Kolika može biti vrijednost aritmetičke sredine. Kako pronaći aritmetičku i geometrijsku sredinu brojeva? Jednostavna aritmetička sredina

) i srednja vrijednost uzorka (uzorci).

Kolegij YouTube

1 / 5
Označimo skup podataka x = (x 1 , x 2 , …, x n), tada se srednja vrijednost uzorka obično označava vodoravnom trakom iznad varijable (izgovara se " x s crtom ").
Grčko slovo μ koristi se za označavanje aritmetičke sredine cijele populacije. Za slučajnu varijablu za koju je određena srednja vrijednost μ je vjerojatna sredina ili matematičko očekivanje nasumična varijabla... Ako je skup x je zbirka slučajnih brojeva s vjerojatnom sredinom μ, zatim za bilo koji uzorak x i iz ove zbirke μ = E ( x i) je matematičko očekivanje ovog uzorka.
U praksi je razlika između μ i x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) je da je μ tipična varijabla jer možete vidjeti uzorak, a ne cijelu populaciju. Stoga, ako je uzorak predstavljen nasumično (u smislu teorije vjerojatnosti), tada x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))(ali ne μ) može se tretirati kao slučajna varijabla s raspodjelom vjerojatnosti na uzorku (raspodjela vjerojatnosti srednje vrijednosti).
Obje ove količine izračunavaju se na isti način:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)
Primjeri
- Za tri broja zbrojite ih i podijelite s 3:
x 1 + x 2 + x 3 3. (\ displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3))).)
- Za četiri broja zbrojite ih i podijelite s 4:
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4))).)
Ili jednostavnije 5 + 5 = 10, 10: 2. Budući da smo dodali 2 broja, što znači koliko brojeva dodamo, dijelimo s toliko.

Kontinuirana slučajna varijabla
f (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ abf (x) dx (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx)
Neki problemi korištenja srednjeg značenja

Nedostatak robusnosti

Iako se aritmetička sredina često koristi kao prosjek ili središnji trend, to nije robusna statistika, što znači da na aritmetičku sredinu snažno utječu "velika odstupanja". Značajno je napomenuti da za distribucije s velikim koeficijentom iskrivljenosti aritmetička sredina možda ne odgovara konceptu "srednje", a srednje vrijednosti iz robusne statistike (na primjer, medijana) mogu bolje opisati središnji trend.
Klasičan primjer je izračun prosječnog prihoda. Aritmetička sredina može se pogrešno protumačiti kao medijan, što može dovesti do zaključka da ima više ljudi s višim primanjima nego što to zapravo jesu. “Prosječni” prihod tumači se na takav način da je prihod većine ljudi blizu ovog broja. Ovaj "prosječni" (u smislu aritmetičke sredine) prihod veći je od dohotka većine ljudi, budući da visoki prihod s velikim odstupanjem od prosjeka čini aritmetičku sredinu snažno iskrivljenom (za razliku od toga, srednji prihod "opire" takva pristranost). Međutim, ovaj "prosječni" prihod ne govori ništa o broju ljudi u blizini srednjeg prihoda (i ne govori ništa o broju ljudi u blizini modalnog prihoda). Ipak, ako olako uzmete koncepte "prosjeka" i "većine ljudi", možete donijeti pogrešan zaključak da većina ljudi ima primanja veća nego što zaista jesu. Na primjer, izvješće o "prosječnom" neto prihodu u Medini u Washingtonu, izračunato kao aritmetički prosjek godišnjih neto prihoda svih stanovnika, donijelo bi iznenađujuće rezultate veliki broj zbog Billa Gatesa. Razmotrimo uzorak (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetička sredina je 3,17, ali pet od šest vrijednosti je ispod ovog prosjeka.

Zajednički interes

Ako su brojevi pomnožiti, ali ne preklopiti, morate koristiti geometrijsku sredinu, a ne aritmetičku sredinu. Najčešće se ovaj incident događa pri izračunavanju povrata ulaganja u financije.
Na primjer, ako su dionice u prvoj godini pale za 10%, a u drugoj u 30%, onda je netočno izračunati "prosječno" povećanje tijekom ove dvije godine kao aritmetičku sredinu (-10% + 30%) / 2 = 10%; ispravnu prosječnu vrijednost u ovom slučaju daje kumulativna godišnja stopa rasta, pri kojoj je godišnji rast samo oko 8,16653826392% ≈ 8,2%.
Razlog tome je što postoci svaki put imaju novo polazište: 30% je 30%. od broja manjeg od cijene na početku prve godine: ako je dionica na početku bila 30 USD i pala za 10%, početkom druge godine iznosi 27 USD. Ako su dionice porasle za 30%, vrijedit će 35,1 USD na kraju druge godine. Aritmetički prosjek ovog rasta je 10%, ali budući da je dionica samo 5,1 USD u 2 godine, prosječni rast od 8,2% daje konačni rezultat od 35,1 USD:
[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Ako na isti način koristimo aritmetičku sredinu od 10%, nećemo dobiti stvarnu vrijednost: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 USD].
Složene kamate na kraju druge godine: 90% * 130% = 117%, to jest, ukupno povećanje od 17% i prosječna godišnja složena kamata 117% ≈ 108,2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ približno 108,2 \%), odnosno prosječni godišnji rast od 8,2% .. Ovaj broj nije točan iz dva razloga.

Prosječna vrijednost za cikličku varijablu, izračunata pomoću gornje formule, umjetno će se pomaknuti od stvarnog prosjeka prema sredini numeričkog raspona. Zbog toga se srednja vrijednost izračunava na drugačiji način, naime, broj s najmanjom varijancom (središnja točka) odabran je kao srednja vrijednost. Također, umjesto oduzimanja, koristi se modularna udaljenost (odnosno obodna udaljenost). Na primjer, modularna udaljenost između 1 ° i 359 ° iznosi 2 °, a ne 358 ° (na krugu između 359 ° i 360 ° == 0 ° - jedan stupanj, između 0 ° i 1 ° - također 1 °, ukupno - 2 °).

Bit i značaj prosjeka.

Apsolutne i relativne vrijednosti.

Vrste grupiranja.

Ovisno o zadacima riješenim uz pomoć grupiranja, razlikuju se sljedeće vrste:

Tipološki

Strukturne

Analitički

Glavni zadatak tipološkog je klasificiranje društveno-ekonomskih pojava identificiranjem skupina koje su homogene u smislu odnosa kvalitete.

U ovom slučaju kvalitativna homogenost shvaćena je u smislu da u odnosu na proučeno svojstvo sve jedinice agregata poštuju isti zakon razvoja. Na primjer: grupiranje industrija gospodarstva.

Apsolutna vrijednost je pokazatelj koji izražava veličinu društveno-ekonomskog fenomena.

Relativna vrijednost u statistici pokazatelj je koji izražava kvantitativni odnos među pojavama. Dobiva se dijeljenjem jedne apsolutne vrijednosti s drugom apsolutnom vrijednošću. Vrijednost s kojom uspoređujemo naziva se temelj ili baza za usporedbu.

Apsolutne količine uvijek se imenuju količine.

Relativne vrijednosti izražene su u omjerima, postocima, ppm itd.

Relativna vrijednost pokazuje koliko je puta ili za koji postotak uspoređena vrijednost veća ili manja od baze za usporedbu.

U statistici postoji 8 vrsta relativnih vrijednosti:

Prosjeci su neke od najčešćih zbirnih statistika. Cilj im je okarakterizirati statističku populaciju koja se sastoji od manjine jedinica s jednim brojem. Prosječne vrijednosti usko su povezane sa zakonom velikih brojeva. Bit ove ovisnosti leži u činjenici da se s velikim brojem opažanja slučajna odstupanja od opće statistike poništavaju i u prosjeku se statistička pravilnost jasnije očituje.

Koristeći metodu srednji riješeni su sljedeći glavni zadaci:

1. Obilježja razine razvoja pojava.

2. Usporedba dviju ili više razina.

3. Proučavanje odnosa društveno-ekonomskih pojava.

4. Analiza smještaja društveno-ekonomskih pojava u prostoru.

Za rješavanje ovih izazova statistička je metodologija razvila različite vrste prosjeka.

Da bismo pojasnili metodologiju izračuna aritmetičke sredine, koristimo sljedeće oznake:

X - aritmetički znak

X (X1, X2, ... X3) - varijante određenog atributa

n je broj jedinica u populaciji

Prosječna vrijednost značajke

Ovisno o početnim podacima, aritmetička sredina može se izračunati na dva načina:

1. Ako podaci statističkog promatranja nisu grupirani ili grupne opcije imaju iste frekvencije, tada se izračunava jednostavna aritmetička sredina:

2. Ako su frekvencije grupirane u podacima različite, tada se izračunava ponderirana aritmetička sredina:

Broj (učestalost) opcija

Zbir frekvencija

Aritmetička sredina se različito izračunava u diskretnim i intervalnim nizovima varijacija.

U diskretnim nizovima varijante značajke množe se s frekvencijama, ti se proizvodi zbrajaju i rezultirajući zbroj proizvoda dijeli se s zbrojem frekvencija.

Razmotrimo primjer izračuna aritmetičke sredine u diskretnom nizu:

U intervalnim nizovima vrijednost je svojstva navedena, kao što je poznato, u obliku intervala, stoga, prije izračuna aritmetičke sredine, morate prijeći s intervalnog niza na diskretni.

Sredina odgovarajućih intervala koristi se kao varijante Xi. Definirani su kao poluzbir donje i gornje granice.

Ako interval nema donju granicu, tada se njegova sredina određuje kao razlika između gornje granice i polovice vrijednosti sljedećih intervala. U nedostatku gornjih granica, sredina intervala određuje se kao zbroj donje granice i polovice vrijednosti prethodnog intervala. Nakon prijelaza u diskretni niz, daljnji izračuni se izvode prema gore opisanoj metodologiji.

Ako utezi fi nisu dati u apsolutnim izrazima, već u relativnim izrazima, tada će formula za izračunavanje aritmetičke sredine biti sljedeća:

pi - relativne vrijednosti strukture koje pokazuju koliki je postotak frekvencija varijanti u zbroju svih frekvencija.

Ako se relativne vrijednosti strukture ne navode u postocima, već u ulomcima, tada će se aritmetička sredina izračunati po formuli:

Srednje

Srednje- numerička karakteristika skupa brojeva ili funkcija (u matematici); - neki broj između najmanje i najveće vrijednosti.

Osnovne informacije

Polazište za formiranje teorije prosječnih vrijednosti bilo je proučavanje proporcija od strane Pitagorine škole. Istodobno, nije napravljena stroga razlika između pojmova prosječne veličine i udjela. Značajan poticaj razvoju teorije proporcija s aritmetičkog stajališta dali su grčki matematičari - Nikomah iz Gerasa (kraj 1. - početak 2. stoljeća poslije Krista) i Pappus iz Aleksandrije (3. stoljeće poslije Krista). Prva faza u razvoju koncepta prosjeka je faza kada se prosjek počeo smatrati središnjim pojmom kontinuiranog udjela. No, koncept prosjeka kao središnjeg značenja progresije ne omogućuje izvođenje koncepta prosjeka u odnosu na niz od n pojmova, bez obzira na redoslijed kojim se slijede. U tu je svrhu potrebno pribjeći formalnoj generalizaciji prosjeka. Sljedeća faza je prijelaz s kontinuiranih proporcija na progresije - aritmetičke, geometrijske i harmoničke ( Engleski).

U povijesti statistike, po prvi put, široka upotreba prosjeka povezana je s imenom engleskog znanstvenika W. Pettyja. W. Petty je bio jedan od prvih koji je pokušao dati prosjeku statističko značenje, povezujući ga s ekonomskim kategorijama. No, Petty nije opisao koncept prosječne veličine, njegovu izoliranost. A. Smatra se da je Quetelet utemeljitelj teorije srednjih vrijednosti. Bio je jedan od prvih koji je dosljedno razvijao teoriju prosjeka, pokušavajući joj pružiti matematičku osnovu. A. Quetelet je razlikovao dvije vrste prosjeka - zapravo prosjeke i aritmetičke prosjeke. Zapravo, prosjeci predstavljaju stvar, broj koji stvarno postoji. Zapravo prosjeci ili statistički prosjeci trebaju biti izvedeni iz fenomena iste kvalitete, identičnih po svom unutarnjem značenju. Aritmetička sredstva su brojevi koji daju što bližu ideju o mnogim brojevima, različitim, iako homogenim.

Svaka od vrsta prosjeka može djelovati ili u obliku jednostavnog ili u obliku ponderiranog prosjeka. Ispravnost izbora prosječnog oblika proizlazi iz materijalne prirode predmeta proučavanja. Jednostavne formule prosjeka koriste se ako se pojedinačne vrijednosti prosječnog obilježja ne ponove. Kada se u praktičnom istraživanju pojedinačne vrijednosti ispitivane osobine više puta pojavljuju u jedinicama proučavane populacije, tada je učestalost ponavljanja pojedinačnih vrijednosti svojstva prisutna u izračunatim formulama prosjeka moći. U tom se slučaju nazivaju formulama ponderiranog prosjeka.

Hijerarhija sredstava u matematici
- prosječna vrijednost funkcije je pojam koji je definiran na mnogo načina.
  - Točnije, ali na temelju proizvoljnih funkcija, određuju se Kolmogorovljeva sredstva za skup brojeva.
    - srednja snaga poseban je slučaj Kolmogorovog sredstva za ϕ (x) = x α (\ displaystyle \ phi (x) = x ^ (\ alpha)). Sredstva različitih stupnjeva povezana su nejednakošću o sredstvima. Najčešći posebni slučajevi:
      1. aritmetička sredina (α = 1 (\ displaystyle \ alpha = 1))
      2. srednji kvadrat (α = 2 (\ displaystyle \ alpha = 2))
      3. harmonijska sredina (α = - 1 (\ displaystyle \ alpha = -1))
      4. kontinuitetom kao α → 0 (\ displaystyle \ alpha \ do 0), geometrijska sredina je redefinirana, što je također Kolmogorovljeva sredina za ϕ (x) = log ⁡ x (\ displaystyle \ phi (x) = \ log x)
- Ponderirani prosjek - generalizacija prosjeka na slučaj proizvoljne linearne kombinacije:
  - Ponderirana aritmetička sredina.
  - Ponderirana geometrijska sredina.
  - Ponderirana harmonijska sredina.
- kronološki prosjek - sažima vrijednosti obilježja za istu jedinicu ili populaciju u cjelini, mijenjajući se tijekom vremena.
- logaritamska sredina, definirana formulom a ¯ = a 1 - a 2 ln ⁡ (a 1 / a 2) (\ textstyle (\ bar (a)) = (\ frac (a_ (1) -a_ (2)) ( \ ln (a_ (1) / a_ (2))))), koristi se u grijanju
- logaritamski prosjek, određen u električnoj izolaciji prema GOST 27905.4-88, definiran je kao l o g a ¯ = log ⁡ a 1 + l o g a 2 +. ... ... +. ... ... l o g a n a 1 + a 2 +. ... ... + an (\ textstyle log (\ bar (a)) = (\ frac (\ log a_ (1) + loga_ (2) + ... + ... loga_ (n)) (a_ (1) + a_ ( 2) + ... + a_ (n)))) (logaritam na bilo koju bazu)
U teoriji vjerojatnosti i statistici
Glavni članak: Pokazivači distribucijskog centra
- neparametarska sredstva - način, medijan.
- srednja vrijednost slučajne varijable jednaka je matematičkom očekivanju slučajne varijable. Zapravo, to je prosječna vrijednost njegove distribucijske funkcije.
Koji je znak aritmetičke sredine?

Recimo da je taj iznos epsilon kapital ...

Ksenia

Aritmetička sredina je granica oko koje se grupiraju pojedinačne vrijednosti promatranih i proučavanih karakteristika, aritmetička sredina je količnik dijeljenja zbroja vrijednosti bilo kojeg atributa s brojem elemenata u populaciji. U statistici se aritmetička sredina obično označava kroz pojedinačne vrijednosti obilježja (ili određene rezultate eksperimenta) - kroz x1, x2, x3 itd., A ukupni broj značajki (ili broj eksperimenata) je n.
Na veliki broj mjerenja, pozitivne i negativne slučajne pogreške su jednako česte. Višestrukim mjerenjima bilo koji fizička veličina možete odrediti njegovu aritmetičku sredinu. Više mjerenja također omogućuje postavljanje točnosti mjerenja, kako za konačni rezultat tako i za pojedina mjerenja, odnosno pronalaženje granica unutar kojih se nalazi dobiveni rezultat izmjerene vrijednosti.
S n mjerenja određene veličine dobivamo n različitih vrijednosti. Najbliža pravoj vrijednosti izmjerene vrijednosti bit će aritmetička sredina svih mjerenja.
Ako pojedina mjerenja označimo s a \, az, a3, ..ap, tada je aritmetička srednja vrijednost izmjerene vrijednosti određena formulom:
NS
n - pri + a + - + A „_ \ 1 a, -
a _ ------------------
= Y- ^
^ J P
Vrijednosti pojedinih mjerenja razlikuju se od aritmetičke sredine a0 sljedećim veličinama:
Apsolutne vrijednosti razlika (Da ^ Dag, ...) između aritmetičke sredine izmjerene vrijednosti i vrijednosti pojedinih mjerenja nazivaju se apsolutnim pogreškama pojedinih mjerenja. Aritmetička sredina apsolutnih pogrešaka svih mjerenja, koja je potrebna za određivanje relativne pogreške mjerenja i snimanje konačnog rezultata, izračunava se formulom:
^-. (2)
Ta se pogreška naziva prosječna apsolutna pogreška mjerenja. Uzimajući jedan znak apsolutnih pogrešaka, time svjesno uzimamo najveću moguću pogrešku.
Što je aritmetička sredina? Kako pronaći aritmetičku sredinu?

Formula za aritmetičku sredinu?

Alex-89

Aritmetička sredina više brojeva je zbroj tih brojeva podijeljen s njihovim brojem.

x cf - aritmetička sredina

S - zbroj brojeva

n je broj brojeva.

Na primjer, moramo pronaći aritmetičku sredinu brojeva 3, 4, 5 i 6.

Da bismo to učinili, moramo ih zbrojiti i rezultirajući iznos podijeliti sa 4:

(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

Alsou - š

Kao matematičara, zanimaju me pitanja na tu temu.

Počet ću s poviješću problema. O prosječnim vrijednostima razmišljalo se od davnina. Aritmetička sredina, geometrijska sredina, harmonička sredina. Ovi koncepti predloženi su u drevna grčka pitagorejci.

A sada pitanje koje nas zanima. Na što se misli aritmetička sredina nekoliko brojeva:

Dakle, da biste pronašli aritmetičku sredinu, morate zbrojiti sve brojeve i rezultirajući zbroj podijeliti s brojem pojmova.

Formula se odvija:

Primjer. Pronađi aritmetičku sredinu brojeva: 100, 175, 325.

Upotrijebimo formulu za pronalaženje aritmetičke sredine tri broja (to jest, umjesto n bit će 3; trebate dodati sva 3 broja i rezultirajući zbroj podijeliti s njihovim brojem, odnosno sa 3). Imamo: x = (100 + 175 + 325) / 3 = 600/3 = 200.

Odgovor: 200.

Aritmetika se smatra najosnovnijom granom matematike i proučava jednostavne operacije s brojevima. Stoga je i aritmetičku sredinu vrlo lako pronaći. Počnimo s definicijom. Aritmetička sredina vrijednost je koja pokazuje koji je broj najbliži istini za nekoliko uzastopnih radnji istog tipa. Na primjer, prilikom trčanja na stotinu metara, osoba svaki put pokazuje drugo vrijeme, ali prosječna vrijednost bit će unutar, primjerice, 12 sekundi. Nalaženje aritmetičke sredine na ovaj način svodi se na uzastopno zbrajanje svih brojeva određene serije (rezultati utrka) i dijeljenje tog zbroja s brojem tih utrka (pokušaji, brojevi). U obliku formule to izgleda ovako:

Sarif = (X1 + X2 + .. + Xn) / n

Aritmetička sredina je prosjek između nekoliko brojeva.

Na primjer, između brojeva 2 i 4, prosječan broj je 3.

Formula za pronalaženje aritmetičke sredine je sljedeća:

Morate zbrojiti sve brojeve i podijeliti s brojem ovih brojeva:

Na primjer, imamo 3 broja: 2, 5 i 8.

Odredite aritmetičku sredinu:

X = (2 + 5 + 8) / 3 = 15/3 = 5

Opseg aritmetičke sredine dovoljno je širok.

Na primjer, poznavajući koordinate dvije točke segmenta, pronađite koordinate sredine tog segmenta.

Na primjer, koordinate segmenata: (X1, Y1, Z1) - (X2, Y2, Z2).

Označimo sredinu ovog segmenta koordinatama X3, Y3, Z3.

Pronađite sredinu za svaku koordinatu zasebno:

Prekrasan proplanak

Aritmetička sredina, to su brojevi zbrajani i podijeljeni s njihovim brojem, dobiveni odgovor je aritmetička sredina.

Na primjer: Katya je u kasicu prasicu stavila 50 rubalja, Maxim 100 rubalja, a Sasha u kasicu kasicu 150 rubalja. 50 + 100 + 150 = 300 rubalja u kasici, sada taj iznos dijelimo na tri (troje ljudi stavlja novac). Dakle 300: 3 = 100 rubalja. Ovih 100 rubalja bit će aritmetička sredina, svaki od njih stavljen je u kasicu prasicu.

Postoji tako jednostavan primjer: jedna osoba jede meso, druga osoba jede kupus, a u prosjeku obje jedu kiflice.

Prosječna plaća obračunava se na isti način ...

Aritmetička sredina je prosjek date ...

Oni. jednostavno, imamo broj štapića različite duljine i želimo znati njihovu prosječnu vrijednost.

Logično je da ih za to spojimo, dobivajući dugačak štap, a zatim ga podijelimo na potreban broj dijelova ..

Tako dolazi do izražaja aritmetička sredina.

Ovako se prikazuje formula: Sa = (S (1) + .. S (n)) / n ..

Ptica 2014

Aritmetička sredina je zbroj svih vrijednosti podijeljena s njihovim brojem.

Na primjer brojevi 2, 3, 5, 6. Morate ih dodati 2+ 3+ 5+ 6 = 16

Podijelite 16 sa 4 i dobijte odgovor 4.

4 je aritmetička sredina ovih brojeva.

Azamatik

Aritmetička sredina je zbroj brojeva podijeljen s brojem istih tih brojeva. A pronaći aritmetičku sredinu vrlo je jednostavno.

Kako proizlazi iz definicije, moramo uzeti brojeve, zbrajati ih i podijeliti s brojem.

Navedimo primjer: s obzirom na brojeve 1, 3, 5, 7 i moramo pronaći aritmetičku sredinu tih brojeva.
- prvo zbrajamo ove brojeve (1 + 3 + 5 + 7) i dobivamo 16
- moramo podijeliti dobiveni rezultat s 4 (broj): 16/4 i dobivamo rezultat 4.
Dakle, aritmetička sredina brojeva 1, 3, 5 i 7 je 4.

Aritmetička sredina - prosječna vrijednost među navedenim pokazateljima.

Dobiva se dijeljenjem zbroja svih pokazatelja s njihovim brojem.

Na primjer, imam 5 jabuka težine 200, 250, 180, 220 i 230 grama.

Prosječnu težinu 1 jabuke nalazimo na sljedeći način:
- tražimo ukupnu težinu svih jabuka (zbroj svih pokazatelja) - jednaka je 1080 grama,
- Podijelite ukupnu težinu s brojem jabuka 1080: 5 = 216 grama. Ovo je aritmetička sredina.
Ovo je najčešće korišteni pokazatelj u statistici.

Zelene tjestenine

To znamo iz škole. Svatko tko je imao dobrog učitelja matematike mogao se prvi put sjetiti ove jednostavne radnje.

Prilikom pronalaženja aritmetičke sredine potrebno je zbrojiti sve dostupne brojeve i podijeliti s njihovim brojem.

Na primjer, u trgovini sam kupio 1 kg jabuka, 2 kg banana, 3 kg naranči i 1 kg kivija. Koliko sam kilograma u prosjeku kupio voća.

7/4 = 1,8 kilograma. To će biti aritmetička sredina.

Biemont epu

Sjećam se kako sam položio završni ispit iz matematike

Dakle, tamo je bilo potrebno pronaći aritmetičku sredinu.

Dobro je što su ljubazni ljudi predložili što učiniti, inače je to katastrofa.

Na primjer, imamo 4 broja.

Dodajte brojeve i podijelite s njihovim brojem (u ovom slučaju 4)

Na primjer brojevi 2,6,1,1. Zbrojimo 2 + 6 + 1 + 1 i podijelimo sa 4 = 2,5

Kao što vidite, ništa komplicirano. Dakle, aritmetička sredina je prosjek svih brojeva.

U matematici je aritmetička sredina brojeva (ili samo prosjek) zbroj svih brojeva u danom skupu podijeljen s njihovim brojem. Ovo je najopćenitiji i najrašireniji koncept prosječne veličine. Kao što ste već shvatili, da biste pronašli prosječnu vrijednost, morate zbrojiti sve brojeve koji su vam dati i podijeliti rezultat s brojem pojmova.

Što je aritmetička sredina?

Uzmimo primjer.

Primjer 1... Navedeni brojevi: 6, 7, 11. Morate pronaći njihovu prosječnu vrijednost.

Riješenje.

Prvo, pronađimo zbroj svih ovih brojeva.

Sada podijelimo rezultirajući zbroj na broj pojmova. Budući da imamo tri izraza, podijelit ćemo s tri.

Stoga je prosjek brojeva 6, 7 i 11 8. Zašto baš 8? Budući da će zbroj 6, 7 i 11 biti isti kao tri osmice. To se jasno vidi na ilustraciji.

Prosjek je donekle sličan "poravnanju" niza brojeva. Kao što vidite, hrpe olovaka postale su jedna razina.

Razmotrimo još jedan primjer za učvršćivanje stečenog znanja.

Primjer 2. Navedeni brojevi: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Morate pronaći njihovu aritmetičku sredinu.

Riješenje.

Nalazimo iznos.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Podijelite s brojem pojmova (u ovom slučaju - 15).

Stoga je prosječna vrijednost ove serije brojeva 22.

Sada razmislite negativni brojevi... Sjetimo se kako ih sažeti. Na primjer, imate dva broja 1 i -4. Pronađimo njihov zbroj.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

Imajući to na umu, razmotrimo još jedan primjer.

Primjer 3. Pronađite prosječnu vrijednost niza brojeva: 3, -7, 5, 13, -2.

Riješenje.

Pronađi zbroj brojeva.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Budući da postoji 5 članova, dobiveni zbroj podijelimo sa 5.

Stoga je aritmetička sredina brojeva 3, -7, 5, 13, -2 2,4.

U naše vrijeme tehnološkog napretka mnogo je prikladnije koristiti računalne programe za pronalaženje prosječne vrijednosti. Microsoft Office Excel jedan je od njih. Pronalaženje prosjeka u Excelu brzo je i jednostavno. Štoviše, ovaj je program uključen u programski paket Microsoft Office. Pogledajmo kratke upute o tome kako pomoću ovog programa pronaći aritmetičku sredinu.

Da biste izračunali prosječnu vrijednost niza brojeva, morate koristiti funkciju PROSJEK. Sintaksa ove funkcije je:
= Prosjek (argument1, argument2, ... argument255)
gdje su argument1, argument2, ... argument255 ili brojevi ili reference ćelija (ćelije znače raspone i nizove).

Da bismo bili jasniji, isprobajmo stečeno znanje.
1. Unesite brojeve 11, 12, 13, 14, 15, 16 u ćelije C1 - C6.
2. Odaberite ćeliju C7 klikom na nju. U ovoj ćeliji prikazat ćemo prosječnu vrijednost.
3. Kliknite karticu Formule.
4. Odaberite Više funkcija> Statistika da biste otvorili padajući popis.
5. Odaberite PROSJEČNO. Nakon toga bi se trebao otvoriti dijaloški okvir.
6. Odaberite i povucite ćelije C1-C6 tamo za postavljanje raspona u dijaloškom okviru.
7. Potvrdite svoje radnje tipkom "OK".
8. Ako ste sve učinili ispravno, u ćeliji C7 trebali biste imati odgovor - 13.7. Kada kliknete na ćeliju C7, funkcija (= Prosjek (C1: C6)) bit će prikazana u traci s formulama.
Vrlo je prikladno koristiti ovu funkciju za računovodstvo, fakturiranje ili kada samo trebate pronaći prosjek vrlo dugog niza brojeva. Stoga se često koristi u uredima i velike tvrtke... To vam omogućuje da vodite evidenciju u redu i omogućuje brzo izračunavanje nečega (na primjer, prosječni mjesečni prihod). Također, pomoću programa Excel možete pronaći prosječnu vrijednost funkcije.

Prosječno
Ovaj izraz ima druga značenja, vidi značenje.
Prosječno(u matematici i statistici) skup brojeva je zbroj svih brojeva podijeljen s njihovim brojem. To je jedna od najčešćih mjera središnjeg trenda.

Predložili su ga (zajedno s geometrijskom sredinom i harmonijskom sredinom) pitagorejci.

Posebni slučajevi aritmetičke sredine su srednja vrijednost (opće populacije) i srednja vrijednost uzorka (uzorci).

Uvod

Označimo skup podataka x = (x 1 , x 2 , …, x n), tada se srednja vrijednost uzorka obično označava vodoravnom trakom iznad varijable (x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))), izgovara se " x s crtom ").

Grčko slovo μ koristi se za označavanje aritmetičke sredine cijele populacije. Za slučajnu varijablu za koju je određena srednja vrijednost μ je vjerojatna sredina ili matematičko očekivanje slučajne varijable. Ako je skup x je zbirka slučajnih brojeva s vjerojatnom sredinom μ, zatim za bilo koji uzorak x i iz ove zbirke μ = E ( x i) je matematičko očekivanje ovog uzorka.

U praksi, razlika između μ i x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) je u tome što je μ tipična varijabla jer možete vidjeti uzorak, a ne cijelu populaciju. Stoga, ako je uzorak predstavljen nasumično (u smislu teorije vjerojatnosti), tada se x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) (ali ne μ) može tretirati kao slučajna varijabla koja ima raspodjelu vjerojatnosti po uzorku ( raspodjela vjerojatnosti srednje).

Obje ove količine izračunavaju se na isti način:
X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)
Ako x je slučajna varijabla, zatim matematičko očekivanje x može se smatrati aritmetičkom sredinom vrijednosti u ponovljenim mjerenjima veličine x... Ovo je manifestacija zakona velikih brojeva. Stoga se srednja vrijednost uzorka koristi za procjenu nepoznatih matematičkih očekivanja.

U elementarnoj algebri je dokazano da je srednja vrijednost n+ 1 broj iznad prosjeka n brojevi ako i samo ako je novi broj veći od starog prosjeka, manji ako i samo ako je novi broj manji od prosjeka, a ne mijenja se ako i samo ako je novi broj jednak prosjeku. Više n, manja je razlika između novih i starih prosjeka.

Imajte na umu da postoji još nekoliko "srednjih" vrijednosti, uključujući srednju vrijednost, Kolmogorovljevu sredinu, harmonijsku sredinu, aritmetičko-geometrijsku sredinu i različite ponderirane prosjeke (npr. Ponderirana aritmetička sredina, ponderirana geometrijska sredina, ponderirana harmonijska sredina).

Primjeri
- Za tri broja zbrojite ih i podijelite s 3:
x 1 + x 2 + x 3 3. (\ displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3))).)
- Za četiri broja zbrojite ih i podijelite s 4:
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4))).)
Ili jednostavnije 5 + 5 = 10, 10: 2. Budući da smo dodali 2 broja, što znači koliko brojeva dodamo, dijelimo s toliko.

Kontinuirana slučajna varijabla

Za kontinuirano raspodijeljenu veličinu f (x) (\ displaystyle f (x)), aritmetička sredina na segmentu [a; b] (\ displaystyle) definirano je u smislu definitivnog integrala:
F (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ abf (x) dx (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx)
Neki problemi korištenja srednjeg značenja

Nedostatak robusnosti
Glavni članak: Robusnost u statistici
Iako se aritmetička sredina često koristi kao prosjek ili središnji trend, to nije robusna statistika, što znači da na aritmetičku sredinu snažno utječu "velika odstupanja". Značajno je napomenuti da za distribucije s velikim koeficijentom iskrivljenosti aritmetička sredina možda ne odgovara konceptu "srednje", a srednje vrijednosti iz robusne statistike (na primjer, medijana) mogu bolje opisati središnji trend.

Klasičan primjer je izračun prosječnog prihoda. Aritmetička sredina može se pogrešno protumačiti kao medijan, što može dovesti do zaključka da ima više ljudi s višim primanjima nego što to zapravo jesu. “Prosječni” prihod tumači se na takav način da je prihod većine ljudi blizu ovog broja. Ovaj "prosječni" (u smislu aritmetičke sredine) prihod veći je od dohotka većine ljudi, budući da visoki prihod s velikim odstupanjem od prosjeka čini aritmetičku sredinu snažno iskrivljenom (za razliku od toga, srednji prihod "opire" takva pristranost). Međutim, ovaj "prosječni" prihod ne govori ništa o broju ljudi u blizini srednjeg prihoda (i ne govori ništa o broju ljudi u blizini modalnog prihoda). Ipak, ako olako uzmete koncepte "prosjeka" i "većine ljudi", možete donijeti pogrešan zaključak da većina ljudi ima primanja veća nego što zaista jesu. Na primjer, izvješće o "prosječnom" neto prihodu u Medini u Washingtonu, izračunato kao aritmetički prosjek godišnjih neto prihoda svih stanovnika, donijelo bi iznenađujuće velik broj zbog Bill Gatesa. Razmotrimo uzorak (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetička sredina je 3,17, ali pet od šest vrijednosti je ispod ovog prosjeka.

Zajednički interes
Glavni članak: Povrat na investiciju
Ako su brojevi pomnožiti, ali ne preklopiti, morate koristiti geometrijsku sredinu, a ne aritmetičku sredinu. Najčešće se ovaj incident događa pri izračunavanju povrata ulaganja u financije.

Na primjer, ako su dionice u prvoj godini pale za 10%, a u drugoj u 30%, onda je netočno izračunati "prosječno" povećanje tijekom ove dvije godine kao aritmetičku sredinu (-10% + 30%) / 2 = 10%; ispravnu prosječnu vrijednost u ovom slučaju daje kumulativna godišnja stopa rasta, pri kojoj je godišnji rast samo oko 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Razlog tome je što postoci svaki put imaju novo polazište: 30% je 30%. od broja manjeg od cijene na početku prve godine: ako je dionica na početku bila 30 USD i pala za 10%, početkom druge godine iznosi 27 USD. Ako su dionice porasle za 30%, vrijedit će 35,1 USD na kraju druge godine. Aritmetički prosjek ovog rasta je 10%, ali budući da je dionica samo 5,1 USD u 2 godine, prosječni rast od 8,2% daje konačni rezultat od 35,1 USD:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Ako na isti način koristimo aritmetičku sredinu od 10%, nećemo dobiti stvarnu vrijednost: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 USD].

Sastav na kraju druge godine: 90% * 130% = 117%, za ukupno povećanje od 17% i CAGR od 117% ≈ 108,2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ cca 108,2 \ %), odnosno prosječno godišnje povećanje od 8,2%.

Upute
Glavni članak: Statistika odredišta
Posebnu pozornost treba posvetiti izračunavanju aritmetičke sredine neke varijable koja se ciklično mijenja (na primjer, faza ili kut). Na primjer, prosjek od 1 ° i 359 ° bio bi 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180 °. Ovaj broj nije točan iz dva razloga.
- Prvo, kutni standardi definirani su samo za raspon 0 ° do 360 ° (ili 0 do 2π kada se mjere u radijanima). Tako bi se isti par brojeva mogao zapisati kao (1 ° i −1 °) ili kao (1 ° i 719 °). Prosjek svakog para bit će različit: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) + (- 1 ^ (\ circ))) (2)) = 0 ^ (\ circ)), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +719 ^ (\ circ)) (2)) = 360 ^ (\ circ)) .
- Drugo, u ovom slučaju 0 ° (ekvivalentno 360 °) bila bi geometrijski bolja sredina budući da brojevi manje odstupaju od 0 ° nego bilo koja druga vrijednost (0 ° ima najmanju varijaciju). Usporedi:
  - broj 1 ° odstupa od 0 ° samo za 1 °;
  - broj 1 ° odstupa od izračunatog prosjeka od 180 ° za 179 °.
Prosječna vrijednost za cikličku varijablu, izračunata pomoću gornje formule, umjetno će se pomaknuti od stvarnog prosjeka prema sredini numeričkog raspona. Zbog toga se srednja vrijednost izračunava na drugačiji način, naime, broj s najmanjom varijancom (središnja točka) odabran je kao srednja vrijednost. Također, umjesto oduzimanja, koristi se modularna udaljenost (odnosno obodna udaljenost). Na primjer, modularna udaljenost između 1 ° i 359 ° iznosi 2 °, a ne 358 ° (na krugu između 359 ° i 360 ° == 0 ° - jedan stupanj, između 0 ° i 1 ° - također 1 °, ukupno - 2 °).

Ponderirani prosjek - što je to i kako ga izračunati?

U procesu proučavanja matematike učenici se upoznaju s pojmom aritmetičke sredine. Kasnije u statistici i nekim drugim znanostima studenti se suočavaju s izračunom drugih srednjih vrijednosti. Što mogu biti i po čemu se međusobno razlikuju?

Prosječne vrijednosti: značenje i razlike

Ne uvijek točni pokazatelji daju razumijevanje situacije. Kako bi se procijenila određena situacija, ponekad je potrebno analizirati ogroman broj brojki. A onda u pomoć priskaču prosjeci. Omogućuju procjenu situacije u cjelini.

Mnogi se odrasli još od školskih dana sjećaju postojanja aritmetičke sredine. Vrlo je lako izračunati - zbroj niza n članova djeljiv je s n. To jest, ako trebate izračunati aritmetičku sredinu u nizu vrijednosti 27, 22, 34 i 37, tada morate riješiti izraz (27 + 22 + 34 + 37) / 4, budući da 4 vrijednosti koriste se u izračunima. U tom slučaju potrebna vrijednost bit će jednaka 30.

Često se u okviru školskog tečaja proučava i geometrijska sredina. Izračun ove vrijednosti temelji se na ekstrakciji korijena n -ti stupanj iz proizvoda n-pojmova. Uzmemo li iste brojeve: 27, 22, 34 i 37, tada će rezultat izračuna biti 29,4.

Harmonijska sredina u sveobuhvatna škola obično nije predmet proučavanja. Ipak, koristi se prilično često. Ova je vrijednost recipročna aritmetičkoj sredini i izračunava se kao količnik n - broj vrijednosti i zbroj 1 / a 1 + 1 / a 2 + ... + 1 / a n. Ako opet uzmemo isti niz brojeva za izračun, tada će harmonik biti 29,6.

Ponderirani prosjek: značajke

Međutim, sve se gore navedene vrijednosti ne mogu koristiti svugdje. Na primjer, u statistici, pri izračunavanju nekih prosječnih vrijednosti "težina" svakog broja korištenog u izračunima igra važnu ulogu. Rezultati su indikativniji i točniji jer uzimaju u obzir više informacija. Ova skupina vrijednosti zajedno se naziva "ponderirani prosjek". Ne prolaze u školi, pa se vrijedi detaljnije zadržati na njima.

Prije svega, vrijedi reći što se podrazumijeva pod "težinom" ove ili one vrijednosti. To ćete najlakše objasniti konkretnim primjerom. Tjelesna temperatura svakog pacijenta mjeri se dva puta dnevno u bolnici. Od 100 pacijenata na različitim odjelima bolnice, 44 će imati normalnu temperaturu od 36,6 stupnjeva. Još 30 imat će povećanu vrijednost - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, a preostala dva - 40. A ako uzmemo aritmetičku sredinu, tada će ta vrijednost općenito za bolnicu biti veća od 38 stupnjeva! No, gotovo polovica pacijenata ima potpuno normalnu temperaturu. I ovdje će biti ispravnije koristiti prosječnu ponderiranu vrijednost, a "težina" svake vrijednosti bit će broj ljudi. U ovom slučaju rezultat izračuna bit će 37,25 stupnjeva. Razlika je očita.

U slučaju prosječnih ponderiranih izračuna, "težina" se može uzeti kao broj pošiljaka, broj ljudi koji rade na određeni dan, općenito, sve što se može izmjeriti i utjecati na konačni rezultat.

Sorte

Ponderirani prosjek odgovara aritmetičkom prosjeku o kojem je bilo riječi na početku članka. Međutim, prva vrijednost, kao što je već spomenuto, također uzima u obzir težinu svakog broja korištenog u izračunima. Osim toga, postoje i geometrijske i harmonijske ponderirane srednje vrijednosti.

Postoji još jedna zanimljiva varijacija koja se koristi u nizu brojeva. Ovo je ponderirani pokretni prosjek. Na temelju toga se izračunavaju trendovi. Osim samih vrijednosti i njihove težine, tu se koristi i periodičnost. A pri izračunavanju prosječne vrijednosti u nekom trenutku uzimaju se u obzir i vrijednosti za prethodne vremenske intervale.

Izračunavanje svih ovih vrijednosti nije tako teško, ali u praksi se obično koristi samo uobičajeni ponderirani prosjek.

Metode proračuna

U doba masovne informatizacije, nema potrebe ručno izračunavati ponderirani prosjek. No, bit će korisno znati formulu izračuna kako biste mogli provjeriti i po potrebi ispraviti dobivene rezultate.

Izračun je najjednostavnije razmotriti na konkretnom primjeru.

Potrebno je saznati kolika je prosječna plaća u ovom poduzeću, uzimajući u obzir broj radnika koji primaju ovu ili onu zaradu.

Dakle, ponderirani prosjek izračunava se prema sljedećoj formuli:

x = (a 1 * w 1 + a 2 * w 2 + ... + a n * w n) / (w 1 + w 2 + ... + w n)

Na primjer, izračun će biti sljedeći:

x = (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) = (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 = 33,48

Očito, nema posebnih poteškoća u ručnom izračunavanju ponderiranog prosjeka. Formula za izračun ove vrijednosti u jednoj od najpopularnijih aplikacija s formulama - Excel - izgleda kao funkcija SUMPRODUCT (niz brojeva; niz pondera) / SUM (niz pondera).

Kako pronaći prosjek u excelu?

kako pronaći aritmetičku sredinu u excelu?

Vladimir09854

Lako kao pita. Potrebne su samo 3 ćelije da biste pronašli prosjek u Excelu. U prvom ćemo napisati jedan broj, u drugom - drugi. A u trećoj ćeliji zabit ćemo formulu koja će nam dati prosječnu vrijednost između ova dva broja iz prve i druge ćelije. Ako se ćelija 1 naziva A1, ćelija 2 naziva se B1, tada u ćeliju s formulom morate upisati sljedeće:

Ova formula izračunava aritmetičku sredinu dva broja.

Radi ljepote naših izračuna, možete odabrati ćelije s linijama, u obliku ploče.

Postoji i funkcija za određivanje prosječne vrijednosti u samom Excelu, ali ja koristim staromodnu metodu i unosim formulu koja mi je potrebna. Stoga sam siguran da će Excel izračunati točno ono što mi treba i da neće doći do neke vrste zaokruživanja.

M3sergey

Vrlo je jednostavno ako su podaci već unijeti u ćelije. Ako vas samo broj zanima, dovoljno je odabrati željeni raspon / raspone, a vrijednost zbroja tih brojeva, njihova aritmetička sredina i njihov broj pojavit će se u donjem desnom kutu statusne trake.

Možete odabrati praznu ćeliju, kliknuti na trokut (padajući popis) "Automatski zbroj" i tamo odabrati "Prosjek", a zatim se složiti s predloženim rasponom za izračun ili odabrati svoj vlastiti.

Konačno, formule možete koristiti izravno klikom na Umetni funkciju pored trake s formulama i adrese ćelije. PROSJEČNA funkcija nalazi se u kategoriji "Statistički" i prihvaća kao argumente i brojeve i reference ćelija itd. Tamo možete odabrati i složenije opcije, na primjer AVERAGEIF - izračun prosjeka prema uvjetu.

Pronađi prosjek u excelu prilično je jednostavan zadatak. Ovdje morate razumjeti želite li koristiti ovu prosječnu vrijednost u nekim formulama ili ne.

Ako trebate dobiti samo vrijednost, tada je dovoljno odabrati potrebni raspon brojeva, nakon čega će Excel automatski izračunati prosječnu vrijednost - bit će prikazana u statusnoj traci, pod naslovom "Prosjek".

U slučaju da želite koristiti dobiveni rezultat u formulama, možete učiniti sljedeće:

1) Zbrojite ćelije pomoću funkcije ZBOR i podijelite sve brojevima.

2) Ispravnija opcija je korištenje posebne funkcije koja se zove PROSJEČNA. Argumenti ove funkcije mogu biti sekvencijalno navedeni brojevi ili niz brojeva.

Vladimir Tihonov

zaokružite vrijednosti koje će sudjelovati u izračunu, kliknite karticu "Formule", tamo ćete vidjeti "Automatski zbroj" s lijeve strane i pored nje trokut usmjeren prema dolje. kliknite na ovaj trokut i odaberite "Prosjek". Voila, gotovo) pri dnu trake vidjet ćete prosjek :)

Ekaterina mutalapova

Krenimo od početka i redom. Što znači?

Prosjek je vrijednost koja je aritmetička sredina, tj. izračunava se dodavanjem skupa brojeva, a zatim se cijeli zbroj brojeva dijeli s njihovim brojem. Na primjer, za brojeve 2, 3, 6, 7, 2 bit će 4 (zbroj brojeva 20 podijeljen je s njihovim brojem 5)

U Excel proračunskoj tablici meni osobno, najjednostavniji način bio je koristiti formulu = PROSJEČNA. Za izračun prosječne vrijednosti potrebno je unijeti podatke u tablicu, ispod stupca s podacima upisati funkciju = PROSJEK (), a u zagradama naznačiti raspon brojeva u ćelijama, ističući stupac podataka. Nakon toga pritisnite ENTER ili jednostavno kliknite lijevom tipkom miša na bilo koju ćeliju. Rezultat će biti prikazan u ćeliji ispod stupca. Izgleda neshvatljivo, ali zapravo su u pitanju minute.

Pustolov 2000

Ecxel program je raznolik, pa postoji nekoliko opcija koje će vam omogućiti da pronađete prosječnu vrijednost:

Prva opcija. Jednostavno zbrojite sve ćelije i podijelite ih po broju;

Druga opcija. Pomoću posebne naredbe upišite u potrebnu ćeliju formulu "= PROSJEČNO (a zatim navedite raspon ćelija)";

Treća opcija. Ako odaberete potrebni raspon, imajte na umu da se na donjoj stranici prikazuje i prosječna vrijednost u tim ćelijama.

Dakle, postoji mnogo načina za pronalaženje prosječne vrijednosti, samo trebate odabrati najbolji za sebe i stalno ga koristiti.

U Excelu, pomoću funkcije PROSJEK, možete izračunati aritmetičku osnovnu sredinu. Da biste to učinili, morate unijeti brojne vrijednosti. Pritisnite jednako i odaberite u Statističkoj kategoriji, među kojima odaberite funkciju PROSJEK

Također, pomoću statističkih formula možete izračunati ponderiranu aritmetičku sredinu, koja se smatra točnijom. Za izračun su nam potrebne vrijednosti pokazatelja i učestalost.

Kako pronaći prosjek u Excelu?

Situacija je sljedeća. Postoji sljedeća tablica:
Trake zasjenjene crvenom bojom sadrže numeričke vrijednosti ocjena za predmete. U koloni " Prosječni rezultat"potrebno je izračunati njihovu prosječnu vrijednost.
Problem je sljedeći: postoji ukupno 60-70 stavki, a neke se nalaze na drugom listu.
Pogledao sam u drugom dokumentu, prosjek je već izračunat, a u ćeliji postoji formula poput
= "naziv lista"! | E12
ali to je učinio neki programer koji je dobio otkaz.
Molim vas recite mi tko to razumije.

Hector

U niz funkcija koje unosite iz ponuđenih funkcija "PROSJEK" i odabirete gdje ih treba izračunati (B6: N6) za, na primjer, Ivanova. Ne znam točno o susjednim listovima, ali zasigurno je to sadržano u standardnoj pomoći za Windows
Reci mi kako izračunati prosječnu vrijednost u Wordu

Molim vas, recite mi kako izračunati prosječnu vrijednost u Wordu. Naime, prosjek ocjena, a ne broj ljudi koji su dobili ocjene.

Julija pavlova

Word može učiniti mnogo s makronaredbama. Pritisnite ALT + F11 i napišite makro program.
Osim toga, Insert-Object ... omogućit će vam da koristite druge programe, čak i Excel, za stvaranje lista s tablicom u Word dokumentu.
Ali u ovom slučaju morate zapisati svoje brojeve u stupac tablice, a prosjek unijeti u donju ćeliju istog stupca, zar ne?
Da biste to učinili, umetnite polje u donju ćeliju.
Insert -Field ... -Formula
Sadržaj polja
[= PROSJEČNO (GORE)]
daje prosjek zbroja gore navedenih ležećih stanica.
Ako je polje odabrano i pritisnuta desna tipka miša, tada se može osvježiti ako su se brojevi promijenili,
pregledajte kôd ili vrijednost polja, promijenite kôd izravno u polju.
Ako nešto pođe po zlu, izbrišite cijelo polje u ćeliji i ponovno ga stvorite.
PROSJEČNO znači prosjek, VIŠE znači otprilike, to jest red ćelija iznad.
Nisam sve to znao, ali lako sam to pronašao u POMOĆI, naravno, malo razmišljajući.

U većini slučajeva podaci su koncentrirani oko središnje točke. Dakle, za opis bilo kojeg skupa podataka dovoljno je navesti prosječnu vrijednost. Razmotrimo uzastopno tri numeričke karakteristike koje se koriste za procjenu srednje vrijednosti raspodjele: aritmetičku sredinu, medijanu i mod.

Prosječno

Aritmetička sredina (često se naziva jednostavno srednjom) najčešća je procjena srednje vrijednosti raspodjele. To je rezultat dijeljenja zbroja svih promatranih numeričkih vrijednosti s njihovim brojem. Za uzorak brojeva X 1, X 2, ..., Xn, srednja vrijednost uzorka (označena simbolom ) jednako = (X 1 + X 2 + ... + Xn) / n, ili

gdje je srednja vrijednost uzorka, n- veličina uzorka, xi – i-ti element uzorkovanje.

Preuzmite bilješku u formatu ili, primjere u formatu

Razmislite o izračunavanju aritmetičke sredine petogodišnjeg prosječnog godišnjeg prinosa 15 zajedničkih fondova s vrlo visoka razina rizik (slika 1).

Riža. 1. Prosječni godišnji prinosi 15 vrlo rizičnih uzajamnih fondova

Prosječna vrijednost uzorka izračunava se na sljedeći način:

Ovo je dobar povrat, posebno u usporedbi s 3-4% prihoda koji su štediše banaka ili kreditnih sindikata ostvarile u istom vremenskom razdoblju. Ako sortirate prinose, lako ćete vidjeti da osam fondova ima veće prinose, a sedam - ispod prosjeka. Aritmetička sredina djeluje kao točka ravnoteže tako da fondovi s niskim primanjima protutežu fondovima s visokim prihodima. Svi elementi uzorka uključeni su u izračun prosjeka. Nijedna druga procjena srednje vrijednosti raspodjele nema ovo svojstvo.

Kada izračunati aritmetičku sredinu. Budući da aritmetička sredina ovisi o svim elementima uzorka, prisutnost ekstremnih vrijednosti značajno utječe na rezultat. U takvim situacijama aritmetička sredina može iskriviti značenje numeričkih podataka. Stoga je pri opisu skupa podataka koji sadrži ekstremne vrijednosti potrebno navesti medijanu ili aritmetičku sredinu i medijanu. Na primjer, ako iz uzorka uklonite povrat sredstava iz fonda za nadolazeći rast iz RS -a, prosječni povrat uzorka od 14 sredstava smanjit će se za gotovo 1% na 5,19%.

Medijan

Medijana je medijana uređenog niza brojeva. Ako niz ne sadrži duplicirane brojeve, tada će polovica njegovih elemenata biti manja, a polovica veća od medijane. Ako uzorak sadrži ekstremne vrijednosti, za procjenu srednje vrijednosti bolje je koristiti medijanu, a ne aritmetičku sredinu. Da bi se izračunala medijana uzorka, mora se prvo sortirati.

Ova formula je dvosmislena. Njegov rezultat ovisi o tome je li broj paran ili neparan. n:
- Ako uzorak sadrži neparan broj elemenata, medijana je (n + 1) / 2 th element.
- Ako uzorak sadrži paran broj elemenata, medijan se nalazi između dva srednja elementa uzorka i jednak je aritmetičkoj sredini izračunatoj za ta dva elementa.
Da biste izračunali medijanu uzorka od 15 vrlo rizičnih povrata uzajamnih fondova, najprije morate naručiti izvorne podatke (slika 2). Tada će medijana biti nasuprot broju srednjeg elementa uzorka; u našem primjeru # 8. Excel ima posebnu funkciju = MEDIAN () koja radi i s neuređenim nizovima.

Riža. 2. Medijan 15 fondova

Dakle, medijana je 6,5. To znači da rentabilnost polovice sredstava s vrlo visokom razinom rizika ne prelazi 6,5, dok profitabilnost druge polovice ne prelazi. Imajte na umu da medijana 6,5 nije mnogo veća od prosjeka 6,08.

Uklonimo li iz uzorka povrat fonda za rastući rast RS -a, medijana preostalih 14 fondova smanjit će se na 6,2%, odnosno ne toliko značajno kao aritmetička sredina (slika 3).

Riža. 3. Medijan 14 fondova

Moda

Izraz je prvi put skovao Pearson 1894. Moda je broj koji se najčešće pojavljuje u uzorku (najmoderniji). Moda dobro opisuje, primjerice, tipičnu reakciju vozača na prometnu signalizaciju da prestanu voziti. Klasičan primjer korištenja mode odabir je veličine proizvedene serije cipela ili boje tapeta. Ako distribucija ima nekoliko načina, tada se kaže da je multimodalna ili multimodalna (ima dva ili više "vrhova"). Multimodalnost distribucije daje važne informacije o prirodi varijable koja se proučava. Na primjer, u istraživanjima javnog mnijenja, ako varijabla predstavlja sklonost ili stav prema nečemu, tada multimodalnost može značiti da postoji nekoliko definitivno različitih mišljenja. Multimodalnost također služi kao pokazatelj da uzorak nije homogen i da su zapažanja vjerojatno generirana s dvije ili više "preklapanih" distribucija. Za razliku od aritmetičke sredine, odstupanja ne utječu na modu. Za kontinuirano distribuirane slučajne varijable, na primjer, za pokazatelje prosječnog godišnjeg povrata uzajamnih fondova, moda ponekad uopće ne postoji (ili nema smisla). Budući da ti pokazatelji mogu poprimiti različite vrijednosti, ponovljene vrijednosti su iznimno rijetke.

Kvartili

Kvartili su metrike koje se najčešće koriste za procjenu raspodjele podataka pri opisivanju svojstava velikih numeričkih uzoraka. Dok medijana dijeli uređeni niz na pola (50% elemenata niza manje je od medijane i 50% više), kvartili dijele uređeni skup podataka na četiri dijela. Vrijednosti Q 1, medijane i Q 3 su 25., 50. i 75. percentil. Prvi kvartil Q 1 je broj koji dijeli uzorak na dva dijela: 25% elemenata je manje, a 75% - više od prvog kvartil.

Treći kvartil, Q 3, je broj koji također dijeli uzorak na dva dijela: 75% elemenata je manje, a 25% je više od trećeg kvartila.

Za izračun kvartila u verzijama programa Excel prije 2007. korištena je funkcija = QUARTILE (niz; dio). Počevši od verzije Excel2010, primjenjuju se dvije funkcije:
- = QUARTILE.INC (niz, dio)
- = QUARTILE.EXC (niz, dio)
Ove dvije funkcije daju malo različita značenja(slika 4). Na primjer, pri izračunavanju kvartila uzorka koji sadrži podatke o prosječnom godišnjem prinosu 15 vrlo rizičnih uzajamnih fondova, Q 1 = 1,8 ili –0,7 za QUARTILE.INCL odnosno QUARTILE.EXCL. Usput, ranije korištena funkcija QUARTILE odgovara moderna funkcija STAN UKLJ. Za izračun kvartila u Excelu pomoću gornjih formula, polje podataka nije potrebno poredati.

Riža. 4. Izračun kvartila u Excelu

Opet naglasimo. Excel može izračunati kvartile za jednodimenzionalne diskretne serije koja sadrži vrijednosti slučajne varijable. Izračun kvartila za dodjelu temeljenu na frekvenciji dan je u donjem odjeljku.

Geometrijska sredina

Za razliku od aritmetičke sredine, geometrijska sredina omogućuje vam da procijenite stupanj promjene varijable tijekom vremena. Geometrijska sredina je korijen n-th stupanj od djela n vrijednosti (u Excelu se koristi funkcija = SRGEOM):

G= (X 1 * X 2 * ... * X n) 1 / n

Sličan parametar - geometrijska sredina stope povrata - određen je formulom:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) *… * (1 + R n)] 1 / n - 1,

gdje R i- stopa povrata za i vremenski period.

Na primjer, pretpostavimo da je početno ulaganje 100.000 USD. Do kraja prve godine ono pada na 50.000 USD, a do kraja druge godine vraća se na izvornih 100.000 USD. Stopa povrata na ovo ulaganje tijekom dvogodišnjeg razdoblja jednako je 0, budući da su početna i završna sredstva jednaka jedna drugoj. Međutim, aritmetička sredina godišnje stope dobit je = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 ili 25%, budući da je stopa dobiti u prvoj godini R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = –0,5, a u drugoj R 2 = (100 000 - 50.000) / 50.000 = 1. Istodobno, geometrijska sredina stope dobiti za dvije godine je: G = [(1–0,5) * (1 + 1)] 1/2 - 1 = ½ - 1 = 1 - 1 = 0. Dakle, geometrijska sredina točnije odražava promjenu (točnije, izostanak promjena) u volumenu ulaganja tijekom dvogodišnjeg razdoblja od aritmetičke sredine.

Zanimljivosti. Prvo, geometrijska sredina uvijek će biti manja od aritmetičke sredine istih brojeva. Osim kad su svi uzeti brojevi međusobno jednaki. Drugo, s obzirom na svojstva pravokutni trokut, možete razumjeti zašto se srednja vrijednost naziva geometrijskom. Visina pravokutnog trokuta, spuštenog na hipotenuzu, proporcionalni je prosjek između projekcija kateta na hipotenuzu, a svaki je krak prosječan razmjer između hipotenuze i njezine projekcije na hipotenuzu (slika 5.). To daje geometrijski način konstruiranja geometrijske sredine dvaju (duljina) segmenata: trebate izgraditi krug na zbroju ova dva segmenta kao po promjeru, zatim po visini, obnovljenoj od točke njihove veze do sjecišta s krugom, dat će željenu vrijednost:

Riža. 5. Geometrijska priroda geometrijske sredine (crtež iz Wikipedije)

Drugo važno svojstvo numeričkih podataka je njihovo varijacija karakterizira stupanj varijance podataka. Dva različita uzorka mogu se razlikovati u srednjim vrijednostima i varijacijama. Međutim, kao što je prikazano na Sl. 6 i 7, dva uzorka mogu imati istu varijaciju, ali različita sredstva, ili ista sredstva i potpuno različite varijacije. Podaci koji odgovaraju poligonu B na Sl. 7, mijenja se mnogo manje od podataka na kojima je poligon A.

Riža. 6. Dvije simetrične distribucije u obliku zvona s istim rasponom i različitim srednjim vrijednostima

Riža. 7. Dvije simetrične distribucije u obliku zvona s istim srednjim vrijednostima i različitim raspršenjem

Postoji pet procjena varijacije podataka:
- opseg,
- interkvartilni Raspon,
- disperzija,
- standardna devijacija,
- koeficijent varijacije.
Ljuljanje

Raspon je razlika između najvećih i najmanjih elemenata uzorka:

Prijeđite prstom = XMaksimalno - XMin

Raspon uzorka koji sadrži podatke o prosječnim godišnjim prinosima 15 vrlo rizičnih uzajamnih fondova može se izračunati pomoću uređenog niza (vidi sliku 4): raspon = 18,5 - (–6,1) = 24,6. To znači da razlika između najvećeg i najnižeg prosječnog godišnjeg povrata sredstava s vrlo visokom razinom rizika iznosi 24,6%.

Span mjeri ukupnu disperziju podataka. Iako je veličina uzorka vrlo jednostavna procjena ukupnog širenja podataka, njegova je slabost što ne uzima u obzir kako su podaci raspodijeljeni između minimalnog i maksimalnog elementa. Taj se učinak jasno vidi na Sl. 8, koji prikazuje uzorke istog raspona. Ljestvica B pokazuje da ako uzorak sadrži barem jednu ekstremnu vrijednost, raspon uzorka se pokazuje kao vrlo netočna procjena raspršenosti podataka.

Riža. 8. Usporedba tri uzorka s istim rasponom; trokut simbolizira oslonac vage i njegov položaj odgovara srednjoj vrijednosti uzorka

Interkvartilni Raspon

Interkvartilni ili srednji raspon razlika je između trećeg i prvog kvartila uzorka:

Interkvartilni raspon = Q 3 - Q 1

Ova vrijednost omogućuje procjenu širenja 50% elemenata i ne uzima u obzir utjecaj ekstremnih elemenata. Interkvartilni raspon uzorka koji sadrži podatke o prosječnom godišnjem prinosu 15 vrlo rizičnih uzajamnih fondova može se izračunati pomoću podataka na Sl. 4 (na primjer, za funkciju QUARTILE.EXC): Interkvartilni raspon = 9,8 - (–0,7) = 10,5. Interval omeđen brojevima 9.8 i –0.7 često se naziva srednja polovica.

Valja napomenuti da vrijednosti Q 1 i Q 3, a time i interkvartilni raspon, ne ovise o prisutnosti isticanja, budući da njihov izračun ne uzima u obzir vrijednost koja bi bila manja od Q 1 ili veća nego Q 3. Ukupno kvantitativne karakteristike kao što su medijan, prvi i treći kvartil i interkvartilni raspon, na koje ne utječu isticanja, nazivaju se robusne mjere.

Iako raspon i interkvartilni raspon daju procjenu ukupnog i srednjeg raspona uzorka, nijedna od tih procjena ne uzima u obzir kako su podaci raspodijeljeni. Disperzija i standardna devijacija su lišeni ovog nedostatka. Ove metrike daju procjenu stupnja do kojeg podaci fluktuiraju oko srednje vrijednosti. Uzorka varijance je aproksimacija aritmetičke sredine, izračunate na temelju kvadrata razlika između svakog elementa uzorka i srednje vrijednosti uzorka. Za uzorak X 1, X 2, ... X n, varijansa uzorka (označena simbolom S 2 data je sljedećom formulom:

Općenito, varijansa uzorka je zbroj kvadrata razlika između elemenata uzorka i srednje vrijednosti uzorka, podijeljen s vrijednošću jednakom veličini uzorka minus jedan:

gdje - aritmetička sredina, n- veličina uzorka, X i - i element uzorka x... U Excelu je prije 2007. funkcija = VARP () korištena za izračun varijance uzorka; od 2010. koristi se funkcija = VARV ().

Najpraktičnija i široko prihvaćena procjena širenja podataka je standardno odstupanje uzorka... Ovaj pokazatelj je označen simbolom S i jednak je korijen iz varijance uzorka:

U Excelu je prije 2007. funkcija = STDEV () korištena za izračun standardnog odstupanja uzorka; od 2010. koristi se funkcija = STDEV.V (). Za izračun ovih funkcija, skup podataka može biti neuređen.

Ni varijansa uzorka niti standardna devijacija uzorka ne mogu biti negativni. Jedina situacija u kojoj pokazatelji S 2 i S mogu biti nula jest ako su svi elementi uzorka međusobno jednaki. U ovom vrlo nevjerojatnom slučaju raspon i interkvartilni raspon također su nuli.

Numerički podaci su inherentno nestabilni. Bilo koja varijabla može preuzeti skup različita značenja... Na primjer, različiti zajednički fondovi imaju različite stope povrata i gubitaka. Zbog varijabilnosti brojčanih podataka, vrlo je važno proučiti ne samo procjene srednje vrijednosti, koje su kumulativne prirode, već i procjene varijance, koje karakteriziraju raspršenost podataka.

Varijansa i standardna devijacija omogućuju vam da procijenite širenje podataka oko srednje vrijednosti, drugim riječima, da odredite koliko je elemenata uzorka manje od srednje, a koliko više. Disperzija ima neke vrijedne matematička svojstva... Međutim, njegova vrijednost je kvadrat mjerne jedinice - kvadratni postotak, kvadratni dolar, kvadratni inč itd. Stoga je prirodna mjera varijance standardna devijacija koja se izražava u zajedničkim mjernim jedinicama - postotku prihoda, dolarima ili inčima.

Standardno odstupanje omogućuje vam procjenu količine fluktuacije elemenata uzorka oko srednje vrijednosti. U gotovo svim situacijama većina promatranih vrijednosti leži u intervalu plus ili minus jedno standardno odstupanje od srednje vrijednosti. Stoga je, poznavajući aritmetičku sredinu elemenata uzorka i standardnu devijaciju uzorka, moguće odrediti interval kojem pripada najveći dio podataka.

Standardna devijacija povrata na 15 vrlo rizičnih uzajamnih fondova iznosi 6,6 (slika 9). To znači da se isplativost najvećeg dijela sredstava razlikuje od prosječne vrijednosti za najviše 6,6% (tj. Fluktuira u rasponu od - S.= 6,2 - 6,6 = -0,4 do + S= 12,8). Zapravo, u ovom intervalu leži petogodišnji prosječni godišnji prinos od 53,3% (8 od 15) sredstava.

Riža. 9. Standardno odstupanje uzorka

Imajte na umu da kako se zbrajaju razlike na kvadrat, uzorak dalje od srednje dobiva veću težinu od bližeg uzorka. Ovo svojstvo je glavni razlog što se aritmetička sredina najčešće koristi za procjenu srednje vrijednosti raspodjele.

Koeficijent varijacije

Za razliku od prethodnih procjena raspona, koeficijent varijacije je relativna procjena. Uvijek se mjeri u postocima, a ne u obliku sirovih podataka. Koeficijent varijacije, označen sa CV, mjeri disperziju podataka u odnosu na srednju vrijednost. Koeficijent varijacije jednak je standardnoj devijaciji podijeljenoj s aritmetičkom sredinom i pomnoženoj sa 100%:

gdje S- standardna devijacija uzorka, - srednja vrijednost uzorka.

Koeficijent varijacije omogućuje vam usporedbu dva uzorka čiji su elementi izraženi u različitim mjernim jedinicama. Na primjer, upravitelj dostave pošte namjerava obnoviti vozni park kamiona. Prilikom utovara paketa potrebno je uzeti u obzir dvije vrste ograničenja: težinu (u kilogramima) i volumen (u kubičnim stopama) svakog pakiranja. Pretpostavimo da je za uzorak od 200 vreća prosječna težina 26,0 kilograma, standardno odstupanje težine 3,9 kilograma, prosječna zapremina vreće 8,8 kubičnih stopa, a standardno odstupanje volumena 2,2 kubične stope. Kako uspoređujete raspon težine i volumena vrećica?

Budući da se mjerne jedinice za težinu i volumen međusobno razlikuju, upravitelj mora usporediti relativni raspon ovih vrijednosti. Koeficijent varijacije težine je CV W = 3,9 / 26,0 * 100% = 15%, a koeficijent varijacije volumena CV V = 2,2 / 8,8 * 100% = 25%. Dakle, relativno širenje u volumenu paketa mnogo je veće od relativnog širenja u njihovoj težini.

Obrazac distribucije

Treće važno svojstvo uzorka je oblik njegove raspodjele. Ova raspodjela može biti simetrična ili asimetrična. Za opis oblika raspodjele potrebno je izračunati njezinu srednju vrijednost i medijanu. Ako se ta dva pokazatelja podudaraju, varijabla se smatra simetrično raspoređenom. Ako je srednja vrijednost varijable veća od medijane, njezina raspodjela ima pozitivnu iskrivljenost (slika 10). Ako je medijana veća od srednje vrijednosti, distribucija varijable je negativno iskrivljena. Pozitivna iskrivljenost nastaje kada se prosjek poveća na neuobičajeno visok visoke vrijednosti... Negativno iskrivljenje nastaje kada se srednja vrijednost smanji na neobično male vrijednosti. Varijabla je simetrično raspoređena ako ne uzima ekstremne vrijednosti u bilo kojem smjeru, tako da se visoke i niske vrijednosti varijable međusobno uravnotežuju.

Riža. 10. Tri vrste distribucija

Podaci prikazani na A-ljestvici imaju negativnu iskrivljenost. Ova slika prikazuje dugačak rep i nagib ulijevo uzrokovan neobično niskim vrijednostima. Ove iznimno male vrijednosti pomiču prosjek ulijevo i on postaje manji od medijane. Podaci prikazani na B ljestvici su simetrično raspoređeni. Lijeva i desna polovica distribucije su njihove zrcalne slike. Velike i male vrijednosti balansiraju jedna drugu, a srednja i srednja vrijednost su jednake. Podaci prikazani na B ljestvici su pozitivno iskrivljeni. Ova slika prikazuje dugačak rep i nagib udesno uzrokovan neobično visokim vrijednostima. Ove previsoke vrijednosti pomiču prosjek udesno i on postaje veći od medijane.

U Excelu se opisni statistički podaci mogu dobiti pomoću dodatka Paket analiza... Prođite kroz izbornik Podaci → Analiza podataka, u prozoru koji se otvori odaberite redak Opisne statistike i kliknite U redu... U prozoru Opisne statistike svakako naznačite Ulazni interval(slika 11). Ako želite vidjeti opisne statistike na istom listu s izvornim podacima, odaberite radio gumb Izlazni interval i navedite ćeliju u koju treba postaviti gornji lijevi kut izlazne statistike (u našem primjeru, $ C $ 1). Ako želite ispisati podatke na novi list ili u nova knjiga, samo trebate odabrati odgovarajući radio gumb. Potvrdite okvir pored Zbirna statistika... Po želji možete i birati Razina težine,kth najmanji ikth najveći.

Ako je na depozitu Podaci na području Analiza nemate prikazanu ikonu Analiza podataka, najprije morate instalirati dodatak Paket analiza(vidi, na primjer).

Riža. 11. Opisna statistika petogodišnjeg prosječnog godišnjeg povrata sredstava s vrlo visokim razinama rizika, izračunata pomoću dodatka Analiza podataka Excel programi

Excel izračunava različite gore navedene statistike: srednja vrijednost, medijana, način rada, standardna devijacija, varijansa, raspon ( interval), minimalna, maksimalna i veličina uzorka ( ček). Osim toga, Excel izračunava neke statistike koje su nam nove: standardna pogreška, kurtoza i iskrivljenost. Standardna pogreška jednaka standardnoj devijaciji podijeljenoj s kvadratnim korijenom veličine uzorka. Asimetrija karakterizira odstupanje od simetrije raspodjele i funkcija je koja ovisi o kocki razlika između elemenata uzorka i srednje vrijednosti. Kurtoza je mjera relativne koncentracije podataka oko srednje vrijednosti u odnosu na rep distribucije, a ovisi o razlikama između uzorka i srednje vrijednosti podignute na četvrti stupanj.

Izračunavanje opisne statistike za populaciju

Prosječna vrijednost, širenje i oblik raspodjele gore opisane karakteristike su određene iz uzorka. Međutim, ako skup podataka sadrži numerička mjerenja cijelu opću populaciju, možete izračunati njegove parametre. Ti parametri uključuju matematička očekivanja, varijance i standardnu devijaciju opće populacije.

Očekivana vrijednost jednak je zbroju svih vrijednosti opće populacije podijeljen s veličinom opće populacije:

gdje µ - očekivana vrijednost, xi- i-to promatranje varijable x, N- obujam opće populacije. Excel za izračunavanje matematičkih očekivanja koristi istu funkciju kao i za aritmetičku sredinu: = PROSJEČNA ().

Varijacija stanovništva jednaka zbroju kvadrata razlika između elemenata opće populacije i mat. očekivanja podijeljena s veličinom opće populacije:

gdje σ 2- varijacija opće populacije. U Excelu prije 2007. funkcija = VARP () koristi se za izračun varijance populacije, od 2010. = VARP.G ().

Standardna devijacija stanovništva jednak je kvadratnom korijenu varijance populacije:

U Excelu prije 2007. funkcija = STDEVP () koristi se za izračun standardne devijacije populacije, od 2010. = STDEV.Y (). Imajte na umu da se formule za varijaciju populacije i standardnu devijaciju razlikuju od formula za varijansu uzorka i standardnu devijaciju. Prilikom izračunavanja statistike uzorka S 2 i S nazivnik razlomka je n - 1, te pri izračunavanju parametara σ 2 i σ - obujam opće populacije N.

Opšte pravilo

U većini situacija veliki dio opažanja koncentriran je oko medijane, tvoreći grozd. U skupovima podataka s pozitivnim iskrivljenjem ova se skupina nalazi lijevo (tj. Ispod) matematičkog očekivanja, a u skupovima podataka s negativnim iskrivljenjem ta se skupina nalazi desno (tj. Iznad) matematičkog očekivanja. Za simetrične podatke, srednja i medijana su iste, a opažanja su koncentrirana oko srednje vrijednosti, tvoreći zvonastu raspodjelu. Ako distribucija nema izraženu iskrivljenost, a podaci su koncentrirani oko određenog težišta, može se primijeniti opće pravilo za procjenu varijabilnosti koje kaže: ako podaci imaju distribuciju u obliku zvona, tada približno 68 % opažanja nije više od jednog standardnog odstupanja od matematičkog očekivanja. približno 95% opažanja nije više od dva standardna odstupanja od matematičkog očekivanja, a 99,7% opažanja nije više od tri standardna odstupanja od matematičkog očekivanje.

Dakle, standardna devijacija, koja je procjena srednje varijacije oko srednje vrijednosti, pomaže razumjeti kako se distribuiraju opažanja i identificirati izvanredne vrijednosti. Iz općeg pravila slijedi da se za distribucije u obliku zvona samo jedna vrijednost od dvadeset razlikuje od matematičkog očekivanja za više od dva standardna odstupanja. Stoga vrijednosti izvan intervala µ ± 2σ, mogu se smatrati izvanrednim. Osim toga, samo tri od 1000 opažanja razlikuju se od matematičkih očekivanja za više od tri standardne devijacije. Dakle, vrijednosti izvan intervala µ ± 3σ su gotovo uvijek isticanja. Za distribucije koje su jako iskrivljene ili nisu zvonastog oblika može se primijeniti empirijsko pravilo Biename-Chebyshev.

Prije više od stotinu godina matematičari Biename i Chebyshev neovisno su otkrili korisna imovina standardna devijacija. Utvrdili su da za svaki skup podataka, bez obzira na oblik distribucije, postotak opažanja leži na udaljenosti ne većoj od k standardna odstupanja od matematičkih očekivanja, ne manje (1 – 1/ k 2) * 100%.

Na primjer, ako k= 2, pravilo Biename -Chebyshev kaže da najmanje (1 - (1/2) 2) x 100% = 75% opažanja mora ležati u intervalu µ ± 2σ... Ovo pravilo vrijedi za svakoga k veći od jedan. Pravilo Biename-Chebyshev vrlo je opće i vrijedi za distribucije bilo koje vrste. Označava minimalni broj opažanja, udaljenost od koje matematičko očekivanje ne prelazi zadana vrijednost... Međutim, ako je raspodjela zvonasta, pravilo preciznije procjenjuje koncentraciju podataka oko očekivane vrijednosti.

Izračunavanje opisne statistike za distribuciju temeljenu na frekvenciji

Ako izvorni podaci nisu dostupni, raspodjela frekvencije postaje jedini izvor informacija. U takvim situacijama možete izračunati približne vrijednosti pokazatelja kvantitativne raspodjele, poput aritmetičke sredine, standardne devijacije, kvartila.

Ako su podaci uzorka prikazani u obliku distribucije frekvencije, može se izračunati približna vrijednost aritmetičke sredine, pod pretpostavkom da su sve vrijednosti unutar svake klase koncentrirane na sredini klase:

gdje - srednja vrijednost uzorka, n- broj opažanja ili veličinu uzorka, s- broj klasa u distribuciji frekvencija, m j- sredina j-idi na tečaj, fj odgovara frekvencija j razred.

Za izračunavanje standardnog odstupanja od distribucije frekvencije, također se pretpostavlja da su sve vrijednosti unutar svake klase centrirane na sredini klase.

Da bismo razumjeli kako se kvartili serije određuju na temelju frekvencija, razmotrimo izračun donjeg kvartila na temelju podataka za 2013. o raspodjeli stanovništva Rusije u smislu prosječnog novčanog prihoda po stanovniku (slika 12).

Riža. 12. Udio stanovništva Rusije s prosječnim mjesečnim novčanim prihodima po stanovniku, rubalja

Za izračun prvog kvartila serije varijacijskih intervala možete koristiti formulu:

gdje je Q1 vrijednost prvog kvartila, hQ1 je donja granica intervala koji sadrži prvi kvartil (interval je određen kumulativnom frekvencijom, pri čemu prvi prelazi 25%); i je veličina intervala; Σf je zbroj frekvencija cijelog uzorka; vjerojatno uvijek jednako 100%; SQ1–1 je kumulativna frekvencija intervala koji prethodi intervalu koji sadrži donji kvartil; fQ1 je frekvencija intervala koji sadrži donji kvartil. Formula za treći kvartil razlikuje se po tome što na svim mjestima, umjesto Q1, morate koristiti Q3, a umjesto, zamijeniti ¾.

U našem primjeru (slika 12), donji kvartil je u rasponu 7000,1 - 10 000, čija je kumulativna učestalost 26,4%. Donja granica ovog intervala je 7000 rubalja, vrijednost intervala je 3000 rubalja, kumulativna učestalost intervala koji prethodi intervalu koji sadrži donji kvartil je 13,4%, učestalost intervala koji sadrži donji kvartil je 13,0%. Dakle: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13,4) / 13 = 9677 rubalja.

Zamke s opisnom statistikom

U ovom smo članku pogledali kako opisati skup podataka koristeći različite statistike koje procjenjuju njegovu srednju vrijednost, širenje i distribuciju. Sljedeći korak je analiza i tumačenje podataka. Do sada smo proučavali objektivna svojstva podataka, a sada se okrećemo njihovom subjektivnom tumačenju. Istraživača čekaju dvije pogreške: pogrešno odabran predmet analize i pogrešno tumačenje rezultata.

Analiza uspješnosti 15 vrlo rizičnih uzajamnih fondova prilično je nepristrana. To je dovelo do potpuno objektivnih zaključaka: svi zajednički fondovi imaju različite prinose, raspon prinosa na fondove kreće se od –6,1 do 18,5, a prosječni prinos iznosi 6,08. Osigurana je objektivnost analize podataka pravi izbor ukupni kvantitativni pokazatelji distribucije. Razmotreno je nekoliko metoda procjene srednje vrijednosti i širenja podataka, naznačene su njihove prednosti i nedostaci. Kako odabirete prave statistike koje pružaju objektivnu i nepristranu analizu? Ako je distribucija vaših podataka blago iskrivljena, trebate li izabrati medijanu nad aritmetičkom sredinom? Koji pokazatelj točnije karakterizira širenje podataka: standardna devijacija ili raspon? Treba li ukazati na pozitivnu iskrivljenost distribucije?

S druge strane, tumačenje podataka subjektivan je proces. Razliciti ljudi tumačenjem istih rezultata dolazi do različitih zaključaka. Svatko ima svoje gledište. Netko smatra da su ukupni pokazatelji prosječne godišnje profitabilnosti 15 fondova s vrlo visokom razinom rizika dobri i prilično je zadovoljan ostvarenim prihodom. Drugi mogu pomisliti da ta sredstva imaju premali prinos. Dakle, subjektivnost treba nadoknaditi iskrenošću, neutralnošću i jasnoćom zaključaka.

Etički problemi

Analiza podataka neraskidivo je povezana s etičkim pitanjima. Treba biti kritičan prema informacijama koje šire novine, radio, televizija i Internet. S vremenom ćete naučiti biti skeptični ne samo prema rezultatima, već i prema ciljevima, predmetu i objektivnosti istraživanja. Poznati britanski političar Benjamin Disraeli rekao je najbolje od svega: "Postoje tri vrste laži: laži, očite laži i statistika."

Kao što je navedeno u bilješci, etička pitanja javljaju se pri odabiru rezultata koji će se izvještavati. Treba objaviti i pozitivne i negativne rezultate. Osim toga, prilikom izrade izvješća ili pisanog izvješća, rezultati se moraju prezentirati na pošten, neutralan i objektivan način. Razlikovati neuspješno i nepošteno izlaganje. Da biste to učinili, potrebno je utvrditi kakve su namjere govornika bile. Ponekad voditelj propušta važne informacije iz neznanja, a ponekad - namjerno (na primjer, ako koristi aritmetičku sredinu za procjenu srednje vrijednosti jasno asimetričnih podataka kako bi dobio željeni rezultat). Također je nepravedno zanemariti rezultate koji ne odgovaraju gledištu istraživača.

Korišteni materijali iz knjige Levin i druga statistika za menadžere. - M.: Williams, 2004.- str. 178-209 (prikaz, stručni)

Zadržana je funkcija QUARTILE radi kompatibilnosti s ranijim verzijama programa Excel

Dobiveno zbrajanjem svih članova numeričkog niza i dijeljenjem zbroja na broj članova. Na primjer, aritmetička vrijednost 7, 20, 152 i 305 je 484/4 = 121. Međutim, prosječna vrijednost ne dopušta nam da sudimo o širenju brojeva. usporedi: geometrijska sredina.

Poslovanje. Objašnjavajući rječnik... - M.: "INFRA-M", Nakladna kuća "Ves Mir". Graham Betts, Barry Braindley, S. Williams i sur. Opće izdanje: Doktor ekonomskih znanosti Osadchaya I.M.. 1998 .

Pogledajte što je "ARITMETIČKA PROSJEČNA" u drugim rječnicima:

Kolika može biti vrijednost aritmetičke sredine. Kako pronaći aritmetičku i geometrijsku sredinu brojeva? Jednostavna aritmetička sredina

Kolegij YouTube

Primjeri

Kontinuirana slučajna varijabla

Neki problemi korištenja srednjeg značenja

Nedostatak robusnosti

Zajednički interes

Srednje

Osnovne informacije

Hijerarhija sredstava u matematici

U teoriji vjerojatnosti i statistici

Koji je znak aritmetičke sredine?

Što je aritmetička sredina? Kako pronaći aritmetičku sredinu?

Prosječno

Uvod

Primjeri

Kontinuirana slučajna varijabla

Neki problemi korištenja srednjeg značenja

Nedostatak robusnosti

Zajednički interes

Upute

Ponderirani prosjek - što je to i kako ga izračunati?

Prosječne vrijednosti: značenje i razlike

Ponderirani prosjek: značajke

Sorte

Metode proračuna

Kako pronaći prosjek u excelu?

Kako pronaći prosjek u Excelu?

Reci mi kako izračunati prosječnu vrijednost u Wordu

Pogledajte što je "ARITMETIČKA PROSJEČNA" u drugim rječnicima: