Jak obliczyć długość przeciwprostokątnej. Rozwiązanie w postaci trójkąta prawego

Trójkąt prostokątny zawiera ogromną liczbę zależności. To sprawia, że jest atrakcyjnym obiektem dla różnego rodzaju problemów geometrycznych. Jednym z najczęstszych problemów jest znalezienie przeciwprostokątnej.

Trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny to trójkąt zawierający kąt prosty, tj. kąt 90 stopni. Tylko w trójkącie prostokątnym funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci boków. W dowolnym trójkącie trzeba będzie wykonać dodatkowe konstrukcje.
W trójkącie prostokątnym dwie z trzech wysokości pokrywają się z bokami, nazywane są nogami. Trzecia strona nazywa się przeciwprostokątną. Wysokość narysowana do przeciwprostokątnej jest jedyną w tego typu trójkącie, która wymaga dodatkowych konstrukcji.

Ryż. 1. Rodzaje trójkątów.

Trójkąt prostokątny nie może mieć kątów rozwartych. Tak jak istnienie drugiego kąta prostego jest niemożliwe. W tym przypadku naruszona zostaje tożsamość sumy kątów trójkąta, która zawsze jest równa 180 stopniom.

Przeciwprostokątna

Przejdźmy bezpośrednio do przeciwprostokątnej trójkąta. Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta. Przeciwprostokątna jest zawsze większa niż którakolwiek z nóg, ale zawsze jest mniejsza niż suma nóg. Jest to konsekwencja twierdzenia o nierówności trójkąta.

Twierdzenie mówi, że w trójkącie żaden z boków nie może być większy niż suma pozostałych dwóch. Istnieje również drugie sformułowanie lub druga część twierdzenia: w trójkącie większy kąt leży po przeciwnej stronie większego boku i na odwrót.

Ryż. 2. Trójkąt prawy.

W trójkącie prostokątnym kąt prosty to duży kąt, ponieważ nie może być drugiego kąta prostego ani kąta rozwartego z wyżej wymienionych powodów. Oznacza to, że najdłuższy bok zawsze leży pod kątem prostym.

Wydaje się niezrozumiałe, dlaczego właśnie trójkąt prostokątny zasługiwał na osobną nazwę dla każdego z boków. W rzeczywistości w trójkącie równoramiennym boki mają również swoje własne nazwy: boki i podstawa. Ale to dla nóg i przeciwprostokątnych nauczyciele szczególnie lubią stawiać dwójki. Czemu? Z jednej strony jest to hołd dla pamięci starożytnych Greków, wynalazców matematyki. To oni badali trójkąty prostokątne i wraz z tą wiedzą pozostawili całą warstwę informacji, na której zbudowana jest współczesna nauka. Z drugiej strony istnienie tych nazw znacznie upraszcza formułowanie twierdzeń i tożsamości trygonometrycznych.

twierdzenie Pitagorasa

Jeśli nauczyciel pyta o wzór na przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, to z prawdopodobieństwem 90% ma na myśli twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie mówi: w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.

Ryż. 3. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego.

Zwróć uwagę na to, jak jasno i zwięźle sformułowano twierdzenie. Takiej prostoty nie da się osiągnąć bez użycia pojęć przeciwprostokątnej i nogi.

Twierdzenie ma następującą formułę:

$c^2=b^2+a^2$ – gdzie c to przeciwprostokątna, a i b to ramiona trójkąta prostokątnego.

Czego się nauczyliśmy?

Rozmawialiśmy o tym, czym jest trójkąt prostokątny. Dowiedzieliśmy się, dlaczego wymyślili nazwy nóg i przeciwprostokątnej. Znaleźliśmy pewne właściwości przeciwprostokątnej i podaliśmy wzór na długość przeciwprostokątnej trójkąta poprzez twierdzenie Pitagorasa.

Quiz tematyczny

Ocena artykułu

Średnia ocena: 4.6. Łącznie otrzymane oceny: 213.

Po zapoznaniu się z tematem trójkątów prostokątnych uczniowie często wyrzucają z głowy wszelkie informacje na ich temat. W tym jak znaleźć przeciwprostokątną, nie wspominając o tym, co to jest.

I na próżno. Ponieważ w przyszłości przekątna prostokąta okaże się właśnie tą przeciwprostokątną i trzeba ją znaleźć. Lub średnica koła pokrywa się z największym bokiem trójkąta, którego jeden z kątów jest prawy. A bez tej wiedzy nie sposób go znaleźć.

Istnieje kilka sposobów na znalezienie przeciwprostokątnej trójkąta. Wybór metody uzależniony jest od danych wyjściowych w zadaniu wielkości.

Metoda numer 1: podano obie nogi

Jest to najbardziej pamiętna metoda, ponieważ wykorzystuje twierdzenie Pitagorasa. Tylko czasami uczniowie zapominają, że ten wzór jest kwadratem przeciwprostokątnej. Tak więc, aby znaleźć samą stronę, musisz wyciągnąć pierwiastek kwadratowy. Dlatego wzór na przeciwprostokątną, który jest zwykle oznaczany literą „c”, będzie wyglądał następująco:

c = √ (a 2 + a 2), gdzie litery „a” i „b” są napisane jako obie nogi trójkąta prostokątnego.

Metoda numer 2: znana jest noga i przylegający do niej kąt

Aby dowiedzieć się, jak znaleźć przeciwprostokątną, musisz pamiętać o funkcjach trygonometrycznych. Mianowicie cosinus. Dla wygody przyjmiemy, że podana jest noga „a” i sąsiadujący z nią kąt α.

Teraz musimy pamiętać, że cosinus kąta trójkąta prostokątnego jest równy stosunkowi dwóch boków. Licznikiem będzie wartość nogi, a mianownikiem przeciwprostokątna. Z tego wynika, że tę ostatnią można obliczyć za pomocą wzoru:

c = a / cos α.

Metoda numer 3: biorąc pod uwagę nogę i kąt leżący naprzeciwko niej

Aby nie pomylić się we wzorach, wprowadzamy oznaczenie tego kąta - β, a bok pozostawiamy jako „a”. W takim przypadku wymagana jest inna funkcja trygonometryczna - sinus.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, sinus jest równy stosunkowi nogi do przeciwprostokątnej. Wzór dla tej metody wygląda tak:

c \u003d a / grzech β.

Aby nie pomylić się z funkcjami trygonometrycznymi, możesz zapamiętać prostą zasadę mnemoniczną: jeśli problem dotyczy o przeciwległym rogu, wtedy musisz użyć z oraz nous jeśli - och pr oraz kłamać, to o Zatoka. Zwróć uwagę na pierwsze samogłoski w słowach kluczowych. Tworzą pary o I lub i o.

Metoda numer 4: wzdłuż promienia opisanego okręgu

Teraz, aby dowiedzieć się, jak znaleźć przeciwprostokątną, musisz zapamiętać właściwość koła, która jest opisana wokół trójkąta prostokątnego. Brzmi następująco. Środek koła pokrywa się ze środkiem przeciwprostokątnej. Innymi słowy, najdłuższy bok trójkąta prostokątnego jest równy przekątnej koła. To znaczy podwój promień. Formuła tego zadania wyglądałaby tak:

c = 2 * r, gdzie r oznacza znany promień.

To są wszystkie możliwe sposoby znalezienia przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. W każdym konkretnym zadaniu musisz użyć metody, która jest bardziej odpowiednia dla zestawu danych.

Przykład zadania nr 1

Stan: w trójkącie prostokątnym narysowane są mediany obu nóg. Długość tego narysowanego na większym boku to √52. Druga mediana ma długość √73. Musisz obliczyć przeciwprostokątną.

Ponieważ mediany są narysowane w trójkącie, dzielą nogi na dwa równe segmenty. Dla wygody rozumowania i znajdowania przeciwprostokątnej należy wprowadzić kilka notacji. Niech obie połówki większej nogi oznaczymy literą „x”, a drugą „y”.

Teraz musimy rozważyć dwa trójkąty prostokątne, których przeciwprostokątne są znanymi medianami. Dla nich musisz dwukrotnie zapisać formułę twierdzenia Pitagorasa:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2 .

Te dwa równania tworzą układ z dwiema niewiadomymi. Po ich rozwiązaniu łatwo będzie znaleźć z nich nogi oryginalnego trójkąta i jego przeciwprostokątną.

Najpierw musisz podnieść wszystko do drugiego stopnia. Okazuje się:

4 lata 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Z drugiego równania widać, że y 2 \u003d 73 - 4x 2. To wyrażenie należy podstawić do pierwszego i obliczyć „x”:

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

Po konwersji:

292 - 16 x 2 + x 2 \u003d 52 lub 15 x 2 \u003d 240.

Od ostatniego wyrażenia x = √16 = 4.

Teraz możesz obliczyć „y”:

y 2 \u003d 73 - 4 (4) 2 \u003d 73 - 64 \u003d 9.

Zgodnie z warunkiem okazuje się, że nogi pierwotnego trójkąta to 6 i 8. Możesz więc użyć wzoru z pierwszej metody i znaleźć przeciwprostokątną:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Odpowiedź: przeciwprostokątna to 10.

Przykład zadania nr 2

Warunek: oblicz przekątną narysowaną w prostokącie o mniejszym boku równym 41. Jeśli wiadomo, że dzieli kąt na te, które są powiązane jako 2 do 1.

W tym zadaniu przekątna prostokąta jest najdłuższym bokiem w trójkącie 90º. Więc wszystko sprowadza się do tego, jak znaleźć przeciwprostokątną.

Problem dotyczy rogów. Oznacza to, że będziesz musiał użyć jednej z formuł, w których występują funkcje trygonometryczne. I najpierw musisz określić wartość jednego z kątów ostrych.

Niech mniejszy z kątów, o których mowa w warunku, będzie oznaczony przez α. Wtedy kąt prosty dzielony przez przekątną będzie równy 3α. Zapis matematyczny do tego wygląda tak:

Z tego równania łatwo wyznaczyć α. Będzie równy 30º. Co więcej, będzie leżeć po przeciwnej stronie mniejszego boku prostokąta. Dlatego wymagany będzie wzór opisany w metodzie nr 3.

Przeciwprostokątna jest równa stosunkowi nogi do sinusa kąta przeciwnego, czyli:

41 / grzech 30º = 41 / (0,5) = 82.

Odpowiedź: Przeciwprostokątna to 82.

Trójkąt to liczba geometryczna składająca się z trzech segmentów, które łączą trzy punkty, które nie leżą na tej samej linii. Punkty tworzące trójkąt nazywane są jego punktami, a segmenty są obok siebie.

W zależności od typu trójkąta (prostokątny, monochromatyczny itp.) bok trójkąta można obliczyć na różne sposoby, w zależności od danych wejściowych i warunków problemu.

Szybka nawigacja po artykule

Aby obliczyć boki trójkąta prostokątnego, stosuje się twierdzenie Pitagorasa, zgodnie z którym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nogi.

Jeśli nogi oznaczymy literami „a” i „b”, a przeciwprostokątną „c”, to strony będą zawierały następujące wzory:

Jeśli znane są kąty ostre trójkąta prostokątnego (a i b), to jego boki można znaleźć za pomocą następujących wzorów:

przycięty trójkąt

Trójkąt nazywa się trójkątem równobocznym, w którym obie strony są takie same.

Jak znaleźć przeciwprostokątną w dwóch nogach

Jeśli litera „a” jest identyczna z tą samą stroną, „b” to podstawa, „b” to róg naprzeciw podstawy, „a” to róg sąsiedni, do obliczenia stron można użyć następujących wzorów:

Dwa rogi i bok

Jeżeli znana jest jedna strona (c) i dwa kąty (a i b) dowolnego trójkąta, do obliczenia pozostałych stron wykorzystuje się wzór na sinus:

Musisz znaleźć trzecią wartość y = 180 - (a + b), ponieważ

suma wszystkich kątów trójkąta wynosi 180°;

Dwie strony i kąt

Jeśli znane są dwa boki trójkąta (a i b) oraz kąt między nimi (y), twierdzenie cosinus może być użyte do obliczenia trzeciego boku.

Jak określić obwód trójkąta prostokątnego

Trójkąt trójkątny to trójkąt, z których jeden ma 90 stopni, a pozostałe dwa są ostre. obliczenie obwód taki trójkąt w zależności od ilości znanych informacji na jego temat.

Będziesz tego potrzebował

W zależności od okazji umiejętności 2 z trzech boków trójkąta, a także jeden z jego ostrych rogów.

instrukcje

pierwszy Metoda 1. Jeśli wszystkie trzy strony są znane trójkąt Następnie, niezależnie od tego, czy jest prostopadły, czy nie trójkątny, obwód jest obliczany jako: P = A + B + C, jeśli to możliwe, c jest przeciwprostokątną; a i b to nogi.

druga Metoda 2.

Jeśli prostokąt ma tylko dwie strony, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa, trójkąt można obliczyć za pomocą wzoru: P = v (a2 + b2) + a + b lub P = v (c2 - b2) + b + c.

trzeci Metoda 3. Niech przeciwprostokątna będzie c i kątem ostrym? Mając trójkąt prostokątny, obwód będzie można znaleźć w ten sposób: P = (1 + sin?

czwarty Metoda 4. Mówią, że w prawym trójkącie długość jednej nogi jest równa a, a wręcz przeciwnie, ma kąt ostry. Następnie oblicz obwód Ten trójkąt zostanie wykonany według wzoru: P = a * (1 / tg?

1 / syn? + 1)

piąty Metoda 5.

Obliczanie online trójkąta

Niech nasza noga prowadzi i należeć do niej, wtedy zakres będzie obliczony jako: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Podobne filmy

Twierdzenie Pitagorasa jest podstawą każdej matematyki. Określa relację między bokami prawdziwego trójkąta. Teraz jest 367 dowodów tego twierdzenia.

instrukcje

pierwszy Klasyczne szkolne sformułowanie twierdzenia Pitagorasa brzmi tak: kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.

Aby znaleźć przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym dwóch Catetów, musisz obróć do kwadratu długość nóg, zmontuj je i wyciągnij pierwiastek kwadratowy z sumy. W pierwotnym sformułowaniu jego twierdzenia rynek opiera się na przeciwprostokątnej, równej sumie kwadratów 2 kwadratów wytworzonych przez Catete. Jednak współczesne sformułowanie algebraiczne nie wymaga wprowadzenia reprezentacji dziedzinowej.

druga Na przykład trójkąt prostokątny, którego nogi mają 7 cm i 8 cm.

Następnie, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, przeciwprostokątna kwadratowa to R + S = 49 + 64 = 113 cm. Przeciwprostokątna jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z 113.

Kąty trójkąta prostokątnego

Wynik był nierozsądną liczbą.

trzeci Jeśli trójkąty to nogi 3 i 4, to przeciwprostokątna = 25 = 5. Gdy wyciągniesz pierwiastek kwadratowy, otrzymasz liczbę naturalną. Liczby 3, 4, 5 tworzą trójkę pigagorejską, ponieważ spełniają one zależność x? +Y? = Z, co jest naturalne.

Inne przykłady trójki pitagorejskiej to: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

czwarty W takim przypadku, jeśli nogi są identyczne, twierdzenie Pitagorasa zamienia się w bardziej prymitywne równanie. Na przykład niech taka ręka będzie równa liczbie A i przeciwprostokątna jest zdefiniowana dla C, a następnie c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. W takim przypadku nie potrzebujesz A.

piąty Twierdzenie Pitagorasa jest przypadkiem szczególnym, większym niż ogólne twierdzenie cosinusowe, które ustala związek między trzema bokami trójkąta dla dowolnego kąta między nimi.

Wskazówka 2: Jak określić przeciwprostokątną dla nóg i kątów?

Przeciwprostokątna nazywana jest bokiem w trójkącie prostokątnym, który jest przeciwny do kąta 90 stopni.

instrukcje

pierwszy W przypadku znanych cewników, a także kąta ostrego trójkąta prostokątnego, rozmiar przeciwprostokątnej może być równy stosunkowi nogi do cosinusa/sinusa tego kąta, jeśli kąt był przeciwny / e obejmują: H = C1 (lub C2) / grzech, H = C1 (lub С2?) / cos?. Przykład: Niech ABC otrzyma nieregularny trójkąt z przeciwprostokątną AB i kątem prostym C.

Niech B będzie 60 stopni, a A 30 stopni. Długość pnia BC wynosi 8 cm, należy znaleźć długość przeciwprostokątnej AB. Aby to zrobić, możesz użyć jednej z powyższych metod: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Przeciwprostokątna to najdłuższy bok prostokąta trójkąt. Znajduje się pod kątem prostym. Metoda znajdowania przeciwprostokątnej prostokąta trójkąt w zależności od danych źródłowych.

instrukcje

pierwszy Jeśli Twoje nogi są prostopadłe trójkąt, to długość przeciwprostokątnej prostokąta trójkąt można znaleźć za pomocą analogu pitagorejskiego - kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg: c2 = a2 + b2, gdzie a i b są długościami nóg prawej strony trójkąt .

druga Jeśli jest znana, a jedna z nóg znajduje się pod kątem ostrym, wzór na znalezienie przeciwprostokątnej będzie zależeć od obecności lub nieobecności pod pewnym kątem w stosunku do znanej nogi - sąsiedniej (noga znajduje się blisko) lub imadła odwrotnie (przypadek przeciwny znajduje się nego.V określonego kąta jest równy ułamkowi przeciwprostokątnej nogi w kącie cosinusowym: a = a / cos; E, z drugiej strony przeciwprostokątna jest taka sama jak stosunek kątów sinusoidalnych: da = a / grzech.

Podobne filmy

Pomocne wskazówki
Trójkąt kątowy, którego boki łączą się 3:4:5, zwany deltą egipską, ze względu na to, że figury te były szeroko stosowane przez architektów starożytnego Egiptu.

Jest to również najprostszy przykład trójkątów Jerona, w których strony i obszar są reprezentowane jako liczby całkowite.

Trójkąt nazywamy prostokątem, którego kąt wynosi 90°. Strona przeciwna do prawego rogu nazywana jest przeciwprostokątną, druga strona to nogi.

Jeśli chcesz dowiedzieć się, w jaki sposób trójkąt prostokątny jest utworzony przez niektóre właściwości trójkątów foremnych, a mianowicie fakt, że suma kątów ostrych wynosi 90°, co jest używane, oraz fakt, że długość przeciwległej nogi jest równa połowie przeciwprostokątnej wynosi 30°.

Szybka nawigacja po artykule

przycięty trójkąt

Jedną z właściwości trójkąta równego jest to, że jego dwa kąty są takie same.

Aby obliczyć kąt prawego trójkąta równobocznego, musisz wiedzieć, że:

Nie jest gorszy niż 90°.
Wartości kątów ostrych określa wzór: (180°-90°)/2 = 45°, tj.
Kąty α i β wynoszą 45°.

Jeżeli znana jest wartość jednego z kątów ostrych, drugi można znaleźć za pomocą wzoru: β = 180º-90º-α lub α = 180º-90º-β.

Ten stosunek jest najczęściej używany, jeśli jeden z kątów wynosi 60° lub 30°.

Kluczowe idee

Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°.

Ponieważ jest to jeden poziom, dwa pozostaną ostre.

Oblicz trójkąt online

Jeśli chcesz je znaleźć, musisz wiedzieć, że:

inne metody

Wartości kąta ostrego trójkąta prostokątnego można obliczyć ze średniej - linią z punktu po przeciwnej stronie trójkąta, a wysokość - linią prostopadłą poprowadzoną od przeciwprostokątnej pod kątem prostym.

Niech mediana rozciąga się od prawego rogu do środka przeciwprostokątnej, a h będzie wysokością. W tym przypadku okazuje się, że:

sinα = b / (2 * s); grzech β = a / (2 * s).
cosα = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
sinα = h / b; grzech β = h / a.

Dwie strony

Jeżeli długości przeciwprostokątnej i jednej z nóg są znane w trójkącie prostokątnym lub z dwóch stron, to do określenia wartości kątów ostrych stosuje się tożsamości trygonometryczne:

α = arcsin(a/c), β= arcsin(b/c).
α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).

Długość trójkąta prostokątnego

Pole i pole trójkąta

obwód

Obwód dowolnego trójkąta jest równy sumie długości trzech boków. Ogólny wzór na znalezienie trójkąta trójkątnego to:

gdzie P to obwód trójkąta, a, b i c to jego boki.

Obwód trójkąta równego można znaleźć łącząc kolejno długości jego boków lub mnożąc długość boku przez 2 i dodając do produktu długość podstawy.

Ogólny wzór na znalezienie trójkąta równowagi będzie wyglądał tak:

gdzie P jest obwodem trójkąta równoramiennego, ale b, b są podstawą.

Obwód trójkąta równobocznego można znaleźć, łącząc kolejno długości jego boków lub mnożąc długość dowolnej strony przez 3.

Ogólny wzór na znalezienie krawędzi trójkątów równobocznych wyglądałby tak:

gdzie P jest obwodem trójkąta równobocznego, a jest dowolnym z jego boków.

region

Jeśli chcesz zmierzyć obszar trójkąta, możesz porównać go do równoległoboku. Rozważ trójkąt ABC:

Jeśli weźmiemy ten sam trójkąt i naprawimy go tak, że otrzymamy równoległobok, otrzymamy równoległobok o tej samej wysokości i podstawie jak ten trójkąt:

W tym przypadku wspólny bok trójkątów jest złożony razem wzdłuż przekątnej uformowanego równoległoboku.

Z właściwości równoległoboku. Wiadomo, że przekątne równoległoboku są zawsze podzielone na dwa równe trójkąty, wtedy powierzchnia każdego trójkąta jest równa połowie zakresu równoległoboku.

Ponieważ powierzchnia równoległoboku jest iloczynem jego wysokości podstawy, powierzchnia trójkąta będzie równa połowie tego iloczynu. Więc dla ΔABC obszar będzie taki sam

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny:

Dwa identyczne trójkąty prostokątne można wygiąć w prostokąt, jeśli będzie się o nie opierał, tak jak każda inna przeciwprostokątna.

Ponieważ powierzchnia prostokąta pokrywa się z powierzchnią sąsiednich boków, obszar tego trójkąta jest taki sam:

Z tego możemy wywnioskować, że powierzchnia dowolnego trójkąta prostokątnego jest równa iloczynowi nóg podzielonemu przez 2.

Z tych przykładów możemy wywnioskować, że powierzchnia każdego trójkąta jest taka sama jak iloczyn długości, a wysokość jest zmniejszona do podstawy podzielonej przez 2.

Ogólny wzór na znalezienie obszaru trójkąta wyglądałby tak:

gdzie S to obszar trójkąta, ale jego podstawa, ale wysokość spada do dołu a.

Znając jedną z nóg w trójkącie prostokątnym, można znaleźć drugą nogę i przeciwprostokątną za pomocą zależności trygonometrycznych - sinusa i stycznej o znanym kącie. Ponieważ stosunek nogi przeciwnej do kąta przeciwprostokątnej jest równy sinusowi tego kąta, aby znaleźć przeciwprostokątną, nogę należy podzielić przez sinus kąta. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Drugie ramię można znaleźć od stycznej znanego kąta, jako stosunek znanego ramienia do stycznej. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Aby obliczyć nieznany kąt w trójkącie prostokątnym, musisz odjąć kąt α od 90 stopni. β=90°-α

Obwód i pole trójkąta prostokątnego przechodzącego przez nogę oraz kąt przeciwny do niego można wyrazić, zastępując we wzorach wcześniej uzyskane wyrażenia dla drugiej nogi i przeciwprostokątnej. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Wysokość można również obliczyć za pomocą relacji trygonometrycznych, ale już w wewnętrznym trójkącie prostokątnym o boku a, który tworzy. Aby to zrobić, potrzebujesz boku a jako przeciwprostokątnej takiego trójkąta pomnożonej przez sinus kąta β lub cosinus α, ponieważ zgodnie z tożsamościami trygonometrycznymi są one równoważne. (ryc. 79.2) h=a cos⁡α

Mediana przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej lub znanej nogi podzielonej przez dwa sinusy α. Aby znaleźć mediany nóg, sprowadzamy formuły do odpowiedniej formy dla znanej strony i kątów. (rys.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡) α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Ponieważ dwusieczna kąta prostego w trójkącie jest iloczynem dwóch boków i pierwiastka z dwóch podzielonych przez sumę tych boków, zastępując jedną z nóg stosunkiem znanej nogi do stycznej, otrzymujemy: wyrażenie. Podobnie, podstawiając stosunek do drugiego i trzeciego wzoru, możemy obliczyć dwusieczne kątów α i β. (rys.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Linia środkowa biegnie równolegle do jednego z boków trójkąta, tworząc jednocześnie podobny trójkąt prostokątny o tych samych kątach, w którym wszystkie boki są o połowę mniejsze od pierwotnego. Na tej podstawie linie środkowe można znaleźć za pomocą następujących wzorów, znając tylko nogę i kąt przeciwny do niej. (rys.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Promień okręgu wpisanego jest równy różnicy nóg i przeciwprostokątnej podzielonej przez dwa, a aby znaleźć promień okręgu opisanego, należy podzielić przeciwprostokątną przez dwa. Zastępujemy drugą nogę i przeciwprostokątną stosunkiem odnogi a odpowiednio do sinusa i stycznej. (Ryc. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Pierwszy to segmenty, które sąsiadują z kątem prostym, a przeciwprostokątna jest najdłuższą częścią figury i jest przeciwna do kąta 90 stopni. Trójkąt pitagorejski to taki, którego boki są równe liczbom naturalnym; ich długości są w tym przypadku nazywane „trójką pitagorejską”.

egipski trójkąt

Aby współczesne pokolenie mogło uczyć się geometrii w takiej formie, w jakiej uczy się jej w szkole, jest ona rozwijana od kilku stuleci. Podstawowym punktem jest twierdzenie Pitagorasa. Boki prostokąta są znane całemu światu) to 3, 4, 5.

Niewiele osób nie zna zwrotu „Pitagorejskie spodnie są równe we wszystkich kierunkach”. Jednak w rzeczywistości twierdzenie brzmi tak: c 2 (kwadrat przeciwprostokątnej) \u003d a 2 + b 2 (suma kwadratów nóg).

Wśród matematyków trójkąt o bokach 3, 4, 5 (cm, m itd.) nazywany jest „egipskim”. Ciekawe, że to, co jest wpisane na figurze, jest równe jedności. Nazwa powstała około V wieku pne, kiedy greccy filozofowie udali się do Egiptu.

Podczas budowy piramid architekci i geodeci stosowali stosunek 3:4:5. Takie konstrukcje okazały się proporcjonalne, przyjemne dla oka i przestrzenne, a także rzadko się zawalały.

Do budowy kąta prostego budowniczowie użyli liny, na której zawiązano 12 węzłów. W tym przypadku prawdopodobieństwo skonstruowania trójkąta prostokątnego wzrosło do 95%.

Znaki równości liczb

Ostry kąt w trójkącie prostokątnym i duży bok, które są równe tym samym elementom w drugim trójkącie, są niepodważalnym znakiem równości figur. Biorąc pod uwagę sumę kątów, łatwo wykazać, że drugie kąty ostre są również równe. Zatem trójkąty są identyczne w drugim kryterium.
Gdy dwie figury nakładają się na siebie, obracamy je w taki sposób, aby po połączeniu tworzyły jeden trójkąt równoramienny. Zgodnie z jego właściwością boki, a raczej przeciwprostokątne, są równe, podobnie jak kąty u podstawy, co oznacza, że liczby te są takie same.

Pierwszym znakiem bardzo łatwo jest udowodnić, że trójkąty są naprawdę równe, najważniejsze jest to, że dwa mniejsze boki (tj. Nogi) są sobie równe.

Trójkąty będą takie same według znaku II, którego istotą jest równość nogi i kąt ostry.

Właściwości trójkąta prostokątnego

Wysokość, która została obniżona pod kątem prostym, dzieli figurę na dwie równe części.

Boki trójkąta prostokątnego i jego medianę łatwo rozpoznać za pomocą reguły: obniżona do przeciwprostokątnej mediana jest równa jej połowie. można znaleźć zarówno według wzoru Herona, jak i przez stwierdzenie, że jest równa połowie iloczynu nóg.

W trójkącie prostokątnym obowiązują właściwości kątów 30o, 45o i 60o.

Przy kącie 30 ° należy pamiętać, że przeciwległa noga będzie równa 1/2 największego boku.
Jeżeli kąt wynosi 45o, to drugi kąt ostry również wynosi 45o. Sugeruje to, że trójkąt jest równoramienny, a jego nogi są takie same.
Własnością kąta 60 stopni jest to, że trzeci kąt ma miarę 30 stopni.

Obszar można łatwo znaleźć za pomocą jednej z trzech formuł:

przez wysokość i bok, po którym opada;
według wzoru Herona;
wzdłuż boków i kąta między nimi.

Boki trójkąta prostokątnego, a raczej nogi, zbiegają się na dwóch wysokościach. Aby znaleźć trzeci, należy wziąć pod uwagę powstały trójkąt, a następnie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczyć wymaganą długość. Oprócz tego wzoru istnieje również stosunek dwukrotności powierzchni i długości przeciwprostokątnej. Najczęstszym wyrażeniem wśród studentów jest pierwsze, ponieważ wymaga mniej obliczeń.

Twierdzenia odnoszące się do trójkąta prostokątnego

Geometria trójkąta prostokątnego obejmuje wykorzystanie twierdzeń takich jak: