Jaka jest suma kątów. Jaka jest suma kątów wypukłego wielokąta

Trójkąt jest wielokąta o trzech bokach (trzech kąt). Najczęściej strony są oznaczone małymi literami odpowiadającymi wielkie literyktóre oznaczają przeciwległe wierzchołki. W tym artykule zapoznamy się z typami figury geometryczne.Twierdzenie określające, jaką suma narożników trójkąta jest równa.

Rodzaje narożników

Wyróżnia się następujące typy wielokąt z trzema wierzchołkami:

ostry czyn, w którym wszystkie narożniki są ostre;
prostokątny, mający jeden prosty kąt, z jego preparatami, nazywane są kategorie, a bok, który jest umieszczony przeciwny do bezpośredniego narożnika, nazywany jest hipotenuse;
głupi kiedy jeden;
izoskele, w których dwie strony są równe i są one nazywane stroną, a trzeci - baza trójkąta;
równie, mając całą trzy równą stronę.

Nieruchomości

Przydziel główne właściwości charakterystyczne dla każdego rodzaju trójkąta:

wręcz przeciwnie, większość stron jest zawsze większy kąt i odwrotnie;
naprzeciwko równej wielkości partii równe kąty, i wzajemnie;
każdy trójkąt ma dwa ostre zakręty;
kąt zewnętrzny bardziej w porównaniu z dowolnym kątem wewnętrznym, nie związany z nim;
ilość dowolnych dwóch kątów jest zawsze mniejsza niż 180 stopni;
kąt zewnętrzny jest równy sumie pozostałych dwóch kątów, które nie są z nim splecione.

Twierdzenie o sumie narożników trójkąta

Twierdzenie twierdzi, że jeśli dodasz wszystkie kąty danego kształtu geometrycznego, który znajduje się na płaszczyźnie euklidesu, a ich kwota będzie wynosić 180 stopni. Spróbujmy udowodnić ten teorety.

Pozwól nam mieć arbitralny trójkąt z wierzchołkami CMN.

Przez wierzchołek, CN będzie nosić (nadal nazywał się bezpośrednim Euclidea). Zwróć uwagę na punkt, a zatem, że punkt K i A znajduje się z różnych stron linii prostej. Otrzymujemy równe kąty AMN i KNM, które, jak wewnętrzne, leżą w najbliższym i są utworzone przez sekwencyjnego MN, wraz z bezpośrednim CN i MA, które są równoległe. Wynika z tego, że suma narożników trójkąta znajdującej się na wierzchołkach M i H jest równa wielkości kąt CMA. Wszystkie trzy kąt stanowią kwotę równą ilości kątom CMA i MCN. Ponieważ kąty te są wewnętrzne jednostronne względem równoległego bezpośredniego CN i MA o sekwencyjnej CM, ich ilość wynosi 180 stopni. Twierdzenie jest udowodnione.

Następstwo

Z powyższego twierdzenie podąża za następującą konsekwencją: każdy trójkąt ma dwa ostre narożniki. Aby to udowodnić, zakłada, że \u200b\u200bta geometryczna liczba ma tylko jeden ostry kąt. Można go również założyć, że żaden z narożników nie jest ostry. W tym przypadku musi istnieć co najmniej dwa kąt, którego wielkość jest równa lub ponad 90 stopni. Ale wtedy suma kątów będzie większa niż 180 stopni. I nie może być, ponieważ zgodnie z twierdzeniem, suma narożników trójkąta wynosi 180 ° - nie więcej i nie mniej. Właśnie to było udowodnić.

Własność zewnętrznych narożników

Jaka jest suma narożników trójkąta, które są zewnętrzne? Odpowiedź na to pytanie można uzyskać, stosując jeden z dwóch sposobów. Pierwszy jest to, że konieczne jest znalezienie ilości narożników, które są pobierane na każdym wierzchołku, czyli trzy kąty. Drugi zakłada, że \u200b\u200bmusisz znaleźć sumę wszystkich sześciu rogów na szczytach. Zacznijmy, zajmiemy się pierwszą opcją. Więc trójkąt zawiera sześć zewnętrznych narożników - z każdym wierzchołkiem dwoma.

Każda para ma równe kąty, ponieważ są pionowe:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Ponadto wiadomo, że kąt zewnętrzny w trójkącie jest równy sumie dwóch wewnętrznych, które nie są z nią splecione. W związku z tym,

∟1 \u003d ∟a + ∟С ∟2 \u003d ∟a + ∟v, ∟3 \u003d ∟в + ∟С.

Okazuje się, że ilość kątów zewnętrznych, które są pobierane przez jeden wierzchołek, będą równe:

∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d ∟a + ∟С + ∟a + ∟v + ∟v + ∟С \u003d 2 x (∟a + ∟v + ∟С).

Biorąc pod uwagę fakt, że ilość kątów jest równa 180 stopni, można argumentować, że ∟a + ∟v + ∟c \u003d 180 °. Oznacza to, że ∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d 2 x 180 ° \u003d 360 °. Jeśli używana jest druga opcja, suma sześciu narożników będzie odpowiednio, ponad dwukrotnie. Oznacza to, że suma zewnętrznych narożników trójkąta będzie:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 \u003d 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) \u003d 720 °.

Trójkąt prostokątny

Jaka jest suma kątów prostokątnego trójkąta, które są ostre? Odpowiedź na to pytanie, ponownie wynika z twierdzenia, co twierdzi, że narożniki w trójkącie w wysokości wynoszą 180 stopni. I nasze stwierdzenie brzmi (własność) tak: w trójkąt prostokątny Ostre rogi w ilości dają 90 stopni. Udowodni, że jego prawdziwość.

Daj nam trójkąt KMN, którego ∟n \u003d 90 °. Konieczne jest udowodnienie, że ∟k + ∟m \u003d 90 °.

Tak więc zgodnie z twierdzeniem na sumie kątów ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 °. W naszym stanie mówi się, że ∟n \u003d 90 °. Okazuje się więc, ∟k + ∟m + 90 ° \u003d 180 °. Oznacza to, że ∟k + ∟m \u003d 180 ° - 90 ° \u003d 90 °. To właśnie powinniśmy udowodnić.

Oprócz powyższych właściwości trójkąta prostokątnego można dodać do następujących:

kąty leżące przeciwko cewetom są ostre;
trójkątny hipotenuse jest więcej niż ktokolwiek z cewek;
ilość cewek jest bardziej hipotenus
catat trójkąta, który leży naprzeciwko kąta 30 stopni, jest dwukrotnie mniej zagłębiający, to znaczy, to równa się jej połową.

Jako kolejna właściwość tego geometrycznego kształtu można wybrać twierdzenie Pitagora. Twierdzi, że w trójkącie z kątem 90 stopni (prostokątny) suma kwadratów cewet jest równa kwadratowi przeciwprosta.

Suma kątów podwyższonego trójkąta

Wcześniej powiedzieliśmy, że wielokąt z trzema wierzchołkami zawierającymi dwie równe boki są równie nazywane. Ta właściwość tego geometrycznego kształtu jest znana: kąty u podstawy są równe. Udowodni, że to udowadniamy.

Weź trójkąt KMN, który jest równie podłączony, książka jest jej podstawą.

Musimy udowodnić, że ∟k \u003d ∟ Powiedzmy więc, że ma bisektor naszego trójkąta KMN. Trójkąt ICA, biorąc pod uwagę pierwszy znak równości, jest równy trójkącie MNA. Mianowicie, zgodnie z warunkami, otrzymuje się, że KM \u003d NM, MA jest imprezą powszechną, ∟1 \u003d ∟2, ponieważ ma bisektorem. Korzystając z faktu równości tych dwóch trójkątów, można argumentować, że ∟k \u003d ∟. Więc twierdzenie jest udowodnione.

Ale jesteśmy zainteresowani tym, jaką suma narożników trójkąta (jest zrównoważona). Ponieważ w tym względzie nie ma własnych cech, zostanie odparony z twierdzenia o dyskusionym wcześniej. Oznacza to, że możemy twierdzić, że ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 ° lub 2 x ∟k + ∟m \u003d 180 ° (od ∟k \u003d ∟n). Nie udowodnimy tej nieruchomości, ponieważ twierdzenie o sumie rogów trójkąta zostało udowodnione wcześniej.

Oprócz właściwości trójkątnych narożników istnieją również takie ważne zarzuty:

który został pominięty dla bazy, jest jednocześnie mediana, kąt bisektora, który jest między równymi stronami, a także jej podstawą;
medianie (bisektor, wysokości), które zostały przeprowadzone po bokach takiego kształtu geometrycznego, są równe.

Trójkąt równoboczny

Nazywany jest również poprawny, jest to trójkąt, który wszystkie strony są równe. A zatem kąty są równe. Każdy z nich ma 60 stopni. Udowodni, że ta nieruchomość.

Przypuśćmy, że mamy trójkąt KMN. Wiemy, że km \u003d nm \u003d kn. Oznacza to, że zgodnie z właściwością kątów, znajdującym się u podstawy w równowadze trójkąt, ∟k \u003d ∟m \u003d ∟. Ponieważ według twierdzenia suma narożników trójkąta jest ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 °, a następnie 3 x ∟k \u003d 180 ° lub ∟k \u003d 60 °, ∟m \u003d 60 °, ∟N \u003d 60 °. W ten sposób udowodniono zatwierdzenie.

Jak widać z powyższego dowodu na podstawie twierdzenia, sumę kątów jako sumę kątów jakiegokolwiek innego trójkąta wynosi 180 stopni. Udowodnić, że ten teorety jest potrzebny.

Nadal są takie właściwości charakterystyczne dla trójkąta równobocznego:

Średni, wagon, wysokość w takiej geometrycznej figury zbiegają się, a ich długość jest obliczana jako (i x √3): 2;
jeśli opisujesz wokół tego kręgu wielokąta, jego promień będzie równy (i X √3): 3;
aby wejść do kręgu w trójkąt równoboczny, jego promień będzie (A X √3): 6;
obszar tego geometrycznego kształtu jest obliczany wzorem: (A2 x √3): 4.

Głupi trójkąt

Zgodnie z definicją jeden z jego narożników wynosi od 90 do 180 stopni. Ale biorąc pod uwagę fakt, że drugi kąt tego geometrycznego kształtu jest ostry, można stwierdzić, że nie przekraczają 90 stopni. W związku z tym twierdzenie o sumie narożników trójkąta działa przy obliczaniu kwoty narożników w głupim trójkącie. Okazuje się, że możemy bezpiecznie twierdzić, opierając się na wyżej wymienionym twierdzeniu, że suma kątów Stupid Triangle wynosi 180 stopni. Ponownie, ten teore nie wymaga ponownych dowodów.

Dowód

Zostawiać ABC " - arbitralny trójkąt. Wydajmy przez górę B. prosty, równoległy bezpośredni AC. (Ten bezpośredni jest nazywany Direct Euclidea). Uwaga na jej punkcie RE. więc punkty ZA. i RE. leżąc na różnych stronach od prostych PNE..Brzydki DBC. i ACB. równe jako wewnętrzne szafy kłamniowe, utworzone przez sprzedaż PNE. z równoległym prostym AC. i Bd.. Dlatego suma narożników trójkąta na wierzchołków B. i Z równy rogu Abd.Takie trzy kąty trójkąta są równe sumie narożników Abd. i Bac.. Ponieważ te kąty są wewnętrzne jednostronne dla równoległego AC. i Bd. pod SECH. Ab, Ich kwota wynosi 180 °. Twierdzenie jest udowodnione.

Następstwo

Od twierdzenia wynika z tego, że każdy trójkąt ma dwa kąt ostry. Rzeczywiście, stosując dowód od żadnego innego, zakładając, że trójkąt ma tylko jeden ostry kąt lub w ogóle nie ma ostrych rogów. Wtedy ten trójkąt ma co najmniej dwa kąt, z których każdy ma nie mniej niż 90 °. Suma tych kątów jest nie mniejsza niż 180 °. I nie jest to możliwe, ponieważ suma wszystkich narożników trójkąta wynosi 180 °. co było do okazania

Uogólnienie w teorii Simpleks

Gdzie -Gol między I i J są krawędzie prostoty.

Notatki

Na sferze suma narożników trójkąta zawsze przekracza 180 °, różnica nazywana jest ona z kulistym nadmiarem i jest proporcjonalna do obszaru trójkąta.
W płaszczyźnie Lobewavsky suma kątów trójkąta jest zawsze mniejsza niż 180 °. Różnica jest również proporcjonalna do obszaru trójkąta.

Zobacz też

Fundacja Wikimedia. 2010.

Oglądaj, co jest "twierdzeniem na sumie narożników kątów trójkąta" w innych słownikach:

Właściwość wielokątów w geometrii euklidowej: suma kątów N soli wynosi 180 ° (N2). Spis treści 1 Dowód 2 Uwaga ... Wikipedia

Twierdzenie Pytyagora jest jedną z podstawowych twierdzeń geometrii Euclidean, która ustanawia relacje między bokami trójkąta prostokątnego. Spis treści 1 ... Wikipedia

Twierdzenie Pytyagora jest jedną z podstawowych twierdzeń geometrii Euclidean, która ustanawia relacje między bokami trójkąta prostokątnego. Spis treści 1 Sformułowanie 2 Dowody ... Wikipedia

Cosino twierdzenie Uogólnienie twierdzenia Pitagorejskiego. Kwadratowa strona trójkąta równy sumie Kwadraty pozostałych dwóch boków bez podwójnego produktu tych boków na cosinusie kąta między nimi. Na płaski trójkąt imprezy A, B, C i kąt α ... ... Wikipedia

Termin ten ma inne wartości, patrz trójkąt (wartości). Trójkąt (w przestrzeni Euclidean) jest geometrycznym kształtem utworzonym przez trzy segmenty, które łączą trzy nie leżące na jednym prostym punkcie. Trzy punkty, ... ... Wikipedia

Standardowe oznaczenia trójkąt najprostszy wielokąt o 3 wierzchołków (kąt) i 3 boki; Część samolotu, ograniczona przez trzy kropki, nie leżące na jednym prostym, a trzy segmenty, para łączą te punkty. Wierzchołki trójkąta ... Wikipedia

Starożytny grecki matematyk. Pracował w Aleksandrii w III wieku. pne mi. Główne dzieło "początku" (15 książek) zawierające podstawy starożytnej matematyki geometrii podstawowej, teorii liczb, teoria ogólna Relacje i metoda określania obszarów i woluminów, ... ... Słownik encyklopedycki

- (zmarł między 275 a 270 pne. E.) Starożytnego greckiego matematyka. Informacje o czasie i miejscu jego narodzin nie osiągnęły nas, jednak wiadomo, że Euclidean mieszkał w Aleksandrii i kwitnących jego działalności spada w czasie panowania w Egipcie Ptolemya ... ... Duży słownik encyklopedycki

Geometria podobna do geometrii Euclidesa jest to, że określa ruch liczb, ale różniących się od geometrii euklidowej, w tym jeden z pięciu postulatów (drugi lub piąty) jest zastąpiony przez jego zaprzeczenie. Odmowa jednego z postulatów euklidowych ... ... Kolor encyklopedii.

Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180 0. Jest to jedna z podstawowych osi geometrii euklidu. To jest geometria, która studiuje uczniów. Geometria jest określona przez nauki, która badają formy przestrzenne prawdziwego świata.

Co skłoniło starożytnych Greków, aby rozwijać geometrię? Potrzeba pomiaru pól, łąk - sekcje powierzchni Ziemi. W tym samym czasie starożytni Grecy wzięli, że powierzchnia ziemi jest pozioma, mieszkanie. Uwzględniono pod uwagę to założenie, aksjomaty euklidu, w tym sumę wewnętrznych narożników trójkąta w 180 r.

Pod aksiaom oznacza przepis, który nie wymaga dowodów. Jak chcesz zrozumieć? Jest wyrażony przez życzenie, które pasuje do człowieka i dalej potwierdza ilustracje. Ale wszystko, co nie jest sprawdzone - fikcja, co nie jest w rzeczywistości.

Nabierający powierzchnia ziemi Poziome, starożytni Grecy automatycznie przyjęli kształt mieszkania Ziemi, ale jest inny - sferyczny. Nie ma żadnych poziomów płaszczyzn i linii prostych, ponieważ grawitacja zwraca się przestrzeń. Linie proste i płaszczyzny poziome są dostępne tylko w ludzkim mózgu.

Dlatego geometria euclidu, wyjaśniająca formy przestrzenne świata fikcyjnego, jest symulowrem - kopia, która nie ma oryginału.

Jeden z aksjomatu euklidu stwierdza, że \u200b\u200bsuma wewnętrznych narożników trójkąta wynosi 180 0. W rzeczywistości w prawdziwej przestrzeni skrętu lub na sferycznej powierzchni Ziemi, suma wewnętrznych kątów trójkąta jest zawsze większa niż 180 0.

Kłócimy się tak. Wszelkie południk na świecie przecinają się równikiem pod kątem 90 0. Aby uzyskać trójkąt, musisz odejść od południka do innego południka. Suma narożników trójkąta między południkami a bokiem równika wynosi 180 0. Ale nadal będzie róg bieguna. W rezultacie suma wszystkich kątów będzie więcej niż 180 0.

Jeśli strony przekraczają pod kątem 90 0, suma kątów wewnętrznych takiego trójkąta będzie 270 0. Dwóch południków, przecinających się równikiem pod kątem prostym w tym trójkącie, będzie równoległy do \u200b\u200bsiebie, a na słupie przecinający się ze sobą pod kątem 90 0, stanie się prostopadle. Okazuje się, że dwie równoległe linie na tej samej płaszczyźnie nie tylko przecinają się, ale mogę być prostopadły na słupie.

Oczywiście boki takiego trójkąta nie będą liniami prostymi, ale przez wypukłe, powtarzające się sferyczny kształt świata. Ale tylko taki prawdziwy świat przestrzeni.

Geometria prawdziwej przestrzeni, biorąc pod uwagę jego krzywiznę w środku XIX wieku. Opracował niemiecki matematyk B. RIMAN (1820-1866). Ale nie mówią po uczniów.

Tak więc geometria Euclidova, przyjęcie kształtu płaskiego z poziomą powierzchnią, która nie jest tak naprawdę nie, jest symulowana. Geometria NOOTIK - RIEMANN, która uwzględnia krzywiznę przestrzeni. Suma wewnętrznych narożników trójkąta w nim jest większa niż 180 0.

BADANIA

NA TEMAT:

"Jest zawsze sumą kątów trójkątnych równych 180˚?"

Wykonane:

Klasa 7b studenta

Mbou inzen ss №2

g. inza, region Ulyanovsk

Malyshev Jan.

doradca naukowy:

Bolshakova Lyudmila Yuryevna.

Spis treści

Wprowadzenie ................................................. ...................... ..3.

Główna część ............................................... .... 4.

szukać informacji

eksperymenty

wynik

Wniosek ................................................. ......12.

Wprowadzenie

W tym roku zacząłem uczyć się nowej geometrii przedmiotów. Ta nauka studiuje właściwości geometrycznych kształtów. Na jednej z lekcji studiowaliśmy twierdzenie o sumie narożników trójkąta. A za pomocą dowodu zawarliśmy: suma narożników trójkąta wynosi 180˚.

Myślałem, że istnieje takie trójkąty, które mają ilość narożników, nie będą 180˚?

Potem się ustawiłemCEL :

Aby dowiedzieć się, kiedy suma kątów trójkąta nie jest równa 180˚?

Umieść następujące czynnościZadania :

Zapoznaj się z historią geometrii;

Zapoznaj się z geometrią Euclidean, Roman, Lobechevsky;

Udowodnij sposób eksperymentalny, że suma kątów trójkąta może nie być równa 180˚.

GŁÓWNYM ELEMENTEM

Geometria powstała i rozwijała się w związku z potrzebami praktyczna działalność człowiek. Podczas budowy nawet najbardziej prymitywnych struktur, konieczne jest obliczenie, ile materiału pójdzie do konstrukcji, oblicz odległości między punktami w przestrzeni i narożników między samolotami. Rozwój handlu i nawigacji wymagały umiejętności poruszania się w czasie i przestrzeni.

Dla rozwoju geometrii wielu naukowców Starożytna Grecja. Pierwszym dowodem faktów geometrycznych jest związany z nazwąFalez Mileletsky.

Jedną z najbardziej znanych szkół był Pythagorean, nazwany na cześć jego założyciela, autorowi dowodów wielu twierdzeń,Pitagora.

Geometria, która jest badana w szkole, nazywana przez EuclideanEUCLIDA. - Starożytny grecki naukowiec.

Euklid mieszkał w Aleksandrii. Napisał słynną książkę "początek". Sekwencja i dotkliwość wykonali ten produkt ze źródłem wiedzy geometrycznej w wielu krajach na całym świecie w ponad dwóch tysiącleniach. Do niedawna prawie wszystkie podręczniki szkolne były w dużej mierze podobne do "początku".

Ale w XIX wieku wykazano, że aksjomaty eukledeas nie są uniwersalne i są poprawne w żadnych okolicznościach. Głównymi odkryciami systemu geometrycznego, w którym aksjomaty euklidu nie są poprawne, zostały wykonane przez Georga Riemanna i Nikolai Lobechevsky. Mówią o tym, jak o twórców geometrii nie-dziecko.

I tutaj, opierając się na naukach Euclid, Riemann i Lobewavsky, spróbujmy odpowiedzieć na pytanie: Czy ilość kątów trójkąta zawsze 180˚?

Eksperymenty

Rozważmy trójkąt z punktu widzenia geometriiEuclidea.

Aby to zrobić, weź trójkąt.

Wypełnij jego narożniki czerwonymi, zielonymi i niebieskimi kolorami.

Spędzimy prostą linię. Jest to szczegółowy kąt, to jest 180 °.

Wycofać narożniki naszego trójkąta i umieścić je do rozkładanego rogu. Widzimy, że suma trzech kątów wynosi 180˚.

Jednym z etapów rozwoju geometrii była geometria eliptycznaRiemann. Specjalny przypadek tej geometrii eliptycznej jest geometria na kuli. W geometrii Riemanna suma narożników trójkąta jest większa niż 180˚.

Więc to jest kula.

Wewnątrz tej kuli trójkąt jest utworzony przez Meridians i Equator. Weź ten trójkąt, pomaluj jego narożniki.

Wytnij je i zastosuj do linii. Widzimy, że suma trzech kątów jest większa niż 180˚.

W geometriiLobechevsky. Suma narożników trójkąta jest mniejsza niż 180˚.

Ta geometria jest brana pod uwagę na powierzchni hiperboloid (jest to wklęsła powierzchnia przypominająca siodło).

Przykłady paraboloidów można znaleźć w architekturze.

A nawet żetony "Pringle" - paraboloid.

Sprawdź sumę narożników na modelu hiperboloidowej paraboloidu.

Na powierzchni powstaje trójkąt.

Weź ten trójkąt, skrzywił rogi, wyciąć je i umieść je na linii prostej. Teraz widzimy, że suma trzech kątów jest mniejsza niż 180˚.

WYNIK

Dlatego udowodniliśmy, że suma narożników trójkąta nie zawsze jest równa 180˚.

Może to być więcej, a mniej.

Wniosek

Podsumowując, chcę powiedzieć, że interesuje się na tym temacie. Nauczyłem się wielu nowych rzeczy dla siebie i, w przyszłości chętnie poznałbym tej ciekawej geometrii.

ŹRÓDŁA INFORMACJI

ru.wikipedia.org.

e-osnova.ru.

vestishki.ru.

yun.moluch.ru.

Dowód:

Dan Trójkąt ABC.
Przez wierzchołek B będziemy wydać bezpośrednią DK równoległą do bazy AC.
Kąt CBK \u003d kąt C jako wewnętrzny bliżej pod równoległym DK i AC i zabezpieczającym BC.
Kąt DBA \u003d kąt bliżej wewnętrznej pod DK równoległą AC i zabezpieczającym AB. DBK kąt wdrożony i równy
Kąt DBK \u003d Kąt DBA + Kąt B + Anle CBK
Ponieważ szczegółowy kąt jest 180 ^ Circ, kąt CBK \u003d Anle C i Kąt DBA \u003d Kąt A, Dostaję 180 ^ Circ \u003d kąt A + Kąt B + Kąt C.

Twierdzenie jest udowodnione

Konsekwencje twierdzenia o sumie narożników trójkąta:

Suma ostrych zakątków trójkąta prostokątnego jest równa 90 °.
W równowadze trójkąt prostokątny każdy ostry kąt jest równy 45 °.
W trójkącie równobocznym każdy kąt jest równy 60 °.
W każdym trójkącie, albo wszystkie narożniki są ostre, albo dwa kąty są ostre, a trzecia jest głupia lub prosta.
Zewnętrzny kąt trójkąta jest równy sumie dwóch wewnętrznych kątów, nie związanych z nim.

Twierdzenie o trójkącie zewnętrznym

Zewnętrzny kąt trójkąta jest równy sumie dwóch pozostałych kątów trójkąta, nie sąsiadujących z tym kątem zewnętrznym.

Dowód:

Dan Triangle ABC, gdzie ALD jest kątem zewnętrznym.
Kąt bac + kąt ABC + Kąt BCA \u003d 180 ^ 0
Z równego rogu Kąt BCD + Kąt BCA \u003d 180 ^ 0
Otrzymać Kąt bcd \u003d kąt bac + kąt ABC.