خواص لگاریتم لگاریتم چیست؟

محدوده مقادیر معتبر (ODV) لگاریتم

اکنون اجازه دهید در مورد محدودیت ها صحبت کنیم (منطقه ODZ مقادیر قابل قبولمتغیرها)

به یاد داریم که مثلاً ریشه دومنمی توان از اعداد منفی استخراج کرد. یا اگر کسری داشته باشیم ، مخرج نمی تواند صفر باشد. لگاریتم ها محدودیت های مشابهی دارند:

یعنی هر دو استدلال و پایه باید بزرگتر از صفر باشند و پایه نیز نمی تواند برابر باشد.

چرا اینطور است؟

بیایید ساده شروع کنیم: بیایید این را بگوییم. بعنوان مثال ، این عدد وجود ندارد ، زیرا صرف نظر از درجه ای که ما افزایش می دهیم ، همیشه معلوم می شود. علاوه بر این ، برای هیچ کس وجود ندارد. اما در عین حال می تواند برابر هر چیزی باشد (به همان دلیل - به هر میزان مساوی). بنابراین ، این شیء مورد علاقه نیست و به سادگی از ریاضیات خارج شده است.

ما در مورد مورد مشابه مشکل داریم: در هر درجه مثبتی وجود دارد ، اما به هیچ وجه نمی توان آن را به درجه منفی رساند ، زیرا تقسیم بر صفر نتیجه می گیرد (به یاد داشته باشید).

وقتی با مشکل افزایش قدرت کسری روبرو می شویم (که به عنوان یک ریشه نشان داده می شود. به عنوان مثال ، (یعنی) ، اما وجود ندارد.

بنابراین ، دور ریختن زمینه های منفی آسان تر از تقلب در آنها است.

خوب ، از آنجا که پایه a ما فقط مثبت داریم ، مهم نیست که درجه آن را بالا ببریم ، همیشه یک عدد کاملاً مثبت دریافت می کنیم. بنابراین ، استدلال باید مثبت باشد. به عنوان مثال ، این وجود ندارد ، زیرا به هیچ وجه یک عدد منفی نخواهد بود (و حتی صفر ، بنابراین نیز وجود ندارد).

در مشکلات لگاریتم ها ، اولین قدم نوشتن ODV است. بگذارید برای شما مثالی بزنم:

بیایید معادله را حل کنیم.

بیایید تعریف را به خاطر بسپاریم: لگاریتم درجه ای است که باید پایه را برای بدست آوردن استدلال بالا برد. و به شرط ، این درجه برابر است با :.

ما معمولی را دریافت می کنیم معادله ی درجه دو:. بیایید آن را با استفاده از قضیه Vieta حل کنیم: مجموع ریشه ها برابر است ، و حاصلضرب. انتخاب آسان ، اینها اعداد و.

اما اگر بلافاصله هر دو این اعداد را در جواب بگیرید و بنویسید ، می توانید برای مشکل 0 امتیاز کسب کنید. چرا؟ بیایید به این فکر کنیم که اگر این ریشه ها را در معادله اولیه جایگزین کنیم ، چه اتفاقی می افتد؟

این به وضوح نادرست است ، زیرا پایه نمی تواند منفی باشد ، یعنی ریشه "خارج" است.

برای جلوگیری از چنین ترفندهای ناخوشایندی ، حتی قبل از شروع حل معادله ، باید ODV را یادداشت کنید:

سپس ، پس از دریافت ریشه ها ، بلافاصله ریشه را کنار می گذاریم و پاسخ صحیح را می نویسیم.

مثال 1(سعی کن خودت حلش کنی) :

ریشه معادله را پیدا کنید. اگر چندین ریشه وجود دارد ، کوچکترین آنها را در پاسخ خود نشان دهید.

راه حل:

اول از همه ، ما ODZ را می نویسیم:

حالا بیایید به یاد بیاوریم که لگاریتم چیست: تا چه حد برای به دست آوردن استدلال باید پایه را بالا ببرید؟ دومین. به این معنا که:

به نظر می رسد که ریشه کوچکتر برابر است. اما اینطور نیست: طبق ODZ ، ریشه شخص ثالث است ، یعنی اصلا ریشه نیست این معادله... بنابراین ، معادله فقط یک ریشه دارد :.

پاسخ: .

هویت لگاریتمی اساسی

تعریف لگاریتم را به صورت کلی به خاطر بسپارید:

در برابری دوم به جای لگاریتم جایگزین کنید:

به این برابری می گویند هویت لگاریتمی اساسی... اگرچه در اصل این برابری به سادگی متفاوت نوشته می شود تعریف لگاریتم:

این درجه ای است که برای دریافت باید افزایش دهید.

مثلا:

مثالهای زیر را حل کنید:

مثال 2

معنی عبارت را بیابید.

راه حل:

اجازه دهید قانون را از قسمت به خاطر بسپاریم: یعنی هنگام افزایش قدرت به یک قدرت ، شاخص ها ضرب می شوند. بیایید آن را اعمال کنیم:

مثال 3

ثابت کنیم که.

راه حل:

خواص لگاریتم ها

متأسفانه ، وظایف همیشه چندان ساده نیستند - اغلب شما ابتدا باید عبارت را ساده کرده ، آن را به شکل معمول خود درآورید ، و تنها در این صورت است که می توانید مقدار را محاسبه کنید. ساده ترین راه برای این کار دانستن است خواص لگاریتم ها... بنابراین بیایید خواص اساسی لگاریتم ها را بیاموزیم. من هر یک از آنها را ثابت خواهم کرد ، زیرا اگر بدانید از کجا آمده است به یاد آوردن هر قانونی آسان تر است.

همه این ویژگی ها باید به خاطر سپرده شوند ؛ بدون آنها ، اکثر مشکلات لگاریتم ها قابل حل نیستند.

و اکنون درباره همه خواص لگاریتم ها با جزئیات بیشتر.

ویژگی 1:

اثبات:

بگذار ، پس

ما داریم: ، و غیره

ویژگی 2: مجموع لگاریتم ها

مجموع لگاریتم ها با پایه های یکسان برابر با لگاریتم محصول است: .

اثبات:

بگذار ، پس بگذار ، پس

مثال:معنی عبارت را بیابید :.

راه حل: .

فرمولی که به تازگی یاد گرفته اید به ساده شدن مجموع لگاریتم ها کمک می کند ، نه تفاوت ، بنابراین این لگاریتم ها را نمی توان بلافاصله ترکیب کرد. اما می توانید برعکس عمل کنید - اولین لگاریتم را به دو قسمت تقسیم کنید: و در اینجا ساده سازی وعده داده شده است:
.
چرا این مورد نیاز است؟ خوب ، برای مثال: چه اهمیتی دارد؟

اکنون آشکار است که.

اکنون خود را ساده کنید:

وظایف:

پاسخ ها:

ویژگی 3: تفاوت لگاریتم ها:

اثبات:

همه چیز دقیقاً مشابه نقطه 2 است:

بگذار ، پس

بگذار ، پس ما داریم:

مثال پاراگراف آخر در حال حاضر ساده تر می شود:

یک مثال پیچیده تر :. آیا می توانید حدس بزنید چگونه تصمیم بگیرید؟

در اینجا باید توجه داشت که ما یک فرمول واحد در مورد لگاریتم مربع نداریم. این چیزی شبیه به یک عبارت است - نمی توان آن را فوراً ساده کرد.

بنابراین ، بیایید از فرمولهای مربوط به لگاریتم خارج شویم و به این فکر کنیم که بیشتر از چه فرمولهایی در ریاضیات بیشتر استفاده می کنیم؟ حتی از کلاس 7 شروع می شود!

آی تی - . باید عادت کنید که آنها همه جا هستند! آنها با مشکلات نمایی ، مثلثاتی و غیر منطقی مواجه می شوند. بنابراین ، آنها باید به خاطر سپرده شوند.

اگر به دو اصطلاح اول دقت کنید ، مشخص می شود که اینطور است تفاوت مربع ها:

پاسخ برای تأیید:

خودتان را ساده کنید.

نمونه هایی از

پاسخ ها.

ویژگی 4: حذف نماد از آرگومان لگاریتم:

اثبات:و در اینجا ما همچنین از تعریف لگاریتم استفاده می کنیم: اجازه دهید ، پس. ما داریم: ، و غیره

شما می توانید این قانون را به این شکل درک کنید:

یعنی درجه استدلال به عنوان ضریب جلوتر از لگاریتم قرار می گیرد.

مثال:معنی عبارت را بیابید.

راه حل: .

خودتان تصمیم بگیرید:

مثال ها:

پاسخ ها:

ویژگی 5: حذف نماد از قاعده لگاریتم:

اثبات:بگذار ، پس

ما داریم: ، و غیره
به یاد داشته باشید: از پایه هادرجه به صورت مخالفبر خلاف مورد قبلی ، عدد!

ویژگی 6: حذف نماد از پایه و آرگومان لگاریتم:

یا اگر درجات یکسان باشند :.

ویژگی 7: انتقال به پایگاه جدید:

اثبات:بگذار ، پس

ما داریم: ، و غیره

ویژگی 8: پایه و آرگومان لگاریتم را جایگزین کنید:

اثبات:این یک مورد خاص از فرمول 7 است: اگر جایگزین کنیم ، به دست می آوریم: ، p.t.d.

بیایید چند مثال دیگر را بررسی کنیم.

مثال 4

معنی عبارت را بیابید.

ما از ویژگی لگاریتم های شماره 2 استفاده می کنیم - مجموع لگاریتم ها با یک پایه برابر با لگاریتم محصول است:

مثال 5

معنی عبارت را بیابید.

راه حل:

ما از ویژگی لگاریتم های شماره 3 و # 4 استفاده می کنیم:

مثال 6

معنی عبارت را بیابید.

راه حل:

با استفاده از ویژگی شماره 7 - به پایه 2 بروید:

مثال 7

معنی عبارت را بیابید.

راه حل:

مقاله را چگونه دوست دارید؟

اگر این سطور را می خوانید ، کل مقاله را خوانده اید.

و این خیلی باحاله!

حالا به ما بگویید مقاله را چگونه دوست دارید؟

آیا نحوه حل لگاریتم را آموخته اید؟ اگر نه مشکل چیست؟

برای ما در نظرات زیر بنویسید.

و بله ، در امتحانات موفق باشید.

در آزمون دولتی واحد و OGE و به طور کلی در زندگی

(از λόγος یونانی - "کلمه" ، "رابطه" و ἀριθμός - "تعداد") اعداد ببه دلیل آ(log α ب) چنین عددی نامیده می شود ج، و ب= یک ج، یعنی log α ب=جو b = aجمعادل هستند اگر لگاریتم a> 0 ، و ≠ 1 ، b> 0 منطقی باشد.

به عبارت دیگر لگاریتمشماره ببه دلیل آبه عنوان شاخص میزان افزایش تعداد باید فرموله شود آبرای بدست آوردن شماره ب(لگاریتم فقط برای اعداد مثبت وجود دارد).

این فرمول نشان می دهد که محاسبه x = log α ب، معادل حل معادله a x = b است.

مثلا:

log 2 8 = 3 زیرا 8 = 2 3.

ما تأکید می کنیم که فرمول مشخص شده لگاریتم امکان تعیین فوری را فراهم می کند مقدار لگاریتم، وقتی عدد زیر علامت لگاریتم درجه ای از پایه است. و در حقیقت ، فرمول لگاریتم این امکان را فراهم می کند که ثابت شود اگر b = a c، سپس لگاریتم عدد ببه دلیل آبرابر است با با... همچنین واضح است که موضوع لگاریتم ارتباط تنگاتنگی با موضوع دارد درجه تعداد.

محاسبه لگاریتم به عنوان با گرفتن لگاریتم... گرفتن لگاریتم عمل ریاضی گرفتن لگاریتم است. هنگام گرفتن لگاریتم ، محصولات عوامل به مجموع اصطلاحات تبدیل می شوند.

تقویتیک عمل ریاضی معکوس لگاریتم است. در تقویت ، پایه داده شده به قدرت بیان افزایش می یابد که در آن توانمندسازی انجام می شود. در این حالت ، مجموع اعضا به حاصلضرب عوامل تبدیل می شود.

لگاریتم های واقعی با مبنای 2 (دوتایی) ، عدد euler e ≈ 2.718 log (لگاریتم طبیعی) و 10 (اعشاری) اغلب استفاده می شود.

در این مرحله ، توصیه می شود در نظر بگیرید نمونه های لگاریتمورود به سیستم 7 2 , لوگاریتم √ 5, lg0.0001.

و نوشته های lg (-3) ، log -3 3.2 ، log -1 -4.3 معنی ندارند ، زیرا در اولین آنها یک عدد منفی تحت علامت لگاریتم قرار می گیرد ، در مورد دوم - یک عدد منفیدر پایه ، و در سوم - هر دو یک عدد منفی زیر علامت لگاریتم و یک در پایه است.

شرایط تعیین لگاریتم

شایان ذکر است که شرایط a> 0 ، a ≠ 1 ، b> 0 تحت آن جداگانه در نظر گرفته شده است تعریف لگاریتمبیایید در نظر بگیریم که چرا این محدودیت ها گرفته شده است. برابری شکل x = log α ب، هویت لگاریتمی اساسی نامیده می شود ، که مستقیماً از تعریف لگاریتمی که در بالا ذکر شد ناشی می شود.

بیایید شرط را بپذیریم a 1 پوند... از آنجا که یک برابر هر درجه است ، برابری x = log α بمی تواند تنها زمانی وجود داشته باشد b = 1اما log 1 1 یک عدد واقعی خواهد بود. برای از بین بردن این ابهام ، ما می گیریم a 1 پوند.

بیایید ضرورت شرط را اثبات کنیم a> 0... در a = 0با توجه به فرمول لگاریتم ، می تواند فقط برای وجود داشته باشد b = 0... و بر این اساس پس از آن ورود 0 0می تواند هر عدد واقعی غیر صفر باشد ، زیرا صفر در هر درجه غیر صفر صفر است. برای حذف این ابهام توسط شرط ذکر شده است a 0 ≠... و وقتی که آ<0 ما مجبوریم تجزیه و تحلیل ارزشهای منطقی و غیر منطقی لگاریتم را رد کنیم ، زیرا درجه ای که دارای نمره منطقی و غیرمنطقی است فقط برای دلایل غیر منفی تعریف شده است. به همین دلیل شرط مقرر شده است a> 0.

و آخرین شرط b> 0از نابرابری ناشی می شود a> 0از آنجا که x = log α ب، و ارزش مدرک با پایه مثبت آهمیشه مثبت.

ویژگی های لگاریتم ها

لگاریتم هامشخصه متمایز امکانات، که منجر به استفاده گسترده از آنها برای تسهیل قابل توجه محاسبات سختگیرانه شد. در انتقال "به دنیای لگاریتم ها" ، ضرب به یک جمع بسیار آسان تر تبدیل می شود ، تقسیم به تفریق ، و توان و استخراج ریشه به ترتیب به ضرب و تقسیم توسط توان تبدیل می شود.

فرمول لگاریتم ها و جدول مقادیر آنها (برای توابع مثلثاتی) اولین بار در سال 1614 توسط ریاضیدان اسکاتلندی جان ناپیر منتشر شد. جداول لگاریتمی ، که توسط سایر دانشمندان بزرگنمایی و تفصیل شده است ، به طور گسترده در محاسبات علمی و مهندسی مورد استفاده قرار گرفت و تا استفاده از ماشین حساب های الکترونیکی و رایانه ها همچنان مرتبط بود.

بنابراین ، ما قدرتهای دوگانه را پیش روی خود داریم. اگر عدد را از خط پایین بردارید ، به راحتی می توانید درجه ای را که باید دو را برای بدست آوردن این عدد بالا بیاورید پیدا کنید. برای مثال ، برای بدست آوردن 16 ، باید دو عدد را به توان چهارم افزایش دهید. و برای به دست آوردن 64 ، باید دو را به قدرت ششم افزایش دهید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون - در واقع ، تعریف لگاریتم:

پایه لگاریتم a از آرگومان x قدرتی است که باید عدد a را برای بدست آوردن عدد x به آن افزایش داد.

نماد: log a x = b ، جایی که a پایه است ، x استدلال است ، b در واقع لگاریتم است.

برای مثال ، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (log log 2 of 8 is three، since 2 3 = 8). با همان ورود به سیستم 2 64 = 6 ، از 2 6 = 64.

عمليات يافتن لگاريتم يك عدد در يك پايه معين را لگاريتم مي نامند. بنابراین ، بیایید یک خط جدید به جدول خود اضافه کنیم:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

متأسفانه همه لگاریتم ها به این راحتی محاسبه نمی شوند. به عنوان مثال ، سعی کنید log 2 5 را بیابید. عدد 5 در جدول نیست ، اما منطق حکم می کند که لگاریتم در جایی در بخش قرار دارد. چون 2 2< 5 < 2 3 , а чем درجه بیشتردو ، عدد بزرگتر خواهد بود.

چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند: اعداد بعد از اعشار می توانند به طور نامحدود نوشته شوند و هرگز تکرار نمی شوند. اگر لگاریتم غیر منطقی به نظر می رسد ، بهتر است آن را به این صورت بگذارید: log 2 5 ، log 3 8 ، log 5 100.

درک این نکته ضروری است که لگاریتم یک عبارت با دو متغیر (پایه و استدلال) است. در ابتدا ، بسیاری در مورد اینکه مبنای آن کجاست و استدلال کجاست گیج می شوند. برای جلوگیری سوء تفاهم های آزاردهنده، فقط به تصویر نگاه کنید:

پیش از ما چیزی بیشتر از تعریف لگاریتم نیست. یاد آوردن: لگاریتم درجه استکه باید مبنایی برای بدست آوردن استدلال مطرح شود. این پایه ای است که به قدرت افزایش می یابد - در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است. به نظر می رسد که پایه همیشه در پایین است! من این قانون فوق العاده را در اولین درس به دانش آموزانم می گویم - و هیچ گونه سردرگمی بوجود نمی آید.

ما تعریف را فهمیدیم - باقی مانده است که نحوه شمارش لگاریتم ها را یاد بگیریم ، به عنوان مثال. علامت ورود به سیستم را از بین ببرید برای شروع ، ما توجه می کنیم که دو واقعیت مهم از این تعریف ناشی می شود:

برهان و ریشه همیشه باید بزرگتر از صفر باشد. این از تعریف درجه توسط یک شاخص منطقی ناشی می شود ، که تعریف لگاریتم به آن کاهش می یابد.
پایه باید با یکی متفاوت باشد ، زیرا یکی هنوز در هر درجه است. به همین دلیل ، س "ال "تا چه حد باید یکی را برای بدست آوردن دو" مطرح کرد بی معنی است. چنین درجه ای وجود ندارد!

چنین محدودیت هایی نامیده می شود محدوده مقادیر معتبر(ODZ). به نظر می رسد که ODZ لگاریتم به این شکل است: log a x = b ⇒ x> 0 ، a> 0 ، a ≠ 1.

توجه داشته باشید که هیچ محدودیتی برای عدد b (مقدار لگاریتم) وجود ندارد. به عنوان مثال ، لگاریتم ممکن است منفی باشد: log 2 0.5 = −1 ، زیرا 0.5 = 2 − 1.

با این حال ، اکنون ما فقط عبارات عددی را در نظر می گیریم ، جایی که دانستن ODV لگاریتم مورد نیاز نیست. همه محدودیت ها قبلاً توسط کامپایلرهای وظیفه در نظر گرفته شده است. اما وقتی معادلات لگاریتمی و نابرابری ها وارد می شوند ، الزامات DHS اجباری می شود. در واقع ، در پایه و استدلال می توان سازه های بسیار قوی ای داشت که لزوماً با محدودیت های فوق مطابقت ندارند.

حالا در نظر بگیرید طرح کلیمحاسبه لگاریتم شامل سه مرحله است:

رادیکس a و استدلال x را به عنوان قدرتی با کوچکترین شعاع ممکن بیشتر از یک ارائه دهید. در طول راه ، بهتر است از کسرهای اعشاری خلاص شوید.
معادله متغیر b را حل کنید: x = a b؛
عدد b نتیجه پاسخ خواهد بود.

فقط همین! اگر لگاریتم غیر منطقی به نظر برسد ، این امر در مرحله اول دیده می شود. الزامات مبنای بزرگتر از یک بسیار مهم است: این امر احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. به طور مشابه با کسرهای اعشاری: اگر بلافاصله آنها را به موارد معمولی ترجمه کنید ، چندین برابر خطاهای کمتر وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم چگونه این طرح با مثالهای خاص کار می کند:

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25

بیایید مبنا و استدلال را به صورت قدرت پنج نشان دهیم: 5 = 5 1؛ 25 = 5 2 ؛
بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ؛
پاسخ را دریافت کرد: 2.

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید:

وظیفه. log: log 4 64 را محاسبه کنید

بیایید مبنا و استدلال را به عنوان توان دو نشان دهیم: 4 = 2 2؛ 64 = 2 6 ؛
بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ؛
دریافت پاسخ: 3.

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 16 1

بیایید مبنا و استدلال را به عنوان یک قدرت دو نشان دهیم: 16 = 2 4؛ 1 = 2 0 ؛
بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ؛
پاسخ را دریافت کرد: 0.

وظیفه. گزارش log: log 7 14 را محاسبه کنید

بیایید مبنا و استدلال را به عنوان یک قدرت هفت نشان دهیم: 7 = 7 1؛ 14 به عنوان قدرت هفت نشان داده نمی شود ، زیرا 7 1 است< 14 < 7 2 ;
از نقطه قبل نتیجه می شود که لگاریتم شمارش نمی شود.
پاسخ بدون تغییر است: log 7 14.

یک نکته کوچک در مورد آخرین مثال. چگونه می توانید اطمینان حاصل کنید که یک عدد قدرت دقیق یک عدد دیگر نیست؟ این بسیار ساده است - فقط آن را به عوامل اصلی تبدیل کنید. و اگر چنین عواملی را نمی توان در قدرتهایی با شاخص های یکسان جمع آوری کرد ، عدد اصلی یک قدرت دقیق نیست.

وظیفه. دریابید که آیا قدرت های دقیق عدد عبارتند از: 8؛ 48؛ 81؛ 35؛ چهارده.

8 = 2 2 2 = 2 3 - درجه دقیق ، زیرا تنها یک عامل وجود دارد ؛
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - درجه دقیقی نیست ، زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2 ؛
81 = 9 9 = 3 3 3 3 = 3 4 - درجه دقیق ؛
35 = 7 · 5 - دوباره درجه دقیق نیست ؛
14 = 7 2 - دوباره درجه دقیقی نیست ؛

همچنین توجه داشته باشید که اعداد اولهمیشه درجات دقیق خود هستند

لگاریتم اعشاری

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که نام و نام خاصی دارند.

لگاریتم اعشاری x لگاریتم پایه 10 است ، یعنی قدرتی که برای بدست آوردن عدد x باید عدد 10 را افزایش دهد. تعیین: lg x.

به عنوان مثال ، lg 10 = 1 ؛ lg 100 = 2 ؛ lg 1000 = 3 - و غیره

از این پس ، وقتی عبارتی مانند "Find lg 0.01" در کتاب درسی ظاهر می شود ، باید بدانید: این یک اشتباه تایپی نیست. این لگاریتم اعشاری است. با این حال ، اگر به چنین نامگذاری عادت ندارید ، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
log x = log 10 x

هر آنچه برای لگاریتم های معمولی صادق است ، برای اعشار نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

لگاریتم دیگری وجود دارد که نماد خاص خود را دارد. به نوعی ، حتی مهمتر از اعشاری است. این لگاریتم طبیعی است.

لگاریتم طبیعی x پایه لگاریتم e است ، یعنی قدرتی که برای بدست آوردن عدد x باید عدد e را افزایش دهد. تعیین: ln x.

بسیاری خواهند پرسید: عدد e دیگر چیست؟ آی تی عدد گنگ، معنی دقیق آن را نمی توان یافت و ثبت کرد. من فقط اولین ارقام را ارائه می دهم:
e = 2.718281828459 ...

ما در مورد این که این عدد چیست و چرا به آن نیاز است ، تحقیق نمی کنیم. فقط به یاد داشته باشید که e پایه لگاریتم طبیعی است:
ln x = log e x

بنابراین ، ln e = 1 ؛ ln e 2 = 2 ؛ ln e 16 = 16 - و غیره از طرف دیگر ، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی ، لگاریتم طبیعی هر عدد منطقی غیرمنطقی است. البته به جز واحدها: ln 1 = 0.

در مورد لگاریتم های طبیعی ، همه قوانین صادق هستند که برای لگاریتم های معمولی صادق است.

لگاریتم یک عدد مثبت b به مبنای a (a> 0 ، a برابر 1 نیست) یک عدد c است به طوری که ac = b: log ab = c ⇔ ac = b (a> 0 ، a ≠ 1 ، b > 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

لطفاً توجه داشته باشید: لگاریتم یک عدد غیر مثبت تعریف نشده است. همچنین ، پایه لگاریتم باید یک عدد مثبت باشد ، نه برابر 1. به عنوان مثال ، اگر مربع -2 را بدست آوریم ، عدد 4 را بدست می آوریم ، اما این بدان معنا نیست که لگاریتم به پایه -2 از 4 2 است به

هویت لگاریتمی اساسی

a log a b = b (a> 0، a ≠ 1) (2)

مهم است که حوزه های تعریف طرف راست و چپ این فرمول متفاوت باشد. سمت چپفقط برای b> 0 ، a> 0 و a ≠ 1 تعریف شده است. سمت راست برای هر b تعریف شده است و اصلاً به a وابسته نیست. بنابراین ، استفاده از "هویت" لگاریتمی اساسی در حل معادلات و نابرابری ها می تواند منجر به تغییر GDV شود.

دو نتیجه واضح از تعریف لگاریتم

log a a = 1 (a> 0، a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a> 0، a ≠ 1) (4)

در واقع ، هنگام بالا بردن عدد a به توان اول ، همان عدد را بدست می آوریم و هنگام بالا بردن آن به توان صفر ، یک را بدست می آوریم.

لگاریتم محصول و لگاریتم ضریب

log a (b c) = log a b + log a c (a> 0، a ≠ 1، b> 0، c> 0) (5)

log a b c = log a b - log a c (a> 0، a ≠ 1، b> 0، c> 0) (6)

من می خواهم به دانش آموزان مدرسه در مورد استفاده بی فکر از این فرمول ها هنگام حل کردن هشدار دهم معادلات لگاریتمیو نابرابری ها وقتی از آنها "از چپ به راست" استفاده می شود ، ODZ باریک می شود ، و هنگام حرکت از مجموع یا تفاوت لگاریتم ها به لگاریتم محصول یا ضریب ، ODV گسترش می یابد.

در واقع ، عبارت log a (f (x) g (x)) در دو حالت تعریف می شود: هنگامی که هر دو تابع کاملاً مثبت هستند ، یا زمانی که f (x) و g (x) هر دو کمتر از صفر هستند.

با تبدیل این عبارت به مجموع log a f (x) + log a g (x) ، ما باید فقط به مواردی که f (x)> 0 و g (x)> 0 محدود می شویم. محدوده مقادیر مجاز محدود شده است ، و این کاملاً غیرقابل قبول است ، زیرا می تواند منجر به از دست دادن راه حل ها شود. یک مشکل مشابه برای فرمول (6) وجود دارد.

درجه را می توان خارج از علامت لگاریتم بیان کرد

log a b p = p log a b (a> 0، a ≠ 1، b> 0) (7)

و باز هم می خواهم برای دقت تماس بگیرم. به مثال زیر توجه کنید:

ورود a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

سمت چپ برابری ، بدیهی است که برای همه مقادیر f (x) به جز صفر تعریف شده است. سمت راست فقط برای f (x)> 0 است! با خارج کردن قدرت از لگاریتم ، دوباره ODV را محدود می کنیم. روش معکوس دامنه مقادیر معتبر را گسترش می دهد. همه این اظهارات نه تنها برای درجه 2 ، بلکه حتی برای هر درجه ای صدق می کند.

فرمول انتقال به یک پایگاه جدید

log a b = log c b log c a (a> 0، a ≠ 1، b> 0، c> 0، c ≠ 1) (8)

این مورد نادر است که ODV در طول تغییر تغییر نمی کند. اگر به طور منطقی پایه c (مثبت و مساوی 1) را انتخاب نکرده اید ، فرمول انتقال به پایگاه جدید کاملاً ایمن است.

اگر عدد b را به عنوان پایه جدید c انتخاب کنیم ، یک مورد خاص مهم از فرمول (8) بدست می آید:

ورود a b = 1 log b a (a> 0، a ≠ 1، b> 0، b ≠ 1) (9)

چند مثال ساده با لگاریتم

مثال 1. محاسبه کنید: lg2 + lg50.
راه حل. lg2 + lg50 = lg100 = 2. ما از فرمول مجموع لگاریتم ها (5) و تعریف لگاریتم اعشاری استفاده کردیم.

مثال 2. محاسبه کنید: lg125 / lg5.
راه حل. lg125 / lg5 = log 5 125 = 3. ما از فرمول انتقال به یک پایه جدید (8) استفاده کردیم.

جدول فرمول های مربوط به لگاریتم ها

a log a b = b (a> 0، a ≠ 1)

log a a = 1 (a> 0، a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a> 0، a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a> 0، a ≠ 1، b> 0، c> 0)

log a b c = log a b - log a c (a> 0، a ≠ 1، b> 0، c> 0)

log a b p = p log a b (a> 0، a ≠ 1، b> 0)

log a b = log c b log c a (a> 0، a ≠ 1، b> 0، c> 0، c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a> 0، a ≠ 1، b> 0، b ≠ 1)

تمرکز این مقاله بر این است - لگاریتم... در اینجا ما تعریف لگاریتم را ارائه می دهیم ، نماد پذیرفته شده را نشان می دهیم ، نمونه هایی از لگاریتم ها را ارائه می دهیم و در مورد لگاریتم های طبیعی و اعشاری می گوییم. پس از آن ، هویت لگاریتمی اساسی را در نظر بگیرید.

ناوبری صفحه

تعریف لگاریتم

مفهوم لگاریتم هنگام حل مسئله در بوجود می آید به معنای خاصیمعکوس ، هنگامی که شما نیاز دارید که نماد را از مقدار شناخته شده توان و یک پایه شناخته شده پیدا کنید.

اما به اندازه کافی پیشگفتار ، وقت آن است که به س "ال "لگاریتم چیست" پاسخ دهیم؟ بگذارید یک تعریف مناسب ارائه دهیم.

تعریف.

پایه لگاریتم a از b، که در آن a> 0 ، a ≠ 1 و b> 0 نمایی است که باید عدد a را به منظور بالا بردن b در نتیجه افزایش داد.

در این مرحله ، توجه می کنیم که کلمه گفتاری "لگاریتم" باید بلافاصله دو س resultingال به وجود آورد: "چه تعداد" و "به چه دلیل". به عبارت دیگر ، لگاریتم به سادگی وجود ندارد ، اما فقط لگاریتم یک عدد در برخی از پایه ها وجود دارد.

فوراً وارد شوید نماد لگاریتم: لگاریتم b به پایه a معمولاً به عنوان log a b نشان داده می شود. لگاریتم عدد b تا مبنای e و لگاریتم مبنای 10 به ترتیب دارای نام های خاص lnb و lgb هستند ، یعنی نه log e b ، بلکه lnb را بنویسند و 10 b ننویسند ، بلکه lgb.

حالا می توانید بیاورید :.
و سوابق منطقی نیست ، زیرا در اولین آنها تحت علامت لگاریتم یک عدد منفی وجود دارد ، در دوم - یک عدد منفی در پایه و در سوم - هر دو یک عدد منفی تحت علامت لگاریتم و یکی در پایه

حالا اجازه دهید در مورد قوانین خواندن لگاریتم ها... log a b را "لگاریتم b به مبنای a" می خوانیم. به عنوان مثال ، log 2 3 لگاریتم سه پایه 2 است و لگاریتم دو ریشه کامل دو سوم پایه پنج است. پایه لگاریتم e نامیده می شود لگاریتم طبیعیو lnb "لگاریتم طبیعی b" را می خواند. به عنوان مثال ، ln7 لگاریتم طبیعی هفت است و ما آن را به عنوان لگاریتم طبیعی pi می خوانیم. لگاریتم پایه 10 همچنین دارای نام خاصی است - لگاریتم اعشاری، و ورودی lgb عبارت "log decimal b" را می خواند. برای مثال ، lg1 لگاریتم اعشاری یک و lg2.75 لگاریتم اعشاری دو نقطه هفتاد و پنجصدم است.

ارزش این را دارد که به طور جداگانه در شرایط a> 0 ، a ≠ 1 ، و b> 0 ، که تحت آن تعریف لگاریتم ارائه شده است ، صحبت کنیم. اجازه دهید توضیح دهیم که این محدودیت ها از کجا ناشی می شوند. برابری شکلی که نامیده می شود و مستقیماً از تعریف لگاریتم ذکر شده در بالا ناشی می شود ، در این امر به ما کمک می کند.

بیایید با 1 پوند شروع کنیم. از آنجا که یک برابر هر قدرت است ، برابری فقط برای b = 1 صادق است ، اما log 1 1 می تواند هر عدد واقعی باشد. برای جلوگیری از این ابهام ، فرض بر این است که 1 پوند است.

اجازه دهید مصلحت اندیشی شرایط a> 0 را توجیه کنیم. برای a = 0 ، با تعریف لگاریتم ، برابر می شویم ، که فقط برای b = 0 امکان پذیر است. اما سپس log 0 0 می تواند هر عدد واقعی غیر صفر باشد ، زیرا صفر در هر درجه غیر صفر صفر است. شرط a ≠ 0 به ما امکان می دهد از این ابهام جلوگیری کنیم. و برای یک<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

در نهایت ، شرط b> 0 از نابرابری a> 0 ناشی می شود ، و مقدار درجه با پایه مثبت a همیشه مثبت است.

در نتیجه این پاراگراف ، می گوییم که تعریف لگاریتم به شما این امکان را می دهد که بلافاصله مقدار لگاریتم را هنگامی که عدد زیر علامت لگاریتم تا حدی از پایه است ، نشان دهید. در واقع ، تعریف لگاریتم به ما اجازه می دهد تا ادعا کنیم که اگر b = a p باشد ، لگاریتم b بر اساس a برابر با p است. یعنی ، برابری log a a = p درست است. به عنوان مثال ، ما می دانیم که 2 3 = 8 ، سپس log 2 8 = 3. ما در مقاله بیشتر در این مورد صحبت خواهیم کرد.