اطلاعات اولیه در مورد عبارات منطقی و تبدیل آنها. تبدیل عبارات گویا عبارات گویا کسری مثال هایی با راه حل

اول از همه، برای یادگیری نحوه کار با کسرهای گویا بدون خطا، باید فرمول های ضرب اختصاری را یاد بگیرید. و نه فقط برای یادگیری - آنها باید حتی زمانی که سینوس ها، لگاریتم ها و ریشه ها به عنوان اصطلاح عمل می کنند، شناسایی شوند.

با این حال، ابزار اصلی، فاکتورگیری از صورت و مخرج یک کسر گویا است. این امر به سه روش مختلف قابل دستیابی است:

در واقع، طبق فرمول ضرب اختصاری: آنها به شما امکان می دهند یک چند جمله ای را به یک یا چند عامل تقسیم کنید.
با فاکتورگیری یک مثلث مربع به عوامل از طریق ممیز. همین روش این امکان را فراهم می‌کند تا بررسی شود که هیچ سه جمله‌ای به هیچ وجه نمی‌تواند فاکتورسازی شود.
روش گروه‌بندی پیچیده‌ترین ابزار است، اما تنها روشی است که اگر دو روش قبلی کار نمی‌کردند، کار می‌کند.

همانطور که احتمالاً از عنوان این ویدیو حدس زده اید، ما دوباره در مورد کسرهای گویا صحبت خواهیم کرد. به معنای واقعی کلمه چند دقیقه پیش، من یک درس را با یک دانش آموز دهم تمام کردم و در آنجا دقیقاً این عبارات را تجزیه و تحلیل کردیم. بنابراین، این درس به طور خاص برای دانش آموزان دبیرستانی در نظر گرفته شده است.

مطمئناً بسیاری اکنون این سؤال را خواهند داشت: "چرا دانش آموزان کلاس های 10-11 چیزهای ساده ای مانند کسرهای گویا را یاد می گیرند، زیرا این کار در کلاس 8 انجام می شود؟". اما مشکل این است که بیشتر مردم فقط از این موضوع "گذر می کنند". در کلاس های 10-11، آنها دیگر به یاد نمی آورند که چگونه ضرب، تقسیم، تفریق و جمع کسرهای گویا از کلاس 8 انجام می شود، و بر اساس همین دانش ساده است که ساختارهای پیچیده تری مانند حل معادلات لگاریتمی، مثلثاتی ساخته می شود. و بسیاری از عبارات پیچیده دیگر، بنابراین عملاً هیچ کاری در دبیرستان بدون کسرهای منطقی وجود ندارد.

فرمول های حل مسائل

بریم به کسب و کار برسیم. اول از همه، ما به دو واقعیت نیاز داریم - دو مجموعه فرمول. اول از همه، شما باید فرمول های ضرب اختصاری را بدانید:

$((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ اختلاف مربع هاست.
$((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \راست))^(2))$ مربع مجموع یا تفاوت است ;
$((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ مجموع مکعب ها است.
$((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \راست)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ تفاوت مکعب ها است.

در شکل خالص خود در هیچ نمونه و در عبارات جدی واقعی یافت نمی شوند. بنابراین، وظیفه ما این است که یاد بگیریم ساختارهای بسیار پیچیده تری را زیر حروف $a$ و $b$ ببینیم، به عنوان مثال، لگاریتم، ریشه، سینوس و غیره. فقط با تمرین مداوم می توان آن را یاد گرفت. به همین دلیل است که حل کسرهای گویا کاملاً ضروری است.

دومین فرمول کاملاً واضح، فاکتورسازی یک مثلث مربع است:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ ریشه هستند.

به بخش تئوری پرداختیم. اما چگونه می توان کسرهای گویا واقعی را که در کلاس 8 در نظر گرفته شده است حل کرد؟ حالا میریم تمرین.

وظیفه شماره 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9(((a)^ (2))+12ab+16((ب)^(2)))(((ب)^(2))+4b+4)\]

بیایید سعی کنیم فرمول های بالا را برای حل کسرهای گویا اعمال کنیم. اول از همه، می خواهم توضیح دهم که چرا اصلاً فاکتورسازی لازم است. واقعیت این است که در نگاه اول به قسمت اول کار، من می خواهم مکعب را با مربع کاهش دهم، اما این کاملا غیرممکن است، زیرا آنها عبارت هستند در صورت و در مخرج، اما در هیچ موردی فاکتور نیستند. .

مخفف دقیقا چیست؟ کاهش استفاده از قانون اساسی برای کار با چنین عباراتی است. خاصیت اصلی کسر این است که می توانیم صورت و مخرج را در عددی غیر از "صفر" ضرب کنیم. در این مورد، وقتی کاهش می دهیم، برعکس، بر همان عددی غیر از "صفر" تقسیم می کنیم. با این حال، ما باید تمام عبارت های مخرج را بر یک عدد تقسیم کنیم. شما نمی توانید این کار را انجام دهید. و فقط زمانی حق داریم که صورت را با مخرج کاهش دهیم. بیایید آن را انجام دهیم.

اکنون باید ببینید چند عبارت در یک عنصر خاص وجود دارد، مطابق با این، دریابید که از کدام فرمول باید استفاده کنید.

بیایید هر عبارت را به یک مکعب دقیق تبدیل کنیم:

بیایید کسر را دوباره بنویسیم:

\[((\left(3a \راست))^(3))-((\left(4b \راست))^(3))=\left(3a-4b \راست)\چپ(((\چپ (3a \راست))^(2))+3a\cdot 4b+((\چپ(4b \راست))^(2)) \راست)\]

بیایید به مخرج نگاه کنیم. ما آن را با توجه به فرمول تفاوت مربع ها گسترش می دهیم:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\چپ(b-2 \راست)\چپ(b+2 \ درست)\]

حال به قسمت دوم عبارت نگاه می کنیم:

صورت کسر:

باقی مانده است که با مخرج کار کنیم:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\چپ(b+2 \راست))^(2))\]

بیایید کل ساخت و ساز را با در نظر گرفتن حقایق بالا بازنویسی کنیم:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \راست))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \راست))^(2 (( ((\left(3a \راست))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \راست))^(2)))=\]

\[=\frac(\چپ(3a-4b \راست)\چپ(b+2 \راست))(\چپ(b-2 \راست))\]

تفاوت های ظریف ضرب کسرهای گویا

نتیجه کلیدی از این ساخت و سازها به شرح زیر است:

هر چند جمله ای را نمی توان فاکتور گرفت.
حتی اگر تجزیه شده باشد، باید به دقت نگاه کرد که کدام فرمول خاص برای ضرب اختصاری است.

برای انجام این کار، ابتدا باید تعداد عبارت‌ها را تخمین بزنیم (اگر دو عبارت وجود دارد، تنها کاری که می‌توانیم انجام دهیم این است که آنها را با مجموع اختلاف مربع‌ها یا با مجموع یا اختلاف مکعب‌ها بسط دهیم؛ و اگر سه مورد از آنها وجود دارد، سپس این، به طور منحصر به فرد، یا مربع مجموع یا مربع تفاوت). اغلب اتفاق می افتد که یا صورت یا مخرج اصلاً نیازی به فاکتورگیری ندارد، می تواند خطی باشد یا ممیز آن منفی باشد.

وظیفه شماره 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

به طور کلی، طرح حل این مشکل با قبلی تفاوتی ندارد - به سادگی اقدامات بیشتری وجود خواهد داشت و متنوع تر می شوند.

بیایید با کسر اول شروع کنیم: به صورت‌گر آن نگاه کنید و تبدیل‌های ممکن را انجام دهید:

حال به مخرج نگاه می کنیم:

با کسر دوم: اصلاً هیچ کاری در صورتگر نمی توان انجام داد، زیرا یک عبارت خطی است و نمی توان هیچ عاملی را از آن خارج کرد. بیایید به مخرج نگاه کنیم:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\چپ(x-2 \راست ))^(2))\]

به کسری سوم می رویم. صورت کسر:

بیایید به مخرج آخرین کسر بپردازیم:

بیایید عبارت را با در نظر گرفتن حقایق بالا بازنویسی کنیم:

\[\frac(3\left(1-2x \راست))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \راست))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \راست))^(2))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \راست))(\چپ(2x-1 \راست)\چپ(2x+1 \راست))=\]

\[=\frac(-3)(2\چپ(2-x \راست))=-\frac(3)(2\ چپ(2-x \راست))=\frac(3)(2\چپ (x-2 \راست))\]

تفاوت های ظریف راه حل

همانطور که می بینید، نه همه چیز و نه همیشه بر روی فرمول های ضرب اختصاری استوار است - گاهی اوقات فقط کافی است یک ثابت یا یک متغیر را در پرانتز قرار دهید. با این حال، وضعیت برعکس نیز وجود دارد، زمانی که اصطلاحات زیادی وجود دارد یا به گونه ای ساخته شده اند که فرمول ضرب اختصاری آنها به طور کلی غیرممکن است. در این مورد، یک ابزار جهانی به کمک ما می آید، یعنی روش گروه بندی. این همان چیزی است که اکنون در مسئله بعدی اعمال خواهیم کرد.

وظیفه شماره 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a )^(2))-((ب)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((ب)^(2)))\]

بیایید نگاهی به قسمت اول بیندازیم:

\[((a)^(2))+ab=a\left(a+b \راست)\]

\[=5\left(ab \right)-\left(ab \right)\left(a+b \right)=\left(ab \right)\left(5-1\left(a+b \راست )\راست)=\]

\[=\چپ(a-b \راست)\چپ(5-a-b \راست)\]

بیایید عبارت اصلی را بازنویسی کنیم:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(ab \راست)\left(5-ab \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (ب)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((ب)^(2)))\]

حال به براکت دوم می پردازیم:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \راست)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \راست))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \درست)\]

از آنجایی که دو عنصر را نمی توان گروه بندی کرد، سه عنصر را گروه بندی کردیم. باقی مانده است که فقط با مخرج کسری آخر سر و کار داشته باشیم:

\[((a)^(2))-((ب)^(2))=\چپ(a-b \راست)\چپ(a+b \راست)\]

حالا بیایید کل ساختار خود را بازنویسی کنیم:

\[\frac(a\left(a+b \راست))(\left(ab \راست)\left(5-ab \راست))\cdot \frac(\left(a-5-b \راست) \left(a-5+b \right))(\left(ab \راست)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \راست))(( \left(ab \راست))^(2)))\]

مشکل حل شده است و هیچ چیز دیگری را نمی توان در اینجا ساده کرد.

تفاوت های ظریف راه حل

ما گروه بندی را کشف کردیم و ابزار بسیار قدرتمند دیگری را بدست آوردیم که امکانات فاکتورسازی را افزایش می دهد. اما مشکل این است که در زندگی واقعی هیچ کس به ما چنین مثال های دقیقی نمی دهد که در آن چندین کسری وجود دارد که فقط باید در صورت و مخرج فاکتور گرفته شود و سپس، در صورت امکان، آنها را کاهش دهیم. عبارات واقعی بسیار پیچیده تر خواهد بود.

به احتمال زیاد، علاوه بر ضرب و تقسیم، تفریق و جمع، انواع براکت ها وجود خواهد داشت - به طور کلی، شما باید ترتیب اقدامات را در نظر بگیرید. اما بدترین چیز این است که هنگام تفریق و جمع کسری با مخرج های مختلف، آنها باید به یک مشترک کاهش یابند. برای انجام این کار، هر یک از آنها باید به عوامل تجزیه شوند، و سپس این کسرها تبدیل می شوند: موارد مشابه و موارد دیگر را ارائه دهید. چگونه می توان آن را به درستی، سریع انجام داد و در عین حال پاسخ صحیح را بدون ابهام دریافت کرد؟ این همان چیزی است که اکنون با استفاده از مثال ساخت زیر در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

وظیفه شماره 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \راست)\]

بیایید کسر اول را بنویسیم و سعی کنیم آن را جداگانه بررسی کنیم:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \راست))(x)\]

بریم سراغ دومی. بیایید ممیز مخرج را محاسبه کنیم:

فاکتوریزه نمی شود، بنابراین موارد زیر را می نویسیم:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \راست))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\چپ(x+3 \راست)\چپ(((x)^(2))-3x+9 \راست)) \]

صورتگر را جداگانه می نویسیم:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

بنابراین نمی توان این چند جمله ای را فاکتور گرفت.

حداکثر کاری که می توانستیم انجام دهیم و تجزیه کنیم، قبلاً انجام داده ایم.

در مجموع، ما ساختار اصلی خود را بازنویسی می کنیم و دریافت می کنیم:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \راست)\left(((x)^(2))-3x+9 \راست))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

همه چیز، کار حل شده است.

صادقانه بگویم، کار چندان دشواری نبود: همه چیز به راحتی در آنجا فاکتور می شد، اصطلاحات مشابه به سرعت ارائه می شد و همه چیز به زیبایی کاهش می یافت. پس حالا بیایید سعی کنیم مشکل را جدی تر حل کنیم.

کار شماره 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \راست)\]

ابتدا به پرانتز اول می پردازیم. از همان ابتدا، مخرج کسر دوم را جداگانه فاکتور می کنیم:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\چپ(x-2 \راست)\چپ(((x) ^(2))+2x+4 \راست)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\چپ(x-2 \راست)\ چپ (((x)^(2))+2x+4 \راست))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \راست))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\چپ(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \راست))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\چپ(x-2 \راست)\چپ(((x)^(2))+2x+4 \راست)) =\frac(((\left(x-2 \راست))^(2)))(\left(x-2 \راست)\left(((x)^(2))+2x+4 \راست ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

حالا بیایید با کسر دوم کار کنیم:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ چپ(x-2 \راست))(\چپ(x-2 \راست)\چپ(x+2 \راست))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\چپ(x-2 \راست)\چپ(x+2 \راست))\]

ما به طرح اصلی خود باز می گردیم و می نویسیم:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \راست)\چپ(x+2 \راست))=\frac(1)(x+2)\]

امتیاز کلیدی

بار دیگر، حقایق کلیدی آموزش ویدیویی امروز:

شما باید "از روی قلب" فرمول های ضرب اختصاری را بدانید - و نه فقط بدانید، بلکه بتوانید در آن عباراتی که در مشکلات واقعی با آنها روبرو خواهید شد، ببینید. یک قانون فوق العاده می تواند در این مورد به ما کمک کند: اگر دو عبارت وجود دارد، این یا تفاوت مربع ها است، یا تفاوت یا مجموع مکعب ها. اگر سه باشد، فقط می تواند مجذور مجموع یا تفاوت باشد.
اگر هر ساختاری را نمی توان با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری تجزیه کرد، یا فرمول استاندارد برای فاکتورگیری سه جمله ای ها به فاکتور یا روش گروه بندی به کمک ما می آید.
اگر چیزی درست نشد، با دقت به عبارت اصلی نگاه کنید - و اینکه آیا اصلاً تغییری در آن لازم است یا خیر. شاید فقط بیرون آوردن ضریب از براکت کافی باشد، و این اغلب فقط یک ثابت است.
در عبارات پیچیده که باید چندین عمل را پشت سر هم انجام دهید، فراموش نکنید که به یک مخرج مشترک بیاورید، و تنها پس از آن، زمانی که همه کسرها به آن کاهش یافت، حتما همان را در صورت‌دهنده جدید بیاورید، و سپس دوباره شمارنده جدید را فاکتور کنید - ممکن است - کاهش یابد.

این تمام چیزی است که امروز می خواستم در مورد کسرهای گویا به شما بگویم. اگر چیزی واضح نیست، هنوز تعداد زیادی آموزش ویدیویی در سایت وجود دارد و همچنین وظایف زیادی برای یک راه حل مستقل وجود دارد. پس با ما بمانید

در درس قبل، مفهوم عبارت منطقی قبلاً معرفی شده بود، در درس امروز به کار با عبارات عقلانی ادامه می دهیم و روی تبدیل آنها تمرکز می کنیم. با استفاده از مثال‌های خاص، روش‌هایی را برای حل مسائل مربوط به تبدیل عبارات عقلانی و اثبات هویت‌های مرتبط با آنها در نظر خواهیم گرفت.

موضوع:کسرهای جبری عملیات حسابی بر روی کسرهای جبری

درس:تبدیل عبارات گویا

اجازه دهید ابتدا تعریف یک عبارت عقلانی را یادآوری کنیم.

تعریف.گویااصطلاح- یک عبارت جبری که حاوی ریشه نیست و فقط شامل عملیات جمع، تفریق، ضرب و تقسیم (توان) می شود.

منظور ما از اصطلاح «تبدیل یک بیان عقلانی»، اولاً ساده سازی آن است. و این به ترتیب اقدامات شناخته شده برای ما انجام می شود: اول، اقدامات در پرانتز، سپس حاصل ضرب اعداد(توان سازی)، تقسیم اعداد، و سپس عملیات جمع / تفریق.

هدف اصلی درس امروز کسب تجربه در حل مسائل پیچیده تر ساده سازی عبارات منطقی خواهد بود.

مثال 1

راه حل.در ابتدا ممکن است به نظر برسد که این کسرها را می توان کاهش داد، زیرا عبارات در اعداد کسرها بسیار شبیه فرمول های مجذورات کامل مخرج متناظر آنها است. در این مورد، مهم است که عجله نکنید، بلکه به طور جداگانه بررسی کنید که آیا این چنین است.

بیایید صورت کسر اول را بررسی کنیم: . حالا عدد دوم: .

همانطور که می بینید، انتظارات ما توجیه نشد، و عبارات در اعداد، مربع کامل نیستند، زیرا آنها دو برابر شدن حاصل را ندارند. به این گونه عبارات، اگر درس کلاس هفتم را به خاطر بیاوریم، مربع های ناقص نامیده می شوند. در چنین مواردی باید بسیار مراقب باشید، زیرا اشتباه گرفتن فرمول مربع کامل با فرمول ناقص یک اشتباه بسیار رایج است و چنین مثال هایی دقت دانش آموز را محک می زند.

از آنجایی که کاهش غیرممکن است، جمع کسرها را انجام خواهیم داد. مخرج ها فاکتورهای مشترکی ندارند، بنابراین به سادگی ضرب می شوند تا کمترین مخرج مشترک را به دست آورند و عامل اضافی برای هر کسری، مخرج کسر دیگر است.

البته پس از آن می توانید پرانتزها را باز کنید و سپس عبارت های مشابه را بیاورید، اما در این صورت می توانید با تلاش کمتری از پس آن بر بیایید و متوجه شوید که در صورتحساب جمله اول فرمول مجموع مکعب ها است و دومی تفاوت مکعب ها برای راحتی، این فرمول ها را به شکل کلی یادآوری می کنیم:

در مورد ما، عبارات در صورت حساب به صورت زیر تا می شوند:

, عبارت دوم مشابه است. ما داریم:

پاسخ..

مثال 2ساده سازی بیان منطقی .

راه حل.این مثال مشابه نمونه قبلی است، اما بلافاصله مشخص می شود که مربع های ناقصی در شمارندگان کسرها وجود دارد، بنابراین کاهش در مرحله اولیه حل غیرممکن است. مانند مثال قبلی، کسرها را اضافه می کنیم:

در اینجا، مشابه روشی که در بالا نشان داده شد، عبارات را با توجه به فرمول‌های مجموع و تفاضل مکعب‌ها متوجه و جمع‌کردیم.

پاسخ..

مثال 3بیان منطقی را ساده کنید.

راه حل.می بینید که مخرج کسر دوم بر اساس فرمول مجموع مکعب ها به عواملی تجزیه می شود. همانطور که قبلاً می دانیم، فاکتورگیری مخرج ها برای یافتن کمترین مخرج مشترک کسرها مفید است.

کمترین مخرج مشترک کسرها را نشان می دهیم، برابر است با:، چون بر مخرج کسر سوم تقسیم می شود و عبارت اول عموما یک عدد صحیح است و هر مخرجی برای آن مناسب است. با اشاره به عوامل اضافی آشکار، می نویسیم:

پاسخ.

مثال پیچیده تری را با کسرهای "چند طبقه" در نظر بگیرید.

مثال 4هویت همه مقادیر مجاز متغیر را ثابت کنید.

اثباتبرای اثبات این هویت، سعی می کنیم سمت چپ آن (پیچیده) را به شکل ساده ای که از ما نیاز است، ساده سازی کنیم. برای این کار تمام اعمال را با کسری در صورت و مخرج انجام می دهیم و سپس کسرها را تقسیم کرده و نتیجه را ساده می کنیم.

برای تمام مقادیر قابل قبول متغیر ثابت شد.

اثبات شده است.

در درس بعدی، نمونه های پیچیده تر تبدیل عبارات منطقی را با دقت بیشتری بررسی خواهیم کرد.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. باشماکوف M.I. جبر کلاس هشتم. - م.: روشنگری، 2004.

2. Dorofeev G.V.، Suvorova S.B.، Bunimovich E.A. و همکاران جبر 8. - ویرایش پنجم. - م.: آموزش و پرورش، 2010.

3. نیکولسکی اس. ام.، پوتاپوف ام.آ.، رشتنیکوف ن.ن.، شوکین آ.و. جبر کلاس هشتم. کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی. - م.: آموزش و پرورش، 1385.

2. توسعه درس، ارائه ها، یادداشت های کلاس ().

مشق شب

1. شماره 96-101. Dorofeev G.V.، Suvorova S.B.، Bunimovich E.A. و همکاران جبر 8. - ویرایش پنجم. - م.: آموزش و پرورش، 2010.

2. عبارت را ساده کنید .

3. عبارت را ساده کنید.

4. اثبات هویت.

درس و ارائه با موضوع: "تحول عبارات منطقی. نمونه هایی از حل مسئله"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، انتقادات، پیشنهادات خود را فراموش نکنید. تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی می شود.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه هشتم
راهنمای کتاب درسی Muravina G.K. راهنمای کتاب درسی Makarychev Yu.N.

مفهوم بیان عقلانی

مفهوم «بیان عقلانی» مشابه مفهوم «کسره عقلی» است. این عبارت به صورت کسری نیز نمایش داده می شود. فقط در شمارنده های ما اعداد نیست، بلکه انواع عبارات هستند. اغلب این یک چند جمله ای است. کسر جبری یک عبارت کسری است که از اعداد و متغیرها تشکیل شده است.

هنگام حل بسیاری از مسائل در مقاطع ابتدایی، پس از انجام عملیات حسابی، مقادیر عددی خاص، اغلب کسری را دریافت کردیم. حال پس از انجام عملیات، کسرهای جبری را دریافت خواهیم کرد. بچه ها، به یاد داشته باشید: برای دریافت پاسخ صحیح، باید عبارتی را که با آن کار می کنید تا حد امکان ساده کنید. شخص باید کمترین مدرک ممکن را بگیرد. عبارات یکسان در صورت و مخرج باید کاهش یابد. با عباراتی که می توانند جمع شوند، باید این کار را انجام دهید. یعنی بعد از انجام یک سری اعمال باید ساده ترین کسر جبری ممکن را بدست آوریم.

ترتیب عملیات با عبارات منطقی

روال انجام عملیات با عبارات گویا مانند عملیات حسابی است. ابتدا عملیات داخل پرانتز انجام می شود، سپس ضرب و تقسیم، توان و در نهایت جمع و تفریق انجام می شود.

برای اثبات هویت به معنای نشان دادن این است که برای تمام مقادیر متغیرها، سمت راست و چپ برابر است. نمونه های زیادی برای اثبات هویت وجود دارد.

روشهای اصلی برای حل هویت عبارتند از:

سمت چپ را با سمت راست برابر کنید.
سمت راست را با سمت چپ برابر کنید.
سمت چپ و راست را به طور جداگانه تغییر دهید تا یک عبارت به دست آید.
سمت راست از سمت چپ کم می شود و نتیجه باید صفر باشد.

دگرگونی عبارات عقلانی. نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1
اثبات هویت:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

راه حل.
بدیهی است که ما باید سمت چپ را تغییر دهیم.
بیایید ابتدا پرانتز را انجام دهیم:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1) )(5a-1))$

لازم است سعی شود ضریب های مشترک را حداکثر تا حد ممکن خارج کرد.
2) بیایید عبارتی را که با آن تقسیم می کنیم تبدیل کنیم:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) ) دلار

.
3) عملیات تقسیم را انجام دهید:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) عملیات جمع را انجام دهید:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

قسمت راست و چپ مطابقت داشت. پس هویت ثابت می شود.
بچه ها، هنگام حل این مثال، ما به دانش بسیاری از فرمول ها و عملیات نیاز داشتیم. می بینیم که بعد از تبدیل، عبارت بزرگ به یک عبارت کاملا کوچک تبدیل شد. هنگام حل تقریباً همه مسائل، تبدیل ها معمولاً به عبارات ساده منجر می شوند.

مثال 2
عبارت را ساده کنید:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

راه حل.
بیایید با اولین براکت شروع کنیم.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. براکت های دوم را تبدیل می کنیم.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((ab )(a+b))=\frac(a(ab)-a^2)((ab)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. بیایید تقسیم را انجام دهیم.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((ab)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((ab)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

پاسخ: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

مثال 3
این مراحل را دنبال کنید:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

راه حل.
مثل همیشه با پرانتز شروع کنید.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. حالا بیایید تقسیم را انجام دهیم.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. اجازه دهید از ویژگی: $(4-k)^2=(k-4)^2$ استفاده کنیم.
4. عمل تفریق را انجام می دهیم.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

همانطور که قبلاً گفتیم، لازم است کسر را تا حد امکان ساده کنیم.
پاسخ: $\frac(k)(k-4)$.

وظایف برای راه حل مستقل

1. اثبات هویت:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. عبارت را ساده کنید:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. مراحل زیر را دنبال کنید:

$(\frac(ab)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((ab)(a+b))+\frac(ab)((ab)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

آخرین عملیات حسابی که هنگام محاسبه مقدار عبارت انجام می شود "اصلی" است.

یعنی اگر تعدادی (هر) عددی را به جای حروف جایگزین کنید و سعی کنید مقدار عبارت را محاسبه کنید، اگر آخرین عمل ضرب باشد، یک محصول داریم (عبارت به عامل تجزیه می شود).

اگر آخرین عمل جمع یا تفریق باشد، به این معنی است که عبارت فاکتور نمی شود (و بنابراین نمی توان آن را کاهش داد).

برای اینکه خودتان آن را درست کنید، چند مثال:

مثال ها:

راه حل ها:

1. امیدوارم فوراً برای برش عجله نکرده باشید و؟ هنوز "کاهش" واحدهایی مانند این کافی نبود:

اولین قدم باید فاکتورسازی باشد:

4. جمع و تفریق کسرها. آوردن کسرها به مخرج مشترک.

جمع و تفریق کسرهای معمولی یک عملیات شناخته شده است: ما به دنبال مخرج مشترک می گردیم، هر کسری را در ضریب گم شده ضرب می کنیم و اعداد را جمع یا تفریق می کنیم.

به یاد داشته باشیم:

پاسخ ها:

1. مخرج و هم اول هستند، یعنی فاکتورهای مشترک ندارند. بنابراین LCM این اعداد برابر است با حاصلضرب آنها. این مخرج مشترک خواهد بود:

2. در اینجا مخرج مشترک این است:

3. در اینجا، اول از همه، کسرهای مخلوط را به کسرهای نامناسب تبدیل می کنیم، و سپس - طبق طرح معمول:

اگر کسرها دارای حروف باشند، به عنوان مثال:

بیایید ساده شروع کنیم:

الف) مخرج ها حروف ندارند

در اینجا همه چیز مانند کسرهای عددی معمولی است: یک مخرج مشترک پیدا می کنیم، هر کسری را در ضریب گم شده ضرب می کنیم و اعداد را جمع / تفریق می کنیم:

اکنون در صورت حساب می توانید موارد مشابه را در صورت وجود بیاورید و آنها را فاکتور بگیرید:

خودت آن را امتحان کن:

پاسخ ها:

ب) مخرج شامل حروف است

بیایید اصل پیدا کردن مخرج مشترک بدون حروف را به خاطر بسپاریم:

اول از همه، عوامل مشترک را تعیین می کنیم.

سپس همه عوامل مشترک را یک بار می نویسیم.

و آنها را در همه عوامل دیگر ضرب کنید نه عوامل رایج.

برای تعیین عوامل مشترک مخرج ها، ابتدا آنها را به عوامل ساده تجزیه می کنیم:

ما بر عوامل مشترک تأکید می کنیم:

حالا یک بار عوامل مشترک را می نویسیم و همه عوامل غیر مشترک (بدون خط کشی) را به آنها اضافه می کنیم:

این وجه مشترک است.

برگردیم به نامه ها. مخرج ها دقیقاً به همین صورت آورده می شوند:

ما مخرج ها را به عوامل تجزیه می کنیم.

تعیین ضرایب مشترک (یکسان)؛

همه عوامل مشترک را یک بار بنویسید.

ما آنها را در همه عوامل دیگر ضرب می کنیم، نه عوامل رایج.

بنابراین، به ترتیب:

1) مخرج ها را به عوامل تجزیه کنید:

2) عوامل مشترک (یکسان) را تعیین کنید:

3) همه عوامل مشترک را یک بار بنویسید و آنها را در همه عوامل دیگر (بدون خط کشی) ضرب کنید:

پس مخرج مشترک اینجاست. کسر اول باید در ضرب شود، دومی - در:

به هر حال، یک ترفند وجود دارد:

مثلا: .

ما عوامل یکسانی را در مخرج ها می بینیم، فقط همه با شاخص های متفاوت. مخرج مشترک خواهد بود:

به حدی

در درجه

بیایید کار را پیچیده کنیم:

چگونه می توان کسرها را مخرج یکسانی ساخت؟

بیایید ویژگی اصلی یک کسری را به خاطر بسپاریم:

در هیچ کجا گفته نشده است که همان عدد را می توان از صورت و مخرج کسر کم کرد (یا اضافه کرد). چون درست نیست!

خودتان ببینید: برای مثال، هر کسری را بردارید و به صورت و مخرج عددی اضافه کنید، برای مثال، . چه چیزی آموخته شده است؟

بنابراین، یک قانون تزلزل ناپذیر دیگر:

وقتی کسرها را به مخرج مشترک می آورید، فقط از عملیات ضرب استفاده کنید!

اما برای بدست آوردن چه چیزی باید ضرب کنید؟

در اینجا و ضرب کنید. و ضرب در:

عباراتی که نمی توانند فاکتورسازی شوند، «عوامل ابتدایی» نامیده می شوند.

به عنوان مثال، یک عامل ابتدایی است. - هم. اما - نه: به عوامل تجزیه می شود.

در مورد بیان چطور؟ ابتدایی است؟

خیر، زیرا می توان آن را فاکتور گرفت:

(شما قبلاً در مورد فاکتورسازی در مبحث "" خوانده اید).

بنابراین، عوامل اولیه ای که شما یک عبارت را با حروف تجزیه می کنید، مشابه عوامل ساده ای هستند که اعداد را به آنها تجزیه می کنید. و ما همین کار را با آنها انجام خواهیم داد.

می بینیم که هر دو مخرج یک عامل دارند. این به مخرج مشترک در قدرت خواهد رفت (یادتان هست چرا؟).

ضریب ابتدایی است و آن را مشترک ندارند، به این معنی که کسر اول به سادگی باید در آن ضرب شود:

مثالی دیگر:

راه حل:

قبل از اینکه این مخرج ها را در وحشت ضرب کنید، باید به این فکر کنید که چگونه آنها را فاکتور بگیرید؟ هر دو نشان دهنده:

خوب! سپس:

مثالی دیگر:

راه حل:

طبق معمول، مخرج ها را فاکتور می گیریم. در مخرج اول، به سادگی آن را خارج از پرانتز قرار می دهیم. در دوم - تفاوت مربع ها:

به نظر می رسد که هیچ عامل مشترکی وجود ندارد. اما اگر از نزدیک نگاه کنید، آنها قبلاً بسیار شبیه هستند ... و حقیقت این است:

پس بیایید بنویسیم:

یعنی اینطور شد: در داخل براکت، اصطلاحات را عوض کردیم و در همان زمان، علامت جلوی کسر به عکس تغییر کرد. توجه داشته باشید، باید این کار را اغلب انجام دهید.

حال به یک مخرج مشترک می رسیم:

فهمیدم؟ حالا بیایید بررسی کنیم.

وظایف برای راه حل مستقل:

پاسخ ها:

در اینجا باید یک چیز دیگر را به خاطر بسپاریم - تفاوت مکعب ها:

لطفا توجه داشته باشید که مخرج کسر دوم شامل فرمول "مربع مجموع" نیست! مجذور مجموع به شکل زیر خواهد بود:

A به اصطلاح مجذور ناقص مجموع است: جمله دوم در آن حاصل ضرب اول و آخر است و نه حاصل ضرب دو برابر شده آنها. مجذور ناقص مجموع یکی از عوامل بسط اختلاف مکعب هاست:

اگر از قبل سه کسر وجود داشته باشد چه؟

بله همینطوره! اول از همه، مطمئن می شویم که حداکثر تعداد فاکتورها در مخرج ها یکسان است:

توجه کنید: اگر علائم داخل یک براکت را تغییر دهید، علامت جلوی کسری به عکس تغییر می کند. وقتی علامت های براکت دوم را تغییر می دهیم، علامت جلوی کسر دوباره معکوس می شود. در نتیجه او (علامت جلوی کسر) تغییر نکرده است.

مخرج اول را به طور کامل در مخرج مشترک می نویسیم و سپس تمام عواملی که هنوز نوشته نشده اند را از دومی و سپس سومی را به آن اضافه می کنیم (و به همین ترتیب اگر کسرهای بیشتری وجود داشته باشد). یعنی اینجوری میشه:

هوم ... با کسرها، مشخص است که چه باید کرد. اما در مورد این دو چطور؟

ساده است: شما می دانید چگونه کسرها را اضافه کنید، درست است؟ بنابراین، شما باید مطمئن شوید که دوس تبدیل به کسری می شود! به یاد داشته باشید: کسری یک عملیات تقسیم است (اگر ناگهان فراموش کردید، صورت بر مخرج تقسیم می شود). و هیچ چیز ساده تر از تقسیم یک عدد بر آن نیست. در این مورد، خود عدد تغییر نمی کند، بلکه به کسری تبدیل می شود:

دقیقا همان چیزی که لازم است!

5. ضرب و تقسیم کسرها.

خب، سخت ترین بخش اکنون به پایان رسیده است. و پیش روی ما ساده ترین، اما در عین حال مهم ترین است:

روش

روش محاسبه یک عبارت عددی چگونه است؟ به یاد داشته باشید که ارزش چنین عبارتی را در نظر بگیرید:

حساب کردی؟

باید کار کند.

بنابراین، من به شما یادآوری می کنم.

اولین مرحله محاسبه مدرک است.

دوم ضرب و تقسیم است. اگر چندین ضرب و تقسیم همزمان وجود داشته باشد، می توانید آنها را به هر ترتیبی انجام دهید.

و در نهایت جمع و تفریق را انجام می دهیم. باز هم به هر ترتیبی.

اما: عبارت پرانتز شده بدون ترتیب ارزیابی می شود!

اگر چند براکت در یکدیگر ضرب یا تقسیم شوند، ابتدا عبارت هر یک از براکت ها را ارزیابی کرده و سپس آنها را ضرب یا تقسیم می کنیم.

اگر پرانتزهای دیگری در داخل پرانتز وجود داشته باشد چطور؟ خوب، بیایید فکر کنیم: مقداری عبارت در داخل پرانتز نوشته شده است. اولین کاری که باید هنگام ارزیابی یک عبارت انجام داد چیست؟ درست است، براکت ها را محاسبه کنید. خوب، ما متوجه شدیم: ابتدا براکت های داخلی را محاسبه می کنیم، سپس همه چیز را.

بنابراین، ترتیب اقدامات برای عبارت بالا به شرح زیر است (عمل فعلی با رنگ قرمز برجسته شده است، یعنی عملی که من در حال حاضر انجام می دهم):

خوب، همه چیز ساده است.

اما این همان عبارت با حروف نیست، درست است؟

نه همینطوره! فقط به جای عملیات حسابی باید عملیات جبری انجام داد، یعنی عملیاتی که در قسمت قبل توضیح داده شد: آوردن مشابه، جمع کسرها، کسر کسرها و غیره. تنها تفاوت در عمل فاکتورگیری چندجمله ای ها خواهد بود (ما اغلب هنگام کار با کسرها از آن استفاده می کنیم). اغلب، برای فاکتورسازی، باید از i استفاده کنید یا به سادگی فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنید.

معمولاً هدف ما نمایش یک عبارت به عنوان یک محصول یا ضریب است.

مثلا:

بیایید بیان را ساده کنیم.

1) ابتدا عبارت داخل پرانتز را ساده می کنیم. در آنجا ما تفاوت کسرها را داریم و هدف ما نمایش آن به عنوان یک محصول یا ضریب است. بنابراین، کسرها را به یک مخرج مشترک می آوریم و اضافه می کنیم:

ساده کردن این عبارت غیرممکن است، همه عوامل در اینجا ابتدایی هستند (آیا هنوز به یاد دارید که این به چه معناست؟).

2) دریافت می کنیم:

ضرب کسری: چه چیزی می تواند آسان تر باشد.

3) اکنون می توانید کوتاه کنید:

خوب همین. هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟

مثالی دیگر:

بیان را ساده کنید.

ابتدا سعی کنید خودتان آن را حل کنید و تنها پس از آن به راه حل نگاه کنید.

راه حل:

اول از همه، بیایید رویه را تعریف کنیم.

ابتدا کسرهای داخل پرانتز را با هم جمع می کنیم، به جای دو کسر، یک کسر درست می شود.

سپس تقسیم کسرها را انجام می دهیم. خوب، نتیجه را با کسر آخر اضافه می کنیم.

من به صورت شماتیک مراحل را شماره گذاری می کنم:

اکنون کل فرآیند را نشان می دهم و عمل فعلی را با رنگ قرمز رنگ آمیزی می کنم:

1. در صورت وجود موارد مشابه باید فوراً آورده شوند. در هر لحظه که موارد مشابه داریم، توصیه می شود فورا آنها را بیاوریم.

2. در مورد کسر کسرها هم همینطور: به محض اینکه فرصتی برای کاهش پیش آمد باید از آن استفاده کرد. استثنا کسری است که اضافه یا تفریق می کنید: اگر اکنون مخرج های یکسانی دارند، پس کاهش باید برای بعد باقی بماند.

در اینجا چند کار وجود دارد که می توانید آن را به تنهایی حل کنید:

و در همان ابتدا قول داد:

پاسخ ها:

راه حل ها (مختصر):

اگر حداقل با سه مثال اول کنار آمدید، در نظر بگیرید که به موضوع تسلط دارید.

حالا به یادگیری!

تبدیل بیان. خلاصه و فرمول اساسی

عملیات ساده سازی اساسی:

آوردن مشابه: برای اضافه کردن (کاهش) عبارت‌های لایک، باید ضرایب آنها را اضافه کنید و قسمت حرف را اختصاص دهید.
فاکتورسازی:خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز، اعمال و غیره
کاهش کسری: صورت و مخرج کسری را می توان در همان عدد غیر صفر ضرب یا تقسیم کرد که مقدار کسری از آن تغییر نمی کند.
1) صورت و مخرج فاکتوریزه کردن
2) در صورت وجود عوامل مشترک در صورت و مخرج، می توان آنها را خط زد.
مهم: فقط ضریب ها را می توان کاهش داد!
جمع و تفریق کسرها:
;
ضرب و تقسیم کسرها:
;