در هندسه، مفهوم "راس مثلث" اغلب در نظر گرفته می شود. این نقطه تلاقی دو طرف یک شکل معین است. این مفهوم تقریباً در هر مشکلی ظاهر می شود، بنابراین منطقی است که آن را با جزئیات بیشتر در نظر بگیرید.

تعیین راس مثلث

در یک مثلث سه نقطه وجود دارد که اضلاع آن را قطع می کنند و سه زاویه را تشکیل می دهند. آنها را رئوس می نامند و ضلعی که روی آن قرار دارند اضلاع مثلث نامیده می شوند.

برنج. 1. راس در مثلث.

رئوس مثلث ها با حروف بزرگ مشخص می شوند. بنابراین، اغلب در ریاضیات، اضلاع با دو حرف بزرگ لاتین، پس از نام رئوس وارد شده به اضلاع نشان داده می شود. برای مثال، ضلع AB ضلع مثلثی است که رئوس A و B را به هم متصل می کند.

برنج. 2. تعیین رئوس در مثلث.

ویژگی های مفهوم

اگر یک مثلث را به طور دلخواه در یک صفحه بگیریم، در عمل بیان ویژگی های هندسی آن از طریق مختصات رئوس این شکل بسیار راحت است. بنابراین، راس A یک مثلث را می توان به عنوان یک نقطه با پارامترهای عددی خاص A(x; y) بیان کرد.

با دانستن مختصات رئوس مثلث، می توانید نقاط تقاطع وسط، طول ارتفاع کاهش یافته به یکی از اضلاع شکل و مساحت مثلث را بیابید.

برای انجام این کار، از ویژگی های بردارهای نشان داده شده در سیستم مختصات دکارتی استفاده می شود، زیرا طول ضلع یک مثلث از طریق طول بردار با نقاطی که رئوس مربوط به این شکل در آن قرار دارند تعیین می شود.

با استفاده از راس مثلث

برای هر رأس مثلث، می توانید زاویه ای را پیدا کنید که در مجاورت زاویه داخلی شکل مورد نظر باشد. برای انجام این کار، باید یکی از اضلاع مثلث را گسترش دهید. از آنجایی که در هر راس دو ضلع وجود دارد، در هر راس دو زاویه خارجی وجود دارد. زاویه بیرونی برابر است با مجموع دو زاویه داخلی مثلثی که مجاور آن نیستند.

برنج. 3. خاصیت زاویه خارجی مثلث.

اگر دو زاویه خارجی را در یک راس بسازید، مانند زاویه های عمودی برابر خواهند بود.

ما چه آموخته ایم؟

یکی از مفاهیم مهم هندسه در نگاه به انواع مثلث ها، رأس است. این نقطه ای است که دو ضلع زاویه یک شکل هندسی معین را قطع می کنند. با یکی از حروف بزرگ الفبای لاتین نشان داده می شود. راس یک مثلث را می توان بر حسب مختصات x و y بیان کرد، این به تعریف طول ضلع مثلث به عنوان طول یک بردار کمک می کند.

در مورد موضوع تست کنید

رتبه بندی مقاله

میانگین امتیاز: 4.2. مجموع امتیازهای دریافتی: 153.

چگونه حل مسائل هندسه تحلیلی را یاد بگیریم؟
مشکل معمولی مثلث در هواپیما

این درس در مورد رویکرد به استوا بین هندسه صفحه و هندسه فضا ایجاد شده است. در حال حاضر، نیاز به سیستماتیک کردن اطلاعات انباشته شده و پاسخ به یک سوال بسیار مهم وجود دارد: چگونه حل مسائل هندسه تحلیلی را یاد بگیریم؟مشکل این است که شما می توانید با تعداد بی نهایت مسئله در هندسه مواجه شوید و هیچ کتاب درسی حاوی نمونه های متعدد و متنوع نخواهد بود. نیست مشتق از یک تابعبا پنج قانون تمایز، یک جدول و چندین تکنیک….

راه حلی وجود دارد! من با صدای بلند در مورد این واقعیت صحبت نمی کنم که نوعی تکنیک بزرگ را توسعه داده ام، با این حال، به نظر من، یک رویکرد موثر برای مشکل در نظر گرفته شده وجود دارد، که اجازه می دهد حتی یک ساختگی کامل به نتایج خوب و عالی برسد. حداقل، الگوریتم کلی برای حل مسائل هندسی به وضوح در ذهن من شکل گرفت.

آنچه شما باید بدانید و بتوانید انجام دهید
برای حل موفقیت آمیز مسائل هندسه؟

هیچ فراری از این وجود ندارد - برای اینکه به طور تصادفی دکمه ها را با بینی خود فشار ندهید، باید بر اصول هندسه تحلیلی تسلط داشته باشید. بنابراین، اگر به تازگی مطالعه هندسه را شروع کرده اید یا به طور کامل آن را فراموش کرده اید، لطفاً از درس شروع کنید. وکتور برای آدمک. علاوه بر بردارها و اقدامات با آنها، شما باید مفاهیم اساسی هندسه صفحه را بدانید، به ویژه، معادله یک خط در یک صفحهو . هندسه فضا در مقالات ارائه شده است معادله صفحه, معادلات یک خط در فضا، مسائل اساسی در خط مستقیم و صفحه و چند درس دیگر. خطوط منحنی و سطوح فضایی مرتبه دوم تا حدودی از هم جدا هستند و مشکلات خاصی در آنها وجود ندارد.

فرض کنید دانش آموز در حل ساده ترین مسائل هندسه تحلیلی دانش و مهارت های اولیه را دارد. اما اینطوری می شود: بیان مسئله را می خوانی و... می خواهی کلاً همه چیز را ببندی، به گوشه ای دور بیندازی و فراموشش کنی، مثل خواب بد. علاوه بر این، این اساساً به سطح صلاحیت شما بستگی ندارد؛ من خودم هر از گاهی با کارهایی روبرو می شوم که راه حل آنها واضح نیست. در چنین مواقعی چه باید کرد؟ نیازی نیست از کاری که نمی فهمی بترسی!

اولا، باید نصب شود - آیا این یک مشکل "مسطح" یا فضایی است؟به عنوان مثال، اگر شرط شامل بردارهایی با دو مختصات باشد، البته این هندسه یک صفحه است. و اگر معلم شنونده سپاسگزار را با یک هرم بارگذاری کند، هندسه فضا به وضوح وجود دارد. نتایج مرحله اول در حال حاضر بسیار خوب است، زیرا ما موفق شدیم حجم عظیمی از اطلاعات غیر ضروری را برای این کار قطع کنیم!

دومین. این وضعیت معمولاً شما را با برخی از اشکال هندسی نگران می کند. در واقع، در راهروهای دانشگاه بومی خود قدم بزنید، چهره های نگران زیادی خواهید دید.

در مسائل "مسطح"، بدون ذکر نقاط و خطوط واضح، محبوب ترین شکل یک مثلث است. ما آن را با جزئیات زیاد تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. بعد متوازی الاضلاع می آید و مستطیل، مربع، لوزی، دایره و اشکال دیگر بسیار کمتر رایج هستند.

در مسائل فضایی، همان شکل های مسطح + خود هواپیماها و اهرام مثلثی معمولی با موازی پا می توانند پرواز کنند.

سوال دوم - آیا همه چیز را در مورد این چهره می دانید؟فرض کنید شرط در مورد مثلث متساوی الساقین صحبت می کند، و شما به طور مبهم به یاد می آورید که این مثلث چه نوع مثلثی است. کتاب درسی مدرسه را باز می کنیم و در مورد مثلث متساوی الساقین می خوانیم. چیکار کنم... دکتر گفت لوزی یعنی لوزی. هندسه تحلیلی هندسه تحلیلی است، اما مشکل با ویژگی های هندسی خود شکل ها حل خواهد شد، از برنامه درسی مدرسه برای ما شناخته شده است. اگر ندانید مجموع زوایای یک مثلث چقدر است، ممکن است برای مدت طولانی رنج بکشید.

سوم. همیشه سعی کنید نقاشی را دنبال کنید(در یک نسخه پیش نویس/پایان کپی/به صورت ذهنی)، حتی اگر این شرط مورد نیاز نباشد. در مسائل "مسطح"، اقلیدس خود دستور داد که یک خط کش و یک مداد بردارید - و نه تنها برای درک شرایط، بلکه برای هدف خودآزمایی. در این مورد، راحت ترین مقیاس 1 واحد = 1 سانتی متر (2 سلول نوت بوک) است. بیایید در مورد دانش آموزان و ریاضیدانان بی دقت که در قبر خود می چرخند صحبت نکنیم - اشتباه کردن در چنین مسائلی تقریبا غیرممکن است. برای کارهای فضایی، ما یک نقشه شماتیک انجام می دهیم که به تجزیه و تحلیل شرایط نیز کمک می کند.

یک طراحی یا نقشه شماتیک اغلب به شما امکان می دهد فوراً راه حل یک مشکل را ببینید. البته برای این کار باید پایه هندسه را بدانید و خواص اشکال هندسی را بدانید (به پاراگراف قبلی مراجعه کنید).

چهارم. توسعه یک الگوریتم حل. بسیاری از مسائل هندسی چند مرحله ای هستند، بنابراین راه حل و طراحی آن برای تجزیه به نقاط بسیار راحت است. اغلب پس از خواندن شرط یا تکمیل نقشه، الگوریتم بلافاصله به ذهن خطور می کند. در صورت مشکل، با QUESTION کار شروع می کنیم. به عنوان مثال، با توجه به شرط "شما نیاز به ساخت یک خط مستقیم ...". در اینجا منطقی ترین سوال این است: "چه چیزی برای ساختن این خط مستقیم کافی است؟" فرض کنید، "ما نقطه را می دانیم، باید بردار جهت را بدانیم." ما این سوال را مطرح می کنیم: "چگونه این بردار جهت را پیدا کنیم؟ جایی که؟" و غیره.

گاهی اوقات یک "اشکال" وجود دارد - مشکل حل نمی شود و همین. دلایل توقف ممکن است موارد زیر باشد:

- شکاف جدی در دانش پایه. به عبارت دیگر، شما چیز بسیار ساده ای را نمی دانید و/یا نمی بینید.

– ناآگاهی از خصوصیات اشکال هندسی.

- کار سخت بود. بله، این اتفاق می افتد. ساعت ها بخار دادن و اشک جمع کردن در دستمال فایده ای ندارد. از معلم، دانش‌آموزان خود راهنمایی بخواهید یا در انجمن سؤال بپرسید. علاوه بر این، بهتر است بیانیه آن را ملموس کنید - در مورد آن قسمت از راه حل که نمی فهمید. فریادی به شکل "چگونه مشکل را حل کنیم؟" خیلی خوب به نظر نمی رسد... و مهمتر از همه، برای شهرت خودتان.

مرحله پنجم. ما تصمیم می گیریم، بررسی می کنیم، تصمیم می گیریم، بررسی می کنیم، تصمیم می گیریم، بررسی می کنیم، پاسخ می دهیم. بررسی هر نقطه از کار مفید است بلافاصله پس از تکمیل آن. این به شما کمک می کند تا بلافاصله خطا را تشخیص دهید. به طور طبیعی، هیچ کس حل سریع کل مشکل را منع نمی کند، اما خطر بازنویسی مجدد همه چیز (اغلب چندین صفحه) وجود دارد.

اینها، شاید، تمام ملاحظات اصلی است که باید در هنگام حل مشکلات رعایت شود.

بخش عملی درس در هندسه صفحه ارائه شده است. فقط دو مثال وجود خواهد داشت، اما کافی به نظر نمی رسد =)

بیایید از طریق رشته الگوریتمی که من در کار علمی کوچک خود به آن نگاه کردم، بپردازیم:

مثال 1

سه رأس متوازی الاضلاع آورده شده است. بالا را پیدا کنید.

بیایید شروع به درک کنیم:

گام یک: واضح است که ما در مورد یک مشکل "تخت" صحبت می کنیم.

مرحله دو: مسئله با متوازی الاضلاع سروکار دارد. آیا همه این شکل متوازی الاضلاع را به خاطر دارند؟ نیازی به لبخند نیست، بسیاری از افراد در سنین 30-40-50 یا بیشتر تحصیلات خود را دریافت می کنند، بنابراین حتی حقایق ساده را می توان از حافظه پاک کرد. تعریف متوازی الاضلاع در مثال شماره 3 درس آمده است وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها.

مرحله سوم: یک نقاشی بکشیم که روی آن سه رأس شناخته شده را مشخص کنیم. خنده دار است که ساختن سریع نقطه مورد نظر دشوار نیست:

البته ساخت آن خوب است، اما راه حل باید تحلیلی باشد.

مرحله چهارم: توسعه یک الگوریتم حل. اولین چیزی که به ذهن می رسد این است که یک نقطه را می توان به عنوان محل تلاقی خطوط پیدا کرد. ما معادلات آنها را نمی دانیم، بنابراین باید به این موضوع بپردازیم:

1) اضلاع مقابل موازی هستند. با امتیاز بیایید بردار جهت این اضلاع را پیدا کنیم. این ساده ترین مشکلی است که در کلاس مطرح شد. وکتور برای آدمک.

توجه داشته باشید: درست تر است که بگوییم «معادله یک خط حاوی یک ضلع»، اما در اینجا و بیشتر برای اختصار از عبارات «معادله یک ضلع»، «بردار جهت یک ضلع» و غیره استفاده خواهم کرد.

3) اضلاع مقابل موازی هستند. با استفاده از نقاط، بردار جهت این اضلاع را پیدا می کنیم.

4) با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت، معادله ای از یک خط مستقیم ایجاد می کنیم

در پاراگراف های 1-2 و 3-4 در واقع یک مشکل را دو بار حل کردیم؛ اتفاقاً در مثال شماره 3 درس مطرح شد. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. می توان مسیر طولانی تری را طی کرد - ابتدا معادلات خطوط را پیدا کنید و تنها پس از آن بردارهای جهت را از آنها "بیرون بکشید".

5) اکنون معادلات خطوط مشخص است. تنها چیزی که باقی می ماند این است که سیستم معادلات خطی مربوطه را بسازید و حل کنید (به مثال های شماره 4 و 5 همان درس مراجعه کنید. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما).

نکته پیدا شده است.

کار بسیار ساده است و راه حل آن واضح است، اما راه کوتاه تری وجود دارد!

راه حل دوم:

قطرهای متوازی الاضلاع با نقطه تقاطع آنها نصف می شوند. من نقطه را مشخص کردم، اما برای اینکه نقاشی به هم نریزد، خود مورب ها را نکشیدم.

بیایید یک معادله برای ضلع نقطه به نقطه ایجاد کنیم:

برای بررسی، باید به صورت ذهنی یا روی پیش نویس مختصات هر نقطه را در معادله حاصل جایگزین کنید. حالا بیایید شیب را پیدا کنیم. برای انجام این کار، معادله کلی را به شکل یک معادله با ضریب شیب بازنویسی می کنیم:

بنابراین، شیب عبارت است از:

به همین ترتیب، معادلات اضلاع را پیدا می کنیم. من چندان فایده ای در توصیف یک چیز نمی بینم، بنابراین بلافاصله نتیجه نهایی را ارائه می دهم:

2) طول ضلع را پیدا کنید. این ساده ترین مشکلی است که در کلاس مطرح می شود. وکتور برای آدمک. برای امتیاز ما از فرمول استفاده می کنیم:

با استفاده از همین فرمول، به راحتی می توان طول اضلاع دیگر را پیدا کرد. چک را می توان خیلی سریع با یک خط کش معمولی انجام داد.

ما از فرمول استفاده می کنیم .

بیایید بردارها را پیدا کنیم:

بدین ترتیب:

به هر حال، در طول مسیر ما طول اضلاع را پیدا کردیم.

در نتیجه:

خب، به نظر می رسد درست باشد؛ برای قانع کننده بودن، می توانید یک نقاله را به گوشه وصل کنید.

توجه! زاویه مثلث را با زاویه بین خطوط مستقیم اشتباه نگیرید. زاویه یک مثلث می تواند مبهم باشد، اما زاویه بین خطوط مستقیم نمی تواند (به آخرین پاراگراف مقاله مراجعه کنید. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما). با این حال، برای پیدا کردن زاویه یک مثلث، می توانید از فرمول های درس بالا نیز استفاده کنید، اما ناهمواری این است که آن فرمول ها همیشه یک زاویه تند می دهند. با کمک آنها این مشکل را به صورت پیش نویس حل کردم و به نتیجه رسیدم. و در نسخه نهایی باید بهانه های اضافی را بنویسم، که .

4) برای خطی که از نقطه ای موازی با خط می گذرد معادله بنویسید.

تکلیف استاندارد که در مثال شماره 2 درس به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. از معادله کلی خط بیایید بردار راهنما را برداریم. بیایید با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت معادله یک خط مستقیم ایجاد کنیم:

چگونه ارتفاع مثلث را پیدا کنیم؟

5) یک معادله برای ارتفاع ایجاد می کنیم و طول آن را پیدا می کنیم.

هیچ راه فراری از تعاریف دقیق وجود ندارد، بنابراین باید از کتاب درسی مدرسه سرقت کنید:

ارتفاع مثلث به عمود رسم شده از راس مثلث به خط حاوی ضلع مقابل گفته می شود.

یعنی باید برای یک عمود رسم شده از راس به ضلع معادله ایجاد کرد. این کار در مثال های شماره 6، 7 درس مورد بحث قرار گرفته است ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. از معادله بردار معمولی را حذف کنید بیایید معادله ارتفاع را با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت بسازیم:

لطفا توجه داشته باشید که ما مختصات نقطه را نمی دانیم.

گاهی معادله ارتفاع از نسبت ضرایب زاویه ای خطوط عمود بر هم بدست می آید: . در این صورت، پس: . بیایید معادله ارتفاع را با استفاده از یک نقطه و یک ضریب زاویه ای بسازیم (به ابتدای درس مراجعه کنید معادله یک خط مستقیم در یک صفحه):

طول ارتفاع را می توان به دو صورت یافت.

یک راه دور وجود دارد:

الف) پیدا کردن - نقطه تقاطع ارتفاع و سمت.
ب) طول پاره را با استفاده از دو نقطه شناخته شده بیابید.

اما در کلاس ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیمایک فرمول مناسب برای فاصله از یک نقطه تا یک خط در نظر گرفته شد. نقطه مشخص است: ، معادله خط نیز شناخته شده است: ، بدین ترتیب:

6) مساحت مثلث را محاسبه کنید. در فضا، مساحت یک مثلث به طور سنتی با استفاده از محاسبه می شود حاصلضرب برداری بردارها، اما در اینجا یک مثلث در یک هواپیما به ما داده می شود. ما از فرمول مدرسه استفاده می کنیم:
- مساحت مثلث برابر با نصف حاصلضرب قاعده و ارتفاع آن است.

در این مورد:

چگونه میانه یک مثلث را پیدا کنیم؟

7) یک معادله برای میانه ایجاد می کنیم.

میانه یک مثلث قطعه ای نامیده می شود که راس مثلث را به وسط ضلع مقابل متصل می کند.

الف) نقطه - وسط ضلع را پیدا کنید. ما استفاده می کنیم فرمول مختصات نقطه وسط یک قطعه. مختصات انتهای بخش مشخص است: ، سپس مختصات وسط:

بدین ترتیب:

بیایید نقطه به نقطه معادله میانه را بسازیم :

برای بررسی معادله، باید مختصات نقاط را در آن جایگزین کنید.

8) نقطه تقاطع ارتفاع و میانه را پیدا کنید. من فکر می کنم همه قبلاً یاد گرفته اند که چگونه این عنصر اسکیت بازی را بدون افتادن انجام دهند:

فصلV. هندسه تحلیلی در صفحه

و در فضا

این بخش شامل وظایفی است که در مبحث "هندسه تحلیلی در صفحه و فضا" مورد بحث قرار می گیرد: ترسیم معادلات مختلف خطوط مستقیم در صفحه و در فضا. تعیین موقعیت نسبی خطوط در یک صفحه، خطوط مستقیم، یک خط مستقیم و یک صفحه، صفحات در فضا. تصویر منحنی های مرتبه دوم لازم به ذکر است که در این بخش مسائلی از محتوای اقتصادی ارائه می شود که برای حل آنها از اطلاعات هندسه تحلیلی در یک صفحه استفاده می شود.

هنگام حل مسائل هندسه تحلیلی، توصیه می شود از کتاب های درسی نویسندگان زیر استفاده کنید: D.V. Kletenika، N. Sh. Kremer، D.T. نوشته شده توسط V.I. مالیخینا، زیرا این ادبیات طیف وسیع تری از وظایف را پوشش می دهد که می توان از آنها برای مطالعه شخصی در مورد این موضوع استفاده کرد. کاربرد هندسه تحلیلی در حل مسائل اقتصادی در نشریات آموزشی توسط M.S. کراس و وی.آی. ارماکووا.

مشکل 5.1. با توجه به مختصات رئوس مثلثABC . ضروری است

الف) معادلات اضلاع مثلث را بنویسید.

ب) معادله ارتفاع مثلثی که از راس کشیده شده است را بنویسیدبا به کنارAB و طول آن را بیابید.

ج) معادله میانه مثلثی که از راس کشیده شده است را بنویسیدکه در به کنارAC ;

د) زوایای مثلث را بیابید و نوع آن را تعیین کنید (مستطیل، حاد، مبهم).

ه) طول اضلاع مثلث را بیابید و نوع آن را تعیین کنید (مقیاس، متساوی الساقین، متساوی الاضلاع).

ه) مختصات مرکز ثقل (نقطه تقاطع میانه ها) مثلث را پیدا کنید.ABC ;

ز) مختصات مرکز متعامد (نقطه تقاطع ارتفاعات) مثلث را پیدا کنید.ABC .

برای هر یک از نقاط الف - ج) محلول، نقشه هایی را در یک سیستم مختصات ایجاد کنید. در تصاویر، خطوط و نقاط مربوط به نقاط کار را علامت بزنید.

مثال 5.1

با توجه به مختصات رئوس مثلثABC : . الف) معادلات اضلاع مثلث را بنویسید. ب) معادله ارتفاع مثلثی که از راس کشیده شده است را بنویسید با به کنارAB و طول آن را بیابید. ج) معادله میانه مثلثی که از راس کشیده شده است را بنویسیدکه در به کنارAC ; د) طول اضلاع مثلث را بیابید و نوع آن را تعیین کنید (مقیاس، متساوی الساقین، متساوی الاضلاع). ه) زوایای مثلث را بیابید و نوع آن را تعیین کنید (مستطیل، حاد، مبهم). ه) مختصات مرکز ثقل (نقطه تقاطع میانه ها) مثلث را پیدا کنید. ABC ; ز) مختصات مرکز متعامد (نقطه تقاطع ارتفاعات) مثلث را پیدا کنید.ABC .

راه حل

آ)برای هر ضلع مثلث، مختصات دو نقطه که روی خطوط مورد نیاز قرار دارند مشخص است، به این معنی که معادلات اضلاع مثلث معادلات خطوطی هستند که از دو نقطه داده شده می گذرند.

,

جایی که
و
مختصات مربوط به نقاط

بنابراین، با جایگزینی مختصات نقاط مربوط به خطوط مستقیم به فرمول (5.1)، به دست می آوریم

,
,
,

از آنجا پس از تبدیل، معادلات اضلاع را یادداشت می کنیم

در شکل 7 اضلاع مربوط به مثلث را به تصویر می کشیم
سر راست.

پاسخ:

ب)اجازه دهید
- ارتفاع از راس کشیده شده است به کنار
. زیرا
از نقطه ای عبور می کند عمود بر بردار
، سپس با استفاده از فرمول زیر معادله خط مستقیم را می سازیم

جایی که
- مختصات بردار عمود بر خط مورد نظر،
- مختصات یک نقطه متعلق به این خط. مختصات بردار عمود بر خط را پیدا کنید
و جایگزین فرمول (5.2)

,
,

.

طول ارتفاع را پیدا کنید CHبه عنوان فاصله از نقطه به یک خط مستقیم

,

جایی که
- معادله یک خط مستقیم
,
- مختصات نقطه .

در پاراگراف قبلی پیدا شد

با جایگزینی داده ها به فرمول (5.3)، به دست می آوریم

,

در شکل 8 یک مثلث و ارتفاع پیدا شده را رسم کنید CH.

پاسخ: .

آر است. 8

V)میانه
مثلث
طرف را تقسیم می کند
به دو قسمت مساوی، یعنی نقطه نقطه وسط قطعه است
. بر این اساس می توانید مختصات را پیدا کنید
نکته ها

, ,

جایی که
و
و ، با جایگزینی آن به فرمول (5.4)، به دست می آوریم

;
.

معادله میانه
مثلث
بیایید آن را به صورت معادله خطی بنویسیم که از نقاط عبور می کند
و
طبق فرمول (5.1)

,

.

پاسخ:(شکل 9).

آر است. 9

ز)طول اضلاع مثلث را به عنوان طول بردارهای مربوطه پیدا می کنیم، یعنی.

,
,
.

مهمانی
و
مثلث
برابر هستند، به این معنی که مثلث با قاعده متساوی الساقین است
.

پاسخ:مثلث
متساوی الساقین با پایه
;

,
.

د)زوایای یک مثلث
بیایید زوایای بین بردارهایی را که از رئوس متناظر یک مثلث معین سرچشمه می‌گیرند، پیدا کنیم.

,
,
.

از آنجایی که مثلث متساوی الساقین با قاعده است
، آن

,

ما زوایای بین بردارها را با استفاده از فرمول (4.4) محاسبه می کنیم، که به حاصل ضربات اسکالر بردارها نیاز دارد.
,
.

بیایید مختصات و بزرگی بردارهای لازم برای محاسبه زوایا را پیدا کنیم

,
;

,
,
.

با جایگزینی داده های یافت شده به فرمول (4.4)، به دست می آوریم

,

از آنجایی که کسینوس تمام زوایای یافت شده مثبت هستند، پس مثلث
حاد زاویه دارد.

پاسخ:مثلث
حاد زاویه دار؛

,
,
.

ه)اجازه دهید

، سپس مختصات
نکته ها
را می توان با استفاده از فرمول های (5.5) پیدا کرد

, ,

جایی که
,
و
- مختصات نقاط به ترتیب , و از این رو،

,
.

پاسخ:
- مرکز ثقل مثلث
.

و)اجازه دهید – مرکز متعامد مثلث
. مختصات نقطه را پیدا کنید به عنوان مختصات نقطه تقاطع ارتفاعات مثلث. معادله ارتفاع
در پیدا شد ب). بیایید معادله ارتفاع را پیدا کنیم
:

,
,

.

زیرا
، سپس راه حل سیستم

مختصات نقطه است ، جایی که ما پیدا می کنیم
.

پاسخ:
– مرکز متعامد مثلث
.

مشکل 5.2. هزینه های ثابت در یک شرکت در هنگام تولید برخی از محصولات استاف V 0 مالیدن در هر واحد تولید، با درآمد بالغ برآر 0 مالیدن به ازای هر واحد محصول تولیدی یک تابع سود ایجاد کنیدپ (q ) (q

داده های شرایط مشکل مربوط به گزینه ها:

مثال 5.2

هزینه های ثابت در یک شرکت در هنگام تولید برخی از محصولات است
مالیدن در هر ماه، هزینه های متغیر –
مالیدن در هر واحد تولید، با درآمد بالغ بر
مالیدن به ازای هر واحد محصول تولیدی یک تابع سود ایجاد کنیدپ (q ) (q - مقدار محصولات تولید شده؛ نمودار آن را بسازید و نقطه سربه سر را تعیین کنید.

راه حل

بیایید کل هزینه های تولید را پس از انتشار محاسبه کنیم qواحدهای برخی از محصولات

اگر فروخته شود qواحد تولید، پس از آن درآمد کل خواهد بود

بر اساس توابع حاصل از درآمد کل و هزینه کل، تابع سود را پیدا می کنیم

,

.

نقطه سربه سر - نقطه ای که در آن سود صفر است، یا نقطه ای که کل هزینه ها برابر با درآمد کل است

,

,

از کجا پیداش کنیم

- حتی شکستن

برای رسم نمودار (شکل 10) از تابع سود، یک نقطه دیگر را خواهیم یافت

پاسخ:تابع سود
، شکستن حتی
.

مشکل 5.3. قوانین عرضه و تقاضا برای یک محصول خاص به ترتیب توسط معادلات تعیین می شوندپ = پ D (q ), پ = پ اس (q )، جایی کهپ - قیمت محصول،q - مقدار کالا فرض بر این است که تقاضا فقط با قیمت محصول در بازار تعیین می شودپ با ، و پیشنهاد فقط بر اساس قیمت استپ اس دریافت شده توسط تامین کنندگان ضروری است

الف) تعیین نقطه تعادل بازار؛

ب) نقطه تعادل پس از معرفی مالیاتی برابر باتی . افزایش قیمت و کاهش حجم فروش تعادلی را تعیین کنید.

ج) یارانه پیدا کنیدس ، که منجر به افزایش فروش توسطq 0 واحدها نسبت به اصل (تعریف شده در بند الف)؛

د) هنگام تعیین مالیات متناسب با قیمت و برابر، یک نقطه تعادل جدید و درآمد دولت پیدا کنید.ن %;

ه) تعیین کنید که دولت در هنگام تعیین حداقل قیمت برابر با چه مقدار پول برای خرید مازاد هزینه خواهد کرد پ 0 .

برای هر نقطه حل، یک نقاشی در سیستم مختصات ایجاد کنید. در شکل، خطوط و نقاط مربوط به مورد وظیفه را علامت بزنید.

داده های شرایط مشکل مربوط به گزینه ها: