نظریه فراکتال ها دنیای شگفت انگیز فراکتال ها

موسسه آموزشی بودجه شهرداری

"دبیرستان سیورسکایا شماره 3"

پژوهش

ریاضیات

کار را انجام داد

دانش آموز کلاس هشتم

املین پاول

مشاور علمی

معلم ریاضی

توپیسینا ناتالیا آلکسیونا

ص سیورسکی

سال 2014

ریاضیات سرشار از زیبایی و هماهنگی است،

فقط باید این زیبایی را دید.

ب. ماندلبروت

معرفی

فصل 1. تاریخچه پیدایش فراکتال ها _______ 5-6 ص.

فصل 2. طبقه بندی فراکتال ها.________________6-10pp.

فراکتال های هندسی

فراکتال های جبری

فراکتال های تصادفی

فصل 3. "هندسه فراکتال طبیعت" ______ 11-13pp.

فصل 4. کاربرد فراکتال ها _______________13-15pp.

فصل 5 کار عملی __________________ 16-24pp.

نتیجه گیری________________________________25.صفحه

فهرست ادبیات و منابع اینترنتی _______ 26 ص.

معرفی

ریاضی،

اگر درست نگاه کنی،

نه تنها حقیقت را منعکس می کند،

بلکه زیبایی بی نظیر

برتراند راسل

کلمه فراکتال چیزی است که این روزها افراد زیادی از دانشمندان گرفته تا دانش آموزان دبیرستانی درباره آن صحبت می کنند. روی جلد بسیاری از کتاب های درسی ریاضی، مجلات علمی و جعبه های نرم افزار کامپیوتری دیده می شود. امروزه می توان تصاویر رنگی فراکتال ها را در همه جا یافت: از کارت پستال، تی شرت تا تصاویر روی دسکتاپ رایانه شخصی. بنابراین، این اشکال رنگی که ما در اطراف می بینیم چیست؟

ریاضیات قدیمی ترین علم است. به نظر اکثر مردم هندسه در طبیعت محدود به اشکال ساده مانند یک خط، یک دایره، یک چند ضلعی، یک کره و غیره است. همانطور که مشخص شد، بسیاری از سیستم های طبیعی به قدری پیچیده هستند که استفاده از اشیاء آشنا با هندسه معمولی برای مدل سازی آنها ناامیدکننده به نظر می رسد. مثلاً چگونه می توان از نظر هندسی مدل رشته کوه یا تاج درخت ساخت؟ چگونه می توان تنوع بیولوژیکی را که در دنیای گیاهان و جانوران مشاهده می کنیم توصیف کرد؟ چگونه می توان کل پیچیدگی سیستم گردش خون را تصور کرد که از مویرگ ها و عروق بسیار تشکیل شده و خون را به هر سلول بدن انسان می رساند؟ ساختار ریه‌ها و کلیه‌ها را تصور کنید که شبیه درختانی با ساختار تاجی شاخه‌دار هستند؟

فراکتال ها ابزار مناسبی برای بررسی سوالات مطرح شده هستند. اغلب آنچه در طبیعت می بینیم با تکرار بی پایان یک الگو، که چندین بار بزرگ شده یا کاهش می یابد، ما را مجذوب خود می کند. مثلاً درختی شاخه دارد. این شاخه ها شاخه های کوچکتری دارند و غیره. از نظر تئوری، عنصر "چنگال" بی نهایت بارها تکرار می شود و کوچکتر و کوچکتر می شود. همین موضوع را می توان با نگاه کردن به عکسی از یک منطقه کوهستانی مشاهده کرد. سعی کنید کمی روی رشته کوه زوم کنید --- دوباره کوه ها را خواهید دید. این گونه است که خاصیت خود شباهت مشخصه فراکتال ها خود را نشان می دهد.

مطالعه فراکتال‌ها امکانات فوق‌العاده‌ای را هم در مطالعه تعداد بی‌نهایت کاربرد و هم در زمینه ریاضیات به وجود می‌آورد. استفاده از فراکتال ها بسیار گسترده است! به هر حال، این اشیاء به قدری زیبا هستند که توسط طراحان، هنرمندان مورد استفاده قرار می گیرند، با کمک آنها عناصر زیادی از درختان، ابرها، کوه ها و غیره در گرافیک ترسیم می شوند. اما فراکتال ها حتی به عنوان آنتن در بسیاری از تلفن های همراه استفاده می شوند.

برای بسیاری از باج‌شناسان (دانشمندانی که فراکتال‌ها و هرج و مرج را مطالعه می‌کنند)، این فقط یک رشته دانش جدید نیست که ترکیبی از ریاضیات، فیزیک نظری، هنر و فناوری کامپیوتر است - این یک انقلاب است. این کشف نوع جدیدی از هندسه است، هندسه ای که جهان اطراف ما را توصیف می کند و نه تنها در کتاب های درسی، بلکه در طبیعت و در همه جای جهان بی کران دیده می شود..

من هم در کارم تصمیم گرفتم دنیای زیبایی را لمس کنم و برای خودم تصمیم گرفتم…

هدف، واقعگرایانه: ایجاد اشیایی که بسیار شبیه به طبیعت هستند.

روش های پژوهشواژه‌های کلیدی: تحلیل تطبیقی، سنتز، مدل‌سازی.

وظایف:

آشنایی با مفهوم، تاریخچه وقوع و تحقیق بی. ماندلبروت،

G. Koch، V. Sierpinsky و دیگران.

آشنایی با انواع مجموعه های فراکتال

مطالعه ادبیات عامیانه در این زمینه، آشنایی با

فرضیه های علمی؛

یافتن تاییدی بر نظریه شکستگی دنیای اطراف؛

مطالعه استفاده از فراکتال ها در سایر علوم و در عمل.

انجام آزمایشی برای ایجاد تصاویر فراکتال خود.

سوال اصلی شغل:

نشان دهید که ریاضیات یک موضوع خشک و بی روح نیست، می تواند بیانگر دنیای معنوی یک فرد به صورت فردی و در کل جامعه باشد.

موضوع مطالعه: هندسه فراکتال.

موضوع مطالعه: فراکتال ها در ریاضیات و در دنیای واقعی.

فرضیه: هر چیزی که در دنیای واقعی وجود دارد یک فراکتال است.

روش های پژوهش: تحلیلی، جستجو.

ارتباطموضوع اعلام شده، اول از همه، با موضوع تحقیق، که هندسه فراکتال است، تعیین می شود.

نتایج مورد انتظار:در طول کار، می توانم دانش خود را در زمینه ریاضیات گسترش دهم، زیبایی هندسه فراکتال را ببینم و شروع به کار بر روی ایجاد فراکتال های خودم کنم.

نتیجه کار ایجاد یک ارائه کامپیوتری، یک بولتن و یک جزوه خواهد بود.

فصل 1

ب انوا ماندلبروت

اصطلاح فراکتال توسط بنوا ماندلبرو ابداع شد. این کلمه از کلمه لاتین "fractus" به معنای "شکسته، شکسته" آمده است.

فراکتال (lat. fractus - له شده، شکسته، شکسته) - اصطلاحی به معنای شکل هندسی پیچیده با خاصیت خود شباهت است، یعنی از چندین قسمت تشکیل شده است که هر یک از آنها شبیه به کل شکل است.

اشیاء ریاضی که به آنها اشاره می کند با ویژگی های بسیار جالب مشخص می شوند. در هندسه معمولی، یک خط یک بعد، یک سطح دارای دو بعد و یک شکل فضایی سه بعدی است. از سوی دیگر، فراکتال‌ها خطوط یا سطوح نیستند، اما اگر بتوانید آن را تصور کنید، چیزی در میان است. با افزایش اندازه، حجم فراکتال نیز افزایش می یابد، اما بعد (نمایش) آن یک عدد صحیح نیست، بلکه یک مقدار کسری است و بنابراین مرز شکل فراکتال یک خط نیست: در بزرگنمایی زیاد، واضح می شود. که تار است و از مارپیچ و فر تشکیل شده است که مقیاس خود شکل را به صورت کوچک تکرار می کند. به چنین نظم هندسی، عدم تغییر مقیاس یا خود تشابهی می گویند. این اوست که بعد کسری ارقام فراکتال را تعیین می کند.

قبل از ظهور هندسه فراکتال، علم به سیستم هایی می پردازد که در سه بعد فضایی قرار دارند. به لطف انیشتین، مشخص شد که فضای سه بعدی تنها مدلی از واقعیت است و نه خود واقعیت. در واقع، جهان ما در یک زنجیره فضا-زمان چهار بعدی قرار دارد.
به لطف ماندلبروت، مشخص شد که یک فضای چهار بعدی، به طور مجازی، چهرۀ فراکتالی آشوب به نظر می رسد. بنوا ماندلبرو کشف کرد که بعد چهارم نه تنها شامل سه بعد اول، بلکه (این بسیار مهم است!) فواصل بین آنهاست.

هندسه بازگشتی (یا فراکتال) جایگزین اقلیدسی شده است. علم جدید قادر است ماهیت واقعی اجسام و پدیده ها را توصیف کند. هندسه اقلیدسی فقط با اجسام مصنوعی و خیالی متعلق به سه بعد سروکار داشت. فقط بعد چهارم می تواند آنها را به واقعیت تبدیل کند.

مایع، گاز، جامد سه حالت فیزیکی معمول ماده هستند که در دنیای سه بعدی وجود دارند. اما بعد پف دود، ابرها، یا بهتر است بگوییم، مرزهای آنها که به طور مداوم توسط حرکت متلاطم هوا محو می شود، چقدر است؟

اصولاً فراکتال ها به سه گروه طبقه بندی می شوند:

فراکتال های جبری

فراکتال های تصادفی

فراکتال های هندسی

بیایید نگاهی دقیق تر به هر یک از آنها بیندازیم.

فصل 2. طبقه بندی فراکتال ها

فراکتال های هندسی

Benoit Mandelbrot یک مدل فراکتال را پیشنهاد کرد که قبلاً به یک مدل کلاسیک تبدیل شده است و اغلب برای نشان دادن نمونه‌ای معمولی از خود فراکتال و نشان دادن زیبایی فراکتال‌ها استفاده می‌شود که محققان، هنرمندان و افرادی را که صرفاً علاقه مند هستند نیز به خود جذب می‌کند.

با آنها بود که تاریخچه فراکتال ها آغاز شد. این نوع فراکتال ها با ساختارهای هندسی ساده به دست می آیند. معمولاً هنگام ساخت این فراکتال ها به صورت زیر عمل می شود: یک "seed" گرفته می شود - یک اصل موضوع - مجموعه ای از بخش ها که بر اساس آنها فراکتال ساخته می شود. علاوه بر این، مجموعه ای از قوانین برای این "دانه" اعمال می شود که آن را به شکل هندسی تبدیل می کند. علاوه بر این، مجموعه ای از قوانین دوباره برای هر بخش از این شکل اعمال می شود. با هر مرحله، شکل پیچیده تر و پیچیده تر می شود و اگر ما (حداقل در ذهن) تعداد بی نهایت تبدیل را انجام دهیم، یک فراکتال هندسی به دست خواهیم آورد.

فراکتال‌های این کلاس بصری‌ترین هستند، زیرا در هر مقیاسی از مشاهده، شباهت خود را بلافاصله قابل مشاهده هستند. در حالت دو بعدی، چنین فراکتال‌هایی را می‌توان با تعیین یک خط شکسته به نام ژنراتور به دست آورد. در یک مرحله از الگوریتم، هر یک از بخش‌هایی که خط شکسته را تشکیل می‌دهند، با یک مولد خط شکسته در مقیاس مناسب جایگزین می‌شوند. در نتیجه تکرار بی پایان این روش (یا به طور دقیق تر، هنگام عبور از حد)، یک منحنی فراکتال به دست می آید. با پیچیدگی ظاهری منحنی حاصل، شکل کلی آن تنها با شکل ژنراتور به دست می‌آید. نمونه هایی از این منحنی ها عبارتند از: منحنی کخ (شکل 7)، منحنی پیانو (شکل 8)، منحنی مینکوفسکی.

در آغاز قرن بیستم، ریاضیدانان به دنبال منحنی هایی بودند که در هیچ نقطه ای مماس نداشته باشند. این بدان معنی است که منحنی به طور ناگهانی جهت خود را تغییر داد، و علاوه بر این، با سرعت بسیار زیاد (مشتق برابر با بی نهایت است). جستجو برای این منحنی ها نه تنها به دلیل علاقه بیهوده ریاضیدانان بود. واقعیت این است که در آغاز قرن بیستم، مکانیک کوانتومی به سرعت توسعه یافت. محقق M. Brown مسیر ذرات معلق در آب را ترسیم کرد و این پدیده را چنین توضیح داد: اتم های مایع به طور تصادفی در حال حرکت به ذرات معلق برخورد کرده و در نتیجه آنها را به حرکت در می آورند. پس از چنین توضیحی از حرکت براونی، دانشمندان با وظیفه یافتن منحنی مواجه شدند که حرکت ذرات براونی را به بهترین نحو نشان دهد. برای انجام این کار، منحنی باید ویژگی های زیر را داشته باشد: در هیچ نقطه ای مماس نداشته باشد. کوخ ریاضیدان یکی از این منحنی ها را پیشنهاد کرد.

به منحنی کخ یک فراکتال هندسی معمولی است. روند ساخت آن به این صورت است: یک قطعه را می گیریم، آن را به سه قسمت مساوی تقسیم می کنیم و فاصله میانی را با یک مثلث متساوی الاضلاع بدون این قطعه جایگزین می کنیم. در نتیجه یک خط شکسته تشکیل می شود که از چهار پیوند به طول 1/3 تشکیل شده است. در مرحله بعد عملیات را برای هر یک از چهار لینک حاصل تکرار می کنیم و به همین ترتیب ...

منحنی حد است منحنی کخ.

دانه برف کخ.با انجام یک تبدیل مشابه در اضلاع یک مثلث متساوی الاضلاع، می توانید یک تصویر فراکتال از یک دانه برف کوچ دریافت کنید.

تی
یکی دیگر از نمایندگان ساده یک فراکتال هندسی است میدان سیرپینسکیکاملاً ساده ساخته شده است: مربع توسط خطوط مستقیم موازی با اضلاع خود به 9 مربع مساوی تقسیم می شود. مربع مرکزی از میدان حذف می شود. به نظر می رسد مجموعه ای متشکل از 8 مربع باقی مانده از "رتبه اول". با انجام همین کار با هر یک از مربع های رتبه اول، مجموعه ای متشکل از 64 مربع رتبه دوم بدست می آوریم. با ادامه این روند به صورت نامحدود، یک دنباله بی نهایت یا مربع سیرپینسکی به دست می آوریم.

فراکتال های جبری

این بزرگترین گروه فراکتال هاست. فراکتال های جبری به این دلیل نام خود را گرفتند که با استفاده از فرمول های جبری ساده ساخته می شوند.

آنها با استفاده از فرآیندهای غیر خطی در به دست می آیند n-فضاهای بعدی مشخص است که سیستم های دینامیکی غیرخطی چندین حالت پایدار دارند. حالتی که سیستم دینامیکی پس از تعداد معینی از تکرارها در آن قرار می گیرد به حالت اولیه آن بستگی دارد. بنابراین، هر حالت پایدار (یا، همانطور که می گویند، یک جاذب) دارای ناحیه خاصی از حالت های اولیه است که از آن سیستم لزوماً به حالت های نهایی در نظر گرفته می شود. بنابراین، فضای فاز سیستم به تقسیم می شود مناطق جذابجاذبه ها اگر فضای فاز دو بعدی باشد، با رنگ آمیزی مناطق جاذبه با رنگ های مختلف می توان به دست آورد. پرتره فاز رنگیاین سیستم (فرایند تکراری). با تغییر الگوریتم انتخاب رنگ، می توانید الگوهای فراکتالی پیچیده با الگوهای چند رنگی فانتزی به دست آورید. یک شگفتی برای ریاضیدانان توانایی تولید ساختارهای بسیار پیچیده با استفاده از الگوریتم های اولیه بود.

به عنوان مثال مجموعه Mandelbrot را در نظر بگیرید. با استفاده از اعداد مختلط ساخته شده است.

بخشی از مرز مجموعه مندلبرو، 200 برابر بزرگنمایی شده است.

مجموعه Mandelbrot شامل نقاطی است که در طولبی پایان تعداد تکرارها تا بی نهایت نمی رود (نقاطی که سیاه هستند). نقاط متعلق به مرز مجموعه(این جایی است که ساختارهای پیچیده بوجود می آیند) در تعداد محدودی از تکرارها به بی نهایت می روند و نقاط خارج از مجموعه پس از چندین بار تکرار به بی نهایت می روند (پس زمینه سفید).

پ



نمونه ای از فراکتال جبری دیگر مجموعه جولیا است. 2 نوع از این فراکتال وجود دارد.با کمال تعجب، مجموعه های جولیا بر اساس همان فرمول مجموعه مندلبرو شکل می گیرند. مجموعه جولیا توسط ریاضی دان فرانسوی گاستون جولیا اختراع شد که این مجموعه به نام او نامگذاری شد.

و
حقیقت جالب، برخی از فراکتال های جبری به طرز چشمگیری شبیه تصاویر حیوانات، گیاهان و سایر اشیاء بیولوژیکی هستند که در نتیجه به آنها بیومورف می گویند.

فراکتال های تصادفی

یکی دیگر از دسته‌های معروف فراکتال‌ها، فراکتال‌های تصادفی هستند که اگر هر یک از پارامترهای آن به‌طور تصادفی در یک فرآیند تکرار شونده تغییر کند، به دست می‌آیند. این منجر به اشیاء بسیار شبیه به موارد طبیعی می شود - درختان نامتقارن، خطوط ساحلی فرورفته و غیره.

نماینده معمولی این گروه از فراکتال ها "پلاسما" است.

D
برای ساخت آن یک مستطیل گرفته می شود و برای هر یک از گوشه های آن رنگی تعیین می شود. در مرحله بعد، نقطه مرکزی مستطیل پیدا می شود و با رنگی برابر با میانگین حسابی رنگ ها در گوشه های مستطیل به اضافه تعدادی عدد تصادفی رنگ می شود. هرچه عدد تصادفی بزرگتر باشد، تصویر "پاره" تر خواهد بود. اگر رنگ نقطه را ارتفاع از سطح دریا فرض کنیم به جای پلاسما یک رشته کوه به دست می آید. بر اساس این اصل است که کوه ها در اکثر برنامه ها الگوبرداری می شوند. با استفاده از یک الگوریتم پلاسما مانند، نقشه ارتفاع ساخته می شود، فیلترهای مختلفی روی آن اعمال می شود، یک بافت اعمال می شود و کوه های فوتورئالیستی آماده می شوند.

E
اگر در یک بخش به این فراکتال نگاه کنیم، خواهیم دید که این فراکتال حجیم است، و دارای یک "زبری" است، فقط به دلیل این "زمختی" کاربرد بسیار مهمی از این فراکتال وجود دارد.

فرض کنید می خواهید شکل یک کوه را توصیف کنید. ارقام معمولی از هندسه اقلیدسی در اینجا کمکی نمی کنند، زیرا توپوگرافی سطح را در نظر نمی گیرند. اما هنگام ترکیب هندسه مرسوم با هندسه فراکتال، می توانید "زبری" کوه را به دست آورید. پلاسما باید روی یک مخروط معمولی اعمال شود و ما تسکین کوه را به دست خواهیم آورد. چنین عملیاتی را می توان با بسیاری از اشیاء دیگر در طبیعت انجام داد، به لطف فراکتال های تصادفی، می توان خود طبیعت را توصیف کرد.

حالا بیایید در مورد فراکتال های هندسی صحبت کنیم.

.

فصل 3 "هندسه فراکتال طبیعت"

چرا هندسه اغلب به عنوان "سرد" و "خشک" نامیده می شود؟ یک دلیل آن ناتوانی آن در توصیف شکل ابر، کوه، خط ساحلی یا درخت است. ابرها کره نیستند، کوه ها مخروط نیستند، خطوط ساحلی دایره نیستند، درخت هستند. پوست صاف نیست، اما پیچیدگی در سطحی کاملاً متفاوت است.

(بنوآمندلبروت "هندسه فراکتالی طبیعت" ).

به زیبایی فراکتال‌ها دو چیز است: آن‌ها چشم را به وجد می‌آورند، همانطور که حداقل نمایشگاه جهانی تصاویر فراکتال که توسط گروهی از ریاضیدانان برمن به رهبری Peitgen و Richter سازماندهی شده است، گواه آن است. بعدها، آثار این نمایشگاه بزرگ به صورت تصویرسازی برای کتاب «زیبایی فراکتال‌ها» از همین نویسندگان به تصویر کشیده شد. اما جنبه دیگری، انتزاعی تر یا والاتر از زیبایی فراکتال ها وجود دارد که به گفته آر. فاینمن، تنها در برابر نگاه ذهنی نظریه پرداز باز است، از این نظر، فراکتال ها با زیبایی یک مسئله دشوار ریاضی زیبا هستند. بنوا ماندلبرو به معاصران خود (و احتمالاً به فرزندانش) به شکاف تأسف باری در عناصر اقلیدس اشاره کرد که طبق آن، بدون توجه به حذف، برای تقریباً دو هزار سال بشر هندسه جهان اطراف را درک کرد و دقت ریاضی را آموخت. ارائه. البته هر دو جنبه زیبایی فراکتال ها ارتباط نزدیکی با هم دارند و حذف نمی کنند، اما متقابلا مکمل یکدیگر هستند، اگرچه هر یک از آنها خودکفا هستند.

هندسه فراکتال طبیعت، به گفته مندلبروت، یک هندسه واقعی است که تعریف هندسه ارائه شده در "برنامه ارلانگن" F. Klein را برآورده می کند. واقعیت این است که قبل از ظهور هندسه نااقلیدسی، N.I. لوباچفسکی - L. Bolyai، فقط یک هندسه وجود داشت - هندسه ای که در "آغاز" مطرح شد، و این سؤال که هندسه چیست و هندسه دنیای واقعی کدام یک از هندسه ها است، مطرح نشد و نمی تواند بوجود امدن. اما با ظهور هندسه دیگری، این سوال مطرح شد که هندسه به طور کلی چیست و کدام یک از هندسه های متعدد با دنیای واقعی مطابقت دارد. به گفته F. Klein، هندسه چنین ویژگی‌هایی را از اجسامی که تحت تبدیل‌ها ثابت هستند، مطالعه می‌کند: اقلیدسی - متغیرهای گروه حرکات (تبدیل‌هایی که فاصله بین هیچ دو نقطه را تغییر نمی‌دهند، یعنی نشان‌دهنده برهم‌نهی ترجمه‌ها و چرخش‌های موازی با یا بدون تغییر در جهت گیری)، هندسه لوباچفسکی-بولیایی - متغیرهای گروه لورنتس. هندسه فراکتال به مطالعه متغیرهای گروه تبدیل‌های خود وابسته می‌پردازد، یعنی. ویژگی های بیان شده توسط قوانین قدرت

در مورد تطابق با دنیای واقعی، هندسه فراکتال طبقه بسیار وسیعی از فرآیندها و پدیده های طبیعی را توصیف می کند، و بنابراین، ما می توانیم، به پیروی از B. Mandelbrot، به درستی در مورد هندسه فراکتال طبیعت صحبت کنیم. جدید - اشیاء فراکتال دارای خواص غیر معمول هستند. طول، مساحت و حجم برخی از فراکتال ها برابر با صفر است، برخی دیگر به بی نهایت تبدیل می شوند.

طبیعت اغلب فراکتال‌های شگفت‌انگیز و زیبا، با هندسه عالی و چنان هماهنگی ایجاد می‌کند که به سادگی از تحسین منجمد می‌شوید. و این هم نمونه های آنها:

صدف های دریایی

رعد و برقزیبایی آنها را تحسین می کند فراکتال های ایجاد شده توسط رعد و برق تصادفی یا منظم نیستند.

شکل فراکتال زیرگونه گل کلم(Brassica cauliflora). این نوع خاص یک فراکتال خاص متقارن است.

پ سرخسهمچنین نمونه خوبی از فراکتال در میان فلور است.

طاووس هاهمه به خاطر پرهای رنگارنگ خود، که در آن فراکتال های جامد پنهان شده اند، شناخته شده اند.

الگوهای یخ، یخبنداندر پنجره ها، اینها نیز فراکتال هستند

در باره
t تصویر بزرگ شده جزوه، قبل از شاخه های درخت- شما می توانید فراکتال ها را در همه چیز پیدا کنید

فراکتال ها همه جا و همه جای طبیعت اطراف ما هستند. کل جهان بر اساس قوانین شگفت انگیز هماهنگ با دقت ریاضی ساخته شده است. آیا پس از آن می توان فکر کرد که سیاره ما یک کلاچ تصادفی از ذرات است؟ به ندرت.

فصل 4

فراکتال ها کاربردهای بیشتری در علم پیدا می کنند. دلیل اصلی این امر این است که آنها دنیای واقعی را گاهی حتی بهتر از فیزیک یا ریاضیات سنتی توصیف می کنند. در اینجا چند نمونه آورده شده است:

در باره
روزهای قدرتمندترین کاربردهای فراکتال ها وجود دارد گرافیک کامپیوتری. این فشرده سازی فراکتال تصاویر است. فیزیک و مکانیک مدرن تازه شروع به مطالعه رفتار اجسام فراکتالی کرده است.

از مزایای الگوریتم های فشرده سازی تصویر فراکتال می توان به حجم بسیار کم فایل بسته بندی شده و زمان بازیابی تصویر کوتاه اشاره کرد. تصاویر با بسته بندی فراکتالی را می توان بدون ظاهر پیکسلی (کیفیت تصویر ضعیف - مربع های بزرگ) مقیاس بندی کرد. اما فرآیند فشرده سازی زمان زیادی می برد و گاهی اوقات تا ساعت ها ادامه می یابد. الگوریتم بسته بندی فراکتال با اتلاف به شما امکان می دهد سطح فشرده سازی را مشابه فرمت jpeg تنظیم کنید. این الگوریتم بر اساس جستجوی قطعات بزرگ تصویر مشابه برخی از قطعات کوچک است. و فقط کدام قطعه مشابه آن در فایل خروجی نوشته می شود. هنگام فشرده سازی، معمولاً از یک شبکه مربع استفاده می شود (قطعات مربع هستند) که منجر به زاویه ای جزئی در هنگام بازیابی تصویر می شود، یک شبکه شش ضلعی از چنین ضرری عاری است.

Iterated فرمت تصویر جدیدی به نام "Sting" را ایجاد کرده است که فشرده سازی بدون اتلاف فراکتال و موجی (مانند jpeg) را ترکیب می کند. فرمت جدید به شما امکان می دهد تصاویری را با امکان مقیاس بندی بعدی با کیفیت بالا ایجاد کنید و حجم فایل های گرافیکی 15-20٪ از حجم تصاویر فشرده نشده است.

در مکانیک و فیزیکفراکتال ها به دلیل خاصیت منحصر به فرد برای تکرار خطوط کلی بسیاری از اشیاء طبیعی استفاده می شوند. فراکتال ها به شما این امکان را می دهند که درختان، سطوح کوه ها و شکاف ها را با دقت بالاتری نسبت به تقریب با قطعات خط یا چندضلعی ها (با همان مقدار داده های ذخیره شده) تقریب بزنید. مدل‌های فراکتال، مانند اشیاء طبیعی، دارای "زبری" هستند و این ویژگی با افزایش خودسرانه زیاد در مدل حفظ می‌شود. وجود یک اندازه گیری یکنواخت در فراکتال ها امکان اعمال یکپارچگی، نظریه پتانسیل، استفاده از آنها را به جای اشیاء استاندارد در معادلات قبلاً مورد مطالعه قرار می دهد.

تی
هندسه فراکتال نیز مورد استفاده قرار می گیرد طراحی دستگاه های آنتن. این اولین بار توسط مهندس آمریکایی ناتان کوهن، که سپس در مرکز شهر بوستون زندگی می کرد، استفاده شد، جایی که نصب آنتن های خارجی بر روی ساختمان ها ممنوع بود. کوهن یک شکل منحنی کوخ را از فویل آلومینیومی برش داد و سپس آن را روی یک تکه کاغذ چسباند و سپس آن را به گیرنده وصل کرد. معلوم شد که چنین آنتنی بدتر از آنتن معمولی کار نمی کند. و اگرچه اصول فیزیکی چنین آنتنی تاکنون مورد مطالعه قرار نگرفته است، اما این مانع از آن نشد که کوهن شرکت خود را تأسیس کند و تولید سریال آنها را راه اندازی کند. در حال حاضر، شرکت آمریکایی "Fractal Antenna System" نوع جدیدی از آنتن را توسعه داده است. اکنون می توانید استفاده از آنتن های بیرون زده خارجی در تلفن های همراه را متوقف کنید. آنتن به اصطلاح فراکتال مستقیماً روی برد اصلی داخل دستگاه قرار دارد.

همچنین فرضیه های زیادی در مورد استفاده از فراکتال ها وجود دارد - به عنوان مثال، سیستم لنفاوی و گردش خون، ریه ها و موارد دیگر نیز دارای خواص فراکتال هستند.

فصل 5. کار عملی.

ابتدا روی فرکتال های "گردنبند"، "پیروزی" و "مربع" تمرکز می کنیم.

اولین - "گردنبند"(شکل 7). دایره آغازگر این فراکتال است. این دایره از تعداد معینی از دایره های یکسان، اما با اندازه های کوچکتر تشکیل شده است و خود یکی از چندین دایره است که یکسان هستند، اما در اندازه های بزرگتر. بنابراین روند آموزش بی پایان است و می توان آن را هم در یک جهت و هم در جهت مخالف انجام داد. آن ها شکل را می توان تنها با گرفتن یک قوس کوچک بزرگ کرد یا با در نظر گرفتن ساختار آن از قوس های کوچکتر، آن را کاهش داد.

برنج. 7.

"گردنبند" فراکتال

فرکتال دوم است "پیروزی"(شکل 8). او این نام را گرفت زیرا از نظر ظاهری شبیه حرف لاتین "V" است، یعنی "پیروزی" - پیروزی. این فراکتال از تعداد معینی "v" کوچک تشکیل شده است که یک "V" بزرگ را تشکیل می‌دهند و در نیمه سمت چپ، که قسمت‌های کوچک در آن قرار می‌گیرند تا نیمه‌های چپ آن‌ها یک خط مستقیم را تشکیل دهند، قسمت راست ساخته می‌شود. به همین ترتیب هر کدام از این "v" به همین ترتیب ساخته شده اند و این را تا بی نهایت ادامه می دهند.

شکل 8. فراکتال "پیروزی"

فرکتال سوم است "مربع" (شکل 9). هر ضلع آن از یک ردیف سلول به شکل مربع تشکیل شده است که اضلاع آن نیز نشان دهنده ردیف هایی از سلول ها و غیره است.

شکل 9. "مربع" فراکتال

فراکتال به دلیل شباهت بیرونی آن به این گل، "رز" نامیده شد (شکل 10). ساخت یک فراکتال با ساخت یک سری دایره های متحدالمرکز همراه است که شعاع آنها متناسب با یک نسبت داده شده تغییر می کند (در این مورد، R m / R b = ¾ = 0.75.). پس از آن در هر دایره یک شش ضلعی منتظم حک می شود که ضلع آن برابر با شعاع دایره توصیف شده در اطراف آن است.

برنج. 11. فراکتال "رز *"

سپس به پنج ضلعی منظم می رویم که در آن قطرهای آن را می کشیم. سپس، در پنج ضلعی به دست آمده در تقاطع قطعات مربوطه، دوباره مورب ها را رسم می کنیم. بیایید این روند را تا بی نهایت ادامه دهیم و فراکتال "پنتاگرام" را بدست آوریم (شکل 12).

بیایید یک عنصر خلاقیت را معرفی کنیم و فراکتال ما به شکل یک شیء بصری تر خواهد بود (شکل 13).

آر
است. 12. فراکتال "پنتاگرام".

برنج. 13. فراکتال "پنتاگرام *"

برنج. 14 فراکتال "سیاه چاله"

آزمایش شماره 1 "درخت"

اکنون که فهمیدم فراکتال چیست و چگونه می توان آن را ساخت، سعی کردم تصاویر فراکتال خود را ایجاد کنم. در ادوبی فتوشاپ، یک زیربرنامه یا اکشن کوچک ایجاد کردم، ویژگی این اکشن این است که کارهایی را که من انجام می‌دهم تکرار می‌کند و به این ترتیب یک فراکتال می‌گیرم.

برای شروع، یک پس‌زمینه برای فراکتال آینده ما با وضوح 600 در 600 ایجاد کردم. سپس 3 خط روی این پس‌زمینه ترسیم کردم - اساس فراکتال آینده ما.

از جانبمرحله بعدی نوشتن فیلمنامه است.

لایه تکراری ( لایه > تکراری) و نوع ترکیب را به " تغییر دهید صفحه نمایش" .

بهش زنگ بزنیم" fr1". این لایه را کپی کنید (" fr1") 2 بار دیگر.

حالا باید به لایه آخر برویم (fr3) و آن را دو بار با قبلی ادغام کنید ( ctrl+e). کاهش روشنایی لایه ( تصویر > تنظیمات > روشنایی/کنتراست ، تنظیم روشنایی 50% ). مجدداً با لایه قبلی ادغام شده و لبه های کل نقشه را برش دهید تا قسمت های نامرئی حذف شوند.

به عنوان آخرین مرحله، من این تصویر را کپی کردم و آن را با اندازه کوچک و چرخش قرار دادم. در اینجا نتیجه نهایی است.

نتیجه

این اثر مقدمه ای است بر دنیای فراکتال ها. ما فقط کوچکترین بخش از آنچه فراکتال ها هستند را در نظر گرفته ایم، بر اساس چه اصولی ساخته شده اند.

گرافیک فراکتال فقط مجموعه ای از تصاویر تکراری نیست، بلکه مدلی از ساختار و اصل هر موجودی است. کل زندگی ما با فراکتال ها نمایش داده می شود. تمام طبیعت اطراف ما از آنها تشکیل شده است. لازم به ذکر است که فراکتال ها به طور گسترده در بازی های رایانه ای مورد استفاده قرار می گیرند، جایی که زمین ها اغلب تصاویر فراکتالی هستند که بر اساس مدل های سه بعدی مجموعه های پیچیده هستند. فراکتال ها ترسیم گرافیک های کامپیوتری را تا حد زیادی تسهیل می کنند؛ با کمک فراکتال ها جلوه های ویژه بسیاری، تصاویر مختلف افسانه ای و باورنکردنی و غیره ایجاد می شود. همچنین با کمک هندسه فراکتال، درختان، ابرها، سواحل و همه طبیعت ترسیم می شوند. گرافیک فراکتال در همه جا مورد نیاز است و توسعه «فناوری های فراکتال» یکی از مهمترین وظایف امروزی است.

در آینده، قصد دارم زمانی که اعداد مختلط را با جزئیات بیشتری مطالعه می کنم، یاد بگیرم که چگونه فراکتال های جبری بسازم. من همچنین می خواهم سعی کنم تصویر فراکتالی خود را در زبان برنامه نویسی پاسکال با استفاده از چرخه ها بسازم.

لازم به ذکر است که استفاده از فراکتال ها در فناوری کامپیوتر علاوه بر ساخت تصاویر زیبا روی صفحه نمایش کامپیوتر. فراکتال ها در فناوری کامپیوتر در زمینه های زیر استفاده می شوند:

1. فشرده سازی تصاویر و اطلاعات

2. مخفی کردن اطلاعات در تصویر، در صدا، ...

3. رمزگذاری داده ها با استفاده از الگوریتم های فراکتال

4. ایجاد موسیقی فراکتال

5. مدل سازی سیستم

در کار ما، همه حوزه‌های دانش بشری، جایی که نظریه فراکتال‌ها کاربرد خود را پیدا کرده است، ارائه نشده است. فقط می خواهیم بگوییم که بیش از یک سوم قرن از ظهور این نظریه نگذشته است، اما در این مدت برای بسیاری از محققین فراکتال ها به یک نور درخشان ناگهانی در شب تبدیل شده اند که حقایق و الگوهای ناشناخته را به طور خاص روشن می کند. مناطق داده آنها با کمک تئوری فراکتال ها شروع به توضیح تکامل کهکشان ها و توسعه سلول، پیدایش کوه ها و تشکیل ابرها، حرکت قیمت ها در بورس و توسعه جامعه و خانواده کردند. . شاید، در ابتدا، این اشتیاق به فراکتال ها حتی بسیار طوفانی بود و تلاش برای توضیح همه چیز با استفاده از تئوری فراکتال ها غیر قابل توجیه بود. اما بدون شک این نظریه حق وجود دارد و متأسفیم که اخیراً به نوعی فراموش شده و سهم نخبگان باقی مانده است. در تهیه این کار، یافتن کاربردهای تئوری در عمل برای ما بسیار جالب بود. زیرا اغلب اوقات این احساس وجود دارد که دانش نظری از واقعیت زندگی جداست.

بنابراین، مفهوم فراکتال‌ها نه تنها بخشی از علم «خالص»، بلکه عنصری از فرهنگ بشری می‌شود. علم فراکتال هنوز بسیار جوان است و آینده بسیار خوبی در پیش دارد. زیبایی فراکتال‌ها به پایان نرسیده است و همچنان شاهکارهای زیادی را به ما می‌دهد - آنهایی که چشم را خوشحال می‌کنند و آنهایی که لذت واقعی را به ذهن می‌آورند.

10. مراجع

Bozhokin S.V.، Parshin D.A. فراکتال ها و مولتی فراکتال ها. RHD 2001 .

Vitolin D. استفاده از فراکتال ها در گرافیک کامپیوتری. // Computerworld-Russia.-1995

Mandelbrot B. مجموعه‌های فراکتال خودآگاهی، "فرکتال‌ها در فیزیک". م.: میر 1988

ماندلبروت ب. هندسه فراکتال طبیعت. - م.: "موسسه تحقیقات کامپیوتری"، 1381.

موروزوف A.D. مقدمه ای بر تئوری فراکتال ها. نیژنی نووگورود: انتشارات نیژگورود. دانشگاه 1999

Paytgen H.-O.، Richter P. H. زیبایی فراکتال ها. - م.: "میر"، 1372.

منابع اینترنتی

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

فراکتال ها تقریباً یک قرن است که شناخته شده اند، به خوبی مورد مطالعه قرار گرفته اند و کاربردهای متعددی در زندگی دارند. با این حال، این پدیده بر اساس یک ایده بسیار ساده است: تعداد نامحدودی از چهره ها در زیبایی و تنوع را می توان از ساختارهای نسبتا ساده تنها با استفاده از دو عملیات - کپی کردن و مقیاس بندی به دست آورد.

درخت، ساحل دریا، ابر یا رگ های خونی در دست ما چه وجه اشتراکی دارند؟ در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که همه این اشیا هیچ وجه اشتراکی ندارند. با این حال، در واقع، یک ویژگی ساختار وجود دارد که در تمام اشیاء فهرست شده ذاتی است: آنها خود مشابه هستند. از شاخه، و همچنین از تنه یک درخت، فرآیندهای کوچکتر از آنها خارج می شود - حتی کوچکترها و غیره، یعنی یک شاخه شبیه به کل درخت است. سیستم گردش خون به روشی مشابه مرتب شده است: شریان ها از شریان ها خارج می شوند و از آنها - کوچکترین مویرگ ها که از طریق آن اکسیژن وارد اندام ها و بافت ها می شود. بیایید به تصاویر ماهواره ای از سواحل دریا نگاه کنیم: خلیج ها و شبه جزیره ها را خواهیم دید. بیایید نگاهی به آن بیندازیم، اما از دید پرنده: خلیج ها و دماغه ها را خواهیم دید. حالا تصور کنید که ما در ساحل ایستاده ایم و به پاهای خود نگاه می کنیم: همیشه سنگریزه هایی وجود خواهند داشت که بیشتر از بقیه به داخل آب بیرون زده اند. یعنی خط ساحلی با بزرگنمایی شبیه خودش باقی می ماند. ریاضیدان آمریکایی بنوا ماندلبرو (البته در فرانسه بزرگ شده است) این ویژگی اشیاء را فرکتالیته نامید و خود چنین اشیایی را - فراکتال (از لاتین fractus - شکسته) نامید.

این مفهوم تعریف دقیقی ندارد. بنابراین، کلمه "فرکتال" یک اصطلاح ریاضی نیست. معمولاً یک فراکتال یک شکل هندسی است که یک یا چند مورد از ویژگی های زیر را برآورده می کند: ساختار پیچیده ای در هر بزرگنمایی دارد (برخلاف، برای مثال، یک خط مستقیم، که هر بخشی از آن ساده ترین شکل هندسی است - یک قطعه). (تقریباً) خود مشابه است. دارای یک بعد Hausdorff (فرکتال) کسری است که از ابعاد توپولوژیکی بزرگتر است. می توان با رویه های بازگشتی ساخت.

هندسه و جبر

مطالعه فراکتال ها در اواخر قرن 19 و 20 بیشتر اپیزودیک بود تا سیستماتیک، زیرا ریاضیدانان قبلی عمدتاً اشیاء "خوب" را مطالعه می کردند که می توانستند با استفاده از روش ها و نظریه های عمومی مطالعه شوند. در سال 1872، کارل وایرشتراس، ریاضیدان آلمانی، نمونه ای از تابع پیوسته را ساخت که هیچ جا قابل تمایز نیست. با این حال، ساخت آن کاملاً انتزاعی و درک آن دشوار بود. بنابراین، در سال 1904، هلگه فون کوخ سوئدی با یک منحنی پیوسته آمد که در هیچ کجا مماس ندارد و ترسیم آن بسیار ساده است. معلوم شد که خواص فراکتال را دارد. یکی از تغییرات این منحنی دانه برف کوخ نام دارد.

ایده شباهت خود فیگورها توسط پل پیر لوی فرانسوی، مربی آینده بنوا ماندلبرو انتخاب شد. در سال 1938 مقاله او با عنوان "منحنی های صفحه و فضایی و سطوح متشکل از قطعات مشابه کل" منتشر شد که در آن یک فراکتال دیگر - منحنی C Lévy - توصیف شده است. همه این فراکتال های ذکر شده در بالا را می توان به طور مشروط به یک کلاس از فراکتال های سازنده (هندسی) نسبت داد.

کلاس دیگر فراکتال های پویا (جبری) است که شامل مجموعه مندلبرو است. اولین تحقیق در این راستا در آغاز قرن بیستم آغاز شد و با نام ریاضیدانان فرانسوی گاستون جولیا و پیر فاتو مرتبط است. در سال 1918، تقریباً دویست صفحه از خاطرات جولیا، که به تکرار توابع پیچیده عقلانی اختصاص داشت، منتشر شد، که در آن مجموعه های جولیا شرح داده شده است - یک خانواده کامل از فراکتال ها که نزدیک به مجموعه ماندلبروت هستند. این اثر جایزه آکادمی فرانسه را دریافت کرد، اما حاوی یک تصویر نبود، بنابراین نمی توان زیبایی اشیاء کشف شده را درک کرد. علیرغم اینکه این اثر باعث شهرت جولیا در بین ریاضیدانان آن زمان شد، به سرعت فراموش شد. دوباره، تنها نیم قرن بعد با ظهور رایانه ها، توجه به آن معطوف شد: آنها بودند که غنا و زیبایی دنیای فراکتال ها را نمایان کردند.

ابعاد فراکتال

همانطور که می دانید، بعد (تعداد اندازه گیری) یک شکل هندسی، تعداد مختصات لازم برای تعیین موقعیت نقطه ای است که روی این شکل قرار دارد.
به عنوان مثال، موقعیت یک نقطه روی یک منحنی با یک مختصات، روی یک سطح (نه لزوماً یک صفحه) با دو مختصات، در فضای سه بعدی با سه مختصات تعیین می شود.
از دیدگاه ریاضی کلی تر، بعد را می توان به صورت زیر تعریف کرد: افزایش ابعاد خطی، مثلاً دو برابر، برای اجسام یک بعدی (از دیدگاه توپولوژیکی) (بخش) منجر به افزایش اندازه (طول) می شود. ) با ضریب دو، برای دو بعدی (مربع) همین افزایش در ابعاد خطی منجر به افزایش اندازه (مساحت) 4 برابر، برای سه بعدی (مکعب) - 8 برابر می شود. یعنی بعد "واقعی" (به اصطلاح هاسدورف) را می توان به عنوان نسبت لگاریتم افزایش "اندازه" یک جسم به لگاریتم افزایش اندازه خطی آن محاسبه کرد. یعنی برای یک قطعه D=log (2)/log (2)=1، برای یک صفحه D=log (4)/log (2)=2، برای حجم D=log (8)/log (2) )=3.
اکنون بعد منحنی کخ را محاسبه می کنیم که برای ساخت آن قطعه واحد به سه قسمت مساوی تقسیم می شود و فاصله میانی با یک مثلث متساوی الاضلاع بدون این قطعه جایگزین می شود. با افزایش سه برابری ابعاد خطی حداقل بخش، طول منحنی کوخ در log (4) / log (3) ~ 1.26 افزایش می یابد. یعنی بعد منحنی کخ کسری است!

علم و هنر

در سال 1982 کتاب ماندلبرو به نام «هندسه فراکتال طبیعت» منتشر شد که در آن نویسنده تقریباً تمام اطلاعات فراکتال های موجود در آن زمان را جمع آوری و نظام مند کرده و به شیوه ای آسان و در دسترس ارائه کرده است. مندلبروت در ارائه خود تاکید اصلی را نه بر فرمول های پیچیده و ساختارهای ریاضی، بلکه بر شهود هندسی خوانندگان کرد. به لطف تصاویر کامپیوتری و داستان های تاریخی، که نویسنده به طرز ماهرانه ای مؤلفه علمی تک نگاری را رقیق کرد، کتاب به پرفروش ترین کتاب تبدیل شد و فراکتال ها برای عموم مردم شناخته شد. موفقیت آنها در بین غیر ریاضیدانان بیشتر به این دلیل است که با کمک ساختارها و فرمول های بسیار ساده ای که حتی یک دانش آموز دبیرستانی نیز می تواند آن ها را درک کند، تصاویری از پیچیدگی و زیبایی شگفت انگیز به دست می آید. هنگامی که رایانه های شخصی به اندازه کافی قدرتمند شدند، حتی یک گرایش کامل در هنر ظاهر شد - نقاشی فراکتال، و تقریباً هر صاحب رایانه می توانست این کار را انجام دهد. اکنون در اینترنت می توانید به راحتی سایت های زیادی را پیدا کنید که به این موضوع اختصاص داده شده اند.

طرحی برای به دست آوردن منحنی کخ

جنگ و صلح

همانطور که در بالا ذکر شد، یکی از اجرام طبیعی که دارای خواص فراکتالی است، خط ساحلی است. یک داستان جالب با آن مرتبط است، یا بهتر است بگوییم، با تلاش برای اندازه گیری طول آن، که اساس مقاله علمی ماندلبرو را تشکیل داد، و همچنین در کتاب او "هندسه فراکتالی طبیعت" شرح داده شده است. ما در مورد آزمایشی صحبت می کنیم که توسط لوئیس ریچاردسون، ریاضیدان، فیزیکدان و هواشناس بسیار با استعداد و غیرعادی تنظیم شده است. یکی از جهت گیری های تحقیق او تلاش برای یافتن توصیفی ریاضی از علل و احتمال درگیری مسلحانه بین دو کشور بود. از جمله پارامترهایی که وی در نظر گرفت، طول مرز مشترک دو کشور متخاصم بود. زمانی که او داده‌های آزمایش‌های عددی را جمع‌آوری کرد، دریافت که در منابع مختلف داده‌های مرز مشترک اسپانیا و پرتغال بسیار متفاوت است. این امر او را به کشف زیر رساند: طول مرزهای کشور بستگی به خط کشی دارد که آنها را با آن اندازه گیری می کنیم. هرچه مقیاس کوچکتر باشد، حاشیه طولانی تر خواهد بود. این به این دلیل است که در بزرگنمایی بیشتر می توان خم های بیشتر و بیشتری از ساحل را در نظر گرفت که قبلاً به دلیل ناهمواری اندازه گیری ها نادیده گرفته می شد. و اگر با هر بزرگنمایی، خمیدگی خطوط قبلاً نامشخص باز شود، معلوم می شود که طول مرزها بی نهایت است! درست است، در واقع این اتفاق نمی افتد - دقت اندازه گیری های ما محدودیت محدودی دارد. این پارادوکس اثر ریچاردسون نامیده می شود.

فراکتال های سازنده (هندسی).

الگوریتم ساخت فراکتال سازنده در حالت کلی به شرح زیر است. اول از همه، به دو شکل هندسی مناسب نیاز داریم که آنها را پایه و قطعه بنامیم. در مرحله اول، اساس فراکتال آینده به تصویر کشیده می شود. سپس برخی از قطعات آن با یک قطعه گرفته شده در مقیاس مناسب جایگزین می شود - این اولین تکرار ساخت و ساز است. سپس در شکل به دست آمده دوباره برخی از قسمت ها به شکل هایی شبیه به یک قطعه و به همین ترتیب تغییر می کنند، اگر این روند را به طور نامحدود ادامه دهیم، در حد یک فراکتال به دست می آید.

این فرآیند را با استفاده از مثال منحنی Koch در نظر بگیرید (به نوار کناری صفحه قبل مراجعه کنید). هر منحنی را می توان به عنوان مبنای منحنی کخ در نظر گرفت (برای دانه های برف کوخ، این یک مثلث است). اما ما خود را به ساده ترین مورد محدود می کنیم - یک بخش. قطعه یک خط شکسته است که در بالای شکل نشان داده شده است. پس از اولین تکرار الگوریتم، در این حالت، قطعه اصلی با قطعه منطبق می شود، سپس هر یک از بخش های تشکیل دهنده آن، خود با یک خط شکسته مشابه قطعه جایگزین می شود و به همین ترتیب، در شکل چهار قسمت اول را نشان می دهد. مراحل این فرآیند

زبان ریاضیات: فراکتال های پویا (جبری).

فراکتال‌های این نوع در مطالعه سیستم‌های دینامیکی غیرخطی به وجود می‌آیند (از این رو نام آن است). رفتار چنین سیستمی را می توان با یک تابع غیرخطی پیچیده (چند جمله ای) f (z) توصیف کرد. اجازه دهید نقطه اولیه z0 را در صفحه مختلط در نظر بگیریم (نوار کناری را ببینید). اکنون چنین دنباله ای نامتناهی از اعداد را در صفحه مختلط در نظر بگیرید که هر کدام از صفحه قبلی به دست می آیند: z0، z1=f (z0)، z2=f (z1)، ... zn+1=f (zn). بسته به نقطه اولیه z0، چنین دنباله ای می تواند رفتار متفاوتی داشته باشد: تمایل به بی نهایت به صورت n -> ∞; همگرایی به نقطه پایانی؛ به صورت دوره ای تعدادی مقادیر ثابت را بگیرید. گزینه های پیچیده تر ممکن است.

اعداد مختلط

عدد مختلط عددی است متشکل از دو بخش - واقعی و خیالی، یعنی مجموع رسمی x + iy (x و y در اینجا اعداد واقعی هستند). من به اصطلاح. واحد خیالی، یعنی عددی که معادله را برآورده کند من^ 2 = -1. بر روی اعداد مختلط، عملیات ریاضی پایه تعریف می شود - جمع، ضرب، تقسیم، تفریق (فقط عملیات مقایسه تعریف نشده است). برای نمایش اعداد مختلط، اغلب از یک نمایش هندسی استفاده می شود - در صفحه (که مختلط نامیده می شود)، قسمت واقعی در امتداد محور آبسیسا رسم می شود و قسمت خیالی در امتداد محور ترتیبی ترسیم می شود، در حالی که عدد مختلط با یک نقطه مطابقت دارد. با مختصات دکارتی x و y.

بنابراین، هر نقطه z از صفحه مختلط ویژگی رفتاری خاص خود را در طول تکرار تابع f (z) دارد و کل صفحه به قطعات تقسیم می شود. علاوه بر این، نقاطی که در مرزهای این قسمت ها قرار دارند دارای ویژگی زیر هستند: برای یک جابجایی خودسرانه کوچک، ماهیت رفتار آنها به طور چشمگیری تغییر می کند (به چنین نقاطی نقاط انشعاب می گویند). بنابراین، معلوم می‌شود که مجموعه‌هایی از نقاط که یک نوع رفتار خاص دارند، و همچنین مجموعه‌هایی از نقاط انشعاب، اغلب دارای ویژگی‌های فراکتالی هستند. اینها مجموعه جولیا برای تابع f(z) هستند.

خانواده اژدها

با تغییر پایه و قطعه، می توانید تنوع خیره کننده ای از فراکتال های سازنده را بدست آورید.
علاوه بر این، عملیات مشابه را می توان در فضای سه بعدی انجام داد. نمونه هایی از فراکتال های حجمی عبارتند از "اسفنج منگر"، "هرم سیرپینسکی" و غیره.
خانواده اژدها به فراکتال های سازنده نیز گفته می شود. گاهی اوقات آنها را با نام کاشفان به عنوان "اژدهای Heiwei-Harter" می نامند (آنها در شکل خود شبیه اژدهای چینی هستند). راه های مختلفی برای ساخت این منحنی وجود دارد. ساده ترین و واضح ترین آنها این است: باید یک نوار کاغذ به اندازه کافی بلند بردارید (هر چه کاغذ نازکتر باشد بهتر است) و آن را به نصف خم کنید. سپس دوباره آن را در همان جهت دفعه اول به نصف خم کنید. پس از چندین بار تکرار (معمولاً پس از پنج یا شش تا زدن نوار به اندازه ای ضخیم می شود که نمی توان با احتیاط بیشتر خم شود)، باید نوار را به عقب صاف کنید و سعی کنید زوایای 90 درجه در چین ها ایجاد کنید. سپس منحنی اژدها در نیمرخ مشخص می شود. البته، این فقط یک تقریب خواهد بود، مانند تمام تلاش های ما برای به تصویر کشیدن اشیاء فراکتال. کامپیوتر به شما این امکان را می دهد که مراحل بسیار بیشتری را در این فرآیند به تصویر بکشید و نتیجه یک شکل بسیار زیبا است.

مجموعه Mandelbrot تا حدودی متفاوت ساخته شده است. تابع fc (z) = z 2 +c را در نظر بگیرید که در آن c یک عدد مختلط است. اجازه دهید دنباله ای از این تابع با z0=0 بسازیم، بسته به پارامتر c، می تواند تا بی نهایت واگرا شود یا محدود بماند. علاوه بر این، تمام مقادیر c که این دنباله برای آنها محدود شده است، مجموعه Mandelbrot را تشکیل می دهند. خود مندلبروت و دیگر ریاضیدانان که بسیاری از خواص جالب این مجموعه را کشف کردند، به تفصیل مورد مطالعه قرار گرفت.

مشاهده می شود که تعاریف مجموعه جولیا و ماندلبرو مشابه یکدیگر است. در واقع این دو مجموعه ارتباط تنگاتنگی با هم دارند. یعنی مجموعه Mandelbrot تمام مقادیر پارامتر مختلط c است که مجموعه جولیا fc (z) به آن متصل است (مجموعه ای متصل نامیده می شود که نتوان آن را به دو قسمت غیر متقاطع با برخی شرایط اضافی تقسیم کرد).

فراکتال ها و زندگی

امروزه تئوری فراکتال ها به طور گسترده در زمینه های مختلف فعالیت های انسانی استفاده می شود. علاوه بر یک شی کاملاً علمی برای تحقیق و نقاشی فراکتال که قبلاً ذکر شد، از فراکتال ها در نظریه اطلاعات برای فشرده سازی داده های گرافیکی استفاده می شود (در اینجا عمدتاً از ویژگی خود شباهت فراکتال ها استفاده می شود - بالاخره برای به خاطر سپردن یک قطعه کوچک. از یک طراحی و تبدیل که با آن می توانید بقیه قسمت ها را بدست آورید، حافظه بسیار کمتری نسبت به ذخیره کل فایل می گیرد). با افزودن اغتشاشات تصادفی به فرمول‌هایی که فرکتال را تعریف می‌کنند، می‌توان فرکتال‌های تصادفی را به دست آورد که به طور قابل قبولی برخی از اشیاء واقعی - عناصر امدادی، سطح آب‌ها، برخی گیاهان را که با موفقیت در فیزیک، جغرافیا و گرافیک کامپیوتری برای دستیابی به آن استفاده می‌شود، به دست آورد. شباهت بیشتر اشیاء شبیه سازی شده با واقعی در رادیو الکترونیک در دهه گذشته شروع به تولید آنتن هایی کردند که شکل فراکتال دارند. با اشغال فضای کمی، دریافت سیگنال با کیفیت بسیار بالایی را ارائه می دهند. اقتصاددانان از فراکتال ها برای توصیف منحنی های نوسانات ارز استفاده می کنند (این ویژگی بیش از 30 سال پیش توسط Mandelbrot کشف شد). این سفر کوتاه به دنیای فراکتال ها، که از نظر زیبایی و تنوع شگفت انگیز است، به پایان می رسد.

مبتکرانه ترین اکتشافات در علم می تواند زندگی انسان را به طور اساسی تغییر دهد. واکسن اختراع شده می تواند میلیون ها نفر را نجات دهد، برعکس ایجاد سلاح، جان این افراد را می گیرد. اخیراً (در مقیاس تکامل انسان) ما یاد گرفته‌ایم که الکتریسیته را "رام کنیم" - و اکنون نمی‌توانیم زندگی را بدون همه این وسایل راحت که از برق استفاده می‌کنند تصور کنیم. اما اکتشافاتی نیز وجود دارد که افراد کمی به آنها اهمیت می دهند، اگرچه آنها نیز بر زندگی ما تأثیر زیادی می گذارند.

یکی از این اکتشافات "غیر محسوس" فراکتال ها است. احتمالا این کلمه جذاب را شنیده اید، اما آیا می دانید معنی آن چیست و چقدر چیزهای جالب در این اصطلاح پنهان شده است؟

هر شخصی یک کنجکاوی طبیعی دارد، میل به یادگیری در مورد دنیای اطرافش. و در این آرمان انسان سعی می کند در قضاوت ها به منطق پایبند باشد. او با تجزیه و تحلیل فرآیندهایی که در اطراف او اتفاق می‌افتد، سعی می‌کند منطق آنچه را که اتفاق می‌افتد بیابد و نظمی را استنباط کند. بزرگترین ذهن های روی کره زمین مشغول این کار هستند. به طور کلی، دانشمندان به دنبال الگویی هستند که در آن نباید باشد. با این وجود، حتی در هرج و مرج، می توان ارتباطی بین رویدادها پیدا کرد. و این ارتباط یک فراکتال است.

دختر کوچک ما، چهار و نیم ساله، اکنون در آن سن شگفت انگیز است که تعداد سؤالات "چرا؟" چند برابر بیشتر از تعداد پاسخ هایی که بزرگسالان برای دادن فرصت دارند. چندی پیش، دخترم با نگاه کردن به شاخه ای که از روی زمین بلند شده بود، ناگهان متوجه شد که این شاخه، با گره ها و شاخه ها، خود شبیه یک درخت است. و البته، سؤال معمول "چرا؟" دنبال شد، که والدین باید به دنبال توضیح ساده ای می گشتند که کودک بتواند آن را درک کند.

شباهت یک شاخه منفرد با یک درخت کامل که توسط یک کودک کشف شده است، مشاهده بسیار دقیقی است که یک بار دیگر به اصل خود شباهت بازگشتی در طبیعت گواهی می دهد. بسیاری از اشکال آلی و معدنی در طبیعت به طور مشابه تشکیل می شوند. ابرها، صدف های دریایی، "خانه" حلزون، پوست و تاج درختان، سیستم گردش خون، و غیره - اشکال تصادفی همه این اشیاء را می توان با یک الگوریتم فراکتال توصیف کرد.

⇡ بنوا ماندلبرو: پدر هندسه فراکتال

خود کلمه "فرکتال" به لطف دانشمند برجسته Benoît B. Mandelbrot ظاهر شد.

او خود این اصطلاح را در دهه 1970 ابداع کرد و کلمه fractus را از لاتین وام گرفت که در آن به معنای واقعی کلمه "شکسته" یا "له شده" است. چیست؟ امروزه کلمه "فرکتال" بیشتر به معنای نمایش گرافیکی ساختاری است که در مقیاس بزرگتر به خود شبیه است.

اساس ریاضی ظهور نظریه فراکتال ها سال ها قبل از تولد بنوا ماندلبرو گذاشته شد، اما تنها با ظهور دستگاه های محاسباتی توانست توسعه یابد. بنوا در آغاز فعالیت علمی خود در مرکز تحقیقات IBM کار می کرد. در آن زمان کارمندان این مرکز روی انتقال اطلاعات از راه دور کار می کردند. در جریان تحقیقات، دانشمندان با مشکل تلفات بزرگ ناشی از تداخل نویز مواجه شدند. بنوا با یک کار دشوار و بسیار مهم روبرو شد - درک چگونگی پیش بینی وقوع تداخل نویز در مدارهای الکترونیکی در زمانی که روش آماری ناکارآمد است.

با نگاهی به نتایج اندازه‌گیری نویز، ماندلبرو توجه را به یک الگوی عجیب جلب کرد - نمودارهای نویز در مقیاس‌های مختلف یکسان به نظر می‌رسند. یک الگوی یکسان مشاهده شد بدون توجه به اینکه آیا این طرح نویز برای یک روز، یک هفته یا یک ساعت بود. ارزش تغییر مقیاس نمودار را داشت و تصویر هر بار تکرار می شد.

بنوا ماندلبرو در طول زندگی خود بارها گفته بود که با فرمول ها سروکار ندارد، بلکه فقط با تصاویر بازی می کند. این مرد بسیار مجازی فکر می کرد و هر مسئله جبری را به حوزه هندسه ترجمه می کرد، جایی که به گفته او پاسخ صحیح همیشه آشکار است.

جای تعجب نیست که این مردی با چنین تخیل فضایی غنی بود که پدر هندسه فراکتال شد. از این گذشته ، درک ماهیت فراکتال ها دقیقاً زمانی اتفاق می افتد که شما شروع به مطالعه نقاشی می کنید و به معنای الگوهای چرخشی عجیب فکر می کنید.

الگوی فراکتال عناصر یکسانی ندارد، اما در هر مقیاسی شباهت دارد. قبلاً ساختن چنین تصویری با درجه بالایی از جزئیات به صورت دستی غیرممکن بود، به مقدار زیادی محاسبات نیاز داشت. به عنوان مثال، ریاضیدان فرانسوی پیر جوزف لوئی فاتو این مجموعه را بیش از هفتاد سال قبل از کشف بنوا ماندلبرو توصیف کرد. اگر در مورد اصول خود شباهت صحبت کنیم، در آثار لایب نیتس و گئورگ کانتور به آنها اشاره شده است.

یکی از اولین نقاشی‌های فراکتال، تفسیری گرافیکی از مجموعه ماندلبرو بود که در نتیجه تحقیقات گاستون موریس جولیا متولد شد.

گاستون جولیا (همیشه با نقاب - مصدومیت در جنگ جهانی اول)

این ریاضیدان فرانسوی از خود می‌پرسید که اگر یک مجموعه از یک فرمول ساده که توسط یک حلقه بازخورد تکرار می‌شود، ساخته شود، چه شکلی به نظر می‌رسد. اگر "روی انگشتان" توضیح داده شود، به این معنی است که برای یک عدد خاص با استفاده از فرمول مقدار جدیدی پیدا می کنیم، پس از آن دوباره آن را در فرمول جایگزین می کنیم و مقدار دیگری دریافت می کنیم. نتیجه یک توالی بزرگ از اعداد است.

برای به دست آوردن یک تصویر کامل از چنین مجموعه ای، باید حجم زیادی از محاسبات را انجام دهید - صدها، هزاران، میلیون ها. انجام آن به صورت دستی به سادگی غیرممکن بود. اما زمانی که دستگاه‌های محاسباتی قدرتمند در اختیار ریاضیدانان قرار گرفتند، توانستند نگاهی تازه به فرمول‌ها و عباراتی بیندازند که مدت‌هاست علاقه را برانگیخته بودند. ماندلبرو اولین کسی بود که از کامپیوتر برای محاسبه فراکتال کلاسیک استفاده کرد. بنوا پس از پردازش یک دنباله متشکل از تعداد زیادی مقادیر، نتایج را به یک نمودار منتقل کرد. این چیزی است که او به دست آورد.

متعاقباً، این تصویر رنگی شد (به عنوان مثال، یکی از روش های رنگ آمیزی با تعداد تکرارها است) و به یکی از محبوب ترین تصاویری تبدیل شد که تا کنون توسط انسان ساخته شده است.

همانطور که ضرب المثل قدیمی منسوب به هراکلیتوس افسوسی می گوید: "شما نمی توانید دو بار وارد یک رودخانه شوید." این بهترین برای تفسیر هندسه فراکتال ها مناسب است. مهم نیست که چقدر جزئیات یک تصویر فراکتال را بررسی کنیم، همیشه یک الگوی مشابه را خواهیم دید.

کسانی که مایلند ببینند وقتی چند برابر بزرگ‌نمایی می‌شود، تصویری از فضای ماندلبروت چگونه به نظر می‌رسد، می‌توانند با آپلود یک GIF متحرک این کار را انجام دهند.

⇡ لورن کارپنتر: هنری خلق شده توسط طبیعت

نظریه فراکتال ها به زودی کاربرد عملی پیدا کرد. از آنجایی که ارتباط نزدیکی با تجسم تصاویر خود مشابه دارد، جای تعجب نیست که اولین کسانی که الگوریتم‌ها و اصولی را برای ساخت فرم‌های غیرعادی اتخاذ کردند، هنرمندان بودند.

یکی از بنیانگذاران آینده استودیوی افسانه ای پیکسار، لورن سی کارپنتر، در سال 1967 در خدمات کامپیوتری بوئینگ، که یکی از بخش های شرکت معروفی بود که درگیر توسعه هواپیماهای جدید بود، شروع به کار کرد.

در سال 1977، او ارائه هایی را با نمونه های اولیه مدل های پرنده ایجاد کرد. لورن مسئول توسعه تصاویر هواپیمای در حال طراحی بود. او مجبور شد تصاویری از مدل های جدید ایجاد کند و هواپیماهای آینده را از زوایای مختلف نشان دهد. در مقطعی، بنیانگذار آینده استودیوی انیمیشن پیکسار ایده خلاقانه ای برای استفاده از تصویری از کوه ها به عنوان پس زمینه پیدا کرد. امروز، هر دانش آموز می تواند چنین مشکلی را حل کند، اما در پایان دهه هفتاد قرن گذشته، رایانه ها نمی توانستند با چنین محاسبات پیچیده ای کنار بیایند - ویرایشگر گرافیکی وجود نداشت، نه به ذکر برنامه های کاربردی برای گرافیک های سه بعدی. در سال 1978، لورن به طور تصادفی کتاب فراکتال ها: فرم، تصادفی و ابعاد اثر بنوا ماندلبرو را در یک فروشگاه دید. در این کتاب توجه او به این نکته جلب شد که بنوا مثال های زیادی از فرم های فراکتال در زندگی واقعی ارائه کرد و ثابت کرد که می توان آنها را با یک عبارت ریاضی توصیف کرد.

این قیاس توسط ریاضیدان انتخاب شد نه تصادفی. واقعیت این است که به محض انتشار تحقیقات خود، مجبور شد با انبوهی از انتقادات روبرو شود. اصلی ترین چیزی که همکارانش او را مورد سرزنش قرار دادند بی فایده بودن نظریه توسعه یافته بود. آنها گفتند: "بله، اینها تصاویر زیبایی هستند، اما نه بیشتر. نظریه فراکتال ها هیچ ارزش عملی ندارد. همچنین کسانی بودند که عموماً معتقد بودند که الگوهای فراکتال صرفاً محصول جانبی کار "ماشین های شیطان" است که در اواخر دهه هفتاد برای بسیاری به نظر می رسید چیزی بسیار پیچیده و ناشناخته است که نمی توان به طور کامل به آن اعتماد کرد. مندلبروت سعی کرد کاربرد آشکاری از نظریه فراکتال ها پیدا کند، اما به طور کلی، او نیازی به انجام این کار نداشت. پیروان Benoit Mandelbrot در طول 25 سال آینده ثابت کردند که برای چنین "کنجکاوی ریاضی" بسیار مفید هستند و لورن کارپنتر یکی از اولین کسانی بود که روش فراکتال را به کار برد.

با مطالعه کتاب، انیماتور آینده به طور جدی اصول هندسه فراکتال را مطالعه کرد و شروع به جستجوی راهی برای پیاده سازی آن در گرافیک کامپیوتری کرد. لورن تنها در سه روز کار توانست تصویری واقع گرایانه از سیستم کوهستانی را در رایانه خود مجسم کند. به عبارت دیگر او با کمک فرمول ها منظره کوهستانی کاملاً قابل تشخیصی را ترسیم کرد.

اصلی که لورن برای رسیدن به هدفش از آن استفاده کرد بسیار ساده بود. این شامل تقسیم یک شکل هندسی بزرگتر به عناصر کوچک بود و اینها به نوبه خود به شکلهای مشابه با اندازه کوچکتر تقسیم شدند.

کارپنتر با استفاده از مثلث های بزرگتر، آنها را به چهار مثلث کوچکتر تقسیم کرد و سپس این روش را بارها و بارها تکرار کرد تا اینکه یک منظره کوهستانی واقعی داشت. بنابراین، او موفق شد اولین هنرمندی باشد که از الگوریتم فراکتال در گرافیک کامپیوتری برای ساخت تصاویر استفاده می کند. به محض اینکه در مورد کار انجام شده مشخص شد، علاقه مندان در سراسر جهان این ایده را برداشتند و شروع به استفاده از الگوریتم فراکتال برای شبیه سازی اشکال طبیعی واقعی کردند.

یکی از اولین رندرهای سه بعدی با استفاده از الگوریتم فراکتال

تنها چند سال بعد، لورن کارپنتر توانست دستاوردهای خود را در پروژه ای بسیار بزرگتر به کار گیرد. انیماتور آنها را بر اساس یک دمو دو دقیقه ای به نام Vol Libre که در سال 1980 در Siggraph نشان داده شد، ساخت. این ویدیو همه کسانی را که آن را دیدند شوکه کرد و لورن دعوت نامه ای از لوکاس فیلم دریافت کرد.

این انیمیشن بر روی کامپیوتر VAX-11/780 از Digital Equipment Corporation با سرعت کلاک پنج مگاهرتز رندر شده است و ترسیم هر فریم حدود نیم ساعت طول می کشد.

انیماتور که برای Lucasfilm Limited کار می کرد، همان مناظر سه بعدی را برای دومین ویژگی در حماسه Star Trek ایجاد کرد. در The Wrath of Khan، کارپنتر توانست یک سیاره کامل را با استفاده از همان اصل مدل‌سازی سطح فراکتال ایجاد کند.

در حال حاضر، همه برنامه های محبوب برای ایجاد مناظر سه بعدی از همان اصل تولید اشیاء طبیعی استفاده می کنند. Terragen، Bryce، Vue و سایر ویرایشگرهای سه بعدی به الگوریتم مدل‌سازی سطح فراکتال و بافت تکیه می‌کنند.

⇡ آنتن های فراکتال: کمتر بهتر است، اما بهتر است

در طول نیم قرن گذشته، زندگی به سرعت تغییر کرده است. بسیاری از ما پیشرفت های تکنولوژی مدرن را بدیهی می دانیم. هر چیزی که زندگی را راحت تر می کند، خیلی سریع به آن عادت می کنید. به ندرت کسی این سوال را می پرسد که "این از کجا آمده است؟" و این چگونه کار میکند؟". یک اجاق مایکروویو صبحانه را گرم می کند - خوب، عالی است، یک تلفن هوشمند به شما امکان می دهد با شخص دیگری صحبت کنید - عالی است. به نظر ما این یک احتمال آشکار است.

اما زندگی می تواند کاملاً متفاوت باشد اگر شخصی به دنبال توضیحی برای وقایع در حال وقوع نباشد. به عنوان مثال، تلفن های همراه را در نظر بگیرید. آنتن های جمع شونده مدل های اول را به خاطر دارید؟ آنها دخالت کردند، اندازه دستگاه را افزایش دادند، در پایان، اغلب شکستند. ما معتقدیم که آنها برای همیشه در فراموشی فرو رفته اند، و تا حدی به دلیل همین ... فراکتال ها.

نقاشی های فراکتال با الگوهای خود مجذوب خود می شوند. آنها قطعاً شبیه تصاویر اجرام فضایی - سحابی ها، خوشه های کهکشانی و غیره هستند. بنابراین، کاملاً طبیعی است که وقتی ماندلبرو نظریه خود را در مورد فراکتال ها بیان کرد، تحقیقات او علاقه بیشتری را در بین کسانی که نجوم مطالعه می کردند برانگیخت. یکی از این آماتورها به نام ناتان کوهن، پس از شرکت در سخنرانی بنوا ماندلبرو در بوداپست، از ایده کاربرد عملی دانش به دست آمده الهام گرفت. درست است، او این کار را به طور شهودی انجام داد و شانس نقش مهمی در کشف او داشت. ناتان به عنوان یک رادیو آماتور به دنبال ایجاد آنتنی با بالاترین حساسیت ممکن بود.

تنها راه بهبود پارامترهای آنتن که در آن زمان شناخته شده بود، افزایش ابعاد هندسی آن بود. با این حال، مالک آپارتمان ناتان در مرکز شهر بوستون به شدت با نصب دستگاه های بزرگ روی پشت بام مخالف بود. سپس ناتان شروع به آزمایش با اشکال مختلف آنتن کرد و سعی کرد حداکثر نتیجه را با حداقل اندازه به دست آورد. همانطور که می گویند کوهن که با ایده شکل های فراکتال مشتاق شده بود، به طور تصادفی یکی از معروف ترین فراکتال ها را از سیم ساخت - "برف ریزه کوچ". هلگه فون کوخ، ریاضیدان سوئدی، این منحنی را در سال 1904 ارائه کرد. با تقسیم قطعه به سه قسمت و جایگزینی قسمت میانی با یک مثلث متساوی الاضلاع بدون ضلع منطبق با این قطعه به دست می آید. درک تعریف کمی دشوار است، اما شکل واضح و ساده است.

انواع دیگری از "منحنی کوخ" نیز وجود دارد، اما شکل تقریبی منحنی مشابه باقی می ماند.

وقتی ناتان آنتن را به گیرنده رادیو متصل کرد، بسیار شگفت زده شد - حساسیت به طور چشمگیری افزایش یافت. پس از یک سری آزمایشات، استاد آینده در دانشگاه بوستون متوجه شد که آنتن ساخته شده بر اساس یک الگوی فراکتال کارایی بالایی دارد و در مقایسه با راه حل های کلاسیک محدوده فرکانسی بسیار وسیع تری را پوشش می دهد. علاوه بر این، شکل آنتن به صورت منحنی فراکتال می تواند ابعاد هندسی را به میزان قابل توجهی کاهش دهد. ناتان کوهن حتی یک قضیه را توسعه داد که ثابت می کند برای ایجاد یک آنتن پهن باند، کافی است شکل یک منحنی فراکتال خود مشابه را به آن بدهیم.

نویسنده کشف خود را به ثبت رساند و شرکتی را برای توسعه و طراحی آنتن‌های فراکتال، سیستم‌های آنتن فراکتال تأسیس کرد و به درستی معتقد بود که در آینده، به لطف کشف او، تلفن‌های همراه قادر خواهند بود از شر آنتن‌های حجیم خلاص شوند و فشرده‌تر شوند.

اساساً همین اتفاق افتاد. درست است، تا به امروز، ناتان در دعوای حقوقی با شرکت های بزرگی است که به طور غیرقانونی از کشف او برای تولید دستگاه های ارتباطی فشرده استفاده می کنند. برخی از سازندگان مشهور دستگاه های تلفن همراه مانند موتورولا قبلاً با مخترع آنتن فراکتال به توافق صلح رسیده اند.

⇡ ابعاد فراکتال: ذهن نمی فهمد

بنوا این سوال را از دانشمند مشهور آمریکایی ادوارد کاسنر وام گرفته است.

دومی، مانند بسیاری دیگر از ریاضیدانان مشهور، علاقه زیادی به برقراری ارتباط با کودکان، پرسیدن از آنها و گرفتن پاسخ های غیرمنتظره داشت. گاهی اوقات این به نتایج شگفت انگیزی منجر می شد. بنابراین، به عنوان مثال، برادرزاده نه ساله ادوارد کاسنر کلمه شناخته شده "googol" را پیدا کرد که یک واحد را با صد صفر نشان می دهد. اما برگردیم به فراکتال ها. ریاضیدان آمریکایی دوست داشت بپرسد طول خط ساحلی ایالات متحده چقدر است؟ پس از شنیدن نظر طرف مقابل، خود ادوارد پاسخ صحیح را بیان کرد. اگر طول را روی نقشه با بخش های شکسته اندازه گیری کنید، نتیجه نادرست خواهد بود، زیرا خط ساحلی دارای تعداد زیادی بی نظمی است. و اگر تا حد امکان دقیق اندازه گیری کنید چه اتفاقی می افتد؟ شما باید طول هر ناهمواری را در نظر بگیرید - باید هر کیپ، هر خلیج، سنگ، طول یک تاقچه سنگی، یک سنگ روی آن، یک دانه شن، یک اتم و غیره را اندازه بگیرید. از آنجایی که تعداد بی‌نظمی‌ها به بی‌نهایت تمایل دارد، طول اندازه‌گیری‌شده خط ساحلی با هر بی‌نظمی جدید تا بی‌نهایت افزایش می‌یابد.

هر چه اندازه اندازه گیری در هنگام اندازه گیری کوچکتر باشد، طول اندازه گیری شده بیشتر است

جالب اینجاست که به دنبال تذکرات ادوارد، کودکان در گفتن پاسخ صحیح بسیار سریعتر از بزرگسالان بودند، در حالی که دومی در پذیرش چنین پاسخ باورنکردنی مشکل داشت.

با استفاده از این مشکل به عنوان مثال، ماندلبرو استفاده از یک رویکرد جدید برای اندازه گیری را پیشنهاد کرد. از آنجایی که خط ساحلی نزدیک به یک منحنی فراکتال است، به این معنی است که یک پارامتر مشخص کننده، به اصطلاح بعد فراکتال، می تواند برای آن اعمال شود.

بعد معمول چیست برای هر کسی روشن است. اگر ابعاد برابر با یک باشد، یک خط مستقیم می گیریم، اگر دو - یک شکل صاف، سه - حجم. با این حال، چنین درکی از بعد در ریاضیات با منحنی های فراکتال که این پارامتر دارای مقدار کسری است، کار نمی کند. بعد فراکتال در ریاضیات را می توان به طور مشروط به عنوان "زبری" در نظر گرفت. هر چه زبری منحنی بیشتر باشد، بعد فراکتالی آن بیشتر است. منحنی که به گفته ماندلبرو، بعد فراکتالی بالاتر از بعد توپولوژیکی آن است، دارای طول تقریبی است که به تعداد ابعاد بستگی ندارد.

در حال حاضر، دانشمندان در حال یافتن زمینه های بیشتری برای کاربرد نظریه فراکتال هستند. با کمک فراکتال ها می توانید نوسانات قیمت سهام را تجزیه و تحلیل کنید، انواع فرآیندهای طبیعی مانند نوسانات تعداد گونه ها را بررسی کنید یا دینامیک جریان ها را شبیه سازی کنید. الگوریتم های فراکتال را می توان برای فشرده سازی داده ها به عنوان مثال برای فشرده سازی تصویر استفاده کرد. ضمناً برای دریافت یک فراکتال زیبا روی صفحه کامپیوتر خود، لازم نیست مدرک دکترا داشته باشید.

⇡ فراکتال در مرورگر

شاید یکی از ساده‌ترین راه‌ها برای به دست آوردن الگوی فراکتال، استفاده از ویرایشگر وکتور آنلاین یک برنامه‌نویس با استعداد جوان، توبی شاچمن باشد. جعبه ابزار این ویرایشگر گرافیکی ساده بر اساس همان اصل خود شباهت است.

تنها دو شکل ساده در اختیار شما وجود دارد - یک مربع و یک دایره. می‌توانید آن‌ها را به بوم اضافه کنید، مقیاس کنید (برای تغییر مقیاس در امتداد یکی از محورها، کلید Shift را نگه دارید) و بچرخانید. این ساده‌ترین عناصر که بر اساس اصل عملیات جمع بولی همپوشانی دارند، اشکال جدید و کم‌اهمیت‌تری را تشکیل می‌دهند. علاوه بر این، این فرم های جدید را می توان به پروژه اضافه کرد و برنامه تولید این تصاویر را به طور نامحدود تکرار می کند. در هر مرحله از کار بر روی یک فراکتال، می توانید به هر جزء از یک شکل پیچیده برگردید و موقعیت و هندسه آن را ویرایش کنید. بسیار سرگرم کننده است، به خصوص وقتی در نظر بگیرید که تنها ابزاری که برای خلاقیت نیاز دارید مرورگر است. اگر اصل کار با این ویرایشگر بردار بازگشتی را درک نمی کنید، به شما توصیه می کنیم که ویدیو را در وب سایت رسمی پروژه تماشا کنید، که به طور مفصل کل فرآیند ایجاد یک فراکتال را نشان می دهد.

⇡ XaoS: فراکتال برای هر سلیقه

بسیاری از ویرایشگرهای گرافیکی ابزارهای داخلی برای ایجاد الگوهای فراکتال دارند. با این حال، این ابزارها معمولاً ثانویه هستند و به شما اجازه نمی دهند الگوی فراکتال تولید شده را به دقت تنظیم کنید. در مواردی که نیاز به ساخت یک فراکتال دقیق ریاضی باشد، ویرایشگر کراس پلتفرم XaoS به کمک خواهد آمد. این برنامه نه تنها ساختن یک تصویر مشابه خود، بلکه انجام دستکاری های مختلف با آن را نیز ممکن می سازد. به عنوان مثال، در زمان واقعی، می‌توانید با تغییر مقیاس فراکتال از طریق آن «راه بروید». حرکت متحرک در امتداد یک فراکتال را می توان به عنوان یک فایل XAF ذخیره کرد و سپس در خود برنامه پخش کرد.

XaoS می تواند مجموعه ای تصادفی از پارامترها را بارگیری کند، و همچنین از فیلترهای مختلف پس از پردازش تصویر استفاده کند - یک جلوه حرکت تار اضافه کند، انتقال واضح بین نقاط فراکتال را صاف کند، یک تصویر سه بعدی را شبیه سازی کند، و غیره.

⇡ زومر فراکتال: ژنراتور فراکتال فشرده

در مقایسه با سایر مولدهای تصویر فراکتال، چندین مزیت دارد. اولاً، اندازه آن بسیار کوچک است و نیازی به نصب ندارد. ثانیا، توانایی تعریف پالت رنگ تصویر را پیاده سازی می کند. می توانید سایه ها را در مدل های رنگی RGB، CMYK، HVS و HSL انتخاب کنید.

همچنین استفاده از گزینه انتخاب تصادفی سایه های رنگی و عملکرد معکوس کردن همه رنگ ها در تصویر بسیار راحت است. برای تنظیم رنگ، تابعی از انتخاب دوره ای سایه ها وجود دارد - وقتی حالت مربوطه روشن می شود، برنامه تصویر را متحرک می کند و رنگ ها را به صورت دوره ای تغییر می دهد.

زومر فراکتال می تواند 85 تابع فراکتال مختلف را تجسم کند و فرمول ها به وضوح در منوی برنامه نشان داده می شوند. فیلترهایی برای پس پردازش تصاویر در برنامه وجود دارد، البته به مقدار کم. هر فیلتر اختصاص داده شده را می توان در هر زمان لغو کرد.

⇡ Mandelbulb3D: ویرایشگر فراکتال سه بعدی

هنگامی که از اصطلاح "فرکتال" استفاده می شود، اغلب به معنای یک تصویر دو بعدی صاف است. با این حال، هندسه فراکتال فراتر از بعد دوبعدی است. در طبیعت، هم می توان نمونه هایی از فرم های فرکتال مسطح، مثلاً هندسه رعد و برق، و هم اشکال سه بعدی سه بعدی را یافت. سطوح فراکتال می توانند سه بعدی باشند و یک تصویر بسیار گرافیکی از فرکتال های سه بعدی در زندگی روزمره یک کلم است. شاید بهترین راه برای دیدن فراکتال ها در رومانسکو باشد که ترکیبی از گل کلم و کلم بروکلی است.

و این فراکتال قابل خوردن است

برنامه Mandelbulb3D می تواند اشیاء سه بعدی با شکل مشابه ایجاد کند. برای به دست آوردن یک سطح سه بعدی با استفاده از الگوریتم فراکتال، نویسندگان این برنامه، دانیل وایت و پل نایلندر، مجموعه مندلبرو را به مختصات کروی تبدیل کردند. برنامه Mandelbulb3D که آنها ایجاد کردند یک ویرایشگر سه بعدی واقعی است که سطوح فراکتال را با اشکال مختلف مدل می کند. از آنجایی که ما اغلب الگوهای فراکتال را در طبیعت مشاهده می کنیم، یک شیء سه بعدی فراکتالی که به طور مصنوعی ایجاد شده است، فوق العاده واقعی و حتی "زنده" به نظر می رسد.

ممکن است شبیه یک گیاه باشد، ممکن است شبیه یک حیوان عجیب، یک سیاره یا چیز دیگری باشد. این افکت توسط یک الگوریتم رندر پیشرفته تقویت می شود که امکان به دست آوردن بازتاب های واقعی، محاسبه شفافیت و سایه ها، شبیه سازی اثر عمق میدان و غیره را فراهم می کند. Mandelbulb3D مقدار زیادی تنظیمات و گزینه های رندر دارد. شما می توانید سایه های منابع نور را کنترل کنید، پس زمینه و سطح جزئیات شی مدل شده را انتخاب کنید.

ویرایشگر فراکتال Incendia از صاف کردن تصویر دوتایی پشتیبانی می کند، شامل کتابخانه ای از پنجاه فراکتال سه بعدی مختلف است و دارای یک ماژول جداگانه برای ویرایش اشکال اصلی است.

این برنامه از برنامه نویسی فراکتال استفاده می کند که با آن می توانید انواع جدیدی از ساختارهای فراکتال را به طور مستقل توصیف کنید. Incendia دارای ویرایشگرهای بافت و متریال و یک موتور رندر است که به شما امکان می دهد از جلوه های مه حجمی و سایه زن های مختلف استفاده کنید. این برنامه گزینه ای برای ذخیره بافر در طول رندر طولانی مدت دارد، ایجاد انیمیشن پشتیبانی می شود.

Incendia به شما امکان می دهد یک مدل فراکتال را به فرمت های گرافیکی سه بعدی محبوب - OBJ و STL صادر کنید. Incendia شامل یک ابزار کوچک Geometrica است - یک ابزار ویژه برای تنظیم صادرات یک سطح فراکتال به یک مدل سه بعدی. با استفاده از این ابزار، می توانید وضوح یک سطح سه بعدی را تعیین کنید، تعداد تکرارهای فراکتال را مشخص کنید. هنگام کار با ویرایشگرهای سه بعدی مانند Blender، 3ds max و غیره، می توان از مدل های صادر شده در پروژه های سه بعدی استفاده کرد.

اخیراً کار روی پروژه Incendia تا حدودی کند شده است. در حال حاضر، نویسنده به دنبال حامیانی است که به او در توسعه برنامه کمک کنند.

اگر تخیل کافی برای کشیدن یک فراکتال سه بعدی زیبا در این برنامه ندارید، مهم نیست. از کتابخانه پارامترها که در پوشه INCENDIA_EX\parameters قرار دارد استفاده کنید. با کمک فایل های PAR، می توانید به سرعت غیرمعمول ترین اشکال فراکتال، از جمله شکل های متحرک را پیدا کنید.

⇡ شنیداری: چگونه فراکتال ها آواز می خوانند

ما معمولاً در مورد پروژه هایی که فقط روی آنها کار می شود صحبت نمی کنیم، اما در این مورد باید یک استثنا قائل شویم، این یک برنامه بسیار غیر معمول است. پروژه ای به نام Aural با همان فردی به نام Incendia ساخته شد. درست است، این بار برنامه مجموعه فراکتال را تجسم نمی کند، بلکه آن را صدا می کند و آن را به موسیقی الکترونیک تبدیل می کند. این ایده بسیار جالب است، به خصوص با توجه به خواص غیر معمول فراکتال ها. Aural یک ویرایشگر صوتی است که ملودی ها را با استفاده از الگوریتم های فراکتال تولید می کند، یعنی در واقع یک سینت سایزر-توالی سنجی صدا است.

توالی صداهایی که این برنامه پخش می کند غیرعادی و زیباست. ممکن است برای نوشتن ریتم های مدرن مفید باشد و به نظر ما، به ویژه برای ایجاد موسیقی متن برای برنامه های تلویزیونی و رادیویی و همچنین "حلقه" موسیقی پس زمینه برای بازی های رایانه ای مناسب است. رامیرو هنوز دمویی از برنامه خود ارائه نداده است، اما قول می دهد که وقتی این کار را انجام داد، برای کار با Aural، نیازی به یادگیری تئوری فراکتال ها نخواهد داشت - فقط کافی است با پارامترهای الگوریتم برای ایجاد یک دنباله نت بازی کنید. . به صدای فراکتال ها گوش دهید و.

فراکتال: مکث موسیقی

در واقع، فراکتال ها می توانند به نوشتن موسیقی حتی بدون نرم افزار کمک کنند. اما این کار را فقط کسی می تواند انجام دهد که واقعاً با ایده هارمونی طبیعی آغشته شده باشد و در عین حال به یک "احمق" بدبخت تبدیل نشده باشد. منطقی است که از موسیقیدانی به نام جاناتان کولتون که از جمله برای مجله Popular Science آهنگ می نویسد، سرنخ بگیریم. و برخلاف سایر هنرمندان، کولتون همه آثار خود را تحت مجوز Creative Commons Attribution-NonCommercial منتشر می کند که (در صورت استفاده برای مقاصد غیر تجاری) امکان کپی رایگان، توزیع، انتقال اثر به دیگران و همچنین اصلاح آن (ایجاد) را فراهم می کند. آثار مشتق) به منظور تطبیق آن با نیازهای شما.

جاناتان کولتون البته آهنگی در مورد فراکتال دارد.

⇡ نتیجه گیری

در هر چیزی که ما را احاطه کرده است، اغلب شاهد هرج و مرج هستیم، اما در واقع این یک تصادف نیست، بلکه یک شکل ایده آل است که فراکتال ها به ما کمک می کنند تا آن را تشخیص دهیم. طبیعت بهترین معمار، سازنده و مهندس ایده آل است. بسیار منطقی چیده شده است، و اگر در جایی الگوها را نمی بینیم، به این معنی است که باید آن را در مقیاس دیگری جستجو کنیم. مردم این را بهتر و بهتر درک می کنند و سعی می کنند از اشکال طبیعی به طرق مختلف تقلید کنند. مهندسان سیستم های بلندگو را به شکل پوسته طراحی می کنند، آنتن هایی با هندسه دانه های برف ایجاد می کنند و غیره. ما مطمئن هستیم که فراکتال ها هنوز رازهای زیادی را در خود نگه می دارند و بسیاری از آنها هنوز توسط یک شخص کشف نشده است.

قبلاً در مورد اینکه چگونه نظریه انتزاعی ریاضی آشوب در علوم مختلف - از فیزیک گرفته تا اقتصاد و علوم سیاسی - کاربرد پیدا کرده است، نوشته ایم. اکنون یک مثال مشابه دیگر - نظریه فراکتال ها را ارائه خواهیم کرد. تعریف دقیقی از مفهوم "فرکتال" حتی در ریاضیات وجود ندارد. البته یه همچین چیزی میگن اما "فرد معمولی" این را نمی فهمد. مثلاً چگونه چنین عبارتی را می‌بینید: "فرکتال مجموعه‌ای است با بعد هاسدورف کسری که بزرگ‌تر از توپولوژیک است." با این وجود، آنها، فراکتال ها، ما را احاطه کرده اند و به درک بسیاری از پدیده ها از حوزه های مختلف زندگی کمک می کنند.

چگونه همه چیز شروع شد

برای مدت طولانی، هیچ کس به جز ریاضیدانان حرفه ای به فراکتال ها علاقه نداشت. قبل از ظهور کامپیوتر و نرم افزارهای مرتبط. همه چیز در سال 1982 با انتشار کتاب «هندسه فراکتالی طبیعت» اثر بنوا ماندلبرو تغییر کرد. این کتاب نه به دلیل ارائه ساده و قابل فهم مطالب (اگرچه این گفته بسیار نسبی است - فردی که تحصیلات ریاضی حرفه ای نداشته باشد چیزی در آن نمی فهمد) به یک کتاب پرفروش تبدیل شده است، بلکه به دلیل تصاویر رایانه ای از فراکتال های ارائه شده، که واقعا مسحورکننده هستند. بیایید به این تصاویر نگاه کنیم. آنها واقعا ارزش آن را دارند.

و از این دست عکس ها زیاد است. اما این همه شکوه و عظمت چه ربطی به زندگی واقعی ما دارد و آنچه ما را در طبیعت و دنیای روزمره احاطه کرده است؟ مستقیم ترین به نظر می رسد.

اما ابتدا اجازه دهید چند کلمه در مورد خود فراکتال ها به عنوان اجسام هندسی بگوییم.

به عبارت ساده فراکتال چیست

اولین. چگونه آنها، فراکتال ها، ساخته می شوند. این یک روش نسبتاً پیچیده است که از دگرگونی‌های ویژه در صفحه پیچیده استفاده می‌کند (نیازی نیست بدانید آن چیست). تنها نکته مهم این است که این تبدیل ها تکراری هستند (به قول ریاضیات تکرار می شوند). در نتیجه این تکرار است که فراکتال ها به وجود می آیند (آنهایی که در بالا دیدید).

دومین. فراکتال یک ساختار خود مشابه (دقیقا یا تقریباً) است. این به معنای موارد زیر است. اگر به هر یک از تصاویر ارائه شده میکروسکوپ بیاورید، مثلاً تصویر را 100 برابر بزرگ کنید و به قطعه ای از قطعه فراکتال که در چشمی افتاده است نگاه کنید، متوجه می شوید که با تصویر اصلی یکسان است. اگر میکروسکوپ قوی تری بگیرید که تصویر را 1000 برابر بزرگ کند، متوجه خواهید شد که تکه ای از قطعه تصویر قبلی که در چشمی افتاده است، ساختار مشابه یا بسیار مشابهی دارد.

این به یک نتیجه گیری بسیار مهم برای آنچه در ادامه می آید منجر می شود. یک فراکتال ساختار بسیار پیچیده ای دارد که خود را در مقیاس های مختلف تکرار می کند. اما هر چه بیشتر در دستگاه آن عمیق تر شویم، به طور کلی پیچیده تر می شود. و تخمین های کمی از ویژگی های تصویر اصلی ممکن است شروع به تغییر کنند.

حالا ما ریاضیات انتزاعی را رها می کنیم و به چیزهای اطرافمان می رویم - بنابراین، به نظر ساده و قابل درک است.

اجسام فراکتال در طبیعت

خط ساحلی

تصور کنید که در حال عکاسی از جزیره ای مانند بریتانیا از مدار زمین هستید. همان تصویری را که در نقشه جغرافیایی وجود دارد دریافت خواهید کرد. طرح کلی ساحل، از همه طرف - دریا.

یافتن طول خط ساحلی بسیار ساده است. یک نخ معمولی بردارید و با دقت آن را در امتداد مرزهای جزیره قرار دهید. سپس طول آن را بر حسب سانتی متر اندازه بگیرید و عدد حاصل را در مقیاس نقشه ضرب کنید - در یک سانتی متر چند کیلومتر وجود دارد. در اینجا نتیجه است.

و حالا آزمایش بعدی. شما در یک هواپیما در منظره چشم پرنده پرواز می کنید و از خط ساحلی عکس می گیرید. به نظر می رسد تصویری شبیه به عکس های ماهواره ای است. اما این خط ساحلی تورفتگی دارد. خلیج‌های کوچک، خلیج‌ها، تکه‌های خشکی که به داخل دریا بیرون زده‌اند، روی تصاویر شما ظاهر می‌شوند. همه اینها درست است، اما از ماهواره قابل مشاهده نیست. ساختار خط ساحلی پیچیده تر می شود.

فرض کنید، پس از رسیدن به خانه، نقشه دقیقی از خط ساحلی را بر اساس تصاویر خود تهیه کردید. و ما تصمیم گرفتیم طول آن را با کمک همان نخ اندازه گیری کنیم و آن را دقیقاً مطابق با داده های جدیدی که دریافت کرده اید قرار دهیم. مقدار طول خط ساحلی جدید از مقدار قبلی بیشتر خواهد شد. و قابل توجه است. این به طور شهودی واضح است. از این گذشته ، اکنون نخ شما باید در سواحل همه خلیج ها و خلیج ها بچرخد و فقط در امتداد ساحل نرود.

توجه داشته باشید. ما کوچک‌نمایی کردیم و همه چیز پیچیده‌تر و گیج‌کننده‌تر شد. مانند فراکتال ها.

و حالا برای تکرار دیگر. شما در امتداد همان ساحل قدم می زنید. و تسکین خط ساحلی را اصلاح کنید. به نظر می رسد که سواحل خلیج ها و خلیج هایی که از هواپیما عکاسی کرده اید، اصلا آنقدر هموار و ساده نیستند که در تصاویر خود فکر می کنید. آنها ساختار پیچیده ای دارند. و بنابراین، اگر این خط ساحلی "عابر پیاده" را ترسیم کنید، حتی طولانی تر خواهد شد.

بله، هیچ بی نهایتی در طبیعت وجود ندارد. اما کاملاً واضح است که خط ساحلی یک فراکتال معمولی است. به همان شکل باقی می ماند، اما ساختار آن هر چه نزدیکتر نگاه می کنید پیچیده تر و پیچیده تر می شود (به مثال میکروسکوپ فکر کنید).

این واقعا یک پدیده شگفت انگیز است. ما به این واقعیت عادت کرده ایم که هر جسم هندسی محدود به اندازه در یک صفحه (مربع، مثلث، دایره) دارای طول ثابت و محدودی از مرزهای خود است. اما اینجا همه چیز متفاوت است. طول خط ساحلی در حد نامحدود است.

چوب

بیایید یک درخت را تصور کنیم. درخت معمولی نوعی آهک شل. بیایید به تنه او نگاه کنیم. اطراف ریشه این استوانه کمی تغییر شکل یافته است. آن ها فرم بسیار ساده ای دارد.

بیایید چشمانمان را بلند کنیم. شاخه ها از تنه شروع به بیرون آمدن می کنند. هر شاخه، در ابتدای خود، از نظر هندسی ساختاری مشابه تنه - استوانه ای دارد. اما ساختار کل درخت تغییر کرده است. بسیار پیچیده تر شده است.

حالا بیایید به این شاخه ها نگاه کنیم. شاخه های کوچکتر از آنها گسترش می یابد. در پایه آنها همان شکل استوانه ای کمی تغییر شکل یافته است. مثل همان تنه. و سپس شاخه های بسیار کوچکتر از آنها جدا می شوند. و غیره.

درخت خود را در هر سطحی بازتولید می کند. در همان زمان، ساختار آن به طور مداوم پیچیده تر می شود، اما شبیه به خود باقی می ماند. فرکتال نیست؟

جریان

اینجا سیستم گردش خون انسان است. ساختار فراکتالی نیز دارد. شریان ها و سیاهرگ ها وجود دارد. به گفته یکی از آنها، خون به قلب (وریدها) می آید، به گفته برخی دیگر از آن (رگها) می آید. و سپس، سیستم گردش خون شروع به شبیه شدن به همان درختی می کند که در بالا در مورد آن صحبت کردیم. رگ ها با حفظ ساختار خود، نازک تر و منشعب تر می شوند. آنها به دورافتاده ترین نواحی بدن ما نفوذ می کنند، اکسیژن و سایر اجزای حیاتی را به هر سلولی می آورند. این یک ساختار فراکتالی معمولی است که خود را در مقیاس های کوچکتر و کوچکتر بازتولید می کند.

زهکشی رودخانه

از دور، رودخانه ولگا برای مدت طولانی جاری است. در یک نقشه جغرافیایی، این یک خط پیچ در پیچ آبی است. خب، انشعابات عمده مشخص شده اند. باشه، کاما اگر بزرگنمایی کنیم چه؟ معلوم می شود که این شاخه ها بسیار بزرگتر هستند. نه تنها در نزدیکی خود ولگا، بلکه در نزدیکی اوکا و کاما. و آنها شاخه های خود را دارند، فقط شاخه های کوچکتر. و آن ها مال خود را دارند. ساختاری ظاهر می شود که به طرز شگفت انگیزی شبیه به سیستم گردش خون انسان است. و باز این سوال پیش می آید. وسعت کل این سیستم آبی چقدر است؟ اگر طول کانال اصلی را اندازه بگیرید، همه چیز مشخص است. شما می توانید آن را در هر کتاب درسی بخوانید. اگر همه چیز سنجیده شود چه؟ باز هم در حد، بی نهایت به دست می آید.

کیهان ما

البته، در مقیاس میلیاردها سال نوری، آن، جهان، به طور یکنواخت چیده شده است. اما بیایید نگاهی دقیق تر به آن بیندازیم. و سپس خواهیم دید که هیچ تجانسی در آن وجود ندارد. جایی کهکشان ها (خوشه های ستاره ای) هستند، جایی پوچی هستند. چرا؟ چرا توزیع ماده از قوانین سلسله مراتبی نامنظم پیروی می کند؟ و آنچه در داخل کهکشان ها اتفاق می افتد (کوچک نمایی دیگر). در جایی ستاره ها بیشتر است، جایی کمتر. در جایی منظومه های سیاره ای وجود دارد، مانند منظومه شمسی ما، اما در جایی نه.

آیا ذات فراکتال جهان در اینجا خود را نشان نمی دهد؟ البته اکنون شکاف بزرگی بین نظریه نسبیت عام که پیدایش جهان ما و ساختار آن را توضیح می دهد و ریاضیات فراکتال وجود دارد. اما چه کسی می داند؟ شاید همه اینها روزی به یک "مخرج مشترک" کشیده شود و ما با چشمانی کاملاً متفاوت به فضای اطراف خود نگاه کنیم.

به امور عملی

از این دست مثال‌های زیادی می‌توان ذکر کرد. اما بیایید به چیزهای ساده تر برگردیم. به عنوان مثال، اقتصاد را در نظر بگیرید. به نظر می رسد، و در اینجا فراکتال ها. معلوم است، بسیار زیاد. نمونه آن بازارهای سهام است.

عمل نشان می دهد که فرآیندهای اقتصادی اغلب آشفته و غیرقابل پیش بینی هستند. مدل‌های ریاضی که تا به امروز وجود داشتند و سعی در توصیف این فرآیندها داشتند، یک عامل بسیار مهم را در نظر نگرفتند - توانایی بازار برای خودسازماندهی.

اینجاست که تئوری فراکتال‌ها به کمک می‌آیند، که دارای ویژگی‌های «خود سازمان‌دهی» هستند و خود را در سطح مقیاس‌های مختلف بازتولید می‌کنند. البته فراکتال یک شی کاملاً ریاضی است. و در طبیعت و در اقتصاد وجود ندارند. اما مفهومی از پدیده های فراکتال وجود دارد. آنها فقط از نظر آماری فراکتال هستند. با این وجود، همزیستی ریاضیات و آمار فراکتال، دستیابی به پیش‌بینی‌های دقیق و کافی را ممکن می‌سازد. این رویکرد به ویژه در تحلیل بازارهای سهام موثر است. و اینها "مفاهیم" ریاضیدانان نیستند. داده های کارشناسان نشان می دهد که بسیاری از شرکت کنندگان در بازارهای سهام پول زیادی را صرف پرداخت پول به متخصصان در زمینه ریاضیات فراکتال می کنند.

تئوری فراکتال ها چه می دهد؟ این یک وابستگی کلی و جهانی قیمت گذاری به آنچه در گذشته اتفاق افتاده است را فرض می کند. البته، به صورت محلی فرآیند قیمت گذاری تصادفی است. اما جهش‌ها و کاهش‌های تصادفی قیمت‌ها که می‌تواند به صورت لحظه‌ای اتفاق بیفتد، ویژگی جمع شدن خوشه‌ای را دارد. که در مقیاس وسیعی از زمان تکثیر می شوند. بنابراین، با تجزیه و تحلیل آنچه زمانی بوده است، می‌توان پیش‌بینی کرد که این یا آن روند توسعه بازار (رشد یا سقوط) چقدر ادامه خواهد داشت.

بنابراین، در مقیاس جهانی، این یا آن بازار خود را «بازتولید» می کند. با فرض نوسانات تصادفی ناشی از انبوهی از عوامل خارجی در هر لحظه خاص از زمان. اما روندهای جهانی همچنان ادامه دارد.

نتیجه

چرا جهان بر اساس اصل فراکتال چیده شده است؟ شاید پاسخ این باشد که فراکتال ها به عنوان یک مدل ریاضی دارای خاصیت خود سازمان دهی و خود تشابهی هستند. علاوه بر این، هر یک از اشکال آنها (به تصاویر در ابتدای مقاله مراجعه کنید) به طور دلخواه پیچیده است، اما زندگی خود را می کند و اشکال مشابه خود را ایجاد می کند. آیا دنیای ما اینگونه نیست؟

و اینجا جامعه است. یه فکری به ذهنم میرسه در ابتدا کاملاً انتزاعی است. و سپس "در توده ها نفوذ می کند." بله، به نوعی تغییر می کند. اما در کل حفظ می شود. و در سطح اکثر مردم به یک هدف از مسیر زندگی تبدیل می شود. اینجا همان اتحاد جماهیر شوروی است. کنگره بعدی CPSU تصمیمات مهم بعدی را اتخاذ کرد و همه چیز به سراشیبی رفت. در مقیاس کوچکتر. کمیته های شهر، کمیته های حزب. و به همین ترتیب برای هر فرد. ساختار تکراری

البته نظریه فراکتال به ما اجازه نمی دهد که رویدادهای آینده را پیش بینی کنیم. و این به سختی امکان پذیر است. اما بسیاری از چیزهایی که ما را احاطه کرده اند، و آنچه در زندگی روزمره ما اتفاق می افتد، به ما این امکان را می دهد که با چشمان کاملا متفاوت نگاه کنیم. هوشیار، آگاه.

در سریال ارمیا به «نظریه فراکتال‌ها» اشاره کردم و به این نظریه نسبتاً ظریف که متافیزیک‌دانان مدرن برای اثبات وجود خدا از آن استفاده می‌کنند، علاقه‌مند شدم. نظریه فراکتال ها سن بسیار کمی دارد. در اواخر دهه شصت در تقاطع ریاضیات، علوم کامپیوتر، زبان شناسی و زیست شناسی ظاهر شد. در آن زمان، رایانه ها به طور فزاینده ای در زندگی مردم نفوذ می کردند، دانشمندان شروع به استفاده از آنها در تحقیقات خود کردند و تعداد کاربران رایانه رو به افزایش بود. برای استفاده انبوه از رایانه، تسهیل فرآیند ارتباط بین یک فرد و یک ماشین ضروری شد. اگر در همان ابتدای عصر کامپیوتر، چند برنامه نویس کاربر از خود گذشتگی دستوراتی را در کدهای ماشین وارد می کردند و نتایج را به صورت نوارهای کاغذی بی انتها دریافت می کردند، در آن صورت با حالت انبوه و بارگذاری شده استفاده از رایانه، نیاز به اختراع برنامه نویسی شد. زبانی که برای ماشین قابل درک باشد و در عین حال یادگیری و استفاده از آن آسان باشد. یعنی کاربر باید فقط یک دستور را وارد کند و کامپیوتر آن را به دستورات ساده‌تر تجزیه می‌کند و قبلاً آنها را اجرا می‌کند. برای تسهیل نوشتن مترجمان، نظریه فراکتال ها در تقاطع علوم کامپیوتر و زبان شناسی به وجود آمد که به فرد اجازه می دهد رابطه بین زبان های الگوریتمی را دقیقاً مشخص کند. و ریاضیدان و زیست‌شناس دانمارکی A. Lindenmeer در سال 1968 یکی از این دستور زبان‌ها را ارائه کرد که آن را سیستم L نامید، که به اعتقاد او، رشد موجودات زنده، به‌ویژه تشکیل بوته‌ها و شاخه‌ها را در گیاهان مدل‌سازی می‌کند.

فراکتال (lat. fractus - له شده، شکسته، شکسته) شکل هندسی پیچیده ای است که خاصیت شباهت خود را دارد، یعنی از چندین قسمت تشکیل شده است که هر یک از آنها شبیه به کل شکل در کل است. در مفهوم وسیع‌تر، فراکتال‌ها به مجموعه‌ای از نقاط در فضای اقلیدسی درک می‌شوند که دارای یک بعد متریک کسری (به معنای مینکوفسکی یا هاوسدورف)، یا یک بعد متریک به شدت بزرگ‌تر از بعد توپولوژیکی هستند. شکل فراکتالی از زیرگونه گل کلم (Brassica cauliflora). فراکتال یک شکل هندسی بی‌نهایت خود مشابه است که هر قطعه آن با کوچک‌نمایی تکرار می‌شود.

بنویت ماندلبرو را به حق می توان پدر فراکتال ها دانست. مندلبروت مخترع اصطلاح "فرکتال" است. مندلبروت
نوشته است: "من کلمه "فرکتال" را ابداع کردم، با استفاده از صفت لاتین "fractus"، به معنای نامنظم، بازگشتی،
تکه تکه اولین تعریف از فراکتال ها نیز توسط B. Mandelbrot ارائه شد. شکل فقط مدل کلاسیک فراکتال را نشان می دهد - مجموعه ماندلبروت.

به طور ابتدایی، نظریه فراکتال توانایی ساختارهای آشفته برای خود سازماندهی در یک سیستم است. جذب کننده مجموعه ای از حالات (به طور دقیق تر، نقاط فضای فاز) یک سیستم دینامیکی است که در طول زمان به سمت آن گرایش پیدا می کند. ساده‌ترین انواع جذب‌کننده یک نقطه ثابت جذاب (مثلاً در مسئله آونگ با اصطکاک) و یک مسیر تناوبی (مثلاً نوسانات خود برانگیخته در یک حلقه بازخورد مثبت) هستند، اما موارد بسیار پیچیده‌تری نیز وجود دارد. مثال ها. برخی از سیستم‌های دینامیکی همیشه آشفته هستند، اما در بیشتر موارد رفتار آشفته تنها زمانی مشاهده می‌شود که پارامترهای سیستم دینامیکی متعلق به یک زیرفضای خاص باشد.

جالب ترین موارد رفتار آشفته است، زمانی که مجموعه بزرگی از شرایط اولیه منجر به تغییر در مدارهای جذب کننده می شود. یک راه آسان برای نشان دادن یک جاذبه آشفته این است که از نقطه ای در منطقه جذب جاذبه شروع کنید و سپس مدار بعدی آن را ترسیم کنید. با توجه به وضعیت گذر توپولوژیکی، این شبیه به نگاشت تصویر یک جاذبه متناهی کامل است. به عنوان مثال، در سیستمی که یک آونگ را توصیف می کند، فضا دو بعدی است و از داده های موقعیت و سرعت تشکیل شده است. می توانید موقعیت های آونگ و سرعت آن را ترسیم کنید. موقعیت آونگ در حالت سکون یک نقطه خواهد بود و یک دوره نوسان مانند یک منحنی بسته ساده روی نمودار به نظر می رسد. به نموداری که به شکل منحنی بسته باشد، مدار می گویند. آونگ دارای تعداد بی نهایت چنین مدارهایی است که در ظاهر مجموعه ای از بیضی های تودرتو را تشکیل می دهند.

بیشتر انواع حرکت توسط جاذبه های ساده که چرخه های محدود هستند توصیف می شوند. حرکت هرج و مرج توسط جاذبه های عجیب توصیف می شود که بسیار پیچیده هستند و پارامترهای زیادی دارند. به عنوان مثال، یک سیستم هواشناسی سه بعدی ساده توسط جاذبه معروف لورنز، یکی از معروف ترین نمودارهای سیستم های آشوب، توصیف شده است، نه تنها به این دلیل که یکی از اولین ها بود، بلکه همچنین به این دلیل که یکی از پیچیده ترین ها است. یکی دیگر از این جاذبه‌ها، نقشه روسلر است که دارای یک دوره دوگانه، مشابه نقشه لجستیکی است. جاذبه‌های عجیب و غریب در هر دو سیستم ظاهر می‌شوند، هم در سیستم‌های دینامیکی پیوسته (مانند سیستم لورنتس) و هم در برخی از موارد گسسته (مانند نقشه‌های هنون). برخی از سیستم‌های دینامیکی گسسته، سیستم‌های جولیا نامیده می‌شوند. هم جاذبه‌های عجیب و هم سیستم‌های جولیا یک ساختار بازگشتی و فراکتالی دارند. قضیه Poincare-Bendixson ثابت می کند که یک جاذبه عجیب تنها در صورتی می تواند در یک سیستم دینامیکی پیوسته بوجود آید که دارای سه بعد یا بیشتر باشد. با این حال، این محدودیت برای سیستم های دینامیکی گسسته کار نمی کند. سیستم های گسسته دو و حتی یک بعدی می توانند جاذبه های عجیبی داشته باشند. حرکت سه یا چند جسمی که تحت شرایط اولیه خاصی جاذبه گرانشی را تجربه می‌کنند، ممکن است به یک حرکت آشفته تبدیل شود.

بنابراین، خاصیت سیستم‌های آشفته خودسازماندهی با کمک جاذبه‌های نامنظم، به عقیده برخی از ریاضیدانان، دلیلی غیرقابل اثبات بر وجود خدا و انرژی او در خلقت همه چیز است. رمز و راز!