Warunki konieczne równowagi ciała sztywnego. „Tworzenie warunków równowagi ciała stałego” w ramach podstawowego kursu fizyki

DEFINICJA

Stabilna równowaga- jest to równowaga, w której ciało wyrwane z położenia równowagi i pozostawione samemu sobie powraca do poprzedniego położenia.

Dzieje się tak, jeśli przy niewielkim przemieszczeniu ciała w dowolnym kierunku od położenia pierwotnego wypadkowa sił działających na ciało staje się niezerowa i jest skierowana w stronę położenia równowagi. Na przykład kula leżąca na dnie kulistego wgłębienia (ryc. 1 a).

DEFINICJA

Niestabilna równowaga- jest to równowaga, w której ciało wyrwane z położenia równowagi i pozostawione samemu sobie będzie jeszcze bardziej odchylać się od położenia równowagi.

W tym przypadku przy niewielkim przemieszczeniu ciała z położenia równowagi wypadkowa przyłożonych do niego sił jest niezerowa i skierowana z położenia równowagi. Przykładem może być kula znajdująca się w górnym punkcie wypukłej powierzchni kulistej (ryc. 1 b).

DEFINICJA

Obojętna równowaga- jest to równowaga, w której ciało wyrwane z położenia równowagi i pozostawione samym sobie nie zmienia swojego położenia (stanu).

W tym przypadku przy niewielkich przemieszczeniach ciała od położenia pierwotnego wypadkowa sił przyłożonych do ciała pozostaje równa zeru. Na przykład piłka leżąca na płaskiej powierzchni (ryc. 1c).

Ryc.1. Różne rodzaje równowagi ciała na podporze: a) równowaga stabilna; b) niestabilna równowaga; c) równowaga obojętna.

Równowaga statyczna i dynamiczna ciał

Jeżeli w wyniku działania sił ciało nie uzyska przyspieszenia, może znajdować się w spoczynku lub poruszać się ruchem jednostajnym po linii prostej. Dlatego możemy mówić o równowadze statycznej i dynamicznej.

DEFINICJA

Równowaga statyczna- jest to równowaga, gdy pod wpływem przyłożonych sił ciało znajduje się w spoczynku.

Równowaga dynamiczna- jest to równowaga, gdy pod wpływem działania sił ciało nie zmienia swojego ruchu.

Latarnia zawieszona na kablach lub jakakolwiek konstrukcja budynku znajduje się w stanie równowagi statycznej. Jako przykład równowagi dynamicznej rozważmy koło, które toczy się po płaskiej powierzchni przy braku sił tarcia.

Równowaga układu mechanicznego- jest to stan, w którym wszystkie punkty układu mechanicznego znajdują się w spoczynku względem rozpatrywanego układu odniesienia. Jeśli układ odniesienia jest inercjalny, nazywa się równowagę absolutny, jeśli nieinercyjny - względny.

Aby znaleźć warunki równowagi ciała absolutnie sztywnego, należy go mentalnie rozbić na dużą liczbę dość małych elementów, z których każdy można przedstawić za pomocą punktu materialnego. Wszystkie te elementy oddziałują ze sobą - te siły interakcji nazywane są wewnętrzny. Ponadto siły zewnętrzne mogą działać na wiele punktów na ciele.

Zgodnie z drugim prawem Newtona, aby przyspieszenie punktu było równe zeru (a przyspieszenie punktu w spoczynku było równe zero), suma geometryczna sił działających na ten punkt musi wynosić zero. Jeśli ciało znajduje się w spoczynku, to wszystkie jego punkty (elementy) również znajdują się w spoczynku. Dlatego dla dowolnego punktu ciała możemy napisać:

gdzie jest sumą geometryczną wszystkich działających sił zewnętrznych i wewnętrznych I element ciała.

Równanie oznacza, że ​​aby ciało znajdowało się w równowadze, konieczne i wystarczające jest, aby suma geometryczna wszystkich sił działających na dowolny element tego ciała była równa zeru.

Z tego łatwo wyprowadzić pierwszy warunek równowagi ciała (układu ciał). Aby to zrobić, wystarczy podsumować równanie dla wszystkich elementów ciała:

.

Druga suma jest równa zeru zgodnie z trzecim prawem Newtona: suma wektorów wszystkich sił wewnętrznych układu jest równa zeru, ponieważ każda siła wewnętrzna odpowiada sile równej co do wielkości i o przeciwnym kierunku.

Stąd,

.

Pierwszy warunek równowagi ciała sztywnego(układy ciał) jest równa zeru sumy geometrycznej wszystkich sił zewnętrznych przyłożonych do ciała.

Warunek ten jest konieczny, ale niewystarczający. Łatwo to sprawdzić, pamiętając obrotowe działanie pary sił, których suma geometryczna również wynosi zero.

Drugi warunek równowagi ciała sztywnego jest równa zeru sumy momentów wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało względem dowolnej osi.

Zatem warunki równowagi ciała sztywnego w przypadku dowolnej liczby sił zewnętrznych wyglądają następująco:

.

Obliczenia statyczne konstrukcji inżynierskich w wielu przypadkach sprowadzają się do uwzględnienia warunków równowagi konstrukcji składającej się z układu ciał połączonych pewnego rodzaju połączeniami. Zostaną wywołane połączenia łączące części tej konstrukcji wewnętrzny w odróżnieniu zewnętrzny połączenia łączące konstrukcję z bryłami w niej nieuwzględnionymi (na przykład z podporami).

Jeżeli po odrzuceniu połączeń zewnętrznych (podpór) konstrukcja pozostaje sztywna, to problemy statyczne są dla niej rozwiązywane jak dla bryły absolutnie sztywnej. Mogą jednak istnieć konstrukcje inżynierskie, które po odrzuceniu połączeń zewnętrznych nie pozostaną sztywne. Przykładem takiego projektu jest łuk z trzema zawiasami. Jeśli odrzucimy podpory A i B, łuk nie będzie sztywny: jego części będą mogły obracać się wokół zawiasu C.

W oparciu o zasadę krzepnięcia układ sił działających na taką konstrukcję musi w równowadze spełniać warunki równowagi ciała stałego. Jednakże te warunki, jak wskazano, choć konieczne, nie będą wystarczające; dlatego nie da się z nich wyznaczyć wszystkich nieznanych wielkości. Aby rozwiązać problem, należy dodatkowo wziąć pod uwagę równowagę jednej lub więcej części konstrukcji.

Przykładowo, układając warunki równowagi dla sił działających na łuk trójprzegubowy, otrzymujemy trzy równania z czterema niewiadomymi X A, Y A, X B, Y B . Po dodatkowym rozważeniu warunków równowagi lewej (lub prawej) jej połowy otrzymujemy jeszcze trzy równania zawierające dwie nowe niewiadome X C, Y C, na ryc. 61 nie pokazano. Rozwiązując powstały układ sześciu równań, znajdujemy wszystkie sześć niewiadomych.

14. Szczególne przypadki redukcji przestrzennego układu sił

Jeśli po doprowadzeniu układu sił do śruby dynamicznej główny moment dynama okaże się równy zeru, a wektor główny jest różny od zera, oznacza to, że układ sił sprowadza się do wypadkowej, a oś środkowa jest linią działania tej wypadkowej. Przekonajmy się, w jakich warunkach związanych z wektorem głównym Fp i momentem głównym M 0 może to nastąpić. Ponieważ główny moment dynamizmu M* jest równy składowej głównego momentu M 0 skierowanego wzdłuż wektora głównego, rozpatrywany przypadek M* = O oznacza, że ​​główny moment M 0 jest prostopadły do ​​wektora głównego, czyli / 2 = Fo*M 0 = 0. Z tego wynika od razu, że jeśli wektor główny F 0 nie jest równy zero, a drugi niezmiennik jest równy zero, Fo≠O, / 2 = F 0 *M 0 =0, (7,9 ) następnie rozważane system jest zredukowany do wyniku.

W szczególności, jeśli dla dowolnego środka redukcji F 0 ≠0 i M 0 = 0, to oznacza to, że układ sił sprowadza się do wypadkowego przechodzącego przez ten środek redukcji; w tym przypadku spełniony będzie także warunek (7.9) Uogólnimy twierdzenie o momencie wypadkowej (twierdzenie Varignona) podane w rozdziale V na przypadek przestrzennego układu sił. Jeżeli układ przestrzenny. siły sprowadza się do wypadkowej, wówczas moment wypadkowej względem dowolnego punktu jest równy sumie geometrycznej momentów wszystkich sił względem tego samego punktu. P
Niech układ sił będzie miał wypadkową R i punkt O leży na linii działania tej wypadkowej. Jeśli doprowadzimy dany układ sił do tego punktu, otrzymamy, że moment główny jest równy zeru.
Weźmy inny ośrodek redukcji O1; (7.10)C
natomiast na podstawie wzoru (4.14) mamy Mo1=Mo+Mo1(Fo), (7.11) ponieważ M 0 = 0. Porównując wyrażenia (7.10) i (7.11) i biorąc pod uwagę, że w tym przypadku F 0 = R, otrzymujemy (7.12).

W ten sposób twierdzenie zostało udowodnione.

Niech dla dowolnego wyboru środka redukcji Fo=O, M ≠0. Ponieważ wektor główny nie zależy od środka redukcji, dla każdego innego wyboru środka redukcji jest równy zeru. Zatem moment główny również nie zmienia się, gdy zmienia się środek redukcji, dlatego w tym przypadku układ sił sprowadza się do pary sił o momencie równym M0.

Zestawmy teraz tabelę wszystkich możliwych przypadków redukcji przestrzennego układu sił:

Jeśli wszystkie siły są w tej samej płaszczyźnie, na przykład w płaszczyźnie Och, następnie ich rzuty na oś G i momenty wokół osi X I Na będzie równa zeru. Zatem Fz=0; Mox=0, Moy=0. Wprowadzając te wartości do wzoru (7.5) stwierdzamy, że drugi niezmiennik płaskiego układu sił jest równy zeru.Ten sam wynik otrzymujemy dla przestrzennego układu sił równoległych. Rzeczywiście, niech wszystkie siły będą równoległe do osi z. Następnie ich rzuty na oś X I Na a momenty wokół osi z będą równe 0. Fx=0, Fy=0, Moz=0

Na podstawie tego, co zostało udowodnione, można postawić tezę, że płaski układ sił i układ sił równoległych nie sprowadzają się do dynamicznej śruby.

11. Równowaga ciała w obecności tarcia ślizgowego Jeśli dwa ciała / i // (ryc. 6.1) oddziałują ze sobą, stykając się w jednym punkcie A, wówczas reakcję RA, działającą np. od strony ciała // i przyłożoną do ciała /, zawsze można rozłożyć na dwie składowe: N.4, skierowaną wzdłuż wspólnej normalnej do powierzchni stykających się ciał w punkt A i T 4, leżące w płaszczyźnie stycznej. Nazywa się komponent nr 4 normalna reakcja nazywa się siłę T l siła tarcia ślizgowego - zapobiega przesuwaniu się ciała / wzdłuż ciała // Zgodnie z aksjomatem 4 (trzeci z-on Newtona) na ciało // od boku ciała // działa siła reakcji o jednakowej wielkości i przeciwnym kierunku. Nazywa się jego składową prostopadłą do płaszczyzny stycznej siła normalnego ciśnienia. Jak wspomniano powyżej, siła tarcia T A = Ach, gdyby stykające się powierzchnie były idealnie gładkie. W warunkach rzeczywistych powierzchnie są chropowate i w wielu przypadkach nie można pominąć siły tarcia.W celu wyjaśnienia podstawowych właściwości sił tarcia przeprowadzimy doświadczenie według schematu przedstawionego na rys. 6.2, A. Do korpusu 5, umieszczonego na nieruchomej płycie D, przymocowany jest gwint przerzucony przez blok C, którego wolny koniec jest wyposażony w platformę wsporczą A. Jeśli podkładka A stopniowo obciążaj, następnie wraz ze wzrostem całkowitej masy naprężenie nici będzie wzrastać S, który ma tendencję do przesuwania ciała w prawo. Jednakże, dopóki całkowite obciążenie nie jest zbyt duże, siła tarcia T utrzyma ciało W w spoczynku. Na ryc. 6.2, B przedstawiono działania na ciało W siły, P oznacza siłę ciężkości, a N oznacza normalną reakcję płyty D. Jeżeli obciążenie jest niewystarczające, aby złamać resztę, obowiązują następujące równania równowagi: N- P = 0, (6.1) S-T = 0. (6.2) Wynika z tego, że N = PI T = S. Zatem w czasie gdy ciało znajduje się w spoczynku, siła tarcia pozostaje równa sile naciągu nici S. Oznaczmy przez Tmaks siłę tarcia w krytycznym momencie procesu ładowania, gdy nadwozie W traci równowagę i zaczyna ślizgać się po płycie D. Zatem jeśli ciało jest w równowadze, to T≤Tmax.Maksymalna siła tarcia T tak zależy od właściwości materiałów, z których wykonane są korpusy, ich stanu (np. od charakteru obróbki powierzchni), a także od wartości ciśnienia normalnego N. Jak pokazuje doświadczenie, maksymalna siła tarcia jest w przybliżeniu proporcjonalna do normalnego ciśnienia, tj. mi. jest równość Tmaks= fN. (6.4) Zależność ta nazywa się Prawo Amontona-Coulomba. Nazywa się bezwymiarowy współczynnik / współczynnik tarcia ślizgowego. Z doświadczenia wynika, że ​​tak wartość nie zależy w szerokich granicach od powierzchni stykających się powierzchni, ale zależy od materiału i stopnia chropowatości stykających się powierzchni. Wartości współczynnika tarcia są określane empirycznie i można je znaleźć w tabelach referencyjnych. Nierówność” (6.3) można teraz zapisać jako T≤fN (6.5). Przypadek ścisłej równości w (6.5) odpowiada maksymalnej wartości siły tarcia. Oznacza to, że siłę tarcia można obliczyć ze wzoru T = fN jedynie w przypadkach, gdy z góry wiadomo, że nastąpi incydent krytyczny. We wszystkich pozostałych przypadkach siłę tarcia należy wyznaczyć z równań równowagi.Rozważmy ciało położone na chropowatej powierzchni. Założymy, że w wyniku działania sił czynnych i sił reakcji ciało znajduje się w równowadze granicznej. Na ryc. 6,6, A pokazano reakcję ograniczającą R oraz jej składowe N i Tmax (w położeniu pokazanym na tym rysunku siły czynne mają tendencję do przesuwania ciała w prawo, maksymalna siła tarcia Tmax jest skierowana w lewo). Narożnik F pomiędzy reakcją graniczną R a normalna do powierzchni nazywana jest kątem tarcia. Znajdźmy ten kąt. Z ryc. 6.6 i mamy tgφ=Tmax/N lub korzystając ze wzoru (6.4) tgφ= f (6-7) Z tego wzoru wynika, że ​​zamiast współczynnika tarcia można ustawić kąt tarcia (w tabelach referencyjnych P

podane są obie wielkości).

Układ sił nazywa się zrównoważony, jeśli pod wpływem tego układu ciało pozostaje w spoczynku.

Warunki równowagi:
Pierwszy warunek równowagi ciała sztywnego:
Aby ciało sztywne znajdowało się w równowadze, suma sił zewnętrznych przyłożonych do tego ciała jest równa zeru.
Drugi warunek równowagi ciała sztywnego:
Kiedy ciało sztywne znajduje się w równowadze, suma momentów wszystkich sił zewnętrznych działających na nie względem dowolnej osi jest równa zeru.
Ogólny warunek równowagi ciała sztywnego:
Aby ciało sztywne znajdowało się w równowadze, suma sił zewnętrznych i suma momentów sił działających na ciało musi wynosić zero. Prędkość początkowa środka masy i prędkość kątowa obrotu ciała również muszą być równe zeru.

Twierdzenie. Trzy siły równoważą ciało sztywne tylko wtedy, gdy wszystkie leżą w tej samej płaszczyźnie.

11. Układ sił płaskich– są to siły zlokalizowane w jednej płaszczyźnie.

Trzy formy równań równowagi dla układu płaskiego:

Środek ciężkości ciała.

Środek ciężkości Ciało o skończonych wymiarach nazywa się punktem, wokół którego suma momentów ciężkości wszystkich cząstek ciała jest równa zeru. W tym momencie działa siła ciężkości ciała. Środek ciężkości ciała (lub układu sił) zwykle pokrywa się ze środkiem masy ciała (lub układu sił).

Środek ciężkości płaskiej figury:

Praktyczna metoda znajdowania środka masy figury płaskiej: zawieś ciało w polu grawitacyjnym tak, aby mogło swobodnie obracać się wokół punktu zawieszenia O1 . W równowadze środek masy Z znajduje się na tej samej pionie co punkt zawieszenia (poniżej), ponieważ jest równy zeru

moment ciężkości, który można uznać za wywierany w środku masy. Zmieniając punkt zawieszenia, w ten sam sposób znajdujemy kolejną linię prostą O2C , przechodząc przez środek masy. Położenie środka masy wyznacza punkt ich przecięcia.

Prędkość środka masy:

Pęd układu cząstek jest równy iloczynowi masy całego układu M= Σmi od prędkości jego środka masy V :

Środek masy charakteryzuje ruch układu jako całości.

15. Tarcie ślizgowe– tarcie podczas względnego ruchu stykających się ciał.

Tarcie statyczne– tarcie przy braku względnego ruchu stykających się ciał.

Przesuwająca się siła tarcia Ftr pomiędzy powierzchniami stykających się ciał podczas ich względnego ruchu zależy od siły reakcji normalnej N lub od siły normalnego ciśnienia Pn , I Ftr=kN Lub Ftr=kPn , gdzie k – współczynnik tarcia ślizgowego , w zależności od tych samych czynników, co współczynnik tarcia statycznego k0 , a także od prędkości względnego ruchu stykających się ciał.

16. Tarcie toczne- Jest to przetaczanie się jednego ciała nad drugim. Siła tarcia ślizgowego nie zależy od wielkości powierzchni trących, a jedynie od jakości powierzchni ciał trących oraz od siły, która zmniejsza powierzchnie trące i jest do nich skierowana prostopadle. F=kN, Gdzie F- siła tarcia, N– wielkość reakcji normalnej i k – współczynnik tarcia ślizgowego.

17. Równowaga ciał przy tarciu- jest to maksymalna siła przyczepności proporcjonalna do normalnego nacisku ciała na płaszczyznę.

Kąt między całkowitą reakcją, obliczoną na podstawie największej siły tarcia dla danej reakcji normalnej, a kierunkiem reakcji normalnej nazywa się kąt tarcia.

Stożek z wierzchołkiem w miejscu przyłożenia reakcji normalnej na chropowatą powierzchnię, którego tworząca tworzy kąt tarcia z tą normalną reakcją, nazywa się stożek tarcia.

Dynamika.

1. W dynamika rozważany jest wpływ oddziaływań pomiędzy ciałami na ich ruch mechaniczny.

Waga- to charakterystyka malarska punktu materialnego. Masa jest stała. Masa jest przymiotnikowa (dodatek)

Siła - jest to wektor, który całkowicie charakteryzuje interakcję znajdującego się na nim punktu materialnego z innymi punktami materialnymi.

Punkt materialny– ciało, którego wymiary i kształt nie mają znaczenia w rozpatrywanym ruchu (np. w ruchu postępowym ciało sztywne można uznać za punkt materialny)

System materiału kropki tzw zbiór punktów materialnych oddziałujących na siebie.

I zasada Newtona: każdy punkt materialny utrzymuje stan spoczynku lub jednolity ruch prostoliniowy, dopóki wpływy zewnętrzne nie zmienią tego stanu.

II zasada Newtona: przyspieszenie, jakie uzyskuje punkt materialny w inercjalnym układzie odniesienia, jest wprost proporcjonalne do siły działającej na ten punkt, odwrotnie proporcjonalne do masy punktu i ma kierunek zgodny z siłą: a=F/m

Warunki równowagi ciała stałego na lekcjach fizyki w szkole średniej są studiowane w dziale „Mechanika” podczas studiowania statyki jako gałęzi mechaniki. Podkreśla się fakt, że ruch ciała jest dwojakiego rodzaju: translacyjny i obrotowy. Translacja to ruch, podczas którego dowolna linia prosta poprowadzona przez dowolne dwa punkty ciała w danym inercjalnym układzie odniesienia pozostaje równoległa do siebie podczas ruchu. Ruch obrotowy to ruch, w którym wszystkie punkty należące do ciała obracają się pod tym samym kątem względem osi obrotu w danym okresie czasu.

Wprowadza się środek ciężkości ciała. Aby to zrobić, ciało jest mentalnie podzielone na wiele elementów. Środek ciężkości będzie punktem przecięcia prostych, na których leżą wektory grawitacji działające na elementy ciała. Następnie rozważymy szczególne przypadki ilustrujące zależność rodzaju ruchu ciała sztywnego od punktu przyłożenia siły zewnętrznej:

1. Niech siła zostanie przyłożona do środka ciężkości lub do nieustalonej osi obrotu – ciało będzie się poruszać translacyjnie, nie będzie żadnego obrotu;
2. Niech siła zostanie przyłożona do dowolnego punktu ciała, podczas gdy oś obrotu jest ustalona - ciało będzie się obracać, nie będzie ruchu translacyjnego;
3. Niech siła zostanie przyłożona do dowolnego punktu ciała, podczas gdy oś obrotu nie jest ustalona - ciało będzie się obracać wokół własnej osi i jednocześnie poruszać się translacyjnie.

Wprowadzono moment siły. Moment siły jest wektorową wielkością fizyczną charakteryzującą efekt obrotowy siły. Matematycznie, na uniwersyteckim kursie fizyki ogólnej, moment siły wprowadza się jako iloczyn wektorowy ramienia siłowego i wektora danej siły:

gdzie jest dźwignia siły. Jest oczywiste, że równanie (2) jest konsekwencją równania (1).

Wyjaśnia się uczniom, że ramię siły to najkrótsza odległość od punktu podparcia (lub osi obrotu) do linii działania siły.

Warunek pierwszy (równanie (3)) zapewnia brak ruchu postępowego, warunek drugi (równanie (4)) zapewnia brak ruchu obrotowego. Warto byłoby zwrócić uwagę na fakt, że równanie (3) jest szczególnym przypadkiem II zasady Newtona (w ).

Studenci muszą dowiedzieć się, że moment siły jest wielkością wektorową, dlatego zapisując równanie skalarne (4) należy wziąć pod uwagę znak momentu. W przypadku uczniów szkoły obowiązują następujące zasady:

1. Jeśli siła ma tendencję do obracania ciała w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, jej moment względem danej osi jest dodatni;
2. Jeśli siła ma tendencję do obracania ciała zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jej moment względem danej osi jest ujemny.

Przykładem zastosowania warunków równowagi ciała sztywnego jest zastosowanie dźwigni i bloków. Niech siła działa na jedno ramię dźwigni i na drugie (ryc. 1).

W tym przypadku wyobraźmy sobie, że podpora ciała jest nieruchoma, dlatego potrzebny jest nam jedynie drugi warunek równowagi:

W postaci skalarnej, biorąc pod uwagę znaki, otrzymujemy:

Wynikowe wyrażenie nazywa się warunkiem równowagi dźwigni. Studenci muszą mocno zrozumieć, że jest to tylko przypadek szczególny, a w bardziej ogólnych przypadkach konieczne jest skorzystanie z równania (4).

Jak wiadomo z kursu dla klasy 7, klocki można przesuwać i stawiać. Wykorzystując warunki równowagi analizowano pracę równomiernego podnoszenia ładunku za pomocą klocka nieruchomego oraz układu bloków ruchomych i nieruchomych.

1. Naprawiono blok.
Niech średnica bloku D. Korzystając z warunku równowagi (4) otrzymujemy: Uzyskany fakt pokazuje, że nieruchomy klocek nie zapewnia przyrostu siły, to znaczy, aby go podnieść, będziemy musieli przyłożyć siłę równą ciężarowi ładunku. Blok stały używany jest wyłącznie dla wygody, głównie w połączeniu z blokiem ruchomym.
2. Ruchomy blok.
Skorzystajmy z równania (4) analogicznie jak w przypadku bloku stałego:

Stwierdziliśmy, że w układzie ruchomych i nieruchomych bloków przy braku sił tarcia przyrost siły jest 2-krotny. W tym przypadku średnice bloków były takie same. Przydatne będzie dla uczniów przeanalizowanie sposobów uzyskania przyrostu siły 4, 6 itd. razy.

Podsumowując, po przeanalizowaniu tego, co omówiono powyżej, sformułowano „złotą zasadę” mechaniki. Rozwiązywane są problemy dotyczące dźwigni, bloków i innych przypadków równowagi ciał.