15 sınav profili logaritma ile nasıl çözülür. Manov'un çalışması "sınavda logaritmik eşitsizlikler"

“LOGAritmik eşitsizliklerin çözümü (görev №15 PROFİL KULLANIMI). İNSAN HAYATININ FARKLI ALANLARINDA LOGARİTMALARIN UYGULANMASI "

Dersin özeti Maurice Kline'ın sözleri olacak. “Müzik ruhu yükseltebilir veya sakinleştirebilir, resim göze hoş gelebilir, şiir duyguları uyandırabilir, felsefe zihnin ihtiyaçlarını karşılayabilir, mühendislik insanların yaşamlarının maddi yönünü iyileştirebilir vematematik tüm bu hedeflere ulaşma yeteneğine sahiptir »

Şimdi başarı havasını yaratalım!

Aşağıdaki soruları cevaplayacağız:

Doğrulama uygulaması sınav kağıtları 2005'ten beri matematikte USE için bir denetçiyim ve okul çocukları için en büyük zorluğun aşkın eşitsizliklerin çözümü olduğunu gösteriyor, özellikle logaritmik eşitsizlikler Değişken bir taban ile.

Bu nedenle, ilk olarak, rasyonalizasyon yöntemini (Modenov ayrıştırma yöntemi) veya başka bir şekilde adlandırılan, karmaşık, özellikle logaritmik eşitsizlikleri daha basit bir rasyonel eşitsizlikler sistemine indirmenize izin veren Golubev çarpanlarını değiştirme yöntemini düşünmeyi öneriyorum. .

Örneğin, eşitsizliği çözerken
Sınavın sınav görevlilerine önerilen değerlendirme versiyonunda aşağıdaki çözüm sunulmuştur:

Rasyonelleştirme yöntemini kullanmanızı öneririm:

Birinci eşitsizliği aralık yöntemiyle çözerek ve elde ettiğimizi dikkate alarak

Aşağıdaki eşitsizliğin çözümü

Ben böyle gördüm:

Ve öğrencilere bazen grafiksel bir çözümün daha basit olduğunu açıkladım.

Sonuç olarak, bu eşitsizliğin çözümü şu şekildedir:

eşitsizliği düşünün

Bu eşitsizliği çözerek, formülü kullanabiliriz.

ama üsse gitmek bir sayıdır ve kesinlikle herhangi biri:

ve elde edilen eşitsizliği aralık yöntemiyle çözün:

ODZ:

ve elde edilen eşitsizliği aralık yöntemiyle çözün

ve aldığımız ODZ'yi dikkate alarak:

Ve bir sonraki eşitsizlik türünü çözen öğrenciler, cevabı yazarken genellikle çözümlerden birini kaybederler. Buna kesinlikle dikkat etmelisiniz.

ODZ'yi bulalım:

ve değiştirme işlemini gerçekleştirin: şunu elde ederiz:

Dikkatinizi, genellikle bunu çözen öğrencilerin, sonuçta ortaya çıkan eşitsizliğin paydayı attığı ve böylece çözümlerden birini kaybettiği gerçeğine çekiyorum:

ODZ'yi hesaba katarak şunları elde ederiz: ve

Ve dersin sonunda, öğrencilere logaritmaların çeşitli alanlarda uygulanması hakkında ilginç bilgiler sunuyorum.

Zamanla değişen süreçlerin olduğu her yerde logaritma kullanılır.

Logaritmalar, tüm bilim dallarında kullanılan matematiksel bir kavramdır: kimya, biyoloji, fizik, coğrafya, bilgisayar bilimi ve diğerleri, ancak logaritmaların en geniş uygulaması ekonomide bulunur.

Makale, 15 numaralı görevlerin analizine ayrılmıştır. profil sınavı 2017 için matematikte. Bu görevde öğrencilere, çoğunlukla logaritmik olan eşitsizlikleri çözmeleri önerilir. Her ne kadar gösterge olabilir. Bu makale, logaritmanın temelinde bir değişken içerenler de dahil olmak üzere, logaritmik eşitsizlik örneklerinin bir analizini sağlar. Tüm örnekler alıntıdır açık banka USE'nin matematikteki görevleri (profil), bu tür eşitsizlikler sınavda muhtemelen görev 15 olarak karşımıza çıksın. profilin bir parçası sınavda daha fazla puan almak için matematikte KULLANIN.

Matematikte profil sınavından 15 görevin analizi

Matematikte (profil) 15 KULLANIM görevlerinde logaritmik eşitsizliklerle sıklıkla karşılaşılmaktadır. Logaritmik eşitsizliklerin çözümü, alanın tanımıyla başlar. kabul edilebilir değerler... Bu durumda, her iki logaritmanın tabanında bir değişken yoktur, yalnızca görevi büyük ölçüde basitleştiren 11 sayısı vardır. Bu nedenle, burada sahip olduğumuz tek sınırlama, logaritmanın işareti altındaki her iki ifadenin de pozitif olmasıdır:

Başlık = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Sistemdeki ilk eşitsizlik kare eşitsizliğidir. Çözmek için, ayrıştırmaktan gerçekten zarar gelmezdi. Sol Taraf faktörler tarafından. Bence biliyorsun ki herhangi biri kare üç terimli türünün aşağıdaki gibi çarpanlara ayrılmıştır:

nerede ve denklemin kökleridir. Bu durumda katsayı 1'dir (öndeki sayısal katsayıdır). Katsayı da 1'dir ve katsayı bir kesişme noktasıdır, -20'dir. Üç terimlinin kökleri en kolay Vieta teoremi tarafından belirlenir. Verdiğimiz denklem, yani köklerin toplamı, zıt işaretli katsayıya, yani -1'e eşit olacak ve bu köklerin çarpımı, katsayıya, yani -20'ye eşit olacaktır. Köklerin -5 ve 4 olacağını tahmin etmek kolaydır.

Şimdi eşitsizliğin sol tarafı çarpanlara ayrılabilir: title = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} x-5 ve 4 noktalarında. Bu nedenle, eşitsizliğin istenen çözümü bir aralıktır. Burada yazılanları anlamayanlar için bu andan itibaren videoda detayları görebilirsiniz. Orada ayrıca sistemin ikinci eşitsizliğinin nasıl çözüldüğüne dair ayrıntılı bir açıklama bulacaksınız. Çözülüyor. Üstelik cevap, sistemin birinci eşitsizliğiyle tamamen aynıdır. Yani, yukarıda yazılan küme, kabul edilebilir eşitsizlik değerleri aralığıdır.

Böylece, çarpanlara ayırma dikkate alındığında, orijinal eşitsizlik şu şekli alır:

Formülü kullanarak, ilk logaritmanın işareti altındaki ifadenin kuvvetine 11 getiriyoruz ve ikinci logaritmayı eşitsizliğin sol tarafına kaydırırken işaretini tersiyle değiştiriyoruz:

İndirgemeden sonra şunu elde ederiz:

Fonksiyonun artmasından kaynaklanan son eşitsizlik, eşitsizliğe eşdeğerdir. , çözümü aralık olan ... İzin verilen eşitsizlik değerleri aralığı ile kesişmeye devam ediyor ve bu, tüm görevin cevabı olacak.

Yani, göreve istenen cevap:

Bu görevi çözdük, şimdi matematikteki (profil) 15 USE görevinin bir sonraki örneğine dönüyoruz.

Bu eşitsizliğin kabul edilebilir değer aralığını belirleyerek çözüme başlıyoruz. Her logaritmanın tabanında pozitif sayı, 1'e eşit değildir. Logaritma işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olmalıdır. Kesrin paydasında sıfır olmamalıdır. Son koşul buna eşdeğerdir, çünkü yalnızca aksi takdirde paydadaki her iki logaritma da yok olur. Tüm bu koşullar, aşağıdaki eşitsizlik sistemi tarafından tanımlanan bu eşitsizliğin kabul edilebilir değerlerinin aralığını belirler:

Başlık = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Geçerli değerler aralığında, eşitsizliğin sol tarafını basitleştirmek için logaritmalar için dönüşüm formüllerini kullanabiliriz. formülü kullanma paydadan kurtul:

Şimdi sadece temel logaritmalarımız var. Bu zaten daha uygun. Daha sonra, zafere değer ifadeyi aşağıdaki forma getirmek için formülün yanı sıra formülü de kullanırız:

Hesaplamalarda kabul edilebilir değerler aralığında olanı kullandık. Değiştirmeyi kullanarak şu ifadeye ulaşırız:

Bir tane daha değiştirme kullanıyoruz:. Sonuç olarak şu sonuca varıyoruz:

Böylece yavaş yavaş orijinal değişkenlere dönüyoruz. İlk önce değişkene:

KULLANIMDAKİ LOGARİTMİK EŞİTSİZLİKLER

Sechin Mihail Aleksandroviç

Kazakistan Cumhuriyeti "Arayıcı" öğrenci gençliğinin Küçük Bilimler Akademisi

MBOU "Sovetskaya orta okulu No. 1", 11. sınıf, kasaba. Sovetsky Sovetsky bölgesi

Gunko Lyudmila Dmitrievna, MBOU "Sovyet Okulu №1" öğretmeni

Sovyet bölgesi

Amaç: standart olmayan yöntemler kullanarak logaritmik eşitsizlikleri çözme mekanizmasının araştırılması C3, tanımlama ilginç gerçekler logaritma.

Çalışma konusu:

3) Standart olmayan yöntemler kullanarak belirli logaritmik eşitsizlikleri C3 çözmeyi öğrenin.

Sonuçlar:

İçerik

Giriş …………………………………………………………………… .4

Bölüm 1. Arkaplan ………………………………………………… ... 5

Bölüm 2. Logaritmik eşitsizliklerin toplanması …………………………… 7

2.1. Eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralıklar yöntemi ……………… 7

2.2. Rasyonelleştirme yöntemi ………………………………………………… 15

2.3. Standart olmayan ikame ……………… ................................................ .. ..... 22

2.4. Tuzak Görevleri ………………………………………………… 27

Sonuç ……………………………………………………………… 30

Edebiyat……………………………………………………………………. 31

Tanıtım

11. sınıftayım ve bir üniversiteye girmeyi planlıyorum. profil konusu matematiktir. Bu nedenle, C bölümünün problemleriyle çok çalışıyorum. C3 görevinde, standart olmayan bir eşitsizliği veya genellikle logaritmalarla ilişkili bir eşitsizlikler sistemini çözmeniz gerekiyor. Sınava hazırlanırken, C3'te sunulan sınav logaritmik eşitsizliklerini çözmek için yöntem ve tekniklerin eksikliği sorunuyla karşılaştım. Öğrenilen yöntemler Okul müfredatı bu konuda, C3 görevlerini çözmek için bir temel sağlamayın. Matematik öğretmeni beni kendi rehberliğinde C3 görevleriyle çalışmaya davet etti. Ek olarak, şu soruyla ilgilendim: Hayatımızda logaritmalar var mı?

Bu düşünceyle konu seçilmiştir:

"Sınavda logaritmik eşitsizlikler"

Amaç: Logaritmanın ilginç gerçeklerini ortaya çıkaran standart olmayan yöntemler kullanarak C3 problemlerini çözme mekanizmasının araştırılması.

Çalışma konusu:

1) Bul gerekli bilgi logaritmik eşitsizlikleri çözmek için standart olmayan yöntemler hakkında.

2) Logaritmalar hakkında daha fazla bilgi bulun.

3) Çözmeyi öğrenin özel görevler Standart olmayan yöntemler kullanarak C3.

Sonuçlar:

Pratik önemi, C3 problemlerini çözmek için aparatın genişletilmesinde yatmaktadır. Bu materyal bazı derslerde çember yapmak için kullanılabilir. müfredat dışı etkinlikler matematik.

Proje ürünü “Çözümlü Logaritmik C3 eşitsizlikleri” koleksiyonu olacaktır.

Bölüm 1. Arka Plan

16. yüzyılda, öncelikle astronomide, yaklaşık hesaplamaların sayısı hızla arttı. Aletlerin geliştirilmesi, gezegen hareketlerinin incelenmesi ve diğer işler, bazen uzun yıllar boyunca devasa hesaplamalar gerektiriyordu. Astronomi, tamamlanmayan hesaplamalarda boğulma tehlikesiyle karşı karşıyaydı. Diğer alanlarda, örneğin sigortacılıkta zorluklar ortaya çıktı, bunun için bileşik faiz tablolarına ihtiyaç duyuldu. Farklı anlamlar yüzde. Asıl zorluk çarpma, bölme idi. çok basamaklı sayılar, özellikle trigonometrik değerler.

Logaritmaların keşfi, 16. yüzyılın sonunda ilerlemelerin iyi bilinen özelliklerine dayanıyordu. Üyeler arası iletişim hakkında geometrik ilerleme q, q2, q3, ... ve aritmetik ilerleme göstergeleri 1, 2, 3, ... "Mezmur" Arşimet'te dedi. Bir diğer ön koşul, derece kavramının negatif ve kesirli göstergelere genişletilmesiydi. Birçok yazar, çarpma, bölme, bir kuvvete yükseltme ve bir kökün çıkarılması işlemlerinin aritmetikte - aynı sırada - toplama, çıkarma, çarpma ve bölmenin üstel olarak karşılık geldiğine dikkat çekmiştir.

Bu, bir üs olarak logaritmanın arkasındaki fikirdi.

Logaritma doktrininin gelişim tarihinde birkaç aşama geçti.

Aşama 1

Logaritmalar, bağımsız olarak en geç 1594'te İskoç baron Napier (1550-1617) ve on yıl sonra İsviçreli tamirci Burghi (1552-1632) tarafından bağımsız olarak icat edildi. Her ikisi de, bu soruna farklı şekillerde yaklaşsalar da, aritmetik hesaplamaların yeni bir uygun yolunu vermek istediler. Napier, logaritmik fonksiyonu kinematik olarak ifade etti ve böylece yeni alan fonksiyon teorisi. Burghi, ayrık ilerlemeleri dikkate alma temelinde kaldı. Ancak, her ikisi için de logaritmanın tanımı modern olana benzemiyor. "Logaritma" (logaritmus) terimi Napier'e aittir. Yunanca kelimelerin birleşiminden ortaya çıktı: logos - "ilişki" ve ariqmo - "ilişki sayısı" anlamına gelen "sayı". Başlangıçta, Napier farklı bir terim kullandı: sayısal yapaylar - sayısal doğal sayıların aksine "yapay sayılar" - "doğal sayılar".

1615'te, Londra'daki Gresch College'da matematik profesörü olan Henry Briggs (1561-1631) ile yaptığı bir konuşmada Napier, birin logaritması için sıfırı ve on'un logaritması için 100'ü almayı önerdi. aynı şey, sadece 1. Ondalık logaritmalar bu şekilde ortaya çıktı ve ilk logaritmik tablolar yazdırıldı. Daha sonra Hollandalı kitapçı ve matematikçi Andrian Flakk (1600-1667) Briggs tablolarını tamamladı. Napier ve Briggs, logaritmalara herkesten önce gelmelerine rağmen, tablolarını diğerlerinden daha sonra yayınladılar - 1620'de. Kütük ve Kütük işaretleri 1624 yılında I. Kepler tarafından tanıtıldı. "Doğal logaritma" terimi 1659'da Mengoli tarafından tanıtıldı, ardından 1668'de N. Mercator ve Londra öğretmeni John Speidel, "Yeni Logaritmalar" başlığı altında 1'den 1000'e kadar olan sayıların doğal logaritma tablolarını yayınladı.

Rusça'da ilk logaritmik tablolar 1703'te yayınlandı. Ancak tüm logaritmik tablolarda hesaplamada hatalar yapılmıştır. İlk hatasız tablolar, Alman matematikçi K. Bremiker (1804-1877) tarafından işlenerek 1857'de Berlin'de yayınlandı.

2. aşama

Logaritma teorisinin daha da geliştirilmesi, analitik geometrinin daha geniş bir uygulaması ve sonsuz küçükler hesabı ile ilişkilidir. Bir eşkenar hiperbolün karesi ile doğal logaritma arasında bir bağlantı kurulması o zamana kadar uzanır. Bu dönemin logaritma teorisi, bir dizi matematikçinin adıyla ilişkilidir.

Kompozisyonda Alman matematikçi, astronom ve mühendis Nikolaus Mercator

"Logaritmoloji" (1668), ln'nin (x + 1) içindeki genişlemesini veren bir dizi verir.

x'in kuvvetleri:

Bu ifade, elbette, d, ... işaretlerini kullanmamasına rağmen, daha hantal semboller kullanmasına rağmen, düşüncesinin çizgisine tam olarak karşılık gelir. Logaritmik serilerin keşfiyle, logaritma hesaplama tekniği değişti: sonsuz seriler kullanılarak belirlenmeye başlandı. 1907-1908'de okunan "En Yüksek Bakış Açısından Temel Matematik" derslerinde F. Klein, logaritma teorisini oluşturmak için formülün bir başlangıç ​​noktası olarak kullanılmasını önerdi.

Sahne 3

Tersinin bir fonksiyonu olarak logaritmik bir fonksiyonun tanımı

üstel, belirli bir bazın derecesinin bir göstergesi olarak logaritma

hemen formüle edilmedi. Leonard Euler (1707-1783) tarafından yazılan yazı

Sonsuz Küçüklüğün Analizine Giriş (1748)

logaritmik fonksiyon teorisinin gelişimi. Böylece,

Logaritmaların ilk tanıtılmasından bu yana 134 yıl geçti

(1614'ten itibaren) matematikçiler tanıma gelmeden önce

şimdi okul kursunun temeli olan logaritma kavramı.

Bölüm 2. Logaritmik eşitsizliklerin toplanması

2.1. Eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralıklar yöntemi.

eşdeğer geçişler

a> 1 ise

0 ise < а < 1

Genelleştirilmiş aralık yöntemi

Bu yöntem, hemen hemen her türden eşitsizliği çözmek için en çok yönlü yöntemdir. Çözüm şeması şöyle görünür:

1. Eşitsizliği, fonksiyonun sol tarafta bulunduğu forma indirgeyin.
, ve sağda 0.

2. Fonksiyonun tanım alanını bulun
.

3. Fonksiyonun sıfırlarını bulun
, yani, denklemi çözmek için
(ve bir denklemi çözmek genellikle bir eşitsizliği çözmekten daha kolaydır).

4. Sayı doğrusunda fonksiyonun tanım kümesini ve sıfırlarını çizin.

5. Fonksiyonun işaretlerini belirleyin
elde edilen aralıklarla

6. Fonksiyonun gerekli değerleri aldığı aralıkları seçin ve cevabı yazın.

Örnek 1.

Çözüm:

Boşluk yöntemini uygulayalım

nerede

Bu değerler için logaritmaların işareti altındaki tüm ifadeler pozitiftir.

Yanıt vermek:

Örnek 2.

Çözüm:

1 inci yol . ODZ eşitsizlik ile tanımlanır x> 3. Bunun için logaritmanın alınması x taban 10, elde ederiz

Son eşitsizlik, ayrıştırma kuralları uygulanarak çözülebilir, yani. Faktörlerin sıfır ile karşılaştırılması. Ancak bu durumda fonksiyonun sabitlik aralıklarını belirlemek kolaydır.

bu nedenle aralık yöntemi uygulanabilir.

İşlev F(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ süreklidir x> 3 ve noktalarda kaybolur x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Böylece fonksiyonun sabitlik aralıklarını tanımlarız. F(x):

Yanıt vermek:

2. yol . Aralıklar yönteminin fikirlerini doğrudan orijinal eşitsizliğe uygulayalım.

Bunu yapmak için, ifadelerin a B - a c ve ( a - 1)(B- 1) bir işareti var. O zaman eşitsizliğimiz x> 3 eşitsizliğe eşdeğerdir

veya

Son eşitsizlik, aralıklar yöntemiyle çözülür.

Yanıt vermek:

Örnek 3.

Çözüm:

Boşluk yöntemini uygulayalım

Yanıt vermek:

Örnek 4.

Çözüm:

2'den beri x 2 - 3x+ 3> 0 tüm gerçekler için x, sonra

İkinci eşitsizliği çözmek için aralık yöntemini kullanırız.

Birinci eşitsizlikte yer değiştirmeyi yaparız.

sonra 2y 2 eşitsizliğine ulaşırız - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y-0,5 eşitsizliğini sağlayan< y < 1.

Nereden, ne zamandan beri

eşitsizliği elde ederiz

bunlarla gerçekleştirilen x hangi 2 için x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Şimdi, sistemin ikinci eşitsizliğinin çözümünü dikkate alarak, sonunda

Yanıt vermek:

Örnek 5.

Çözüm:

Eşitsizlik bir dizi sisteme eşdeğerdir

veya

Aralık yöntemini uygulayalım veya

Yanıt vermek:

Örnek 6.

Çözüm:

Eşitsizlik sisteme eşdeğerdir

İzin vermek

sonra y > 0,

ve ilk eşitsizlik

sistem şeklini alır

veya genişleterek

faktörlere göre kare üç terimli,

Aralıklar yöntemini son eşitsizliğe uygulayarak,

çözümlerinin koşulu sağladığını görüyoruz. y> 0 hepsi olacak y > 4.

Böylece, orijinal eşitsizlik sisteme eşdeğerdir:

Yani, eşitsizliğe çözümlerin hepsi

2.2. Rasyonelleştirme yöntemi.

Daha önce eşitsizliği rasyonelleştirme yöntemi çözülmüyordu, bilinmiyordu. Bu, "yeni modern etkili yöntemüstel ve logaritmik eşitsizliklerin çözümleri "(S. I. Kolesnikova kitabından alıntı)
Ve öğretmen onu tanıyor olsa bile, bir endişe vardı - ama biliyor mu? sınav uzmanı, neden okulda vermiyorlar? Öğretmenin öğrenciye "Nereden aldın? Otur - 2." dediği durumlar oldu.
Yöntem şimdi yaygın olarak tanıtılmaktadır. Ve uzmanlar için var yönergeler bu yöntemle ilgili ve "En eksiksiz sürümler standart seçenekler... "çözüm C3 bu yöntemi kullanır.
MÜKEMMEL YÖNTEM!

"Sihirli masa"

diğer kaynaklarda

Eğer a> 1 ve b> 1, ardından a b> 0 ve (a -1) (b -1)> 0'ı günlüğe kaydedin;

Eğer a> 1 ve 0

0 ise<a<1 и b >1, ardından a b'yi günlüğe kaydedin<0 и (a -1)(b -1)<0;