نیمساز زاویه. دروس کامل - هایپر مارکت دانش

امروز یک درس بسیار آسان خواهد بود. ما فقط یک شی - نیمساز یک زاویه - را در نظر می گیریم و مهمترین خاصیت آن را ثابت می کنیم که در آینده برای ما بسیار مفید خواهد بود.

فقط آرام نگیرید: گاهی اوقات دانش آموزانی که می خواهند در همان OGE یا USE نمره بالایی کسب کنند، در درس اول حتی نمی توانند تعریف نیمساز را به طور دقیق فرموله کنند.

و به جای انجام کارهای واقعاً جالب، وقت خود را بر روی چنین چیزهای ساده ای تلف می کنیم. بنابراین، بخوانید، ببینید - و آن را به خدمت بگیرید. :)

برای شروع، یک سوال کمی عجیب: زاویه چیست؟ درست است: یک زاویه فقط دو پرتو است که از یک نقطه بیرون می‌آیند. برای مثال:

نمونه هایی از زاویه ها: تیز، مبهم و مستقیم

همانطور که از تصویر می بینید، گوشه ها می توانند تیز، مبهم، مستقیم باشند - حالا مهم نیست. اغلب، برای راحتی، یک نقطه اضافی روی هر پرتو مشخص می شود و می گویند که ما یک زاویه $ AOB $ در مقابل خود داریم (به صورت $ \ زاویه AOB $ نوشته می شود).

به نظر می رسد کاپیتان آشکارا به این نکته اشاره می کند که علاوه بر پرتوهای $ OA $ و $ OB $، همیشه می توانید دسته ای از پرتوها را از نقطه $ O $ بکشید. اما در میان آنها یک خاص وجود خواهد داشت - این اوست که نیمساز نامیده می شود.

تعریف. نیمساز یک زاویه پرتویی است که از بالای آن زاویه خارج شده و زاویه را نصف می کند.

برای زوایای بالا، نیمسازها به شکل زیر خواهند بود:

نمونه هایی از نیمسازها برای زوایای تند، منفرد و راست

از آنجایی که در نقاشی های واقعی همیشه واضح نیست که یک پرتو خاص (در مورد ما پرتو $ OM $ است) زاویه اولیه را به دو زاویه مساوی تقسیم می کند، در هندسه مرسوم است که زوایای مساوی را با همان تعداد کمان مشخص کنیم. (در نقاشی ما، این 1 قوس برای زاویه حاد، دو برای بلانت، سه برای مستقیم است).

خوب، ما تعریف را فهمیدیم. اکنون باید بدانید که نیمساز چه ویژگی هایی دارد.

ویژگی اصلی نیمساز یک زاویه

در واقع نیمساز دارای یک سری ویژگی است. و حتما در درس بعدی به آنها نگاه خواهیم کرد. اما یک ترفند وجود دارد که باید همین الان آن را درک کنید:

قضیه. نیمساز یک زاویه مکان نقاطی است که از اضلاع یک زاویه معین فاصله دارند.

از ریاضی به روسی ترجمه شده است، این به معنای دو واقعیت است:

1. هر نقطه ای که روی نیمساز یک زاویه معین قرار گیرد در همان فاصله از اضلاع این زاویه قرار دارد.
2. و بالعکس: اگر نقطه ای در فاصله یکسان از اضلاع یک زاویه قرار گیرد، مطمئناً روی نیمساز این زاویه قرار می گیرد.

قبل از اثبات این گزاره ها، اجازه دهید یک نکته را روشن کنیم: در واقع فاصله نقطه تا ضلع یک زاویه چیست؟ در اینجا، تعریف خوب قدیمی از فاصله از یک نقطه تا یک خط به ما کمک می کند:

تعریف. فاصله یک نقطه تا یک خط، طول یک عمود است که از یک نقطه معین به آن خط کشیده شده است.

به عنوان مثال، خط $ l $ و یک نقطه $ A $ را در نظر بگیرید که روی این خط قرار ندارد. عمود بر $ AH $ رسم کنید که $ H \ به l $ باشد. سپس طول این عمود، فاصله از نقطه $ A $ تا خط مستقیم $ l $ خواهد بود.

نمایش گرافیکی فاصله از نقطه تا خط

از آنجایی که یک زاویه فقط دو پرتو است و هر پرتو تکه ای از یک خط مستقیم است، تعیین فاصله از یک نقطه تا اضلاع زاویه آسان است. آنها فقط دو عمود هستند:

فاصله نقطه تا دو طرف گوشه را تعیین کنید

همین! اکنون می دانیم که فاصله چیست و نیمساز چیست. بنابراین می توان مالکیت اصلی را ثابت کرد.

همانطور که قول داده بودیم، بیایید اثبات را به دو بخش تقسیم کنیم:

1. فواصل یک نقطه از نیمساز تا اضلاع زاویه یکسان است

یک زاویه دلخواه با راس $ O $ و نیمساز $ OM $ را در نظر بگیرید:

اجازه دهید ثابت کنیم که این نقطه $ M $ در همان فاصله از دو طرف گوشه است.

اثبات از نقطه $ M $ به اضلاع گوشه عمود بکشید. بیایید آنها را $ M ((H) _ (1)) $ و $ M ((H) _ (2)) $ بنامیم:

عمود بر دو طرف گوشه بکشید

ما دو مثلث قائم الزاویه گرفتیم: $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ و $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. آنها یک فرضیه مشترک $ OM $ و زوایای برابر دارند:

1. $ \ زاویه MO ((H) _ (1)) = \ زاویه MO ((H) _ (2)) $ بر اساس شرط (از آنجایی که $ OM $ یک نیمساز است).
2. $ \ زاویه M ((H) _ (1)) O = \ زاویه M ((H) _ (2)) O = 90 () ^ \ circ $ بر اساس ساخت;
3. $ \ زاویه OM ((H) _ (1)) = \ زاویه OM ((H) _ (2)) = 90 () ^ \ circ - \ زاویه MO ((H) _ (1)) $، زیرا مجموع زوایای تند یک مثلث قائم الزاویه همیشه 90 درجه است.

در نتیجه، مثلث ها در ضلع و دو زاویه مجاور برابر هستند (به علائم تساوی مثلث ها مراجعه کنید). بنابراین، به طور خاص، $ M ((H) _ (2)) = M ((H) _ (1)) $، یعنی. فواصل نقطه $ O $ تا دو طرف گوشه در واقع برابر است. Q.E.D. :)

2. اگر فواصل مساوی باشند، نقطه روی نیمساز قرار دارد

اکنون وضعیت برعکس شده است. یک زاویه $ O $ و یک نقطه $ M $ با فاصله مساوی از اضلاع این زاویه داده می شود:

اجازه دهید ثابت کنیم که پرتو $ OM $ یک نیمساز است، یعنی، $ \ زاویه MO ((H) _ (1)) = \ زاویه MO ((H) _ (2)) $.

اثبات برای شروع، بیایید همین پرتو $ OM $ را ترسیم کنیم، در غیر این صورت چیزی برای اثبات وجود نخواهد داشت:

اشعه $ OM $ را در گوشه سپری کرد

دوباره دو مثلث قائم الزاویه دریافت کردیم: $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ و $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. آنها آشکارا برابر هستند زیرا:

1. Hypotenuse $ OM $ - مجموع;
2. پاها $ M ((H) _ (1)) = M ((H) _ (2)) $ بر اساس شرایط (در نهایت، نقطه $ M $ از دو طرف گوشه فاصله دارد).
3. پاهای باقی مانده نیز برابر هستند، زیرا توسط قضیه فیثاغورث $ OH_ (1) ^ (2) = OH_ (2) ^ (2) = O ((M) ^ (2)) - MH_ (1) ^ (2) $.

بنابراین، مثلث $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ و $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $ در سه ضلع هستند. به طور خاص، زاویه آنها برابر است: $ \ زاویه MO ((H) _ (1)) = \ زاویه MO ((H) _ (2)) $. و این فقط به این معنی است که $ OM $ یک نیمساز است.

در پایان اثبات، زوایای مساوی حاصل را با کمان های قرمز علامت گذاری می کنیم:

نیمساز زاویه $ \ ((H) _ (1)) O ((H) _ (2)) $ را به دو برابر تقسیم می کند

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای نیست. ما ثابت کرده‌ایم که نیم‌ساز یک زاویه، مکان نقاطی است که با اضلاع این زاویه فاصله دارند. :)

اکنون که کم و بیش در مورد اصطلاحات تصمیم گرفته ایم، زمان آن رسیده است که به سطح جدیدی برویم. در درس بعدی، ویژگی های پیچیده تر نیمساز را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد و نحوه استفاده از آنها را برای حل مسائل واقعی یاد خواهیم گرفت.

نیمساز مثلث قطعه ای است که زاویه مثلث را به دو زاویه مساوی تقسیم می کند. به عنوان مثال، اگر زاویه مثلث 120 0 باشد، پس از رسم نیمساز، دو زاویه 60 0 می سازیم.

و از آنجایی که در یک مثلث سه زاویه وجود دارد، می توان سه نیمساز رسم کرد. همه آنها یک نقطه برش دارند. این نقطه مرکز دایره ای است که در مثلث محاط شده است. به عبارت دیگر این نقطه تلاقی را مرکز مثلث می نامند.

وقتی دو نیمساز از زوایای داخلی و خارجی همدیگر را قطع می کنند، زاویه 90 0 به دست می آید. گوشه بیرونی در مثلث زاویه مجاور گوشه داخلی مثلث است.

برنج. 1. مثلث با 3 نیمساز

نیمساز طرف مقابل را به دو بخش خطی تقسیم می کند که به اضلاع متصل هستند:

$$ (CL \ بیش از (LB)) = (AC \ بیش از (AB)) $$

نقاط نیمساز از اضلاع گوشه به یک اندازه فاصله دارند، به این معنی که فاصله آنها از اضلاع گوشه یکسان است. یعنی اگر از هر نقطه ای از نیمساز، عمودها را به هر ضلع زاویه مثلث پایین بیاوریم، این عمودها برابر می شوند.

اگر میانه، نیمساز و ارتفاع را از یک راس رسم کنید، میانه طولانی ترین قطعه و ارتفاع کوتاه ترین خواهد بود.

برخی از خواص نیمساز

در انواع خاصی از مثلث ها، نیمساز خواص ویژه ای دارد. این در درجه اول برای مثلث متساوی الساقین صدق می کند. این شکل دارای دو ضلع یکسان است و ضلع سوم پایه نامیده می شود.

اگر از راس زاویه یک مثلث متساوی الساقین یک نیمساز به قاعده رسم کنیم، هم ویژگی ارتفاع و هم میانه را خواهد داشت. بر این اساس، طول نیمساز با طول میانه و ارتفاع منطبق است.

تعاریف:

• ارتفاع- عمود از راس مثلث به طرف مقابل افتاده است..
• میانه- قطعه ای که بالای مثلث و وسط ضلع مقابل را به هم متصل می کند.

برنج. 2. نیمساز در مثلث متساوی الساقین

این در مورد مثلث متساوی الاضلاع نیز صدق می کند، یعنی مثلثی که هر سه ضلع آن برابر است.

نمونه کار

در مثلث ABC: BR نیمساز است که AB = 6 سانتی متر، BC = 4 سانتی متر و RC = 2 سانتی متر است. طول ضلع سوم را کم کنید.

برنج. 3. نیمساز در مثلث

راه حل:

نیمساز ضلع مثلث را به نسبت معینی تقسیم می کند. بیایید از این نسبت استفاده کنیم و AR را بیان کنیم. سپس طول ضلع سوم را به عنوان مجموع قطعاتی که این ضلع توسط نیمساز به آنها تقسیم شده است، خواهیم یافت.

• $ (AB \ بیش از (BC)) = (AR \ بیش از (RC)) $
• $ RC = (6 \ بیش از (4)) * 2 = 3 cm $

سپس کل بخش AC = RC + AR

AC = 3 + 2 = 5 سانتی متر.

در یک مثلث متساوی الساقین، نیمساز کشیده شده به قاعده، مثلث را به دو مثلث قائم الزاویه مساوی تقسیم می کند.

ما چه آموخته ایم؟

بعد از مطالعه مبحث نیمساز متوجه شدیم که یک زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم می کند. و اگر به صورت مثلث متساوی الساقین یا متساوی الاضلاع به قاعده رسم شود، در آن صورت ویژگی های وسط و ارتفاع را همزمان خواهد داشت.

تست بر اساس موضوع

رتبه بندی مقاله

میانگین امتیاز: 4.2. مجموع امتیازهای دریافتی: 157.

نیمساز مثلث یک مفهوم هندسی رایج است که در مطالعه مشکل خاصی ایجاد نمی کند. با آگاهی از خواص آن، بسیاری از مشکلات را می توان بدون مشکل حل کرد. نیمساز چیست؟ ما سعی خواهیم کرد خواننده را با تمام اسرار این خط ریاضی آشنا کنیم.

در تماس با

ماهیت مفهوم

نام این مفهوم از استفاده از کلمات در لاتین آمده است که معنای آن "bi" - دو، "sectio" - برش است. آنها به طور خاص به معنای هندسی این مفهوم اشاره می کنند - شکستن فضای بین پرتوها به دو قسمت مساوی.

نیمساز مثلث قطعه‌ای است که از بالای شکل سرچشمه می‌گیرد و سر دیگر آن در سمت مقابل آن قرار دارد و فضا را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.

برای به خاطر سپردن سریع مفاهیم ریاضی توسط دانش آموزان، بسیاری از معلمان از اصطلاحات مختلفی استفاده می کنند که در آیات یا انجمن ها نمایش داده می شود. البته این تعریف برای کودکان بزرگتر توصیه می شود.

این خط مستقیم چگونه تعیین می شود؟ در اینجا ما به قوانین برای نشان دادن قطعات یا پرتوها تکیه می کنیم. اگر در مورد تعیین نیمساز زاویه یک شکل مثلثی صحبت می کنیم، معمولاً به صورت یک قطعه نوشته می شود که انتهای آن عبارتند از راس و نقطه تقاطع با طرف مقابل راس... علاوه بر این، ابتدای نامگذاری دقیقاً از بالا نوشته شده است.

توجه!یک مثلث چند نیمساز دارد؟ پاسخ واضح است: به تعداد سه قله.

خواص

علاوه بر تعریف، در کتاب درسی مدرسه می توانید ویژگی های نه چندان زیادی از این مفهوم هندسی پیدا کنید. اولین ویژگی نیمساز مثلث که به دانش‌آموزان معرفی می‌شود، مرکز حکاکی است و دومین ویژگی که مستقیماً به آن مربوط می‌شود، تناسب بخش‌ها است. نتیجه نهایی به شرح زیر است:

1. خط تقسیم هر چه که باشد، نقاطی روی آن وجود دارد که هستند در همان فاصله از طرفینکه فضای بین تیرها را تشکیل می دهند.
2. برای ثبت یک دایره در یک شکل مثلثی، باید نقطه ای را که این بخش ها در آن قطع می کنند تعیین کرد. این نقطه مرکزی دایره است.
3. قسمت هایی از ضلع یک شکل هندسی مثلثی که خط تقسیم آن را به آن تقسیم می کند، عبارتند از متناسب با اضلاع زاویه دار.

ما سعی خواهیم کرد بقیه ویژگی ها را به سیستم بیاوریم و حقایق اضافی را ارائه دهیم که به درک بهتر مزایای این مفهوم هندسی کمک می کند.

طول

یکی از انواع مشکلاتی که برای دانش آموزان مشکل ایجاد می کند، یافتن طول نیمساز زاویه یک مثلث است. گزینه اول که شامل طول آن است، حاوی داده های زیر است:

• مقدار فضای بین پرتوهایی که این بخش از بالای آن خارج می شود.
• طول اضلاع که این زاویه را تشکیل می دهند.

برای حل مشکل فرمول استفاده می شودکه معنای آن یافتن نسبت حاصلضرب دو برابر شده مقادیر اضلاع تشکیل دهنده زاویه توسط کسینوس نیمه آن به مجموع اضلاع است.

بیایید یک مثال خاص را در نظر بگیریم. فرض کنید یک شکل ABC داده شده است که در آن قطعه ای از زاویه A رسم شده و ضلع BC را در نقطه K قطع می کند. مقدار A با Y نشان داده می شود. بر این اساس AK = (2 * AB * AC * cos (Y / 2)) / (AB + AC).

نسخه دوم مسئله، که در آن طول نیم‌ساز مثلث تعیین می‌شود، حاوی داده‌های زیر است:

• معانی تمام اضلاع شکل مشخص است.

هنگام حل یک مشکل از این نوع، در ابتدا نیم محیط را تعیین کنید... برای انجام این کار، مقادیر تمام اضلاع را اضافه کنید و به نصف تقسیم کنید: p = (AB + BC + AC) / 2. سپس فرمول محاسباتی را اعمال می کنیم که برای تعیین طول این قطعه در مسئله قبلی استفاده شده است. فقط لازم است برخی تغییرات در اصل فرمول مطابق با پارامترهای جدید ایجاد شود. بنابراین باید نسبت ریشه دو برابر شده درجه دوم را از حاصلضرب طول اضلاع مجاور راس به نصف محیط و اختلاف بین نیم محیط و طول به دست آورد. طرف مقابل مجموع اضلاع تشکیل دهنده زاویه. یعنی AK = (26AB * AC * p * (p-BC)) / (AB + AC).

توجه!برای سهولت در تسلط بر مطالب، می توانید به داستان های طنز موجود در اینترنت مراجعه کنید که از "ماجراهای" این خط مستقیم می گوید.

موارد خاص

نیمساز مثلث قائم الزاویه تمام خصوصیات کلی را دارد. اما باید به یک مورد خاص اشاره کرد که فقط ذاتی آن است: هنگام متقاطع بخش هایی که پایه های آنها بالای مثلث های قائم الزاویه حاد است ، 45 درجه بین پرتوها به دست می آید.

نیمساز مثلث متساوی الساقین نیز ویژگی های خاص خود را دارد:

• اگر قاعده این بخش در بالا مقابل قاعده قرار گیرد، پس چنین است هم قد و هم میانه.
• اگر پاره ها از رئوس گوشه ها در قاعده کشیده شوند، طول آنها با یکدیگر برابر است.

درس هندسه، خواص نیمساز را مطالعه می کنیم

ویژگی های نیمساز مثلث

نیمساز زاویه چیست؟

1. Besectrix موش‌هایی است که در گوشه‌ها راه می‌رود و گوشه را نصف می‌کند.

2. 
   

   
   

   خواص نیمساز

   
   
   

   
   

   a2a1 = cb
   la = c + bcb (b + c + a) (b + ca)
   la = c + b2bc cos2
   la = hacos2
   la = bca1a2

   جایی که:
   
   
   

3. بنابراین به نوعی))
4. زاویه صاف زاویه باز شده آن را به 2 زاویه راست تقسیم می کند
5. این موش شکافته می شود
6. نیمساز (از لاتین bi - double و sectio cutting) زاویه پرتویی است که ابتدای آن در راس زاویه است و زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.
7. نیمساز (از لاتین bi - double و sectio cutting) زاویه پرتویی است که ابتدای آن در راس زاویه است و زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.
8. نیمساز موش است که در گوشه ها می دود و گوشه را بر اساس جنسیت تقسیم می کند.
9. زاویه تقسیم پرتو به 2 زاویه مساوی
10. نیمساز موش است که در گوشه و کنار می دود و گوشه را نصف می کند!
    😉
11. نیمساز (از لاتین bi - double و sectio cutting) زاویه پرتویی است که ابتدای آن در راس زاویه است و زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.

    نیمساز یک زاویه (همراه با ادامه آن) مکان نقاطی است که از اضلاع زاویه (یا پسوند آنها) فاصله دارند.
    تعریف. نیمساز یک مثلث قسمتی از نیمساز این زاویه است که این راس را به نقطه ای در طرف مقابل متصل می کند.

    هر یک از سه نیمساز زوایای داخلی یک مثلث را نیمساز مثلث می گویند.
    نیمساز یک مثلث می تواند یکی از دو چیز را نشان دهد: پرتو نیمساز این زاویه یا قسمتی از نیمساز این زاویه قبل از اینکه با ضلع مثلث قطع شود است.

    خواص نیمساز

    نیمساز زاویه یک مثلث ضلع مقابل را به نسبتی برابر با نسبت دو ضلع مجاور تقسیم می کند.
    نیمسازهای گوشه های داخلی مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند. این نقطه مرکز دایره محاطی نامیده می شود.
    نیمسازهای گوشه های داخلی و خارجی عمود بر هم هستند.
    اگر نیمساز گوشه بیرونی مثلث ادامه ضلع مقابل را قطع کند، آنگاه ADBD = ACBC.

    نیمسازهای یک مثلث داخلی و دو گوشه بیرونی در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند. این نقطه مرکز یکی از سه دایره این مثلث است.
    اگر نیمساز گوشه بیرونی با ضلع مقابل مثلث موازی نباشد، پایه‌های نیم‌سازهای دو گوشه داخلی و یک گوشه بیرونی مثلث روی یک خط مستقیم قرار می‌گیرند.
    اگر نیمسازهای گوشه های بیرونی مثلث با اضلاع مقابل موازی نباشند، پایه های آنها روی یک خط مستقیم قرار می گیرند.

    a2a1 = cb
    la = c + bcb (b + c + a) (b + c # 8722؛ a)
    la = c + b2bc cos2
    la = hacos2 # 8722;
    la = bc # 8722؛ a1a2

    جایی که:
    la نیمساز ضلع a است،
    a، b، از ضلع مثلث در برابر رئوس A، B، C به ترتیب،
    al، a 2 بخش که نیمساز lc ضلع c را به آن تقسیم می کند،
    زوایای داخلی مثلث به ترتیب در رئوس a، b، c،
    ha ارتفاع مثلثی است که به ضلع a افتاده است.

12. نیمساز خطی است که زاویه را بر کف تقسیم می کند
13. نیمساز (از لاتین bi - double و sectio cutting) زاویه پرتویی است که ابتدای آن در راس زاویه است و زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.

    نیمساز یک زاویه (همراه با ادامه آن) مکان نقاطی است که از اضلاع زاویه (یا پسوند آنها) فاصله دارند.

14. نیمساز موش صحرایی است که در گوشه ها راه می رود، زاویه را نصف می کند.
15. نیمساز، چنین موش، در گوشه ها می دود و زاویه را به ضربات تقسیم می کند)
16. گوشه را به نصف تقسیم می کند
17. خطی که آن را (گوشه) به نصف تقسیم می کند.
18. نیمساز موش صحرایی است که دور گوشه ها می دود و آنها را به دو نیم تقسیم می کند.

نیمساز خطی است که یک زاویه را نصف می کند.

آیا در مسئله با نیمساز ملاقات کردید؟ سعی کنید یکی (و گاهی اوقات چندین) از خواص شگفت انگیز زیر را اعمال کنید.

1. نیمساز در مثلث متساوی الساقین.

آیا از کلمه «قضیه» نمی ترسید؟ اگر می ترسید، پس - بیهوده. ریاضیدانان عادت دارند هر گزاره ای را که به نحوی از گزاره های ساده تر دیگر به وسیله یک قضیه استنتاج می شود، نام ببرند.

بنابراین، توجه، قضیه!

بیایید ثابت کنیماین قضیه، یعنی ما خواهیم فهمید که چرا اینطور است؟ به متساوی الساقین نگاه کنید.

بیایید نگاهی دقیق به آنها بیندازیم. و سپس آن را خواهیم دید

1. - عمومی.

و این یعنی (بلکه اولین علامت تساوی مثلث ها را به خاطر بسپارید!) که.

پس چی؟ میخوای اینطوری بگی؟ و اینکه هنوز به اضلاع سوم و زوایای باقی مانده از این مثلث ها نگاه نکرده ایم.

حالا ببینیم. یک بار، سپس کاملاً دقیقاً و حتی علاوه بر این،.

پس معلوم شد که

1. طرف را به نصف تقسیم کرد، یعنی معلوم شد که میانه است
2. ، به این معنی که هر دو روشن هستند، زیرا (یک بار دیگر به عکس نگاه کنید).

پس معلوم شد نیمساز و ارتفاع هم هست!

هورا! ما قضیه را ثابت کردیم. اما تصور کنید، این همه ماجرا نیست. این نیز صادق است قضیه معکوس:

اثبات؟ آیا شما تعجب می کنید؟ سطح بعدی تئوری را بخوانید!

و اگر جالب نیست، پس قاطعانه به خاطر بسپار:

چرا این را محکم حفظ کنید؟ این چگونه می تواند کمک کند؟ اما تصور کنید که یک وظیفه دارید:

داده شده: .

پیدا کردن: .

بلافاصله متوجه می‌شوی که نیم‌نصف کن، و ببین، او ضلع را نصف کرده است! (به شرط…). اگر قاطعانه به یاد داشته باشید که این اتفاق می افتد فقطدر یک مثلث متساوی الساقین، بعد نتیجه گیری می کنید که به چه معناست، پاسخ را می نویسید:. عالی است، اینطور نیست؟ البته، همه کارها به این راحتی نخواهد بود، اما دانش قطعا کمک خواهد کرد!

و حالا ملک بعدی. آماده؟

2. نیمساز یک زاویه مکان نقاطی است که از اضلاع زاویه فاصله دارند.

ترسیده؟ در واقع، اشکالی ندارد. ریاضیدانان تنبل چهار را در دو خط پنهان کردند. بنابراین، معنی آن چیست، "نصف - مکان نقاط"؟ این بدان معنی است که آنها بلافاصله اعدام می شوند. دوبیانیه:

1. اگر نقطه روی نیمساز قرار داشته باشد، فواصل آن تا اضلاع زاویه برابر است.
2. اگر در نقطه ای فواصل دو طرف گوشه برابر باشد، این نقطه است لزوماروی نیمساز قرار دارد

آیا تفاوت بین عبارت 1 و 2 را می بینید؟ اگر نه، پس کلاهدوز از آلیس در سرزمین عجایب را به خاطر بیاورید: "پس هنوز هم چیز خوبی برای گفتن دارید، انگار" من آنچه را که می‌خورم می‌بینم "و" آنچه را که می‌بینم می‌خورم "یکی و یکسان هستند!"

بنابراین، باید گزاره های 1 و 2 و سپس عبارت را اثبات کنیم: «نصف‌ساز مکان نقاطی است که از اضلاع گوشه فاصله دارند» ثابت می‌شود!

چرا 1 درست است؟

هر نقطه از نیمساز را بردارید و نام ببرید.

اجازه دهید عمودها را از این نقطه به طرفین گوشه رها کنیم.

و اکنون ... آماده باشید تا علائم برابری مثلث های قائم الزاویه را به خاطر بسپارید! اگر آنها را فراموش کرده اید، به بخش نگاه کنید.

بنابراین ... دو مثلث قائم الزاویه: و. آنها دارند:

• هیپوتانوز عمومی
• (زیرا - نیمساز!)

این بدان معنی است - با زاویه و هیپوتانوز. بنابراین، ساق های متناظر این مثلث ها با هم برابرند! به این معنا که.

ثابت شد که نقطه به همان اندازه (یا مساوی) از دو طرف گوشه فاصله دارد. با نقطه 1 مرتب شده است. حالا بریم سراغ نکته ۲.

چرا 2 درست است؟

و نقطه ها را وصل کنید و.

بنابراین، یعنی روی نیمساز دراز می کشد!

همین!

چگونه می توان همه اینها را برای حل مشکلات به کار برد؟ به عنوان مثال، در مشکلات اغلب چنین عبارتی وجود دارد: "دایره دو طرف گوشه را لمس می کند ...". خوب، و شما باید چیزی پیدا کنید.

شما به سرعت متوجه این موضوع می شوید

و می توانید از برابری استفاده کنید.

3. سه نیمساز در یک مثلث در یک نقطه قطع می شوند

از خاصیت نیمساز به عنوان مکان نقاطی که از اضلاع زاویه فاصله دارند، عبارت زیر به دست می آید:

دقیقاً چگونه دنبال می شود؟ اما نگاه کنید: دو نیم‌ساز قطعاً قطع خواهند شد، درست است؟

و نیمساز سوم می تواند به این صورت باشد:

اما در واقع، همه چیز بسیار بهتر است!

بیایید نقطه تقاطع دو نیمساز را در نظر بگیریم. بیایید آن را صدا کنیم.

هر دو بار اینجا از چه چیزی استفاده کرده ایم؟ آره بند 1، البته! اگر نقطه روی نیمساز قرار داشته باشد، به همان اندازه از دو طرف گوشه فاصله دارد.

پس معلوم شد و.

اما با دقت به این دو برابری نگاه کنید! از این گذشته ، از آنها نتیجه می شود که و بنابراین ،.

اما اکنون وارد عمل خواهد شد نقطه 2: اگر فواصل اضلاع زاویه برابر باشد، نقطه روی نیمساز قرار دارد ... زاویه چیست؟ دوباره به تصویر نگاه کنید:

و فواصل اضلاع زاویه هستند و مساوی هستند یعنی نقطه روی نیمساز زاویه قرار دارد. نیمساز سوم هم از همین نقطه گذشت! هر سه نیمساز در یک نقطه قطع می شوند! و به عنوان یک هدیه اضافی -

شعاع نوشته شده استحلقه ها

(برای اطمینان به موضوع دیگری مراجعه کنید).

خوب، حالا شما هرگز فراموش نخواهید کرد:

نقطه تلاقی نیمسازهای یک مثلث مرکز دایره محاطی است.

حرکت به سمت خاصیت بعدی ... وای، و نیمساز دارای خواص زیادی است، درست است؟ و این عالی است، زیرا هر چه خواص بیشتر باشد، ابزارهای بیشتری برای حل مسائل مربوط به نیمساز است.

4. نیمساز و موازی، نیمساز زوایای مجاور

این واقعیت که نیمساز زاویه را به نصف تقسیم می کند، در برخی موارد منجر به نتایج کاملاً غیرمنتظره می شود. مثلا،

مورد 1

عالی است، اینطور نیست؟ بیایید بفهمیم چرا اینطور است.

از یک طرف داریم نیمساز می کنیم!

اما، از سوی دیگر، مانند گوشه های متقاطع (موضوع را به خاطر بسپارید).

و اکنون معلوم می شود که؛ از وسط پرت کن:! - متساوی الساقین!

مورد 2

مثلثی را تصور کنید (یا به تصویر نگاه کنید)

بیایید سمت را برای یک نقطه ادامه دهیم. حالا دو گوشه داریم:

• - گوشه داخلی
• - گوشه بیرونی - بیرون است، درست است؟

بنابراین، اکنون کسی می خواست نه یک، بلکه دو نیمساز را به طور همزمان بکشد: برای و برای. چه اتفاقی خواهد افتاد؟

و معلوم خواهد شد مستطیل شکل!

با کمال تعجب، این دقیقاً همینطور است.

درك كردن.

به نظر شما مجموع چقدر است؟

البته چون همه آنها با هم چنان زاویه ای را تشکیل می دهند که معلوم می شود یک خط مستقیم است.

و حالا به یاد داشته باشید که و نیمساز هستند و ببینید که در داخل گوشه دقیقا وجود دارد نیماز مجموع هر چهار زاویه: و - - یعنی دقیقا. همچنین می توانید معادله را بنویسید:

بنابراین، باور نکردنی، اما واقعی:

زاویه بین نیمسازهای گوشه داخلی و خارجی مثلث است.

مورد 3

آیا می بینید که اینجا همه چیز مانند زوایای بیرونی و درونی است؟

یا دوباره فکر کنید چرا اینطور است؟

باز هم در مورد گوشه های مجاور،

(همانطور که در پایه های موازی مطابقت داده شده است).

و دوباره آرایش کنید دقیقا نصفاز مجموع

نتیجه:اگر مشکل دارای نیمساز باشد مربوطزاویه یا نیمساز مربوطهزوایای متوازی الاضلاع یا ذوزنقه، سپس در این مسئله قطعایک مثلث قائم الزاویه درگیر است، و شاید حتی یک مستطیل کامل.

5. نیمساز و طرف مقابل

معلوم می شود که نیمساز زاویه مثلث ضلع مقابل را نه به نحوی، بلکه به روشی خاص و بسیار جالب تقسیم می کند:

به این معنا که:

یک واقعیت شگفت انگیز، اینطور نیست؟

اکنون این واقعیت را ثابت خواهیم کرد، اما آماده باشید: کمی دشوارتر از قبل خواهد بود.

باز هم - راهپیمایی فضایی - ساخت و ساز اضافی!

بیایید یک خط مستقیم بکشیم.

برای چی؟ اکنون خواهیم دید.

نیمساز را تا تقاطع با خط مستقیم ادامه دهید.

آشنا بنظر رسیدن؟ بله، بله، بله، به همان ترتیبی که در بند 4، مورد 1 - معلوم می شود که (نصف ساز است)

مثل دروغ گفتن به صورت ضربدری

یعنی - این هم

حالا بیایید به مثلث ها و.

در مورد آنها چه می توانید بگویید؟

شبیه هم هستند. خوب، بله، آنها همان زوایای عمودی را دارند. از این رو، در دو گوشه.

حالا ما حق داریم رابطه طرفین مربوطه را بنویسیم.

و حالا به طور خلاصه:

آخ! به نظر چیزی می رسد، درست است؟ آیا این چیزی نیست که ما می خواستیم ثابت کنیم؟ آره همینه!

می بینید که چقدر عالی "پیاده روی فضایی" - ساخت یک خط مستقیم اضافی - خود را ثابت کرده است - بدون آن هیچ اتفاقی نمی افتاد! و بنابراین، ما این را ثابت کرده ایم

اکنون می توانید با خیال راحت از آن استفاده کنید! بیایید یک ویژگی دیگر از نیمسازهای زوایای مثلث را تجزیه و تحلیل کنیم - نگران نباشید، اکنون سخت ترین بخش به پایان رسیده است - آسان تر خواهد بود.

ما آن را دریافت می کنیم

این دانش را می توان در مسائلی به کار برد که دو نیمساز درگیر هستند و فقط زاویه داده می شود و مقادیر مورد نظر از طریق یا برعکس داده می شود، اما باید چیزی را با مشارکت زاویه پیدا کنید.

دانش اولیه نیمساز به پایان رسیده است. با ترکیب این حقایق، کلید هر مشکل نیمساز را پیدا خواهید کرد!

نیمساز. خلاصه و فرمول های اساسی

قضیه 1:

قضیه 2:

قضیه 3:

قضیه 4:

قضیه 5:

قضیه 6: