ولی 2 h. 2 + A.بx + ac \u003d 0.

بیایید آه \u003d تواز جانب! x \u003d y / a؛ سپس به معادله آمده

w. 2 + توسط + AC \u003d 0،

معادل این. ریشه های او w. 1 و w. 2 ما با کمک قضیه Vieta پیدا خواهیم کرد.

سرانجام دریافت

h. 1 \u003d W. 1 /ولی و h. 1 \u003d W. 2 /ولی.

مثال.

حل معادله 2x 2 - 11x + 15 \u003d 0.

تصمیم گیری "ما یک ضریب 2 به یک عضو آزاد را انتقال خواهیم داد، زیرا نتیجه معادله را به دست می آوریم

w. 2 - 11th + 30 \u003d 0.

با توجه به قضیه ویتنام

w. 1 = 5 h. 1 = 5/2 ایکس. 1 = 2,5

w. 2 = 6 ایکس. 2 = 6/2 ایکس. 2 = 3.

پاسخ: 2.5؛ 3

6. روش: خواص ضرایب معادله مربع.

ولی. اجازه دهید معادله مربع داده شود

اوه 2 + بx + c \u003d 0،جایی که ولی؟ 0

1) اگر، A +ب + C \u003d 0 (به عنوان مثال، مجموع ضرایب صفر است)، سپس X 1 = 1,

h. 2 \u003d s / a

شواهد و مدارک. ما هر دو بخش از معادله را تقسیم می کنیم؟ 0، معادله مربع کاهش یافته را به دست می آوریم

ایکس. 2 + ب/ آ. * ایکس. + c./ آ. = 0.

با توجه به قضیه ویتنام

ایکس. 1 + ایکس. 2 = - ب/ آ.,

ایکس. 1 ایکس. 2 = 1* c./ آ..

با شرایط ولی -ب + c \u003d 0از جانب ب \u003d a + sبه این ترتیب،

ایکس. 1 + X. 2 = - ولی + b / a \u003d -1 - c / a،

ایکس. 1 ایکس. 2 \u003d - 1 * (- c / a)،

کسانی که. h. 1 = -1 و h. 2 = c./ آ.که من نیاز به اثبات

مثال ها.

1) حل معادله 345X 2 - 137X - 208 \u003d 0.

تصمیم گیریمانند A +ب + C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0)،که

h. 1 = 1, h. 2 = c./ آ. = -208/345.

پاسخ 1؛ -208/345

2) معادله راه حل 132X 2 - 247x + 115 \u003d 0.

تصمیم گیریمانند a +ب + C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0)، که

h. 1 = 1, h. 2 = c./ آ. = 115/132.

پاسخ 1؛ 115/132.

ب اگر ضریب دوم باشد ب = 2 k. - حتی تعداد، سپس فرمول ریشه

مثال.

حل معادله 3x2 - 14x + 16 \u003d 0.

تصمیم. ما داریم: a \u003d 3ب \u003d - 14، c \u003d 16،k. = -- 7 ;

D. = k. 2 - قسم = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D. > 0, دو ریشه متفاوت؛

پاسخ: 2؛ 8/3

که در. معادله کاهش یافته

h. 2 + RH +q.= 0

طول می کشد:

فرمول (3) به خصوص مناسب برای استفاده از زمانی است r-- عدد زوج.

مثال. حل معادله h. 2 - 14x - 15 \u003d 0.

تصمیم گیریما داریم: h. 1,2 \u003d 7 ±

پاسخ: H. 1 \u003d 15؛ H. 2 = -1.

7. روش: راه حل گرافیکی معادله مربع.

اگر در معادله

h. 2 + pX + q. = 0

اعضای دوم و سوم را در سمت راست انتقال دهید، سپس دریافت می کنیم

h. 2 = - pX - q..

ما نمودار های وابستگی Y \u003d x 2 و y \u003d - PX - Q را ساختیم.

اولین برنامه وابستگی Parabola است که از طریق منشاء مختصات عبور می کند. نمودار وابستگی دوم -

راست (شکل 1). موارد زیر ممکن است:

مستقیم و پارابولا می تواند در دو نقطه تقاطع، سوء استفاده از نقاط تقاطع، ریشه های نسبت چهار است؛

مستقیم و پارابولا می تواند لمس (تنها یک نقطه مشترک)، به عنوان مثال معادله یک راه حل دارد؛

مستقیم و پارابولا نقاط مشترک ندارند، به عنوان مثال معادله مربع ریشه ندارد

مثال ها.

1) معادله بزرگ h. 2 - 3x - 4 \u003d 0 (شکل 2).

تصمیم گیری ما یک معادله را در فرم بنویسیم H. 2 \u003d 3x + 4.

بیایید یک پارابولا بسازیم y \u003d x 2 و راست y \u003d 3x + 4. سر راست

y \u003d 3x + 4 می تواند بر روی دو نقطه ساخته شود متر (0؛ 4) و

n. (3; 13) . مستقیم و پارابولا در دو نقطه تقاطع می شوند

ولی و که در با سوء استفاده h. 1 = - 1 و h. 2 = 4 . پاسخ: H. 1 = - 1;

h. 2 = 4.

2) مقاوم در برابر معادله گرافیکی (شکل 3) h. 2 - 2x + 1 \u003d 0.

تصمیم گیری ما یک معادله را در فرم بنویسیم h. 2 \u003d 2x - 1.

بیایید یک پارابولا بسازیم y \u003d x 2 و راست y \u003d 2x - 1.

سر راست y \u003d 2x - 1 ساخت دو نقطه متر (0؛ - 1)

و n.(1/2; 0) . مستقیم و parabola در نقطه تقاطع ولی از جانب

اوکیسا x \u003d 1. پاسخ: x \u003d 1

3) معادله بزرگ h. 2 - 2x + 5 \u003d 0(شکل 4).

پاسخ. معادله h. 2 - 2x + 5 \u003d 0 هیچ ریشه ای ندارد

8. روش: راه حل معادلات مربع با گردش خون و خط

روش گرافیکی حل معادلات مربع با یک پارابولا ناخوشایند است. اگر شما یک پارابولا را در نقاط ساخت، زمان زیادی را صرف می کنید، و با این همه، درجه دقت نتایج حاصل از آن کوچک است.

من روش زیر را پیشنهاد می کنم که ریشه های معادله مربع را پیدا کنم اوه 2 + بx + c \u003d 0 با کمک گردش و حاکم (شکل 5).

فرض کنید که دایره مورد نظر از محور عبور می کند

abscissa در نقاط در (x. 1 ; 0) و D. (H. 2 ; 0), جایی که h. 1 و h. 2 - ریشه های معادله اوه 2 + بx + c \u003d 0و از طریق نقاط عبور می کند

a (0؛ 1)و C (0؛c./ آ.) در محور Ordinate. سپس، توسط قضیه در توالی ما ob. * od. = oa * OC.از جانب! OC. = ob. * od./ oa\u003d H. 1 h. 2 / 1 = c./ آ..

مرکز دایره در نقطه تقاطع عمود بر عمق واقع شده است sf و skدر وسط وتر بازسازی شده است قسم و bd، بنابراین

1) ساخت نقاط (مرکز دایره) و آ.(0; 1) ;

2) ما یک دایره را با شعاع انجام می دهیم sa;

3) نقاط Abscissa از تقاطع این دایره با محور اوه ریشه های معادله مربع اصلی هستند.

این امکان وجود دارد سه مورد.

1) شعاع دایره مرکز واحد (مانند > sk، یا R. > آ. + c./2 آ.) ، دایره از محور آه در دو نقطه عبور می کند (شکل 6، الف) در (x. 1 ; 0) و D.(H. 2 ; 0) جایی که h. 1 و h. 2 - ریشه های معادله مربع اوه 2 + بx + c \u003d 0.

3) شعاع دایره کمتر از نظم مرکز است. دایره نقاط مشترک با محور Abscissa ندارد (شکل 6، ب)، در این مورد معادله هیچ راه حل ندارد.

مثال.

حل معادله h. 2 - 2x - 3 \u003d 0 (شکل 7).

تصمیم گیریما مختصات مرکز مرکز مرکز را تعریف می کنیم:

ما دایره شعاع SA را انجام می دهیم، جایی که A (0؛ 1).

پاسخ: h. 1 \u003d - 1؛ H. 2 = 3.

9. روش: راه حل معادلات مربع با استفاده از نوموگراف ها

این قدیمی و ناامیدانه توسط محلول معادلات مربع قرار داده شده در C.83 فراموش شده است (نگاه کنید به Bradis v.m. جداول ریاضی چهار رقمی. - M.، روشنگری، 1990).

جدول xxii Nomogram برای حل معادله z. 2 + pz + q. = 0 . این نامزدی اجازه می دهد بدون حل معادله مربع، با ضریب آن برای تعیین ریشه های معادله، اجازه می دهد.

مقیاس منحنی نوموگرام توسط فرمول ها ساخته شده است (شکل 11):

معتقد OS \u003d P،ادا = q.، o \u003d a (همه در سانتی متر)، از شباهت مثلث سان و CDF ما یک نسبت داریم

از کجا پس از جایگزینی و ساده سازی معادله را دنبال کنید

z. 2 + pz + q. = 0,

علاوه بر این، نامه z. به معنی یک برچسب از هر نقطه از مقیاس انحصاری است.

مثال ها.

1) برای معادله z. 2 - 9 z. + 8 = 0 نوموگرام ریشه ها را می دهد

z. 1 = 8,0 و z. 2 = 1,0 (شکل 12).

2) ارزش با استفاده از یک نامزد

2 z. 2 - 9 z. + 2 = 0.

ما ضرایب این معادله را با 2 تقسیم می کنیم، معادله را به دست می آوریم

z. 2 - 4,5 z. + 1 = 0.

نوموگرام ریشه ها را می دهد z. 1 = 4 و z. 2 = 0,5.

3) برای معادله

z. 2 - 25 z. + 66 = 0

ضرایب P و Q فراتر از مقیاس مقیاس، جایگزینی را انجام می دهند z. = 5 t.، من معادله را دریافت می کنم

t. 2 - 5 t. + 2,64 = 0,

که ما نامزد را حل می کنیم و دریافت می کنیم t. 1 = 0,6 و t. 2 = 4,4, از جانب z. 1 = 5 t. 1 = 3,0 و z. 2 = 5 t. 2 = 22,0.

10. روش: روش هندسی برای حل مربع معادلات

مثال ها.

1) حل معادله h. 2 + 10x \u003d 39.

در اصل، این وظیفه به صورت زیر فرموله شده است: "مربع و ده ریشه 39 ساله هستند (شکل 15).

حوزه S. مربع آ ب پ ت. می تواند به عنوان مجموع مربع نشان داده شود: مربع اصلی h. 2 ، چهار مستطیل (4 * 2.5x \u003d 10x) و چهار مربع متصل (6,25* 4 = 25) . S. = h. 2 + 10x + 25.جایگزینی

h. 2 + 10x عدد 39 ، گرفتم S. = 39 + 25 = 64 جایی که آن را از طرف مربع دنبال می کند آ ب پ ت.. بخش AB \u003d 8. برای طرف مورد نظر h. مربع اولیه دریافت کنید

2) اما، به عنوان مثال، به عنوان یونانیان باستان معادله را حل کرد w. 2 + 6th - 16 \u003d 0.

تصمیمارائه شده در شکل. 16، کجا

w. 2 + 6 \u003d 16، یا w. 2 + 6U + 9 \u003d 16 + 9.

تصمیم گیری اصطلاحات w. 2 + 6U + 9 و 16 + 9 هندسی همان مربع را تشکیل می دهد، و معادله اولیه w. 2 + 6th - 16 + 9 - 9 \u003d 0 - همان معادله کجا و آن را دریافت کنید y + 3 \u003d ± 5، یا w. 1 \u003d 2، 2 = - 8 (شکل 16).

3) حل معادله هندسی w. 2 - 6th - 16 \u003d 0.

تبدیل معادله، دریافت

w. 2 - 6 \u003d 16

در شکل 17 پیدا کردن "تصاویر" عبارات w. 2 - 6th، کسانی که. از مربع مربع سمت، مربع مربع از طرف طرف کم است 3 . بنابراین اگر برای بیان w. 2 - 6U اضافه کردن 9 ، سپس مربع مربع را با طرف به دست می آوریم w. - 3 . جایگزینی بیان w. 2 - 6U برابر با شماره 16،

ما گرفتیم: (y - 3) 2 = 16 + 9, کسانی که. y - 3 \u003d ± v25، یا y - 3 \u003d ± 5، جایی که w. 1 = 8 و W. 2 = - 2.

نتیجه

در عین حال، ارزش معادلات مربع نه تنها در فضل و ضعف حل مشکلات، هر چند بسیار ضروری است. به همان اندازه مهم این است که، به عنوان یک نتیجه از استفاده از معادلات مربع، قطعات جدید به ندرت در هنگام حل مشکلات شناسایی نمی شوند، قطعات جدید شناسایی می شوند، ممکن است تعمیم جالبی را ایجاد کنید و توضیح دهید که از طریق تجزیه و تحلیل فرمول های به دست آمده از آن استفاده می شود و نسبت.

در اینجا من به سوال حل معادلات مربع متوقف شدم، و چه،

اگر راه های دیگری برای حل آنها وجود دارد؟! باز هم پیدا کردن الگوهای زیبا، برخی از حقایق، توضیحات، تعمیم، باز کردن همه جدید و جدید. اما این ها سوالاتی هستند که قبلا دنبال کار هستند.

از آنجایی که این روش ها برای حل معادلات مربع آسان برای استفاده هستند، مطمئنا علاقه مند به علاقه مند به ریاضیات دانش آموزان خواهند بود. کار من باعث می شود که در مورد آن وظایفی که ریاضیات مطرح می شود، متفاوت باشد.

ادبیات:

1. Alimov S.A.، Ilyin v.A. و دیگران جبر، 6-8. آموزش آزمایشی برای دبیرستان 6-8 کلاس. - M.، روشنگری، 1981.

2. bradis v.m. جداول ریاضی چهار رقمی برای مدرسه متوسطه. 57 - M.، روشنگری، 1990. ص 83.

3. Krozhapov A.K.، Rubanov A.T. مشکل در جبر و توابع ابتدایی. آموزش برای موسسات آموزشی ویژه ثانویه. - M.، مدرسه عالی، 1969.

4. Okunev A.K. توابع درجه دوم، معادلات و نابرابری. راهنمای معلم - M.، روشنگری، 1972.

5. Presman A.A. حل معادله مربع با یک گردش و یک حاکم. - M.، Kvant، شماره 4/72. ص 34.

6. Solomnik V.S.، Milov P.i. مجموعه سوالات و وظایف در ریاضیات. اد. - 4، علاوه بر این. - M.، مدرسه عالی، 1973.

7. خدوبین A.I. مجموعه وظایف جبر و توابع ابتدایی. راهنمای معلم اد. دوم - M.، روشنگری، 1970.

Copsevskaya دبیرستان روستایی

10 راه حل معادلات مربع

رهبر: Patrekva Galina Anatolyevna،

معلم ریاضی

s.Kopievo، 2007.

1. تاریخ توسعه معادلات مربع

1.1 معادلات مربع در بابل باستان

1.2 به عنوان معادلات مربع دیفانت حل شده و حل شده است

معادلات مربع 1.3 در هند

1.4 معادلات مربع در ALCOHISE

1.5 معادلات مربع در اروپا XIII - قرن ها XVII

1.6 درباره قضیه Vieta

2. روش های حل معادلات مربع

نتیجه

ادبیات

1. تاریخ توسعه معادلات مربع

1.1 معادلات مربع در بابل باستان

ایکس.2 + ایکس.= ¾; ایکس.2 - ایکس.= 14,5

1.2 به عنوان معادلات مربع دیفانت حل شده و حل شده است.

هنگام تدوین معادلات Diofant برای ساده سازی راه حل به طرز ماهرانه ای ناشناخته را انتخاب می کند.

در اینجا، به عنوان مثال، یکی از وظایف او.

وظیفه 11 "پیدا کردن دو عدد، دانستن اینکه مجموع آنها 20 است، و کار 96"

از این رو معادله:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - H. 2 = 96

h. 2 - 4 = 0 (1)

اگر ما این کار را انتخاب کنیم، انتخاب یکی از اعداد مورد نظر به عنوان ناشناخته، ما برای حل معادله خواهیم آمد

y (20 - y) \u003d 96،

w.2 - 20u + 96 \u003d 0. (2)

1.3 معادلات مربع در هند

اوه2 + بx \u003d s، a\u003e 0. (1)

در معادله (1) ضرایب به جز ولیممکن است منفی باشد قانون برماگتاپا اساسا با ما همخوانی دارد.

در اینجا یکی از وظایف معروف ریاضیات معروف هند XII است. باسکرا

وظیفه 13

"بیانیه میمون ها و دوازده نفر در لیانام ...

قدرت روبرو شدن، لذت بردن از آن. شروع به پریدن، حلق آویز ...

آنها در قسمت مربع هشتم هستند که چگونه بسیاری از میمون ها بودند

در گلدان سرگرم شد آیا به من بگویید، در این پشته؟ "

تصمیم باسکرا به این واقعیت شهادت می دهد که او در مورد دو برابر ریشه های معادلات مربع می دانست (شکل 3).

وظیفه مربوط به 13 معادله:

(ایکس./8) 2 + 12 = ایکس.

Bhaskara تحت پوشش قرار می نویسد:

h.2 - 64x \u003d -768

و برای تکمیل بخش چپ این معادله به مربع به هر دو قسمت اضافه می شود 32 2 ، گرفتن سپس:

h.2 - 64x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x - 32 \u003d ± 16،

h.1 \u003d 16، X2 = 48.

1.4 معادلات مربع در الخورزمی

1) "مربع ها ریشه ها هستند"، به عنوان مثال اوه2 + c \u003d.بایکس.

2) "مربع برابر با شماره"، به عنوان مثال اوه2 \u003d s

3) "ریشه ها برابر با عدد هستند"، به عنوان مثال ah \u003d s

4) "مربع ها و اعداد برابر با ریشه هستند"، به عنوان مثال اوه2 + c \u003d.بایکس.

5) "مربع ها و ریشه ها برابر با شماره هستند"، به عنوان مثال اوه2 + bx\u003d s

6) "ریشه ها و اعداد برابر با مربع هستند"، به عنوان مثالbx+ c \u003d ah2 .

الخورزمی، مانند تمام ریاضیات تا زمانی که XVIIV.، E به محلول صفر توجه می کند، احتمالا به این دلیل که در وظایف عملی خاصی مهم نیست. هنگام حل معادلات کامل مربع الگوریک در نمونه های عددی خصوصی، قوانین تصمیم گیری و سپس شواهد هندسی را تعیین می کند.

وظیفه 14 "مربع و شماره 21 برابر با 10 ریشه هستند. ریشه را پیدا کنید » (به معنای ریشه معادله x است2 + 21 \u003d 10x).

1.5 معادلات مربع در اروپاXIII- جونیورbb

Page_break -

قاعده کلی حل معادلات مربع به همان فرم کانونی:

h.2 + bx\u003d C،

برای همه نوع ترکیبی از علائم ضریب ب, از جانباین در اروپا تنها در سال 1544 M. Stiffel فرموله شد.

1.6 درباره قضیه Vieta

قضیه بیان رابطه بین ضرایب معادله مربع و ریشه های آن، که نام Vieta است، برای اولین بار در سال 1591 به شرح زیر است: "اگر ب+ D.ضربدر آ.- آ.2 خوب bdT. آ. به همان اندازه که در و برابر است D.».

(A +.ب) x - x2 = اب,

h.2 - (A +ب) x + aب= 0,

h.1 \u003d a، x2 = ب.

2. روش های حل معادلات مربع

1. روش : تجزیه قسمت چپ معادله کارخانه.

حل معادله

h.2 + 10x - 24 \u003d 0.

جابجایی سمت چپ عوامل:

h.2 + 10x - 24 \u003d x2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

در نتیجه، معادله را می توان بازنویسی کرد:

(x + 12) (x - 2) \u003d 0

2. روش : روش تخصیص یک مربع کامل.

حل معادله h.2 + 6x - 7 \u003d 0.

ما مربع کامل را در سمت چپ برجسته می کنیم.

برای انجام این کار، بیان X2 + 6X را در فرم زیر بنویسید:

h.2 + 6x \u003d x2 + 2 x 3.

در بیان نتیجه، اولین اصطلاح مربع تعداد اعداد است، و دوم یک محصول دوگانه X به 3. در این مورد برای دریافت مربع کامل، شما باید 32 را اضافه کنید، از آن زمان

x2 +. 2 x 3 + 32 \u003d (x + 3)2 .

ما اکنون قسمت چپ معادله را تغییر می دهیم

h.2 + 6x - 7 \u003d 0,

اضافه کردن آن و کم کردن 32. ما داریم:

h.2 + 6x - 7 \u003dx2 +. 2 x 3 + 32 - 3 2 - 7 \u003d (X + 3)2 - 9 - 7 \u003d (x + 3)2 - 16.

بنابراین، این معادله را می توان به عنوان:

(x + 3)2 - 16 \u003d 0، (x + 3)2 = 16.

از این رو، x + 3 - 4 \u003d 0، x1 \u003d 1، یا x + 3 \u003d -4، x2 = -7.

3. روش :راه حل معادلات مربع توسط فرمول.

هر دو بخش معادله را چند برابر کنید

اوه2 + بx + c \u003d 0، و ≠ 0

در 4A و به طور مداوم ما:

4A2 h.2 + 4A.بx + 4AS \u003d 0،

((2AH)2 + 2ب+ ب2 ) - ب2 + 4 قسم= 0,

(2ax + b)2 \u003d ب2 - 4AC،

2x + b \u003d ± √ b2 - 4AC،

2Ax \u003d - B ± √ b2 - 4AC،

مثال ها.

ولی)حل معادله: 4x2 + 7x + 3 \u003d 0.

a \u003d 4ب\u003d 7، c \u003d 3،D.= ب2 - 4 قسم= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D.> 0, دو ریشه متفاوت؛

بنابراین، در مورد یک تبعیض مثبت، I.E. برای

ب2 - 4 قسم>0 ، معادله اوه2 + بx + c \u003d 0این دو ریشه متفاوت دارد.

ب)حل معادله: 4x2 - 4x + 1 \u003d 0،

a \u003d 4ب\u003d - 4، c \u003d 1،D.= ب2 - 4 قسم= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D.= 0, یک ریشه؛

بنابراین، اگر تبعیض آمیز صفر باشد، I.E. ب2 - 4 قسم= 0 ، سپس معادله

اوه2 + بx + c \u003d 0تنها ریشه دارد

که در)حل معادله: 2x2 + 3x + 4 \u003d 0،

a \u003d 2ب\u003d 3، C \u003d 4،D.= ب2 - 4 قسم= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D.< 0.

ادامه
- page_break--

این معادله ریشه ندارد

بنابراین، اگر معجزه منفی باشد، I.E. ب2 - 4 قسم< 0 ,

معادله اوه2 + بx + c \u003d 0 این ریشه ندارد

فرمول (1) ریشه های معادله مربع اوه2 + بx + c \u003d 0 به شما اجازه می دهد ریشه ها را پیدا کنید هر کسی معادله مربع (در صورت وجود)، از جمله بالا و ناقص. فرمول معتبر (1) بیان شده است: ریشه های معادله مربع برابر با کسری است، عددی که برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است، به علاوه منهای مربع ریشه از مربع این ضریب بدون محصول پایدار از ضریب اول به عضو آزاد، و نامزدی دارای ضریب دوگانه است.

4. روش: حل معادلات با استفاده از قضیه Vieta.

همانطور که می دانید، معادله مربع کاهش یافته دارای فرم است

h.2 + pX+ c.= 0. (1)

ریشه های او تئوری Vieta را برآورده می کند که a \u003d 1 ظاهر دارد

/>ایکس.1 ایکس.2 = q.,

ایکس.1 + ایکس.2 = - پ.

از اینجا می توانید نتیجه های زیر را جلب کنید (با توجه به ضرایب P و Q شما می توانید علائم ریشه را پیش بینی کنید).

الف) اگر یک عضو تثبیت شده باشد q. معادله داده شده (1) مثبت است ( q.> 0 ) معادله دارای دو نشانه ریشه مشابه است و حسادت از ضریب دوم است پ.. اگر یک r< 0 سپس هر دو ریشه منفی هستند r< 0 ، هر دو ریشه مثبت هستند.

مثلا،

ایکس.2 – 3 ایکس.+ 2 = 0; ایکس.1 = 2 و ایکس.2 = 1, مانند q.= 2 > 0 و پ.= - 3 < 0;

ایکس.2 + 8 ایکس.+ 7 = 0; ایکس.1 = - 7 و ایکس.2 = - 1, مانند q.= 7 > 0 و پ.= 8 > 0.

ب) اگر یک عضو آزاد باشد q. معادله داده شده (1) منفی است ( q.< 0 ) معادله دارای دو نوع متفاوت در علامت ریشه است و ریشه بزرگتر در ماژول مثبت خواهد بود پ.< 0 یا منفی اگر پ.> 0 .

مثلا،

ایکس.2 + 4 ایکس.– 5 = 0; ایکس.1 = - 5 و ایکس.2 = 1, مانند q.= - 5 < 0 و پ.= 4 > 0;

ایکس.2 – 8 ایکس.– 9 = 0; ایکس.1 = 9 و ایکس.2 = - 1, مانند q.= - 9 < 0 و پ.= - 8 < 0.

5. روش: حل معادلات با روش "حمل و نقل".

معادله مربع را در نظر بگیرید

اوه2 + بx + c \u003d 0،جایی که ≠ 0.

ضرب هر دو بخش توسط یک، ما معادله را دریافت می کنیم

ولی2 h.2 + A.بx + ac \u003d 0.

بیایید آه \u003d تواز جانب! x \u003d y / a؛ سپس به معادله آمده

w.2 + توسط+ AC \u003d 0،

معادل این. ریشه های او w.1 و w.2 ما با کمک قضیه Vieta پیدا خواهیم کرد.

سرانجام دریافت

h.1 \u003d W.1 /ولیو h.1 \u003d W.2 /ولی.

مثال.

حل معادله 2x2 - 11x + 15 \u003d 0.

تصمیم گیری "ما یک ضریب 2 به یک عضو آزاد را انتقال خواهیم داد، زیرا نتیجه معادله را به دست می آوریم

w.2 - 11th + 30 \u003d 0.

با توجه به قضیه ویتنام

/>/>/>/>/>w.1 \u003d 5 x1 = 5/2 ایکس.1 = 2,5

w.2 = 6 ایکس.2 = 6/2 ایکس.2 = 3.

پاسخ: 2.5؛ 3

6. روش: خواص ضرایب معادله مربع.

ولی. اجازه دهید معادله مربع داده شود

اوه2 + بx + c \u003d 0،جایی که ≠ 0.

1) اگر، A +ب+ C \u003d 0 (به عنوان مثال، مجموع ضرایب صفر است)، سپس X1 = 1,

h.2 \u003d s / a

شواهد و مدارک. ما هر دو بخش معادله را بر روی ≠ 0 تقسیم می کنیم، ما معادله مربع کاهش یافته را به دست می آوریم

ایکس.2 + ب/ آ. ایکس.+ c./ آ.= 0.

/\u003e با توجه به قضیه Vieta

ایکس.1 + ایکس.2 = - ب/ آ.,

ایکس.1 ایکس.2 = 1 c./ آ..

با شرایط ولی -ب+ c \u003d 0،از جانب ب\u003d a + sبه این ترتیب،

/>ایکس.1 + X.2 = - ولی+ b / a \u003d -1 - c / a،

ایکس.1 ایکس.2 \u003d - 1 (- c / a)،

کسانی که. h.1 = -1 و h.2 = c./ آ.که من نیاز به اثبات

مثال ها.

حل معادله 345X2 - 137X - 208 \u003d 0.

تصمیم گیریمانند a +ب+ C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0)،که

h.1 \u003d 1، x2 = c./ آ.= -208/345.

پاسخ 1؛ -208/345

2) معادله راه حل 132X2 - 247x + 115 \u003d 0.

تصمیم گیریمانند a +ب+ C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0)،که

h.1 \u003d 1، x2 = c./ آ.= 115/132.

پاسخ 1؛ 115/132.

ب اگر ضریب دوم باشد ب= 2 k.- حتی تعداد، سپس فرمول ریشه

ادامه
- page_break--

مثال.

حل معادله 3x2 - 14x + 16 \u003d 0.

تصمیم. ما داریم: a \u003d 3ب\u003d - 14، c \u003d 16،k.= - 7 ;

D.= k.2 – قسم= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D.> 0, دو ریشه متفاوت؛

پاسخ: 2؛ 8/3

که در. معادله کاهش یافته

h.2 + RH +q.= 0

با معادله نمای کلی در آن منطبق است a \u003d 1, ب\u003d R.و c \u003d.q.. بنابراین، برای معادله مربع کاهش یافته از ریشه های فرمول

طول می کشد:

فرمول (3) به خصوص مناسب برای استفاده از زمانی است r- عدد زوج.

مثال.حل معادله h.2 - 14x - 15 \u003d 0.

تصمیم گیریما داریم: h.1,2 \u003d 7 ±

پاسخ: H.1 \u003d 15؛ H.2 = -1.

7. روش: راه حل گرافیکی معادله مربع.

اگر در معادله

h.2 + pX+ q.= 0

اعضای دوم و سوم را در سمت راست انتقال دهید، سپس دریافت می کنیم

h.2 = - pX- q..

ما نمودار های وابستگی Y \u003d x2 و y \u003d - px-q را ساختیم.

اولین برنامه وابستگی Parabola است که از طریق منشاء مختصات عبور می کند. نمودار وابستگی دوم -

راست (شکل 1). موارد زیر ممکن است:

مستقیم و پارابولا می تواند در دو نقطه تقاطع، سوء استفاده از نقاط تقاطع، ریشه های نسبت چهار است؛

مستقیم و پارابولا می تواند لمس (تنها یک نقطه مشترک)، به عنوان مثال معادله یک راه حل دارد؛

مستقیم و پارابولا نقاط مشترک ندارند، به عنوان مثال معادله مربع ریشه ندارد

مثال ها.

1) معادله بزرگ h.2 - 3x - 4 \u003d 0(شکل 2).

تصمیم گیریما یک معادله را در فرم بنویسیم h.2 \u003d 3x + 4.

بیایید یک پارابولا بسازیم y \u003d x2 و مستقیم y \u003d 3x + 4. سر راست

y \u003d 3x + 4می تواند بر روی دو نقطه ساخته شود متر (0؛ 4)و

n.(3; 13) . مستقیم و پارابولا در دو نقطه تقاطع می شوند

ولیو که دربا سوء استفاده h.1 = - 1 و h.2 = 4 . پاسخ : H.1 = - 1;

h.2 = 4.

2) مقاوم در برابر معادله گرافیکی (شکل 3) h.2 - 2x + 1 \u003d 0.

تصمیم گیریما یک معادله را در فرم بنویسیم h.2 \u003d 2x - 1.

بیایید یک پارابولا بسازیم y \u003d x2 و راست y \u003d 2x - 1.

سر راست y \u003d 2x - 1ساخت دو نقطه متر (0؛ - 1)

و n.(1/2; 0) . مستقیم و parabola در نقطه تقاطع ولیاز جانب

اوکیسا x \u003d 1. پاسخ: x \u003d 1

3) معادله بزرگ h.2 - 2x + 5 \u003d 0(شکل 4).

تصمیم گیریما یک معادله را در فرم بنویسیم h.2 \u003d 5x - 5. بیایید یک پارابولا بسازیم y \u003d x2 و مستقیم y \u003d 2x - 5. سر راست y \u003d 2x - 5ما در کنار دو نقطه m (0؛ - 5) و n (2.5؛ 0) ساختیم. مستقیم و پارابولا نقاط تقاطع ندارند، I.E. این معادله ریشه ندارد

پاسخ. معادله h.2 - 2x + 5 \u003d 0 هیچ ریشه ای ندارد

8. روش: حل معادلات مربع با گردش و حاکم.

من روش زیر را پیشنهاد می کنم که ریشه های معادله مربع را پیدا کنم اوه2 + بx + c \u003d 0با کمک گردش و حاکم (شکل 5).

فرض کنید که دایره مورد نظر از محور عبور می کند

abscissa در نقاط در (x.1 ; 0) و D.(H.2 ; 0), جایی که h.1 و h.2 - ریشه های معادله اوه2 + بx + c \u003d 0و از طریق نقاط عبور می کند

a (0؛ 1)و C (0؛c./ آ.) در محور Ordinate. سپس، توسط قضیه در توالی ما ob. od.= oa OC.از جانب! OC.= ob. od./ oa\u003d H.1 h.2 / 1 = c./ آ..

مرکز دایره در نقطه تقاطع عمود بر عمق واقع شده است sfو skدر وسط وتر بازسازی شده است قسمو bd، بنابراین

1) ساخت نقاط (مرکز دایره) و آ.(0; 1) ;

2) ما یک دایره را با شعاع انجام می دهیم sa;

3) نقاط Abscissa از تقاطع این دایره با محور اوه ریشه های معادله مربع اصلی هستند.

این امکان وجود دارد سه مورد.

1) شعاع دایره مرکز واحد (مانند> sk، یاR.> آ.+ c./2 آ.) ، دایره از محور آه در دو نقطه عبور می کند (شکل 6، الف) در (x.1 ; 0) و D.(H.2 ; 0) جایی که h.1 و h.2 - ریشه های معادله مربع اوه2 + بx + c \u003d 0.

2) شعاع دایره برابر با مرکز ارشد است (مانند= sb، یاR.= آ.+ c./2 آ.) ، دایره مربوط به محور آه (شکل 6، ب) در نقطه در (x.1 ; 0) جایی که x1 ریشه میدان مربع است.

ادامه
- page_break--

مثال.

حل معادله h.2 - 2x - 3 \u003d 0(شکل 7).

تصمیم گیریما مختصات مرکز مرکز مرکز را تعریف می کنیم:

ما دایره شعاع SA را انجام می دهیم، جایی که A (0؛ 1).

پاسخ:h.1 \u003d - 1؛ H.2 = 3.

9. روش: حل معادلات مربع با نامزد.

جدول xxii Nomogram برای حل معادله z.2 + pz+ q.= 0 . این نامزدی اجازه می دهد بدون حل معادله مربع، با ضریب آن برای تعیین ریشه های معادله، اجازه می دهد.

مقیاس منحنی نوموگرام توسط فرمول ها ساخته شده است (شکل 11):

معتقد OS \u003d P،ادا= q.، o \u003d a (همه در سانتی متر)، از شباهت مثلث سان و CDF ما یک نسبت داریم

از کجا پس از جایگزینی و ساده سازی معادله را دنبال کنید

z.2 + pz+ q.= 0,

علاوه بر این، نامه z.به معنی یک برچسب از هر نقطه از مقیاس انحصاری است.

مثال ها.

1) برای معادله z.2 - 9 z.+ 8 = 0 نوموگرام ریشه ها را می دهد

z.1 = 8,0 و z.2 = 1,0 (شکل 12).

2) ارزش با استفاده از یک نامزد

2 z.2 - 9 z.+ 2 = 0.

ما ضرایب این معادله را با 2 تقسیم می کنیم، معادله را به دست می آوریم

z.2 - 4,5 z.+ 1 = 0.

نوموگرام ریشه ها را می دهد z.1 = 4 و z.2 = 0,5.

3) برای معادله

z.2 - 25 z.+ 66 = 0

ضرایب P و Q فراتر از مقیاس مقیاس، جایگزینی را انجام می دهند z.= 5 t.، من معادله را دریافت می کنم

t.2 - 5 t.+ 2,64 = 0,

که ما نامزد را حل می کنیم و دریافت می کنیم t.1 = 0,6 و t.2 = 4,4, از جانب z.1 = 5 t.1 = 3,0 و z.2 = 5 t.2 = 22,0.

10. روش: روش هندسی حل معادلات مربع.

مثال ها.

1) حل معادله h.2 + 10x \u003d 39.

در اصل، این وظیفه به صورت زیر فرموله شده است: "مربع و ده ریشه 39 ساله هستند (شکل 15).

تصمیم گیریمربع را از طرف X در نظر بگیرید، مستطیل ها بر روی احزاب آن ساخته شده اند تا طرف دیگر هر یک از آنها 2.5 باشد، بنابراین هر منطقه 2.5 برابر است. شکل نتیجه سپس به یک مربع جدید ABCD تکمیل می شود، تکمیل چهار مربع مساوی در گوشه ها، طرف هر یک از آنها 2.5 است، و منطقه 6.25 است.

حوزه S.مربع آ ب پ ت.می تواند به عنوان مجموع مربع نشان داده شود: مربع اصلی h.2 ، چهار مستطیل (4 2.5x \u003d 10x)و چهار مربع متصل (6,25 4 = 25) . S.= h.2 + 10x + 25.جایگزینی

h.2 + 10xعدد 39 ، گرفتم S.= 39 + 25 = 64 جایی که آن را از طرف مربع دنبال می کند آ ب پ ت.. بخش AB \u003d 8. برای طرف مورد نظر h.میدان اولیه دریافت کنید

2) اما، به عنوان مثال، به عنوان یونانیان باستان معادله را حل کرد w.2 + 6th - 16 \u003d 0.

تصمیمارائه شده در شکل. 16، کجا

w.2 + 6 \u003d 16، یا2 + 6U + 9 \u003d 16 + 9.

تصمیم گیری اصطلاحات w.2 + 6U + 9 و 16 + 9 هندسی همان مربع را تشکیل می دهد، و معادله اولیه w.2 + 6th - 16 + 9 - 9 \u003d 0 - همان معادله کجا و آن را دریافت کنید y + 3 \u003d ± 5، یا w.1 \u003d 2،2 = - 8 (شکل 16).

3) حل معادله هندسی w.2 - 6th - 16 \u003d 0.

تبدیل معادله، دریافت

w.2 - 6 \u003d 16

در شکل 17 پیدا کردن "تصاویر" عبارات w.2 - 6th،کسانی که. از مربع مربع سمت، مربع مربع از طرف طرف کم است 3 . بنابراین اگر برای بیان w.2 - 6Uاضافه کردن 9 ، سپس مربع مربع را با طرف به دست می آوریم y - 3.. جایگزینی بیان w.2 - 6Uبرابر با شماره 16،

ما گرفتیم: (y - 3)2 = 16 + 9, کسانی که. y - 3 \u003d ± √25، یا y - 3 \u003d ± 5، جایی که w.1 = 8 و w.2 = - 2.

نتیجه

در اینجا من به سوال حل معادلات مربع متوقف شدم، و چه،

ادبیات:

1. Alimov S.A.، Ilyin v.A. و دیگران جبر، 6-8. آموزش آزمایشی برای دبیرستان 6-8 کلاس. - M.، روشنگری، 1981.

2. bradis v.m. جداول ریاضی چهار رقمی برای مدرسه متوسطه. 57 - M.، روشنگری، 1990. ص 83.

3. Krozhapov A.K.، Rubanov A.T. مشکل در جبر و توابع ابتدایی. آموزش برای موسسات آموزشی ویژه ثانویه. - M.، مدرسه عالی، 1969.

4. Okunev A.K. توابع درجه دوم، معادلات و نابرابری. راهنمای معلم - M.، روشنگری، 1972.

5. Presman A.A. حل معادله مربع با یک گردش و یک حاکم. - M.، Kvant، شماره 4/72. ص 34.

6. Solomnik V.S.، Milov P.i. مجموعه سوالات و وظایف در ریاضیات. اد. - 4، علاوه بر این. - M.، مدرسه عالی، 1973.

7. خدوبین A.I. مجموعه وظایف جبر و توابع ابتدایی. راهنمای معلم اد. دوم - M.، روشنگری، 1970.