Temat: Twierdzenie, twierdzenie odwrotne Pitagoras.

Cele Lekcji: 1) rozważ twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa; jego zastosowanie w procesie rozwiązywania problemów; utrwalenie twierdzenia Pitagorasa i doskonalenie umiejętności rozwiązywania problemów związanych z jego zastosowaniem;

2) rozwijać logiczne myślenie, poszukiwanie twórcze, zainteresowanie poznawcze;

3) zaszczepić w uczniach odpowiedzialne podejście do uczenia się, kulturę mowy matematycznej.

Rodzaj lekcji. Lekcja przyswajania nowej wiedzy.

Podczas zajęć

І. Organizowanie czasu

ІІ. Aktualizacja wiedza

Lekcja dla mniezrobiłbymposzukiwanyzacznij od czterowierszy.

Tak, ścieżka wiedzy nie jest gładka

Ale wiemy z szkolne lata,

Zagadek jest więcej niż wskazówek

I nie ma ograniczeń w wyszukiwaniu!

Tak więc w ostatniej lekcji nauczyłeś się twierdzenia Pitagorasa. Pytania:

Dla której figury obowiązuje twierdzenie Pitagorasa?

Jaki trójkąt nazywa się prostokątnym?

Sformułuj twierdzenie Pitagorasa.

Jak napisane jest twierdzenie Pitagorasa dla każdego trójkąta?

Jakie trójkąty nazywamy równymi?

Jakie są kryteria równości trójkątów?

Teraz spędźmy trochę niezależna praca:

Rozwiązywanie zadań według rysunków.

№1

(1 pkt) Znajdź: AB.

№2

(1 szt.) Znajdź: ВС.

№3

( 2 b.)Znajdź: С

№4

(1 szt.)Znajdź: С

№5 Biorąc pod uwagę: ABCDromb

(2 b.) AB = 13 cm

AC = 10 cm

Znaleźć wD

Autotest nr 1. pięć

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Nauka Nowy materiał.

Starożytni Egipcjanie budowali w ten sposób kąty proste na ziemi: podzielili sznur na węzły o 12 równe części, związali jej końce, po czym rozciągnięto linę na ziemi tak, że powstał trójkąt o bokach 3, 4 i 5 podziałów. Kąt trójkąta, który leżał po przeciwnej stronie, był prosty.

Czy możesz wyjaśnić słuszność tego osądu?

W wyniku poszukiwania odpowiedzi na pytanie uczniowie powinni zrozumieć, że z matematycznego punktu widzenia pytanie brzmi: czy trójkąt będzie prostokątny.

Stawiamy problem: jak bez dokonywania pomiarów ustalić, czy trójkąt o danych bokach będzie prostokątny. Rozwiązaniem tego problemu jest cel lekcji.

Zapisz temat lekcji.

Twierdzenie. Jeżeli suma kwadratów dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi trzeciego boku, to taki trójkąt jest prostokątny.

Udowodnij twierdzenie samodzielnie (opracuj plan dowodu dla podręcznika).

Z tego twierdzenia wynika, że ​​trójkąt o bokach 3, 4, 5 jest prostokątny (egipski).

Ogólnie rzecz biorąc, liczby, dla których obowiązuje równość nazywane są trójkami pitagorejskimi. A trójkąty, których długości boków wyrażają trójki pitagorejskie (6, 8, 10), są trójkątami pitagorejskimi.

Kotwiczenie.

Bo , to trójkąt o bokach 12, 13, 5 nie jest prostokątny.

Bo , to trójkąt o bokach 1, 5, 6 jest prostokątny.

№ 430 (a, b, c)

( - nie jest)

Cele Lekcji:

Wychowawcze: formułowanie i dowodzenie twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia przeciwnego do twierdzenia Pitagorasa. Pokaż ich znaczenie historyczne i praktyczne.

Rozwijanie: rozwijanie uwagi, pamięci, logicznego myślenia uczniów, umiejętność rozumowania, porównywania, wyciągania wniosków.

Edukacyjne: wzbudzanie zainteresowania i miłości do tematu, dokładności, umiejętności słuchania przyjaciół i nauczycieli.

Wyposażenie: Portret Pitagorasa, plakaty z zadaniami do konsolidacji, podręcznik „Geometria” klasy 7-9 (IF Sharygin).

Plan lekcji:

I. Moment organizacyjny - 1 min.

II. Sprawdzenie pracy domowej - 7 min.

III. Wystąpienie wprowadzające prowadzącego, rys historyczny - 4-5 min.

IV. Sformułowanie i dowód twierdzenia Pitagorasa - 7 min.

V. Sformułowanie i dowód twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa - 5 min.

Zabezpieczenie nowego materiału:

a) ustny - 5-6 minut.
b) pisemne - 7-10 minut.

VII. Praca domowa- 1 minuta.

VIII. Podsumowanie lekcji - 3 min.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

II. Sprawdzenie pracy domowej.

p.7.1, nr 3 (przy tablicy zgodnie z gotowym rysunkiem).

Stan: Wzrost trójkąt prostokątny dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długości 1 i 2. Znajdź nogi tego trójkąta.

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1; DA = b1; CD = h C

Dodatkowe pytanie: napisz proporcje w trójkącie prostokątnym.

p.7.1, nr 5. Wytnij trójkąt prostokątny na trzy podobne trójkąty.

Wyjaśniać.

ASN ~ ABC ~ SVN

(zwrócić uwagę uczniów na poprawność zapisu odpowiednich wierzchołków takich trójkątów)

Prawda pozostanie wieczna, gdy tylko słaba osoba ją pozna!

A teraz twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe, jak w jego odległym wieku.

To nie przypadek, że lekcję rozpocząłem od słów niemieckiego powieściopisarza Chamisso. Nasza dzisiejsza lekcja dotyczy twierdzenia Pitagorasa. Zapiszmy temat lekcji.

Przed tobą portret wielkiego Pitagorasa. Urodzony w 576 pne. Po 80 latach życia zmarł w 496 pne. Znany jako starożytny grecki filozof i nauczyciel. Był synem kupca Mnesarcha, który często zabierał go w swoje podróże, dzięki czemu w chłopcu rozwinęła się ciekawość i chęć poznawania nowych rzeczy. Pitagoras to przydomek nadany mu ze względu na jego elokwencję („Pythagoras” oznacza „przekonujący mową”). On sam nic nie napisał. Wszystkie jego myśli zostały zapisane przez jego uczniów. W wyniku pierwszego wygłoszonego wykładu Pitagoras pozyskał 2000 uczniów, którzy wraz ze swoimi żonami i dziećmi utworzyli ogromną szkołę i stworzyli państwo zwane „Wielką Grecją”, oparte na prawach i regułach Pitagorasa, czczone jako boskie przykazania. Jako pierwszy nazwał swoje rozumowanie o sensie życia filozofią (filozofią). Miał skłonność do mistyfikacji i demonstracji. Kiedyś Pitagoras ukrył się pod ziemią i dowiedział się o wszystkim, co się dzieje od jego matki. Następnie, zwiędły jak szkielet, oświadczył na zgromadzeniu ludowym, że jest w Hadesie i wykazał niesamowitą świadomość ziemskich wydarzeń. W tym celu dotknięci mieszkańcy rozpoznali w nim Boga. Pitagoras nigdy nie płakał i był ogólnie niedostępny dla namiętności i podniecenia. Uważał, że pochodzi z nasienia, najlepszego w porównaniu z człowiekiem. Całe życie Pitagorasa to legenda, która dotarła do naszych czasów i opowiedziała nam o najbardziej utalentowanym człowieku starożytnego świata.

Znasz sformułowanie twierdzenia Pitagorasa z kursu algebry. Pamiętajmy ją.

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równa sumie kwadraty nóg.

Twierdzenie to było jednak znane na wiele lat przed Pitagorasem. 1500 lat przed Pitagorasem starożytni Egipcjanie wiedzieli, że trójkąt o bokach 3, 4 i 5 jest prostokątny i wykorzystywali tę właściwość do konstruowania kątów prostych podczas planowania działki i budowa budynków. W najstarszym zachowanym chińskim dziele matematyczno-astronomicznym „Chzhiu-bi”, napisanym 600 lat przed Pitagorasem, oprócz innych zdań odnoszących się do trójkąta prostokątnego, znajduje się również twierdzenie Pitagorasa. Jeszcze wcześniej twierdzenie to było znane Indianom. Tak więc Pitagoras nie odkrył tej właściwości trójkąta prostokątnego, prawdopodobnie był pierwszym, który ją uogólnił i udowodnił, przenosząc ją z dziedziny praktyki na dziedzinę nauki.

Od czasów starożytnych matematycy znajdowali coraz więcej dowodów twierdzenia Pitagorasa. Znanych jest ponad półtora setki z nich. Przypomnijmy algebraiczny dowód twierdzenia Pitagorasa, znany nam z kursu algebry. („Matematyka. Algebra. Funkcje. Analiza danych” GV Dorofeev, M., „Bustard”, 2000).

Poproś uczniów, aby przypomnieli sobie dowody dotyczące rysunku i zapisali je na tablicy.

(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Starożytni Hindusi, do których należy to rozumowanie, zwykle nie zapisywali go, ale dołączali do rysunku tylko jedno słowo: „Spójrz”.

Rozważmy we współczesnej prezentacji jeden z dowodów należących do Pitagorasa. Na początku lekcji przypomnieliśmy sobie twierdzenie o stosunkach w trójkącie prostokątnym:

h 2 = a 1 * b 1 a 2 = a 1 * c b 2 = b 1 * c

Dodajmy ostatnie dwie równości wyraz po wyrazie:

b 2 + a 2 = b 1 * c + a 1 * c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2; a 2 + b 2 = c 2

Pomimo pozornej prostoty tego dowodu, nie jest on najprostszy. W końcu do tego konieczne było narysowanie wysokości w trójkącie prostokątnym i rozważenie takich trójkątów. Proszę zapisać ten dowód w swoim zeszycie.

A jakie twierdzenie nazywa się odwrotnością danego? (... jeśli warunek i wniosek są odwrócone.)

Spróbujmy teraz sformułować twierdzenie przeciwne do twierdzenia Pitagorasa.

Jeśli w trójkącie o bokach a, b i c obowiązuje równość c 2 = a 2 + b 2, to ten trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty jest przeciwny do boku c.

(Dowód konwersacji na plakacie)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Udowodnić:

ABC - prostokątny,

Dowód:

Rozważ trójkąt prostokątny A 1 B 1 C 1,

gdzie C 1 = 90 °, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

Następnie, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2.

Oznacza to, że B 1 A 1 = z A 1 B 1 C 1 = ABC z trzech stron ABC - prostokątny

C = 90 °, zgodnie z wymaganiami.

1. Zgodnie z plakatem z gotowymi rysunkami.

Rys. 1: znajdź AD, jeśli BD = 8, BDA = 30 °.

Rys. 2: znajdź CD, jeśli BE = 5, BAE = 45 °.

Rys. 3: znajdź BD, jeśli BC = 17, AD = 16.

2. Czy trójkąt jest prostokątny, jeśli jego boki są wyrażone liczbami:

Jakie są nazwy trójek liczb w dwóch ostatnich przypadkach? (Pitagoras).

№ 9. Bok trójkąta równobocznego jest równy a. Znajdź wysokość tego trójkąta, promień wpisanego koła, promień wpisanego koła.

№ 14. Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym promień koła opisanego jest równy medianie narysowanej do przeciwprostokątnej i jest równy połowie przeciwprostokątnej.

Sekcja 7.1, s. 175-177, przeanalizuj Twierdzenie 7.4 (uogólnione twierdzenie Pitagorasa), nr 1 (ustnie), nr 2, nr 4.

Czego nowego nauczyłeś się podczas dzisiejszej lekcji? …………

Pitagoras był przede wszystkim filozofem. Teraz chcę Wam przeczytać niektóre z jego wypowiedzi, które w naszych czasach są istotne dla Was i dla mnie.

• Nie wzniecaj kurzu na ścieżce życia.
• Rób tylko to, co cię później nie zasmuci i nie zmusi do pokuty.
• Nigdy nie rób tego, czego nie wiesz, ale naucz się wszystkiego, co musisz wiedzieć, a wtedy będziesz prowadził spokojne życie.
• Nie zamykaj oczu, gdy chcesz spać, nie rozumiejąc wszystkich swoich działań z poprzedniego dnia.
• Przyzwyczaj się do życia prosto i bez luksusu.

twierdzenie Pitagorasa Jest jednym z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, ustalającym relację

między bokami trójkąta prostokątnego.

Uważa się, że zostało to udowodnione przez greckiego matematyka Pitagorasa, od którego pochodzi nazwa.

Geometryczne sformułowanie twierdzenia Pitagorasa.

Początkowo twierdzenie sformułowano w następujący sposób:

W trójkącie prostokątnym powierzchnia kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równa sumie pól kwadratów,

zbudowany na nogach.

Sformułowanie algebraiczne twierdzenia Pitagorasa.

W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg.

Oznacza to, że długość przeciwprostokątnej trójkąta oznacza C, a długości nóg przez a oraz b:

Oba sformułowania Twierdzenia Pitagorasa są równoważne, ale drugie sformułowanie jest bardziej elementarne, nie jest

wymaga koncepcji powierzchni. Oznacza to, że drugie stwierdzenie można sprawdzić, nie wiedząc nic o obszarze i

mierząc tylko długości boków trójkąta prostokątnego.

Twierdzenie odwrotne Pitagorasa.

Jeżeli kwadrat jednego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków, to

trójkąt prostokątny.

Innymi słowy:

Za każde trzy liczby dodatnie a, b oraz C takie, że

jest trójkąt prostokątny z nogami a oraz b i przeciwprostokątna C.

Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta równoramiennego.

Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta równobocznego.

Dowody twierdzenia Pitagorasa.

W tej chwili w literatura naukowa Zarejestrowano 367 dowodów tego twierdzenia. Prawdopodobnie twierdzenie

Pitagoras jest jedynym twierdzeniem o tak imponującej liczbie dowodów. Taka różnorodność

można wyjaśnić jedynie podstawowym znaczeniem twierdzenia o geometrii.

Oczywiście koncepcyjnie wszystkie można podzielić na niewielką liczbę klas. Najsłynniejszy z nich:

dowodem metoda obszarowa, aksjomatyczny oraz egzotyczne dowody(Na przykład,

poprzez równania różniczkowe).

1. Dowód twierdzenia Pitagorasa poprzez podobne trójkąty.

Poniższy dowód sformułowania algebraicznego jest najprostszym z tworzonych dowodów:

bezpośrednio z aksjomatów. W szczególności nie wykorzystuje pojęcia powierzchni figury.

Zostawiać ABC jest trójkąt prostokątny z kątem prostym C... Narysujmy wysokość z C i oznaczają

jego podstawa poprzez h.

Trójkąt ACH jak trójkąt AB C w dwóch rogach. Podobnie trójkąt CBH jest podobny ABC.

Przedstawiamy notację:

otrzymujemy:

,

co odpowiada -

Poprzez dodanie a 2 i b 2, otrzymujemy:

lub, zgodnie z wymaganiami.

2. Dowód twierdzenia Pitagorasa metodą powierzchni.

Poniższe dowody, mimo pozornej prostoty, wcale nie są takie proste. Wszyscy

użyj właściwości obszaru, którego dowód jest trudniejszy niż dowód samego twierdzenia Pitagorasa.

• Dowód poprzez równą komplementarność.

Umieść cztery równe prostokąty

trójkąt, jak pokazano na rysunku

po prawej.

Czworokąt z bokami C- kwadrat,

ponieważ suma dwóch kątów ostrych wynosi 90 ° i

rozszerzony kąt - 180 °.

Powierzchnia całej figury to z jednej strony

powierzchnia kwadratu z bokiem ( a + b), a z drugiej strony suma pól czterech trójkątów i

co było do okazania

3. Dowód twierdzenia Pitagorasa metodą nieskończenie małych.

​

Biorąc pod uwagę rysunek pokazany na rysunku, oraz

obserwując zmianę stronya, możemy

napisz następującą relację na nieskończenie

mały przyrosty bocznez oraz a(używając podobieństwa

trójkąty):

Stosując metodę zmiennej separacji znajdujemy:

Więcej wyrażenie ogólne aby zmienić przeciwprostokątną w przypadku przyrostów obu nóg:

Integrując podane równanie i korzystając z warunków początkowych otrzymujemy:

W ten sposób dochodzimy do pożądanej odpowiedzi:

Jak łatwo zauważyć, zależność kwadratowa w ostatecznym wzorze pojawia się ze względu na liniową

proporcjonalność między bokami trójkąta a przyrostami, podczas gdy suma jest związana z niezależnym

wkłady z przyrostu różnych nóg.

Prostszy dowód można uzyskać, jeśli założymy, że jedna z nóg nie doświadcza przyrostu

(w tym przypadku noga b). Wtedy dla stałej całkowania otrzymujemy:

Godne uwagi jest to, że właściwość wskazana w twierdzeniu Pitagorasa jest charakterystyczną właściwością trójkąta prostokątnego. Wynika to z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie: Jeśli kwadrat jednego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków, to trójkąt jest prostokątny.

Formuła Herona

Wyprowadźmy wzór wyrażający płaszczyznę trójkąta poprzez długości jego boków. Formuła ta związana jest z imieniem Herona z Aleksandrii, starożytnego greckiego matematyka i mechanika, który prawdopodobnie żył w I wieku naszej ery. Geron poświęcił wiele uwagi praktycznym zastosowaniom geometrii.

Twierdzenie. Pole S trójkąta, którego boki są równe a, b, c, oblicza się ze wzoru S =, gdzie p jest półobwodem trójkąta.

Dowód.

Biorąc pod uwagę: ABC, AB = c, BC = a, AC = b. Kąty A i B, ostre. CH - wzrost.

Udowodnić:

Dowód:

Rozważ trójkąt ABC, w którym AB = c, BC = a, AC = b. Każdy trójkąt ma co najmniej dwa ostre rogi. Niech A i B będą kątami ostrymi trójkąta ABC. Wtedy podstawa H o wysokości CH trójkąta leży na boku AB. Wprowadźmy zapis: CH = h, AH = y, HB = x. przez twierdzenie Pitagorasa a 2 - x 2 = h 2 = b 2 -y 2, skąd

Y 2 - x 2 = b 2 - a 2 lub (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, a ponieważ y + x = c, to y- x = (b2 - a2).

Dodając dwie ostatnie równości otrzymujemy:

2y = + c, skąd

y =, a zatem h 2 = b 2 -y 2 = (b - y) (b + y) =