نحوه گسترش پرانتز در عبارات و معادلات. قوانین ریاضی

از براکت ها برای نشان دادن ترتیب انجام اقدامات در عبارات عددی، تحت اللفظی و متغیر استفاده می شود. عبور از یک عبارت با پرانتز به یک عبارت یکسان بدون پرانتز راحت است. این تکنیک گسترش پرانتز نامیده می شود.

Expand پرانتز به معنای خلاص شدن از شر عبارت از آن پرانتز است.

یک نکته دیگر سزاوار توجه ویژه است که مربوط به ویژگی های ضبط تصمیمات هنگام باز کردن پرانتز است. می توانیم عبارت اولیه را با پرانتز بنویسیم و نتیجه ای که پس از بسط پرانتز به دست می آید را به صورت مساوی بنویسیم. به عنوان مثال، پس از گسترش پرانتز، به جای عبارت
3- (5-7) عبارت 3-5 + 7 را دریافت می کنیم. می‌توانیم هر دوی این عبارات را به‌عنوان برابری 3- (5-7) = 3-5 + 7 بنویسیم.

و یک نکته مهم دیگر. در ریاضیات، برای کوتاه کردن رکوردها، مرسوم است که اگر ابتدا در یک عبارت یا داخل پرانتز آمده، علامت مثبت ننویسند. به عنوان مثال، اگر دو عدد مثبت، مثلاً هفت و سه را با هم جمع کنیم، آنگاه نه + 7 + 3، بلکه به سادگی 7 + 3 می نویسیم، با وجود این که هفت نیز یک عدد مثبت است. به همین ترتیب، اگر مثلاً عبارت (5 + x) را مشاهده کردید - بدانید که جلوی پرانتز یک مثبت وجود دارد که نوشته نشده است و جلوی آن پنج به علاوه + (+ 5 + x) وجود دارد. .

قانون گسترش پرانتز علاوه بر این

هنگام باز کردن پرانتز، اگر جلوی پرانتزها مثبت باشد، این بعلاوه همراه با پرانتز حذف می شود.

مثال. پرانتزها را در عبارت 2 + (7 + 3) قبل از پرانتز، بعلاوه، بزرگ کنید تا علائم جلوی اعداد داخل پرانتز تغییر نکند.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

قانون گسترش پرانتز هنگام تفریق

اگر جلوی پرانتزها منهای وجود داشته باشد، این منفی همراه با براکت ها حذف می شود، اما عبارت هایی که در پرانتز بودند، علامت خود را به عکس تغییر می دهند. عدم وجود علامت در مقابل عبارت اول داخل پرانتز به معنی علامت + است.

مثال. بزرگ کردن پرانتز در عبارت 2 - (7 + 3)

جلوی پرانتزها یک منهای وجود دارد، به این معنی که باید علائم را قبل از اعداد روی پرانتز تغییر دهید. قبل از عدد 7 هیچ علامتی در پرانتز وجود ندارد، به این معنی که هفت مثبت است، در نظر گرفته می شود که یک علامت + جلوی آن وجود دارد.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

هنگام گسترش براکت ها، منهای که در جلوی براکت ها بود را از مثال حذف می کنیم و خود براکت ها 2 - (+ 7 + 3) هستند و علائمی که در براکت ها بودند معکوس می شوند.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

بسط پرانتز در ضرب

اگر جلوی پرانتز علامت ضرب باشد، هر عدد داخل پرانتز در ضریب جلوی پرانتز ضرب می شود. در این حالت با ضرب یک منهای در منهای یک مثبت به دست می آید و از ضرب منهای در مثبت و همچنین ضرب یک مثبت در منهای یک منهای به دست می آید.

بنابراین، پرانتزها در آثار مطابق با خاصیت توزیعی ضرب گسترش می‌یابند.

مثال. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

وقتی یک پرانتز را در یک پرانتز ضرب می کنید، هر عضو پرانتز اول با هر عضو پرانتز دوم ضرب می شود.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

در واقع، نیازی به حفظ همه قوانین نیست، فقط یک چیز را به خاطر بسپارید، این عبارت است از: c (a-b) = ca-cb. چرا؟ زیرا اگر به جای c یکی را در آن جایگزین کنید، قانون (a - b) = a - b را دریافت می کنید. و اگر منهای یک را جایگزین کنیم، قانون - (a - b) = - a + b را بدست می آوریم. خوب، اگر به جای c پرانتز دیگری را جایگزین کنید، می توانید قانون آخر را دریافت کنید.

بزرگ کردن پرانتز هنگام تقسیم

اگر بعد از پرانتز علامت تقسیم وجود داشته باشد، هر عدد داخل پرانتز به مقسوم علیه بعد از پرانتز تقسیم می شود و بالعکس.

مثال. (9 + 6): 3 = 9: 3 + 6: 3

نحوه گسترش پرانتزهای تو در تو

اگر عبارت حاوی پرانتزهای تو در تو باشد، آنها به ترتیب گسترش می یابند و از بیرونی یا درونی شروع می شوند.

در عین حال، هنگام باز کردن یکی از براکت ها، مهم است که به بقیه براکت ها دست نزنید، فقط آنها را همانطور که هستند بازنویسی کنید.

مثال. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

معادلات خطی راه حل، مثال

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی ..." هستند
و برای کسانی که "بسیار حتی ...")

معادلات خطی

معادلات خطی دشوارترین مبحث در ریاضیات مدرسه نیستند. اما ترفندهایی وجود دارد که می تواند حتی یک دانش آموز آموزش دیده را نیز متحیر کند. بفهمیم؟)

به طور معمول، یک معادله خطی به عنوان معادله ای از شکل زیر تعریف می شود:

تبر + ب = 0 جایی که الف و ب- هر عدد

2x + 7 = 0. در اینجا a = 2، b = 7

0.1x - 2.3 = 0 در اینجا a = 0.1، b = -2.3

12x + 1/2 = 0 در اینجا a = 12، b = 1/2

هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟ به خصوص اگر متوجه کلمات زیر نباشید: "جایی که a و b هر عددی هستند"... و اگر متوجه شدید، اما بی دقت فکر کنید؟) پس از همه، اگر a = 0، b = 0(هر عددی ممکن است؟)، سپس یک عبارت خنده دار دریافت می کنید:

اما این همه ماجرا نیست! اگر بگو a = 0،آ b = 5،چیزی کاملاً غیرعادی به نظر می رسد:

که اعتماد به نفس در ریاضیات را تحت فشار قرار می دهد و تضعیف می کند، بله ...) به خصوص در امتحانات. اما از بین این عبارات عجیب باید X را هم پیدا کرد! که اصلا وجود ندارد. و در کمال تعجب، یافتن این X بسیار آسان است. ما یاد خواهیم گرفت که چگونه این کار را انجام دهیم. در این آموزش

چگونه یک معادله خطی را از روی ظاهر آن تشخیص دهید؟ این بستگی به ظاهر دارد.) ترفند این است که معادلات خطی نه تنها معادلات فرم نامیده می شوند تبر + ب = 0 ، بلکه هر معادله ای که با تبدیل و ساده سازی به این شکل کاهش می یابد. و چه کسی می داند که آیا می توان آن را کاهش داد یا نه؟)

یک معادله خطی در برخی موارد به وضوح قابل تشخیص است. بگو، اگر معادله ای داریم که در آن فقط مجهولات درجه اول و اعداد وجود دارد. و در معادله وجود ندارد کسری تقسیم بر ناشناخته , مهم است! و تقسیم بر عدد،یا کسری عددی - لطفا! برای مثال:

این یک معادله خطی است. در اینجا کسری وجود دارد، اما هیچ x در مربع، در مکعب و غیره وجود ندارد، و هیچ x در مخرج وجود ندارد، یعنی. خیر تقسیم بر x... و این معادله است

نمی توان خطی نامید. در اینجا x ها همه در درجه اول هستند، اما وجود دارد تقسیم بر عبارت با x... پس از ساده سازی ها و تبدیل ها، می توانید یک معادله خطی و یک درجه دوم و هر چیزی که دوست دارید بدست آورید.

معلوم می شود که تا زمانی که تقریباً آن را حل نکنید، یافتن یک معادله خطی در برخی مثال های پیچیده غیرممکن است. این ناراحت کننده است. اما تکالیف معمولاً در مورد نوع معادله سؤال نمی کنند، درست است؟ در تکالیف، معادلات دستور داده می شوند حل.این باعث خوشحالی من می شود.)

حل معادلات خطی مثال ها.

کل حل معادلات خطی از تبدیل معادلات یکسان تشکیل شده است. به هر حال، این دگرگونی ها (به اندازه دو!) زیربنای راه حل ها هستند تمام معادلات ریاضیبه عبارت دیگر راه حل هرمعادله با همین دگرگونی ها آغاز می شود. در مورد معادلات خطی، آن (راه حل) بر اساس این تبدیل ها است و با یک پاسخ کامل به پایان می رسد. منطقی است که پیوند را دنبال کنید، درست است؟) علاوه بر این، نمونه هایی از حل معادلات خطی نیز وجود دارد.

بیایید با ساده ترین مثال شروع کنیم. بدون هیچ تله ای. فرض کنید باید این معادله را حل کنیم.

x - 3 = 2 - 4x

این یک معادله خطی است. X همه در درجه اول است، تقسیم بر X وجود ندارد. اما، در واقع، برای ما مهم نیست که چه معادله ای است. ما باید آن را حل کنیم. این طرح در اینجا ساده است. همه چیز را با x در سمت چپ برابری، همه چیز بدون x (عدد) در سمت راست را جمع آوری کنید.

برای انجام این کار، باید انتقال دهید - 4 برابر سمت چپ، البته با تغییر علامت، اما - 3 - به سمت راست. به هر حال، این است اولین تبدیل یکسان معادلات.تعجب کردی؟ بنابراین، ما پیوند را دنبال نکردیم، اما بیهوده ...) دریافت می کنیم:

x + 4x = 2 + 3

ما موارد مشابه را ارائه می دهیم، معتقدیم:

برای خوشبختی کامل چه چیزی کم داریم؟ بله، به طوری که یک X تمیز در سمت چپ وجود داشت! پنج در راه است. خلاص شدن از شر پنج با دومین تبدیل یکسان معادلات.یعنی هر دو طرف معادله را بر 5 تقسیم می کنیم. جواب آماده می گیریم:

البته یک مثال ابتدایی. این برای گرم کردن است.) خیلی واضح نیست که چرا من تغییرات یکسان را در اینجا به یاد می آوردم؟ خوب. ما از شاخ گاو نر می گیریم.) بیایید چیزی تاثیرگذارتر تصمیم بگیریم.

به عنوان مثال، این معادله است:

از کجا شروع کنیم؟ با x - به سمت چپ، بدون x - به سمت راست؟ میتونه اینطور باشه در گام های کوچک در طول جاده طولانی. یا می توانید بلافاصله، به روشی جهانی و قدرتمند. اگر، البته، در زرادخانه شما تبدیلات یکسان معادلات وجود دارد.

من از شما یک سوال کلیدی می پرسم: چه چیزی را در این معادله بیشتر دوست ندارید؟

95 نفر از 100 نفر پاسخ خواهند داد: کسری ! پاسخ درست است. پس بیایید از شر آنها خلاص شویم. بنابراین، ما بلافاصله شروع می کنیم تغییر هویت دوم... برای ضرب کسری سمت چپ به چه چیزی نیاز دارید تا مخرج به طور کامل کاهش یابد؟ سمت راست، در 3. و در سمت راست؟ در 4. اما ریاضیات به ما اجازه می دهد که هر دو طرف را در ضرب کنیم همان تعداد... چطوری بریم بیرون و بیایید هر دو طرف را در 12 ضرب کنیم! آن ها توسط یک مخرج مشترک سپس هر دو سه و چهار کاهش می یابد. فراموش نکنید که باید هر قسمت را ضرب کنید. کاملا... این چیزی است که مرحله اول به نظر می رسد:

گسترش براکت ها:

توجه داشته باشید! صورت کسر (x + 2)داخل پرانتز گذاشتم! این به این دلیل است که وقتی کسرها را ضرب می کنید، صورت حساب به طور کامل، به طور کامل ضرب می شود! و اکنون کسرها را می توان کاهش داد:

براکت های باقی مانده را باز کنید:

نمونه نیست، اما لذت محض!) حالا ما طلسم کلاس های ابتدایی را به یاد می آوریم: با x - به سمت چپ، بدون x - به سمت راست!و این تبدیل را اعمال کنید:

در اینجا موارد مشابه وجود دارد:

و هر دو قسمت را بر 25 تقسیم می کنیم، یعنی. تبدیل دوم را دوباره اعمال کنید:

همین. پاسخ: ایکس=0,16

توجه داشته باشید: برای اینکه معادله اشتباه اصلی را به شکل دلپذیری برسانیم، از دو (فقط دو!) استفاده کردیم. تحولات یکسان- انتقال چپ به راست با تغییر علامت و ضرب-تقسیم معادله بر همان عدد. این یک راه جهانی است! با این روش کار خواهیم کرد هر معادلات! مطلقا هر. به همین دلیل است که من همیشه این تغییرات یکسان را تکرار می کنم.)

همانطور که می بینید، اصل حل معادلات خطی ساده است. معادله را می گیریم و با کمک تبدیل های یکسان آن را ساده می کنیم تا به جواب برسیم. مشکلات اصلی در اینجا در محاسبات است، نه در اصل راه حل.

اما ... در فرآیند حل ابتدایی ترین معادلات خطی چنین شگفتی هایی وجود دارد که می توانند شما را به گیجی شدید بکشانند ...) خوشبختانه فقط دو شگفتی از این دست وجود دارد. بیایید آنها را موارد خاص بنامیم.

موارد خاص هنگام حل معادلات خطی.

سورپرایز اول

فرض کنید با یک معادله ابتدایی روبرو می شوید، چیزی شبیه به:

2x + 3 = 5x + 5 - 3x - 2

کمی حوصله اش را با x به چپ منتقل می کنیم، بدون x به راست ... با تغییر علامت، همه چیز چانه چینار است ...

2x-5x + 3x = 5-2-3

ما فکر می کنیم و ... اوه لعنتی !!! ما گرفتیم:

این برابری فی نفسه ایرادی ندارد. صفر واقعاً صفر است. اما X رفته است! و ما موظفیم در جواب بنویسیم که برابر با x است.در غیر این صورت، تصمیم به حساب نمی آید، بله ...) بن بست؟

آرام! در چنین موارد مشکوک، کلی ترین قوانین صرفه جویی می کنند. چگونه معادلات را حل کنیم؟ حل معادله به چه معناست؟ این یعنی، تمام مقادیر x را پیدا کنید که وقتی در معادله اصلی جایگزین شوند، برابری صحیح را به ما می دهند.

اما ما برابری واقعی داریم قبلا، پیش از ایناتفاق افتاد! 0 = 0، چقدر دقیق تر؟! باقی مانده است که بفهمیم در چه xx به نظر می رسد. چه مقادیری از x را می توان جایگزین کرد اولیهمعادله اگر این x ها باشد به هر حال به صفر می رسد؟بیا دیگه؟)

آره!!! X ها را می توان جایگزین کرد هر!آنچه شما می خواهید. حداقل 5، حداقل 0.05، حداقل -220. به هر حال کوچک خواهند شد. اگر من را باور ندارید، می توانید بررسی کنید.) هر مقدار x را جایگزین کنید اولیهمعادله و شمارش در تمام مدت، حقیقت محض به دست می آید: 0 = 0، 2 = 2، -7.1 = -7.1 و غیره.

در اینجا پاسخ است: x - هر عدد.

پاسخ را می توان با نمادهای مختلف ریاضی نوشت، ماهیت تغییر نمی کند. این یک پاسخ کاملا صحیح و کامل است.

سورپرایز دوم

بیایید همان معادله خطی ابتدایی را در نظر بگیریم و فقط یک عدد را در آن تغییر دهیم. این چیزی است که ما حل خواهیم کرد:

2x + 1 = 5x + 5 - 3x - 2

پس از همان دگرگونی های یکسان، چیز جالبی دریافت می کنیم:

مثل این. یک معادله خطی حل کرد، یک برابری عجیب به دست آورد. از نظر ریاضی، متوجه شدیم برابری کاذبو به زبان ساده، این درست نیست. دیوانه. اما با این وجود، این مزخرف دلیل بسیار خوبی برای حل صحیح معادله است.)

باز هم بر اساس قوانین کلی فکر می کنیم. هنگامی که x در معادله اصلی جایگزین شود، چه چیزی به ما می دهد درست است، واقعیبرابری؟ بله، هیچ کدام! چنین x هایی وجود ندارد. هر چیزی را جایگزین کنید، همه چیز کاهش می یابد، هذیان باقی می ماند.)

در اینجا پاسخ است: بدون راه حل

این نیز یک پاسخ کاملاً کامل است. در ریاضیات، چنین پاسخ هایی اغلب یافت می شود.

مثل این. حالا امیدوارم از دست دادن x در فرآیند حل هر معادله (نه فقط خطی) شما را به هیچ وجه گیج نکند. موضوع از قبل آشناست.)

اکنون که تمام مشکلات موجود در معادلات خطی را کشف کرده ایم، حل آنها منطقی است.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را بیابید. تست اعتبار سنجی فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

همه معادلات حاوی پرانتز به یک شکل حل نمی شوند. البته بیشتر اوقات نیاز به باز کردن براکت ها و دادن اصطلاحات مشابه دارند (در حالی که روش های باز کردن براکت ها متفاوت است). اما گاهی اوقات پرانتزها نیازی به بزرگ شدن ندارند. بیایید همه این موارد را با مثال های خاص در نظر بگیریم:

1. 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).
2. 2x - 3 (x + 5) = -12.
3. (x + 1) (7x - 21) = 0.

حل معادلات با گسترش پرانتز

این روش حل معادلات رایج ترین است، اما با وجود همه جهانی بودن ظاهری آن، بسته به روش باز کردن براکت ها به زیرگونه ها تقسیم می شود.

1) حل معادله 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).

در این معادله علامت منفی و مثبت جلوی پرانتز قرار دارند. برای گسترش براکت ها در حالت اول، جایی که علامت منفی جلوی آنها قرار دارد، باید همه علائم داخل براکت ها برعکس شوند. قبل از جفت پرانتز دوم یک علامت مثبت وجود دارد که روی کاراکترهای داخل پرانتز با نام مستعار تأثیری نخواهد داشت، بنابراین می توان آنها را به سادگی حذف کرد. ما گرفتیم:

5x - 3x + 7 = 9 - 4x + 16.

عبارت ها را با x به سمت چپ معادله و بقیه را به سمت راست منتقل می کنیم (علائم عبارت های منتقل شده به عکس تغییر می کند):

5x - 3x + 4x = 9 + 16 - 7.

در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:

برای یافتن عامل مجهول x، حاصل ضرب 18 را بر ضریب شناخته شده 6 تقسیم کنید:

x = 18/6 = 3.

2) حل معادله 2x - 3 (x + 5) = -12.

در این معادله نیز ابتدا باید پرانتزها را باز کنید، اما با اعمال ویژگی توزیع: برای ضرب -3 در مجموع (x + 5)، باید -3 را در هر جمله داخل پرانتز ضرب کنید و حاصل جمع حاصل را جمع کنید:

2x - 3x - 15 = -12

x = 3 / (-1) = 3.

حل معادلات بدون گسترش پرانتز

معادله سوم (x + 1) (7x - 21) = 0 را نیز می توان با باز کردن پرانتزها حل کرد، اما در چنین مواردی استفاده از خاصیت ضرب بسیار ساده تر است: حاصل ضرب برابر با صفر است که یکی از عوامل برابر با صفر است. به معنای:

x + 1 = 0 یا 7x - 21 = 0.

یکی از مهم ترین مهارت ها در پذیرش در کلاس 5توانایی حل ساده ترین معادلات است. از آنجایی که کلاس 5 هنوز با مدرسه ابتدایی فاصله زیادی ندارد، تعداد زیادی معادله وجود ندارد که دانش آموز بتواند آن را حل کند. ما شما را با تمام انواع اصلی معادلات آشنا می کنیم که اگر بخواهید بتوانید آنها را حل کنید در مدرسه فیزیک و ریاضی ثبت نام کنید.

نوع 1: "پیازدار"
اینها معادلاتی هستند که تقریباً به احتمال زیاد برای شما پیش می آیند پذیرش در هر مدرسهیا یک دایره کلاس 5 به عنوان یک کار جداگانه. آنها به راحتی از دیگران متمایز می شوند: متغیر فقط یک بار در آنها وجود دارد. به عنوان مثال، یا.
آنها بسیار ساده حل می شوند: شما فقط باید به ناشناخته "رسیدن" کنید، به تدریج همه چیزهای غیر ضروری را که اطراف آن را احاطه کرده است "حذف کنید". برای حل آن کافی است چند قانون از کلاس دوم را به خاطر بسپارید. بیایید همه آنها را فهرست کنیم:

اضافه

1. term1 + term2 = جمع
2. term1 = جمع - term2
3. term2 = جمع - term1

منها کردن

1. تفریق - تفریق = تفاوت
2. تفریق = تفریق + تفاوت
3. تفریق = تفریق - تفاوت

ضرب

1. فاکتور 1 * فاکتور 2 = محصول
2. فاکتور 1 = محصول: فاکتور 2
3. فاکتور 2 = محصول: فاکتور 1

بخش

1. سود: مقسوم = نصاب
2. سود = مقسوم علیه * ضریب
3. مقسم = سود سهام: نسبی

بیایید مثالی بزنیم که چگونه این قوانین را اعمال کنیم.

توجه داشته باشید که ما در حال تقسیم هستیم در و ما دریافت می کنیم. در این وضعیت مقسوم علیه و ضریب را می شناسیم. برای پیدا کردن سود تقسیمی، باید مقسوم علیه را در ضریب ضرب کنید:

کمی به خودمان نزدیک شدیم. اکنون می بینیم که به اضافه و به دست آمد. بنابراین، برای پیدا کردن یکی از جمله ها، باید عبارت شناخته شده را از مجموع کم کنید:

و یک "لایه" دیگر از ناشناخته حذف می شود! اکنون وضعیتی با مقدار مشخص محصول () و یک عامل شناخته شده () می بینیم.

اکنون وضعیت "کاهش - کم = تفاوت"

و آخرین مرحله محصول شناخته شده () و یکی از عوامل () است.

نوع 2: معادلات با براکت
معادلات از این نوع اغلب در مسائل مواجه می شوند - 90٪ از همه مسائل برای پذیرش در کلاس 5... بر خلاف "معادلات پیاز"متغیر می تواند چندین بار در اینجا ظاهر شود، بنابراین حل آن با استفاده از روش های پاراگراف قبلی غیرممکن است. معادلات معمولی: یا
مشکل اصلی این است که براکت ها را به درستی باز کنید. بعد از اینکه توانستیم این کار را به درستی انجام دهیم، باید اصطلاحات مشابه (اعداد به اعداد، متغیرها به متغیرها) را بیاوریم و پس از آن ساده ترین را بدست آوریم. "معادله پیازی"که می دانیم چگونه آن را حل کنیم. اما اول از همه.

براکت های در حال گسترش... ما چند قانون را ارائه خواهیم داد که باید در این مورد استفاده شود. اما، همانطور که تمرین نشان می دهد، دانش آموز تنها پس از 70-80 مشکل حل شده شروع به باز کردن صحیح براکت ها می کند. قاعده اصلی این است: هر عاملی که خارج از پرانتز است باید در هر جمله داخل پرانتز ضرب شود. و منهای جلوی پرانتز علامت تمام عبارات داخل را تغییر می دهد. بنابراین، قوانین اساسی افشا:

آوردن مشابه... همه چیز در اینجا بسیار ساده تر است: شما باید با انتقال شرایط از طریق علامت مساوی اطمینان حاصل کنید که در یک طرف فقط اصطلاحات با مجهول وجود دارد و از طرف دیگر - فقط اعداد. قانون اساسی این است: هر عبارت منتقل شده علامت خود را تغییر می دهد - اگر با آن بود، تبدیل به c می شود و بالعکس. پس از انتقال موفقیت آمیز، باید تعداد مجهول ها را بشمارید، عدد نهایی که در سمت دیگر برابری قرار دارد، به جای متغیرها، و عدد اول را حل کنید. "معادله پیازی".

معادله ای با یک مجهول که پس از باز کردن پرانتزها و کاهش عبارت های مشابه، شکل می گیرد

تبر + b = 0، که در آن a و b اعداد دلخواه هستند، فراخوانی می شود معادله خطی با یک ناشناخته امروز چگونگی حل این معادلات خطی را دریابیم.

به عنوان مثال، تمام معادلات:

2x + 3 = 7 - 0.5x. 0.3x = 0; x / 2 + 3 = 1/2 (x - 2) - خطی.

مقدار مجهولی که معادله را به یک برابری واقعی تبدیل می کند نامیده می شود تصمیم گیری یا ریشه معادله .

به عنوان مثال، اگر در معادله 3x + 7 = 13 به جای مجهول x جایگزین عدد 2 شود، برابری صحیح 3 · 2 + 7 = 13 به دست می آید. بنابراین، مقدار x = 2 جواب یا ریشه است. از معادله

و مقدار x = 3 معادله 3x + 7 = 13 را به یک برابری واقعی تبدیل نمی کند، زیرا 3 · 2 +7 ≠ 13. بنابراین، مقدار x = 3 راه حل یا ریشه معادله نیست.

حل هر معادله خطی به حل معادلات فرم تقلیل می یابد

تبر + b = 0.

عبارت آزاد را از سمت چپ معادله به سمت راست منتقل می کنیم، علامت جلوی b را به مخالف تغییر می دهیم، به دست می آوریم.

اگر a ≠ 0 باشد، x = - b / a .

مثال 1. معادله 3x + 2 = 11 را حل کنید.

عدد 2 را از سمت چپ معادله به سمت راست حرکت دهید، در حالی که علامت مقابل 2 را به عکس تغییر دهید، به دست می آید.
3x = 11 - 2.

پس کم کن
3x = 9.

برای پیدا کردن x، باید محصول را بر یک عامل شناخته شده تقسیم کنید، یعنی:
x = 9: 3.

بنابراین، مقدار x = 3 جواب یا ریشه معادله است.

پاسخ: x = 3.

اگر a = 0 و b = 0، سپس معادله 0x = 0 را به دست می آوریم. این معادله بی نهایت راه حل دارد، زیرا وقتی هر عددی را در 0 ضرب می کنیم 0 می گیریم، اما b نیز برابر با 0 است. هر عددی راه حل این معادله است.

مثال 2.معادله 5 (x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1 را حل کنید.

بیایید براکت ها را گسترش دهیم:
5x - 15 + 2 = 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x = - 12 - 1 + 15 - 2.

در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:
0x = 0.

پاسخ: x - هر عدد.

اگر a = 0 و b ≠ 0 باشد، سپس معادله 0x = - b را بدست می آوریم. این معادله هیچ راه حلی ندارد، زیرا وقتی هر عددی را در 0 ضرب می کنیم، 0 می گیریم، اما b≠ 0.

مثال 3.معادله x + 8 = x + 5 را حل کنید.

اجازه دهید اعضای حاوی مجهولات را در سمت چپ و اعضای آزاد را در سمت راست گروه بندی کنیم:
x - x = 5 - 8.

در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:
0x = - 3.

پاسخ: هیچ راه حلی وجود ندارد.

در تصویر 1 طرح حل معادله خطی را نشان می دهد

بیایید یک طرح کلی برای حل معادلات با یک متغیر ترسیم کنیم. راه حل مثال 4 را در نظر بگیرید.

مثال 4. بگذارید معادله حل شود

1) تمام عبارات معادله را در کمترین مضرب مشترک مخرج ها برابر 12 ضرب کنید.

2) پس از کاهش می گیریم
4 (x - 4) + 32 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) برای جدا کردن اعضای حاوی اعضای مجهول و مجهول، براکت ها را گسترش می دهیم:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 = 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) اجازه دهید در یک قسمت اعضای حاوی مجهولات و در قسمت دیگر اعضای آزاد گروه بندی کنیم:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x = - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:
- 22x = - 154.

6) تقسیم بر - 22، دریافت می کنیم
x = 7.

همانطور که می بینید، ریشه معادله هفت است.

به طور کلی چنین است معادلات را می توان با توجه به طرح زیر حل کرد:

الف) معادله را به کل شکل آن برسانید.

ب) پرانتزها را باز کنید.

ج) عبارات حاوی مجهول را در یک قسمت معادله و عبارات آزاد را در قسمت دیگر گروه بندی کنید.

د) اعضای مشابه را بیاورید.

ه) معادله ای به شکل ax = b که پس از آوردن عبارت های مشابه به دست آمده را حل کنید.

با این حال، این طرح برای هر معادله مورد نیاز نیست. هنگام حل بسیاری از معادلات ساده تر، باید نه از اولی، بلکه از دومی شروع کرد. مثال. 2)، سوم ( مثال. سیزده) و حتی از مرحله پنجم مانند مثال 5.

مثال 5.معادله 2x = 1/4 را حل کنید.

مجهول x = 1/4: 2 را پیدا کنید،
x = 1/8 .

حل برخی از معادلات خطی موجود در آزمون دولتی اصلی را در نظر بگیرید.

مثال 6.معادله 2 (x + 3) = 5 - 6x را حل کنید.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

پاسخ: - 0، 125

مثال 7.معادله - 6 (5 - 3x) = 8x - 7 را حل کنید.

- 30 + 18x = 8x - 7

18x - 8x = - 7 +30

پاسخ: 2.3

مثال 8. معادله را حل کنید

3 (3x - 4) = 4.7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

مثال 9. f (6) را پیدا کنید اگر f (x + 2) = 3 هفتم

راه حل

از آنجایی که باید f (6) را پیدا کنیم، و f (x + 2) را می دانیم،
سپس x + 2 = 6.

معادله خطی x + 2 = 6 را حل کنید،
x = 6 - 2، x = 4 می گیریم.

اگر x = 4، پس
f (6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

جواب: 27.

اگر هنوز سؤالی دارید، می خواهید با حل معادلات به طور کامل تر برخورد کنید. من خوشحال خواهم شد که به شما کمک کنم!

TutorOnline همچنین توصیه می کند یک آموزش ویدیویی جدید از معلم ما اولگا الکساندرونا تماشا کنید، که به شما کمک می کند هم معادلات خطی و هم معادلات دیگر را درک کنید.

سایت وبلاگ، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک منبع الزامی است.