Znajdź gradient funkcji w kalkulatorze online. Gradient funkcji i pochodnej względem kierunku wektora

Krótka teoria

Gradient to wektor, którego kierunek wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji f(x). Znalezienie tej wielkości wektorowej wiąże się z wyznaczeniem pochodnych cząstkowych funkcji. Pochodna kierunkowa jest wielkością skalarną i pokazuje szybkość zmian funkcji podczas poruszania się w kierunku określonym przez jakiś wektor.

Przykład rozwiązania problemu

Zadanie

Dana funkcja, punkt i wektor. Znajdować:

Rozwiązanie problemu

Znajdowanie gradientu funkcji

1) Znajdź gradient funkcji w punkcie:

Pożądany gradient:

Znajdowanie pochodnej po kierunku wektora

2) Znajdź pochodną w kierunku wektora:

gdzie jest kątem utworzonym przez wektor i oś

Wymagana pochodna w punkcie:

Na cenę duży wpływ ma pilność decyzji (od jednego dnia do kilku godzin). Pomoc online przy egzaminach/testach jest dostępna po wcześniejszym umówieniu się.

Możesz zostawić prośbę bezpośrednio na czacie, po uprzednim przesłaniu warunków zadań i poinformowaniu Cię o terminach potrzebnego rozwiązania. Czas odpowiedzi to kilka minut.

Definicja 1

Jeżeli dla każdej pary $(x,y)$ wartości dwóch zmiennych niezależnych z jakiejś dziedziny przypisana jest pewna wartość $z$, to mówimy, że $z$ jest funkcją dwóch zmiennych $(x,y) $. Notacja: $z=f(x,y)$.

Rozważmy funkcję $z=f(x,y)$, która jest zdefiniowana w pewnym obszarze w przestrzeni $Oxy$.

Stąd,

Definicja 3

Jeżeli dla każdej potrójnej $(x,y,z)$ wartości trzech zmiennych niezależnych z jakiejś dziedziny przypisana jest pewna wartość $w$, to mówimy, że $w$ jest funkcją trzech zmiennych $(x, y,z)$ w tym obszarze.

Przeznaczenie:$w=f(x,y,z)$.

Rozważmy funkcję $w=f(x,y,z)$, która jest zdefiniowana w pewnym obszarze w przestrzeni $Oxyz$.

Dla danej funkcji definiujemy wektor, dla którego rzutami na osie współrzędnych są wartości pochodnych cząstkowych danej funkcji w pewnym punkcie $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac( \częściowe z)(\częściowe y) $.

Definicja 4

Gradient danej funkcji $w=f(x,y,z)$ jest wektorem $\overrightarrow(gradw)$ postaci:

Twierdzenie 3

Niech pole gradientów będzie zdefiniowane w jakimś polu skalarnym $w=f(x,y,z)$

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\częściowe w)(\częściowe z) \cdot \overrightarrow(k).\]

Pochodna $\frac(\partial w)(\partial s) $ w kierunku danego wektora $\overrightarrow(s) $ jest równa rzutowi wektora gradientu $\overrightarrow(gradw) $ na dany wektor $\overrightarrow(s) $.

Przykład 4

Rozwiązanie:

Wyrażenie gradientu można znaleźć za pomocą wzoru

\[\frac(\częściowe w)(\częściowe x) =2x;\frac(\częściowe w)(\częściowe y) =4y;\frac(\częściowe w)(\częściowe z) =2.\]

Stąd,

\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]

Przykład 5

Wyznacz gradient danej funkcji

w punkcie $M(1;2;1)$. Oblicz $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $.

Rozwiązanie:

Wyrażenie na gradient w danym punkcie można znaleźć za pomocą wzoru

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\partial w)(\partial x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\częściowe w)(\częściowe y) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\częściowe w)(\częściowe z) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k).\]

Pochodne cząstkowe mają postać:

\[\frac(\częściowe w)(\częściowe x) =2x;\frac(\częściowe w)(\częściowe y) =4y;\frac(\częściowe w)(\częściowe z) =6z^(2) .\]

Instrumenty pochodne w punkcie $M(1;2)$:

\[\frac(\częściowe w)(\częściowe x) =2\cdot 1=2;\frac(\częściowe w)(\częściowe y) =4\cdot 2=8;\frac(\częściowe w)( \częściowe z) =6\cdot 1^(2) =6.\]

Stąd,

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]

\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104).\]

Wymieńmy niektóre właściwości gradientu:

Pochodna danej funkcji w danym punkcie w kierunku jakiegoś wektora $\overrightarrow(s) $ ma największą wartość, jeśli kierunek tego wektora $\overrightarrow(s) $ pokrywa się z kierunkiem gradientu. W tym przypadku ta największa wartość pochodnej pokrywa się z długością wektora gradientu, tj. $|\overrightarrow(gradw) |$.

Pochodna danej funkcji w kierunku wektora prostopadłego do wektora gradientu, tj. $\overrightarrow(gradw) $ jest równe 0. Ponieważ $\varphi =\frac(\pi )(2) $, to $\cos \varphi =0$; dlatego $\frac(\partial w)(\partial s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.

Pojęcie Kierunkowa pochodna rozważane dla funkcji dwóch i trzech zmiennych. Aby zrozumieć znaczenie pochodnej kierunkowej, należy porównać pochodne z definicji

Stąd,

Teraz możemy znaleźć pochodną kierunkową tej funkcji, korzystając z jej wzoru:

A teraz - zadanie domowe. Daje funkcję nie trzech, ale tylko dwóch zmiennych, ale wektor kierunkowy jest określony nieco inaczej. Więc będziesz musiał zrobić to jeszcze raz algebra wektorowa .

Przykład 2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie M0 (1; 2) w kierunku wektora, gdzie M1 - punkt o współrzędnych (3; 0).

Wektor określający kierunek pochodnej można podać także w postaci jak w poniższym przykładzie - w postaci rozwinięcie wektorów jednostkowych osi współrzędnych, ale jest to temat znany od samego początku algebry wektorowej.

Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji w tym punkcie M0 (1; 1; 1) w kierunku wektora.

Rozwiązanie. Znajdźmy cosinusy kierunku wektora

Znajdźmy pochodne cząstkowe funkcji w punkcie M0 :

Dlatego pochodną kierunkową tej funkcji możemy znaleźć korzystając z jej wzoru:

Funkcja gradientu

Gradient funkcji kilku zmiennych w jednym punkcie M0 charakteryzuje kierunek maksymalnego wzrostu tej funkcji w punkcie M0 oraz wielkość tego maksymalnego wzrostu.

Jak znaleźć gradient?

Trzeba ustalić wektor, którego rzuty na osie współrzędnych są wartościami pochodne cząstkowe, , ta funkcja w odpowiednim punkcie:

To znaczy, powinno się udać reprezentacja wektora za pomocą wektorów jednostkowych osi współrzędnych, w którym pochodna cząstkowa odpowiadająca jej osi jest mnożona przez każdą jednostkę.

1 0 Nachylenie jest skierowane normalnie do płaskiej powierzchni (lub do linii poziomu, jeśli pole jest płaskie).

2 0 Gradient jest ukierunkowany na zwiększenie funkcji pola.

3 0 Moduł gradientu jest równy największej pochodnej kierunku w danym punkcie pola:

Właściwości te zapewniają niezmienną charakterystykę gradientu. Mówią, że wektor gradU wskazuje kierunek i wielkość największej zmiany pola skalarnego w danym punkcie.

Uwaga 2.1. Jeżeli funkcja U(x,y) jest funkcją dwóch zmiennych, to wektor

leży w płaszczyźnie tlenowej.

Niech U=U(x,y,z) i V=V(x,y,z) będą różniczkowalne w punkcie M 0 (x,y,z). Zachodzą wówczas następujące równości:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) stopień = , V ;

e) gradU( = gradU, gdzie , U=U() ma pochodną po .

Przykład 2.1. Podana jest funkcja U=x 2 +y 2 +z 2. Wyznacz gradient funkcji w punkcie M(-2;3;4).

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (2.2) mamy

Płaskie powierzchnie tego pola skalarnego to rodzina kul x 2 +y 2 +z 2 , wektor gradU=(-4;6;8) jest wektorem normalnym płaszczyzn.

Przykład 2.2. Znajdź gradient pola skalarnego U=x-2y+3z.

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (2.2) mamy

Płaskie powierzchnie danego pola skalarnego są płaszczyznami

x-2y+3z=C; wektor gradU=(1;-2;3) jest wektorem normalnym płaszczyzn tej rodziny.

Przykład 2.3. Znajdź największą stromość wzniesienia powierzchni U=x y w punkcie M(2;2;4).

Rozwiązanie. Mamy:

Przykład 2.4. Znajdź jednostkowy wektor normalny do płaskiej powierzchni pola skalarnego U=x 2 +y 2 +z 2 .

Rozwiązanie. Poziome powierzchnie danego skalara Kula polowa x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Nachylenie jest skierowane prostopadle do poziomej powierzchni, tzw

Definiuje wektor normalny do powierzchni poziomej w punkcie M(x,y,z). Dla jednostkowego wektora normalnego otrzymujemy wyrażenie

Przykład 2.5. Znajdź gradient pola U=, gdzie i są wektorami stałymi, r jest wektorem promienia punktu.

Rozwiązanie. Pozwalać

Następnie: . Z reguły różniczkowania wyznacznika otrzymujemy

Stąd,

Przykład 2.6. Znajdź gradient odległości, gdzie P(x,y,z) jest badanym punktem pola, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) jest jakimś stałym punktem.

Rozwiązanie. Mamy - wektor kierunku jednostkowego.

Przykład 2.7. Znajdź kąt między gradientami funkcji w punkcie M 0 (1,1).

Rozwiązanie. Znajdujemy gradienty tych funkcji w punkcie M 0 (1,1), mamy

; Z równości wyznacza się kąt pomiędzy gradU i gradV w punkcie M 0

Zatem =0.

Przykład 2.8. Znajdź pochodną kierunkową, której wektor promienia jest równy

Rozwiązanie. Znajdź gradient tej funkcji:

Podstawiając (2.5) do (2.4) otrzymujemy

Przykład 2.9. Znajdź w punkcie M 0 (1;1;1) kierunek największej zmiany pola skalarnego U=xy+yz+xz i wielkość tej największej zmiany w tym punkcie.

Rozwiązanie. Kierunek największej zmiany pola wyznacza gradient wektora U(M). Znajdujemy to:

I to oznacza, że... Wektor ten wyznacza kierunek największego wzrostu tego pola w punkcie M 0 (1;1;1). Wielkość największej zmiany pola w tym punkcie jest równa

Przykład 3.1. Znajdź linie wektora pola wektorowego, gdzie jest wektorem stałym.

Rozwiązanie. Mamy tak, że

Pomnóż licznik i mianownik pierwszego ułamka przez x, drugiego przez y, trzeciego przez z i dodaj wyraz po wyrazie. Korzystając z właściwości proporcji, otrzymujemy

Stąd xdx+ydy+zdz=0, co oznacza

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. Teraz mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka (3.3) przez c 1, drugiego przez c 2, trzeciego przez c 3 i dodając wyraz po wyrazie, otrzymujemy

Skąd 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

A zatem przy 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2-stała.

Wymagane równania prostych wektorowych

Równania te pokazują, że linie wektorowe uzyskuje się przez przecięcie kul mających wspólny środek w początku układu współrzędnych z płaszczyznami prostopadłymi do wektora. Wynika z tego, że linie wektorowe to okręgi, których środki leżą na linii prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych w kierunku wektora c. Płaszczyzny okręgów są prostopadłe do określonej linii.

Przykład 3.2. Znajdź linię pola wektorowego przechodzącą przez punkt (1,0,0).

Rozwiązanie. Równania różniczkowe prostych wektorowych

Dlatego mamy. Rozwiązanie pierwszego równania. Lub jeśli wprowadzimy parametr t, to będziemy mieli w tym przypadku równanie w postaci lub dz=bdt, skąd z=bt+c 2.

Gradient Funkcje– wielkość wektorowa, której wyznaczenie wiąże się z wyznaczeniem pochodnych cząstkowych funkcji. Kierunek gradientu wskazuje ścieżkę najszybszego wzrostu funkcji od jednego punktu pola skalarnego do drugiego.

Instrukcje

1. Do rozwiązania problemu gradientu funkcji stosuje się metody rachunku różniczkowego, czyli znajdowanie pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu po trzech zmiennych. Zakłada się, że sama funkcja i wszystkie jej pochodne cząstkowe mają własność ciągłości w dziedzinie definicji funkcji.

2. Gradient jest wektorem, którego kierunek wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji F. W tym celu na wykresie wybiera się dwa punkty M0 i M1, które są końcami wektora. Wielkość gradientu jest równa szybkości wzrostu funkcji od punktu M0 do punktu M1.

3. Funkcja jest różniczkowalna we wszystkich punktach tego wektora, zatem wszystkie rzuty wektora na osie współrzędnych są jego pochodnymi cząstkowymi. Wtedy wzór na gradient wygląda następująco: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, gdzie i, j, k są współrzędnymi wektora jednostkowego . Innymi słowy, gradient funkcji to wektor, którego współrzędne są jej pochodnymi cząstkowymi grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Przykład 1. Niech będzie dana funkcja F = sin(x z?)/y. Wymagane jest wykrycie jego nachylenia w punkcie (?/6, 1/4, 1).

5. Rozwiązanie. Wyznacz pochodne cząstkowe względem każdej zmiennej: F'_х = 1/y сos(х z?) z?; F'_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?); '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Zastąp słynne wartości współrzędnych punktu: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F’_y = grzech(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. Zastosuj wzór na gradient funkcji:grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Przykład 2. Znajdź współrzędne gradientu funkcji F = y arсtg (z/x) w punkcie (1, 2, 1).

9. Rozwiązanie.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4;F'_z = 0 аrсtg(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Gradient pola skalarnego jest wielkością wektorową. Zatem, aby go znaleźć, należy wyznaczyć wszystkie składowe odpowiedniego wektora w oparciu o wiedzę o podziale pola skalarnego.

Instrukcje

1. Przeczytaj w podręczniku matematyki wyższej, jaki jest gradient pola skalarnego. Jak wiadomo, ta wielkość wektorowa ma kierunek charakteryzujący się maksymalną szybkością zaniku funkcji skalarnej. Taką interpretację tej wielkości wektorowej uzasadnia wyrażenie określające jej składowe.

2. Pamiętaj, że każdy wektor jest określony przez wielkości jego składowych. Składniki wektora są w rzeczywistości rzutami tego wektora na jedną lub drugą oś współrzędnych. Zatem, jeśli weźmiemy pod uwagę przestrzeń trójwymiarową, wektor musi mieć trzy składowe.

3. Napisz, jak wyznaczane są składowe wektora będącego gradientem pewnego pola. Wszystkie współrzędne takiego wektora są równe pochodnej potencjału skalarnego po zmiennej, której współrzędna jest obliczana. Oznacza to, że jeśli chcesz obliczyć składnik „x” wektora gradientu pola, musisz różniczkować funkcję skalarną w odniesieniu do zmiennej „x”. Należy pamiętać, że pochodna musi być częściowa. Oznacza to, że podczas różniczkowania pozostałe zmienne, które nie biorą w nim udziału, należy uznać za stałe.

4. Zapisz wyrażenie na pole skalarne. Jak dobrze wiadomo, termin ten oznacza jedynie funkcję skalarną kilku zmiennych, które są również wielkościami skalarnymi. Liczba zmiennych funkcji skalarnej jest ograniczona wymiarem przestrzeni.

5. Zróżniczkuj funkcję skalarną oddzielnie względem każdej zmiennej. W rezultacie otrzymasz trzy nowe funkcje. Zapisz dowolną funkcję w wyrażeniu wektora gradientu pola skalarnego. Każda z uzyskanych funkcji jest w rzeczywistości wskaźnikiem wektora jednostkowego danej współrzędnej. Zatem końcowy wektor gradientu powinien wyglądać jak wielomian z wykładnikami w postaci pochodnych funkcji.

Rozważając kwestie związane z reprezentacją gradientu, często myślimy o funkcjach jako o polach skalarnych. Dlatego konieczne jest wprowadzenie odpowiedniego oznaczenia.

Będziesz potrzebować

- Bum;
- długopis.

Instrukcje

1. Niech funkcję określą trzy argumenty u=f(x, y, z). Pochodną cząstkową funkcji, na przykład po x, definiuje się jako pochodną po tym argumencie, otrzymaną przez ustalenie pozostałych argumentów. Podobnie w przypadku innych argumentów. Zapis pochodnej cząstkowej zapisuje się w postaci: df/dx = u’x ...

2. Całkowita różnica będzie równa du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz. Pochodne cząstkowe można rozumieć jako pochodne wzdłuż kierunków osi współrzędnych. W związku z tym pojawia się pytanie o znalezienie pochodnej po kierunku danego wektora s w punkcie M(x, y, z) (nie zapominajmy, że kierunek s wyznacza wersor jednostkowy s^o). W tym przypadku wektor-różniczka argumentów (dx, dy, dz) = (дscos(alfa), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Biorąc pod uwagę postać całkowitej różniczki du, możemy stwierdzić, że pochodna w kierunku s w punkcie M jest równa: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alfa)+ (( äf/дy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma).Jeśli s= s(sx,sy,sz), to cosinusy kierunku (cos(alfa), cos(beta ), cos(gamma)) są obliczane (patrz rys. 1a).

4. Definicję pochodnej kierunkowej, uznając punkt M za zmienną, można zapisać w postaci iloczynu skalarnego: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). To wyrażenie będzie obiektywne dla pola skalarnego. Jeśli funkcję rozważamy łatwo, to gradf jest wektorem o współrzędnych pokrywających się z pochodnymi cząstkowymi f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Tutaj (i, j, k) są wektorami jednostkowymi osi współrzędnych w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych.

5. Jeśli użyjemy operatora wektora różniczkowego Hamiltona, to gradf można zapisać jako pomnożenie tego operatora wektora przez skalar f (patrz rys. 1b). Z punktu widzenia związku gradf z pochodną kierunkową dopuszczalna jest równość (gradf, s^o)=0, jeśli wektory te są ortogonalne. W związku z tym gradf jest często definiowany jako kierunek najszybszej metamorfozy pola skalarnego. A z punktu widzenia operacji różniczkowych (gradf jest jedną z nich) właściwości gradf dokładnie powtarzają właściwości funkcji różniczkujących. W szczególności, jeśli f=uv, to gradf=(vgradu+u gradv).

Wideo na ten temat

Gradient Jest to narzędzie, które w edytorach graficznych wypełnia sylwetkę płynnym przejściem z jednego koloru na drugi. Gradient może nadać sylwetce efekt objętości, imitować oświetlenie, odblaski światła na powierzchni przedmiotu lub efekt zachodu słońca w tle fotografii. Narzędzie to jest szeroko stosowane, dlatego przy obróbce zdjęć czy tworzeniu ilustracji bardzo ważne jest nauczenie się, jak z niego korzystać.

Będziesz potrzebować

Komputer, edytor graficzny Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net lub inny.

Instrukcje

1. Otwórz obraz w programie lub zrób nowy. Utwórz sylwetkę lub wybierz żądany obszar na obrazie.

2. Włącz narzędzie gradientu na pasku narzędzi edytora grafiki. Umieść kursor myszy w punkcie wewnątrz wybranego obszaru lub sylwetki, w którym rozpocznie się pierwszy kolor gradientu. Kliknij i przytrzymaj lewy przycisk myszy. Przesuń kursor do punktu, w którym chcesz, aby gradient zmienił kolor na ostateczny. Zwolnij lewy przycisk myszy. Wybrana sylwetka zostanie wypełniona wypełnieniem gradientowym.

3. Gradient Możesz ustawić przezroczystość, kolory i ich proporcje w określonym punkcie wypełnienia. W tym celu otwórz okno edycji gradientu. Aby otworzyć okno edycji w Photoshopie, kliknij przykładowy gradient w panelu Opcje.

4. Okno, które zostanie otwarte, wyświetli w formie przykładów dostępne opcje wypełnienia gradientem. Aby edytować jedną z opcji, wybierz ją kliknięciem myszy.

5. W dolnej części okna wyświetlany jest przykładowy gradient w postaci szerokiej skali, na której rozmieszczone są suwaki. Suwaki wskazują punkty, w których gradient powinien mieć określone zestawienia, a w odstępie pomiędzy suwakami kolor równomiernie przechodzi od koloru określonego w pierwszym punkcie do koloru drugiego punktu.

6. Suwaki znajdujące się na górze skali ustawiają przezroczystość gradientu. Aby zmienić przezroczystość, kliknij żądany suwak. Pod skalą pojawi się pole, w którym należy wpisać wymagany stopień przezroczystości w procentach.

7. Suwaki na dole skali ustawiają kolory gradientu. Klikając na jeden z nich, będziesz mógł wybrać żądany kolor.

8. Gradient może mieć kilka kolorów przejściowych. Aby ustawić inny kolor, kliknij wolne miejsce u dołu skali. Pojawi się na nim kolejny suwak. Nadaj mu wymagany kolor. Skala wyświetli przykład gradientu z jeszcze jednym punktem. Suwakami można przesuwać, przytrzymując je lewym przyciskiem myszy, aby uzyskać żądaną kombinację.

9. Gradient Występują w kilku rodzajach, które mogą nadać kształt płaskim sylwetkom. Na przykład, aby nadać okręgowi kształt kuli, stosuje się gradient promieniowy, a aby nadać kształt stożka, stosuje się gradient w kształcie stożka. Aby nadać powierzchni iluzję wypukłości, możesz użyć gradientu lustrzanego, a gradient w kształcie rombu można wykorzystać do tworzenia świateł.

Wideo na ten temat