نمای استاندارد توضیح یکپارچه. تعریف یک جمله: مفاهیم مرتبط، مثال ها

در این درس ما تعریف دقیقی از یک جملات ارائه می دهیم، مثال های مختلفی را از کتاب درسی در نظر می گیریم. اجازه دهید قوانین ضرب درجات را با پایه های یکسان به یاد بیاوریم. اجازه دهید تعریفی از شکل استاندارد یک مونومی، ضریب یک مونومی و قسمت حرفی آن ارائه دهیم. اجازه دهید دو عمل معمولی اساسی را روی تک‌جملات در نظر بگیریم، یعنی کاهش به شکل استاندارد و محاسبه یک مقدار عددی خاص یک تک‌جمعی برای مقادیر داده شده از متغیرهای الفبایی آن. اجازه دهید یک قاعده برای کاهش یک تک اسمی به یک فرم استاندارد فرموله کنیم. ما یاد خواهیم گرفت که چگونه مسائل معمولی را با هر تک اسمی حل کنیم.

موضوع:تک اسمی ها عملیات حسابی روی تک جفت ها

درس:مفهوم یکپارچه. نوع استاندارد مونومیال

چند نمونه را در نظر بگیرید:

3. ;

بیایید ویژگی های مشترک عبارات داده شده را پیدا کنیم. در هر سه حالت، عبارت حاصل ضرب اعداد و متغیرهای افزایش یافته به توان است. بر این اساس می دهیم تعریف یکپارچه : یک جمله یک عبارت جبری است که از حاصل ضرب درجات و اعداد تشکیل شده است.

اکنون مثال هایی از عباراتی را می آوریم که تک اسمی نیستند:

بیایید تفاوت بین این عبارات را با موارد قبلی پیدا کنیم. این شامل این واقعیت است که در مثال‌های 4-7 عملیات جمع، تفریق یا تقسیم وجود دارد، در حالی که در مثال‌های 1-3 که تک‌جمعی هستند، این عملیات وجود ندارد.

اینجا مثال های بیشتری است:

عبارت 8 یک تک جمله است، زیرا حاصل ضرب توان یک عدد است، در حالی که مثال 9 یک تک جمله نیست.

حالا بیایید بفهمیم اقدامات بر روی یکپارچه ها .

1. ساده سازی. مثال شماره 3 را در نظر بگیرید. و مثال شماره 2 /

در مثال دوم، ما فقط یک ضریب را می بینیم -، هر متغیر فقط یک بار رخ می دهد، یعنی متغیر " آ"در یک نسخه ارائه شده است، به عنوان" "، به طور مشابه متغیرهای" "و" "فقط یک بار رخ می دهند.

در مثال شماره 3، برعکس، دو ضریب مختلف وجود دارد - و ما متغیر "" را دو بار می بینیم - به صورت "" و به صورت ""، به طور مشابه متغیر "" دو بار رخ می دهد. یعنی این عبارت باید ساده شود، پس به این می رسیم اولین اقدامی که روی مونومی ها انجام می شود، رساندن مونومیال به فرم استاندارد است ... برای انجام این کار، اجازه دهید عبارت از مثال 3 را به یک فرم استاندارد بیاوریم، سپس این عملیات را تعریف کنیم و یاد بگیریم که چگونه هر مونومی را به یک فرم استاندارد بیاوریم.

بنابراین، یک مثال را در نظر بگیرید:

اولین گام در عملیات تبدیل به فرم استاندارد، همیشه ضرب همه عوامل عددی است:

;

نتیجه این عمل نامیده می شود ضریب تک اسمی .

در مرحله بعد، باید درجات را ضرب کنید. ما قدرت های متغیر را ضرب می کنیم " ایکس«طبق قاعده ضرب درجات با پایه های یکسان که می گوید در هنگام ضرب، نماها با هم جمع می شوند:

حالا ما قدرت ها را چند برابر می کنیم" در»:

;

بنابراین، در اینجا یک عبارت ساده شده است:

;

هر مونومی را می توان به شکل استاندارد کاهش داد. فرمول بندی کنیم قانون استانداردسازی :

همه عوامل عددی را ضرب کنید.

ضریب حاصل را در وهله اول قرار دهید.

همه درجات را ضرب کنید، یعنی قسمت حرف را بدست آورید.

یعنی هر تک اسمی با یک ضریب و یک قسمت حرف مشخص می شود. با نگاهی به آینده، توجه می‌کنیم که تک‌جملاتی که دارای حروف یکسان هستند، مشابه نامیده می‌شوند.

حالا باید تمرین کنید تکنیک کاهش تک اسم ها به فرم استاندارد ... نمونه هایی از آموزش را در نظر بگیرید:

تکلیف: یک جمله را به فرم استاندارد بیاورید، ضریب و قسمت حرف را نام ببرید.

برای تکمیل کار، از قانون کاهش تک اسمی به فرم استاندارد و خصوصیات درجات استفاده می کنیم.

1. ;

3. ;

نظرات در مورد مثال اول: ابتدا تعیین می کنیم که آیا این عبارت واقعاً یک جمله است یا خیر، برای این کار بررسی می کنیم که آیا شامل عملیاتی برای ضرب اعداد و توان ها است و آیا شامل عملیات جمع، تفریق یا تقسیم است. از آنجایی که شرط فوق برآورده می شود، می توان گفت که این عبارت یک جمله است. علاوه بر این، با توجه به قاعده کاهش مونومیال به فرم استاندارد، ضرایب عددی را ضرب می کنیم:

- ما ضریب یک تک جمله معین را پیدا کردیم.

; ; ; یعنی قسمت تحت اللفظی عبارت دریافت می شود :;

پاسخ را یادداشت کنید:

نظرات در مورد مثال دوم: طبق قانون انجام می دهیم:

1) ضرب عوامل عددی:

2) توان ها را ضرب کنید:

متغیرها در یک نسخه ارائه می شوند ، یعنی با هیچ چیزی نمی توان آنها را ضرب کرد ، بدون تغییر بازنویسی می شوند ، درجه ضرب می شود:

بیایید پاسخ را یادداشت کنیم:

;

در این مثال ضریب تک جمله برابر با یک و قسمت الفبایی آن است.

نظرات مثال سوم: الفاز نظر تاکسی به مثال های قبلی، اقدامات زیر را انجام می دهیم:

1) ضرایب عددی را ضرب کنید:

;

2) توان ها را ضرب کنید:

;

پاسخ را بنویسید:

در این حالت، ضریب یک جمله """ و قسمت حرف است .

حال در نظر بگیرید دومین عملیات استاندارد روی تک اسم ها ... از آنجایی که یک جمله یک عبارت جبری متشکل از متغیرهای تحت اللفظی است که می تواند مقادیر عددی خاصی را بگیرد، یک عبارت عددی حسابی داریم که باید محاسبه شود. یعنی عملیات بعدی روی چندجمله ای ها است محاسبه مقدار عددی خاص آنها .

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. یک مونومی داده می شود:

این یکنواخت قبلاً به شکل استاندارد کاهش یافته است ، ضریب آن برابر با یک و قسمت حرف است

قبلاً گفتیم که یک عبارت جبری را نمی توان همیشه محاسبه کرد، یعنی متغیرهایی که در آن گنجانده شده است نمی توانند مقداری به خود بگیرند. در مورد مونومیال، متغیرهای موجود در آن می توانند هر کدام باشند، این یکی از ویژگی های مونومیال است.

بنابراین، در مثال داده شده، لازم است که مقدار مونومی در،،، محاسبه شود.

درجه یکنواخت

برای یک واحد، مفهوم درجه آن وجود دارد. بیایید بفهمیم که چیست.

تعریف.

درجه یکنواختفرم استاندارد مجموع نماهای همه متغیرهای موجود در رکورد آن است. اگر هیچ متغیری در رکورد یک تک اسمی وجود نداشته باشد و آن غیر صفر باشد، درجه آن برابر با صفر در نظر گرفته می شود. عدد صفر یک تک جمله در نظر گرفته می شود که درجه آن تعریف نشده است.

تعیین درجه یک مونومی اجازه می دهد تا مثال هایی ارائه شود. درجه یک تک جمله a برابر با یک است، زیرا a یک 1 است. درجه یک تک جمله 5 صفر است، زیرا غیرصفر است و نماد آن حاوی هیچ متغیری نیست. و حاصل ضرب 7 a 2 x y 3 a 2 یک تک جمله ای درجه هشتم است، زیرا مجموع توان های همه متغیرهای a، x و y 2 + 1 + 3 + 2 = 8 است.

ضمناً، درجه یک مونومی که در فرم استاندارد نوشته نشده است برابر است با درجه تک جملات مربوطه در فرم استاندارد. برای تشریح آنچه گفته شد، درجه تک جمله را محاسبه می کنیم 3 x 2 y 3 x (-2) x 5 y... این تک جمله در شکل استاندارد به شکل −6 x y 4 است، درجه آن 8 + 4 = 12 است. بنابراین، درجه مونومی اصلی 12 است.

ضریب تک اسمی

یک تک اسمی به شکل استاندارد، که حداقل یک متغیر در نماد خود دارد، محصولی با یک عامل عددی واحد - یک ضریب عددی است. این ضریب را ضریب تک جمله می گویند. اجازه دهید استدلال فوق را در قالب یک تعریف بیان کنیم.

تعریف.

ضریب تک اسمیضریب عددی یک تک جمله ای است که به شکل استاندارد نوشته می شود.

حال می‌توانیم نمونه‌هایی از ضرایب تک‌جملات مختلف را مثال بزنیم. عدد 5 ضریب تک جمله 5 · a 3 طبق تعریف است، به طور مشابه، تک جمله (2.3-) · x · y · z دارای ضریب 2.3 - است.

ضرایب تک‌جملاتی برابر با 1 و 1 سزاوار توجه ویژه هستند. نکته اینجاست که آنها معمولاً به صراحت در پرونده وجود ندارند. در نظر گرفته می شود که ضریب تک جمله های فرم استاندارد که ضریب عددی در کارنامه خود ندارند برابر با یک است. به عنوان مثال، تک جمله های a، x z 3، a t x و غیره. دارای ضریب 1 هستند، زیرا a را می توان 1 a، x z 3 را 1 x z 3 و غیره در نظر گرفت.

به همین ترتیب، ضریب تک‌جملاتی که ورودی‌های آنها در فرم استاندارد ضریب عددی نداشته و با علامت منفی شروع می‌شود، منهای یک در نظر گرفته می‌شود. برای مثال، تک‌جملات -x، -x 3 y z 3 و غیره. دارای ضریب 1- هستند، زیرا −x = (- 1) x، −x 3 y z 3 = (- 1) x 3 y z 3و غیره.

به هر حال، مفهوم ضریب یک جمله اغلب به عنوان تک جملات استاندارد شناخته می شود که اعداد بدون فاکتورهای الفبایی هستند. این اعداد به عنوان ضرایب چنین اعداد تک اسمی در نظر گرفته می شوند. بنابراین، برای مثال، ضریب یک جمله 7 برابر با 7 در نظر گرفته می شود.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:مطالعه. برای 7 سی سی آموزش عمومی. مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - ویرایش هفدهم - م.: آموزش و پرورش، 1387 .-- 240 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019315-3.
• A. G. Mordkovichجبر. درجه 7 ام. در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich. - چاپ هفدهم، افزودن. - M .: Mnemozina, 2013 .-- 175 p .: ill. شابک 978-5-346-02432-3.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G.ریاضی (دفترچه راهنمای متقاضیان آموزشکده فنی): کتاب درسی. کتابچه راهنمای کاربر - M . بالاتر. shk., 1984.-351 p., ill.

یکی از انواع عبارات اصلی مورد مطالعه در درس جبر مدرسه است. در این مطلب به شما خواهیم گفت که این عبارات چیست، شکل استاندارد آنها را تعریف می کنیم و نمونه هایی را نشان می دهیم و همچنین به مفاهیم مرتبط مانند درجه یک مونوم و ضریب آن می پردازیم.

مونومیال چیست

در کتب درسی مدارس معمولاً تعریف زیر از این مفهوم ارائه شده است:

تعریف 1

تک نام ها شاملاعداد، متغیرها و همچنین درجات آنها با شاخص طبیعی و انواع مختلف آثار مرکب از آنها.

بر اساس این تعریف می توان نمونه هایی از این گونه عبارات را بیان کرد. بنابراین، تمام اعداد 2، 8، 3004، 0، - 4، - 6، 0، 78، 1 4، - 4 3 7 به تک جمله ها اشاره خواهند کرد. همه متغیرها، به عنوان مثال، x، a، b، p، q، t، y، z نیز طبق تعریف تک‌جمعی خواهند بود. این همچنین شامل درجات متغیرها و اعداد است، به عنوان مثال، 6 3، (- 7، 41) 7، x 2 و t 15، و همچنین عبارات شکل 65 x, 9 (- 7) x y 3 6, x x y 3 x y 2 z و غیره. لطفاً توجه داشته باشید که یک تک جمله ای می تواند شامل یک عدد یا متغیر یا چندین باشد و می توان آنها را چندین بار به عنوان بخشی از یک چند جمله ای ذکر کرد.

چنین انواعی از اعداد به عنوان کل، گویا، طبیعی نیز به تک جمله ها اشاره دارند. همچنین می تواند شامل اعداد حقیقی و مختلط باشد. بنابراین، عبارات شکل 2 + 3 · i · x · z 4، 2 · x، 2 · π · x 3 نیز تک جمله خواهند بود.

فرم استاندارد مونومیال چیست و چگونه یک عبارت را به آن تبدیل کنیم

برای راحتی کار، ابتدا همه یکنواخت ها به فرم خاصی به نام استاندارد منتهی می شوند. اجازه دهید به طور خاص فرمول بندی کنیم که این به چه معناست.

تعریف 2

نوع استاندارد مونومیالبه آن شکلی می گویند که در آن حاصل ضرب یک عامل عددی و توان های طبیعی متغیرهای مختلف است. ضریب عددی که به آن ضریب تک اسمی نیز گفته می شود، معمولا ابتدا در سمت چپ نوشته می شود.

برای وضوح، چندین تک اسمی از فرم استاندارد را انتخاب می کنیم: 6 (این یک تک جمله بدون متغیر است)، 4 · a, - 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. این شامل بیان نیز می شود x y(در اینجا ضریب برابر با 1 خواهد بود) - x 3(در اینجا ضریب - 1 است).

اکنون نمونه‌هایی از تک‌جملاتی را که باید به شکل استاندارد کاهش یابند بیان می‌کنیم: 4 a a 2 a 3(در اینجا باید همان متغیرها را ترکیب کنید) 5 x (- 1) 3 و 2(در اینجا باید فاکتورهای عددی سمت چپ را ترکیب کنید).

معمولاً وقتی یک تک جمله دارای چندین متغیر با حروف نوشته شده باشد، فاکتورهای حروف به ترتیب حروف الفبا نوشته می شوند. مثلاً نوشتن ترجیح داده می شود 6 a b 4 c z 2، چگونه b 4 6 a z 2 c... با این حال، در صورت نیاز به هدف محاسبه، ترتیب می تواند متفاوت باشد.

هر مونومی را می توان به شکل استاندارد کاهش داد. برای انجام این کار، شما باید تمام تغییرات یکسان لازم را انجام دهید.

مفهوم درجه یک مونومیال

مفهوم همراه درجه یک مونومیال بسیار مهم است. بیایید تعریف این مفهوم را بنویسیم.

تعریف 3

درجه یکنواخت، که به شکل استاندارد نوشته شده است، مجموع نماهای همه متغیرهای موجود در رکورد آن است. اگر هیچ متغیری در آن وجود نداشته باشد و خود تک جمله با 0 متفاوت باشد، درجه آن صفر خواهد بود.

اجازه دهید مثال هایی از درجات یک تک اسمی را بیان کنیم.

مثال 1

بنابراین، یک تک جمله a دارای درجه 1 است، زیرا a = a 1 است. اگر یک تک جمله ای 7 داشته باشیم، از آنجایی که هیچ متغیری در آن وجود ندارد و با 0 متفاوت است، درجه صفر خواهد بود. و اینجا ورودی است 7 a 2 x y 3 a 2مونومی درجه 8 خواهد بود، زیرا مجموع نماهای تمام درجات متغیرهای موجود در آن برابر با 8 خواهد بود: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

تک جمله ای به شکل استاندارد کاهش یافته و چند جمله ای اصلی دارای درجه یکسانی خواهند بود.

مثال 2

بیایید نحوه محاسبه درجه یک تک جمله را نشان دهیم 3 x 2 y 3 x (- 2) x 5 y... در شکل استاندارد خود می توان آن را به صورت نوشتاری کرد - 6 × 8 و 4... درجه را محاسبه می کنیم: 8 + 4 = 12 ... از این رو، درجه چند جمله ای اصلی نیز 12 است.

مفهوم ضریب یک جمله

اگر یک مونومی کاهش یافته به شکل استاندارد داشته باشیم که شامل حداقل یک متغیر باشد، آنگاه از آن به عنوان یک محصول با یک عامل عددی صحبت می کنیم. این ضریب را ضریب عددی یا ضریب تک جمله می نامند. بیایید تعریف را بنویسیم.

تعریف 4

ضریب یک جمله ضریب عددی یک تک جمله ای است که به شکل استاندارد کاهش می یابد.

به عنوان مثال، ضرایب تک اسم های مختلف را در نظر بگیرید.

مثال 3

بنابراین، در بیان 8 تا 3ضریب عدد 8 خواهد بود و در (- 2، 3) x y zآن ها خواهند − 2 , 3 .

باید به ضرایب مساوی یک و منهای یک توجه ویژه داشت. به عنوان یک قاعده، آنها به صراحت نشان داده نمی شوند. اعتقاد بر این است که در یک مونومی شکل استاندارد که هیچ عامل عددی در آن وجود ندارد، ضریب برابر با 1 است، به عنوان مثال، در عبارات a، xz 3، atx، زیرا می توان آنها را 1 a، xz در نظر گرفت. 3 - چگونه 1 x z 3و غیره.

به همین ترتیب، در تک جمله هایی که ضریب عددی ندارند و با علامت منفی شروع می شوند، می توانیم ضریب - 1 را در نظر بگیریم.

مثال 4

به عنوان مثال، عبارات - x, - x 3 y z 3 چنین ضریبی خواهند داشت، زیرا می توان آنها را به صورت - x = (- 1) x، - x 3 y z 3 = (- 1) x 3 yz 3 و غیره نشان داد. .

اگر یک تک حرفی اصلاً یک ضریب تک حرفی نداشته باشد، در این مورد نیز می‌توان در مورد ضریب صحبت کرد. ضرایب چنین اعداد تک اسمی خود اعداد هستند. بنابراین، برای مثال، ضریب تک جمله 9، 9 خواهد بود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید