نحوه محاسبه طول هیپوتانوس راه حل مثلث قائم الزاویه

یک مثلث قائم الزاویه حاوی تعداد زیادی وابستگی است. این موضوع آن را به یک شی جذاب برای انواع مختلف مسائل هندسی تبدیل می کند. یکی از رایج ترین مشکلات، یافتن هیپوتانوس است.

راست گوشه

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که شامل یک زاویه قائم باشد، یعنی. زاویه 90 درجه فقط در یک مثلث قائم الزاویه می توان توابع مثلثاتی را بر حسب اضلاع بیان کرد. در یک مثلث دلخواه، ساخت و سازهای اضافی باید ساخته شود.
در مثلث قائم الزاویه، دو ارتفاع از سه ارتفاع منطبق بر اضلاع، پا نامیده می شوند. ضلع سوم هیپوتنوز نامیده می شود. ارتفاع کشیده شده به سمت هیپوتنوز تنها ارتفاعی در این نوع مثلث است که به ساختارهای اضافی نیاز دارد.

برنج. 1. انواع مثلث.

مثلث قائم الزاویه نمی تواند زوایای منفرد داشته باشد. همانطور که وجود یک زاویه قائم دوم غیرممکن است. در این صورت هویت مجموع زوایای یک مثلث که همیشه برابر با 180 درجه است نقض می شود.

هیپوتنوئوس

بیایید مستقیماً به هیپوتنوز مثلث برویم. هیپوتنوس طولانی ترین ضلع مثلث است. هیپوتانوس همیشه از هر یک از پاها بزرگتر است، اما همیشه کمتر از مجموع پاها است. این نتیجه قضیه نابرابری مثلث است.

این قضیه می گوید که در یک مثلث، هیچ یک از اضلاع نمی تواند بزرگتر از مجموع دو ضلع دیگر باشد. همچنین فرمول دوم یا قسمت دوم قضیه وجود دارد: در یک مثلث، در مقابل ضلع بزرگتر، یک زاویه بزرگتر وجود دارد و بالعکس.

برنج. 2. مثلث قائم الزاویه.

در یک مثلث قائم الزاویه، زاویه قائمه یک زاویه بزرگ است، زیرا به دلایلی که قبلاً ذکر شد، نمی توان یک زاویه قائم دوم یا زاویه مبهم وجود داشت. این بدان معنی است که طولانی ترین ضلع همیشه در مقابل زاویه راست قرار دارد.

غیرقابل درک به نظر می رسد که چرا دقیقاً یک مثلث قائم الزاویه مستحق یک نام جداگانه برای هر یک از اضلاع است. در واقع، در یک مثلث متساوی الساقین، اضلاع نیز نام خود را دارند: اضلاع و قاعده. اما برای پاها و هیپوتونوس ها است که معلمان به خصوص دوست دارند دس بگذارند. چرا؟ از یک طرف، این ادای احترام به یاد یونانیان باستان، مخترعان ریاضیات است. آنها بودند که مثلث های قائم الزاویه را مطالعه کردند و همراه با این دانش، یک لایه کامل از اطلاعات را بر جای گذاشتند که علم مدرن بر اساس آن ساخته شده است. از سوی دیگر، وجود این نام ها، صورت بندی قضایا و هویت های مثلثاتی را بسیار ساده می کند.

قضیه فیثاغورس

اگر معلمی در مورد فرمول فرضیه مثلث قائم الزاویه بپرسد، با احتمال 90٪ منظورش قضیه فیثاغورث است. قضیه می گوید: در یک مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها.

برنج. 3. هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه.

توجه داشته باشید که قضیه چقدر واضح و موجز تنظیم شده است. بدون استفاده از مفاهیم هیپوتنوز و پا نمی توان به چنین سادگی دست یافت.

قضیه فرمول زیر را دارد:

$c^2=b^2+a^2$ – که در آن c فرضیه، a و b پاهای یک مثلث قائم الزاویه هستند.

ما چه آموخته ایم؟

ما در مورد اینکه مثلث قائم الزاویه چیست صحبت کردیم. ما متوجه شدیم که چرا آنها نام پاها و هیپوتنوز را ارائه کردند. ما به برخی از خصوصیات هیپوتنوز پی بردیم و از طریق قضیه فیثاغورث فرمول طول هیپوتنوز یک مثلث را ارائه کردیم.

مسابقه موضوع

رتبه بندی مقاله

میانگین امتیاز: 4.6. مجموع امتیازهای دریافتی: 213.

پس از مطالعه مبحث مثلث های قائم الزاویه، دانش آموزان اغلب تمام اطلاعات مربوط به آنها را از سر خود بیرون می اندازند. از جمله چگونگی یافتن هیپوتانوس، نه به ذکر است که چیست.

و بیهوده زیرا در آینده، مورب مستطیل دقیقاً همین هیپوتانوس خواهد بود و باید آن را پیدا کرد. یا قطر دایره با بزرگترین ضلع مثلث که یکی از زوایای آن قائمه است منطبق است. و یافتن آن بدون این دانش غیرممکن است.

راه های مختلفی برای یافتن هیپوتنوز مثلث وجود دارد. انتخاب روش به مجموعه داده های اولیه در مسئله کمیت ها بستگی دارد.

روش شماره 1: هر دو پا داده می شود

این به یاد ماندنی ترین روش است زیرا از قضیه فیثاغورث استفاده می کند. فقط گاهی دانش‌آموزان فراموش می‌کنند که این فرمول مجذور هیپوتانوس است. بنابراین، برای پیدا کردن خود ضلع، باید جذر را بگیرید. بنابراین، فرمول هیپوتانوس که معمولا با حرف "c" نشان داده می شود، به صورت زیر خواهد بود:

c = √ (a 2 + a 2)، جایی که حروف "الف" و "ب" هر دو پای یک مثلث قائم الزاویه نوشته می شوند.

روش شماره 2: ساق و زاویه مجاور آن مشخص است

برای اینکه یاد بگیرید چگونه هیپوتانوس را پیدا کنید، باید توابع مثلثاتی را به خاطر بسپارید. یعنی کسینوس. برای راحتی، ما فرض می کنیم که پایه "a" و زاویه α مجاور آن داده شده است.

حال باید به یاد داشته باشیم که کسینوس زاویه یک مثلث قائم الزاویه برابر است با نسبت دو ضلع. صورت، مقدار ساق و مخرج آن فرضیه خواهد بود. از این نتیجه می شود که دومی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

c = a / cos α.

روش شماره 3: با توجه به ساق و زاویه ای که در مقابل آن قرار دارد

برای اینکه در فرمول ها گیج نشویم، نام این زاویه - β را معرفی می کنیم و سمت را به عنوان "a" می گذاریم. در این مورد، تابع مثلثاتی دیگری مورد نیاز است - سینوس.

مانند مثال قبل، سینوس برابر است با نسبت ساق به هیپوتنوز. فرمول این روش به شکل زیر است:

c \u003d a / sin β.

برای اینکه در توابع مثلثاتی گیج نشوید، می توانید یک قانون ساده یادداشتی را به خاطر بسپارید: اگر مشکل مربوط به در بارهگوشه مقابل، سپس شما نیاز به استفاده با و nous if - oh pr ودروغ گفتن، سپس به در بارهسینوسی به اولین حروف صدادار در کلمات کلیدی توجه کنید. آنها جفت تشکیل می دهند آه ویا و در مورد.

روش شماره 4: در امتداد شعاع دایره محدود شده

حال، برای اینکه بفهمید چگونه هیپوتانوس را پیدا کنید، باید ویژگی دایره را که در اطراف یک مثلث قائم الزاویه توضیح داده شده است، به خاطر بسپارید. به شرح زیر می خواند. مرکز دایره با نقطه وسط هیپوتنوس منطبق است. به عبارت دیگر، بلندترین ضلع یک مثلث قائم الزاویه برابر با قطر دایره است. یعنی دو برابر شعاع. فرمول این کار به شکل زیر خواهد بود:

c = 2 * r، جایی که r نشان دهنده شعاع شناخته شده است.

اینها همه راه های ممکن برای یافتن هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه هستند. در هر کار خاص، باید از روشی استفاده کنید که برای مجموعه داده مناسب تر است.

نمونه کار شماره 1

شرایط: در مثلث قائم الزاویه، وسط به هر دو پا کشیده می شود. طول یکی که به سمت بزرگتر کشیده شده است √52 است. میانه دیگر دارای طول √73 است. باید هیپوتانوس را محاسبه کنید.

از آنجایی که میانه ها در یک مثلث رسم می شوند، پاها را به دو قسمت مساوی تقسیم می کنند. برای راحتی استدلال و یافتن نحوه یافتن هیپوتانوس، باید چندین نماد را معرفی کنید. بگذارید هر دو نیمه پای بزرگتر با حرف "x" و دیگری با "y" مشخص شود.

حال باید دو مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیریم که هیپوتنوس های آنها میانه های شناخته شده هستند. برای آنها، شما باید فرمول قضیه فیثاغورث را دو بار بنویسید:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2 .

این دو معادله یک سیستم با دو مجهول را تشکیل می دهند. پس از حل آنها، یافتن پایه های مثلث اصلی و هیپوتونوس آن از آنها آسان خواهد بود.

ابتدا باید همه چیز را به درجه دوم برسانید. معلوم می شود:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

از معادله دوم می توان دریافت که y 2 \u003d 73 - 4x 2. این عبارت باید با عبارت اول جایگزین شود و "x" را محاسبه کنید:

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

پس از تبدیل:

292 - 16 x 2 + x 2 \u003d 52 یا 15 x 2 \u003d 240.

از آخرین عبارت x = √16 = 4.

اکنون می توانید "y" را محاسبه کنید:

y 2 \u003d 73 - 4 (4) 2 \u003d 73 - 64 \u003d 9.

با توجه به شرط، معلوم می شود که پایه های مثلث اصلی 6 و 8 هستند. بنابراین، می توانید از فرمول روش اول استفاده کنید و هیپوتانوس را پیدا کنید:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

پاسخ: هیپوتانوس 10 است.

مثال کار شماره 2

شرط: مورب رسم شده در مستطیل با ضلع کوچکتر برابر با 41 را محاسبه کنید. اگر معلوم باشد که زاویه را به 2 به 1 تقسیم می کند.

در این مسئله، مورب یک مستطیل طولانی ترین ضلع در یک مثلث 90 درجه است. بنابراین همه چیز به چگونگی پیدا کردن هیپوتانوس بستگی دارد.

مشکل در گوشه هاست. این بدان معناست که شما باید از یکی از فرمول هایی استفاده کنید که در آن توابع مثلثاتی وجود دارد. و ابتدا باید مقدار یکی از زوایای حاد را تعیین کنید.

بگذارید کوچکتر از زاویه های اشاره شده در شرط با α نشان داده شود. سپس زاویه قائمه که بر قطر تقسیم می شود برابر با 3α خواهد بود. نماد ریاضی برای این به نظر می رسد:

از این معادله به راحتی می توان α را تعیین کرد. برابر با 30 درجه خواهد بود. علاوه بر این، در مقابل ضلع کوچکتر مستطیل قرار خواهد گرفت. بنابراین فرمول شرح داده شده در روش شماره 3 مورد نیاز خواهد بود.

هیپوتنوز برابر است با نسبت ساق به سینوس زاویه مقابل، یعنی:

41 / گناه 30º = 41 / (0.5) = 82.

پاسخ: افت فشار 82 است.

مثلث یک عدد هندسی است که از سه قسمت تشکیل شده است که سه نقطه را که روی یک خط قرار ندارند به هم متصل می کند. نقاطی که یک مثلث را تشکیل می دهند، نقاط آن نامیده می شوند و پاره ها در کنار هم قرار می گیرند.

بسته به نوع مثلث (مستطیل، تک رنگ و ...) می توانید ضلع مثلث را به روش های مختلفی محاسبه کنید، بسته به داده های ورودی و شرایط مشکل.

پیمایش سریع برای یک مقاله

برای محاسبه اضلاع مثلث قائم الزاویه از قضیه فیثاغورث استفاده می شود که بر اساس آن مجذور هیپوتانوس برابر با مجموع مربع های ساق است.

اگر پاها را با "a" و "b" و فرضیه را با "c" برچسب گذاری کنیم، می توان صفحاتی با فرمول های زیر پیدا کرد:

اگر زوایای تند مثلث قائم الزاویه (a و b) مشخص باشد، اضلاع آن را می توان با فرمول های زیر پیدا کرد:

مثلث برش خورده

مثلث را مثلث متساوی الاضلاع می گویند که هر دو ضلع آن یکی باشد.

چگونه هیپوتنوز را در دو پا پیدا کنیم

اگر حرف "الف" با همان صفحه یکسان باشد، "ب" پایه، "ب" گوشه مقابل پایه، "الف" گوشه مجاور است، از فرمول های زیر می توان برای محاسبه صفحات استفاده کرد:

دو گوشه و کنار

اگر یک صفحه (c) و دو زاویه (a و b) از هر مثلث مشخص باشد، از فرمول سینوس برای محاسبه صفحات باقی مانده استفاده می شود:

شما باید مقدار سوم y = 180 - (a + b) را پیدا کنید زیرا

مجموع تمام زوایای یک مثلث 180 درجه است.

دو ضلع و یک زاویه

اگر دو ضلع مثلث (a و b) و زاویه بین آنها (y) مشخص باشد، می توان از قضیه کسینوس برای محاسبه ضلع سوم استفاده کرد.

نحوه تعیین محیط مثلث قائم الزاویه

مثلث مثلثی مثلثی است که یکی از آنها 90 درجه و دو تای دیگر حاد هستند. محاسبه محیطچنین مثلثبسته به میزان اطلاعات شناخته شده در مورد آن.

شما به آن نیاز خواهید داشت

بسته به موقعیت، مهارت 2 از سه ضلع مثلث، و همچنین یکی از گوشه های تیز آن.

دستورالعمل ها

اولینروش 1. اگر هر سه صفحه مشخص باشد مثلثسپس، چه عمود باشد و چه غیر مثلثی، محیط به صورت زیر محاسبه می شود: P = A + B + C، در صورت امکان، c هیپوتانوس است. a و b پا هستند.

دومینروش 2.

اگر یک مستطیل فقط دو ضلع داشته باشد، با استفاده از قضیه فیثاغورث، مثلثرا می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: P = v (a2 + b2) + a + b یا P = v (c2 - b2) + b + c.

سومینروش 3. فرض کنید که هیپوتانوس c و یک زاویه حاد باشد؟ با در نظر گرفتن یک مثلث قائم الزاویه، یافتن محیط به این صورت امکان پذیر خواهد بود: P = (1 + گناه؟

چهارمروش 4. آنها می گویند که در مثلث قائم الزاویه طول یک پا برابر با a است و برعکس، دارای زاویه تند است. سپس محاسبه کنید محیطاین مثلثطبق فرمول انجام می شود: P = a * (1 / tg?

1 / پسر؟ + 1)

پنجمروش 5.

محاسبه آنلاین مثلث

بگذارید پای ما هدایت شود و در آن گنجانده شود، سپس محدوده به صورت زیر محاسبه می شود: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos؟)

ویدیوهای مشابه

قضیه فیثاغورث اساس هر ریاضیاتی است. رابطه بین اضلاع یک مثلث واقعی را مشخص می کند. اکنون 367 دلیل برای این قضیه وجود دارد.

دستورالعمل ها

اولینفرمول کلاسیک قضیه فیثاغورث به نظر می رسد: مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها.

برای پیدا کردن هیپوتانوس در مثلث قائم الزاویه دو کاتت، باید طول پاها را مربع کنید، آنها را جمع کنید و جذر مجموع را بگیرید. در فرمول اولیه بیانیه او، بازار بر اساس فرضیه، برابر با مجموع مربع های 2 مربع تولید شده توسط Catete است. با این حال، فرمول جبری مدرن نیازی به معرفی یک نمایش دامنه ندارد.

دومینمثلا مثلث قائم الزاویه ای که ساق های آن 7 سانتی متر و 8 سانتی متر است.

سپس با توجه به قضیه فیثاغورث، فرض مربع R + S = 49 + 64 = 113 سانتی متر است، فرض برابر با جذر 113 است.

زوایای مثلث قائم الزاویه

نتیجه یک عدد غیر منطقی بود.

سومیناگر مثلث ها پاهای 3 و 4 باشند، آنگاه هیپوتانوس = 25 = 5. وقتی جذر را بگیرید، یک عدد طبیعی به دست می آورید. اعداد 3، 4، 5 یک سه گانه پیگاغورس را تشکیل می دهند، زیرا آنها رابطه x را برآورده می کنند؟ +Y؟ = Z که طبیعی است.

نمونه های دیگر از سه گانه فیثاغورثی عبارتند از: 6، 8، 10; 5، 12، 13; 15، 20، 25; 9، 40، 41.

چهارمدر این حالت، اگر پاها با یکدیگر یکسان باشند، قضیه فیثاغورث به معادله ابتدایی تری تبدیل می شود. مثلاً چنین عقربه‌ای برابر با عدد A باشد و فرضیه برای C تعریف شود و سپس c؟ = Ap + Ap، C = 2A2، C = A؟ 2. در این مورد، شما نیازی به A ندارید.

پنجمقضیه فیثاغورث یک مورد خاص است که بزرگتر از قضیه کسینوس عمومی است که بین سه ضلع یک مثلث برای هر زاویه بین دو تای آنها رابطه برقرار می کند.

نکته 2: نحوه تعیین هیپوتونوس برای پاها و زاویه ها

هیپوتنوس به ضلعی در مثلث قائم الزاویه گفته می شود که در مقابل زاویه 90 درجه قرار دارد.

دستورالعمل ها

اولیندر مورد کاتترهای معروف و همچنین زاویه حاد مثلث قائم الزاویه، اندازه هیپوتنوز می تواند برابر با نسبت ساق به کسینوس / سینوس این زاویه باشد، اگر زاویه مخالف / e باشد شامل: H = C1 (یا C2) / گناه، H = C1 (یا С2 ?) / cos ?. مثال: به ABC یک مثلث نامنظم با فرض AB و زاویه قائم C داده شود.

فرض کنید B 60 درجه و A 30 درجه باشد. طول ساقه BC 8 سانتی متر است طول هیپوتنوز AB باید پیدا شود. برای این کار می توانید از یکی از روش های بالا استفاده کنید: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

هیپوتنوس طولانی ترین ضلع مستطیل است مثلث. در زاویه قائم قرار دارد. روش یافتن هیپوتنوز مستطیل مثلثبسته به داده های منبع

دستورالعمل ها

اولیناگر پاهای شما عمود باشد مثلث، سپس طول هیپوتنوز مستطیل مثلثمی توان با آنالوگ فیثاغورث پیدا کرد - مربع طول هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های طول پاها: c2 = a2 + b2، که در آن a و b طول پایه های سمت راست هستند. مثلث .

دومیناگر مشخص باشد و یکی از پاها در یک زاویه حاد باشد، فرمول برای یافتن هیپوتانوس به وجود یا عدم وجود در یک زاویه خاص با توجه به پای شناخته شده - مجاور (پا در نزدیکی قرار دارد) یا معاون بستگی دارد. برعکس (مورد مقابل قرار دارد nego.V از زاویه مشخص شده برابر است با کسری هیپوتنوز ساق در زاویه کسینوس: a = a / cos؛ E، از سوی دیگر، هیپوتنوز همان نسبت زوایای سینوسی است: da = a / گناه.

ویدیوهای مشابه

نکات مفید
مثلثی زاویه‌دار که اضلاع آن به صورت 3:4:5 به هم متصل شده‌اند که دلتای مصر نامیده می‌شود، زیرا معماران مصر باستان از این شکل‌ها بسیار استفاده می‌کردند.

این نیز ساده ترین مثال از مثلث های جرون است که صفحات و مساحت آن به صورت اعداد صحیح نمایش داده می شود.

به مثلث مستطیلی گفته می شود که زاویه آن 90 درجه باشد. طرف مقابل گوشه سمت راست هیپوتنوز و طرف دیگر پاها نامیده می شود.

اگر می خواهید دریابید که چگونه یک مثلث قائم الزاویه توسط برخی از خواص مثلث های منظم تشکیل می شود، یعنی اینکه مجموع زوایای تند 90 درجه است که از آن استفاده می شود و این واقعیت که طول پای مقابل نصف هیپوتانوس است. 30 درجه است.

پیمایش سریع برای یک مقاله

مثلث برش خورده

یکی از ویژگی های مثلث مساوی این است که دو زاویه آن یکی هستند.

برای محاسبه زاویه مثلث متساوی الاضلاع قائم الزاویه باید بدانید:

از 90 درجه بدتر نیست.
مقادیر زوایای حاد با فرمول تعیین می شود: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °، یعنی.
زوایای α و β 45 درجه است.

اگر مقدار شناخته شده یکی از زاویه های حاد مشخص باشد، دیگری را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد: β = 180º-90º-α یا α = 180º-90º-β.

این نسبت بیشتر در صورتی استفاده می شود که یکی از زاویه ها 60 درجه یا 30 درجه باشد.

مفاهیم کلیدی

مجموع زوایای داخلی یک مثلث 180 درجه است.

از آنجا که یک سطح است، دو تیز باقی می ماند.

محاسبه مثلث آنلاین

اگر می خواهید آنها را پیدا کنید، باید بدانید که:

روش های دیگر

مقادیر زاویه حاد یک مثلث قائم الزاویه را می توان از میانگین محاسبه کرد - با خطی از نقطه ای در طرف مقابل مثلث و ارتفاع - خط عمودی است که از هیپوتنوس در یک زاویه قائمه کشیده شده است.

اجازه دهید میانه از گوشه سمت راست تا وسط هیپوتنوز امتداد داشته باشد و h ارتفاع باشد. در این مورد معلوم می شود که:

sinα = b / (2 * s)؛ sin β = a / (2 * s).
cosα = a / (2 * s)؛ cos β = b / (2 * s).
sinα = h / b; sin β = h / a.

دو صفحه

اگر طول هایپوتنوز و یکی از پاها در یک مثلث قائم الزاویه یا از دو ضلع مشخص باشد، برای تعیین مقادیر زوایای تند از هویت های مثلثاتی استفاده می شود:

α=آرکسین(a/c)، β=آرکسین(b/c).
α=arcos(b/c)، β=arcos(a/c).
α = آرکتان (a / b)، β = آرکتان (b / a).

طول مثلث قائم الزاویه

مساحت و مساحت یک مثلث

محیط

محیط هر مثلث برابر است با مجموع طول سه ضلع. فرمول کلی برای پیدا کردن مثلث مثلثی به صورت زیر است:

جایی که P محیط مثلث است، a، b و c اضلاع آن هستند.

محیط یک مثلث مساویرا می توان با ترکیب متوالی طول اضلاع آن، یا ضرب طول ضلع در 2 و اضافه کردن طول پایه به محصول پیدا کرد.

فرمول کلی برای پیدا کردن مثلث تعادل به صورت زیر است:

که در آن P محیط یک مثلث مساوی است، اما b، b پایه هستند.

محیط مثلث متساوی الاضلاعمی توان با ترکیب متوالی طول اضلاع آن یا با ضرب طول هر صفحه در 3 یافت.

فرمول کلی برای یافتن لبه مثلث های متساوی الاضلاع به صورت زیر است:

جایی که P محیط یک مثلث متساوی الاضلاع است، a هر یک از اضلاع آن است.

منطقه

اگر می خواهید مساحت یک مثلث را اندازه گیری کنید، می توانید آن را با متوازی الاضلاع مقایسه کنید. مثلث ABC را در نظر بگیرید:

اگر همان مثلث را بگیریم و آن را طوری ثابت کنیم که متوازی الاضلاع به دست آید، متوازی الاضلاع با همان ارتفاع و قاعده این مثلث به دست می آید:

در این حالت، ضلع مشترک مثلث ها در امتداد مورب متوازی الاضلاع قالب گیری شده به هم تا می شود.

از خواص متوازی الاضلاع. معلوم است که مورب های متوازی الاضلاع همیشه به دو مثلث مساوی تقسیم می شوند، سپس سطح هر مثلث برابر با نصف دامنه متوازی الاضلاع است.

از آنجایی که مساحت متوازی الاضلاع حاصل ضرب ارتفاع پایه آن است، مساحت مثلث نصف آن حاصلض خواهد بود. بنابراین برای ΔABC مساحت یکسان خواهد بود

حالا یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید:

دو مثلث قائم الزاویه یکسان را می‌توان به شکل یک مستطیل خم کرد، اگر به آنها متمایل شود، که هر هیپوتنوز دیگری است.

از آنجایی که سطح مستطیل با سطح اضلاع مجاور منطبق است، مساحت این مثلث یکسان است:

از این جا می توان نتیجه گرفت که سطح هر مثلث قائم الزاویه برابر است با حاصل ضرب پاها تقسیم بر 2.

از این مثال ها می توان نتیجه گرفت که سطح هر مثلث برابر با حاصلضرب طول است و ارتفاع به قاعده تقسیم بر 2 کاهش می یابد.

فرمول کلی برای یافتن مساحت یک مثلث به صورت زیر است:

که در آن S مساحت مثلث است، اما قاعده آن است، اما ارتفاع به پایین می آید.

با دانستن یکی از پایه های یک مثلث قائم الزاویه، می توانید پایه دوم و هیپوتنوس را با استفاده از روابط مثلثاتی - سینوس و مماس یک زاویه شناخته شده - پیدا کنید. از آنجایی که نسبت پایه مقابل زاویه به هیپوتنوز برابر با سینوس این زاویه است، بنابراین برای یافتن هیپوتنوز باید ساق را بر سینوس زاویه تقسیم کرد. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

پایه دوم را می توان از مماس زاویه شناخته شده، به عنوان نسبت پایه شناخته شده به مماس پیدا کرد. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

برای محاسبه زاویه مجهول در مثلث قائم الزاویه، باید زاویه α را از 90 درجه کم کنید. β=90-α

محیط و مساحت مثلث قائم الزاویه از طریق ساق و زاویه مقابل آن را می توان با جایگزینی عبارات به دست آمده قبلی برای پای دوم و هیپوتنوز در فرمول ها بیان کرد. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

شما همچنین می توانید ارتفاع را از طریق روابط مثلثاتی محاسبه کنید، اما از قبل در مثلث قائم مقام داخلی با ضلع a، که آن را تشکیل می دهد. برای انجام این کار، به ضلع a نیاز دارید، به عنوان هیپوتانوز چنین مثلثی، ضرب در سینوس زاویه β یا کسینوس α، زیرا بر اساس هویت های مثلثاتی آنها معادل هستند. (شکل 79.2) h=a cos⁡α

میانه هیپوتنوز برابر است با نصف هیپوتنوز یا پای شناخته شده a تقسیم بر دو سینوس α. برای یافتن وسط پاها، فرمول ها را به فرم مناسب برای ضلع و زوایای شناخته شده می آوریم. (شکل 79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

از آنجایی که نیمساز یک زاویه قائمه در یک مثلث حاصل ضرب دو ضلع و ریشه دو است که بر مجموع این اضلاع تقسیم می شود و نسبت قائم الاضلاع به مماس جایگزین یکی از پایه ها می شود، نتیجه زیر را بدست می آوریم. اصطلاح. به طور مشابه، با جایگزین کردن نسبت به فرمول دوم و سوم، می توان نیمسازهای زوایای α و β را محاسبه کرد. (شکل 79.4) l_с=(a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

خط وسط به موازات یکی از اضلاع مثلث کشیده می شود و در عین حال مثلث قائم الزاویه مشابه دیگری را با همان زوایای تشکیل می دهد که در آن همه اضلاع به اندازه نصف مثلث اصلی هستند. بر این اساس، خطوط وسط را می توان با استفاده از فرمول های زیر، فقط با دانستن ساق و زاویه مقابل آن پیدا کرد. (شکل 79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

شعاع دایره محاط شده برابر است با اختلاف پاها و هیپوتانوس تقسیم بر دو و برای یافتن شعاع دایره محاط شده باید هیپوتانوس را بر دو تقسیم کنید. پایه دوم و هیپوتنوز را به ترتیب با نسبت های پایه a به سینوس و مماس جایگزین می کنیم. (شکل 79.5، 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

اولی قطعاتی هستند که در مجاورت زاویه قائمه قرار دارند و هیپوتانوس طولانی ترین قسمت شکل است و در مقابل زاویه 90 درجه قرار دارد. مثلث فیثاغورثی مثلثی است که اضلاع آن برابر با اعداد طبیعی باشد. طول آنها در این مورد "سه گانه فیثاغورث" نامیده می شود.

مثلث مصری

برای اینکه نسل کنونی هندسه را به شکلی که اکنون در مدرسه تدریس می شود بیاموزد، چندین قرن است که توسعه یافته است. نکته اساسی قضیه فیثاغورث است. اضلاع یک مستطیل برای تمام جهان شناخته شده است) 3، 4، 5 است.

تعداد کمی از مردم با عبارت "شلوار فیثاغورثی در همه جهات برابر است" آشنا نباشند. با این حال، در واقع، قضیه اینگونه به نظر می رسد: c 2 (مربع هیپوتانوس) \u003d a 2 + b 2 (مجموع مربع های پاها).

در بین ریاضیدانان، مثلثی با ضلع های 3، 4، 5 (سانتی متر، متر و غیره) «مصری» نامیده می شود. جالب است که آنچه در شکل درج شده است برابر با یک است. این نام در حدود قرن پنجم قبل از میلاد، زمانی که فیلسوفان یونانی به مصر سفر کردند، به وجود آمد.

هنگام ساخت اهرام، معماران و نقشه برداران از نسبت 3:4:5 استفاده کردند. چنین سازه هایی متناسب، دلپذیر و جادار بودند، و همچنین به ندرت فرو ریختند.

سازندگان برای ایجاد زاویه قائمه از طنابی استفاده می کردند که 12 گره روی آن بسته می شد. در این حالت، احتمال ساخت مثلث قائم الزاویه به 95 درصد افزایش یافت.

نشانه های برابری ارقام

یک زاویه تند در مثلث قائم الزاویه و یک ضلع بزرگ که برابر با عناصر مشابه در مثلث دوم است، نشانه انکارناپذیر تساوی ارقام است. با در نظر گرفتن مجموع زوایای به راحتی می توان ثابت کرد که زوایای تند دوم نیز برابر هستند. بنابراین، مثلث ها در معیار دوم یکسان هستند.
وقتی دو شکل روی هم قرار می‌گیرند، آنها را طوری می‌چرخانیم که در صورت ترکیب شدن، به یک مثلث متساوی الساقین تبدیل شوند. با توجه به خاصیت آن، اضلاع، یا بهتر است بگوییم، هیپوتنوس ها، و همچنین زوایای قاعده برابر هستند، به این معنی که این ارقام یکسان هستند.

با علامت اول، اثبات اینکه مثلث ها واقعاً برابر هستند بسیار آسان است، نکته اصلی این است که دو ضلع کوچکتر (یعنی پاها) با یکدیگر برابر هستند.

مثلث ها با توجه به علامت II یکسان خواهند بود که ماهیت آن برابری ساق و زاویه حاد است.

ویژگی های مثلث زاویه قائمه

ارتفاعی که از زاویه راست پایین آمده است، شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.

اضلاع یک مثلث قائم الزاویه و میانه آن را به راحتی می توان با این قاعده تشخیص داد: میانه ای که تا حد پایین می آید، برابر با نیمی از آن است. را می توان هم با فرمول هرون و هم با این جمله که برابر با نصف حاصلضرب پاها است پیدا کرد.

در مثلث قائم الزاویه، خواص زوایای 30 o، 45 o و 60 o صدق می کند.

در زاویه 30 درجه، باید به خاطر داشت که پای مقابل برابر با 1/2 از بزرگترین ضلع خواهد بود.
اگر زاویه 45 درجه باشد، زاویه حاد دوم نیز 45 درجه است. این نشان می دهد که مثلث متساوی الساقین است و پاهای آن یکسان است.
خاصیت زاویه 60 درجه این است که زاویه سوم 30 درجه دارد.

منطقه را با یکی از سه فرمول به راحتی می توان پیدا کرد:

از طریق ارتفاع و سمتی که در آن فرود می آید.
طبق فرمول هرون؛
در امتداد اضلاع و زاویه بین آنها.

اضلاع یک مثلث قائم الزاویه، یا بهتر است بگوییم پاها، با دو ارتفاع همگرا می شوند. برای یافتن سومی باید مثلث حاصل را در نظر گرفت و سپس با استفاده از قضیه فیثاغورث طول مورد نیاز را محاسبه کرد. علاوه بر این فرمول، نسبت دو برابر مساحت و طول هیپوتونوس نیز وجود دارد. رایج ترین عبارت در بین دانش آموزان اولین عبارت است، زیرا به محاسبات کمتری نیاز دارد.

قضایایی که برای مثلث قائم الزاویه صدق می کنند

هندسه مثلث قائم الزاویه شامل استفاده از قضایایی مانند: