15 ispitni profil kako riješiti logaritmima. Manovljev rad "logaritamske nejednakosti na ispitu"

“RJEŠENJE LOGARITAMSKIH NEJEDNAČKIH (ZADAĆAK №15 KORIŠTENJE PROFILA). PRIMJENA LOGARITAMA U RAZLIČITIM SFERAMA LJUDSKOG ŽIVOTA"

Epigraf lekcije bit će riječi Mauricea Klinea „Glazba može uzdići ili smiriti dušu, slikarstvo može ugoditi oku, poezija može probuditi osjećaje, filozofija može zadovoljiti potrebe uma, inženjerstvo može poboljšati materijalnu stranu života ljudi, imatematika je sposobna postići sve ove ciljeve »

Sada stvorimo raspoloženje uspjeha!

Odgovorit ćemo na sljedeća pitanja:

Praksa provjere ispitni radovi, a ja sam USE stručnjak za matematiku od 2005. godine pokazuje da je školarcima najveća poteškoća rješavanje transcendentalnih nejednakosti, posebno logaritamske nejednakosti s promjenjivom bazom.

Stoga predlažem da prvo razmotrimo metodu racionalizacije (metoda dekompozicije Modenova) ili na drugi način nazvana metodom zamjene Golubevovih množitelja, koja vam omogućuje da složene, posebno logaritamske nejednakosti, svedete na sustav jednostavnijih racionalnih nejednakosti .

Tako npr. pri rješavanju nejednakosti
u evaluacijskoj verziji, predloženoj ispitivačima ispita, dano je sljedeće rješenje:

Predlažem korištenje metode racionalizacije:

Rješavanje prve nejednadžbe metodom intervala i uzimajući u obzir da dobijemo

Rješenje sljedeće nejednakosti

vidio sam to ovako:

A učenicima sam objasnio da je ponekad grafičko rješenje jednostavnije.

I kao rezultat, rješenje ove nejednakosti ima oblik:

Razmotrimo nejednakost

Rješavajući ovu nejednakost, možemo koristiti formulu

ali otići do baze je broj, i to apsolutno bilo koji:

i riješimo rezultirajuću nejednakost metodom intervala:

ODZ:

a dobivenu nejednakost riješi metodom intervala

a uzimajući u obzir ODZ dobivamo:

A, rješavajući sljedeću vrstu nejednakosti, učenici prilikom zapisivanja odgovora obično izgube jedno od rješenja. Na ovo svakako treba obratiti pažnju.

Nađimo ODZ:

i izvršimo zamjenu: dobivamo:

Skrećem vam pozornost na činjenicu da često učenici rješavajući ovu, rezultirajuću nejednakost, odbacuju nazivnik i time gube jedno od rješenja:

Uzimajući u obzir ODZ dobivamo: i

I na kraju sata učenicima nudim zanimljive činjenice o primjeni logaritama u raznim područjima.

Gdje god postoje procesi koji se mijenjaju tijekom vremena, koriste se logaritmi.

Logaritmi su matematički pojam koji se koristi u svim granama znanosti: kemiji, biologiji, fizici, geografiji, informatici i mnogim drugim, no najširu primjenu logaritmi nalazimo u ekonomiji.

Članak je posvećen analizi zadataka 15 od profilni ispit iz matematike za 2017. U ovom zadatku učenicima se nudi rješavanje nejednakosti, najčešće logaritamskih. Iako može biti indikativno. Ovaj članak daje analizu primjera logaritamskih nejednakosti, uključujući one koje sadrže varijablu u bazi logaritma. Svi primjeri preuzeti su iz otvorena banka zadataka USE iz matematike (profil), tako da će vam se takve nejednakosti vjerojatno pojaviti na ispitu kao zadatak 15. Idealno za one koji u kratkom vremenu žele naučiti rješavati zadatak 15 iz drugog dio profila USE iz matematike kako bi dobili više bodova na ispitu.

Analiza 15 zadataka s profilnog ispita iz matematike

U zadacima 15 USE iz matematike (profil) često se susreću logaritamske nejednakosti. Rješenje logaritamskih nejednakosti počinje definiranjem površine prihvatljive vrijednosti... U ovom slučaju nema varijable u bazi oba logaritma, postoji samo broj 11, što uvelike pojednostavljuje zadatak. Stoga je jedino ograničenje koje imamo ovdje da su oba izraza pod znakom logaritma pozitivna:

Naslov = "(! LANG: Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Prva nejednakost u sustavu je kvadratna nejednakost. Da bismo to riješili, stvarno nam ne bi škodilo da se razgradimo lijeva strana po faktorima. Mislim da znaš da bilo tko kvadratni trinom od vrste faktoriziran na sljedeći način:

gdje su i korijeni jednadžbe. U ovom slučaju, koeficijent je 1 (ovo je brojčani koeficijent ispred). Koeficijent je također 1, a koeficijent je presjek, on je -20. Korijene trinoma najlakše je odrediti Vietin teorem. Jednadžba koju smo dali, pa će zbroj korijena biti jednak koeficijentu suprotnog predznaka, odnosno -1, a umnožak tih korijena bit će jednak koeficijentu, odnosno -20. Lako je pogoditi da će korijeni biti -5 i 4.

Sada se lijeva strana nejednakosti može faktorizirati: title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} x u točkama -5 i 4. Dakle, željeno rješenje nejednadžbe je interval. Za one koji ne razumiju što je ovdje napisano, detalje možete vidjeti u videu, počevši od ovog trenutka. Tamo ćete također pronaći detaljno objašnjenje kako se rješava druga nejednakost sustava. To se rješava. Štoviše, odgovor je potpuno isti kao i za prvu nejednakost sustava. Odnosno, gore napisani skup je raspon dopuštenih vrijednosti nejednakosti.

Dakle, uzimajući u obzir faktorizaciju, izvorna nejednakost ima oblik:

Koristeći formulu, uvodimo 11 u stepen izraza pod znakom prvog logaritma, a drugi logaritam pomičemo na lijevu stranu nejednadžbe, a mijenjamo njegov predznak u suprotan:

Nakon smanjenja dobivamo:

Posljednja je nejednakost, zbog povećanja funkcije, ekvivalentna nejednakosti , čije je rješenje interval ... Ostaje ga presjeći s rasponom dopuštenih vrijednosti nejednakosti, a to će biti odgovor na cijeli zadatak.

Dakle, željeni odgovor na zadatak je:

Shvatili smo ovaj zadatak, sada prelazimo na sljedeći primjer zadatka 15 USE iz matematike (profil).

Rješenje započinjemo određivanjem raspona dopuštenih vrijednosti ove nejednakosti. U osnovi svakog logaritma treba biti pozitivan broj, što nije jednako 1. Svi izrazi pod znakom logaritma moraju biti pozitivni. U nazivniku razlomka ne smije biti nula. Posljednji uvjet je ekvivalentan tome, jer samo inače oba logaritma u nazivniku nestaju. Svi ovi uvjeti određuju raspon dopuštenih vrijednosti ove nejednakosti, koji je definiran sljedećim sustavom nejednakosti:

Naslov = "(! LANG: Renderirao QuickLaTeX.com">!}

U rasponu valjanih vrijednosti možemo koristiti formule transformacije za logaritme kako bismo pojednostavili lijevu stranu nejednadžbe. Koristeći formulu riješi se nazivnika:

Sada imamo samo osnovne logaritme. Ovo je već prikladnije. Zatim koristimo formulu, kao i formulu, kako bismo izraz vrijedan slave doveli u sljedeći oblik:

U izračunima smo koristili ono što je u rasponu prihvatljivih vrijednosti. Koristeći zamjenu, dolazimo do izraza:

Koristimo još jednu zamjenu:. Kao rezultat, dolazimo do sljedećeg rezultata:

Dakle, postupno se vraćamo na izvorne varijable. Prvo na varijablu:

LOGARITAMIČKE NEJEDNAKOST U UPOTREBI

Sečin Mihail Aleksandrovič

Mala akademija znanosti studentske mladeži Republike Kazahstan "Tragač"

MBOU "Sovetskaya srednja škola br. 1", 11. razred, grad. Sovetsky Sovetsky okrug

Gunko Lyudmila Dmitrievna, učiteljica MBOU "Sovjetska škola №1"

sovjetski okrug

Svrha rada: istraživanje mehanizma rješavanja logaritamskih nejednakosti C3 nestandardnim metodama, identificiranje Zanimljivosti logaritam.

Predmet studija:

3) Naučiti rješavati specifične logaritamske nejednakosti C3 nestandardnim metodama.

Rezultati:

Sadržaj

Uvod ………………………………………………………………………………… .4

Poglavlje 1. Pozadina …………………………………………………………… ... 5

Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednakosti ………………………… 7

2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala …………… 7

2.2. Metoda racionalizacije …………………………………………………………… 15

2.3. Nestandardna zamjena ...................................................... ..... 22

2.4. Misije zamke …………………………………………………………………… 27

Zaključak ………………………………………………………………… 30

Književnost……………………………………………………………………. 31

Uvod

Ja sam 11. razred i planiram upisati fakultet, gdje predmet profila je matematika. Stoga puno radim s problemima dijela C. U zadatku C3 trebate riješiti nestandardnu ​​nejednadžbinu ili sustav nejednakosti, obično povezan s logaritmima. Pripremajući se za ispit, susreo sam se s problemom nedostatka metoda i tehnika za rješavanje ispitnih logaritamskih nejednakosti, ponuđenih u C3. Metode koje se uče u školski kurikulum na ovu temu, ne daju osnovu za rješavanje zadataka C3. Učiteljica matematike me pozvala da pod njezinim vodstvom samostalno radim sa zadacima C3. Osim toga, zanimalo me pitanje: javljaju li se logaritmi u našem životu?

Imajući to na umu, odabrana je tema:

"Logaritmske nejednakosti na ispitu"

Svrha rada: istraživanje mehanizma rješavanja C3 problema nestandardnim metodama, otkrivajući zanimljive činjenice logaritma.

Predmet studija:

1) Pronađite potrebne informacije o nestandardnim metodama rješavanja logaritamskih nejednakosti.

2) Pronađite više informacija o logaritmima.

3) Naučite rješavati specifične zadatke C3 korištenjem nestandardnih metoda.

Rezultati:

Praktični značaj leži u proširenju aparata za rješavanje C3 problema. Ovaj materijal se može koristiti u nekim lekcijama, za vođenje krugova, izvannastavne aktivnosti matematika.

Proizvod projekta bit će zbirka “Logaritamske C3 nejednakosti s rješenjima”.

Poglavlje 1. Pozadina

Tijekom 16. stoljeća broj približnih izračuna naglo se povećava, prvenstveno u astronomiji. Poboljšanje instrumenata, proučavanje kretanja planeta i drugi radovi zahtijevali su kolosalne, ponekad i višegodišnje, proračune. Astronomija je bila u stvarnoj opasnosti da se utopi u neispunjenim proračunima. Poteškoće su se pojavile u drugim područjima, na primjer, u poslovanju osiguranja, bile su potrebne tablice složenih kamata za različita značenja posto. Glavna poteškoća bila je množenje, dijeljenje višeznamenkasti brojevi, posebno trigonometrijske vrijednosti.

Otkriće logaritama temeljilo se na dobro poznatim svojstvima progresija do kraja 16. stoljeća. O komunikaciji među članovima geometrijska progresija q, q2, q3, ... i aritmetička progresija njihovi pokazatelji 1, 2, 3, ... rekao je u "Psalmu" Arhimed. Drugi preduvjet bio je proširenje koncepta stupnja na negativne i frakcijske pokazatelje. Mnogi autori su istaknuli da množenje, dijeljenje, podizanje na stepen i vađenje korijena eksponencijalno odgovaraju u aritmetici - istim redoslijedom - zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje.

To je bila ideja iza logaritma kao eksponenta.

U povijesti razvoja učenja o logaritmima prošlo je nekoliko faza.

1. faza

Logaritme su izumili najkasnije 1594. neovisno škotski barun Napier (1550-1617), a deset godina kasnije švicarski mehaničar Burghi (1552-1632). Obojica su željeli dati novo zgodno sredstvo aritmetičkih izračuna, iako su ovom problemu pristupili na različite načine. Napier je kinematički izrazio logaritamsku funkciju i tako ušao u novo područje teorija funkcija. Burghi je ostao na temelju razmatranja diskretnih progresija. Međutim, definicija logaritma za oba ne nalikuje modernoj. Izraz "logaritam" (logaritam) pripada Napieru. Nastao je kombinacijom grčkih riječi: logos - "odnos" i ariqmo - "broj", što je značilo "broj odnosa". U početku je Napier koristio drugačiji izraz: numeri artificiales - "umjetni brojevi", za razliku od numeri naturalts - "prirodni brojevi".

Godine 1615., u razgovoru s Henryjem Briggsom (1561.-1631.), profesorom matematike na Gresch koledžu u Londonu, Napier je predložio uzeti nulu za logaritam od jedan, a 100 za logaritam od deset, ili, što se svodi na ista stvar, jednostavno 1. Tako su se pojavili decimalni logaritmi i ispisane prve logaritamske tablice. Kasnije je nizozemski knjižar i matematičar Andrian Flakk (1600-1667) dopunio Briggsove tablice. Napier i Briggs, iako su do logaritma došli prije nego itko drugi, objavili su svoje tablice kasnije od ostalih - 1620. godine. Znakove balvan i log uveo je 1624. I. Kepler. Pojam "prirodni logaritam" uveo je Mengoli 1659., zatim N. Mercator 1668., a londonski učitelj John Speidel objavio je tablice prirodnih logaritama brojeva od 1 do 1000 pod naslovom "Novi logaritmi".

Na ruskom su prve logaritamske tablice objavljene 1703. godine. Ali u svim logaritamskim tablicama napravljene su pogreške u izračunu. Prve tablice bez grešaka objavljene su 1857. u Berlinu, obradio ih je njemački matematičar K. Bremiker (1804-1877).

2. faza

Daljnji razvoj teorije logaritama povezan je sa širom primjenom analitičke geometrije i računa infinitezimalnih. Uspostava veze između kvadrature jednakostranične hiperbole i prirodnog logaritma datira još iz tog vremena. Teorija logaritama ovog razdoblja povezana je s imenima brojnih matematičara.

Njemački matematičar, astronom i inženjer Nikolaus Mercator u sastavu

"Logaritmologija" (1668.) daje niz koji daje proširenje ln (x + 1) u

moći x:

Ovaj izraz točno odgovara liniji njegovih misli, iako on, naravno, nije koristio znakove d, ..., već glomaznije simbole. Otkrićem logaritamskih nizova promijenila se tehnika izračunavanja logaritama: počeli su se određivati ​​pomoću beskonačnih nizova. U svojim predavanjima "Elementarna matematika s najvišeg gledišta", pročitanim 1907.-1908., F. Klein je predložio korištenje formule kao polazišta za izgradnju teorije logaritama.

3. faza

Definicija logaritamske funkcije kao inverzne funkcije

eksponencijalni, logaritam kao pokazatelj stupnja date baze

nije odmah formuliran. Napisao Leonard Euler (1707-1783)

Uvod u analizu infinitezimalnog (1748.) poslužio je kao daljnji

razvoj teorije logaritamske funkcije. Tako,

Prošle su 134 godine otkako su prvi put uvedeni logaritmi

(računajući od 1614.) prije nego što su matematičari došli do definicije

koncept logaritma, koji je sada osnova školskog tečaja.

Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednakosti

2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala.

Ekvivalentni prijelazi

ako je a> 1

ako je 0 < а < 1

Metoda generaliziranog intervala

Ova metoda je najsvestranija za rješavanje nejednakosti gotovo svih vrsta. Shema rješenja izgleda ovako:

1. Nejednakost svesti na oblik gdje se funkcija nalazi na lijevoj strani
, a na desnoj strani 0.

2. Pronađite domenu funkcije
.

3. Pronađite nule funkcije
, odnosno riješiti jednadžbu
(a rješavanje jednadžbe je obično lakše nego rješavanje nejednadžbe).

4. Na brojevnom pravcu nacrtajte domenu i nule funkcije.

5. Odredi predznake funkcije
u dobivenim intervalima.

6. Odaberite intervale u kojima funkcija poprima tražene vrijednosti i zapišite odgovor.

Primjer 1.

Riješenje:

Primijenimo metodu razmaka

gdje

Za ove vrijednosti svi izrazi pod znakom logaritma su pozitivni.

Odgovor:

Primjer 2.

Riješenje:

1 put . ODZ je definirana nejednakošću x> 3. Uzimajući logaritam za takve x baza 10, dobivamo

Posljednja se nejednakost mogla riješiti primjenom pravila dekompozicije, t.j. uspoređujući faktore s nulom. Međutim, u ovom slučaju lako je odrediti intervale konstantnosti funkcije

stoga se može primijeniti metoda razmaka.

Funkcija f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ je kontinuirano na x> 3 i nestaje u točkama x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Dakle, definiramo intervale konstantnosti funkcije f(x):

Odgovor:

2. način . Primijenimo ideje metode intervala izravno na izvornu nejednakost.

Da biste to učinili, podsjetite da su izrazi a b - a c i ( a - 1)(b- 1) imaju jedan znak. Zatim naša nejednakost za x> 3 je ekvivalentno nejednakosti

ili

Posljednja nejednakost rješava se metodom intervala

Odgovor:

Primjer 3.

Riješenje:

Primijenimo metodu razmaka

Odgovor:

Primjer 4.

Riješenje:

Od 2 x 2 - 3x+ 3> 0 za sve realne x, onda

Za rješavanje druge nejednakosti koristimo se metodom intervala

U prvoj nejednakosti vršimo zamjenu

tada dolazimo do nejednakosti 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y koji zadovoljavaju nejednakost -0,5< y < 1.

Gdje, otkad

dobivamo nejednakost

koja se provodi s onima x za koje 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Sada, uzimajući u obzir rješenje druge nejednakosti sustava, konačno dobivamo

Odgovor:

Primjer 5.

Riješenje:

Nejednakost je ekvivalentna skupu sustava

ili

Primijenimo metodu intervala odn

Odgovor:

Primjer 6.

Riješenje:

Nejednakost je ekvivalentna sustavu

Neka bude

zatim y > 0,

i prva nejednakost

sustav poprima oblik

ili širenjem

kvadratni trinom po faktorima,

Primjenjujući metodu intervala na posljednju nejednakost,

vidimo da njegova rješenja zadovoljavaju uvjet y> 0 će biti sve y > 4.

Dakle, izvorna nejednakost je ekvivalentna sustavu:

Dakle, rješenja za nejednakost su sva

2.2. Metoda racionalizacije.

Ranije metoda racionalizacije nejednakosti nije bila riješena, nije bila poznata. Ovo je "nova moderna učinkovita metoda rješenja eksponencijalnih i logaritamskih nejednakosti "(citat iz knjige S. I. Kolesnikove)
Pa čak i da ga je učiteljica poznavala, bilo je strepnje – ali zna li ispitni stručnjak, zašto to ne daju u školi? Bilo je situacija kada je učiteljica rekla učeniku: "Odakle ti to? Sjedni - 2."
Metoda je sada naširoko promovirana. A za stručnjake postoji smjernice vezano uz ovu metodu, te u „Najcjelovitijim izdanjima standardne opcije... "rješenje C3 koristi ovu metodu.
DIVNA METODA!

"Čarobni stol"

U drugim izvorima

ako a> 1 i b> 1, zatim log a b> 0 i (a -1) (b -1)> 0;

ako a> 1 i 0

ako je 0<a<1 и b >1, zatim log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;