یک راه حل برای قضیه مزرعه وجود دارد. آیا آخرین قضیه فرما ثابت شده است؟ چگونه حدس تانیاما و قضیه فرما به هم مرتبط هستند

پیر دو فرما با خواندن «حساب» دیوفانتوس اسکندریه و تأمل در مسائل آن، عادت داشت نتایج تأملات خود را به صورت سخنانی کوتاه در حاشیه کتاب بنویسد. فرما در برابر هشتمین مسئله دیوفانتوس در حاشیه کتاب نوشته است: برعکس، غیر ممکن است که نه یک مکعب را به دو مکعب، نه یک دو مربع را به دو دو مربع، و نه به طور کلی، هیچ درجه ای بزرگتر از یک مربع را به دو توان با توان یکسان تجزیه کنیم. من یک مدرک واقعا شگفت انگیز برای این موضوع کشف کرده ام، اما این حاشیه ها برای آن بسیار باریک است.» / E.T.Bell "خالقان ریاضیات". م.، 1358، ص69/. من یک اثبات ابتدایی قضیه مزرعه را مورد توجه شما قرار می دهم که برای هر دانش آموز دبیرستانی که علاقه مند به ریاضیات است قابل درک است.

اجازه دهید تفسیر فرما در مورد مسئله دیوفانتین را با فرمول مدرن قضیه بزرگ فرما که به شکل یک معادله است مقایسه کنیم.
« معادله

x n + y n = z n(که در آن n یک عدد صحیح بزرگتر از دو است)

هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد»

نظر در ارتباط منطقی با تکلیف است، مشابه ارتباط منطقی محمول با موضوع. آنچه را مسئله دیوفانتوس تأیید می کند، برعکس، تفسیر فرما نیز تأیید می کند.

نظر فرما را می توان اینگونه تفسیر کرد: اگر یک معادله درجه دوم با سه مجهول دارای بی نهایت جواب در مجموعه تمام سه گانه اعداد فیثاغورثی باشد، برعکس، معادله ای با سه مجهول در درجه ای بزرگتر از مربع است.

حتی اشاره ای به ارتباط آن با مسئله دیوفانتین در معادله وجود ندارد. ادعای او مستلزم اثبات است، اما شرطی ندارد که نتیجه آن این باشد که در اعداد صحیح مثبت راه حلی نداشته باشد.

انواع اثبات معادله که برای من شناخته شده است به الگوریتم زیر کاهش می یابد.

1. معادله قضیه فرما به عنوان نتیجه گیری در نظر گرفته شده است که صحت آن با کمک برهان تأیید می شود.
2. همین معادله نامیده می شود اولیهمعادله ای که اثبات آن باید از آن نشات بگیرد.

نتیجه یک توتولوژی است: اگر معادله ای در اعداد صحیح مثبت راه حلی نداشته باشد، در اعداد صحیح مثبت جوابی ندارد.«برهان توتولوژی بدیهی است اشتباه و بی معناست. اما با تناقض ثابت می شود.

• فرضی برعکس آن چیزی است که معادله باید اثبات کند. نباید با معادله اصلی مغایرت داشته باشد، اما دارد. اثبات چیزی که بدون دلیل پذیرفته می شود و قبول بدون دلیل آنچه لازمه اثبات است، معنا ندارد.
• بر اساس فرض پذیرفته شده، عملیات و اقدامات ریاضی کاملاً صحیحی برای اثبات مغایرت و نادرست بودن معادله اصلی انجام می شود.

بنابراین اکنون 370 سال است که اثبات معادله آخرین قضیه فرما رویای محال متخصصان و دوستداران ریاضیات باقی مانده است.

من معادله را نتیجه قضیه و هشتمین مسئله دیوفانتوس و معادله آن را شرط قضیه در نظر گرفتم.

«اگر معادله x 2 + y 2 = z 2 (1) دارای مجموعه ای بی نهایت از راه حل ها در مجموعه تمام سه گانه اعداد فیثاغورثی است، سپس، برعکس، معادله x n + y n = z n ، جایی که n > 2 (2) هیچ راه حلی در مجموعه اعداد صحیح مثبت ندارد."

اثبات

ولی)همه می دانند که معادله (1) دارای بی نهایت جواب در مجموعه تمام سه گانه اعداد فیثاغورثی است. اجازه دهید ثابت کنیم که هیچ سه گانه ای از اعداد فیثاغورثی، که حل معادله (1) است، جواب معادله (2) نیست.

بر اساس قانون برگشت پذیری برابری، اضلاع معادله (1) با هم عوض می شوند. اعداد فیثاغورثی (z، x، y) را می توان به عنوان طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه و مربع ها تفسیر کرد (x2، y2، z2) را می توان به عنوان مساحت مربع های ساخته شده بر روی هیپوتونوس و پاهای آن تعبیر کرد.

مربع های معادله (1) را در ارتفاع دلخواه ضرب می کنیم ساعت :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

معادله (3) را می توان به عنوان برابری حجم یک متوازی الاضلاع به مجموع حجم دو متوازی الاضلاع تفسیر کرد.

ارتفاع سه متوازی الاضلاع را بگذارید h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

حجم مکعب به دو حجم دو متوازی الاضلاع تجزیه می شود. حجم مکعب را بدون تغییر می گذاریم و ارتفاع اولین متوازی الاضلاع را کاهش می دهیم ایکس و ارتفاع متوازی الاضلاع دوم کاهش می یابد y . حجم یک مکعب بزرگتر از مجموع حجم دو مکعب است:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

در مجموعه سه گانه اعداد فیثاغورثی ( x، y، z ) در n=3 هیچ راه حلی برای معادله (2) وجود ندارد. در نتیجه، در مجموعه تمام سه گانه اعداد فیثاغورثی، تجزیه یک مکعب به دو مکعب غیرممکن است.

در رابطه (3) ارتفاع سه متوازی الاضلاع را در نظر بگیرید h = z2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

حجم یک متوازی الاضلاع به مجموع حجم های دو متوازی الاضلاع تجزیه می شود.
سمت چپ معادله (6) را بدون تغییر می گذاریم. در سمت راست آن ارتفاع z2 کاهش به ایکس در ترم اول و تا در 2 در ترم دوم

معادله (6) به نابرابری تبدیل شد:

حجم یک متوازی الاضلاع به دو حجم دو متوازی الاضلاع تجزیه می شود.

سمت چپ معادله (8) را بدون تغییر می گذاریم.
در سمت راست ارتفاع zn-2 کاهش به xn-2 در ترم اول و کاهش به y n-2 در ترم دوم معادله (8) به نابرابری تبدیل می شود:

بر روی مجموعه سه گانه اعداد فیثاغورثی، نمی توان یک راه حل واحد برای معادله (2) وجود داشت.

در نتیجه، در مجموعه تمام سه گانه اعداد فیثاغورثی برای همه n > 2 معادله (2) هیچ راه حلی ندارد.

"اثبات پس از معجزه" به دست آمد، اما فقط برای سه قلوها اعداد فیثاغورثی. این هست فقدان شواهدو علت امتناع پی فرما از وی.

ب)اجازه دهید ثابت کنیم که معادله (2) هیچ راه حلی برای مجموعه سه گانه اعداد غیر فیثاغورثی ندارد، که خانواده سه گانه اعداد فیثاغورثی است که به طور دلخواه گرفته شده است. z=13، x=12، y=5 و خانواده یک سه گانه دلخواه از اعداد صحیح مثبت z=21، x=19، y=16

هر دو سه قلو از اعضای خانواده خود هستند:

تعداد اعضای خانواده (10) و (11) برابر است با نصف حاصلضرب 13 در 12 و 21 در 20 یعنی 78 و 210.

هر یک از اعضای خانواده (10) شامل z = 13 و متغیرها ایکس و در 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

هر یک از اعضای خانواده (11) شامل z = 21 و متغیرها ایکس و در ، که مقادیر صحیح را می گیرند 21 > x > 0 , 21 > y > 0 . متغیرها به ترتیب کاهش می یابند 1 .

سه گانه اعداد دنباله (10) و (11) را می توان به عنوان دنباله ای از نابرابری های درجه سوم نشان داد:

و به صورت نابرابری های درجه چهارم:

صحت هر نابرابری با بالا بردن اعداد به توان های سوم و چهارم تأیید می شود.

مکعب یک عدد بزرگتر را نمی توان به دو مکعب با اعداد کوچکتر تجزیه کرد. یا کوچکتر یا بزرگتر از مجموع مکعبهای دو عدد کوچکتر است.

دو مربع یک عدد بزرگتر را نمی توان به دو دو مربع اعداد کوچکتر تجزیه کرد. یا کوچکتر یا بزرگتر از مجموع دو مربع اعداد کوچکتر است.

با افزایش توان، همه نابرابری ها، به جز نابرابری سمت چپ، به یک معنا هستند:

نابرابری ها، همه آنها به یک معنی هستند: درجه عدد بزرگتر از مجموع درجات دو عدد کوچکتر با توان یکسان بیشتر است:

سمت چپ ترین جمله دنباله های (12) (13) ضعیف ترین نابرابری است. درستی آن درستی همه نابرابری های بعدی دنباله (12) را تعیین می کند. n > 8 و دنباله (13) برای n > 14 .

نمی تواند برابری بین آنها باشد. سه گانه دلخواه از اعداد صحیح مثبت (21،19،16) راه حلی برای معادله (2) آخرین قضیه فرما نیست. اگر یک سه گانه دلخواه از اعداد صحیح مثبت راه حلی برای معادله نباشد، آنگاه معادله هیچ راه حلی در مجموعه اعداد صحیح مثبت ندارد، که باید ثابت شود.

از جانب)تفسیر فرما در مورد مسئله دیوفانتوس بیان می کند که تجزیه آن غیرممکن است. به طور کلی، هیچ توانی بزرگتر از مربع، دو توان با توان یکسان نیست».

بوسه هاتوانی بزرگتر از مربع را نمی توان واقعاً به دو توان با توان یکسان تجزیه کرد. من نمی بوسمتوانی بزرگتر از مربع را می توان به دو توان با توان یکسان تجزیه کرد.

هر سه اعداد صحیح مثبت به طور تصادفی انتخاب شده است (z، x، y) ممکن است متعلق به خانواده ای باشد که هر یک از اعضای آن از یک عدد ثابت تشکیل شده است z و دو عدد کمتر از z . هر یک از اعضای خانواده را می توان به شکل یک نابرابری نشان داد و تمام نابرابری های حاصل را می توان به عنوان دنباله ای از نابرابری ها نشان داد:

دنباله نابرابری ها (14) با نامساوی هایی که سمت چپ آن ها کمتر از سمت راست است شروع می شود و با نامساوی هایی که سمت راست آن ها کمتر از سمت چپ است به پایان می رسد. با افزایش ضریب n > 2 تعداد نابرابری های سمت راست دنباله (14) افزایش می یابد. با یک توان n=k تمام نامساوی های سمت چپ دنباله معنی خود را تغییر می دهند و معنای نامساوی سمت راست نامساوی های دنباله را به خود می گیرند (14). در نتیجه افزایش توان همه نابرابری ها، سمت چپ بزرگتر از سمت راست است:

با افزایش بیشتر در توان n>k هیچ یک از نابرابری ها معنای خود را تغییر نمی دهد و به برابری تبدیل نمی شود. بر این اساس، می توان استدلال کرد که هر سه اعداد صحیح مثبت به طور دلخواه گرفته شده است (z، x، y) در n > 2 , z > x , z > y

در یک سه گانه دلخواه از اعداد صحیح مثبت z می تواند یک عدد طبیعی دلخواه بزرگ باشد. برای همه اعداد طبیعی که بزرگتر از z ، آخرین قضیه فرما ثابت شده است.

د)مهم نیست عدد چقدر بزرگ است z ، در سری طبیعی اعداد قبل از آن یک مجموعه بزرگ اما متناهی از اعداد صحیح وجود دارد و بعد از آن یک مجموعه نامتناهی از اعداد صحیح وجود دارد.

اجازه دهید ثابت کنیم که کل مجموعه نامتناهی اعداد طبیعی بزرگتر از z ، سه عدد از اعداد را تشکیل دهید که جواب معادله آخرین قضیه فرما نیستند، برای مثال، یک سه گانه دلخواه از اعداد صحیح مثبت. (z+1،x،y) ، که در آن z + 1 > x و z + 1 > y برای تمام مقادیر توان n > 2 راه حلی برای معادله آخرین قضیه فرما نیست.

سه گانه اعداد صحیح مثبت به طور تصادفی انتخاب شده است (z + 1، x، y) ممکن است به خانواده ای از اعداد سه گانه تعلق داشته باشد که هر عضو از یک عدد ثابت تشکیل شده است z + 1 و دو عدد ایکس و در ، با گرفتن مقادیر مختلف، کوچکتر z + 1 . اعضای خانواده را می توان به عنوان نابرابری نشان داد که سمت چپ ثابت آنها کمتر یا بزرگتر از سمت راست است. نابرابری ها را می توان به ترتیب به صورت دنباله ای از نابرابری ها مرتب کرد:

با افزایش بیشتر در توان n>k تا بی نهایت، هیچ یک از نابرابری های دنباله (17) معنای خود را تغییر نمی دهد و به تساوی تبدیل نمی شود. در دنباله (16)، نابرابری از یک سه گانه اعداد صحیح مثبت به طور دلخواه تشکیل شده است. (z + 1، x، y) ، می تواند در سمت راست خود در فرم باشد (z + 1) n > x n + y n یا در سمت چپ آن در فرم باشد (z+1)n< x n + y n .

در هر صورت سه گانه اعداد صحیح مثبت (z + 1، x، y) در n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y در دنباله (16) یک نابرابری است و نمی تواند یک تساوی باشد، یعنی نمی تواند راه حلی برای معادله آخرین قضیه فرما باشد.

درک منشأ دنباله نابرابری های توان (16) آسان و ساده است، که در آن آخرین نابرابری سمت چپ و اولین نابرابری سمت راست نابرابری هایی با معنای مخالف هستند. برعکس، درک اینکه چگونه دنباله ای از نابرابری ها (17) از دنباله ای از نابرابری ها (16) که در آن همه نابرابری ها معنی یکسانی دارند، برای دانش آموزان، دانش آموزان دبیرستانی و دبیرستانی آسان و دشوار نیست.

در دنباله (16)، افزایش درجه صحیح نابرابری ها به میزان 1، آخرین نامساوی سمت چپ را به اولین نامساوی معنای مخالف در سمت راست تبدیل می کند. بنابراین، تعداد نابرابری ها در سمت نهم دنباله کاهش می یابد، در حالی که تعداد نابرابری های سمت راست افزایش می یابد. بین آخرین و اولین نابرابری قدرت به معنای مخالف، یک برابری قدرت بدون شکست وجود دارد. درجه آن نمی تواند یک عدد صحیح باشد، زیرا فقط اعداد غیر صحیح بین دو عدد طبیعی متوالی وجود دارد. برابری توان یک درجه غیر صحیح را با توجه به شرط قضیه نمی توان راه حل معادله (1) در نظر گرفت.

اگر در دنباله (16) به افزایش درجه 1 واحد ادامه دهیم، آخرین نابرابری سمت چپ آن به اولین نابرابری به معنای مخالف سمت راست تبدیل می شود. در نتیجه در سمت چپ نابرابری وجود نخواهد داشت و فقط در سمت راست نابرابری وجود خواهد داشت که دنباله ای از افزایش نابرابری های توان خواهد بود (17). افزایش بیشتر در درجه صحیح آنها به اندازه 1 واحد فقط نابرابری های توان آن را تقویت می کند و امکان ظهور برابری در یک درجه صحیح را به طور قطعی منتفی می کند.

بنابراین، به طور کلی، هیچ عدد صحیحی از یک عدد طبیعی (z+1) از دنباله نابرابری های توان (17) را نمی توان به دو توان صحیح با توان یکسان تجزیه کرد. بنابراین، معادله (1) هیچ جوابی روی مجموعه نامتناهی از اعداد طبیعی ندارد، که باید ثابت شود.

بنابراین، آخرین قضیه فرما به طور کلی ثابت می شود:

• در بخش A) برای همه سه قلوها (z، x، y) اعداد فیثاغورثی (کشف فرمت یک مدرک واقعاً معجزه آسا است)
• در بخش ج) برای همه اعضای خانواده هر سه گانه (z، x، y) اعداد فیثاغورثی،
• در بخش ج) برای همه سه گانه اعداد (z، x، y) ، تعداد زیادی نیست z
• در بخش D) برای تمام سه گانه اعداد (z، x، y) سری طبیعی اعداد

کدام قضایا را می توان و کدام را نمی توان با تناقض اثبات کرد

فرهنگ توضیحی اصطلاحات ریاضی اثبات را با تضاد یک قضیه مخالف قضیه معکوس تعریف می کند.

«اثبات با تناقض روشی برای اثبات یک قضیه (جمله) است که شامل اثبات خود قضیه نیست، بلکه قضیه معادل آن (معادل)، معکوس (معکوس به مخالف) آن است. هرگاه اثبات قضیه مستقیم دشوار باشد، از اثبات با تناقض استفاده می‌شود، اما معکوس آن آسان‌تر است. هنگام اثبات با تناقض، نتیجه قضیه با نفی آن جایگزین می شود و با استدلال به نفی شرط می رسد، یعنی. به یک تناقض، به مخالف (برعکس آنچه داده شده است؛ این کاهش به پوچی قضیه را اثبات می کند.

اثبات با تناقض اغلب در ریاضیات استفاده می شود. اثبات تناقض بر اساس قانون وسط منتفی است که عبارت است از این که از دو گزاره (گزاره) الف و الف (نفی الف) یکی درست و دیگری نادرست است./ فرهنگ توضیحی اصطلاحات ریاضی: راهنمای معلمان / ا. V. Manturov [و دیگران]; ویرایش V. A. Ditkina.- M.: Enlightenment, 1965.- 539 p.: ill.-C.112/.

بهتر نیست آشکارا اعلام کنیم که روش اثبات با تناقض یک روش ریاضی نیست، اگرچه در ریاضیات استفاده می شود، اما روشی منطقی و متعلق به منطق است. آیا صحیح است که بگوییم اثبات با تناقض «هرگاه اثبات یک قضیه مستقیم دشوار باشد» استفاده می‌شود، در حالی که در واقع اگر و تنها در صورتی استفاده می‌شود که جایگزینی برای آن وجود نداشته باشد.

ویژگی رابطه بین قضایای مستقیم و معکوس نیز شایسته توجه ویژه است. «قضیه معکوس برای یک قضیه مفروض (یا به یک قضیه معین) قضیه ای است که در آن شرط نتیجه است و نتیجه شرط قضیه مفروض است. این قضیه در رابطه با قضیه معکوس، قضیه مستقیم (ابتدایی) نامیده می شود. در عین حال، قضیه معکوس به قضیه معکوس، قضیه داده شده خواهد بود; بنابراین، قضایای مستقیم و معکوس متقابل معکوس نامیده می شوند. اگر قضیه مستقیم (داده شده) صادق باشد، آنگاه قضیه معکوس همیشه صادق نیست. به عنوان مثال، اگر یک چهار ضلعی لوزی باشد، قطرهای آن متقابلاً عمود هستند (قضیه مستقیم). اگر مورب های یک چهارضلعی متقابلاً عمود باشند، چهارضلعی یک لوزی است - این درست نیست، یعنی قضیه معکوس درست نیست./ فرهنگ توضیحی اصطلاحات ریاضی: راهنمای معلمان / ا. V. Manturov [و دیگران]; ویرایش V. A. Ditkina.- M.: Enlightenment, 1965.- 539 p.: ill.-C.261 /.

این توصیف رابطه بین قضایای مستقیم و معکوس این واقعیت را در نظر نمی گیرد که شرط قضیه مستقیم، بدون اثبات، داده شده است، به طوری که صحت آن تضمین نمی شود. شرط قضیه معکوس به صورت داده شده در نظر گرفته نمی شود، زیرا نتیجه قضیه مستقیم ثابت شده است. صحت آن با اثبات قضیه مستقیم تأیید می شود. این تفاوت منطقی ذاتی بین شرایط قضایای مستقیم و معکوس در این سؤال که کدام قضایا را می توان و کدام را نمی توان با روش منطقی از خلاف آن اثبات کرد، تعیین کننده است.

فرض کنیم یک قضیه مستقیم در ذهن وجود دارد که با روش معمول ریاضی قابل اثبات است، اما مشکل است. ما آن را به صورت کلی به صورت کوتاه به صورت زیر فرموله می کنیم: از جانب ولیباید E . سمبل ولی ارزش شرط داده شده قضیه را دارد که بدون اثبات پذیرفته شده است. سمبل E نتیجه قضیه است که باید اثبات شود.

ما قضیه مستقیم را با تناقض اثبات خواهیم کرد، منطقیروش. روش منطقی قضیه ای را ثابت می کند که دارد ریاضی نیستشرایط، و منطقیشرایط. شرط. می توان آن را در صورتی به دست آورد که شرط ریاضی قضیه باشد از جانب ولیباید E ، مکمل با شرط مخالف از جانب ولیانجامش نده E .

در نتیجه، یک شرط متناقض منطقی از قضیه جدید به دست آمد که شامل دو بخش است: از جانب ولیباید E و از جانب ولیانجامش نده E . شرط حاصل از قضیه جدید با قانون منطقی وسط حذف شده مطابقت دارد و مطابق با اثبات قضیه از طریق تضاد است.

طبق قانون یک قسمت از شرط مغایر باطل و قسمت دیگر صادق و سوم منتفی است. اثبات با تناقض وظیفه و هدف خاص خود را دارد که دقیقاً مشخص کند کدام قسمت از دو جزء شرط قضیه نادرست است. به محض اینکه قسمت باطل شرط مشخص شد، ثابت می شود که جزء دیگر جزء صادق است و سوم منتفی است.

طبق فرهنگ لغت توضیحی اصطلاحات ریاضی، «برهان استدلالی است که طی آن صدق یا نادرستی هر گزاره (حکم، گزاره، قضیه) ثابت می‌شود».. اثبات مخالفبحثی وجود دارد که در جریان آن ایجاد می شود دروغ(پوچی) نتیجه ای که از نادرستشرایط قضیه در حال اثبات

داده شده: از جانب ولیباید Eو از ولیانجامش نده E .

ثابت كردن: از جانب ولیباید E .

اثبات: شرط منطقی قضیه حاوی تناقضی است که حل آن را می طلبد. تناقض شرط باید حل خود را در اثبات و نتیجه آن پیدا کند. اگر استدلال بی عیب و خطا باشد، نتیجه نادرست است. دلیل نتیجه گیری نادرست با استدلال منطقی صحیح فقط می تواند یک شرط متناقض باشد: از جانب ولیباید E و از جانب ولیانجامش نده E .

در نادرست بودن یک جزء شرط و صحت بخشی دیگر در این مورد، هیچ شبهه ای وجود ندارد. هر دو جزء شرط منشأ یکسانی دارند، به صورت داده شده، مفروض، به یک اندازه ممکن، به یک اندازه قابل پذیرش و غیره پذیرفته می شوند. در جریان استدلال منطقی، ویژگی منطقی واحدی یافت نشد که بخشی از شرط را از شرط متمایز کند. دیگر. بنابراین، به همان میزان، از جانب ولیباید E و شاید از جانب ولیانجامش نده E . بیانیه از جانب ولیباید E شاید نادرست، سپس بیانیه از جانب ولیانجامش نده E درست خواهد بود. بیانیه از جانب ولیانجامش نده E ممکن است نادرست باشد، پس این بیانیه از جانب ولیباید E درست خواهد بود.

بنابراین نمی توان قضیه مستقیم را با روش تضاد اثبات کرد.

حال همان قضیه مستقیم را با روش معمول ریاضی ثابت می کنیم.

داده شده: ولی .

ثابت كردن: از جانب ولیباید E .

اثبات

1. از جانب ولیباید ب

2. از جانب بباید که در (طبق قضیه قبلاً اثبات شده)).

3. از جانب که درباید جی (طبق قضیه اثبات شده قبلی).

4. از جانب جیباید D (طبق قضیه اثبات شده قبلی).

5. از جانب Dباید E (طبق قضیه اثبات شده قبلی).

بر اساس قانون گذر، از جانب ولیباید E . قضیه مستقیم با روش معمول اثبات می شود.

بگذارید قضیه مستقیم ثابت شده یک قضیه معکوس صحیح داشته باشد: از جانب Eباید ولی .

بیایید به طور معمول ثابت کنیم ریاضیروش. اثبات قضیه معکوس را می توان به صورت نمادین به عنوان الگوریتمی از عملیات ریاضی بیان کرد.

داده شده: E

ثابت كردن: از جانب Eباید ولی .

اثبات

1. از جانب Eباید D

2. از جانب Dباید جی (توسط قضیه معکوس قبلاً اثبات شده).

3. از جانب جیباید که در (توسط قضیه معکوس قبلاً اثبات شده).

4. از جانب که درانجامش نده ب (این صحبت درست نیست). از همین رو از جانب بانجامش نده ولی .

در این وضعیت، ادامه اثبات ریاضی قضیه معکوس منطقی نیست. دلیل این وضعیت منطقی است. جایگزین کردن یک قضیه معکوس نادرست با چیزی غیرممکن است. بنابراین این قضیه معکوس را نمی توان با روش معمول ریاضی اثبات کرد. تمام امید این است که این قضیه معکوس را با تناقض اثبات کنیم.

برای اثبات آن با تناقض، لازم است شرط ریاضی آن را با یک شرط متناقض منطقی جایگزین کرد که در معنای خود شامل دو قسمت است - نادرست و صادق.

قضیه معکوسادعاها: از جانب Eانجامش نده ولی . وضعیت او E ، که از آن نتیجه گیری می شود ولی ، نتیجه اثبات قضیه مستقیم با روش معمول ریاضی است. این شرط باید حفظ شود و با بیانیه تکمیل شود از جانب Eباید ولی . در نتیجه جمع، یک شرط متناقض قضیه معکوس جدید به دست می آید: از جانب Eباید ولی و از جانب Eانجامش نده ولی . بر این اساس منطقیشرط متناقض، قضیه معکوس را می توان با صحیح اثبات کرد منطقیفقط استدلال، و فقط، منطقیروش مخالف در اثبات تناقض، هر کنش و عملیات ریاضی تابع اعمال منطقی است و بنابراین به حساب نمی آید.

در قسمت اول بیانیه متناقض از جانب Eباید ولی شرایط. شرط E با اثبات قضیه مستقیم ثابت شد. در قسمت دوم از جانب Eانجامش نده ولی شرایط. شرط E بدون دلیل فرض شد و پذیرفته شد. یکی از آنها نادرست و دیگری صادق است. اثبات نادرست بودن کدام یک از آنها الزامی است.

ما با درستی ثابت می کنیم منطقیاستدلال کنید و متوجه شوید که نتیجه آن یک نتیجه گیری نادرست و پوچ است. دلیل نتیجه گیری منطقی نادرست، شرط منطقی متناقض قضیه است که شامل دو بخش است - نادرست و درست. قسمت نادرست فقط می تواند یک بیانیه باشد از جانب Eانجامش نده ولی ، که در آن E بدون مدرک پذیرفته شد این چیزی است که آن را از آن متمایز می کند E بیانیه از جانب Eباید ولی که با اثبات قضیه مستقیم ثابت می شود.

بنابراین، این گفته صادق است: از جانب Eباید ولی ، که قرار بود ثابت شود.

خروجی: فقط آن قضیه معکوس با روش منطقی از خلاف آن ثابت می شود که یک قضیه مستقیم دارد که با روش ریاضی ثابت شده و با روش ریاضی قابل اثبات نیست.

نتیجه به دست آمده اهمیت استثنایی در رابطه با روش اثبات با تضاد قضیه بزرگ فرما پیدا می کند. اکثریت قریب به اتفاق تلاش ها برای اثبات آن بر اساس روش معمول ریاضی نیست، بلکه بر اساس روش منطقی اثبات با تناقض است. اثبات قضیه بزرگ فرما وایلز نیز از این قاعده مستثنی نیست.

دیمیتری ابراروف در مقاله خود با عنوان «قضیه فرمت: پدیده برهان های ویلز» تفسیری بر اثبات آخرین قضیه فرما توسط ویلز منتشر کرد. به گفته ابراروف، وایلز آخرین قضیه فرما را با کمک یک یافته قابل توجه توسط ریاضیدان آلمانی گرهارد فری (متولد 1944) در رابطه با حل بالقوه معادله فرما اثبات می کند. x n + y n = z n ، جایی که n > 2 ، با یک معادله کاملا متفاوت دیگر. این معادله جدید توسط یک منحنی خاص (به نام منحنی بیضوی فری) به دست می آید. منحنی فری با یک معادله بسیار ساده به دست می آید:
.

این دقیقاً فری بود که با هر راه حلی مقایسه کرد (الف، ب، ج)معادله فرما، یعنی اعدادی که رابطه را برآورده می کنند a n + b n = c nمنحنی فوق در این صورت، آخرین قضیه فرما دنبال می‌شود.»(نقل از: Abrarov D. "قضیه فرمات: پدیده اثبات Wiles")

به عبارت دیگر گرهارد فری معادله آخرین قضیه فرما را پیشنهاد کرد x n + y n = z n ، جایی که n > 2 ، دارای راه حل در اعداد صحیح مثبت است. همان راه حل ها، بر اساس فرض فری، راه حل های معادله او هستند
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 که با منحنی بیضوی آن به دست می آید.

اندرو وایلز این کشف قابل توجه فری را پذیرفت و با کمک آن، از طریق ریاضیروش ثابت کرد که این یافته، یعنی منحنی بیضوی فری وجود ندارد. بنابراین هیچ معادله ای و جواب های آن وجود ندارد که با یک منحنی بیضوی ناموجود داده شود، بنابراین وایلز باید به این نتیجه می رسید که هیچ معادله ای از آخرین قضیه فرما و خود قضیه فرما وجود ندارد. با این حال، او به این نتیجه می رسد که معادله آخرین قضیه فرما هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد.

این ممکن است یک واقعیت غیرقابل انکار باشد که وایلز فرضی را پذیرفت که از نظر معنایی کاملاً مخالف آن چیزی است که در آخرین قضیه فرما بیان شده است. وایلز را مجبور می کند که آخرین قضیه فرما را با تناقض اثبات کند. بیایید از او الگو بگیریم و ببینیم از این مثال چه می شود.

آخرین قضیه فرما بیان می کند که معادله x n + y n = z n ، جایی که n > 2 ، هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد.

بر اساس روش منطقی اثبات با تناقض، این گزاره حفظ می شود، بدون دلیل پذیرفته می شود، و سپس با یک گزاره مخالف در معنای تکمیل می شود: معادله. x n + y n = z n ، جایی که n > 2 ، دارای راه حل در اعداد صحیح مثبت است.

گزاره فرضی نیز به عنوان داده شده، بدون اثبات پذیرفته می شود. هر دو گزاره، از دیدگاه قوانین اساسی منطق، به یک اندازه قابل پذیرش، از نظر حقوق مساوی و به یک اندازه ممکن هستند. با استدلال صحیح، باید مشخص شود که کدام یک از آنها نادرست است، تا سپس صحت گزاره دیگر ثابت شود.

استدلال صحیح با یک نتیجه گیری نادرست و پوچ به پایان می رسد، که علت منطقی آن فقط می تواند یک شرط متناقض قضیه اثبات شده باشد، که شامل دو بخش از معنای مستقیما متضاد است. آنها دلیل منطقی نتیجه گیری پوچ بودند، نتیجه اثبات با تناقض.

با این حال، در طول استدلال منطقی صحیح، هیچ نشانه واحدی یافت نشد که با آن بتوان تشخیص داد کدام یک از گزاره های خاص نادرست است. می تواند یک عبارت باشد: معادله x n + y n = z n ، جایی که n > 2 ، دارای راه حل در اعداد صحیح مثبت است. بر همین اساس، می تواند عبارت باشد: معادله x n + y n = z n ، جایی که n > 2 ، هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد.

در نتیجه استدلال، تنها یک نتیجه می تواند وجود داشته باشد: آخرین قضیه فرما را نمی توان با تناقض اثبات کرد.

اگر آخرین قضیه فرما یک قضیه معکوس باشد که یک قضیه مستقیم با روش معمول ریاضی اثبات شده باشد، موضوع بسیار متفاوت خواهد بود. در این صورت با تناقض قابل اثبات است. و از آنجایی که این یک قضیه مستقیم است، اثبات آن باید نه بر اساس روش منطقی اثبات با تناقض، بلکه بر اساس روش معمول ریاضی باشد.

به گفته D. Abrarov، آکادمیک V. I. Arnold، مشهورترین ریاضیدان معاصر روسی، به اثبات وایلز واکنش نشان داد که "فعالانه شک دارد". این دانشگاه گفت: این ریاضیات واقعی نیست، ریاضیات واقعی هندسی است و پیوند قوی با فیزیک دارد.

با تناقض، نمی توان ثابت کرد که معادله آخرین قضیه فرما هیچ راه حلی ندارد و یا اینکه دارای راه حل است. اشتباه وایلز ریاضی نیست، بلکه منطقی است - استفاده از اثبات با تناقض در جایی که استفاده از آن معنا ندارد و آخرین قضیه فرما را اثبات نمی کند.

آخرین قضیه فرما با کمک روش معمول ریاضی ثابت نمی شود، اگر داده شود: معادله x n + y n = z n ، جایی که n > 2 ، در اعداد صحیح مثبت راه حلی ندارد و اگر لازم باشد در آن ثابت شود: معادله x n + y n = z n ، جایی که n > 2 ، هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد. در این شکل، یک قضیه نیست، بلکه یک توتولوژی خالی از معنا وجود دارد.

توجه داشته باشید.اثبات BTF من در یکی از انجمن ها مورد بحث قرار گرفت. یکی از شرکت کنندگان در تروتیل، متخصص تئوری اعداد، بیانیه معتبر زیر را با عنوان: "بازگویی کوتاه از آنچه میرگورودسکی انجام داد" بیان کرد. من آن را کلمه به کلمه نقل می کنم:

« ولی. او ثابت کرد که اگر z 2 \u003d x 2 + y ، سپس z n > x n + y n . این یک واقعیت شناخته شده و کاملاً آشکار است.

که در. او دو سه گانه گرفت - فیثاغورثی و غیر فیثاغورثی و با شمارش ساده نشان داد که برای یک خانواده خاص و خاص از سه گانه (78 و 210 قطعه) BTF (و فقط برای آن) انجام می شود.

از جانب. و سپس نویسنده این واقعیت را که از < در درجه بعدی ممکن است = ، نه فقط > . یک مثال متقابل ساده، انتقال است n=1 که در n=2 در سه گانه فیثاغورثی

D. این نکته به اثبات BTF کمک نمی کند. نتیجه: BTF ثابت نشده است.

نتیجه گیری او را نقطه به نقطه بررسی خواهم کرد.

ولی.در آن، BTF برای کل مجموعه نامتناهی از سه گانه اعداد فیثاغورثی ثابت شده است. با یک روش هندسی ثابت شده است، که، همانطور که من معتقدم، توسط من کشف نشد، بلکه دوباره کشف شد. و همانطور که من معتقدم توسط خود P. Fermat افتتاح شد. فرما ممکن است این را در ذهن داشته باشد که می‌نویسد:

من یک مدرک واقعاً شگفت‌انگیز برای این موضوع کشف کرده‌ام، اما این حاشیه‌ها برای آن بسیار محدود هستند.» این فرض من بر این اساس استوار است که در مسئله دیوفانتین که فرما در حاشیه کتاب در برابر آن نوشته است، ما در مورد حل معادله دیوفانتین صحبت می کنیم که سه برابر اعداد فیثاغورثی هستند.

مجموعه نامتناهی از سه گانه اعداد فیثاغورثی راه حل های معادله دیوفات هستند و در قضیه فرما برعکس، هیچ یک از جواب ها نمی توانند راه حلی برای معادله قضیه فرما باشند. و اثبات واقعاً معجزه آسای فرما ارتباط مستقیمی با این واقعیت دارد. بعدها، فرما توانست قضیه خود را به مجموعه تمام اعداد طبیعی بسط دهد. در مجموعه همه اعداد طبیعی، BTF به "مجموعه قضایای فوق العاده زیبا" تعلق ندارد. این فرض من است که نه قابل اثبات است و نه رد. هم قابل قبول و هم رد است.

که در.در این پاراگراف، من ثابت می‌کنم که هم خانواده یک اعداد سه‌گانه فیثاغورثی و هم خانواده سه‌گانه اعداد غیرفیثاغورثی BTF راضی هستند. این یک پیوند ضروری، اما ناکافی و میانی در اثبات من است. BTF. مثال هایی که من از خانواده یک سه گانه اعداد فیثاغورثی و خانواده یک سه گانه اعداد غیر فیثاغورثی آورده ام به معنای مثال های خاصی است که وجود نمونه های مشابه دیگر را فرض می کند و منتفی نمی کند.

بیانیه تروتیل که من «با شمارش ساده نشان دادم که برای یک خانواده خاص و معین از سه گانه (78 و 210 قطعه) BTF برآورده شده است (و فقط برای آن) بدون پایه است. او نمی تواند این واقعیت را رد کند که من به خوبی می توانم نمونه های دیگری از سه گانه فیثاغورثی و غیرفیثاغورثی را برای به دست آوردن یک خانواده خاص از یک و دیگری سه گانه بیاورم.

هر جفت سه تایی را که می گیرم، بررسی مناسب بودن آنها برای حل مسئله، به نظر من، فقط با روش "شمارش ساده" قابل انجام است. هیچ روش دیگری برای من شناخته شده نیست و مورد نیاز نیست. اگر تروتیل را دوست نداشت، باید روش دیگری را پیشنهاد می کرد که نمی کند. بدون ارائه چیزی در مقابل، محکوم کردن «شمارش ساده» که در این مورد غیرقابل جایگزین است، نادرست است.

از جانب.حذف کردم = بین< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + y (1) که در آن درجه n > 2 — کلعدد مثبت از برابری بین نابرابری ها به دست می آید واجبدر نظر گرفتن معادله (1) با مقدار غیر صحیح درجه n > 2 . تروتیل شمارش اجباریدر نظر گرفتن برابری بین نابرابری ها، در واقع در نظر گرفته می شود لازم استدر اثبات BTF، در نظر گرفتن معادله (1) با غیر صحیحارزش درجه n > 2 . من این کار را برای خودم انجام دادم و معادله (1) را با غیر صحیحارزش درجه n > 2 حل سه عدد دارد: z، (z-1)، (z-1) با توان غیر صحیح

یک بار در شماره فهرست پستی سال نو در مورد نحوه درست کردن نان تست، به طور اتفاقی اشاره کردم که در پایان قرن بیستم یک رویداد باشکوه وجود داشت که بسیاری متوجه آن نشدند - به اصطلاح آخرین قضیه فرما بالاخره ثابت شد. به همین مناسبت، در میان نامه هایی که دریافت کردم، دو پاسخ از دخترانی یافتم (یکی از آنها، تا آنجا که من به یاد دارم، ویکا، دانش آموز کلاس نهم از Zelenograd است) که از این واقعیت شگفت زده شده بودند.

و من از اینکه دختران چقدر به مسائل ریاضیات مدرن علاقه مند هستند شگفت زده شدم. بنابراین، من فکر می کنم که نه تنها دختران، بلکه پسران در تمام سنین - از دانش آموزان دبیرستانی گرفته تا مستمری بگیران، نیز علاقه مند به یادگیری تاریخ قضیه بزرگ خواهند بود.

اثبات قضیه فرما یک رویداد بزرگ است. و از معمول نیست که با کلمه "عالی" شوخی کنیم، پس به نظرم می رسد که هر گوینده ای که به خود احترام می گذارد (و همه ما وقتی می گوییم سخنرانان) به سادگی موظف به دانستن تاریخچه قضیه هستیم.

اگر اتفاق افتاده است که شما ریاضیات را آنقدر که من دوستش دارم دوست ندارید، با یک نگاه گذرا به برخی از جزئیات با جزئیات نگاه کنید. با درک اینکه همه خوانندگان لیست پستی ما علاقه ای به سرگردانی در طبیعت ریاضیات ندارند، سعی کردم هیچ فرمولی (به جز معادله قضیه فرما و چند فرضیه) ارائه ندهم و پوشش برخی موضوعات خاص را ساده تر کنم. تا حد امکان

چگونه فرما فرنی را دم می کرد

وکیل فرانسوی و ریاضیدان بزرگ نیمه وقت قرن هفدهم، پیر فرما (1601-1665)، یک جمله کنجکاو از حوزه نظریه اعداد مطرح کرد که بعدها به عنوان قضیه بزرگ (یا بزرگ) فرما شناخته شد. این یکی از معروف ترین و خارق العاده ترین قضایای ریاضی است. احتمالاً اگر در کتاب دیوفانتوس اسکندریه (قرن سوم پس از میلاد) "حساب" که فرما اغلب آن را مطالعه می کرد و در حاشیه های وسیع آن یادداشت می کرد و پسرش ساموئل با مهربانی آن را برای آیندگان حفظ کرد، هیجان اطراف آن چندان قوی نبود. تقریباً ورودی زیر از ریاضیدان بزرگ یافت نشد:

من شواهد بسیار شگفت انگیزی دارم، اما آنقدر بزرگ است که در حاشیه قرار بگیرد.»

این ورودی بود که باعث آشفتگی بزرگ بعدی پیرامون قضیه شد.

بنابراین، دانشمند معروف گفت که او قضیه خود را ثابت کرده است. بیایید این سوال را از خود بپرسیم: آیا او واقعاً آن را ثابت کرده است یا دروغ گفته است؟ یا آیا نسخه های دیگری برای توضیح ظاهر آن ورودی حاشیه ای وجود دارد که به بسیاری از ریاضیدانان نسل های بعدی اجازه نمی داد آرام بخوابند؟

تاریخچه قضیه بزرگ به اندازه یک ماجراجویی در طول زمان جذاب است. فرما در سال 1636 بیان کرد که معادله ای از فرم x n + y n =z nهیچ راه حلی در اعداد صحیح با توان n>2 ندارد. این در واقع آخرین قضیه فرما است. در این فرمول ریاضی به ظاهر ساده، جهان پیچیدگی باورنکردنی را پنهان کرده است. اریک تمپل بل، ریاضیدان آمریکایی اسکاتلندی الاصل، در کتابش به نام «مسئله نهایی» (1961)، حتی پیشنهاد کرد که شاید بشریت قبل از اینکه بتواند آخرین قضیه فرما را اثبات کند، وجود نخواهد داشت.

تا حدودی عجیب است که این قضیه به دلایلی با تولدش دیر شد، زیرا این وضعیت مدت ها به تعویق افتاده بود، زیرا مورد خاص آن برای n = 2 - یکی دیگر از فرمول های ریاضی معروف - قضیه فیثاغورث، بیست و دو قرن زودتر پدید آمد. بر خلاف قضیه فرما، قضیه فیثاغورث دارای بی نهایت جواب اعداد صحیح است، به عنوان مثال، مثلث های فیثاغورثی: (3،4،5)، (5،12،13)، (7،24،25)، (8،15). ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

سندرم قضیه بزرگ

کسی که فقط سعی نکرد قضیه فرما را اثبات کند. هر دانش آموز نوپایی این را وظیفه خود می دانست که به قضیه بزرگ بپردازد، اما هیچ کس نتوانست آن را ثابت کند. در ابتدا صد سال کار نکرد. بعد صد تا دیگه و بیشتر یک سندرم توده ای در بین ریاضیدانان شروع به ایجاد کرد: "چطور است؟ فرما این را ثابت کرد، اما اگر من نتوانم، یا چه؟" - و برخی از آنها بر این اساس به معنای کامل دیوانه شدند.

مهم نیست که چقدر این قضیه آزمایش شده است، همیشه درست است. من یک برنامه نویس پرانرژی را می شناختم که به فکر رد قضیه بزرگ با تلاش برای یافتن حداقل یک راه حل (مثال متقابل) با تکرار بر روی اعداد صحیح با استفاده از یک رایانه سریع (در آن زمان بیشتر رایانه نامیده می شد) وسواس داشت. او به موفقیت کار خود اعتقاد داشت و دوست داشت بگوید: "کمی بیشتر - و احساسی رخ خواهد داد!" من فکر می کنم که در نقاط مختلف سیاره ما تعداد قابل توجهی از این نوع جویندگان جسور وجود داشت. البته راه حلی پیدا نکرد. و هیچ رایانه‌ای، حتی با سرعت شگفت‌انگیز، هرگز نمی‌توانست قضیه را آزمایش کند، زیرا همه متغیرهای این معادله (از جمله نماها) می‌توانند تا بی نهایت افزایش یابند.

قضیه نیاز به اثبات دارد

ریاضی‌دانان می‌دانند که اگر قضیه‌ای ثابت نشود، هر چیزی (اعم از درست یا نادرست) می‌تواند از آن نتیجه بگیرد، همان‌طور که در مورد برخی فرضیه‌های دیگر انجام شد. به عنوان مثال، پیر فرما در یکی از نامه های خود پیشنهاد کرد که اعدادی به شکل 2 n +1 (به اصطلاح اعداد فرما) لزوماً اول هستند (یعنی مقسوم علیه عدد صحیح ندارند و فقط بر خود و بر خود قابل تقسیم هستند. یکی بدون باقیمانده)، اگر n توان دو باشد (1، 2، 4، 8، 16، 32، 64، و غیره). فرضیه فرما بیش از صد سال زنده ماند - تا اینکه لئونارد اویلر در سال 1732 نشان داد که

2 32 + 1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

سپس، تقریباً 150 سال بعد (1880)، فورچون لندری عدد فرما زیر را فاکتور گرفت:

2 64 + 1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

چگونه می توانند مقسوم علیه این اعداد بزرگ را بدون کمک کامپیوتر پیدا کنند - فقط خدا می داند. به نوبه خود، اویلر این فرضیه را مطرح کرد که معادله x 4 + y 4 + z 4 =u 4 هیچ راه حلی در اعداد صحیح ندارد. با این حال، حدود 250 سال بعد، در سال 1988، نائوم الکیس از هاروارد موفق شد (که قبلاً با استفاده از یک برنامه کامپیوتری) کشف کند که

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

بنابراین، آخرین قضیه فرما نیاز به اثبات داشت، در غیر این صورت فقط یک فرضیه بود، و به خوبی می‌توانست جایی در میدان‌های عددی بی‌پایان حل معادله قضیه بزرگ گم شود.

باهوش ترین و پرکارترین ریاضیدان قرن هجدهم، لئونارد اویلر، که آرشیو سوابقش را بشر برای تقریباً یک قرن مرتب می کند، قضیه فرما را برای قدرت های 3 و 4 ثابت کرد (یا بهتر است بگوییم، او شواهد گمشده خود پیر فرما را تکرار کرد). ; پیرو او در نظریه اعداد، لژاندر (و بطور مستقل دیریکله) - برای درجه 5. لنگ - برای درجه 7. اما به طور کلی، قضیه اثبات نشده باقی ماند.

در 1 مارس 1847، در جلسه آکادمی علوم پاریس، دو ریاضیدان برجسته به طور همزمان - گابریل لم و آگوستین کوشی - اعلام کردند که به پایان اثبات قضیه بزرگ رسیده اند و مسابقه ای ترتیب دادند و آنها را منتشر کردند. اثبات در قطعات با این حال، دوئل بین آنها قطع شد زیرا همان خطا در اثبات آنها کشف شد که توسط ریاضیدان آلمانی ارنست کومر به آن اشاره شد.

در آغاز قرن بیستم (1908)، یک کارآفرین، بشردوست و دانشمند ثروتمند آلمانی، پل ولفسکل، صد هزار مارک را به هرکسی که اثبات کامل قضیه فرما را ارائه کند، وصیت کرد. قبلاً در اولین سال پس از انتشار وصیت نامه ولفسکل توسط آکادمی علوم گوتینگن، هزاران دلیل از طرف دوستداران ریاضیات غرق شد و این جریان برای چندین دهه متوقف نشد، اما، همانطور که می توانید تصور کنید، همه آنها حاوی اشتباهاتی بودند. . آنها می گویند که آکادمی فرم هایی با محتوای زیر تهیه کرده است:

عزیز _________________________!
در اثبات قضیه فرما در صفحه ____ صفحه ____ از بالا
خطای زیر در فرمول پیدا شد: __________________________:

که برای متقاضیان بدشانس برای دریافت جایزه ارسال شد.

در آن زمان، یک نام مستعار نیمه تحقیرآمیز در حلقه ریاضیدانان ظاهر شد - فرمیست. این نامی بود که به هر تازه‌کار با اعتماد به نفسی داده می‌شد که دانش نداشت، اما بیش از آن که می‌خواست عجولانه تلاش خود را در اثبات قضیه بزرگ امتحان کند، و سپس، بدون توجه به اشتباهات خود، با غرور به سینه‌اش سیلی زد و با صدای بلند اعلام کرد: اولین قضیه فرما را ثابت کرد! هر کشاورز، حتی اگر ده هزارمین تعداد بود، خود را اولین می دانست - این مضحک بود. ظاهر ساده قضیه بزرگ به قدری طعمه های آسان را به یاد فرمیست ها می اندازد که اصلاً از اینکه حتی اویلر و گاوس هم نمی توانند با آن کنار بیایند، خجالت نمی کشند.

(فرمیست ها، به طرز عجیبی، امروزه هنوز هم وجود دارند. اگرچه یکی از آنها معتقد نبود که او این قضیه را مانند یک فرمیست کلاسیک اثبات کرده است، اما تا همین اواخر تلاش هایی انجام داد - وقتی به او گفتم که قضیه فرما قبلاً وجود داشت، از باور من امتناع کرد. ثابت).

قدرتمندترین ریاضیدانان، شاید در خلوت دفاتر خود، نیز سعی می کردند با احتیاط به این میله غیرقابل تحمل نزدیک شوند، اما با صدای بلند در مورد آن صحبت نکردند تا به عنوان فرمیست شناخته نشوند و در نتیجه به مقامات عالی آنها آسیبی وارد نشود.

در آن زمان، اثبات قضیه برای توان n ظاهر شد<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

فرضیه عجیب

تا اواسط قرن بیستم، هیچ پیشرفت عمده ای در تاریخ قضیه بزرگ مشاهده نشد. اما به زودی یک اتفاق جالب در زندگی ریاضی رخ داد. در سال 1955، یوتاکا تانیاما، ریاضیدان 28 ساله ژاپنی، بیانیه ای را از حوزه کاملاً متفاوتی از ریاضیات، به نام فرضیه تانیاما (معروف به فرضیه تانیاما-شیمورا-ویل) ارائه کرد که بر خلاف قضیه دیرهنگام فرما، جلوتر از آن بود. وقتشه.

حدس تانیاما می گوید: "به هر منحنی بیضی شکل مدولار خاصی مطابقت دارد." این جمله برای ریاضیدانان آن زمان به همان اندازه پوچ به نظر می رسید که این جمله برای ما به نظر می رسد: "فلز خاصی با هر درخت مطابقت دارد." به راحتی می توان حدس زد که چگونه یک فرد عادی می تواند با چنین جمله ای ارتباط برقرار کند - او به سادگی آن را جدی نمی گیرد، که اتفاق افتاد: ریاضیدانان به اتفاق آرا این فرضیه را نادیده گرفتند.

یه توضیح کوچولو منحنی های بیضوی، که برای مدت طولانی شناخته شده اند، دارای فرم دو بعدی (واقع در یک هواپیما) هستند. توابع مدولار که در قرن نوزدهم کشف شدند، شکلی چهار بعدی دارند، بنابراین ما حتی نمی توانیم آنها را با مغز سه بعدی خود تصور کنیم، اما می توانیم آنها را به صورت ریاضی توصیف کنیم. علاوه بر این، فرم‌های مدولار از این نظر شگفت‌انگیز هستند که حداکثر تقارن ممکن را دارند - می‌توان آنها را به هر جهت ترجمه کرد (تغییر داد)، آینه کرد، قطعات را می‌توان تعویض کرد، به روش‌های بی‌نهایتی چرخش داد - و ظاهر آنها تغییر نمی‌کند. همانطور که می بینید، منحنی های بیضوی و فرم های مدولار اشتراکات کمی دارند. فرضیه تانیاما بیان می کند که معادلات توصیفی این دو شیء ریاضی کاملاً متفاوت متناظر با یکدیگر را می توان در یک سری ریاضی بسط داد.

فرضیه تانیاما بسیار متناقض بود: مفاهیم کاملاً متفاوت را با هم ترکیب می کرد - منحنی های نسبتاً مسطح ساده و اشکال چهار بعدی غیرقابل تصور. این هرگز به ذهن کسی نمی رسید. هنگامی که در یک سمپوزیوم بین المللی ریاضی در توکیو در سپتامبر 1955، تانیاما چندین تناظر بین منحنی های بیضوی و اشکال مدولار را نشان داد، همه این را چیزی بیش از یک تصادف خنده دار نمی دیدند. به سؤال ساده تانیاما: آیا می توان تابع مدولار مربوطه را برای هر منحنی بیضوی پیدا کرد، آندره ویل فرانسوی که در آن زمان یکی از بهترین متخصصان نظریه اعداد جهان بود، پاسخ کاملاً دیپلماتیک داد. اگر تانیاما کنجکاو شور و شوق را ترک نکند، شاید او خوش شانس باشد و فرضیه باورنکردنی او تایید شود، اما این اتفاق نباید به زودی رخ دهد. به طور کلی، مانند بسیاری از اکتشافات برجسته دیگر، در ابتدا فرضیه تانیاما نادیده گرفته شد، زیرا آنها هنوز به آن رشد نکرده بودند - تقریباً هیچ کس آن را درک نکرد. تنها یکی از همکاران تانیاما، گورو شیمورا، که دوست بسیار با استعداد خود را به خوبی می شناخت، به طور شهودی احساس کرد که فرضیه او درست است.

سه سال بعد (1958)، یوتاکا تانیاما خودکشی کرد (با این حال، سنت های سامورایی در ژاپن قوی است). از نقطه نظر عقل سلیم - یک عمل غیر قابل درک است، به خصوص زمانی که شما در نظر بگیرید که خیلی زود او قرار است ازدواج کند. رهبر ریاضیدانان جوان ژاپنی یادداشت خودکشی خود را اینگونه آغاز کرد: "دیروز به خودکشی فکر نمی کردم. اخیراً بارها از دیگران شنیدم که از نظر روحی و جسمی خسته هستم. در واقع هنوز نمی فهمم چرا این کار را انجام می دهم. این ...» و به همین ترتیب در سه صفحه. البته حیف که این سرنوشت یک فرد جالب بود، اما همه نابغه ها کمی عجیب هستند - به همین دلیل است که آنها نابغه هستند (به دلایلی، سخنان آرتور شوپنهاور به ذهن متبادر شد: "در زندگی عادی، یک استفاده از نبوغ به اندازه تلسکوپ در تئاتر است.» فرضیه رها شده است. هیچ کس نمی دانست چگونه آن را ثابت کند.

به مدت ده سال، فرضیه تانیاما به سختی ذکر شد. اما در اوایل دهه 70 محبوبیت پیدا کرد - به طور مرتب توسط همه کسانی که می توانستند آن را درک کنند بررسی می شد - و همیشه تأیید می شد (در واقع قضیه فرما) اما مانند قبل هیچ کس نتوانست آن را ثابت کند.

ارتباط شگفت انگیز بین این دو فرضیه

15 سال دیگر گذشت. در سال 1984، یک رویداد کلیدی در زندگی ریاضیات رخ داد که حدسیات عجیب ژاپنی را با آخرین قضیه فرما ترکیب کرد. گرهارد فری آلمانی جمله عجیبی شبیه به یک قضیه مطرح کرد: "اگر حدس تانیاما ثابت شود، در نتیجه، آخرین قضیه فرما ثابت خواهد شد." به عبارت دیگر، قضیه فرما نتیجه حدس تانیاما است. (فری با استفاده از تبدیل های ریاضی مبتکرانه معادله فرما را به شکل یک معادله منحنی بیضوی تقلیل داد (همان معادله ای که در فرضیه تانیاما آمده است) فرض خود را کم و بیش ثابت کرد، اما نتوانست آن را ثابت کند). و تنها یک سال و نیم بعد (1986)، استاد دانشگاه کالیفرنیا، کنت ریبت، به وضوح قضیه فری را اثبات کرد.

الان چه اتفاقی افتاد؟ اکنون معلوم شد که، از آنجایی که قضیه فرما دقیقاً نتیجه حدس تانیاما است، تنها چیزی که لازم است اثبات دومی است تا غافلگیری های فاتح قضیه افسانه ای فرما را بشکند. اما این فرضیه دشوار بود. علاوه بر این، در طی قرن ها، ریاضیدانان به قضیه فرما حساسیت پیدا کردند و بسیاری از آنها به این نتیجه رسیدند که کنار آمدن با حدس تانیاما نیز تقریبا غیرممکن است.

مرگ فرضیه فرما. تولد یک قضیه

8 سال دیگر گذشت. اندرو وایلز، یک استاد انگلیسی مترقی ریاضیات از دانشگاه پرینستون (نیوجرسی، ایالات متحده آمریکا)، فکر می‌کرد که دلیلی برای حدس تانیاما یافته است. اگر نابغه طاس نباشد، معمولاً ژولیده است. وایلز ژولیده است، بنابراین مانند یک نابغه به نظر می رسد. البته ورود به تاریخ وسوسه‌انگیز و بسیار مطلوب است، اما وایلز، مانند یک دانشمند واقعی، خود را تملق نشان نداد، زیرا متوجه شد که هزاران فرمیست قبل از او نیز شواهد شبح‌آمیزی دیده‌اند. بنابراین، قبل از ارائه مدرک خود به دنیا، خودش آن را به دقت بررسی می کرد، اما متوجه می شد که می تواند سوگیری ذهنی داشته باشد، دیگران را نیز درگیر بررسی ها می کرد، مثلاً در پوشش کارهای معمولی ریاضی، گاهی اوقات تکه های مختلفی را می انداخت. اثبات خود را به دانشجویان تحصیلات تکمیلی هوشمند. وایلز بعداً اعتراف کرد که هیچکس جز همسرش نمی‌دانست که او روی اثبات قضیه بزرگ کار می‌کند.

و به این ترتیب، پس از بررسی های طولانی و تأملات دردناک، سرانجام ویلز جسارت کرد و شاید همانطور که خودش فکر می کرد، غرور کرد و در 23 ژوئن 1993 در کنفرانس ریاضی نظریه اعداد در کمبریج، دستاورد بزرگ خود را اعلام کرد.

البته این یک احساس بود. هیچ کس انتظار چنین چابکی را از یک ریاضیدان کمتر شناخته شده نداشت. سپس مطبوعات آمدند. همه در عذاب علاقه سوزان بودند. فرمول های ظریف مانند ضربات یک عکس زیبا در برابر چشمان کنجکاو حاضران ظاهر می شد. ریاضیدانان واقعی، به هر حال، آنها چنین هستند - آنها به انواع معادلات نگاه می کنند و در آنها اعداد، ثابت ها و متغیرها را نمی بینند، بلکه موسیقی می شنوند، مانند موتزارت که به یک گروه موسیقی نگاه می کند. درست مانند زمانی که کتابی را می خوانیم، به حروف نگاه می کنیم، اما به نظر نمی رسد که متوجه آنها شویم، اما بلافاصله معنای متن را درک می کنیم.

ارائه اثبات موفقیت آمیز به نظر می رسید - هیچ خطایی در آن یافت نشد - هیچ کس حتی یک یادداشت نادرست را نشنید (اگرچه بیشتر ریاضیدانان به سادگی مانند کلاس اولی ها به یک انتگرال به او خیره شده بودند و چیزی نمی فهمیدند). همه به این نتیجه رسیدند که یک رویداد بزرگ رخ داده است: فرضیه تانیاما و در نتیجه آخرین قضیه فرما ثابت شد. اما حدود دو ماه بعد، چند روز قبل از اینکه نسخه خطی اثبات وایلز به گردش درآید، مشخص شد که متناقض است (کاتز، یکی از همکاران وایلز، خاطرنشان کرد که یک بخش از استدلال متکی بر «سیستم اویلر» است، اما آنچه ساخته شده توسط Wiles، چنین سیستمی نبود)، اگرچه، به طور کلی، تکنیک های Wiles جالب، ظریف و نوآورانه در نظر گرفته می شد.

وایلز وضعیت را تجزیه و تحلیل کرد و به این نتیجه رسید که شکست خورده است. می توان تصور کرد که با تمام وجود چه احساسی داشته است که معنی آن "از بزرگ تا مسخره یک قدم" چیست. "من می خواستم وارد تاریخ شوم، اما در عوض به تیم دلقک ها و کمدین ها - کشاورزان مغرور " پیوستم - تقریباً چنین افکاری او را در آن دوره دردناک زندگی اش خسته کرد. برای او، یک ریاضیدان جدی، این یک تراژدی بود، و او مدرک خود را در پشت مشعل انداخت.

اما کمی بیش از یک سال بعد، در سپتامبر 1994، در حالی که به همراه همکارش تیلور از آکسفورد به آن گلوگاه اثبات فکر می‌کردند، تیلور ناگهان به این فکر افتاد که «سیستم اویلر» را می‌توان به نظریه ایواساوا تغییر داد (بخش نظریه اعداد). سپس آنها سعی کردند از نظریه Iwasawa استفاده کنند، بدون "سیستم اویلر"، و همه آنها گرد هم آمدند. نسخه تصحیح شده اثبات برای تأیید ارائه شد و یک سال بعد اعلام شد که همه چیز در آن کاملاً واضح است، بدون یک اشتباه. در تابستان 1995، در یکی از مجلات ریاضی برجسته - "Annals of Mathematics" - اثبات کامل حدس تانیاما (از این رو، قضیه بزرگ (بزرگ) فرما) منتشر شد که کل شماره را اشغال کرد - بیش از صد برگ. این اثبات آنقدر پیچیده است که تنها چند ده نفر در سراسر جهان می توانند آن را به طور کامل درک کنند.

بنابراین، در پایان قرن بیستم، تمام جهان دریافتند که در سیصد و شصتمین سال زندگی خود، آخرین قضیه فرما، که در واقع در تمام این مدت یک فرضیه بود، به یک قضیه اثبات شده تبدیل شده بود. اندرو وایلز قضیه بزرگ (بزرگ) فرما را اثبات کرد و وارد تاریخ شد.

فکر کن یه قضیه رو ثابت کردی...

خوشبختی کاشف همیشه تنها به سراغ کسی می رود - اوست که با آخرین ضربه چکش مهره سخت دانش را می شکافد. اما نمی توان ضربات متعدد قبلی را نادیده گرفت که قرن ها شکافی را در قضیه بزرگ ایجاد کرده است: اویلر و گاوس (پادشاهان ریاضیات زمان خود)، اواریست گالوا (که توانست نظریه گروه ها و میدان ها را در کوتاه 21 خود ایجاد کند. -زندگی سالی که آثارش تنها پس از مرگش درخشان شناخته شد، هانری پوانکاره (بنیانگذار نه تنها اشکال مدولار عجیب، بلکه قراردادگرایی - یک گرایش فلسفی)، دیوید گیلبرت (یکی از قوی ترین ریاضیدانان قرن بیستم) ، یوتاکو تانیاما، گورو شیمورا، موردل، فالتینگز، ارنست کومر، بری مازور، گرهارد فری، کن ریبت، ریچارد تیلور و دیگران دانشمندان واقعی(از این حرف ها نمی ترسم).

اثبات آخرین قضیه فرما را می توان با دستاوردهای قرن بیستم مانند اختراع رایانه، بمب هسته ای و پرواز فضایی همتراز کرد. اگرچه آنقدرها در مورد آن شناخته شده نیست، اما به دلیل اینکه به منطقه علایق لحظه ای ما، مانند تلویزیون یا لامپ برق، حمله نمی کند، فلاش یک ابرنواختر بود که مانند همه حقایق تغییر ناپذیر، همیشه بر آن خواهد درخشید. بشریت.

می توانید بگویید: "فقط فکر کن، نوعی قضیه را ثابت کردی، چه کسی به آن نیاز دارد". یک سوال منصفانه. پاسخ دیوید گیلبرت دقیقاً در اینجا مناسب است. چه زمانی در پاسخ به این سوال: "اکنون مهمترین وظیفه علم چیست؟"، او پاسخ داد: "مگس گرفتن در سمت دور ماه". منطقی از او پرسیده شد: «اما چه کسی به آن نیاز دارداو چنین پاسخ داد: هیچکس به آن نیاز ندارد. اما به این فکر کنید که برای دستیابی به این مهم، چند مسئله مهم و دشوار باید حل شوند. "به این فکر کنید که بشریت توانسته است در 360 سال قبل از اثبات قضیه فرما، چند مشکل را حل کند. تقریباً نیمی از ریاضیات مدرن در جستجوی اثبات آن هستند. ما باید این را نیز در نظر بگیریم که ریاضیات آوانگارد علم است (و اتفاقاً تنها علومی است که بدون یک اشتباه ساخته شده است) و هرگونه دستاورد و اختراع علمی از اینجا شروع می شود. .

* * *

و حالا بیایید به ابتدای داستان خود برگردیم، مدخل پیر فرما را در حاشیه کتاب درسی دیوفانتوس به خاطر بیاوریم و یک بار دیگر از خود بپرسیم: آیا فرما واقعا قضیه خود را ثابت کرده است؟ البته، ما نمی توانیم این را به طور قطع بدانیم، و مانند هر صورت، نسخه های مختلفی در اینجا به وجود می آیند:

نسخه 1:فرما قضیه خود را ثابت کرد. (در پاسخ به این سوال: "آیا فرما دقیقاً همان اثبات قضیه خود را داشت؟" ، اندرو وایلز گفت: "فرمت نمی توانست داشته باشد". بنابرایناثبات این اثبات قرن بیستم است. «ما می‌دانیم که در قرن هفدهم ریاضیات، البته مانند پایان قرن بیستم نبود - در آن دوره، آرتاگنان، ملکه علوم، چنین نبود. با این حال، آن اکتشافات (اشکال مدولار، قضایای تانیاما، فری، و غیره) را دارند که فقط اثبات آخرین قضیه فرما را ممکن می‌سازد. این نسخه، اگرچه محتمل است، اما از نظر اکثر ریاضیدانان عملا غیرممکن است).
نسخه 2:به نظر پیر دو فرما می رسید که قضیه خود را ثابت کرده است، اما در اثبات او اشتباهاتی وجود داشت. (یعنی خود فرما نیز اولین فرمائیست بوده است);
نسخه 3:فرما قضیه خود را اثبات نکرد، بلکه به سادگی در حاشیه دروغ گفت.

اگر یکی از دو نسخه آخر درست باشد، که به احتمال زیاد، یک نتیجه ساده می توان گرفت: افراد بزرگ، اگرچه عالی هستند، اما ممکن است اشتباه کنند یا گاهی اوقات بدشان نمی آید که دروغ بگویند(اساساً این نتیجه گیری برای کسانی که تمایل به اعتماد کامل به بت های خود و سایر حاکمان افکار دارند مفید خواهد بود). بنابراین، هنگام خواندن آثار فرزندان معتبر بشر یا گوش دادن به سخنان رقت انگیز آنها، حق دارید در اظهارات آنها تردید کنید. (لطفا توجه داشته باشید که شک کردن یعنی رد نکردن).

چاپ مجدد مطالب مقاله فقط با لینک های اجباری به سایت امکان پذیر است (در اینترنت - هایپرلینک) و به نویسنده

در قرن هفدهم، یک وکیل و ریاضیدان پاره وقت، پیر فرما، در فرانسه زندگی می کرد که به سرگرمی خود ساعات طولانی اوقات فراغت می داد. یک غروب زمستانی، کنار شومینه نشسته بود، یکی از کنجکاوترین گزاره ها را از حوزه تئوری اعداد مطرح کرد - این بود که بعدها قضیه بزرگ یا بزرگ فرما نامیده شد. شاید اگر یک رویداد اتفاق نمی افتاد، هیجان در محافل ریاضی چندان قابل توجه نبود. این ریاضیدان اغلب شب ها را صرف مطالعه کتاب مورد علاقه دیوفانتوس اسکندریه "حساب" (قرن 3) می کرد، در حالی که افکار مهم را در حاشیه آن یادداشت می کرد - این نادر بودن به دقت توسط پسرش برای آیندگان حفظ شد. بنابراین، در حاشیه وسیع این کتاب، دست فرما این کتیبه را به جا گذاشته بود: «من دلیل نسبتاً قابل توجهی دارم، اما بزرگتر از آن است که در حاشیه قرار گیرد». این ورودی بود که باعث هیجان شدید پیرامون قضیه شد. در بین ریاضیدانان شکی وجود نداشت که دانشمند بزرگ اعلام کرد که قضیه خود را ثابت کرده است. احتمالاً از خود می پرسید: "آیا او واقعاً آن را ثابت کرد، یا دروغی پیش پا افتاده بود، یا شاید نسخه های دیگری وجود داشت، چرا این مدخل، که اجازه نمی داد ریاضیدانان نسل های بعدی آرام بخوابند، در حاشیه قرار گرفت. کتاب؟".

جوهر قضیه بزرگ

قضیه نسبتاً معروف فرما در ذات خود ساده است و شامل این واقعیت است که به شرط اینکه n بزرگتر از دو باشد، یک عدد مثبت، معادله X n + Y n \u003d Z n راه حل هایی از نوع صفر نخواهد داشت. چارچوب اعداد طبیعی پیچیدگی باورنکردنی در این فرمول به ظاهر ساده پنهان شده بود و اثبات آن سه قرن طول کشید. یک چیز عجیب وجود دارد - این قضیه با تولد جهان دیر بود، زیرا مورد خاص آن برای n = 2 2200 سال پیش ظاهر شد - این قضیه نه کمتر معروف فیثاغورث است.

لازم به ذکر است که داستان مربوط به قضیه معروف فرما بسیار آموزنده و سرگرم کننده است و نه تنها برای ریاضیدانان. جالب تر از همه این است که علم برای دانشمند یک شغل نبود، بلکه یک سرگرمی ساده بود که به نوبه خود لذت زیادی را برای کشاورز به ارمغان می آورد. او همچنین دائماً با یک ریاضیدان در تماس بود و به صورت پاره وقت، همچنین یک دوست، ایده‌های خود را به اشتراک می‌گذاشت، اما به اندازه کافی عجیب، او به دنبال انتشار آثار خود نبود.

مجموعه مقالات ریاضیدان کشاورز

در مورد آثار خود فارمر، آنها دقیقاً به شکل حروف معمولی یافت شدند. در بعضی جاها هیچ صفحه کاملی وجود نداشت و فقط قطعاتی از مکاتبات حفظ شده است. جالبتر این واقعیت است که برای سه قرن دانشمندان به دنبال قضیه ای بودند که در نوشته های فرمر کشف شد.

اما هر کس جرات اثبات آن را نداشت، تلاش ها به "صفر" کاهش یافت. دکارت ریاضیدان معروف حتی دانشمند را به لاف زدن متهم کرد، اما همه چیز به معمولی ترین حسادت ختم شد. فارمر علاوه بر ایجاد، قضیه خود را نیز اثبات کرد. درست است، راه حل برای موردی پیدا شد که n=4 بود. در مورد مورد n=3، اویلر ریاضیدان آن را شناسایی کرد.

چگونه سعی کردند قضیه فرمر را اثبات کنند

در همان آغاز قرن نوزدهم، این قضیه همچنان وجود داشت. ریاضی دانان براهین بسیاری از قضایا یافته اند که محدود به اعداد طبیعی در عرض دویست بوده است.

و در سال 1909 ، مقدار نسبتاً زیادی در خط قرار گرفت ، برابر با صد هزار مارک منشاء آلمانی - و همه اینها فقط برای حل مشکل مرتبط با این قضیه. صندوق خود دسته جایزه توسط یک عاشق ریاضی ثروتمند پل ولفسکل، که اصالتاً آلمانی است، باقی مانده است، اتفاقاً او بود که می خواست "دست روی خود بگذارد"، اما به لطف چنین دخالتی در قضیه فرمر، او می خواست زنده. هیجان ناشی از آن، هزاران «اثبات» را به وجود آورد که سیل دانشگاه‌های آلمان را فرا گرفت، و در حلقه ریاضیدانان، نام مستعار «فرمیست» متولد شد، که به صورت نیمه تحقیرآمیز برای نامیدن افراد بلندپرواز بلندپرواز که نتوانستند شواهد روشنی ارائه کنند، استفاده می‌شد.

فرضیه ریاضیدان ژاپنی یوتاکا تانیاما

تا اواسط قرن بیستم هیچ تغییری در تاریخ قضیه بزرگ وجود نداشت، اما یک رویداد جالب اتفاق افتاد. در سال 1955، ریاضیدان ژاپنی یوتاکا تانیاما، که 28 سال داشت، بیانیه ای را از یک رشته ریاضی کاملاً متفاوت به جهان فاش کرد - فرضیه او، بر خلاف فرما، از زمان خود جلوتر بود. می گوید: "برای هر منحنی بیضی شکل مدولار مربوطه وجود دارد." به نظر می رسد که برای هر ریاضیدانی پوچ است، مثل اینکه یک درخت از فلز خاصی تشکیل شده است! فرضیه متناقض، مانند بسیاری از اکتشافات خیره کننده و مبتکرانه دیگر، پذیرفته نشد، زیرا آنها به سادگی هنوز به آن رشد نکرده بودند. و یوتاکا تانیاما سه سال بعد خودکشی کرد - اقدامی غیرقابل توضیح، اما احتمالاً افتخار یک نابغه واقعی سامورایی بیش از همه بود.

برای یک دهه تمام این فرضیه به خاطر نیامد، اما در دهه هفتاد به اوج محبوبیت رسید - توسط همه کسانی که می توانستند آن را درک کنند تأیید شد، اما، مانند قضیه فرما، اثبات نشده باقی ماند.

چگونه حدس تانیاما و قضیه فرما به هم مرتبط هستند

پانزده سال بعد، یک رویداد کلیدی در ریاضیات رخ داد و حدس معروف ژاپنی و قضیه فرما را ترکیب کرد. گرهارد گری بیان کرد که وقتی حدس تانیاما ثابت شود، آنگاه برهان قضیه فرما پیدا خواهد شد. یعنی مورد دوم نتیجه حدس تانیاما است و یک سال و نیم بعد قضیه فرما توسط یکی از استادان دانشگاه کالیفرنیا به نام کنت ریبت اثبات شد.

زمان گذشت، پیشرفت جای پسرفت را گرفت و علم به سرعت در حال پیشرفت بود، به ویژه در زمینه فناوری رایانه. بنابراین، مقدار n شروع به افزایش بیشتر و بیشتر کرد.

در اواخر قرن بیستم، قوی ترین رایانه ها در آزمایشگاه های نظامی بودند، برنامه نویسی برای استخراج راه حلی برای مشکل معروف فرما انجام شد. در نتیجه تمام تلاش ها، مشخص شد که این قضیه برای بسیاری از مقادیر n، x، y صحیح است. اما، متأسفانه، این دلیل نهایی نشد، زیرا هیچ جزئیات خاصی وجود نداشت.

جان وایلز قضیه بزرگ فرما را اثبات کرد

و سرانجام، تنها در پایان سال 1994، یک ریاضیدان از انگلستان، جان وایلز، اثبات دقیقی از قضیه بحث برانگیز فرمر را پیدا کرد و نشان داد. سپس پس از بهبودهای فراوان، بحث در این زمینه به نتیجه منطقی خود رسید.

این تکذیب در بیش از صد صفحه از یک مجله درج شد! علاوه بر این، این قضیه بر روی یک دستگاه مدرن تر از ریاضیات عالی اثبات شد. و در کمال تعجب، در زمانی که کشاورز کار خود را می نوشت، چنین دستگاهی در طبیعت وجود نداشت. در یک کلام، مرد به عنوان یک نابغه در این زمینه شناخته شد که هیچکس نمی توانست با او بحث کند. علیرغم همه چیزهایی که اتفاق افتاد، امروز می توانید مطمئن باشید که قضیه ارائه شده دانشمند بزرگ فرمر موجه و اثبات شده است و هیچ ریاضی دانی با عقل سلیم در مورد این موضوع بحثی را آغاز نخواهد کرد که حتی بدبین ترین شکاکان کل بشریت نیز با آن موافق هستند.

نام کامل شخصی که قضیه ارائه شده به نام او نامگذاری شد پیر دو فرمر بود. او در زمینه های مختلفی از ریاضیات مشارکت داشت. اما متأسفانه بیشتر آثار او تنها پس از مرگش منتشر شد.