فرمولهای تبدیل توابع مثلثاتی فرمول های اصلی مثلثات

فرمول های زیادی در مثلثات وجود دارد.

به خاطر سپردن آنها به صورت مکانیکی بسیار مشکل است ، تقریباً غیرممکن است. در کلاس درس ، بسیاری از دانش آموزان و دانش آموزان از چاپ روی کاغذهای چاپی کتاب های درسی و دفترچه ها ، پوسترهای روی دیوار ، تختخواب ها و در نهایت استفاده می کنند. امتحان چطور؟

با این حال ، اگر این فرمول ها را دقیق تر ببینید ، متوجه خواهید شد که همه آنها به هم متصل هستند و تقارن خاصی دارند. بیایید آنها را از نظر تعاریف و ویژگی ها تجزیه و تحلیل کنیم. توابع مثلثاتیبرای تعیین حداقلهایی که واقعا ارزش به خاطر سپردن دارد.

گروه اول هویت های اساسی

sin 2 α + cos 2 α = 1؛

tgα = ____ sinα cosα؛ ctgα = ____ cosα sinα ;

tgα · ctgα = 1؛

1 + tg 2 α = _____ 1 cos 2 α ؛ 1 + ctg 2 α = _____ 1 گناه 2 α.

این گروه شامل ساده ترین و محبوب ترین فرمول ها است. اکثر دانش آموزان آنها را می شناسند. اما اگر هنوز مشکلات وجود دارد ، پس برای به خاطر سپردن سه فرمول اول ، از نظر ذهنی تصور کنید راست گوشهبا یک هیپوتنوز مساوی یک. سپس پاهای او به ترتیب برابر سینا با سینوس (نسبت پای مخالف به هیپوتنوز) و cosα با تعریف کسینوس (نسبت پای مجاور به هیپوتنوز) برابر خواهد بود.

فرمول اول قضیه فیثاغورث برای چنین مثلثی است - مجموع مربع پاها برابر با مربع زیرپوستی است (1 1 = 1) ، دومین و سوم تعاریف مماس (نسبت پای مخالف به پای مجاور) و کنتانژانت (نسبت پای مجاور به پای مخالف).
حاصلضرب مماس و کنتانژنت 1 است زیرا کنتانژانت نوشته شده به صورت کسر (فرمول سه) یک مماس وارونه است (فرمول دو). به هر حال ، ملاحظات اخیر این امکان را فراهم می آورد که همه فرمولهای طولانی بعدی که دارای یک همزمانی هستند را از تعداد فرمولهایی که باید حفظ شوند ، حذف کرد. اگر در هر کار دشواربا ctgα روبرو می شوید ، فقط آن را با کسری جایگزین کنید ___ 1 قاشق غذاخوریو از فرمولهای مماس استفاده کنید.

دو فرمول آخر نیازی به حفظ پیش نمادین ندارند. آنها کمتر رایج هستند. و در صورت لزوم ، همیشه می توانید آنها را مجدداً روی پیش نویس چاپ کنید. برای این کار کافی است به جای مماس یا متضاد تعاریف آنها را از طریق کسر (به ترتیب فرمول های دوم و سوم) جایگزین کرده و عبارت را به مخرج مشترک... اما لازم به یادآوری است که چنین فرمولهایی که مربع های مماس و کسینوس و مربع های همجنس و سینوس را به هم متصل می کند. در غیر این صورت ، ممکن است حدس نزنید که برای حل یک مشکل خاص چه تغییراتی لازم است.

گروه دوم فرمول های اضافی

sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ؛

sin (α - β) = sinα · cosβ - cosα · sinβ؛

cos (α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ؛

cos (α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ؛

tg (α + β) = tgα + tgβ _________ 1 - tgα · tgβ؛

tg (α - β) =

ویژگیهای فرد / زوج توابع مثلثاتی را به یاد بیاورید:

گناه (−α) = - گناه (α) ؛ cos (−α) = cos (α) ؛ tg (−α) = - tg (α).

از بین همه توابع مثلثاتی ، فقط کسینوس یک تابع زوج است و وقتی علامت آرگومان (زاویه) تغییر می کند ، علامت خود را تغییر نمی دهد ، بقیه توابع فرد هستند. عجیب بودن تابع ، در واقع به این معنی است که علامت منفی را می توان در خارج از علامت تابع معرفی و حذف کرد. بنابراین ، اگر با یک عبارت مثلثاتی با تفاوت دو زاویه مواجه شدید ، همیشه می توانید آن را به عنوان مجموع زوایای مثبت و منفی درک کنید.

مثلا، گناه ( ایکس- 30º) = گناه ( ایکس+ (−30º)).
در مرحله بعد ، ما از فرمول مجموع دو زاویه استفاده می کنیم و با علائم برخورد می کنیم:
گناه ( ایکس+ (−30º)) = گناه ایکس· Cos (−30º) + cos ایکسگناه (−30º) =
= گناه ایکس· Cos30º - cos ایکس· گناه 30º.

بنابراین ، تمام فرمول های حاوی تفاوت زاویه ها را می توان در اولین حفظ به سادگی رد کرد. سپس ارزش یادگیری نحوه بازیابی آنها را دارد نمای کلیابتدا در یک پیش نویس ، و سپس از نظر ذهنی.

به عنوان مثال ، برنزه (α - β) = برنزه (α + (−β)) = tgα + tg (−β) ___________ 1 - tgα · tg (−β) = tgα - tgβ _________ 1 + tgα · tgβ.

این امر در آینده به شما کمک می کند تا به سرعت حدس بزنید چه تغییراتی باید برای حل یک کار خاص از مثلثات انجام شود.

گروه ش. فرمول های استدلال چندگانه

sin2α = 2 sinα cosα؛

cos2α = cos 2 α - sin 2 α؛

tg2α = 2tgα _______ 1 - tg 2 α؛

sin3α = 3sinα - 4sin 3 α ؛

cos3α = 4cos 3 α - 3cosα.

نیاز به استفاده از فرمول ها برای سینوس و کسینوس با زاویه دوگانه اغلب برای مماس نیز اغلب ایجاد می شود. این فرمولها باید به صورت قلبی شناخته شوند. علاوه بر این ، در حفظ آنها هیچ مشکلی وجود ندارد. اول ، فرمول ها کوتاه هستند. ثانیاً ، براساس فرمول گروه قبلی ، بر اساس این واقعیت که 2α = α + α α است ، کنترل آنها آسان است.
مثلا:
sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ؛
sin (α + α) = sinα · cosα + cosα · sinα؛
sin2α = 2sinα cosα.

با این حال ، اگر به سرعت این فرمول ها را آموختید ، و نه فرمول های قبلی ، می توانید عکس آن را انجام دهید: می توانید فرمول مجموع دو زاویه را با استفاده از فرمول مربوطه برای یک زاویه دوگانه به خاطر بسپارید.

به عنوان مثال ، اگر به فرمول کسینوسین از مجموع دو زاویه نیاز دارید:
1) فرمول کسینوس دو زاویه را به خاطر بسپارید: cos2 ایکس= cos 2 ایکس- گناه 2 ایکس;
2) ما آن را طولانی رنگ می کنیم: cos ( ایکس + ایکس) = cos ایکسبه خاطر ایکس- گناه ایکسگناه ایکس;
3) یکی را جایگزین کنید NSتوسط α ، دومی با β: cos (α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ.

به همان شیوه تمرین کنید تا فرمول های سینوس مجموع و مماس مجموع را بازیابی کنید. در موارد بحرانی ، برای مثال ، USE ، دقت فرمول های ترمیم شده را با استفاده از سه ماهه اول شناخته شده بررسی کنید: 0º ، 30º ، 45º ، 60º ، 90º.

بررسی فرمول قبلی (بدست آمده با جایگزینی در خط 3):
بگذار α = 60 درجه ، β = 30 درجه ، α + β = 90 درجه ،
سپس cos (α + β) = cos90 ° = 0 ، cosα = cos60 ° = 1/2 ، cosβ = cos30 ° = -3 _ / 2 ، sinα = sin60 ° = -3 _ / 2 ، sinβ = sin30 ° = 1/2 ؛
مقادیر را در فرمول جایگزین کنید: 0 = (1/2) ( √3_ /2) − (√3_ / 2) (1/2) ؛
0 ≡ 0 ، هیچ خطایی یافت نشد.

به نظر من ، فرمول های زاویه سه گانه نیازی به "گرفتگی" خاصی ندارند. آنها در امتحاناتی مانند امتحان بسیار نادر هستند. آنها به راحتی از فرمول هایی که در بالا ذکر شد استنباط می شوند sin3α = گناه (2α + α). و برای آن دسته از دانش آموزانی که به دلایلی هنوز به یادگیری این فرمول ها به صورت قلبی نیاز دارند ، به شما توصیه می کنم به "تقارن" خاص آنها توجه کنید و نه خود فرمول ها ، بلکه قوانین یادگاری را حفظ کنید. به عنوان مثال ، ترتیب قرار گرفتن اعداد در دو فرمول "33433433" و غیره.

گروه چهارم جمع / تفاوت - به محصول

sinα + sinβ = 2 گناه α + β ____ 2به خاطر α - β ____ 2 ;

sinα - sinβ = 2 گناه α - β ____ 2به خاطر α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ = 2cos α + β ____ 2به خاطر α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ = −2 گناه α - β ____ 2گناه α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ = sin (α + β) ________ cosα cosβ ;

tgα - tgβ = sin (α - β) ________ cosα cosβ .

با استفاده از خواص فرد توابع سینوس و مماس: گناه (−α) = - گناه (α) ؛ tg (−α) = - tg (α) ،
می توان فرمولهای تفاوت دو تابع را به فرمول برای مجموع آنها کاهش داد. مثلا،

sin90º - sin30º = sin90º + گناه (−30º) = 2 · گناه 90º + (−30º) __________ 2به خاطر 90º - (−30º) __________ 2 =

2 · sin30º · cos60º = 2 · (1/2) · (1/2) = 1/2.

بنابراین ، لازم نیست فرمول های تفاوت سینوس ها و مماس ها را فوراً به صورت قلبی آموخت.
وضعیت جمع و تفاوت کسینوس ها پیچیده تر است. این فرمولها قابل تعویض نیستند. اما دوباره ، با استفاده از برابری کسینوس ، می توانید قوانین زیر را به خاطر بسپارید.

مجموع cosα + cosβ نمی تواند علامت خود را برای هرگونه تغییر در علامت زاویه ها تغییر دهد ، بنابراین محصول نیز باید از توابع زوج تشکیل شود ، به عنوان مثال. دو کسینوس

علامت تفاوت cosα - cosβ به مقادیر خود توابع بستگی دارد ، به این معنی که علامت محصول باید به نسبت زاویه ها بستگی داشته باشد ، بنابراین محصول باید از توابع فرد ، یعنی دو سینوس

و با این حال به خاطر سپردن این گروه از فرمول ها ساده ترین نیست. این در شرایطی است که بهتر است کمتر فشار بیاورید ، اما بیشتر بررسی کنید. برای جلوگیری از اشتباه در فرمول در آزمون مسئول ، مطمئن شوید که ابتدا آن را روی پیش نویس یادداشت کرده و به دو روش آن را بررسی کنید. ابتدا ، با جایگزینی β = α و β = −α ، سپس با مقادیر شناخته شده توابع برای زوایای اولیه. برای این کار ، بهتر است از 90º و 30º استفاده کنید ، همانطور که در مثال بالا انجام شد ، زیرا نیم مجموع و نیمه تفاوت این مقادیر دوباره زوایای ساده ای را نشان می دهد ، و شما به راحتی می توانید ببینید چگونه برابری به یک هویت تبدیل می شود برای گزینه صحیح یا برعکس ، اگر اشتباهی مرتکب شده اید اجرا نمی شود.

مثالبررسی فرمول cosα - cosβ = 2 sin α - β ____ 2گناه α + β ____ 2برای تفاوت کسینوس ها با یک اشتباه !

1) بگذارید β = α ، سپس cosα - cosα = 2 گناه کند α - α _____ 2گناه α + α _____ 2= 2sin0 sinα = 0 sinα = 0. cosα - cosα ≡ 0.

2) اجازه دهید β = - α ، سپس cosα - cos ( - α) = 2 گناه α - (−α) _______ 2گناه α + (−α) _______ 2= 2sinα sin0 = 0 sinα = 0. cosα - cos ( - α) = cosα - cosα ≡ 0.

این بررسی ها نشان داد که توابع در فرمول به درستی استفاده شده اند ، اما با توجه به این واقعیت که هویت از فرم 0 ≡ 0 است ، می توان خطایی با علامت یا ضریب را از دست داد. سومین بررسی را انجام می دهیم.

3) α = 90º ، β = 30º ، سپس cos90º - cos30º = 2 · sin 90º - 30º ________ 2گناه 90º + 30º ________ 2= 2sin30º · sin60º = 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 = 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

این خطا واقعاً در علامت و فقط در علامت قبل از کار بود.

گروه پنجم محصول - در مجموع / تفاوت

sinα sinβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) - cos (α + β)) ؛

cosα cosβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) + cos (α + β)) ؛

sinα cosβ = 1 _ 2 (گناه (α - β) + گناه (α + β)).

نام گروه پنجم فرمولها نشان می دهد که این فرمولها برعکس گروه قبلی هستند. واضح است که در این حالت بازگرداندن فرمول روی پیش نویس ساده تر از یادگیری مجدد آن است و خطر ایجاد "آشفتگی در سر شما" را افزایش می دهد. تنها نکته ای که برای بازیابی سریعتر فرمول روی آن منطقی است معادلات زیر است (آنها را بررسی کنید):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

در نظر گرفتن مثال:نیاز به تبدیل محصول sin5 ایکس Cos3 ایکسدر مجموع دو تابع مثلثاتی
از آنجا که محصول شامل سینوس و کسینوس است ، ما از گروه قبلی فرمول مجموع سینوس ها را که قبلاً آموخته ایم ، گرفته و آن را روی پیش نویس می نویسیم.

sinα + sinβ = 2 گناه α + β ____ 2به خاطر α - β ____ 2

اجازه دهید 5 ایکس = α + β ____ 2و 3 ایکس = α - β ____ 2، سپس α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5ایکس + 3ایکس = 8ایکس, β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5ایکس − 3ایکس = 2ایکس.

ما در فرمول پیش نویس مقادیر زاویه ها را که بر اساس متغیرهای α و β بیان شده اند ، با مقادیر زاویه ها ، که بر حسب متغیر بیان شده است ، جایگزین می کنیم. ایکس.
ما گرفتیم گناه 8 ایکس+ گناه 2 ایکس= 2 گناه 5 ایکس Cos3 ایکس

ما هر دو قسمت برابری را بر 2 تقسیم می کنیم و آن را روی نسخه تمیز از راست به چپ می نویسیم گناه 5 ایکس Cos3 ایکس = 1 _ 2 (گناه 8 ایکس+ گناه 2 ایکس). پاسخ آماده است.

به عنوان تمرین:توضیح دهید که چرا در کتاب درسی فقط 3 فرمول برای تبدیل مجموع / تفاوت به حاصلضرب 6 وجود دارد و عکس آن (برای تبدیل محصول به مجموع یا تفاوت)؟

گروه VI فرمول های کاهش درجه

cos 2 α = 1 + cos2α _________ 2;

گناه 2 α = 1 - cos2α _________ 2;

cos 3 α = 3cosα + cos3α ____________ 4;

گناه 3 α = 3sinα - sin3α ____________ 4.

دو فرمول اول این گروه بسیار مورد نیاز است. آنها اغلب هنگام حل معادلات مثلثاتی ، از جمله سطح استفاده می شوند امتحان واحد، و همچنین هنگام محاسبه انتگرال حاوی انتگرال از نوع مثلثاتی.

شاید به خاطر سپردن آنها در فرم بعدی "یک داستان" آسان تر باشد.
2cos 2 α = 1 + cos2α؛
2 گناه 2 α = 1 - cos2α ،
و همیشه می توانید در سر یا روی پیش نویس بر 2 تقسیم کنید.

نیاز به استفاده از دو فرمول زیر (با مکعب توابع) در امتحانات بسیار کمتر رایج است. در یک محیط متفاوت ، همیشه وقت خواهید داشت تا از پیش نویس استفاده کنید. در این حالت ، گزینه های زیر امکان پذیر است:
1) اگر دو فرمول آخر گروه III را به خاطر دارید ، از آنها برای بیان sin 3 α و cos 3 α با دگرگونی های ساده استفاده کنید.
2) اگر در دو فرمول آخر این گروه عناصری از تقارن را مشاهده کردید که به حفظ آنها کمک می کند ، سپس "طرح" فرمولها را روی پیش نویس بنویسید و آنها را با مقادیر زوایای اصلی بررسی کنید.
3) اگر علاوه بر این که چنین فرمول هایی برای کاهش درجه وجود دارد ، شما چیزی در مورد آنها نمی دانید ، سپس مشکل را به صورت مرحله ای حل کنید ، بر اساس این واقعیت که گناه 3 α = گناه 2 α · sinα و سایر آموخته ها فرمول ها. فرمولهای کاهش درجه برای مربع و فرمول تبدیل محصول به مجموع مورد نیاز است.

گروه VII نیم بحث

گناه α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 2 ؛ _____

cos α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2؛ _____

tg α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα. _____

من به خاطر سپردن این گروه از فرمولها به صورتی که در کتابهای درسی و کتابهای مرجع ارائه شده اند ، فایده ای نمی بینم. اگر این را می فهمید α نصف 2α است ، سپس این به اندازه کافی برای نتیجه گیری سریع کافی است فرمول مورد نظرنصف استدلال ، بر اساس دو فرمول اول برای کاهش درجه.

این امر در مورد مماس نیم زاویه نیز صادق است که فرمول آن با تقسیم بیان سینوسی بر عبارت کسینوس مربوطه بدست می آید.

فقط هنگام بازیابی فراموش نکنید ریشه دومعلامت بگذار ± .

گروه هشتم جایگزینی جهانی

sinα = 2tg (α / 2) _________ 1 + tan 2 (α / 2) ؛

cosα = 1 - برنزه 2 (α / 2) __________ 1 + برنزه 2 (α / 2) ؛

tgα = 2tg (α / 2) _________ 1 - tg 2 (α / 2).

این فرمولها می توانند برای حل انواع مشکلات مثلثاتی بسیار مفید باشند. آنها اجازه می دهند اصل "یک استدلال - یک تابع" اجرا شود ، که به شما امکان می دهد تغییرات متغیری ایجاد کنید که عبارات مثلثاتی پیچیده را به جبری کاهش می دهد. بی دلیل نیست که این جایگزینی جهانی نامیده می شود.
ما باید دو فرمول اول را بیاموزیم. سوم را می توان با تقسیم دو مورد اول بر اساس تعریف مماس tgα = به دست آورد sinα ___ cosα

گروه نهم ریختن فرمول ها.

برای مقابله با این گروه از فرمول های مثلثاتی ، گذر کنید

گروه X مقادیر برای زوایای اصلی

مقادیر توابع مثلثاتی برای زوایای اصلی سه ماهه اول آورده شده است

بنابراین ما انجام می دهیم خروجی: فرمولهای مثلثات باید بدانند. هرچه بزرگتر بهتر. اما زمان و تلاش خود را صرف چه چیزی کنند - حفظ فرمول ها یا بازیابی آنها در روند حل مشکلات ، هرکس باید به تنهایی تصمیم بگیرد.

نمونه ای از کار برای استفاده از فرمول های مثلثات

معادله را حل کنید گناه 5 ایکس Cos3 ایکس- گناه 8 ایکس 6 ایکس = 0.

ما دو تا متفاوت داریم توابع گناه() و cos () و چهار! استدلال های مختلف 5 ایکس, 3ایکس, 8ایکسو 6 ایکس... بدون دگرگونی های اولیه ، کاهش به ساده ترین انواع معادلات مثلثاتی کار نمی کند. بنابراین ، ابتدا سعی می کنیم مجموع یا تفاوت توابع را جایگزین محصولات کنیم.
ما این کار را به همان روش مثال بالا انجام می دهیم (بخش را ببینید).

گناه (5 ایکس + 3ایکس) + گناه (5 ایکس − 3ایکس) = 2 گناه 5 ایکس Cos3 ایکس
گناه 8 ایکس+ گناه 2 ایکس= 2 گناه 5 ایکس Cos3 ایکس

گناه (8 ایکس + 6ایکس) + گناه (8 ایکس − 6ایکس) = 2 گناه 8 ایکس 6 ایکس
گناه 14 ایکس+ گناه 2 ایکس= 2 گناه 8 ایکس 6 ایکس

با بیان محصولات حاصل از این برابری ها ، آنها را در معادله جایگزین می کنیم. ما گرفتیم:

(گناه 8 ایکس+ گناه 2 ایکس) / 2 - (sin14 ایکس+ گناه 2 ایکس)/2 = 0.

ما هر دو طرف معادله را در 2 ضرب می کنیم ، براکت ها را باز کرده و اصطلاحات مشابهی می دهیم

گناه 8 ایکس+ گناه 2 ایکس- گناه 14 ایکس- گناه 2 ایکس = 0;
گناه 8 ایکس- گناه 14 ایکس = 0.

معادله بسیار ساده تر شده است ، اما آن را مانند این گناه حل کنید 8 ایکس= گناه 14 ایکس، بنابراین 8 ایکس = 14ایکس+ T ، جایی که T دوره است ، نادرست است ، زیرا ما معنی این دوره را نمی دانیم. بنابراین ، ما از این واقعیت استفاده می کنیم که 0 در سمت راست برابری وجود دارد ، که با آن مقایسه عوامل در هر عبارت آسان است.
گسترش گناه 8 ایکس- گناه 14 ایکسبا توجه به عوامل ، شما باید از تفاوت به محصول بروید. برای این کار می توانید از فرمول تفاوت سینوس ها یا دوباره فرمول مجموع سینوس ها و عجیب بودن تابع سینوس استفاده کنید (مثال را در قسمت ببینید).

گناه 8 ایکس- گناه 14 ایکس= گناه 8 ایکس+ گناه (−14 ایکس) = 2 گناه 8ایکس + (−14ایکس) __________ 2 به خاطر 8ایکس − (−14ایکس) __________ 2 = گناه (−3 ایکس) Cos11 ایکس= insin3 ایکس 11 ایکس.

بنابراین معادله sin8 ایکس- گناه 14 ایکس= 0 معادل معادله sin3 است ایکس 11 ایکس= 0 ، که به نوبه خود معادل مجموعه دو ساده ترین معادله sin3 است ایکس= 0 و cos11 ایکس= 0. با حل دومی ، دو سری پاسخ می گیریم
ایکس 1 = π n/3, nϵZ
ایکس 2 = π / 22 + π ک/11, کϵZ

اگر در متن خطایی یا غلط املایی پیدا کردید ، لطفاً آن را گزارش دهید آدرس ایمیل [ایمیل محافظت شده] ... بسیار سپاسگزار خواهم بود.

توجه ، © mathematichka... کپی مستقیم مطالب در سایت های دیگر ممنوع است. پیوندها را اضافه کنید.

اجرا برای همه مقادیر آرگومان (از محدوده مشترک).

فرمول های جایگزینی جهانی

با استفاده از این فرمولها ، به راحتی می توان هر عبارتی که شامل توابع مختلف مثلثاتی یک استدلال باشد ، به بیان منطقی یک تابع تبدیل شود. tg (α / 2):

فرمول های تبدیل مبالغ به محصولات و محصولات به جمع.

قبلاً ، از این فرمول ها برای ساده سازی محاسبات استفاده می شد. با استفاده از جداول لگاریتمی محاسبه می شود ، و بعداً - قاعده اسلاید ، زیرا لگاریتم برای ضرب اعداد مناسب است. به همین دلیل است که هر عبارت اولیه به شکلی کاهش می یابد که برای گرفتن لگاریتم مناسب است ، یعنی برای محصولات ، مثلا:

2 گناه α گناه ب = cos (α - ب) - cos (α + ب);

2 cos α cos ب = cos (α - ب) + cos (α + ب);

2 گناه α cos ب = گناه (α - ب) + گناه (α + ب).

زاویه ای که مخصوصاً برای آن کجاست

فرمولهای توابع مماس و همجنس به راحتی از موارد فوق مشتق می شوند.

فرمول های کاهش درجه.

sin 2 α = (1 - cos 2α) / 2 ؛	cos 2 α = (1 + cos 2α) / 2 ؛
گناه 3α = (3 گناهα - گناه 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

با استفاده از این فرمول ها معادلات مثلثاتیبه راحتی به معادلات بیشتر تبدیل می شوند درجه های پایین... فرمول های کاهش به همان روش برای موارد بیشتر مشتق شده است درجات بالا گناهو cos.

بیان توابع مثلثاتی بر حسب یکی از آنها با استدلال یکسان.

علامت جلوی ریشه به یک چهارم زاویه بستگی دارد α .

برای حل برخی مشکلات ، جدولی از هویت های مثلثاتی مفید خواهد بود ، که انجام تغییرات عملکردها را بسیار ساده تر می کند:

ساده ترین هویت های مثلثاتی

ضریب تقسیم سینوس زاویه آلفا بر کسینوس همان زاویه با مماس این زاویه برابر است (فرمول 1). همچنین به اثبات درستی تبدیل ساده ترین هویت های مثلثاتی مراجعه کنید.
ضریب تقسیم کسینوس زاویه آلفا بر سینوس همان زاویه برابر است با هم خطی زاویه یکسان (فرمول 2)
زاویه گیر برابر با یک استتقسیم بر کسینوس با زاویه یکسان (فرمول 3)
مجموع مربع های سینوس و کسینوس با زاویه یک برابر برابر یک است (فرمول 4). همچنین به اثبات مجموع مربع های کسینوس و سینوس مراجعه کنید.
مجموع واحد و مماس یک زاویه برابر است با نسبت واحد به مربع کسینوس این زاویه (فرمول 5)
واحد به علاوه همزاد زاویه برابر است با ضریب تقسیم یکی بر مربع سینوسی این زاویه (فرمول 6)
حاصلضرب مماس و همپوشان زاویه یک برابر برابر یک است (فرمول 7).

تبدیل زوایای منفی توابع مثلثاتی (زوج و فرد)

به منظور خلاص شدن از مقدار منفی اندازه گیری درجه زاویه هنگام محاسبه سینوس ، کسینوس یا مماس ، می توانید بر اساس اصول یکنواختی یا عجیب بودن توابع مثلثاتی ، از تغییرات مثلثاتی زیر (هویت) استفاده کنید.

همانطور که دیدیم، کسینوسو ثانویه است حتی عملکرد, سینوس ، مماس و همجنس توابع فرد هستند.

سینوس یک زاویه منفی برابر است با سینوس منفی همان زاویه مثبت (منهای آلفا سینوس).
کسینوس "منهای آلفا" همان ارزش کسینوس زاویه آلفا را خواهد داشت.
مماس منهای آلفا برابر با منهای مماس آلفا است.

فرمول های کاهش زاویه دوگانه (سینوس ، کسینوس ، مماس و هم زاویه دو زاویه)

اگر باید زاویه را به نصف تقسیم کنید یا برعکس ، از یک زاویه دو به یک زاویه بروید ، می توانید از هویت های مثلثاتی زیر استفاده کنید:

تبدیل دو زاویه (سینوس دو زاویه ، کسینوس دو زاویه و مماس دو زاویه) مجردی طبق قوانین زیر اتفاق می افتد:

سینوس دو زاویهبرابر دو برابر محصول سینوس و کسینوس یک زاویه واحد است

کسینوس با زاویه دوگانهبرابر است با تفاوت بین مربع کسینوس یک زاویه واحد و مربع سینوس این زاویه

کسینوس با زاویه دوگانهبرابر دو برابر مربع کسینوس یک زاویه منهای یک

کسینوس با زاویه دوگانهبرابر با یک مربع سینوسی دوگانه از یک زاویه واحد

مماس دو زاویهبرابر کسری است که شمارنده آن مماس مضاعف یک زاویه واحد است و مخرج برابر یک منهای مماس مربع یک زاویه واحد است.

همزاد دو زاویه ایبرابر کسری است ، که شمارنده آن مربع همپوشان یک زاویه منهای یک است و مخرج آن برابر دو برابر همزاد یک زاویه واحد است.

فرمولهای جایگزینی مثلثاتی جهانی

فرمولهای تبدیل زیر زمانی مفید هستند که شما نیاز به تقسیم آرگومان یک تابع مثلثاتی (sin α ، cos α ، tan α) بر دو و کاهش بیان به مقدار نصف زاویه داشته باشید. از مقدار α α / 2 بدست می آوریم.

این فرمول ها نامیده می شوند فرمولهای جایگزینی مثلثاتی جهانی... ارزش آنها در این واقعیت نهفته است که بیان مثلثاتی با کمک آنها به بیان مماس نیم زاویه ، صرف نظر از عملکردهای مثلثاتی ، کاهش می یابد ( sin cos tg ctg) در اصل در عبارت بودند. پس از آن ، حل معادله با مماس نصف زاویه بسیار آسان تر است.

تغییرات مثلثاتی نیم زاویه

در زیر فرمولهایی برای تبدیل مثلثات نیم زاویه به یک عدد صحیح آمده است.
مقدار آرگومان تابع مثلثاتی α / 2 به مقدار آرگومان تابع مثلثاتی α کاهش می یابد.

فرمولهای مثلثاتی برای افزودن زاویه

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

مماس و همجنس مجموع زوایاآلفا و بتا را می توان با توجه به قوانین تبدیل تابع مثلثاتی زیر تبدیل کرد:

مماس مجموع زوایابرابر کسری است که شمارنده آن مجموع مماس زاویه اول و مماس زاویه دوم است و مخرج یک منهای حاصل از مماس زاویه اول و مماس زاویه دوم است. به

مماس اختلاف زاویهبرابر کسری است که شمارنده آن برابر با تفاوت مماس زاویه کاهش یافته و مماس زاویه تفریق شده است و مخرج برابر یک به علاوه حاصلضرب مماس این زوایا است.

همجنس مجموع زوایابرابر کسری است که شمارنده آن برابر حاصل ضربات هم زوایای این زوایا به علاوه یک است و مخرج مساوی است با تفاوت بین همزاد زاویه دوم و همزمانی زاویه اول.

اختلاف زاویه متضادبرابر کسری است که شمارنده آن حاصل ضربات همجنس این زوایا منهای یک است و مخرج برابر است با مجموعهمرنگ این زوایا

استفاده از این هویت های مثلثاتی در مواقعی که شما نیاز به محاسبه دارید ، برای مثال ، مماس 105 درجه (tg 105) مناسب است. اگر آن را به صورت tg (45 + 60) نشان می دهید ، می توانید از تبدیلهای یکسان مماس جمع زاویه ها استفاده کنید ، پس از آن به سادگی مقادیر جداول مماس 45 و مماس 60 درجه را جایگزین کنید.

جمع یا تفاوت فرمولهای تبدیل توابع مثلثاتی

عباراتی که مجموع شکل sin α + sin β را نشان می دهند می توانند با استفاده از فرمول های زیر تبدیل شوند:

فرمول های سه زاویه - sin3α cos3α tg3α را به sinα cosα tgα تبدیل کنید

گاهی اوقات لازم است مقدار سه گانه زاویه را تغییر دهیم تا زاویه α به جای 3α به استدلال تابع مثلثاتی تبدیل شود.
در این مورد ، می توانید از فرمول های تغییر زاویه سه گانه (هویت) استفاده کنید:

فرمولهای تبدیل محصول توابع مثلثاتی

اگر ضرورت تغییر حاصل از سینوس های زوایای مختلف کسینوس با زوایای مختلف یا حتی حاصل ضرب سینوس و کسینوس ضروری باشد ، می توانید از هویت های مثلثاتی زیر استفاده کنید:


در این حالت ، حاصل توابع سینوس ، کسینوس یا مماس زوایای مختلف به مجموع یا تفاوت تبدیل می شود.

فرمولهای کاهش عملکرد مثلثاتی

شما باید از جدول ریخته گری به شرح زیر استفاده کنید. در خط ، عملکرد مورد علاقه ما را انتخاب کنید. ستون شامل گوشه است. به عنوان مثال ، سینوس زاویه (α + 90) در تقاطع ردیف اول و ستون اول ، متوجه می شویم که گناه (α + 90) = cos α.

V تحولات یکسان عبارات مثلثاتیاز تکنیک های جبری زیر می توان استفاده کرد: جمع و تفریق اصطلاحات یکسان. حذف عامل مشترک از داخل پرانتز ؛ ضرب و تقسیم به همان مقدار ؛ استفاده از فرمولهای ضرب مختصر ؛ انتخاب یک مربع کامل ؛ فاکتورگیری سه جمله ای مربعی ؛ معرفی متغیرهای جدید به منظور ساده سازی تغییرات.

هنگام تبدیل عبارات مثلثاتی که شامل کسر هستند ، می توانید از خواص نسبت ، کاهش کسرها یا تبدیل کسرها به مخرج مشترک استفاده کنید. علاوه بر این ، می توانید از قسمت انتخاب قسمت صحیح کسر ، ضرب عدد و مخرج کسر در همان مقدار، و همچنین ، در صورت امکان ، همگونی عدد یا مخرج را در نظر بگیرید. در صورت لزوم ، می توانید کسری را به عنوان مجموع یا تفاوت چند کسر ساده تر نشان دهید.

علاوه بر این ، هنگام استفاده از تمام روشهای لازم برای تبدیل عبارات مثلثاتی ، باید مدام موارد زیر را در نظر گرفت مقادیر قابل قبولعباراتی که باید تبدیل شوند

بیایید چند نمونه را بررسی کنیم.

مثال 1

محاسبه А = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) cos (2x - 7π / 2) +
+ گناه (3π / 2 - x) گناه (2x -5π / 2)) 2

راه حل.

از فرمول های کاهش به شرح زیر است:

گناه (2x - π) = -sin 2x ؛ cos (3π - x) = -cos x ؛

گناه (2x - 9π / 2) = -cos 2x ؛ cos (x + π / 2) = -sin x ؛

cos (x - π / 2) = sin x ؛ cos (2x - 7π / 2) = -sin 2x ؛

گناه (3π / 2 - x) = -cos x ؛ گناه (2x - 5π / 2) = -cos 2x.

از آنجا ، با توجه به فرمول های اضافه شده برای استدلال ها و هویت مثلثاتی اساسی ، به دست می آوریم

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

پاسخ 1.

مثال 2

عبارت М = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β - sin (α + β) sin γ + cos γ را به یک محصول تبدیل کنید.

راه حل.

از فرمولهای افزودن استدلالها و فرمولهای تبدیل مجموع توابع مثلثاتی به محصول پس از گروه بندی مربوطه ، داریم

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2)) =

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) =

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) cos ((β - γ) / 2) - (α + (β + γ) / 2) / 2) =

4cos ((β + γ) / 2) cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2).

پاسخ: М = 4cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2).

مثال 3.

نشان دهید که عبارت A = cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) یک معنا دارد. این مقدار را پیدا کنید.

راه حل.

در اینجا دو راه برای حل این مشکل آمده است. با استفاده از روش اول ، با انتخاب یک مربع کامل و با استفاده از فرمول های اصلی مثلثاتی مربوطه ، به دست می آوریم

А = (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) =

4sin 2 x sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) =

گناه 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

برای حل مسئله از راه دوم ، A را به عنوان تابع x از R در نظر بگیرید و مشتق آن را محاسبه کنید. پس از تحولات ، به دست می آوریم

A´ = -2cos (x + π / 6) sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) sin (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) گناه (x - π / 6) =

گناه 2 (x + π / 6) + گناه ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - گناه 2 (x - π / 6) =

گناه 2x - (گناه (2x + π / 3) + گناه (2x - π / 3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π / 3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

بنابراین ، با توجه به معیار ثبات تابع متغیر در فاصله ، نتیجه می گیریم که

A (x) (0) = cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 = (√3 / 2) 2 = 3/4 ، x € R

پاسخ: A = 3/4 برای x € R

روشهای اصلی اثبات هویت مثلثاتی عبارتند از:

آ)کاهش سمت چپ هویت به بلاقاصلهتحولات مناسب ؛
ب)کاهش سمت راست هویت به چپ ؛
v)تقلیل بخش های راست و چپ هویت به همان نوع ؛
ز)کاهش صفر تفاوت بین دو طرف چپ و راست هویت در حال اثبات است.

مثال 4

بررسی کنید که cos 3x = -4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3).

راه حل.

با تغییر فرم سمت راست این هویت مطابق فرمول های مثلثاتی مربوطه ، ما داریم

4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) =

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π / 3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

سمت راست هویت به سمت چپ کاهش یافته است.

مثال 5

ثابت کنید که sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ = 2 اگر α، β، γ زوایای داخلی یک مثلث هستند.

راه حل.

با در نظر گرفتن اینکه α ، β ، γ زوایای داخلی برخی مثلث ها هستند ، این را بدست می آوریم

α + β + γ = π و بنابراین ، γ = π - α - β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

برابری اصلی ثابت شده است.

مثال 6

برای اثبات این که برای یکی از زوایای α ، β ، γ مثلث برابر با 60 درجه ، لازم و کافی است که گناه 3α + گناه 3β + گناه 3γ = 0 باشد.

راه حل.

شرایط این مشکل مستلزم اثبات ضرورت و کفایت است.

ابتدا اجازه دهید ثابت کنیم نیاز.

می توان نشان داد که

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2).

بنابراین ، با در نظر گرفتن cos (3/2 60 °) = cos 90 ° = 0 ، به دست می آوریم که اگر یکی از زوایای α ، β یا γ برابر 60 درجه باشد ، پس

cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) = 0 و بنابراین ، sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

حالا بگذارید ثابت کنیم کفایتشرایط مشخص شده

اگر sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 ، سپس cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) = 0 ، و بنابراین

یا cos (3α / 2) = 0 ، یا cos (3β / 2) = 0 ، یا cos (3γ / 2) = 0.

از این رو ،

یا 3α / 2 = π / 2 + πk ، یعنی α = π / 3 + 2πk / 3 ،

یا 3β / 2 = π / 2 + πk ، یعنی β = π / 3 + 2πk / 3 ،

یا 3γ / 2 = π / 2 + πk ،

آن ها γ = π / 3 + 2πk / 3 ، جایی که k ϵ Z.

از آنجا که α ، β ، γ زوایای مثلث هستند ، ما داریم

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

بنابراین ، برای α = π / 3 + 2πk / 3 یا β = π / 3 + 2πk / 3 یا

γ = π / 3 + 2πk / 3 از همه kϵZ فقط k = 0 متناسب است.

از این جا نتیجه می گیرد که α = π / 3 = 60 درجه ، یا β = π / 3 = 60 درجه ، یا γ = π / 3 = 60 درجه.

بیانیه ثابت می شود.

هنوز سوالی دارید؟ آیا نمی دانید چگونه می توان عبارات مثلثاتی را ساده کرد؟
برای کمک از معلم - ثبت نام کنید.
اولین درس رایگان است!

سایت ، با کپی کامل یا جزئی از مطالب ، پیوند به منبع مورد نیاز است.