مقدار مشتق در نقطه x0 مطابق نمودار. مقدار مشتق تابع را در نقطه x0 بیابید

مثال 1

ارجاع: راه های زیر برای نشان دادن یک تابع معادل هستند: در برخی وظایف، تعیین تابع به عنوان "igrokom" و در برخی به عنوان "ff از x" راحت است.

ابتدا مشتق را پیدا می کنیم:

مثال 2

مشتق یک تابع را در یک نقطه محاسبه کنید

, , مطالعه عملکرد کاملو غیره.

مثال 3

مشتق یک تابع را در یک نقطه محاسبه کنید. ابتدا بیایید مشتق را پیدا کنیم:

خب، این یک موضوع کاملا متفاوت است. بیایید مقدار مشتق را در نقطه محاسبه کنیم:

در صورتی که متوجه نشدید مشتق چگونه پیدا شد، به دو درس اول مبحث برگردید. اگر در مورد مقطع و معانی آن مشکل (سوء تفاهم) دارید، لزوما مطالب آموزشی را مطالعه کنید نمودارها و خواص توابع ابتدایی- جدیدترین پاراگراف زیرا هنوز به اندازه کافی برای سن دانش آموزی وجود دارد.

مثال 4

مشتق یک تابع را در یک نقطه محاسبه کنید.

معادله مماس بر نمودار یک تابع

برای تجمیع بخش قبل، مسئله یافتن مماس بر را در نظر بگیرید گرافیک تابعدر این نقطه ما این وظیفه را در مدرسه انجام دادیم و در درس ریاضیات عالی نیز یافت می شود.

بیایید ساده ترین مثال "دمو" را در نظر بگیریم.

معادله مماس بر نمودار تابع را در نقطه ای با ابسیسا بنویسید. من بلافاصله یک راه حل گرافیکی آماده برای مشکل ارائه خواهم کرد (در عمل، این در اکثر موارد ضروری نیست):

یک تعریف دقیق از مماس توسط تعریف مشتق تابع، اما در حال حاضر به بخش فنی سوال مسلط خواهیم شد. مطمئناً تقریباً همه به طور شهودی درک می کنند که مماس چیست. اگر "روی انگشتان" را توضیح دهید، مماس بر نمودار تابع است سر راستکه مربوط به نمودار تابع در است تنهانقطه. در این حالت، تمام نقاط نزدیک خط مستقیم تا حد امکان نزدیک به نمودار تابع قرار می گیرند.

همانطور که در مورد ما اعمال می شود: در، مماس (نماد استاندارد) نمودار تابع را در یک نقطه لمس می کند.

و وظیفه ما یافتن معادله خط است.

مشتق تابع در یک نقطه

چگونه مشتق یک تابع را در یک نقطه پیدا کنیم؟ دو نکته بارز این تکلیف از جمله بندی به دست می آید:

1) باید مشتق را پیدا کرد.

2) محاسبه مقدار مشتق در یک نقطه معین ضروری است.

مثال 1

مشتق یک تابع را در یک نقطه محاسبه کنید

راهنما: راه های زیر برای نشان دادن یک تابع معادل هستند:


در برخی وظایف، تعیین تابع به عنوان "igrokom" و در برخی به عنوان "ff از x" راحت است.

ابتدا مشتق را پیدا می کنیم:

امیدوارم بسیاری قبلاً به یافتن چنین مشتقاتی به صورت شفاهی عادت کرده باشند.

در مرحله دوم، مقدار مشتق را در نقطه محاسبه می کنیم:

یک مثال گرم کردن کوچک برای یک راه حل مستقل:

مثال 2

مشتق یک تابع را در یک نقطه محاسبه کنید

راه حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

نیاز به یافتن مشتق در یک نقطه در مسائل زیر مطرح می شود: ساخت مماس بر نمودار یک تابع (بند بعدی)، مطالعه عملکرد افراطی , عطف تابع نمودار , مطالعه عملکرد کامل و غیره.

اما تکلیف مورد نظر در تست ها و به خودی خود پیدا می شود. و، به عنوان یک قاعده، در چنین مواردی، عملکرد بسیار پیچیده است. در این زمینه به دو مثال دیگر توجه کنید.

مثال 3

مشتق یک تابع را محاسبه کنید در نقطه
ابتدا بیایید مشتق را پیدا کنیم:

مشتق، در اصل، پیدا شده است، و مقدار مورد نیاز را می توان جایگزین کرد. اما من واقعاً نمی خواهم این کار را انجام دهم. عبارت بسیار طولانی است و مقدار "x" کسری است. بنابراین، ما سعی می کنیم تا حد امکان مشتق خود را ساده کنیم. در این مورد، بیایید سعی کنیم سه عبارت آخر را به یک مخرج مشترک بیاوریم: در نقطه

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید.

چگونه می توان مقدار مشتق تابع F (x) را در نقطه Xo پیدا کرد؟ چگونه این را به طور کلی حل کنیم؟

اگر فرمول داده شد، مشتق را پیدا کنید و X-zero را به جای X جایگزین کنید. محاسبه
اگر در مورد نمودار b-8 USE صحبت می کنیم، پس باید مماس زاویه (حاد یا منفرد) را پیدا کنید که با محور X مماس تشکیل می دهد (با استفاده از ساختار ذهنی یک مثلث قائم الزاویه و تعیین مماس زاویه)

تیمور عادل خوژایف

ابتدا باید در مورد علامت تصمیم بگیرید. اگر نقطه x0 در قسمت پایین صفحه مختصات باشد، علامت در پاسخ منفی و اگر بالاتر باشد، علامت + خواهد بود.
ثانیاً، باید بدانید که در یک مستطیل مستطیل شکل تانگ چیست. و این نسبت طرف مقابل (پا) به طرف مجاور (همچنین ساق) است. معمولاً مقداری لکه های سیاه روی نقاشی وجود دارد. از این علامت ها یک مثلث قائم الزاویه درست می کنید و تنگه ها را پیدا می کنید.

چگونه مقدار مشتق تابع f x را در نقطه x0 پیدا کنیم؟

به طور کلی، برای یافتن مقدار مشتق هر تابع با توجه به یک متغیر در هر نقطه، باید تابع داده شده را با توجه به این متغیر متمایز کنید. در مورد شما، توسط متغیر X. در عبارت حاصل، به جای X، مقدار x را در نقطه ای که باید مقدار مشتق را پیدا کنید، قرار دهید. در مورد شما، صفر X را جایگزین کرده و عبارت حاصل را محاسبه کنید.

خب میل شما به درک این موضوع به نظر من بدون شک سزاوار + است که من با وجدان آسوده عرض می کنم.

این فرمول مسئله یافتن مشتق اغلب برای تثبیت ماده در معنای هندسی مشتق مطرح می شود. یک نمودار از یک تابع خاص پیشنهاد شده است، کاملاً دلخواه و با معادله ارائه نشده است، و لازم است مقدار مشتق (نه خود مشتق، توجه داشته باشید!) را در نقطه مشخص شده X0 پیدا کنید. برای این، یک خط مماس بر یک تابع معین ساخته شده و نقطه تلاقی آن با محورهای مختصات پیدا می شود. سپس معادله این خط مماس به شکل y = kx + b ترسیم می شود.

در این معادله ضریب k و مقدار مشتق خواهد بود. تنها برای یافتن مقدار ضریب b باقی می ماند. برای انجام این کار، مقدار y را در x = o پیدا می کنیم، بگذارید برابر با 3 باشد - این مقدار ضریب b است. مقادیر X0 و Y0 را در معادله اصلی جایگزین می کنیم و k - مقدار مشتق ما را در این نقطه پیدا می کنیم.

مسئله B9 نموداری از یک تابع یا مشتق را نشان می دهد که می خواهید یکی از کمیت های زیر را از آن تعیین کنید:

1. مقدار مشتق در نقطه ای x 0،
2. نقاط بالا یا پایین (نقاط افراطی)،
3. فواصل افزایش و کاهش تابع (فواصل یکنواختی).

توابع و مشتقات ارائه شده در این مسئله همیشه پیوسته هستند که راه حل را تا حد زیادی ساده می کند. علیرغم این واقعیت که این کار به بخش تجزیه و تحلیل ریاضی تعلق دارد، حتی در اختیار ضعیف ترین دانش آموزان است، زیرا در اینجا به دانش نظری عمیقی نیاز نیست.

الگوریتم های ساده و جهانی برای یافتن مقدار مشتق، نقاط افراطی و فواصل یکنواختی وجود دارد - همه آنها در زیر مورد بحث قرار خواهند گرفت.

برای جلوگیری از اشتباهات احمقانه، شرایط مشکل B9 را با دقت بخوانید: گاهی اوقات با متون نسبتا طولانی روبرو می شوید، اما شرایط مهم زیادی وجود ندارد که بر روند راه حل تأثیر بگذارد.

محاسبه مقدار مشتق. روش دو نقطه ای

اگر در مسئله نمودار تابع f (x) مماس بر این نمودار در نقطه ای x 0 داده شود و لازم است مقدار مشتق را در این نقطه پیدا کنیم، الگوریتم زیر اعمال می شود:

1. دو نقطه "کافی" را در نمودار مماس پیدا کنید: مختصات آنها باید اعداد صحیح باشد. اجازه دهید این نقاط را با A (x 1; y 1) و B (x 2; y 2) نشان دهیم. مختصات را به درستی بنویسید - این یک نکته کلیدی در راه حل است و هر اشتباهی در اینجا منجر به پاسخ اشتباه می شود.
2. با دانستن مختصات، به راحتی می توان افزایش آرگومان Δx = x 2 - x 1 و افزایش تابع Δy = y 2 - y 1 را محاسبه کرد.
3. در نهایت، مقدار مشتق D = Δy / Δx را پیدا می کنیم. به عبارت دیگر، شما باید تابع افزایش را بر افزایش آرگومان تقسیم کنید - و این پاسخ خواهد بود.

یک بار دیگر توجه کنید: نقاط A و B را باید دقیقاً روی خط مماس جستجو کرد، نه در نمودار تابع f (x)، همانطور که اغلب اتفاق می افتد. خط مماس لزوماً شامل حداقل دو نقطه از این قبیل خواهد بود - در غیر این صورت مشکل به درستی نوشته نشده است.

نقاط A (-3; 2) و B (-1; 6) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.

مقدار مشتق را بیابید: D = Δy / Δx = 4/2 = 2.

وظیفه. شکل نمودار تابع y = f (x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f (x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 3) و B (3; 0) را در نظر بگیرید، افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 - y 1 = 0 - 3 = -3.

اکنون مقدار مشتق را پیدا می کنیم: D = Δy / Δx = -3/3 = -1.

وظیفه. شکل نمودار تابع y = f (x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f (x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 2) و B (5; 2) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

باقی مانده است که مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy / Δx = 0/5 = 0.

از آخرین مثال، می توانیم یک قانون را فرموله کنیم: اگر مماس موازی با محور OX باشد، مشتق تابع در نقطه مماس صفر است. در این مورد، شما حتی نیازی به شمارش چیزی ندارید - فقط به نمودار نگاه کنید.

محاسبه حداکثر و حداقل امتیاز

گاهی اوقات به جای نمودار یک تابع، در مسئله B9، نموداری از مشتق داده می شود و لازم است حداکثر یا حداقل نقطه تابع را پیدا کنید. در این شرایط، روش دو نقطه ای بی فایده است، اما الگوریتم دیگری حتی ساده تر وجود دارد. ابتدا بیایید اصطلاحات را تعریف کنیم:

1. نقطه x 0 حداکثر نقطه تابع f (x) نامیده می شود اگر در برخی از همسایگی های این نقطه نابرابری زیر برقرار باشد: f (x 0) ≥ f (x).
2. نقطه x 0 نقطه حداقل تابع f (x) نامیده می شود اگر در برخی از همسایگی های این نقطه نابرابری زیر برقرار باشد: f (x 0) ≤ f (x).

برای یافتن حداکثر و حداقل نقاط در نمودار مشتق، کافی است مراحل زیر را انجام دهید:

1. نمودار مشتق را دوباره ترسیم کنید، تمام اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید. همانطور که تمرین نشان می دهد، داده های غیر ضروری فقط با راه حل تداخل می کنند. بنابراین، ما صفرهای مشتق را روی محور مختصات علامت گذاری می کنیم - این همه.
2. نشانه های مشتق را در فواصل بین صفرها پیدا کنید. اگر برای نقطه ای x 0 معلوم شود که f '(x 0) ≠ 0، آنگاه فقط دو گزینه ممکن است: f' (x 0) ≥ 0 یا f '(x 0) ≤ 0. علامت مشتق می تواند به راحتی از ترسیم اولیه مشخص می شود: اگر نمودار مشتق بالای محور OX باشد، آنگاه f '(x) ≥ 0. و بالعکس، اگر نمودار مشتق زیر محور OX باشد، آنگاه f' (x) ) ≤ 0.
3. دوباره صفرها و نشانه های مشتق را بررسی کنید. جایی که علامت از منفی به مثبت تغییر می کند، یک نقطه حداقل وجود دارد. برعکس، اگر علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر کند، این حداکثر نقطه است. شمارش همیشه از چپ به راست انجام می شود.

این طرح فقط برای توابع پیوسته کار می کند - هیچ مورد دیگری در مشکل B9 وجود ندارد.

وظیفه. شکل، نمودار مشتق تابع f (x) را نشان می‌دهد که در قطعه [-5; 5]. حداقل نقطه تابع f (x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید از شر اطلاعات غیر ضروری خلاص شویم - فقط مرزها را ترک خواهیم کرد [-5; 5] و صفرهای مشتق x = -3 و x = 2.5. همچنین به علائم توجه کنید:

بدیهی است که در نقطه x = -3 علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند. این حداقل امتیاز است.

وظیفه. شکل نمودار مشتق تابع f (x) را نشان می‌دهد که بر روی قطعه [-3; 7]. حداکثر نقطه تابع f (x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید نمودار را دوباره ترسیم کنیم و فقط مرزها را باقی بگذاریم [-3; 7] و صفرهای مشتق x = -1.7 و x = 5. به علائم مشتق در نمودار حاصل توجه کنید. ما داریم:

بدیهی است که در نقطه x = 5 علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند - این حداکثر نقطه است.

وظیفه. شکل، نمودار مشتق تابع f (x) را نشان می‌دهد که در قطعه [-6; 4]. تعداد حداکثر نقاط تابع f (x) را که متعلق به بخش [-4; 3].

از بیان مسئله برمی‌آید که کافی است تنها بخشی از نمودار را در نظر بگیریم که توسط بخش محدود شده است [-4; 3]. بنابراین، ما یک نمودار جدید می سازیم که روی آن فقط مرزها را علامت گذاری می کنیم [-4; 3] و صفرهای مشتق داخل آن. یعنی، نقاط x = -3.5 و x = 2. دریافت می کنیم:

این نمودار فقط یک نقطه حداکثر x = 2 دارد. در این نقطه است که علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند.

یک یادداشت سریع در مورد نقاط با مختصات غیر صحیح. به عنوان مثال، در مسئله آخر، نقطه x = -3.5 در نظر گرفته شد، اما شما می توانید به خوبی x = -3.4 را بگیرید. اگر مسئله به درستی فرموله شود، چنین تغییراتی نباید بر پاسخ تأثیر بگذارد، زیرا نکات "بدون مکان مشخص" مستقیماً در حل مشکل شرکت نمی کنند. البته این ترفند با امتیازهای صحیح جواب نمی دهد.

یافتن فواصل توابع افزایش و کاهش

در چنین مسئله‌ای، مانند نقاط حداکثر و حداقل، یافتن مناطقی که خود تابع در آن‌ها افزایش یا کاهش می‌یابد از نمودار مشتق پیشنهاد می‌شود. ابتدا بیایید تعریف کنیم که چه چیزی در حال افزایش و کاهش است:

1. تابع f (x) در یک قطعه افزایش می یابد اگر برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره جمله زیر درست باشد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). به عبارت دیگر، هر چه مقدار آرگومان بزرگتر باشد، مقدار تابع بزرگتر است.
2. تابع f (x) در یک پاره کاهنده نامیده می شود اگر برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره جمله زیر درست باشد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). آن ها هر چه مقدار آرگومان بزرگتر باشد، مقدار تابع کوچکتر است.

اجازه دهید شرایط کافی برای افزایش و کاهش را فرموله کنیم:

1. برای افزایش یک تابع پیوسته f (x) روی یک قطعه، کافی است مشتق آن در داخل قطعه مثبت باشد، یعنی. f '(x) ≥ 0.
2. برای کاهش تابع پیوسته f (x) روی یک قطعه، کافی است مشتق آن در داخل قطعه منفی باشد، یعنی. f '(x) ≤ 0.

بیایید این اظهارات را بدون مدرک بپذیریم. بنابراین، طرحی برای یافتن فواصل افزایش و کاهش دریافت می کنیم که از بسیاری جهات شبیه به الگوریتم محاسبه نقاط اکستریم است:

1. تمام اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید. در نمودار اصلی مشتق، ما در درجه اول به صفرهای تابع علاقه داریم، بنابراین فقط آنها را ترک می کنیم.
2. به نشانه های مشتق در فواصل بین صفر توجه کنید. در جایی که f '(x) ≥ 0 باشد، تابع افزایش می یابد و در جایی که f' (x) ≤ 0، کاهش می یابد. اگر مشکل محدودیت‌هایی روی متغیر x داشته باشد، آنها را در نمودار جدید علامت‌گذاری می‌کنیم.
3. اکنون که رفتار تابع و محدودیت را می دانیم، باقی مانده است که مقدار مورد نیاز در مسئله را محاسبه کنیم.

وظیفه. شکل نمودار مشتق تابع f (x) را نشان می‌دهد که بر روی قطعه [-3; 7.5]. فواصل کاهش تابع f (x) را بیابید. در پاسخ خود مجموع اعداد صحیح موجود در این فواصل را مشخص کنید.

طبق معمول، نمودار را دوباره رسم کنید و مرزها را علامت بزنید [-3; 7.5]، و همچنین صفرهای مشتق x = -1.5 و x = 5.3. سپس نشانه های مشتق را مشخص می کنیم. ما داریم:

از آنجایی که مشتق روی بازه (- 1.5) منفی است، این بازه تابع کاهشی است. باقی مانده است که تمام اعداد صحیحی را که در این بازه قرار دارند جمع آوری کنیم:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

وظیفه. شکل، نمودار مشتق تابع f (x) را نشان می‌دهد که در بخش [-10; 4]. فواصل افزایش تابع f (x) را بیابید. در پاسخ، طول طولانی ترین آنها را مشخص کنید.

بیایید از شر اطلاعات غیر ضروری خلاص شویم. فقط مرزها را رها کنید [-10; 4] و صفرهای مشتق، که این بار چهار شد: x = −8، x = −6، x = −3 و x = 2. به نشانه‌های مشتق توجه کنید و تصویر زیر را دریافت کنید:

ما علاقه مند به فواصل افزایش تابع هستیم، یعنی. چنین، که در آن f '(x) ≥ 0. دو بازه از این قبیل در نمودار وجود دارد: (-8؛ -6) و (-3؛ 2). بیایید طول آنها را محاسبه کنیم:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (-3) = 5.

از آنجایی که لازم است طول بزرگترین بازه ها را پیدا کنید، در پاسخ مقدار l 2 = 5 را یادداشت می کنیم.