Formula napredovanja geoma. Geometrijska progresija
Geometrijska progresija, zajedno s aritmetikom, važna je numeričke serije, koji se izučava u školskom tečaju algebre u 9. razredu. U ovom ćemo članku razmotriti nazivnik geometrijske progresije i kako njegova vrijednost utječe na njegova svojstva.
Definicija geometrijske progresije
Za početak dajemo definiciju ovoga brojevne serije... Geometrijska progresija naziva se nizom racionalnih brojeva, koji nastaje uzastopnim množenjem svog prvog elementa konstantnim brojem, koji se naziva nazivnikom.
Na primjer, brojevi u retku 3, 6, 12, 24, ... su geometrijska progresija, jer ako pomnožite 3 (prvi element) s 2, dobit ćete 6. Ako pomnožite 6 s 2, dobit ćete 12, i tako dalje.
Članovi sekvence koja se razmatra obično se označavaju simbolom ai, gdje je i cijeli broj koji označava broj elementa u retku.
Gornja definicija napredovanja može se napisati na jeziku matematike kako slijedi: an = bn-1 * a1, gdje je b nazivnik. Lako je provjeriti ovu formulu: ako je n = 1, tada je b1-1 = 1 i dobit ćemo a1 = a1. Ako je n = 2, tada je an = b * a1 i opet dolazimo do definicije razmatrane serije brojeva. Slično se razmišljanje može nastaviti za velike vrijednosti n.
Nazivnik geometrijske progresije
Broj b u potpunosti određuje kakav će karakter imati čitav niz brojeva. Nazivnik b može biti pozitivan, negativan ili veći od jednog ili manje. Sve ove opcije vode do različitih slijedova:
- b> 1. Sve je veći niz racionalnih brojeva. Na primjer, 1, 2, 4, 8, ... Ako je element a1 negativan, tada će se cijeli slijed samo povećavati u apsolutnoj vrijednosti, ali smanjivati uzimajući u obzir znak brojeva.
- b = 1. Takav se slučaj često ne naziva napredovanjem, jer postoji običan niz identičnih racionalnih brojeva. Na primjer, -4, -4, -4.
Formula za iznos
Prije nastavka pregleda specifični zadaci koristeći nazivnik razmatrane vrste napredovanja, treba dati važnu formulu za zbroj njezinih prvih n elemenata. Formula je: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Ovaj izraz možete dobiti sami ako uzmete u obzir rekurzivni slijed članova progresije. Također imajte na umu da je u gornjoj formuli dovoljno znati samo prvi element i nazivnik da biste pronašli zbroj proizvoljnog broja pojmova.
Beskonačno opadajući niz
Iznad je dato objašnjenje o čemu se radi. Sada, znajući formulu za Sn, primijeni je na ovaj niz brojeva. Budući da bilo koji broj čiji modul ne prelazi 1, kada se poveća na veliki stupnjevi teži nuli, tj. b∞ => 0, ako je -1
Budući da će razlika (1 - b) uvijek biti pozitivna, bez obzira na vrijednost nazivnika, predznak zbroja opadajuće beskonačno progresije geometrijskog S∞ jedinstveno se određuje znakom njegovog prvog elementa a1.
Sada ćemo razmotriti nekoliko zadataka, gdje ćemo pokazati kako primijeniti stečeno znanje na određene brojeve.
Problem broj 1. Izračun nepoznatih elemenata progresije i zbroja
Dobivate geometrijsku progresiju, nazivnik napredovanja je 2, a prvi element 3. Koji će biti njegov sedmi i deseti pojam i koliki je zbroj njegovih sedam početnih elemenata?
Uvjet problema sastavljen je vrlo jednostavno i pretpostavlja izravnu uporabu gornjih formula. Dakle, za izračunavanje elementa s brojem n koristimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, zamjenjujući poznate podatke, dobivamo: a7 = 26 * 3 = 192. Isto radimo i za 10. pojam: a10 = 29 * 3 = 1536.
Upotrijebimo dobro poznatu formulu za zbroj i odredimo ovu vrijednost za prvih 7 elemenata niza. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Problem broj 2. Određivanje zbroja proizvoljnih elemenata progresije
Neka je -2 nazivnik eksponencijalne progresije bn-1 * 4, gdje je n cijeli broj. Potrebno je odrediti iznos od 5. do 10. elementa ove serije.
Postavljeni problem ne može se izravno riješiti poznatim formulama. To se može riješiti 2 različite metode. Radi cjelovitosti predstavljamo oboje.
Metoda 1. Njegova je zamisao jednostavna: potrebno je izračunati dva odgovarajuća zbroja prvih članova, a zatim oduzeti drugi od jednog. Izračunavamo manji iznos: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sada izračunavamo veliki zbroj: S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Imajte na umu da su u posljednjem izrazu sažeta samo 4 pojma, jer je 5. već uključen u zbroj koji treba izračunati prema stanju problema. Na kraju, uzmite razliku: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metoda 2. Prije zamjene brojeva i brojanja možete dobiti formulu za zbroj između članova m i n dotičnog niza. Činimo potpuno isto kao u metodi 1, samo što prvo radimo sa simboličkim prikazom zbroja. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . U rezultirajućem izrazu možete zamijeniti poznate brojeve i izračunati konačni rezultat: S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344.
Zadatak broj 3. Koji je nazivnik?
Neka je a1 = 2, pronađi nazivnik geometrijske progresije, pod uvjetom da je njegov beskonačni zbroj 3, a poznato je da se radi o opadajućem nizu brojeva.
Prema uvjetu problema lako je pogoditi koju formulu treba koristiti za njegovo rješavanje. Naravno, jer se zbroj napredovanja beskrajno smanjuje. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Odakle izražavamo nazivnik: b = 1 - a1 / S∞. Preostalo je zamijeniti poznate vrijednosti i dobiti traženi broj: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 ili -0.333 (3). Ovaj se rezultat može kvalitativno provjeriti ako se sjetimo da za ovu vrstu slijeda modul b ne bi trebao prijeći 1. Kao što vidite, | -1 / 3 |
Problem broj 4. Oporavak niza brojeva
Neka su dana 2 elementa numeričke serije, na primjer, peti je jednak 30, a deseti jednak 60. Iz tih podataka potrebno je rekonstruirati čitav niz, znajući da zadovoljava svojstva geometrijske progresije.
Da biste riješili problem, prvo morate zapisati odgovarajući izraz za svaki poznati pojam. Imamo: a5 = b4 * a1 i a10 = b9 * a1. Sada drugi izraz dijelimo prvim, dobivamo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odavde određujemo nazivnik uzimajući peti korijen omjera pojmova poznatih iz uvjeta problema, b = 1,148698. Dobiveni broj zamijenimo jednim od izraza za poznati element, dobivamo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698) 4 = 17,2304966.
Dakle, pronašli smo koliki je nazivnik progresije bn, a geometrijske progresije bn-1 * 17.2304966 = an, gdje je b = 1.148698.
Gdje se koriste geometrijske progresije?
Da nije bilo primjene ove serije brojeva u praksi, tada bi se njezino proučavanje svelo na čisto teoretski interes. Ali postoji takva aplikacija.
Ispod su 3 najpoznatija primjera:
- Zenonov paradoks, u kojem pametni Ahilej ne može sustići sporu kornjaču, riješen je pomoću koncepta beskonačno opadajućeg niza brojeva.
- Ako na svaki kvadrat šahovske ploče stavite zrna pšenice tako da se 1 zrno postavi na 1. kvadrat, 2 - na 2., 3 - na 3. itd., Tada su potrebna 18446744073709551615 zrna za popunjavanje svih kvadrata odbor!
- U igri Tower of Hanoi, da biste preuredili diskove s jedne šipke na drugu, trebate izvesti 2n - 1 operacije, odnosno njihov broj eksponencijalno raste s brojem upotrijebljenih diskova.
Ulica Kievyan, 16 0016 Armenija, Erevan +374 11 233 255
Geometrijska progresija je nova vrsta numerički slijed s kojim ćemo se upoznati. Za uspješno poznanstvo ne škodi barem znati i razumjeti. Tada neće biti problema s geometrijskom progresijom.)
Što geometrijska progresija? Koncept geometrijske progresije.
Izlet započinjemo, kao i obično, osnovnim stvarima. Pišem nedovršeni niz brojeva:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Možete li uhvatiti obrazac i reći koji će brojevi ići dalje? Papar je jasan, brojevi 100.000, 1.000.000 i tako dalje ići će dalje. Čak i bez puno mentalnog stresa, sve je jasno, zar ne?)
U REDU. Još jedan primjer. Pišem ovaj slijed:
1, 2, 4, 8, 16, …
Moći ćete reći koji će brojevi ići dalje, nakon broja 16 i nazvati osmičlan niza? Ako ste shvatili da bi to bio broj 128, onda vrlo dobro. Dakle, to je pola bitke u razumijevanju značenje i ključne točke geometrijsko napredovanje je već učinjeno. Možete rasti dalje.)
I sada se opet okrećemo od senzacija ka rigoroznoj matematici.
Ključne točke geometrijske progresije.
Ključna točka # 1
Geometrijska progresija je slijed brojeva. Kao i napredovanje. Ništa škakljivo. Samo je ovaj redoslijed uređen različito. Otuda, naravno, ima i drugo ime, da ...
Ključna točka # 2
S drugom ključnom točkom pitanje će biti lukavije. Vratimo se malo unatrag i prisjetimo se ključnog svojstva aritmetičke progresije. Evo ga: svaki se pojam razlikuje od prethodnog za isti iznos.
Je li moguće formulirati slično ključno svojstvo za geometrijsku progresiju? Razmislite malo ... Pobliže pogledajte dane primjere. Jeste li pogodili? Da! U geometrijskoj progresiji (bilo koja!), Svaki se njezin član razlikuje od prethodnog isti broj puta. Stalno!
U prvom primjeru ovaj je broj deset. Koji god član niza koji uzmete veći je od prethodnog deseterostruko.
U drugom primjeru ovo je dvoje: svaki je pojam veći od prethodnog. dvaput.
Upravo se ta ključna točka razlikuje od geometrijske progresije od aritmetičke. U aritmetičkoj progresiji dobiva se svaki sljedeći pojam dodavanje ista vrijednost kao i prethodni pojam. I ovdje - množenje prethodni rok za isti iznos. To je cijela razlika.)
Ključna točka # 3
Ova ključna točka potpuno je identična onoj aritmetičke progresije. Naime: svaki član geometrijske progresije stoji na svom mjestu. Sve je potpuno isto kao u aritmetičkoj progresiji i komentari su, mislim, suvišni. Postoji prvi pojam, postoji sto prvi, itd. Preuredimo barem dva pojma - pravilnost (a s njom i geometrijska progresija) će nestati. Bit će samo niz brojeva bez ikakve logike.
To je sve. To je cijela poanta geometrijske progresije.
Pojmovi i oznake.
Ali sada, nakon što ste shvatili značenje i ključne točke geometrijske progresije, možete prijeći na teoriju. Inače, koja teorija postoji bez razumijevanja značenja, zar ne?
Kako označiti geometrijsku progresiju?
Kako je napisana geometrijska progresija opći pogled? Nema problema! Svaki član napredovanja također je napisan kao pismo. Samo za aritmetičku progresiju obično se koristi slovo "ali", za geometrijske - slovo "b". Broj člana, kao i obično, naznačeno je indeks u donjem desnom kutu... Jednostavno navodimo članove napredovanja odvojene zarezima ili zarezima.
Kao ovo:
b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …
Ukratko, takav napredak je napisan ovako: (b n) .
Ili ovako, za konačne progresije:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
b 1, b 2, ..., b 29, b 30.
Ili, ukratko:
(b n), n=30 .
To su zapravo sve oznake. Sve je isto, samo je slovo drugačije, da.) I sada prelazimo izravno na definiciju.
Definicija geometrijske progresije.
Geometrijska progresija je numerički slijed, čiji prvi član nije nula, a svaki sljedeći pojam jednak je prethodnom izrazu, pomnožen s istim nula brojem.
To je cijela definicija. Većina riječi i fraza su vam jasne i poznate. Ako, naravno, razumijete značenje geometrijske progresije "na prste" i općenito. No, postoji i nekoliko novih fraza na koje bih želio skrenuti posebnu pozornost.
Prvo, riječi: "čiji je prvi član nula".
Ovo ograničenje za prvi mandat nije uvedeno slučajno. Što mislite da će se dogoditi ako prvi mandat b 1 će biti jednako nuli? Čemu će biti jednak drugi pojam ako je svaki pojam veći od prethodnog za isti broj puta? Recimo tri puta? Da vidimo ... Pomnožite prvi član (tj. 0) s 3 i dobijte ... nulu! A treći mandat? Također nula! I četvrti je pojam također nula! Itd…
Dobivamo samo vrećicu kiflica s nizom nula:
0, 0, 0, 0, …
Naravno, takav slijed ima pravo na život, ali to nije od praktičnog interesa. Sve je jasno. Bilo koji njezin član je nula. Zbroj bilo kojeg broja članova također je nula ... Što zanimljivo možete učiniti s tim? Ništa…
Sljedeće ključne riječi: "pomnoženo s istim brojem koji nije nula".
Upravo ovaj broj ima i svoje posebno ime - nazivnik geometrijske progresije... Krenimo s našim poznanstvom.)
Nazivnik geometrijske progresije.
Sve je jednostavnije nego jednostavno.
Nazivnik geometrijske progresije označava nula broj (ili veličinu) koliko putasvaki član progresije više od prethodnog.
Opet, analogno aritmetičkoj progresiji, ključna riječ na koju treba obratiti pažnju u ovoj definiciji je riječ "više"... To znači da se dobiva svaki pojam geometrijske progresije množenje na ovom istom nazivniku prethodni član.
Dopustite mi da objasnim.
Za proračun, recimo drugičlan, morate uzeti prvičlan i pomnožiti njegov je na nazivniku. Za proračun desetičlan, morate uzeti devetičlan i pomnožiti njegov je na nazivniku.
Nazivnik same geometrijske progresije može biti sve što želite. Apsolutno bilo tko! Cijeli, razlomljeni, pozitivni, negativni, iracionalni - svejedno. Osim nule. O tome nam govori riječ "nula" u definiciji. Zašto je ovdje potrebna ova riječ - o tome kasnije.
Nazivnik geometrijske progresije označena, najčešće, slovom q.
Kako ovo vrlo lako pronaći q? Nema problema! Potrebno je uzeti bilo kojeg člana progresije i podijeliti s prethodnim mandatom... Podjela je frakcija... Otuda i naziv - "nazivnik napredovanja". Nazivnik, obično se nalazi u razlomku, da ...) Iako, logično, vrijednost q treba nazvati privatna geometrijska progresija, po analogiji s razlika za aritmetičku progresiju. Ali pristao je nazvati nazivnik... A ni kotač nećemo ponovno izmisliti.)
Definirajmo, na primjer, količinu q za takvu geometrijsku progresiju:
2, 6, 18, 54, …
Sve je osnovno. Uzimamo bilo koji redni broj. Uzimamo sve što želimo. Osim prvog. Na primjer, 18. I podijeli sa prethodni broj... Odnosno do 6.
Dobivamo:
q = 18/6 = 3
To je sve. To je točan odgovor. Za datu geometrijsku progresiju nazivnik je tri.
Pronađimo sada nazivnik q za drugu geometrijsku progresiju. Na primjer, ovako:
1, -2, 4, -8, 16, …
Sve isto. Kakve god znakove imali sami članovi, mi ih i dalje uzimamo bilo koji redni broj (na primjer 16) i podijeliti sa prethodni broj(tj. -8).
Dobivamo:
d = 16/(-8) = -2
I to je sve.) Ovaj se put nazivnik napredovanja pokazao negativnim. Minus dva. Događa se.)
Uzmimo sada sljedeći napredak:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
I opet, bez obzira na vrstu brojeva u nizu (čak i cijeli brojevi, čak i razlomljeni, čak negativni, iako iracionalni), uzimamo bilo koji broj (na primjer, 1/9) i dijelimo s prethodnim brojem (1/3). Prema pravilima za postupanje s razlomcima, naravno.
Dobivamo:
I to je sve.) Ovdje se pokazalo da je nazivnik razloman: q = 1/3.
Ali takav "napredak" kao vi?
3, 3, 3, 3, 3, …
Očito ovdje q = 1 ... Formalno, ovo je također geometrijska progresija, samo sa ravnopravni članovi.) Ali takva napredovanja za studiranje i praktična aplikacija Ne zainteresiran. Isto kao i progresije sa solidnim nulama. Stoga ih nećemo razmatrati.
Kao što vidite, nazivnik napredovanja može biti bilo što - cjelovito, razlomljeno, pozitivno, negativno - bilo što! Ne može biti samo nula. Niste pogodili zašto?
Pa, uzmimo određeni primjer da vidimo što će se dogoditi ako uzmemo kao nazivnik q nula.) Neka, na primjer, imamo b 1 = 2 , ali q = 0 ... Čemu će onda biti jednak drugi mandat?
Smatramo:
b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0
A treći mandat?
b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0
Vrste i ponašanje geometrijskih progresija.
Sa svime je bilo više-manje jasno: ako je razlika u napredovanju d je pozitivan, progresija se povećava. Ako je razlika negativna, tada se napredovanje smanjuje. Postoje samo dvije mogućnosti. Trećeg nema.)
Ali s ponašanjem geometrijske progresije, sve će biti puno zanimljivije i raznovrsnije!)
Čim se pojmovi ovdje ne ponašaju: i povećavaju se i smanjuju, i približavaju se nuli bez ograničenja, pa čak i mijenjaju znakove, naizmjence se bacajući u "plus", pa u "minus"! I u svoj toj raznolikosti morate biti sposobni dobro razumjeti, da ...
Razumijevanje?) Počinjemo s najjednostavnijim slučajem.
Nazivnik je pozitivan ( q >0)
S pozitivnim nazivnikom, prvo, članovi geometrijske progresije mogu ići na plus beskonačnost(tj. povećavati unedogled) i može ići na minus beskonačnost(tj. smanjiti na neodređeno vrijeme). Već smo se navikli na takvo ponašanje progresija.
Na primjer:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Ovdje je sve jednostavno. Ispada svaki član progresije više od prethodnog... Štoviše, ispada svaki član množenje prethodni član u pozitivan broj +2 (tj. q = 2 ). Ponašanje takve progresije je očito: svi članovi progresije rastu unedogled, odlazeći u svemir. Plus beskonačnost ...
I evo evo napretka:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
I ovdje ispada svaki član progresije množenje prethodni član u pozitivan broj +2. Ali ponašanje takve progresije već je potpuno suprotno: ispada svaki član progresije manje od prethodne, a svi se njezini članovi neograničeno smanjuju, odlazeći u minus beskonačnost.
Sada razmislimo: što je zajedničko ovim dvjema progresijama? Tako je, nazivnik! Tu i tamo q = +2 . Pozitivan broj. Dvojka. I ovdje ponašanje ove dvije progresije su u osnovi različite! Niste pogodili zašto? Da! Sve je o prvi mandat! On je, kako kažu, taj koji naziva melodiju.) Uvjerite se i sami.
U prvom slučaju, prvi pojam napredovanja pozitivan(+1) i, prema tome, svi sljedeći pojmovi dobiveni množenjem sa pozitivan nazivnik q = +2 također će biti pozitivan.
Ali u drugom slučaju, prvi mandat negativan(-jedan). Stoga su svi naknadni izrazi napredovanja dobiveni množenjem sa pozitivan q = +2 također će dobiti negativan. Jer "minus" do "plus" uvijek daje "minus", da.)
Kao što vidite, za razliku od aritmetičke progresije, geometrijska se progresija može ponašati potpuno drugačije, ne samo ovisno o iz nazivnikaq, ali i ovisno od prvog člana, Da.)
Zapamtite: ponašanje geometrijske progresije jedinstveno je određeno njezinim prvim članom b 1 i nazivnikq .
I sada započinjemo analizu manje poznatih, ali puno zanimljivijih slučajeva!
Uzmimo za primjer ovaj slijed:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Ovaj slijed je također geometrijska progresija! Ispada i svaki član ove progresije množenje prethodni član istim brojem. Samo je broj - frakcijski: q = +1/2 ... Ili +0,5 ... Štoviše (važno!) Broj, manje od jednog:q = 1/2<1.
Zašto je ova geometrijska progresija zanimljiva? Gdje se trude njezini članovi? Pogledajmo:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Što je ovdje zanimljivo vidjeti? Prvo, pad članova progresije odmah je očit: svaki njegov član manje prethodni točno 2 puta. Ili, prema definiciji geometrijske progresije, svaki pojam više prethodni 1/2 puta od nazivnik progresije q = 1/2 ... I od množenja sa pozitivan broj, manje od jedan, rezultat se obično smanjuje, da ...
Što više može se vidjeti u ponašanju ove progresije? Smanjuju li se njezini članovi neograničen ide u minus beskonačnost? Ne! Smanjuju se na poseban način. U početku se smanjuju prilično brzo, a zatim sve sporije. I cijelo vrijeme boravka pozitivan... Iako vrlo, vrlo mala. A čemu oni sami teže? Niste pogodili? Da! Oni teže nuli!) Štoviše, obratite pažnju, upravo nula članova našeg napretka nikad ne dohvati! Samo beskrajno blizu njega koji se približava. Vrlo je važno.)
Slična će situacija biti u takvoj progresiji:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Ovdje b 1 = -1 , ali q = 1/2 ... Sve je isto, samo što će se sada pojmovi približiti nuli s druge strane, odozdo. Boraveći cijelo vrijeme negativan.)
Takva geometrijska progresija čiji članovi približavajući se nuli unedogled(nije važno, s pozitivne ili negativne strane), u matematici ima posebno ime - beskonačno opadajuća geometrijska progresija. Ovaj je napredak toliko zanimljiv i neobičan da će ga i biti zasebna lekcija .)
Dakle, razmotrili smo sve moguće pozitivan nazivnici su i veliki i manji. Sama jedinica ne smatra se nazivnikom iz gore navedenih razloga (sjetite se primjera s nizom trojki ...)
Rezimirajmo:
pozitivani više od jednog (q> 1), zatim članovi progresije:
a) povećavati u nedogled (akob 1 >0);
b) smanjivati se u nedogled (akob 1 <0).
Ako je nazivnik geometrijska progresija pozitivan i manje od jedne (0< q<1), то члены прогрессии:
a) beskrajno blizu nule iznad(akob 1 >0);
b) beskrajno blizu nule Od ispod(akob 1 <0).
Sada ostaje razmotriti slučaj negativni nazivnik.
Nazivnik je negativan ( q <0)
Nećemo daleko ići za primjerom. Zašto, zapravo, čupava baka?!) Neka, na primjer, bude prvi član progresije b 1 = 1 , i uzmi nazivnik q = -2.
Dobivamo sljedeći slijed:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
I tako dalje.) Ispada svaki član progresije množenje prethodni član u negativan broj-2. U ovom će slučaju svi članovi na neparnim mjestima (prvi, treći, peti itd.) pozitivan, i na parnim mjestima (drugo, četvrto itd.) - negativan. Znakovi se strogo izmjenjuju. Plus-minus-plus-minus ... Ova geometrijska progresija naziva se - znak povećanja naizmjenično.
Gdje se trude njezini članovi? I nigdje.) Da, u apsolutnoj vrijednosti (tj. modulo) pripadnici našeg napretka rastu unedogled (otuda i naziv "raste"). Ali istodobno, svaki član progresije naizmjenično ga baca u toplinu, a zatim u hladnoću. Sad u "plus", pa u "minus". Naše napredovanje fluktuira ... Štoviše, raspon kolebanja brzo raste sa svakim korakom, da.) Stoga težnje članova progresije nekamo odlaze posebno ovdje Ne. Ni plus beskonačnost, ni minus beskonačnost, ni nula - nigdje.
Razmotrimo sada neki razlomljeni nazivnik između nule i minus jedan.
Na primjer, neka bude b 1 = 1 , ali q = -1/2.
Tada dobivamo progresiju:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
I opet imamo izmjenu znakova! No, za razliku od prethodnog primjera, već postoji jasna tendencija da se članovi približe nuli.) Samo što se ovog puta naši pojmovi nuli ne približavaju strogo odozgo ili odozdo, već opet oklijevajući... Naizmjence uzimajući pozitivne i negativne vrijednosti. Ali istodobno i njihova modula sve su bliže cijenjenoj nuli.)
Takva se geometrijska progresija naziva beskonačno opadajući znak naizmjenično.
Zašto su ova dva primjera zanimljiva? I činjenica da u oba slučaja postoji izmjena znakova! Takva je značajka tipična samo za napredovanja s negativnim nazivnikom, da.) Dakle, ako u nekom zadatku vidite geometrijsku progresiju s izmjeničnim članovima, već ćete čvrsto znati da je njezin nazivnik 100% negativan i nećete pogriješiti u znak.)
Inače, u slučaju negativnog nazivnika, znak prvog člana uopće ne utječe na ponašanje same progresije. Bez obzira koliko je prvi član napredovanja upoznat, u svakom će se slučaju primijetiti izmjena članova. Cijelo pitanje je samo na kojim mjestima(parni ili neparni) bit će članovi s određenim znakovima.
Zapamtiti:
Ako je nazivnik geometrijska progresija negativan , tada su znakovi članova progresije uvijek zamjenski.
Štoviše, sami članovi:
a) povećavati u nedogledmodulo, akoq<-1;
b) beskonačno se približiti nuli ako je -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
To je sve. Riješe se svi tipični slučajevi.)
U procesu raščlanjivanja različitih primjera geometrijskih progresija, povremeno sam koristio riječi: "teži nuli", "teži plus beskonačnosti", "teži minus minus beskonačnosti"... U redu je.) Te su fraze (i konkretni primjeri) samo početno upoznavanje s njima ponašanješirok izbor brojevnih nizova. Na primjeru geometrijske progresije.
Zašto uopće trebamo znati ponašanje progresije? Kakva je razlika kamo tamo ide? Bilo na nulu, na plus beskonačnost, na minus beskonačnost ... Što nam je važno?
Stvar je u tome što će vam već na sveučilištu, u toku više matematike, trebati sposobnost rada s raznim numeričkim sekvencama (s bilo kojim, ne samo progresijama!) I sposobnost da zamislite točno kako se ponaša ovaj ili onaj niz - povećava li se neograničeno, smanjuje li se, teži li određenom broju (a ne nužno nuli) ili čak nimalo ne teži ... Čitav je odjeljak posvećen ovoj temi tijekom matematičkog analiza - teorija granica. I malo konkretnije - koncept ograničenje niza brojeva. Vrlo zanimljiva tema! Ima smisla ići na fakultet i shvatiti.)
Neki primjeri iz ovog odjeljka (sekvence s ograničenjem), a posebno, beskonačno opadajuća geometrijska progresija početi svladavati u školi. Naviknimo se na to.)
Štoviše, sposobnost dobrog proučavanja ponašanja sekvenci u budućnosti će igrati na ruku velikima i bit će vrlo korisna u proučavanje funkcija. Najraznolikiji. Ali sposobnost kompetentnog rada s funkcijama (izračunavanje izvedenica, njihovo potpuno istraživanje, izrada njihovih grafova) već dramatično povećava vašu matematičku razinu! Sumnjati? Nema potrebe. Sjetite se i mojih riječi.)
Pogledajmo geometrijsku progresiju u životu?
U životu oko sebe vrlo, vrlo često susrećemo eksponencijalni napredak. Čak i ne znajući.)
Na primjer, razni mikroorganizmi koji nas svugdje okružuju u ogromnom broju i koje ne možemo vidjeti čak ni bez mikroskopa, umnožavaju se točno u geometrijskoj progresiji.
Recimo da se jedna bakterija množi dijeljenjem na pola, dajući potomstvo od 2 bakterije. Zauzvrat, svaka od njih, množeći se, također dijeli na pola, dajući ukupno potomstvo od 4 bakterije. Sljedeća generacija dat će 8 bakterija, zatim 16 bakterija, 32, 64 i tako dalje. Sa svakom uzastopnom generacijom, broj bakterija se udvostručuje. Tipičan primjer geometrijske progresije.)
Također, neki se insekti umnožavaju eksponencijalno - lisne uši, muhe. Inače, ponekad i zečevi.)
Drugi primjer geometrijske progresije, koja je već bliža svakodnevnom životu, je tzv zajednički interes. Takva zanimljiva pojava često se nalazi u bankovnim depozitima i naziva se kapitalizacija kamata.Što je?
I sami ste još uvijek mladi, naravno. Učite u školi, ne idite u banke. Ali vaši su roditelji odrasli i neovisni ljudi. Odlaze na posao, zarađuju za kruh i stavljaju dio novca u banku, štedeći.)
Recimo da vaš otac želi uštedjeti određenu svotu novca za obiteljski odmor u Turskoj i staviti 50 000 rubalja u banku pod 10% godišnje na razdoblje od tri godine s godišnjom kapitalizacijom kamata.Štoviše, tijekom cijelog tog razdoblja ništa se ne može učiniti s pologom. Ne možete niti napuniti depozit, niti podići novac s računa. Kakvu će zaradu ostvariti u ove tri godine?
Pa, prvo, morate shvatiti koliko iznosi 10% godišnje. Znači da u godini banka će dodati 10% na početni iznos depozita. Iz čega? Naravno, iz početni iznos pologa.
Izračunavamo veličinu računa u godini. Ako je početni iznos depozita iznosio 50 000 rubalja (tj. 100%), kolika će za godinu dana biti kamata na računu? Tako je, 110%! Od 50 000 rubalja.
Dakle, smatramo 110% od 50 000 rubalja:
50 000 1,1 = 55 000 rubalja.
Nadam se da razumijete da pronalazak 110% vrijednosti znači pomnoženje te vrijednosti s 1,1? Ako ne razumijete zašto je to tako, sjetite se petog i šestog razreda. Naime - povezanost postotaka s razlomcima i dijelovima.)
Dakle, povećanje za prvu godinu iznosit će 5.000 rubalja.
Koliko će novca biti na računu za dvije godine? 60 000 rubalja? Nažalost (ili bolje rečeno, na sreću) stvari nisu tako jednostavne. Cjelokupni fokus kapitalizacije kamata je da će se sa svakim novim obračunom kamata ti isti kamate već uzeti u obzir od novog iznosa! Od onoga koji već broji Trenutno. A kamate nastale u prethodnom razdoblju dodaju se izvornom iznosu depozita i na taj način i sami sudjeluju u izračunu novih kamata! Odnosno, oni postaju punopravni dio općeg računa. Ili općenito glavni. Otuda i naziv - kapitalizacija kamata.
Ovo je u gospodarstvu. A u matematici se nazivaju takvi postoci zajednički interes. Ili posto kamata.) Njihov je trik u tome što se u sekvencijalnom izračunu postoci izračunavaju svaki put od nove vrijednosti. A ne iz originala ...
Stoga, za izračun iznosa kroz dvije godine, moramo izračunati 110% iznosa koji će biti na računu u godini. Odnosno, od 55 000 rubalja.
110% od 55.000 rubalja smatramo:
55.000 1,1 = 60.500 rubalja.
To znači da će postotak povećanja u drugoj godini već biti 5500 rubalja, a za dvije godine - 10500 rubalja.
Sada već možete pretpostaviti da će za tri godine iznos na računu biti 110% od 60.500 rubalja. To je opet 110% iz prethodne (prošle godine) količina.
Dakle, uzimamo u obzir:
60.500 1,1 = 66.550 rubalja.
I sada poredavamo svoje svote novca tijekom godina u slijedu:
50000;
55.000 = 50.000 1,1;
60 500 = 55 000 1,1 = (50 000 1,1) 1,1;
66550 = 60500 1,1 = ((50 000 1,1) 1,1) 1,1
Pa kako? Nije li to geometrijska progresija? Prvi mandat b 1 = 50000 , i nazivnik q = 1,1 ... Svaki je pojam strogo 1,1 puta veći od prethodnog. Sve je u strogom skladu s definicijom.)
A koliko dodatnih bonusa za kamate će vaš otac "kapnuti" dok je njegovih 50.000 rubalja bio na bankovnom računu tri godine?
Smatramo:
66.550 - 50.000 = 16.550 rubalja
Rijetko, naravno. Ali to je ako je početni iznos pologa mali. A ako više? Recimo, ne 50, već 200 tisuća rubalja? Tada će porast za tri godine već iznositi 66200 rubalja (ako računate). Što je već vrlo dobro.) A ako je doprinos još veći? To je to ...
Zaključak: što je veći početni doprinos, kapitalizacija kamata postaje isplativija. Zbog toga banke depozite s kapitalizacijom kamata osiguravaju na dulja razdoblja. Recimo, pet godina.
Također, sve vrste loših bolesti poput gripe, ospica i još strašnijih bolesti (ista atipična upala pluća početkom 2000-ih ili kuga u srednjem vijeku) vole se eksponencijalno širiti. Otuda i razmjere epidemija, da ...) I sve zbog činjenice da je geometrijska progresija sa cijeli pozitivni nazivnik (q>1) - stvar koja vrlo brzo raste! Sjetite se množenja bakterija: od jedne bakterije dobivaju se dvije, od dvije - četiri, od četiri - osam i tako dalje ... S širenjem bilo koje infekcije, sve je isto.)
Najjednostavniji problemi u geometrijskoj progresiji.
Počnimo, kao i uvijek, s jednostavnim problemom. Čisto za razumijevanje značenja.
1. Poznato je da je drugi član geometrijske progresije 6, a nazivnik -0,5. Pronađite prvog, trećeg i četvrtog člana.
Dakle, dobili smo beskrajne geometrijska progresija, ali poznata drugi termin ovaj napredak:
b 2 = 6
Uz to, također znamo nazivnik progresije:
q = -0,5
I trebate pronaći prvo, treće i Četvrta pripadnici ove progresije.
Tako djelujemo. Slijed zapisujemo prema stanju zadatka. Općenito, gdje je drugi pojam šestica:
b 1, 6,b 3 , b 4 , …
Počnimo sada tražiti. Počinjemo, kao i uvijek, s najjednostavnijim. Možete računati, na primjer, treći pojam b 3? Limenka! Već znamo (izravno iz značenja geometrijske progresije) da je treći pojam (b 3) više od drugog (b 2 ) u "q" jednom!
Pa pišemo:
b 3 =b 2 · q
U ovom izrazu zamjenjujemo šesticu umjesto b 2 i -0,5 umjesto q i brojati. A ne zanemarujemo ni minus, naravno ...
b 3 = 6 (-0,5) = -3
Kao ovo. Treći je mandat bio negativan. Nije ni čudo: naš nazivnik q- negativan. A plus pomnožen s minusom, bit će, očito, minus.)
Sada razmatramo sljedeći, četvrti pojam napredovanja:
b 4 =b 3 · q
b 4 = -3 (-0,5) = 1,5
Četvrti mandat - opet s plusom. Peti mandat bit će opet s minusom, šesti s plusom i tako dalje. Znakovi se izmjenjuju!
Dakle, pronađeni su treći i četvrti član. Ispao je sljedeći slijed:
b 1; 6; -3; 1,5; ...
Sada ostaje pronaći prvi termin b 1 prema dobro poznatoj drugoj. Da bismo to učinili, već hodamo u drugom smjeru, ulijevo. To znači da u ovom slučaju ne trebamo množiti drugi pojam napredovanja nazivnikom, već udio.
Podijelite i uzmite:
To je sve.) Odgovor na problem bit će sljedeći:
-12; 6; -3; 1,5; …
Kao što vidite, načelo rješenja je isto kao u. Znamo bilo kojičlan i nazivnik geometrijska progresija - možemo pronaći bilo kojeg drugog njezinog člana. Naći ćemo ono što želimo.) Jedina je razlika što se zbrajanje / oduzimanje zamjenjuje množenjem / dijeljenjem.
Zapamtite: ako znamo barem jedan pojam i nazivnik geometrijske progresije, tada uvijek možemo pronaći bilo kojeg drugog člana ove progresije.
Sljedeći problem, prema tradiciji, iz stvarne verzije OGE:
2.
...; 150; NS; 6; 1,2; ...
Pa kako? Ovaj put ne postoji prvi pojam, niti nazivnik q, dat je samo niz brojeva ... Već nešto poznato, zar ne? Da! Sličan problem već je shvaćen u aritmetičkoj progresiji!
Dakle, ne bojimo se. Sve isto. Uključujemo glavu i sjetimo se elementarnog značenja geometrijske progresije. Pomno promatramo naš slijed i otkrivamo koji su parametri geometrijske progresije tri glavna (prvi pojam, nazivnik, broj člana) skriveni u njemu.
Brojevi članova? Ne postoje brojevi članova, da ... Ali postoje četiri uzastopni brojevi. Ne vidim smisao objašnjavanja što ova riječ znači u ovoj fazi.) Postoje li dvije susjedni poznati brojevi? Tamo je! To su 6 i 1.2. Pa možemo pronaći nazivnik napredovanja. Dakle, uzmemo broj 1.2 i podijelimo na prethodni broj.Šest.
Dobivamo:
Dobivamo:
x= 150 0,2 = 30
Odgovor: x = 30 .
Kao što vidite, sve je prilično jednostavno. Glavna poteškoća leži samo u izračunima. Naročito je teško u slučaju negativnih i razlomljenih nazivnika. Pa za one koji imaju problema, ponovite aritmetiku! Kako raditi s razlomcima, kako raditi s negativnim brojevima i tako dalje ... Inače ćete ovdje nemilosrdno usporavati.
Sada malo promijenimo problem. Sad će biti zanimljivo! Uklonimo s njega zadnji broj 1.2. Riješimo ovaj problem sada:
3. Nekoliko uzastopnih članova geometrijske progresije je zapisano:
...; 150; NS; 6; ...
Pronađite pojam u progresiji označenoj slovom x.
Sve je isto, samo dvije susjedne poznati pripadnici progresije sada su nestali. To je glavni problem. Jer veličina q kroz dva susjedna pojma već nas je tako lako odrediti ne možemo. Imamo li priliku da se nosimo sa zadatkom? Naravno!
Potpišimo nepoznatog člana " x"izravno u smislu geometrijske progresije! Općenito.
Da da! Ravno s nepoznatim nazivnikom!
S jedne strane, za x možemo napisati sljedeći omjer:
x= 150q
S druge strane, imamo puno pravo naslikati ovaj isti X Sljedećičlan kroz šesticu! Dijeljenjem šest nazivnikom.
Kao ovo:
x = 6/ q
Očito, sada možete izjednačiti oba ova omjera. Budući da izražavamo isto magnitude (x), ali dvije različiti putevi.
Dobivamo jednadžbu:
Množeći sve po q, pojednostavljujući, smanjujući, dobivamo jednadžbu:
q 2 = 1/25
Riješimo i dobivamo:
q = ± 1/5 = ± 0,2
Ups! Nazivnik je dvostruk! +0,2 i -0,2. A koju biste trebali odabrati? Slijepa ulica?
Smiriti! Da, zadatak zaista ima dva rješenja! Ništa loše u tome. To se događa.) Ne iznenađujete se kada, na primjer, dobijete dva korijena, rješavajući uobičajeno? Evo iste priče.)
Za q = +0,2 dobit ćemo:
X = 150 0,2 = 30
I za q = -0,2 bit će:
X = 150 (-0,2) = -30
Dobivamo dvostruki odgovor: x = 30; x = -30.
Što znači ova zanimljiva činjenica? I ono što postoji dvije progresije zadovoljavajući uvjet problema!
Poput ovih:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Oboje odgovaraju.) Što mislite da je razlog naših podijeljenih odgovora? Samo zbog uklanjanja određenog člana progresije (1,2), koji dolazi nakon šest. A znajući samo prethodni (n-1) i sljedeći (n + 1) -ti pojam geometrijske progresije, ne možemo više ništa nedvosmisleno reći o n-tom članu koji stoji između njih. Dvije su mogućnosti - plus i minus.
Ali nema veze. U pravilu, u zadacima za geometrijsku progresiju postoje dodatne informacije koje daju jednoznačan odgovor. Recimo riječi: "izmjenično napredovanje" ili "napredak pozitivnog nazivnika" i tako dalje ... Upravo bi te riječi trebale poslužiti kao trag, koji znak, plus ili minus, treba odabrati prilikom donošenja konačnog odgovora. Ako takvih informacija nema, onda da, zadatak će imati dva rješenja.)
A sada sami odlučujemo.
4. Utvrdite je li broj 20 član geometrijske progresije:
4 ; 6; 9; …
5. Daje se izmjenična geometrijska progresija:
…; 5; x ; 45; …
Pronađite pojam u progresiji označenoj slovom x .
6. Pronađite četvrti pozitivni član geometrijske progresije:
625; -250; 100; …
7. Drugi član geometrijske progresije je -360, a peti 23.04. Pronađite prvog člana ove progresije.
Odgovori (u rasulu): -15; 900; Ne; 2.56.
Svaka čast ako je sve uspjelo!
Nešto ne odgovara? Jeste li negdje dobili dvostruki odgovor? Pažljivo smo pročitali uvjete zadatka!
Posljednji problem nije izlazak? Nema ništa komplicirano.) Radimo izravno u smislu geometrijske progresije. Pa, možete nacrtati sliku. Pomaže.)
Kao što vidite, sve je osnovno. Ako je napredovanje kratko. A ako je dugo? Ili je broj željenog člana vrlo velik? Volio bih, analogno aritmetičkoj progresiji, nekako dobiti prikladnu formulu koja olakšava pronalaženje bilo koji pripadnik bilo koje geometrijske progresije po njegovom broju. Bez množenja puno, puno puta sa q... A takva formula postoji!) Pojedinosti su u sljedećoj lekciji.
Formula za n-ti pojam geometrijske progresije vrlo je jednostavna. I u značenju i u općenitom izgledu. Ali za formulu n-tog pojma postoje razni problemi - od vrlo primitivnih do sasvim ozbiljnih. I u procesu našeg upoznavanja, definitivno ćemo razmotriti oboje. Pa, upoznajmo se?)
Dakle, za početak formulan
Evo je:
b n = b 1 · q n -1
Formula kao formula, ništa nadnaravno. Izgleda još jednostavnije i kompaktnije od slične formule za. Značenje formule je također jednostavno, poput čizme od filca.
Ova formula omogućuje vam da pronađete bilo kojeg člana geometrijske progresije PO NJEGOVOM BROJU " n".
Kao što vidite, značenje je potpuna analogija s aritmetičkom progresijom. Znamo broj n - pod tim brojem možemo izračunati i pojam. Što želimo. Bez množenja uzastopno s "q" puno, puno puta. To je cijela poanta.)
Razumijem da bi vam na ovoj razini rada s progresijama sve vrijednosti uključene u formulu već trebale biti jasne, ali svejedno smatram svojom dužnošću dešifrirati svaku od njih. Za svaki slučaj.
Pa, idemo:
b 1 – prvi pripadnik geometrijske progresije;
q – ;
n- broj člana;
b n – nth (nth) pripadnik geometrijske progresije.
Ova formula povezuje četiri glavna parametra bilo koje geometrijske progresije - bn, b 1 , q i n... A oko ove četiri ključne brojke vrte se svi zadaci u napredovanju.
"Kako se prikazuje?"- Čujem znatiželjno pitanje ... Osnovno! Izgled!
Čemu je jednako drugičlan progresije? Nema problema! Pišemo izravno:
b 2 = b 1 q
A treći mandat? Ni problem! Množimo drugi pojam još jednomq.
Kao ovo:
B 3 = b 2 q
Prisjetimo se sada da je drugi član zauzvrat jednak b 1 q i zamijenimo ovaj izraz u našu jednakost:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Dobivamo:
B 3 = b 1 q 2
Pročitajmo sada naš unos na ruskom: Treći Izraz je jednak prvom članu puta q u drugi stupanj. Shvaćate li? Ne još? Dobro, još jedan korak.
Koji je četvrti mandat? Sve isto! Pomnožiti prethodni(tj. treći pojam) od q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
Ukupno:
B 4 = b 1 q 3
I opet prevodimo na ruski: Četvrta Izraz je jednak prvom članu puta q u treći stupanj.
Itd. Pa kako? Imate obrazac? Da! Za bilo koji pojam s bilo kojim brojem, uvijek će biti identičan broj čimbenika q (tj. Stupanj nazivnika) jedan manje od broja traženog pojman.
Stoga će naša formula biti bez mogućnosti:
b n =b 1 · q n -1
To je sve.)
Pa, riješimo probleme, vjerojatno?)
Rješavanje problema s formulomnth član geometrijske progresije.
Počnimo, kao i obično, izravnom primjenom formule. Evo tipičnog problema:
Eksponencijalno je poznato da b 1 = 512 i q = -1/2. Pronađite deseti pojam u progresiji.
Naravno, ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula. Izravno u značenju geometrijske progresije. Ali moramo se zagrijati s formulom n-tog pojma, zar ne? Pa se zagrijavamo.
Naši podaci za primjenu formule su sljedeći.
Poznat je prvi član. 512 je.
b 1 = 512.
Također je poznat nazivnik napredovanja: q = -1/2.
Ostaje samo odgonetnuti koliki je broj člana n. Nema problema! Zanima li nas deseti mandat? Dakle, u opću formulu zamjenjujemo deset umjesto n.
A mi točno računamo aritmetiku:
Odgovor: -1
Kao što vidite, pokazalo se da je deseti termin napredovanja bio s minusom. Nije ni čudo: nazivnik napredovanja je -1/2, tj. negativan broj. I to nam govori da se znakovi našeg napredovanja izmjenjuju, da.)
Ovdje je sve jednostavno. I ovdje je sličan zadatak, ali malo složeniji u smislu izračuna.
Eksponencijalno je poznato da:
b 1 = 3
Pronađite trinaesti pojam u progresiji.
Sve je isto, samo što je ovaj put nazivnik napredovanja iracionalno... Korijen dva. Pa, to je u redu. Formula je univerzalna stvar, nosi se s bilo kojim brojevima.
Radimo izravno prema formuli:
Formula je, naravno, djelovala kako bi trebala, ali ... ovdje će se neki smrznuti. Što dalje s korijenom? Kako podići korijen do dvanaeste moći?
Kako-kako ... Morate shvatiti da je bilo koja formula, naravno, dobra stvar, ali znanje iz sve prethodne matematike se ne ukida! Kako graditi? Da, svojstva stupnjeva za pamćenje! Pretvorimo korijen u razlomljeni eksponent i - prema formuli potenciranja.
Kao ovo:
Odgovor: 192
I to je sve.)
Koja je glavna poteškoća u izravnoj primjeni formule n-pojma? Da! Glavna poteškoća je radite s diplomama! Naime - uzdizanje u moć negativnih brojeva, razlomaka, korijena i slično. Dakle, oni koji imaju problema s tim, pozivamo vas da ponovite stupnjeve i njihova svojstva! Inače ćete usporiti u ovoj temi, da ...)
Riješimo sada tipične probleme pretraživanja jedan od elemenata formule ako se daju svi drugi. Za uspješno rješavanje takvih problema recept je ujednačen i užasno jednostavan - pisanje formulenth član općenito! Točno u bilježnici pored stanja. A onda, iz stanja, shvatimo što nam je dato i što nedostaje. I izražavamo traženu vrijednost iz formule. Sve!
Na primjer, takav bezazlen zadatak.
Peti član geometrijske progresije s nazivnikom 3 je 567. Nađi prvi član ove progresije.
Ništa komplicirano. Radimo izravno po čaroliji.
Napisujemo formulu za n-ti pojam!
b n = b 1 · q n -1
Što nam je dato? Prvo je dan nazivnik napredovanja: q = 3.
Uz to smo dobili peti mandat: b 5 = 567 .
Sve? Ne! Također smo dobili broj n! Ovo je petica: n = 5.
Nadam se da već razumijete što se nalazi na snimci b 5 = 567 dva su parametra odjednom skrivena - ovo je sam peti pojam (567) i njegov broj (5). U sličnoj lekciji o tome već sam govorio o ovome, ali ovdje mislim da nije suvišno podsjetiti vas.)
Sada svoje podatke zamjenjujemo u formuli:
567 = b 1 · 3 5-1
Računamo aritmetiku, pojednostavljujemo i dobivamo jednostavnu linearnu jednadžbu:
81 b 1 = 567
Riješimo i dobivamo:
b 1 = 7
Kao što vidite, nema problema s pronalaskom prvog člana. Ali kad se traži nazivnik q i brojevi n može biti iznenađenja. A također morate biti spremni na njih (na iznenađenja), da.)
Na primjer, ovaj problem:
Peti član geometrijske progresije s pozitivnim nazivnikom je 162, a prvi član ove progresije je 2. Pronađite nazivnik progresije.
Ovaj put dobivamo prvi i peti pojam i tražimo da pronađemo nazivnik napredovanja. Pa krenimo.
Napišemo formulunth član!
b n = b 1 · q n -1
Naši početni podaci bit će sljedeći:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Nema dovoljno značenja q... Nema problema! Sad ćemo ga pronaći.) U formulu zamjenjujemo sve što znamo.
Dobivamo:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Jednostavna jednadžba četvrtog stupnja. Ali sad - pažljivo! U ovoj fazi rješenja mnogi učenici odmah radosno izvade korijen (četvrti stupanj) i dobiju odgovor. q=3 .
Kao ovo:
q 4 = 81
q = 3
Ali zapravo, ovo je nedovršeni odgovor. Točnije, nepotpuno. Zašto? Poanta je u tome da je odgovor takav q = -3 također odgovara: (-3) 4 će biti i 81!
To je zbog činjenice da jednadžba snage x n = a uvijek ima dva suprotna korijena na čakn . Uz plus i minus:
Oboje odgovaraju.
Na primjer, rješavanje (tj. drugi stupanj)
x 2 = 9
Iz nekog razloga niste iznenađeni izgledom dva korijeni x = ± 3? Ovdje je ista stvar. I s bilo kojim drugim čak stupanj (četvrti, šesti, deseti, itd.) bit će isti. Pojedinosti - u temi o
Stoga bi ispravno rješenje bilo ovako:
q 4 = 81
q= ± 3
Dobro, shvatili smo znakove. Koji je točan - plus ili minus? Pa, još smo jednom pročitali stanje problema u potrazi za dodatne informacije. To, naravno, možda nije tamo, ali u ovom zadatku takve informacije dostupno. U našem se stanju u običnom tekstu kaže da se daje progresija pozitivni nazivnik.
Stoga je odgovor očit:
q = 3
Ovdje je sve jednostavno. Što mislite da bi bilo kad bi izjava o problemu bila ovakva:
Peti član geometrijske progresije je 162, a prvi član ove progresije je 2. Pronađi nazivnik progresije.
Koja je razlika? Da! U stanju ništa nije rečeno o znaku nazivnika. Ni izravno ni neizravno. A ovdje bi zadatak već imao dva rješenja!
q = 3 i q = -3
Da da! I s plusom i minusom.) Matematički bi ta činjenica značila da ih ima dvije progresije koji odgovaraju stanju problema. I za svakog - svoj nazivnik. Iz zabave vježbajte i zapišite prvih pet članova svakog od njih.)
Sada ćemo vježbati pronalaženje broja člana. To je najteži zadatak, da. Ali i kreativniji.)
Daje se geometrijska progresija:
3; 6; 12; 24; …
Koji je broj 768 u ovom napredovanju?
Prvi korak je i dalje isti: pisanje formulenth član!
b n = b 1 · q n -1
I sada, kao i obično, u njega zamjenjujemo podatke koje znamo. Hm ... nije zamijenjeno! Gdje je prvi pojam, gdje je nazivnik, gdje je sve ostalo ?!
Gdje, gdje ... A zašto su nam potrebne oči? Pljeskati trepavicama? Ovaj put napredak nam je dan izravno u obliku slijed. Vidite prvi termin? Mi vidimo! Ovo je trojka (b 1 = 3). Što je s nazivnikom? Još ga ne vidimo, ali vrlo je lako pobrojati. Ako, naravno, razumijete.
Dakle, računamo. Izravno u smislu geometrijske progresije: uzimamo bilo koji od njegovih članova (osim prvog) i dijelimo s prethodnim.
Barem ovako:
q = 24/12 = 2
Što još znamo? Također znamo određenog člana ove progresije, jednakog 768. Pod nekim brojem n:
b n = 768
Njegov nam je broj nepoznat, ali naš je zadatak upravo pronaći ga.) Dakle, tražimo. U formulu smo već preuzeli sve potrebne podatke za zamjenu. Ne znajući za sebe.)
Dakle, zamjenjujemo:
768 = 3,2n -1
Radimo elementarne - dijelimo oba dijela na tri i prepisujemo jednadžbu u uobičajeni oblik: nepoznato slijeva, poznato - desno.
Dobivamo:
2 n -1 = 256
Evo zanimljive jednadžbe. Moramo pronaći "n". Što je neobično? Da, ne svađam se. Zapravo, ovo je najjednostavnije. Tako se naziva zbog činjenice da je nepoznato (u ovom slučaju to je broj n) stoji u indikator stupanj.
U fazi upoznavanja geometrijske progresije (ovo je deveti razred), eksponencijalne jednadžbe se ne uče rješavati, da ... Ovo je tema za srednju školu. Ali nema ništa strašno. Čak i ako ne znate kako se takve jednadžbe rješavaju, mi ćemo pokušati pronaći našu n vođeni jednostavnom logikom i zdravim razumom.
Počinjemo rasuđivati. S lijeve strane imamo dvojku do određenog stupnja... Još ne znamo koja je točno ova diploma, ali to nije zastrašujuće. Ali s druge strane, čvrsto znamo da je taj stupanj jednak 256! Dakle, sjetimo se u kojoj nam mjeri dvoje daje 256. Sjećate se? Da! U osmi stupanj!
256 = 2 8
Ako se niste sjećali ili s prepoznavanjem stupnjeva problema, onda je i to u redu: samo dvije uzastopno podižemo na kvadrat, na kocku, na četvrti stupanj, peti itd. Izbor je, zapravo, ali na ovoj razini prilično dobar.
Na ovaj ili onaj način dobivamo:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Dakle, 768 je devetičlan naše progresije. To je to, problem je riješen.)
Odgovor: 9
Što? Dosadno? Dosta vam je osnovnih stvari? Slažem se. I ja isto. Idemo na sljedeću razinu.)
Izazovniji zadaci.
A sada probleme rješavamo naglo. Nije baš super cool, ali još uvijek imaju malo posla kako bi došli do odgovora.
Na primjer, ovo.
Pronađite drugi član geometrijske progresije ako je četvrti član -24, a sedmi 192.
Ovo je klasika žanra. Poznata su dva različita člana progresije, ali još neki član mora biti pronađen. Štoviše, svi članovi NISU susjedni. Što je u početku neugodno, da ...
Kao i kasnije, razmotrit ćemo dva načina za rješavanje takvih problema. Prva metoda je univerzalna. Algebarski. Besprijekorno radi s bilo kojim izvornim podacima. Stoga ćemo započeti s njim.)
Svaki pojam zapisujemo prema formuli nth član!
Sve je točno kao kod aritmetičke progresije. Samo ovaj put radimo s još opća formula. To je sve.) Ali suština je ista: uzimamo i jedan po jedan svoje početne podatke zamjenjujemo u formuli n-tog člana. Za svakog člana - svoj.
Za četvrtog člana pišemo:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Tamo je. Jedna jednadžba je spremna.
Za sedmog člana pišemo:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Ukupno smo dobili dvije jednadžbe za isti napredak .
Od njih prikupljamo sustav:
Unatoč strašnom izgledu, sustav je prilično jednostavan. Najočitije rješenje je obična zamjena. Izražavamo b 1 iz gornje jednadžbe i zamijeni u donju:
Nakon malo petljanja s donjom jednadžbom (smanjenjem potencijala i dijeljenjem s -24), dobivamo:
q 3 = -8
Usput, možete doći do iste jednadžbe na jednostavniji način! Kako? Sada ću vam pokazati još jedan tajni, ali vrlo lijep, moćan i koristan način rješavanja takvih sustava. Takvi sustavi u jednadžbama kojih sjede samo djeluje. Najmanje jedan. Nazvan metoda podjele pojmova jedna jednadžba drugoj.
Dakle, pred nama je sustav:
U obje jednadžbe lijevo - raditi a s desne strane je samo broj. Ovo je vrlo dobar znak.) Uzmimo i ... podijelimo, recimo, donju jednadžbu s gornjom! Što znači, podijeliti jednu jednadžbu drugom? Jako jednostavno. Uzimamo lijeva strana jedna jednadžba (donja) i podijeliti nju na lijeva strana druga jednadžba (vrh). Desna strana je slična: desna strana jedna jednadžba podijeliti na desna strana još.
Cijeli postupak podjele izgleda ovako:
Sada, nakon što smo sveli sve što se smanjilo, dobivamo:
q 3 = -8
Zašto je ova metoda dobra? Da, jer se u procesu takve podjele sve loše i nezgodno može sigurno smanjiti i ostaje potpuno bezazlena jednadžba! Zbog toga je tako važno imati samo množenja u barem jednoj od jednadžbi sustava. Nema množenja - nema se što smanjiti, da ...
Općenito, ova metoda (kao i mnogi drugi netrivijalni načini rješavanja sustava) čak zaslužuje zasebnu lekciju. Svakako ću ga detaljnije analizirati. Jednog dana…
Međutim, nije važno kako ćete riješiti sustav, u svakom slučaju, sada moramo riješiti rezultirajuću jednadžbu:
q 3 = -8
Nema problema: izvadite korijen (kubični) i gotovi ste!
Napominjemo da prilikom izvlačenja ovdje ne morate stavljati plus / minus. Imamo neparan (treći) stupanj korijena. I odgovor je također isti, da.)
Dakle, nazivnik napredovanja je pronađen. Minus dva. Izvrsno! Proces je u tijeku.)
Za prvi pojam (recimo, iz gornje jednadžbe) dobivamo:
Izvrsno! Znamo prvi pojam, znamo nazivnik. I sada imamo priliku pronaći bilo kojeg člana progresije. Uključujući i drugu.)
Za drugi mandat, sve je vrlo jednostavno:
b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6
Odgovor: -6
Dakle, postavili smo algebarski način rješavanja problema. Teško? Ne baš, slažem se. Dugo i dosadno? Da apsolutno. Ali ponekad možete znatno smanjiti količinu posla. Za ovo postoji grafički način. Dobro nam staro i poznato.)
Crtanje problema!
Da! Točno. Opet crtamo svoj napredak na brojevnoj osi. Nije potrebno slijediti ravnala, nije potrebno održavati jednake intervale između članova (koji, usput rečeno, neće biti isti, budući da je napredovanje geometrijsko!), Već jednostavno shematski nacrtaj naš slijed.
Shvatio sam ovako:
A sada gledamo sliku i razmišljamo. Koliko identičnih čimbenika dijeli "q" Četvrta i sedmičlanovi? Tako je, tri!
Stoga imamo puno pravo zapisati:
-24q 3 = 192
Stoga se q sada lako traži:
q 3 = -8
q = -2
To je sjajno, nazivnik je već u našem džepu. I sada opet gledamo sliku: između koliko takvih nazivnika sjedi drugi i Četvrtačlanovi? Dva! Stoga će zabilježiti vezu između ovih izraza nazivnik na kvadrat.
Pa pišemo:
b 2 · q 2 = -24 , gdje b 2 = -24/ q 2
Zamijenimo naš pronađeni nazivnik u izraz za b 2, prebrojimo i dobijemo:
Odgovor: -6
Kao što vidite, sve je puno lakše i brže nego kroz sustav. Štoviše, ovdje uopće nismo ni trebali brojati prvi mandat! Uopće.)
Evo jednostavnog i intuitivnog načina osvjetljenja. Ali on ima i ozbiljan nedostatak. Jeste li pogodili? Da! Djeluje samo za vrlo kratke kriške progresije. Oni u kojima udaljenost između članova koji nas zanimaju nije baš velika. Ali u svim ostalim slučajevima već je teško nacrtati sliku, da ... Tada problem rješavamo analitički, kroz sustav.) A sustavi su univerzalna stvar. Može se riješiti bilo koji broj.
Još jedan epski izazov:
Drugi je član geometrijske progresije za 10 veći od prvog, a treći je za 30 više od drugog. Pronađite nazivnik progresije.
Što je cool? Nikako! Sve isto. Izjavu problema opet prevedemo u čistu algebru.
1) Svaki pojam zapisujemo prema formuli nth član!
Drugi pojam: b 2 = b 1 q
Treći pojam: b 3 = b 1 q 2
2) Vezu između članova zapisujemo iz izjave o problemu.
Pročitali smo uvjet: "Drugi je pojam geometrijske progresije 10 više od prvog." Stani, ovo je vrijedno!
Pa pišemo:
b 2 = b 1 +10
I ovu frazu prevedemo u čistu matematiku:
b 3 = b 2 +30
Dobili smo dvije jednadžbe. Kombiniramo ih u sustav:
Sustav izgleda jednostavno. Ali postoji puno različitih indeksa za slova. Zamijenimo umjesto drugog i trećeg pojma njihova izraza kroz prvi pojam i nazivnik! Jesmo li ih uzalud slikali?
Dobivamo:
Ali takav sustav više nije dar, da ... Kako to riješiti? Nažalost, univerzalna tajna čarolija za rješavanje složenih nelinearno u matematici ne postoje sustavi i ne mogu biti. To je fantasticno! Ali prva stvar koja bi vam trebala pasti na pamet kad pokušavate ispucati tako tvrd orah je shvatiti, ali nije li jedna od jednadžbi sustava svedena na lijep oblik, što omogućuje, na primjer, lako izražavanje jedne od varijabli u terminima druge?
Pa hajde da procijenimo. Prva jednadžba sustava očito je jednostavnija od druge. Mučit ćemo ga.) Ne bismo li pokušali iz prve jednadžbe nešto izraziti kroz nešto? Budući da želimo pronaći nazivnik q, tada bi nam bilo najpovoljnije izraziti b 1 preko q.
Pokušajmo napraviti ovaj postupak s prvom jednadžbom, koristeći dobre stare:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q - b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Sve! Tako smo izrazili nepotrebno koristimo varijablu (b 1) kroz potrebno(q). Da, dobili su ne najjednostavniji izraz. Nešto djelića ... Ali naš je sustav na pristojnoj razini, da.)
Tipično. Znamo što nam je činiti.
Mi pišemo ODZ (nužno!) :
q ≠ 1
Sve pomnožimo s nazivnikom (q-1) i poništimo sve razlomke:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Podijelimo sve s deset, otvorimo zagrade, prikupimo sve s lijeve strane:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Rješavamo rezultat i dobivamo dva korijena:
q 1 = 1
q 2 = 3
Konačni je odgovor samo jedan: q = 3 .
Odgovor: 3
Kao što vidite, način rješavanja većine problema za formulu n-tog člana geometrijske progresije uvijek je isti: pročitajte pažljivo uvjet problema i pomoću formule n-tog člana prenosimo sve korisne informacije u čistu algebru.
Naime:
1) Svaki izraz naveden u zadatku formulom zapisujemo odvojenonth član.
2) Iz uvjeta problema vezu između pojmova prevedemo u matematički oblik. Sastavljamo jednadžbu ili sustav jednadžbi.
3) Rješavamo rezultirajuću jednadžbu ili sustav jednadžbi, pronalazimo nepoznate parametre napredovanja.
4) U slučaju dvosmislenog odgovora, pažljivo čitamo stanje problema u potrazi za dodatnim informacijama (ako postoje). Također provjeravamo primljeni odgovor s uvjetima DLO-a (ako postoje).
A sada nabrojimo glavne probleme koji najčešće dovode do pogrešaka u procesu rješavanja problema na geometrijskoj progresiji.
1. Elementarna aritmetika. Akcije s razlomcima i negativnim brojevima.
2. Ako imate problema s barem jednom od ove tri točke, neizbježno ćete pogriješiti u ovoj temi. Nažalost ... Zato nemojte biti lijeni i ponovite gore spomenuto. I slijedite poveznice - krenite. Ponekad pomogne.)
Izmijenjene i ponavljajuće formule.
Pogledajmo sada nekoliko tipičnih problema s ispitima s manje poznatim prikazom stanja. Da, pogodili ste! Ovo je preinačena i ponavljajući formule n-tog pojma. Već smo se susreli s takvim formulama i radili smo u aritmetičkoj progresiji. Ovdje je sve isto. Suština je ista.
Na primjer, takav zadatak iz OGE:
Geometrijska progresija dana je formulom b n = 3 2 n ... Pronađite zbroj prvog i četvrtog člana.
Ovaj put, napredovanje nam nije baš poznato. U obliku nekakve formule. Pa što? Ova formula - također formulanth član! Svi znamo da se formula za n-ti pojam može napisati i u općenitom obliku, slovima i za specifična progresija... S specifično prvi pojam i nazivnik.
U našem smo slučaju zapravo dobili zajedničku formulu za geometrijsku progresiju sa sljedećim parametrima:
b 1 = 6
q = 2
Provjerimo?) Napišimo formulu n-tog pojma u općem obliku i zamijenimo je u nju b 1 i q... Dobivamo:
b n = b 1 · q n -1
b n= 6 2n -1
Pojednostavite ga pomoću faktora i svojstava snage da biste dobili:
b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n
Kao što vidite, sve je pošteno. Ali naš cilj s vama nije pokazati izvođenje određene formule. Ovo je lirska digresija. Čisto za razumijevanje.) Cilj nam je riješiti problem prema formuli koja nam je dana u stanju. Catch?) Dakle, izravno radimo s modificiranom formulom.
Računamo prvi mandat. Zamjena n=1 u opću formulu:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Kao ovo. Usput, neću biti lijen, i još jednom ću vam skrenuti pažnju na tipičnog bloopera s izračunom prvog člana. NE TREBA gledati formulu b n= 3 2n, odmah požurite napisati da je prvi pojam trojka! Ovo je gruba pogreška, da ...)
Nastavimo. Zamjena n=4 i izbrojite četvrti pojam:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
I na kraju, izračunavamo potrebni iznos:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Odgovor: 54
Drugi problem.
Geometrijska progresija određena je uvjetima:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Pronađite četvrti pojam u progresiji.
Ovdje se napredak daje rekurzivnom formulom. Pa dobro.) Kako raditi s takvom formulom - također znamo.
Tako djelujemo. Korak po korak.
1) Broji dva uzastopni pripadnik progresije.
Već nam je dodijeljen prvi mandat. Minus sedam. Ali sljedeći, drugi pojam, može se lako izračunati pomoću ponavljajuće formule. Ako razumijete kako to funkcionira, naravno.)
Dakle, računamo drugi mandat prema dobro poznatom prvom:
b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21
2) Smatramo nazivnikom napredovanja
Nikakav problem. Ravno, podijeli drugičlan na prvi.
Dobivamo:
q = -21/(-7) = 3
3) Napišemo formulunth člana u uobičajenom obliku i razmotrite željenog člana.
Dakle, znamo prvi pojam, a nazivnik također. Pa pišemo:
b n= -7 3n -1
b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189
Odgovor: -189
Kao što vidite, rad s takvim formulama za geometrijsku progresiju u osnovi se ne razlikuje od one za aritmetičku progresiju. Važno je samo razumjeti opću suštinu i značenje ovih formula. Pa, značenje geometrijske progresije također se mora razumjeti, da.) I tada neće biti glupih pogrešaka.
Pa, riješimo to sami?)
Sasvim osnovni zadaci za zagrijavanje:
1. data je geometrijska progresija u kojoj b 1 = 243, i q = -2/3. Pronađite šesti pojam u progresiji.
2. Opći pojam geometrijske progresije dan je formulom b n = 5∙2 n +1 . Pronađite broj zadnjeg troznamenkastog člana ove progresije.
3. Geometrijska progresija postavljena je uvjetima:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Pronađite peti pojam u progresiji.
Malo složenije:
4. Daje se geometrijska progresija:
b 1 =2048; q =-0,5
Koji je šesti negativni pojam?
Što se čini super teško? Nikako. Logika i razumijevanje značenja geometrijske progresije spasit će vas. Pa, formula za n-ti pojam, naravno.
5. Treći član geometrijske progresije je -14, a osmi je 112. Pronađi nazivnik progresije.
6. Zbroj prvog i drugog člana geometrijske progresije je 75, a zbroj drugog i trećeg člana 150. Nađite šesti član napredka.
Odgovori (u rasulu): 6; -3888; -jedan; 800; -32; 448.
To je gotovo sve. Ostaje samo naučiti računati zbroj prvih n članaka geometrijske progresije da otkriti beskonačno opadajuća geometrijska progresija i njegov iznos. Inače, vrlo zanimljiva i neobična stvar! Više o tome u sljedećim lekcijama.)
Matematika je pri tomeljudi kontroliraju prirodu i sebe.
Sovjetski matematičar, akademik A.N. Kolmogorov
Geometrijska progresija.
Uz probleme za aritmetičke progresije, problemi povezani s konceptom geometrijske progresije također su česti na prijemnim ispitima iz matematike. Da biste uspješno riješili takve probleme, morate znati svojstva geometrijske progresije i imati dobre vještine u njihovoj uporabi.
Ovaj je članak posvećen prikazivanju osnovnih svojstava geometrijske progresije. Također pruža primjere rješavanja tipičnih zadataka., posuđena iz zadataka ulaznih testova iz matematike.
Preliminarno bilježimo glavna svojstva geometrijske progresije i podsjećamo na najvažnije formule i tvrdnje, vezano za ovaj koncept.
Definicija. Numerički slijed naziva se geometrijska progresija ako je svaki njegov broj, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen s istim brojem. Broj se naziva nazivnikom geometrijske progresije.
Za geometrijsku progresijuformule su valjane
, (1)
gdje . Formula (1) naziva se formulom za opći pojam geometrijske progresije, a formula (2) je glavno svojstvo geometrijske progresije: svaki se član progresije podudara s geometrijskom sredinom susjednih članova i.
Bilješka, da se upravo zbog tog svojstva razmatrana progresija naziva "geometrijskom".
Gornje formule (1) i (2) generalizirane su kako slijedi:
, (3)
Za izračun iznosa prvi pripadnici geometrijske progresijeprimjenjuje se formula
Ako označavamo, onda
gdje . Budući da je tada formula (6) generalizacija formule (5).
U slučaju kada i, geometrijska progresijase beskrajno smanjuje. Za izračun iznosasvih pripadnika beskonačno opadajuće geometrijske progresije koristi se formula
. (7)
Na primjer , pomoću formule (7) može se pokazati, što
gdje . Te se jednakosti dobivaju iz formule (7) pod uvjetom da, (prva jednakost) i, (druga jednakost).
Teorema. Ako tada
Dokaz. Ako tada,
Teorem je dokazan.
Prijeđimo na razmatranje primjera rješavanja problema na temu "Geometrijska progresija".
Primjer 1. Dano :, i. Pronaći .
Riješenje. Ako primijenimo formulu (5), onda
Odgovor:.
Primjer 2. Neka i. Pronaći .
Riješenje. Budući da i, koristit ćemo formule (5), (6) i dobiti sustav jednadžbi
Ako se druga jednadžba sustava (9) podijeli s prvom, tada ili. Stoga slijedi i ... Razmotrimo dva slučaja.
1. Ako, tada iz prve jednadžbe sustava (9) imamo.
2. Ako, onda.
Primjer 3. Neka, i. Pronaći .
Riješenje. Iz formule (2) proizlazi da ili. Budući da je tada ili.
Po stanju. Međutim, dakle. Budući da i, onda ovdje imamo sustav jednadžbi
Ako se druga jednadžba sustava podijeli s prvom, tada ili.
Budući da tada jednadžba ima jedan prikladan korijen. U ovom slučaju to proizlazi iz prve jednadžbe sustava.
Uzimajući u obzir formulu (7), dobivamo.
Odgovor:.
Primjer 4. Dano: i. Pronaći .
Riješenje. Od tada.
Budući da je tada ili
Prema formuli (2) imamo. S tim u vezi iz jednakosti (10) dobivamo ili.
Međutim, prema uvjetu, dakle.
Primjer 5. Poznato je da. Pronaći .
Riješenje. Prema teoremu imamo dvije jednakosti
Budući da je tada ili. Od tada.
Odgovor:.
Primjer 6. Dano: i. Pronaći .
Riješenje. Uzimajući u obzir formulu (5), dobivamo
Od tada. Od, i, onda.
Primjer 7. Neka i. Pronaći .
Riješenje. Prema formuli (1) možemo pisati
Stoga imamo ili. Poznato je da i, prema tome, i.
Odgovor:.
Primjer 8. Pronađite nazivnik beskonačno opadajuće geometrijske progresije ako
i.
Riješenje. Iz formule (7) proizlazi i ... Iz ovoga i stanja problema dobivamo sustav jednadžbi
Ako je prva jednadžba sustava na kvadrat, a zatim podijeliti rezultirajuću jednadžbu s drugom jednadžbom, onda smo dobili
Ili .
Odgovor:.
Primjer 9. Pronađite sve vrijednosti za koje je niz ,, geometrijska progresija.
Riješenje. Neka, i. Prema formuli (2), koja definira glavno svojstvo geometrijske progresije, možete napisati ili.
Iz toga dobivamo kvadratnu jednadžbu, čiji su korijeni i.
Provjerimo je li, zatim i; ako, tada i.
U prvom slučaju imamo i, a u drugom - i.
Odgovor:,.
Primjer 10.Riješi jednadžbu
, (11)
gdje i.
Riješenje. Lijeva strana jednadžbe (11) zbroj je beskonačno opadajuće geometrijske progresije, u kojoj i, podložno: i.
Iz formule (7) proizlazi, što ... S tim u vezi jednadžba (11) poprima oblik ili ... Prikladan korijen kvadratna jednadžba je
Odgovor:.
Primjer 11. NS slijed pozitivnih brojevatvori aritmetičku progresiju, ali - geometrijska progresija, kakve to veze ima. Pronaći .
Riješenje. Kao aritmetički niz, onda (glavno svojstvo aritmetičke progresije). Jer, tada ili. Iz čega slijedi , da geometrijska progresija ima oblik... Prema formuli (2), onda to zapisujemo.
Budući da i, onda ... U ovom slučaju, izraz poprima oblik ili. Prema stanju, dakle iz jednadžbedobivamo jedinstveno rješenje razmatranog problema, tj. ...
Odgovor:.
Primjer 12. Izračunajte iznos
. (12)
Riješenje. Pomnožimo obje strane jednakosti (12) s 5 i dobijemo
Ako od dobivenog izraza oduzmemo (12), onda
ili .
Za izračunavanje zamjenjujemo vrijednosti u formuli (7) i dobivamo. Od tada.
Odgovor:.
Ovdje dani primjeri rješavanja problema bit će korisni kandidatima u pripremi za prijemne ispite. Za dublje proučavanje metoda rješavanja problema, eksponencijalno povezane, možete se poslužiti tutorijalima s popisa preporučene literature.
1. Zbirka zadataka iz matematike za prijavitelje na tehničke fakultete / Ed. MI. Skanavi. - M.: Mir i obrazovanje, 2013. - 608 str.
2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog programa. - M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 str.
3. Medynski M.M. Kompletan tečaj elementarne matematike iz zadataka i vježbi. Knjiga 2: Brojevni nizovi i progresije. - M.: Editus, 2015. - 208 str.
Još uvijek imate pitanja?
Da biste dobili pomoć od učitelja - registrirajte se.
web mjesto, s potpunim ili djelomičnim kopiranjem materijala, potrebna je veza do izvora.
Aritmetička i geometrijska progresija
Teorijske informacije
Teorijske informacije
Aritmetička progresija |
Geometrijska progresija |
|
Definicija |
Aritmetička progresija a n poziva se niz, čiji je svaki pojam, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju d (d- razlika u progresijama) |
Geometrijska progresija b n niz je nula brojeva čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom s istim brojem q (q je nazivnik napredovanja) |
Ponavljajuća formula |
Za bilo koji prirodni n |
Za bilo koji prirodni n |
Formula za N-ti pojam |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| Karakteristično svojstvo |  |
|
| Zbroj n-prvih članova |  |
 |
Primjeri zadataka s komentarima
Vježba 1
U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6, a 2
Prema formuli n-tog pojma:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Prema stanju:
a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21 d.
Potrebno je pronaći razliku između progresija:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Odgovor: a 22 = -48.
Zadatak 2
Nađi peti član geometrijske progresije: -3; 6; ....
1. način (pomoću formule n-pojma)
Prema formuli n-tog člana geometrijske progresije:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Kao b 1 = -3,
2. način (pomoću ponavljajuće formule)
Budući da je nazivnik napredovanja -2 (q = -2), tada:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Odgovor: b 5 = -48.
Zadatak 3
U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Nađite sedamdeset i peti pojam ovog napredovanja.
Za aritmetičku progresiju karakteristično svojstvo je 
.
Stoga:
.
Zamijenimo podatke u formulu:
Odgovor: 95.
Zadatak 4
U aritmetičkoj progresiji ( a n) a n= 3n - 4. Nađi zbroj prvih sedamnaest članaka.
Da bi se pronašao zbroj prvih n člana aritmetičke progresije, koriste se dvije formule:
.
Koji je od njih prikladnije koristiti u ovom slučaju?
Prema uvjetima, poznata je formula za n-ti pojam izvorne progresije ( a n) a n= 3n - 4. Možete odmah pronaći i a 1, i a 16 bez pronalaska d. Stoga ćemo upotrijebiti prvu formulu.
Odgovor: 368.
Zadatak 5
U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Pronađite dvadeset i drugi pojam u progresiji.
Prema formuli n-tog pojma:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
Prema uvjetu, ako a 1= -6, onda a 22= -6 + 21d. Potrebno je pronaći razliku između progresija:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Odgovor: a 22 = -48.
Zadatak 6
Napisano je nekoliko uzastopnih članova geometrijske progresije:
Pronađite pojam u progresiji označen slovom x.
Prilikom rješavanja koristimo formulu za n-ti pojam b n = b 1 ∙ q n - 1 za geometrijske progresije. Prvi član progresije. Da biste pronašli nazivnik napredovanja q, trebate uzeti bilo kojeg od zadanih članova napredovanja i podijeliti s prethodnim. U našem primjeru možete uzeti i podijeliti po. Dobivamo da je q = 3. Umjesto n u formuli, zamjenjujemo 3, jer je potrebno pronaći treći član dodan geometrijskom progresijom.
Zamjenom pronađenih vrijednosti u formulu dobivamo:
.
Odgovor:.
Zadatak 7
Iz aritmetičkih progresija danih formulom n-tog člana, odaberite onaj za koji je uvjet a 27 > 9:
Budući da zadani uvjet mora biti ispunjen za 27. pojam napredovanja, zamjenjujemo 27 umjesto n u svakoj od četiri progresije. U 4. progresiji dobivamo:
.
Odgovor: 4.
Zadatak 8
U aritmetičkoj progresiji a 1= 3, d = -1,5. Odredite najveću n-vrijednost koja zadovoljava nejednakost a n > -6.
Učitavam...