قضیه فیثاغورث چه موضوعی است. قضیه فیثاغورث: مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع دو پاها

هنگامی که برای اولین بار شروع به یادگیری ریشه های مربع و نحوه حل معادلات غیرمنطقی (برابری های حاوی یک مجهول در زیر علامت ریشه) کردید، احتمالاً اولین ایده خود را از کاربرد عملی آنها دریافت کرده اید. توانایی استخراج جذر اعداد نیز برای حل مسائل مربوط به کاربرد قضیه فیثاغورث ضروری است. این قضیه طول اضلاع هر مثلث قائم الزاویه را به هم متصل می کند.

طول پاهای یک مثلث قائم الزاویه (آن دو ضلع که در زاویه قائم الزاویه همگرا هستند) با حروف نشان داده شود و طول هیپوتنوس (طولانی ترین ضلع مثلث مقابل زاویه قائمه) با نشان داده شود. یک نامه سپس طول های مربوطه با رابطه زیر مرتبط می شوند:

این معادله به شما این امکان را می دهد که طول ضلع یک مثلث قائم الزاویه را در صورتی که طول دو ضلع دیگر آن مشخص باشد، پیدا کنید. علاوه بر این، به شما امکان می دهد تعیین کنید که آیا مثلث مورد نظر قائم الزاویه است، مشروط بر اینکه طول هر سه ضلع از قبل مشخص باشد.

حل مسائل با استفاده از قضیه فیثاغورث

برای تجمیع مطالب، مسائل زیر را در مورد کاربرد قضیه فیثاغورث حل خواهیم کرد.

بنابراین، با توجه به:

1. طول یکی از پاها 48 و هیپوتانوس 80 است.
2. طول پا 84، هیپوتونوس 91 است.

بیایید شروع به حل کنیم:

الف) جایگزینی داده ها در معادله فوق نتایج زیر را به دست می دهد:

48 2 + ب 2 = 80 2

2304 + ب 2 = 6400

ب 2 = 4096

ب= 64 یا ب = -64

از آنجایی که طول ضلع مثلث را نمی توان به عنوان یک عدد منفی بیان کرد، گزینه دوم به طور خودکار کنار گذاشته می شود.

پاسخ شکل اول: ب = 64.

ب) طول ساق مثلث دوم نیز به همین ترتیب یافت می شود:

84 2 + ب 2 = 91 2

7056 + ب 2 = 8281

ب 2 = 1225

ب= 35 یا ب = -35

مانند مورد قبلی، تصمیم منفی کنار گذاشته می شود.

پاسخ شکل دوم: ب = 35

به ما داده می شود:

1. طول اضلاع کوچکتر مثلث به ترتیب 45 و 55 و بزرگترها 75 است.
2. طول اضلاع کوچکتر مثلث به ترتیب 28 و 45 و بزرگترها 53 است.

ما مشکل را حل می کنیم:

الف) باید بررسی کرد که آیا مجموع مربعات طول اضلاع کوچکتر مثلث داده شده برابر است یا خیر؟

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

بنابراین مثلث اول قائم الزاویه نیست.

ب) همین عملیات انجام می شود:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

بنابراین مثلث دوم قائم الزاویه است.

ابتدا طول بزرگترین بخش تشکیل شده توسط نقاط با مختصات (-2، -3) و (5، -2) را پیدا کنید. برای انجام این کار، از فرمول معروف برای یافتن فاصله بین نقاط در یک سیستم مختصات مستطیلی استفاده می کنیم:

به طور مشابه، طول بخش محصور شده بین نقاط با مختصات (-2، -3) و (2، 1) را پیدا می کنیم:

در نهایت، طول پاره بین نقاط را با مختصات (2، 1) و (5، -2) تعیین می کنیم:

از آنجایی که برابری وجود دارد:

سپس مثلث مربوطه قائم الزاویه است.

بنابراین، می‌توانیم پاسخ مسئله را فرموله کنیم: از آنجایی که مجموع مربع‌های اضلاع با کوتاه‌ترین طول برابر است با مربع ضلعی که بیشترین طول را دارد، نقاط رئوس یک مثلث قائم‌زاویه هستند.

پایه (که کاملاً به صورت افقی قرار دارد)، پایه (که کاملاً به صورت عمودی قرار دارد) و کابل (به صورت مورب کشیده شده است) به ترتیب یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل می دهند، از قضیه فیثاغورث می توان برای یافتن طول کابل استفاده کرد:

بنابراین طول کابل تقریباً 3.6 متر خواهد بود.

با توجه به: فاصله از نقطه R تا نقطه P (پایه مثلث) 24، از نقطه R تا نقطه Q (هیپوتنوز) - 26 است.

بنابراین، ما به Vitya کمک می کنیم تا مشکل را حل کند. از آنجایی که اضلاع مثلث نشان داده شده در شکل قرار است یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل دهند، می توان از قضیه فیثاغورث برای یافتن طول ضلع سوم استفاده کرد:

بنابراین عرض حوض 10 متر است.

سرگئی والریویچ

فیثاغورث دانشمند یونانی است که حدود 2500 سال پیش (564-473 قبل از میلاد) می زیست.

بگذارید یک مثلث قائم الزاویه داده شود که اضلاع آن آ, بو با(شکل 267).

بیایید در دو طرف آن مربع بسازیم. مساحت این مربع ها به ترتیب برابر است آ 2 , ب 2 و با 2. اجازه دهید این را ثابت کنیم با 2 = a 2 + ب 2 .

بیایید دو مربع MKOR و M'K'O'R بسازیم (شکل 268، 269)، و به عنوان ضلع هر یک از آنها قطعه ای برابر با مجموع پایه های یک مثلث قائم الزاویه ABC در نظر بگیریم.

پس از تکمیل ساخت و سازهای نشان داده شده در شکل های 268 و 269 در این مربع ها، خواهیم دید که مربع ICOR به دو مربع با مساحت تقسیم شده است. آ 2 و ب 2 و چهار مثلث قائم الزاویه مساوی که هر کدام برابر با مثلث قائم الزاویه ABC است. مربع M'K'O'R به یک چهار گوش (در شکل 269 سایه دار است) و چهار مثلث قائم الزاویه تقسیم شد که هر یک از آنها نیز برابر با مثلث ABC است. چهارضلعی سایه دار یک مربع است، زیرا اضلاع آن برابر است (هر کدام برابر است با هپوتنوز مثلث ABC، یعنی. با، و زاویه ها خطوط مستقیم هستند ∠1 + ∠2 = 90 درجه، از آنجا ∠3 = 90 درجه).

بنابراین، مجموع مساحت مربع های ساخته شده روی پاها (در شکل 268 این مربع ها سایه دار هستند) برابر با مساحت مربع ICOR بدون مجموع مساحت های چهار مثلث مساوی و مساحت . مربع ساخته شده روی هیپوتانوس (در شکل 269 این مربع نیز سایه دار است) برابر با مساحت مربع M'K'O'R' برابر مربع ICOR است، بدون مجموع مساحت ها از چهار مثلث مشابه بنابراین، مساحت مربع ساخته شده بر روی فرضیه مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها.

ما فرمول را دریافت می کنیم با 2 = a 2 + ب 2، کجا با- هیپوتنوئوس، آو ب- پاهای یک مثلث قائم الزاویه.

قضیه فیثاغورث به طور خلاصه به صورت زیر بیان می شود:

مجذور هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های پاها.

از فرمول با 2 = a 2 + ب 2 می توانید فرمول های زیر را دریافت کنید:

آ 2 = با 2 - ب 2 ;

b 2 = با 2 - آ 2 .

از این فرمول ها می توان برای یافتن ضلع مجهول مثلث قائم الزاویه از دو ضلع استفاده کرد.

برای مثال:

الف) اگر پا داده شود آ= 4 سانتی متر، ب= 3 سانتی متر، سپس می توانید هیپوتانوس را پیدا کنید ( با):

با 2 = a 2 + ب 2، یعنی با 2 = 4 2 + 3 2; با 2 = 25، از آنجا با= √25 = 5 (سانتی متر)؛

ب) اگر هیپوتانوز داده شود با= 17 سانتی متر و پا آ= 8 سانتی متر، سپس می توانید یک پای دیگر پیدا کنید ( ب):

ب 2 = با 2 - آ 2، یعنی ب 2 = 17 2 - 8 2 ; ب 2 = 225، از آنجا ب= √225 = 15 (سانتی متر).

نتیجه: اگر در دو مثلث قائم الزاویه ABC و A 1 B 1 C 1 هیپوتانوز باو با 1 برابر هستند و ساق بمثلث ABC پای بیشتر ب 1 مثلث A 1 B 1 C 1,

سپس پا آمثلث ABC پا کمتر آ 1 مثلث A 1 B 1 C 1.

در واقع، بر اساس قضیه فیثاغورث، به دست می آوریم:

آ 2 = با 2 - ب 2 ,

آ 1 2 = با 1 2 - ب 1 2

در فرمول های نوشته شده، تفریق برابر است، و تفریق در فرمول اول بیشتر از تفریق در فرمول دوم است، بنابراین، تفاوت اول از دومی کمتر است.

یعنی آ 2 تا 1 2. جایی که آیک 1.

داستان

چوپی 500-200 قبل از میلاد. کتیبه سمت چپ: مجموع مجذورات طول قد و قاعده مجذور طول هیپوتنوس است.

در کتاب چینی باستانی چوپی ( انگلیسی) (چینی 周 髀 算 經) به مثلث فیثاغورثی با ضلع های 3، 4 و 5 اشاره دارد. در همان کتاب، طرحی پیشنهاد شده است که با یکی از نقشه های هندسه هندو بشارا مطابقت دارد.

حدود 400 ق.م. ه.، طبق گفته پروکلوس، افلاطون روشی برای یافتن سه قلوهای فیثاغورثی، ترکیب جبر و هندسه ارائه کرد. حدود 300 ق.م. ه. قدیمی ترین برهان بدیهی قضیه فیثاغورث در «عناصر» اقلیدس ظاهر شد.

جمله بندی

فرمول هندسی:

در ابتدا قضیه به صورت زیر فرموله شد:

فرمول جبری:

یعنی نشان دادن طول هیپوتنوز مثلث از طریق، و طول پاهای از طریق و:

هر دو گزاره قضیه معادل هستند، اما گزاره دوم ابتدایی تر است، نیازی به مفهوم مساحت ندارد. یعنی می توان گزاره دوم را بدون دانستن چیزی در مورد مساحت بررسی کرد و فقط طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را اندازه گرفت.

قضیه فیثاغورث معکوس:

اثبات

در حال حاضر 367 اثبات این قضیه در ادبیات علمی ثبت شده است. احتمالاً قضیه فیثاغورث تنها قضیه ای است که چنین تعداد قابل توجهی از براهین را دارد. این تنوع را فقط می توان با معنای اساسی قضیه برای هندسه توضیح داد.

البته از نظر مفهومی همه آنها را می توان به تعداد کمی کلاس تقسیم کرد. معروف ترین آنها: اثبات با روش مساحت، اثبات بدیهی و عجیب و غریب (به عنوان مثال، با استفاده از معادلات دیفرانسیل).

از طریق مثلث های مشابه

اثبات زیر برای فرمول جبری ساده ترین برهان است که مستقیماً از بدیهیات ساخته شده است. به طور خاص، از مفهوم مساحت یک شکل استفاده نمی کند.

اجازه دهید ABCیک مثلث قائم الزاویه با زاویه قائم وجود دارد سی... بیایید ارتفاع را از سیو پایه آن را با نشان دهید اچ... مثلث ACHمثل مثلث ABCدر دو گوشه به طور مشابه، مثلث CBHمشابه است ABC... معرفی نماد

ما گرفتیم

معادل آن چیست

اضافه کردن، دریافت می کنیم

اثبات مناطق

شواهد زیر، علیرغم سادگی ظاهریشان، اصلاً چندان ساده نیستند. همه آنها از خواص مساحت استفاده می کنند که اثبات آن از اثبات خود قضیه فیثاغورث دشوارتر است.

اثبات مکملی برابر

1. همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است، چهار مثلث قائم الزاویه مساوی قرار دهید.
2. چهارضلعی با اضلاع جمربع است، زیرا مجموع دو زاویه تند 90 درجه و زاویه باز شده 180 درجه است.
3. مساحت کل شکل از یک طرف مساحت مربع با اضلاع (a + b) و از طرف دیگر مجموع مساحت چهار مثلث و مساحت مربع است. مربع داخلی

Q.E.D.

برهان اقلیدس

ایده پشت اثبات اقلیدس به این صورت است: بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که نیمی از مساحت مربع ساخته شده بر روی فرضیه برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها و سپس مساحت ها. از مربع بزرگ و دو مربع کوچک مساوی است.

نقاشی سمت چپ را در نظر بگیرید. روی آن مربع هایی را در اضلاع یک مثلث قائم الزاویه ساختیم و از راس زاویه قائم C عمود بر فرض AB یک پرتو s رسم کردیم و مربع ABIK را که روی هیپوتنوز ساخته شده است به دو مستطیل برش داد - BHJI و HAKJ به ترتیب. معلوم می شود که مساحت این مستطیل ها دقیقاً برابر با مساحت مربع های ساخته شده روی پایه های مربوطه است.

بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که مساحت مربع DECA برابر است با مساحت مستطیل AHJK برای این کار، از یک مشاهده کمکی استفاده می کنیم: مساحت مثلثی با ارتفاع و قاعده یکسان با این مستطیل. برابر با نصف مساحت مستطیل داده شده است. این نتیجه تعریف مساحت مثلث به عنوان نصف حاصلضرب پایه و ارتفاع است. از این مشاهدات نتیجه می شود که مساحت مثلث ACK برابر با مساحت مثلث AHK است (در شکل نشان داده نشده است) که به نوبه خود برابر با نصف مساحت مستطیل AHJK است. .

اکنون ثابت کنیم که مساحت مثلث ACK نیز برابر با نصف مساحت مربع DECA است. تنها کاری که برای این کار باید انجام شود اثبات تساوی مثلث های ACK و BDA است (زیرا مساحت مثلث BDA برابر با نصف مساحت مربع طبق ویژگی فوق است). تساوی آشکار است: مثلث ها در دو ضلع و زاویه بین آنها برابر هستند. یعنی - AB = AK، AD = AC - تساوی زوایای CAK و BAD با روش حرکت به راحتی قابل اثبات است: مثلث CAK را 90 درجه خلاف جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخانیم، سپس مشخص است که اضلاع مربوط به دو مثلث زیر در نظر گرفتن منطبق خواهد شد (زیرا زاویه در راس مربع 90 درجه است).

استدلال در مورد تساوی مساحت های مربع BCFG و مستطیل BHJI کاملاً مشابه است.

بنابراین، ما ثابت کردیم که مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتنوس مجموع مساحت مربع های ساخته شده روی پاها است. ایده پشت این اثبات بیشتر با انیمیشن بالا نشان داده شده است.

اثبات لئوناردو داوینچی

عناصر اصلی اثبات تقارن و حرکت هستند.

نقاشی را در نظر بگیرید، همانطور که از تقارن مشاهده می شود، قطعه مربع را به دو قسمت یکسان برش می دهد (از آنجایی که مثلث ها از نظر ساختاری برابر هستند).

با چرخش 90 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت حول یک نقطه، می بینیم که ارقام سایه دار و برابر هستند.

اکنون مشخص است که مساحت شکل سایه دار برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های کوچک (ساخته شده بر روی پاها) و مساحت مثلث اصلی. از سوی دیگر، برابر است با نصف مساحت مربع بزرگ (ساخته شده بر روی هیپوتنوز) به اضافه مساحت مثلث اصلی. بنابراین، نیمی از مجموع مساحت مربع های کوچک برابر با نصف مساحت مربع بزرگ است و بنابراین مجموع مساحت مربع های ساخته شده روی پاها برابر با مساحت مربع بزرگ است. مربع ساخته شده بر روی هیپوتانوس.

اثبات با روش بینهایت کوچک

اثبات زیر با استفاده از معادلات دیفرانسیل اغلب به ریاضیدان معروف انگلیسی هاردی نسبت داده می شود که در نیمه اول قرن بیستم زندگی می کرد.

با نگاهی به نقاشی نشان داده شده در شکل و مشاهده تغییر ضلع آ، می توانیم رابطه زیر را برای بی نهایت کوچک افزایشی اضلاع بنویسیم باو آ(با استفاده از تشابه مثلث ها):

با استفاده از روش جداسازی متغیرها متوجه می شویم

یک عبارت کلی تر برای تغییر هیپوتانوس در مورد افزایش هر دو پا

با ادغام این معادله و با استفاده از شرایط اولیه به دست می آوریم

بدین ترتیب به پاسخ مورد نظر می رسیم

همانطور که به راحتی می توان دید، وابستگی درجه دوم در فرمول نهایی به دلیل تناسب خطی بین اضلاع مثلث و افزایش ها ظاهر می شود، در حالی که مجموع مربوط به مشارکت مستقل از افزایش پایه های مختلف است.

اگر فرض کنیم که یکی از پاها افزایشی را تجربه نمی کند (در این مورد، ساق) می توان اثبات ساده تری به دست آورد. سپس برای ثابت ادغام بدست می آوریم

تغییرات و تعمیم

اشکال هندسی مشابه در سه طرف

تعمیم برای مثلث های مشابه، مساحت اشکال سبز A + B = مساحت C آبی

قضیه فیثاغورث با استفاده از مثلث های قائم الزاویه مشابه

تعمیم قضیه فیثاغورث توسط اقلیدس در کار خود انجام شد آغازها، مساحت مربع ها را در اضلاع به قسمت هایی با اشکال هندسی مشابه گسترش می دهد:

اگر اشکال هندسی مشابهی (به هندسه اقلیدسی مراجعه کنید) در اضلاع یک مثلث قائم الزاویه بسازید، مجموع دو شکل کوچکتر برابر با مساحت شکل بزرگتر خواهد بود.

ایده اصلی این تعمیم این است که مساحت چنین شکل هندسی با مربع هر یک از ابعاد خطی آن و به ویژه با مربع طول هر ضلع متناسب است. بنابراین، برای ارقام مشابه با مناطق آ, بو سیساخته شده در دو طرف با طول آ, بو ج، ما داریم:

اما طبق قضیه فیثاغورث، آ 2 + ب 2 = ج 2، سپس آ + ب = سی.

برعکس، اگر بتوانیم آن را ثابت کنیم آ + ب = سیبرای سه شکل هندسی مشابه بدون استفاده از قضیه فیثاغورث، می‌توانیم خود قضیه را ثابت کنیم و در جهت مخالف حرکت کنیم. به عنوان مثال، مثلث مرکز شروع را می توان مجدداً به عنوان یک مثلث استفاده کرد سیروی هیپوتانوس و دو مثلث قائم الزاویه مشابه ( آو ب) ساخته شده در دو ضلع دیگر که در نتیجه تقسیم مثلث مرکزی بر ارتفاع آن به وجود آمده اند. مجموع دو ناحیه کوچکتر مثلث به وضوح برابر با مساحت سوم است، بنابراین آ + ب = سیو با انجام برهان های قبلی به ترتیب معکوس، قضیه فیثاغورث a 2 + b 2 = c 2 را به دست می آوریم.

قضیه کسینوس

قضیه فیثاغورث یک مورد خاص از قضیه کسینوس عمومی تر است که طول اضلاع را در یک مثلث دلخواه به هم مرتبط می کند:

جایی که θ زاویه بین اضلاع است آو ب.

اگر θ 90 درجه است پس cos θ = 0 و فرمول به قضیه فیثاغورث معمولی ساده شده است.

مثلث دلخواه

به هر گوشه انتخاب شده از یک مثلث دلخواه با اضلاع الف، ب، جیک مثلث متساوی الساقین را به گونه ای می نویسیم که زوایای مساوی در قاعده θ برابر با زاویه انتخاب شده باشد. فرض کنید زاویه انتخاب شده θ در مقابل ضلع مشخص شده باشد ج... در نتیجه، یک مثلث ABD با زاویه θ به دست آوردیم که در مقابل ضلع قرار دارد آو مهمانی ها r... مثلث دوم از زاویه θ که در مقابل ضلع است تشکیل می شود بو مهمانی ها باطول س، همانطور که در تصویر نشان داده شده است. ثابت بن قره استدلال می کند که اضلاع در این سه مثلث به صورت زیر به هم متصل هستند:

با نزدیک شدن زاویه θ به π / 2، قاعده مثلث متساوی الساقین کاهش می یابد و دو ضلع r و s کمتر و کمتر همپوشانی دارند. وقتی θ = π / 2، ADB به یک مثلث قائم الزاویه تبدیل می شود، r + س = جو قضیه فیثاغورث اولیه را بدست می آوریم.

بیایید یکی از دلایل را در نظر بگیریم. مثلث ABC همان زوایای مثلث ABD را دارد، اما به ترتیب معکوس. (دو مثلث با توجه به مجموع زوایای مثلث دارای یک زاویه مشترک در رأس B هستند، هر دو دارای زاویه θ و همچنین دارای زاویه سوم یکسان هستند.) بر این اساس، ABC شبیه بازتاب ABD مثلث DBA است. همانطور که در شکل پایین نشان داده شده است. اجازه دهید نسبت بین اضلاع مقابل و مجاور زاویه θ را بنویسیم،

همچنین بازتابی از مثلث دیگر،

بیایید کسرها را ضرب کنیم و این دو نسبت را جمع کنیم:

Q.E.D.

تعمیم برای مثلث های دلخواه از طریق متوازی الاضلاع

تعمیم برای مثلث های دلخواه،
منطقه سبز قطعه = مساحتآبی

اثبات این پایان نامه که در تصویر بالا

اجازه دهید با استفاده از متوازی الاضلاع در سه ضلع به جای مربع، به مثلث های غیر مستطیلی تعمیم دهیم. (مربع ها حالت خاصی هستند.) شکل بالا نشان می دهد که برای یک مثلث حاد زاویه، مساحت متوازی الاضلاع در ضلع بلند برابر است با مجموع متوازی الاضلاع در دو ضلع دیگر، مشروط بر اینکه متوازی الاضلاع روی ضلع بلند همانطور که در شکل نشان داده شده است ساخته شده است (ابعاد مشخص شده با فلش یکسان است و اضلاع متوازی الاضلاع پایینی را تعیین می کند). این جایگزینی مربع ها با متوازی الاضلاع شباهت آشکاری به قضیه اولیه فیثاغورث دارد، اعتقاد بر این است که توسط پاپوس اسکندریه در سال 4 پس از میلاد فرموله شده است. ه.

شکل پایین پیشرفت اثبات را نشان می دهد. بیایید به سمت چپ مثلث نگاه کنیم. متوازی الاضلاع سبز سمت چپ همان مساحت سمت چپ متوازی الاضلاع آبی را دارد زیرا آنها قاعده یکسانی دارند. بو ارتفاع ساعت... علاوه بر این، متوازی الاضلاع سبز سمت چپ همان مساحت متوازی الاضلاع سبز سمت چپ در شکل بالا را دارد زیرا دارای قاعده مشترک (سمت چپ بالای مثلث) و ارتفاع کل عمود بر آن ضلع مثلث هستند. با استدلال مشابه برای ضلع راست مثلث، ثابت می کنیم که متوازی الاضلاع پایینی مساحتی برابر با دو متوازی الاضلاع سبز دارد.

اعداد مختلط

قضیه فیثاغورث برای یافتن فاصله بین دو نقطه در یک سیستم مختصات دکارتی استفاده می شود و این قضیه برای همه مختصات درست صادق است: فاصله: سبین دو نقطه ( الف، ب) و ( ج، د) برابر است

اگر با اعداد مختلط به عنوان بردارهایی با مولفه های واقعی برخورد کنید، فرمول مشکلی ندارد ایکس + من y = (ایکس, y). ... به عنوان مثال فاصله سبین 0 + 1 منو 1 + 0 منما به عنوان مدول بردار محاسبه می کنیم (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), یا

با این وجود، برای عملیات با بردارهایی با مختصات پیچیده، لازم است که در فرمول فیثاغورث بهبود خاصی ایجاد شود. فاصله بین نقاط دارای اعداد مختلط ( آ, ب) و ( ج, د); آ, ب, ج، و دهمه پیچیده هستند، ما با استفاده از مقادیر مطلق فرمول بندی می کنیم. فاصله سبر اساس تفاوت برداری (آ − ج, ب − د) به شکل زیر: اجازه دهید تفاوت آ − ج = پ+ من q، جایی که پ- بخش واقعی تفاوت، qقسمت خیالی است و i = √ (-1). به طور مشابه، اجازه دهید ب − د = r+ من س... سپس:

عدد مزدوج مختلط برای کجاست. به عنوان مثال، فاصله بین نقاط (آ, ب) = (0, 1) و (ج, د) = (من, 0) ، ما تفاوت را محاسبه می کنیم (آ − ج, ب − د) = (−من, 1) و در نتیجه اگر از مزدوج های پیچیده استفاده نمی شد 0 می گیریم. بنابراین، با استفاده از فرمول بهبود یافته، دریافت می کنیم

ماژول به صورت زیر تعریف شده است:

استریومتری

تعمیم قابل توجهی از قضیه فیثاغورث برای فضای سه بعدی، قضیه دی گوا است که به نام J.-P نامگذاری شده است. de Gua: اگر چهار وجهی زاویه ای قائمه داشته باشد (مثل یک مکعب)، مربع مساحت صورت که در مقابل زاویه راست قرار دارد برابر است با مجموع مربع های مساحت سه وجه دیگر. این نتیجه گیری را می توان اینگونه خلاصه کرد: n-قضیه فیثاغورث بعدی ":

قضیه فیثاغورث در فضای سه بعدی مورب AD را با سه ضلع به هم متصل می کند.

تعمیم دیگر: قضیه فیثاغورث را می توان به شکل زیر در قالب سنجی اعمال کرد. همانطور که در شکل نشان داده شده است یک متوازی الاضلاع مستطیلی را در نظر بگیرید. اجازه دهید طول قطر BD را با قضیه فیثاغورث پیدا کنیم:

که در آن سه ضلع یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل می دهند. ما از مورب افقی BD و لبه عمودی AB برای یافتن طول قطر AD استفاده می کنیم، برای این کار دوباره از قضیه فیثاغورث استفاده می کنیم:

یا اگر همه چیز در یک معادله نوشته شده باشد:

این نتیجه یک عبارت سه بعدی برای تعیین بزرگی یک بردار است v(مورب AD) که بر حسب مولفه های عمود بر آن بیان می شود ( vک) (سه ضلع عمود بر هم):

این معادله را می توان به عنوان تعمیم قضیه فیثاغورث برای فضای چند بعدی در نظر گرفت. با این حال، نتیجه در واقع چیزی نیست جز استفاده مکرر از قضیه فیثاغورث برای دنباله ای از مثلث های قائم الزاویه در صفحات متوالی عمود بر هم.

فضای برداری

در مورد یک سیستم متعامد از بردارها، تساوی برقرار است که به آن قضیه فیثاغورث نیز گفته می شود:

اگر طرح بردار بر روی محورهای مختصات باشد، پس این فرمول با فاصله اقلیدسی منطبق است - و به این معنی است که طول بردار برابر است با ریشه دوم مجموع مجذورات اجزای آن.

مشابه این برابری در مورد سیستم نامتناهی از بردارها برابری پارسوال نامیده می شود.

هندسه غیر اقلیدسی

قضیه فیثاغورث از بدیهیات هندسه اقلیدسی گرفته شده است و در واقع برای هندسه غیراقلیدسی به شکلی که در بالا نوشته شده معتبر نیست. (یعنی قضیه فیثاغورث به نوعی معادل فرض توازی اقلیدس است) به عبارت دیگر، در هندسه غیراقلیدسی، نسبت بین اضلاع یک مثلث لزوماً به شکلی متفاوت از قضیه فیثاغورث خواهد بود. . به عنوان مثال، در هندسه کروی، هر سه ضلع یک مثلث قائم الزاویه (مثلاً آ, بو ج) که اکتانت (قسمت هشتم) واحد کره را محدود می کند، دارای طول π / 2 است که با قضیه فیثاغورث در تضاد است، زیرا آ 2 + ب 2 ≠ ج 2 .

در اینجا دو مورد از هندسه غیر اقلیدسی را در نظر بگیرید - هندسه کروی و هذلولی. در هر دو مورد، مانند فضای اقلیدسی برای مثلث های قائم الزاویه، نتیجه ای که جایگزین قضیه فیثاغورث می شود از قضیه کسینوس به دست می آید.

با این حال، قضیه فیثاغورث برای هندسه هذلولی و بیضوی معتبر باقی می ماند، اگر شرط مستطیل بودن مثلث با شرطی جایگزین شود که مجموع دو زاویه مثلث باید برابر با سوم باشد. آ+ب = سی... سپس نسبت بین دو طرف به این صورت است: مجموع مساحت دایره های با قطر آو ببرابر با مساحت دایره ای با قطر ج.

هندسه کروی

برای هر مثلث قائم الزاویه روی کره ای با شعاع آر(به عنوان مثال، اگر زاویه γ در یک مثلث یک خط مستقیم باشد) با اضلاع آ, ب, جروابط بین طرفین به شکل زیر خواهد بود:

این برابری را می توان به عنوان یک مورد خاص از قضیه کسینوس کروی به دست آورد که برای همه مثلث های کروی صادق است:

جایی که cosh کسینوس هذلولی است. این فرمول یک مورد خاص از قضیه کسینوس هذلولی است که برای همه مثلث ها معتبر است:

که γ زاویه ای است که راس آن مخالف ضلع است ج.

جایی که g ijتانسور متریک نامیده می شود. می تواند تابعی از موقعیت باشد. چنین فضاهای منحنی شامل هندسه ریمانی به عنوان مثال کلی است. این فرمول همچنین برای فضای اقلیدسی در هنگام استفاده از مختصات منحنی مناسب است. به عنوان مثال، برای مختصات قطبی:

محصول برداری

قضیه فیثاغورث دو عبارت را برای بزرگی حاصلضرب بردار به هم متصل می کند. یک رویکرد برای تعریف یک محصول متقاطع مستلزم این است که معادله را برآورده کند:

این فرمول از محصول نقطه استفاده می کند. سمت راست معادله را دترمینان گرم می نامند آو بکه برابر با مساحت متوازی الاضلاع تشکیل شده توسط این دو بردار است. بر اساس این نیاز و همچنین نیاز به عمود بودن حاصلضرب بردار بر اجزای آن آو بنتیجه می شود که به استثنای موارد جزئی از فضای 0 و 1 بعدی، حاصلضرب برداری فقط در سه و هفت بعد تعریف می شود. ما از تعریف زاویه در استفاده می کنیم n-فضای بعدی:

این ویژگی محصول برداری مقدار خود را به شکل زیر می دهد:

از طریق هویت مثلثاتی اساسی فیثاغورث، شکل دیگری از ثبت مقدار آن را به دست می آوریم:

یک رویکرد جایگزین برای تعریف یک محصول متقاطع از یک عبارت برای اندازه آن استفاده می کند. سپس، با استدلال به ترتیب معکوس، یک ارتباط با محصول نقطه ای دریافت می کنیم:

را نیز ببینید

یادداشت ها (ویرایش)

1. موضوع تاریخ: قضیه فیثاغورث در ریاضیات بابلی
2. ( ص 351 ) ص 351
3. (جلد اول ص 144)
4. بحث از حقایق تاریخی در (، ص 351) ص 351 آمده است
5. کورت فون فریتز (آوریل 1945). "کشف قیاس ناپذیری توسط هیپاسوس متاپونتوم." سالنامه ریاضیات، سری دوم(سالنامه ریاضیات) 46 (2): 242–264.
6. لوئیس کارول، «داستانی با گره ها»، م.، میر، 1985، ص. 7
7. اسگر آبوئهاپیزودهایی از تاریخ اولیه ریاضیات. - انجمن ریاضی آمریکا، 1997. - ص 51. - ISBN 0883856131
8. گزاره فیثاغورثی، توسط الیشا اسکات لومیس
9. اقلیدس عناصر: کتاب ششم، گزاره ششم 31: "در مثلث های قائم الزاویه، شکل ضلعی که زاویه قائمه را می گیرد برابر است با شکل های مشابه و مشابه توصیف شده در اضلاع حاوی زاویه قائمه."
10. لارنس اس. لف کار ذکر شده... - سری آموزشی بارون - ص 326. - شابک 0764128922
11. هوارد ویتلی ایو§4.8: ... تعمیم قضیه فیثاغورث // لحظات بزرگ در ریاضیات (قبل از 1650). - انجمن ریاضی آمریکا، 1983. - ص 41. - ISBN 0883853108
12. طبیت بن قرّه (با نام کامل ثابت بن قره بن مروان الصابیع الحرانی) (901-826 پس از میلاد) پزشکی ساکن بغداد بود که مطالب زیادی در مورد عناصر اقلیدس و سایر موضوعات ریاضی نوشت.
13. آیدین ساییلی (مارس 1960). تعمیم قضیه فیثاغورث توسط ثابت بن قره. داعش 51 (1): 35-37. DOI: 10.1086 / 348837.
14. جودیت دی سالی، پل سالیتمرین 2.10 (ii) // کار ذکر شده. - ص 62. - شابک 0821844032
15. برای جزئیات چنین ساخت و ساز، نگاه کنید به جورج جنینگزشکل 1.32: قضیه فیثاغورث تعمیم یافته // هندسه مدرن با کاربرد: با 150 شکل. - 3. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
16. آرلن براون، کارل ام. پیرسیمورد سی: هنجار برای دلخواه n-tuple ... // مقدمه ای بر تحلیل. - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692همچنین به صفحات 47-50 مراجعه کنید.
17. آلفرد گری، السا آبنا، سایمون سالامونهندسه دیفرانسیل مدرن منحنی ها و سطوح با Mathematica. - 3. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. راجندرا باتیاتحلیل ماتریسی - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. استیون دبلیو هاوکینگ کار ذکر شده... - 2005. - ص 4. - ISBN 0762419229

قضیه فیثاغورث می گوید:

در یک مثلث قائم الزاویه مجموع مربع های پاها برابر با مجذور هیپوتانوس است:

a 2 + b 2 = c 2,

• آو ب- پاها که زاویه راست تشکیل می دهند.
• با- هیپوتنوز مثلث.

فرمول های قضیه فیثاغورث

• a = \ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
• b = \ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
• c = \ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

اثبات قضیه فیثاغورث

مساحت یک مثلث قائم الزاویه با فرمول محاسبه می شود:

S = \ frac (1) (2) ab

برای محاسبه مساحت یک مثلث دلخواه، فرمول مساحت به صورت زیر است:

• پ- نیم محیطی p = \ فرک (1) (2) (a + b + c)،
• rشعاع دایره محاطی است. برای مستطیل r = \ frac (1) (2) (a + b-c).

سپس ضلع سمت راست هر دو فرمول را برای مساحت یک مثلث برابر می کنیم:

\ فراک (1) (2) ab = \ فرک (1) (2) (a + b + c) \ فرک (1) (2) (a + b-c)

2 ab = (a + b + c) (a + b-c)

2 ab = \ چپ ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \ راست)

2 ab = a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 = a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) = a ^ (2) + b ^ (2)

قضیه فیثاغورث معکوس:

اگر مربع یک ضلع مثلث با مجموع مربع های دو ضلع دیگر برابر باشد، آن مثلث قائم الزاویه است. یعنی برای هر سه عدد از اعداد مثبت الف، بو جبه طوری که

a 2 + b 2 = c 2,

یک مثلث قائم الزاویه با پاها وجود دارد آو بو هیپوتانوز ج.

قضیه فیثاغورس- یکی از قضایای اساسی هندسه اقلیدسی، ایجاد رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه. توسط دانشمند ریاضیدان و فیلسوف فیثاغورث ثابت شد.

معنای قضیهبه این صورت که می توان از آن برای اثبات قضایای دیگر و حل مسائل استفاده کرد.

مواد اضافی:

قضیه فیثاغورث می گوید:

در یک مثلث قائم الزاویه مجموع مربع های پاها برابر با مجذور هیپوتانوس است:

a 2 + b 2 = c 2,

• آو ب- پاها که زاویه راست تشکیل می دهند.
• با- هیپوتنوز مثلث.

فرمول های قضیه فیثاغورث

• a = \ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
• b = \ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
• c = \ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

اثبات قضیه فیثاغورث

مساحت یک مثلث قائم الزاویه با فرمول محاسبه می شود:

S = \ frac (1) (2) ab

برای محاسبه مساحت یک مثلث دلخواه، فرمول مساحت به صورت زیر است:

• پ- نیم محیطی p = \ فرک (1) (2) (a + b + c)،
• rشعاع دایره محاطی است. برای مستطیل r = \ frac (1) (2) (a + b-c).

سپس ضلع سمت راست هر دو فرمول را برای مساحت یک مثلث برابر می کنیم:

\ فراک (1) (2) ab = \ فرک (1) (2) (a + b + c) \ فرک (1) (2) (a + b-c)

2 ab = (a + b + c) (a + b-c)

2 ab = \ چپ ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \ راست)

2 ab = a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 = a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) = a ^ (2) + b ^ (2)

قضیه فیثاغورث معکوس:

اگر مربع یک ضلع مثلث با مجموع مربع های دو ضلع دیگر برابر باشد، آن مثلث قائم الزاویه است. یعنی برای هر سه عدد از اعداد مثبت الف، بو جبه طوری که

a 2 + b 2 = c 2,

یک مثلث قائم الزاویه با پاها وجود دارد آو بو هیپوتانوز ج.

قضیه فیثاغورس- یکی از قضایای اساسی هندسه اقلیدسی، ایجاد رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه. توسط دانشمند ریاضیدان و فیلسوف فیثاغورث ثابت شد.

معنای قضیهبه این صورت که می توان از آن برای اثبات قضایای دیگر و حل مسائل استفاده کرد.

مواد اضافی: