Formülün Geom ilerlemesi. Geometrik ilerleme
Aritmetik ile birlikte geometrik progresyon, önemlidir yanında Sayısal9. sınıfta Cebirin okul yılında incelenmiştir. Bu yazıda geometrik ilerlemenin paydaşını ve değerinin özelliklerini nasıl etkilediğini göz önünde bulundurun.
İlerleme Geometrik Tanımı
Başlamak için, bunun tanımını veriyoruz. sayısal sıra. Geometriklerin ilerlemesi, ilk elemanının tutarlı bir şekilde çarpılması, önemli bir sayı için önemli bir sayı ile oluşturulan bu tür rasyonel sayı olarak adlandırılır.
Örneğin, bir satırdaki sayılar 3, 6, 12, 24, ... geometrik bir ilerlemedir, çünkü eğer 3 (ilk eleman) 2'ye kadar çarpınsa, sonra 6 alırsak 6 yaş alır. 12 vb.
Düşüncüyle ilgili dizinin üyeleri, AI sembolünü belirtmek için gelenekseldir, burada ben satırdaki öğe numarasını gösteren bir tamsayı olduğum.
Yukarıdaki ilerlemenin tanımı, matematiğin dilinde aşağıdaki gibi yazılabilir: A \u003d BN-1 * A1, burada B adresidir. Bu formülü kolayca göz atın: Eğer n \u003d 1, daha sonra B1-1 \u003d 1 ise ve A1 \u003d A1 elde ediyoruz. Eğer n \u003d 2, o zaman bir \u003d B * A1 ise, tekrar değerlendirilen sayı sayısının tanımına gelir. N'nin büyük değerleri için benzer argümanlar devam edilebilir.
Geometrik ilerlemenin paydası
B sayısı, hangi karakterin tüm sayısal seri olacağını tam olarak belirler. Bakinator B pozitif, negatif olabilir ve ayrıca bir veya daha az bir değere sahiptir. Listelenen tüm seçenekler farklı dizilere yol açar:
- b\u003e 1. Artan sayıda rasyonel sayı var. Örneğin, 1, 2, 4, 8, ... A1 elemanı negatif ise, tüm sekans sadece modül tarafından artacaktır, ancak sayıların işaretiyle azaltmak için.
- b \u003d 1. Genellikle bu dava, normal sayıda aynı rasyonel sayı var olduğundan ilerleme kaydedilmemektedir. Örneğin, -4, -4, -4.
Toplam için formül
Dikkate alınmadan önce özel görevler Dikkate alınan ilerleme türünün payını kullanarak, ilk N öğelerinin miktarı için önemli bir formül getirmek gerekir. Formül formu: SN \u003d (BN - 1) * A1 / (B - 1).
İlerleme üyelerinin özyinelemeli sırasını düşünürseniz, bu ifadeyi kendiniz alabilirsiniz. Yukarıdaki formülde, keyfi sayıda üyenin miktarını bulmak için sadece birinci elemanı ve paydayı bilmek yeterli olduğunu da unutmayın.
Sonsuz azalan sekans
Yukarıda, temsil ettiği bir açıklama yapıldı. Şimdi, SN'nin formülünü bilmek, bu sayısal satıra uyguluyoruz. Herhangi bir sayıdan bu yana, modülün içine yerleştirildiğinde 1'i geçmeyen yüksek dereceler sıfıra, yani, B∞ \u003d\u003e 0, eğer -1 ise
Fark (1 - b) her zaman pozitif olacağından, payderinin değerlerinden bağımsız olarak, geometrik S∞'nın sonsuz şekilde ilerlemesinin azalması miktarının işareti, ilk elemanının A1'in işareti ile benzersiz bir şekilde belirlenir.
Şimdi belirli numaralarda kazanılan bilginin nasıl uygulanacağını gösterdiğimiz birkaç görevi düşünün.
Görev numarası 1. Bilinmeyen progresyon ve miktar unsurlarının hesaplanması
İlerleme 2'nin geometrik, paynatorunun ilerlemesi ve ilk elemanı 3, 7. ve 10. üyelerine eşittir ve yedi ilk elementinin toplamı nedir?
Sorunun durumu oldukça basittir ve yukarıdaki formüllerin doğrudan kullanımını ifade eder. Böylece, öğeyi N numarasıyla hesaplamak için, A \u003d BN-1 * A1 ifadesini kullanıyoruz. 7. element için: A7 \u003d B6 * A1, bilinen verileri yerine getiririz: A7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. Aynı şekilde 10. üye için yapılır: A10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.
Tutar için bilinen formülü kullanıyoruz ve bu değerin 7. ilk unsurları için bu değeri belirliyoruz. Biz var: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.
Görev numarası 2. İlerleme keyfi unsurların miktarının belirlenmesi
Let -2, BN-1 * 4'ün geometrik ilerlemesinde ilerleme payına eşit olmalıdır, burada n bir tamsayıdır. 5'inciden bu dizinin 10. elementinin 10. elementine kadar belirlemek gerekir.
Sorun doğrudan bilinen formülleri kullanarak çözülmeyebilir. 2 farklı yöntemle çözülebilir. Konunun sunumunun eksiksizliği için ikisini de getiriyoruz.
Yöntem 1. Bunun fikri basit: İlk üyelerin ilgili iki toplamını hesaplamanız gerekir ve ardından birinden duş. Daha küçük bir miktar hesaplayın: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Şimdi büyük bir miktar hesaplıyoruz: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. İkinci ekspresyonda sadece 4 terimin toplanmadığını, 5'inci zaten sorun sorunu altında hesaplamak istediğiniz miktara dahil olduğunu unutmayın. Son olarak, farkı alırız: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.
Yöntem 2. Numaraları değiştirmeden ve sayılmadan önce, hisse altındaki serinin M ve N üyeleri arasındaki miktar için bir formül elde etmek mümkündür. Biz kesinlikle yöntem 1 ile aynı yapıyoruz, sadece önce miktarın sembol sunumu ile ilk önce çalışıyoruz. Biz var: SNM \u003d (BN - 1) * A1 / (B - 1) - (BM-1 - 1) * A1 / (B - 1) \u003d A1 * (BN - BM-1) / (B - 1) . Elde edilen ifadede, bilinen sayıları değiştirebilir ve nihai sonucu hesaplayabilirsiniz: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.
Görev # 3. Payın nedir?
A1 \u003d 2 olsun, sonsuz miktarının 3'ü olması koşuluyla geometrik ilerlemesinin paydaşını bulsun ve bunun azalan bir sayı sayısının olduğu bilinmektedir.
Görevin durumuna göre, hangi formülün çözmek için kullanılması gerektiğini tahmin etmek zor değildir. Tabii ki, sonsuz şekilde azalmanın ilerlemesinin toplamı için. Biz var: s∞ \u003d a1 / (1 - b). Nerede paydayı ifade eder: B \u003d 1 - A1 / S∞. Bilinen değerlerin yerine geçmesi ve istenen sayıyı elde etmek için kalır: B \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 veya -0.333 (3). Bu tür bir sekans için, B modülü 1'in ötesine geçmemesi gerektiği gibi, bu sonucu nitel olarak kontrol edebilirsiniz.
Görev numarası 4. Bir dizi sayının restorasyonu
Örneğin, sayısal serilerin 2 elemanının, örneğin 60'a eşit 30 ve 10.'ya eşittir. Tüm aralığı bu verilere göre geri yüklemek, geometrik ilerlemenin özelliklerini yerine getirdiğini bilerek bu verilere göre geri yüklemek gerekir.
Görevi çözmek için, her iyi bilinen her bir üye için karşılık gelen bir ifadeyi başlatmak gerekir. Biz var: A5 \u003d B4 * A1 ve A10 \u003d B9 * A1. Şimdi ikinci ifadeyi birinciye böldük, elde ettik: A10 / A5 \u003d B9 * A1 / (B4 * A1) \u003d B5. Buradan, payda, üyelerin görevinin bilinen ilişkisinden beşinci derecenin kökenini belirleyerek, B \u003d 1,148698. Elde edilen sayı, bilinen eleman için ifadelerden biriyle ikame edilir, elde ediyoruz: A1 \u003d A5 / B4 \u003d 30 / (1.148698) 4 \u003d 17,230,4966.
Böylece, BN'nin ilerlemesinin paydaşına ve BN-1 * 17.2304966 \u003d AN, B \u003d 1,148698'in geometrik ilerlemesi olanı bulduk.
Geometrik'in ilerlemesi nerede?
Uygulamada bu sayısal serinin kullanımı için değilse, çalışması tamamen teorik ilgiye indirgenecektir. Ancak bu uygulama var.
Aşağıdakiler en ünlü 3 örnektir:
- Zeno'yun paradoksunun, intexterous aşillerinin yavaş bir kaplumbağa ile yakalanamadığı, sonsuz sayı dizilerini azaltma kavramı kullanılarak çözülür.
- Eğer satranç tahtasının her bir hücresinde buğday taneleri varsa, bu nedenle 1. hücrede, 2. - 2, 3. - 3 ve benzeri üzerinde 1 tane koyun, o zaman tüm tahtaların hücrelerini doldurmak için 18446744073709551615'e ihtiyaç duyulacak taneler!
- "Hanoi Kulesi" oyunda, diskleri bir çubuktan diğerine yeniden düzenlemek için, 2N - 1 işlemlerini gerçekleştirmek için gereklidir, yani kullanılan disk sayısındaki geometrik ilerlemedeki numaraları artmaktadır.
Kiev Street, 16 0016 Ermenistan, Yerevan +374 11 233 255
Geometrik İlerleme yeni tür Tanışmamız gereken sayısal sekans. Başarılı bir tanıdık için en azından bilmiyorum ve anlamıyor. Sonra geometrik ilerlemede sorun olmaz.)
Ne geometrik ilerleme? Geometrik ilerleme kavramı.
Gezi, her zamanki gibi, temelden başlıyoruz. Bitmemiş bir sayı dizisi yazıyorum:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Deseni yakalayabilir ve hangi numaraların daha ileri gideceğini söyleyebilir misiniz? Biber açıktır, daha sonra sayılar 100.000, 10.000.000 ve benzeridir. Zihinsel gerilim olmadan bile, her şey açık, çünkü gerçekten?)
Tamam. Başka bir örnek. Bu diziyi yazıyorum:
1, 2, 4, 8, 16, …
16 numarayı takiben, hangi numaraların daha ileri gideceğini söyleyebilecek sekizinci Sıra üyesi? 128 numara olacağını fark ettiyseniz, çok iyidir. Yani, anlayışın yarısı anlam ve anahtar anlar Geometrik progresyon zaten yapıldı. Daha fazla büyüyebilirsin.)
Ve şimdi tekrar duyumlardan sıkı matematiğe gidin.
Geometrik ilerlemenin önemli noktaları.
Anahtar noktası numarası 1.
Geometrik İlerleme sayılar dizisi. İlerleme gibi. Hiçbir şey cunning. Sadece bu sıra düzenlenmiştir farklı şekilde.Bu nedenle, doğal olarak ve başka bir isim giyer, evet ...
Anahtar nokta sayısı 2.
İkinci anahtar noktasıyla, stylming sorusu olacaktır. Biraz geri dönelim ve aritmetik ilerlemenin kilit özelliğini hatırlayalım. İşte burada: her üye öncekiden farklıdır aynı büyüklükte.
Geometrik progresyon için benzer bir anahtar özelliği formüle etmek mümkün müdür? Biraz düşünün ... verilen örneklere bir göz atın. Tahmin? Evet! Geometrik progresyonda (herhangi biri!) Herkes öncekinden farklı aynı sayıda.Her zaman!
İlk örnekte, bu bir düzinedir. Sıranın bir üyesi ne bir öncekinden daha fazla almaz on kere.
İkinci örnekte, bu bir iki kez: her üye öncekinden daha fazlası iki defa.
Geometrik ilerlemenin bu anahtardır ve aritmetikten farklıdır. Aritmetik İlerlemede, her bir sonraki üye elde edilir katılma Önceki üyeye aynı büyüklük. Ve burada - Çarpma Aynı büyüklük için önceki üye. Bütün fark bu.)
Anahtar noktası numarası 3.
Bu anahtar noktası, aritmetik ilerleme için tamamen aynıdır. Yani: geometrik ilerlemenin her üyesi yerindedir.Aritmetik ilerlemedeki ve yorumlarda olduğu gibi tam olarak tam anlamıyla, gereksiz olduğunu düşünüyorum. Birinci üye var, yüz ilk var vb. En az iki üyeyi yeniden düzenleme - düzenlilik (ve birlikte ve geometrik ilerlemeyle birlikte) kaybolacaktır. Herhangi bir mantık olmadan sadece bir sayı sırası olacaktır.
Bu kadar. Bu tüm geometrik ilerlemenin noktası.
Terimler ve atamalar.
Ancak, şimdi geometrik ilerlemenin anlamı ve kilit anlarıyla anlaşılan, teoriye geçmek mümkündür. Ve aksi takdirde, anlamı anlamadan hangi teori doğrudur?
Geometrik İlerlemeyi Nasıl Instagram Nasıl Yapılır?
Geometrik progresyon nasıl kaydedilir? genel? Sorun değil! Progresyonun her bir üyesi de mektup şeklinde yazılır. Sadece aritmetik ilerleme için, genellikle kullanılan mektup "fakat"Geometrik - Gaga için "B". Üye numarası, her zamanki gibi, belirtilir aşağıdaki dizin. İlerleme üyelerinin kendileri sadece virgülle veya virgülle işaretler.
Böyle:
b 1,b. 2 , b. 3 , b. 4 , b. 5 , b. 6 , …
Kısaca, bu ilerleme şöyle kaydedilir: (b N.) .
Ya da öyleyse, son ilerleme için:
B1, B2, B3, B 4, B 5, B 6.
B1, B2, ..., B 29, B 30.
Veya kısa bir kayıtta:
(b N.), n.=30 .
Burada, aslında, tüm semboller. Aynı, sadece mektup farklı, evet.) Ve şimdi doğrudan tanımına gidin.
Geometrik ilerlemenin belirlenmesi.
Geometrik İlerleme sayı dizisi, birinci üyenin sıfırdan farklı olan ve sonraki her bir üyenin önceki üyeye aynı sıfır olmayan sayı ile çarpılan bir önceki üyeye eşittir.
Hepsi tanımı. Çoğu kelime ve kelime öbeği anlaşılabilir ve size aşinadır. Tabii ki, "parmaklarda" ve genel olarak geometrik ilerlemenin anlamını anlıyorsanız. Ancak, özel dikkat etmek istediğim birkaç yeni kelime öbeği var.
İlk kelimeler: "İlk üye olan sıfırdan rahatsız".
Birinci terim için bu kısıtlama tesadüfen tanıtılmadı. İlk üye ise ne olacağını düşünüyorsunuz? b. 1 Sıfır olduğu ortaya çıkacak mı? İkinci üye ne olacak, eğer her üye bir öncekinden daha fazlası ise aynı sayıda? Sanırım üç kez? Görelim ... İlk terimi (yani 0) 3 için çarparız ve ... Sıfır! Ve üçüncü dick? Ayrıca sıfır! Ve dördüncü dick de sıfır! Vb…
Zeros dizisini sadece bir torba ribaunt alırız:
0, 0, 0, 0, …
Tabii ki, böyle bir dizinin yaşam hakkı vardır, ancak pratik ilgi göstermez. Herşey temiz. Herkes onun dick sıfır. Herhangi bir sayıda üyenin miktarı da sıfır ... İlginç olan ne yapabilirim? Hiçbir şey değil…
Sonuncusu Anahtar Kelimeler: "Aynı sıfır olmayan numaraya çarpıldı."
Bu aynı sayıda özel adınızı takıyor - dENOMİNATÖR GEOMETRİK İLGİLİĞİ. Tanıdık başlıyoruz.)
Payda geometrik ilerleme.
Her şey basitten daha kolaydır.
Geometrik ilerlemenin bir paydörü sıfır olmayan bir sayı (veya değer), gösterilenkaç sefer Her ilerleme üyesi Öncekinden daha fazla.
Yine, aritmetik ilerlemeyle analojiyle, bu tanıma dikkat etmek için anahtar kelime kelimesidir. "Daha". Geometrik ilerlemenin her bir üyesinin elde edildiği anlamına gelir. Çarpmabu çoğu payda Önceki üye.
Açıklarım.
Hesaplamak için diyelim İkinci Üye, almanız gerekiyor ilk Üye I. çarpmak Onun paydası. Hesaplama için onuncu Üye, almanız gerekiyor dokuzuncu Üye I. çarpmak Onun paydası.
Geometrik ilerlemenin mezuniyetinin kendisi aynı zamanda olabilecek şekilde olabilir. Kimse! Bütün, kesirli, pozitif, negatif, irrasyonel - her yol. Sıfıra ek olarak. Bu, bununla ilgili ve bize tanımdaki "sıfır olmayan" kelimesini söyler. Burada neden bu kelimeye ihtiyaç var - bu konuda.
DENOMİNATÖR GEOMETRİK İLGİLİĞİ en sık, gaga anlamına gelir s..
Bulmak nasıl s. ? Sorun değil! İlerlemenin herhangi bir üyesini almanız ve paylaş. Bölüm kesir. Dolayısıyla adı - "ilerlemenin paydası". Payda, genellikle fraretçi oturma, evet ...) olsa da, mantık, büyüklüğü s. denilmeli Özel geometrik progresyon, analoji ile fark Aritmetik ilerleme için. Ama aramayı kabul etti payda. Ve bisikleti de icat etmeyeceğiz.)
Örneğin, değeri tanımlarız. s. Böyle bir geometrik ilerleme için:
2, 6, 18, 54, …
Tüm ilköğretim. Almak kimse Dizilerin sayısı. Ne istiyoruz, öyleyse al. İlk ek olarak. Örneğin, 18. ve bölün Önceki sayı. Yani 6.
Alıyoruz:
S. = 18/6 = 3
Bu kadar. Bu doğru cevap. Bu geometrik ilerleme için, payda üçdür.
Şimdi paylaşmak paylaşmak s. Diğer geometrik ilerlemeler için. Örneğin, bu:
1, -2, 4, -8, 16, …
Hepsi aynı. Hangi işaretler üyelerden kendilerinden öyle olursa olsun, kimse Dizinin sayısı (örneğin, 16) ve bölün Önceki sayı (yani -8).
Alıyoruz:
d. = 16/(-8) = -2
Ve her şey.) Bu sefer, ilerlemenin paydası negatifti. Eksi iki. Olur.)
Şimdi alın Bu ilerlemedir:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
Ve yine, sekansa bakan sayılar türünden (en azından en azından fraksiyonel, hatta olumsuz, irrasyonel olmasına rağmen), herhangi bir sayıyı (örneğin, 1/9) alın ve önceki numarayı (1/3) bölün. Naturally, fraksiyonlarla eylem kurallarına göre.
Alıyoruz:
Ve hepsi bu.) Burada payda kesirli olduğu ortaya çıktı: s. = 1/3.
Ama bu senin gibi "ilerleme" mi?
3, 3, 3, 3, 3, …
Açıkçası burada s. = 1 . Resmi olarak, bu aynı zamanda sadece bir geometrik progresyondur. özdeş üyeler.) Ancak okumak için bu tür ilerlemeler ve pratik uygulama ilgi çekici değil. Tıpkı katı sıfırlarla ilerlemek gibi. Bu nedenle, onları düşüneceğiz ve olmayacağız.
Gördüğünüz gibi, ilerlemenin paylaştırıcısı, herhangi bir bütün, kesirli, pozitif, negatif - her yönden olabilir! Sadece sıfır olamaz. Sanırım neden?
Neyi belirli bir örneğin olduğunu görelim, bir mezhep olarak alırsanız ne olacak s. Nolik.) Örneğin, yapacağım b. 1 = 2 , fakat s. = 0 . İkinci terim o zaman ne olacak?
Düşünüyoruz ki:
B. 2 = b. 1 · s. \u003d 2 · 0 \u003d 0
Ve üçüncü dick?
B. 3 = b. 2 · s. \u003d 0 · 0 \u003d 0
Geometrik ilerlemelerin çeşitleri ve davranışları.
Her şeyin az ya da çok açık olduğu: eğer ilerlemedeki fark ise d. Pozitif, sonra ilerleme artar. Eğer fark negatifse, ilerleme azalır. Sadece iki seçenek. Üçüncüsü yok.)
Ancak geometrik ilerlemenin davranışı ile her şey daha ilginç ve daha çeşitli olacak!)
Üyeler burada davranmaz davranmaz: ve arttırın ve azalır ve sıfıra sınırsız yaklaşımlardır ve hatta "Plus" nda "Plus" nda acele ederek işaretleri bile değiştirin! Ve tüm bu çeşitlilikte, iyi anlayabilmeniz gerekir, evet ...
Anlıyoruz?) En basit durumda başlıyoruz.
Payda pozitif ( s. >0)
Pozitif bir payda olan, öncelikle geometrik ilerlemenin üyeleri girebilir artı sonsuzluk (yani süresiz olarak artış) ve içeri girebilir eksi sonsuzluk(yani sınırsız azalma). Gelişimin böyle bir davranışını zaten aldık.
Örneğin:
(b N.): 1, 2, 4, 8, 16, …
Her şey burada basit. İlerlemenin her üyesi elde edilir Öncekinden daha fazlası. Ve her üye elde edilir Çarpma Önceki üye pozitif +2 numarası (yani s. = 2 ). Böyle bir ilerlemenin davranışı açıktır: ilerlemenin tüm üyeleri süresiz olarak büyüyor, uzaya gidiyor. Artı Infinity ...
Ve şimdi bu ilerlemedir:
(b N.): -1, -2, -4, -8, -16, …
Burada da, ilerlemenin her üyesi elde edilir Çarpma Önceki üye pozitif +2 numarası. Ancak böyle bir ilerlemenin davranışı zaten tam tersidir: İlerleme her üyesi elde edilir Öncekiden azVe tüm üyeleri, eksi sonsuzluğunu bırakarak azalan sınırsız olacaktır.
Ve şimdi düşünelim: Peki ya bu iki ilerleme? Bu doğru, payda! Burada ve orada s. = +2 . Pozitif.İki. Ve burada davranış Bu iki ilerleme temelde farklı! Sanırım neden? Evet! Bütün İş B. İlk üye!Söyledikleri gibi, müzik verirler.) Kendimizi görün.
İlk durumda, ilk ilerleme süresi pozitif (+1) ve, daha sonraki tüm üyeler çarparak elde edildi. pozitifpayda s. = +2 ayrıca olacak pozitif.
Ancak ikinci durumda, ilk üye olumsuz (-bir). Bu nedenle, çarpma ile elde edilen ilerlemenin sonraki tüm üyeleri pozitif s. = +2 ayrıca olumsuz. "Plus "'da" eksi "için her zaman" eksi "verir, evet.)
Gördüğünüz gibi, aritmetik ilerlemenin aksine, geometrik ilerleme sadece bağlı olarak tamamen farklı davranabilir mezheptens.ama aynı zamanda bağlı olarak ilk terimden, Evet.)
Hatırladığımız: Geometrik ilerlemenin davranışı, ilk üyesi tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. b. 1 ve paydaşs. .
Ve şimdi daha az tanıdık, ancak çok daha ilginç durumların analizine başlıyoruz!
Örneğin, bu sıra budur:
(b N.): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Bu sıra aynı zamanda geometrik bir ilerlemedir! Bu ilerlemenin her üyesi de elde edilir Çarpma önceki üye, aynı numarada. Sadece sayıdır - kesirli: s. = +1/2 . Veya +0,5 . Ve (Önemli!) Numarası, küçük birimler:s. = 1/2<1.
Bu geometrik ilerlemeyi ilginç nelerdir? Üyeleri nerede arıyorlar? Bakalım:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Burada ilginç ne fark edilir? İlk olarak, hemen ilerlemenin üyelerinin azalmasına dikkat edin: Her üyesi daha az Önceki Rivne 2 kez. Veya, her bir üye geometrik ilerlemenin tanımı doğrultusunda dahaönceki 1/2 kezÇünkü payda progresyon s. = 1/2 . Ve çoğalması pozitif, daha az United, sonuç genellikle azalır, evet ...
ne hala Bu ilerlemenin davranışında fark edebilir misiniz? Üyeleri azalır mı sınırsızeksi sonsuzluğa mı gidiyor? Değil! Özel bir şekilde azalırlar. İlk olarak, oldukça hızlı bir şekilde azalır ve daha sonra her şey daha yavaş ve daha yavaştır. Ve her zaman kalıyorum pozitif. İzin ve çok, çok küçük. Ve neden kendilerini seviyorlar? Tahmin ettin mi Evet! Sıfır için çalışıyorlar!) Ve ilerlememizin sıfır üyelerine dikkat edin asla ulaşma!Sadece sonsuz bir şekilde yaklaşıyor. Bu çok önemli.)
Benzer bir durum böyle bir ilerlemede olacaktır:
(b N.): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Buraya b. 1 = -1 , fakat s. = 1/2 . Aynı, sadece sıfıra sadece sıfıra üyeler aşağıdaki diğer tarafa yaklaşacak. Kalan her zaman olumsuz.)
Üyeleri olan bu tür geometrik progresyon sınırsız yaklaşım sıfır (Olumlu ya da olumsuz bir tarafı olan olursa olsun), matematikte özel bir isim takar - sonsuz geometrik ilerlemeyi azaltın. Bu ilerleme çok ilginç ve sıradışı, onun hakkında bile olacağı ayrı ders .)
Yani, mümkün olduğunca baktık pozitif Danneller - ve büyük birimler ve daha küçük birimler. Üniteyi, yukarıda belirtilen sebeplerden dolayı bir mezhepçi olarak düşünmüyoruz (üçlü dizisine sahip bir örneği hatırlayın ...)
Özetleyelim:
pozitif ve daha fazla birim (s.\u003e 1), ardından ilerlemenin üyeleri:
a.) Süresiz olarak artış (eğerb. 1 >0);
b) Sınırsız azalma (eğerb. 1 <0).
Geometrik ilerlemenin paylaştırıcısı varsa pozitif ve daha az (0< s.<1), то члены прогрессии:
a) sonsuz sıfıra yakın yukardan (Eğer birb. 1 >0);
b) sonsuz sıfıra yakın altında (Eğer birb. 1 <0).
Davayı göz önünde bulundurmak için şimdi kalır negatif paydayı.
Paynator negatif ( s. <0)
Örneğin, uzaklaşmayacağız. Ne, aslında, büyükanneyi utandırdı?!) Örneğin, ilerlemenin ilk terimi olacak b. 1 = 1 ve mezhepçi alacak q \u003d -2..
Bu sırayı aldık:
(b N.): 1, -2, 4, -8, 16, …
Vb.) İlerleme her üyesi elde edilir Çarpma Önceki üye negatif bir sayı -2. Aynı zamanda, tek yerlerde duran tüm üyeler (ilk, üçüncü, beşinci vb.) pozitifve hatta yerlerde (ikinci, dördüncü vb.) - olumsuz. Kesinlikle alternatif işaretler. Plus-eksi artı-eksi ... Böyle geometrik ilerleme denir - giderek daha hizalı.
Üyeleri nerede arıyorlar? Ve hiçbir yerde.) Evet, mutlak değerde (yani modül) İlerlememizin üyeleri giderek daha fazla artmaktadır (bu nedenle "artan isim"). Ancak aynı zamanda, ilerlemenin her bir üyesi dönüşümlü olarak sıcağa, daha sonra soğukta atılır. Sonra "artı" içinde, sonra "eksi" de. İlerlememiz dalgalanıyor ... ve her adımda salınımların kapsamı hızla büyüyor, evet.) Bir yerde ilerlemenin üyelerinin çabası oldu özellikle İşte değil.Ne artı sonsuzluk ne de eksi sonsuzluğu ne de sıfıra - hiçbir yerde.
Şimdi sıfır ve eksi arasında bir kaç kesirli paydayı düşünüyoruz.
Örneğin, olsun b. 1 = 1 , fakat q \u003d -1/2..
Sonra ilerlemeyi alırız:
(b N.): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
Ve yine işaret alternasyonumuz var! Ancak, önceki örneğin aksine, üyelere sıfıra yaklaşma eğilimi var.) Sadece bu sefer, üyelerimiz sıfır yaklaşımı sıfır yaklaşıyor, ancak tekrar yukarıdan ya da alttan değil. tereddüd. Alternatif olarak o pozitif, sonra negatif değerleri kabul etmek. Ama aynı zamanda onlar modüller değersiz dile daha yakın ve daha yakın ol.)
Bu tür geometrik ilerleme denir uyumsuzca hizalamayı azaltıyor.
Bu iki örnek ilginç nelerdir? Böylece her iki durumda da gerçekleşecek alternatif işaretler! Bu çip, yalnızca negatif bir payda olan ilerleme için karakteristiktir, evet.) Bazen bir görevde, alkalin üyesi ile geometrik bir ilerleme görürseniz, paydasının% 100 negatif olduğunu ve işaretinde yanılmadığı konusunda kesin olarak bilinecektir. .)
Bu arada, negatif bir payda durumunda, ilk üyenin işareti ilerlemenin kendisinin davranışını etkilemez. Herhangi bir şekilde, ilerlemenin ilk üyesi, herhangi bir durumda, üyelerin hizalanması gözlenir. Tüm soru sadece hangi yerlerde (Hatta veya garip), belirli işaretlere sahip üyelere dayanacaktır.
Hatırlamak:
Geometrik ilerlemenin paylaştırıcısı varsa olumsuz , sonra ilerlemenin ilerlemesi belirtileri alternatif.
Aynı zamanda, üyelerin kendileri:
a) Süresiz olarak artışmodül ile, Eğer birs.<-1;
b) Sonsuza kadar sıfıra yaklaşın.< s.<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Bu kadar. Tüm örnek durumlar demonte edilmiştir.)
Geometrik ilerlemelerin çeşitli örneklerini reddetme sürecinde, kelimeleri periyodik olarak kullandım: "Sıfır için çabalıyor", "Artı sonsuzluk için çaba gösteriyor", "Eksi sonsuzluk için çabalıyor"... korkunç bir şey.) Bu konuşma cirosu (ve spesifik örnekler) - sadece ilk tanıdık davranış Değer sayısal diziler. Geometrik ilerleme örneği üzerine.
Neden ilerlemenin davranışını bilmemiz gerekiyor? Aradığı fark nedir? Sıfıra, artı sonsuzluğa, eksi sonsuzluğa ... bizden bir şeyiz?
Mesele şu ki, zaten üniversitede, en yüksek matematik sırasında, en farklı sayısal dizilerle (sadece ilerlemeyle değil!) Ve bunun tam olarak nasıl olduğunu temsil etme yeteneğine ihtiyacınız olacaktır. Bu sıra, bu, belirli bir sayıya (sıfıra ihtiyacım olmadığı) ya da hatta hiçbir şeye gitmek istemeyip istemediği, bu konu bir bütün bir bölümdür - bu konu bir bütün bir bölüm olduğunu, Matanalya sırasında. sınır teorisi. Biraz daha spesifik olarak - kavram sayısal dizinin sınırı.Çok ilginç konu! Enstitü ve anlaşmaya gitmek mantıklı.)
Bu bölümden bazı örnekler (sınırı olan diziler) ve özellikle, sonsuz Geometrik İlerlemeyi Düşen Okula kadar kalkmaya başla. Alışmak.)
Ayrıca, gelecekte dizilerin davranışlarını iyi keşfetme yeteneği bir el oynayacak ve çok faydalı olacaktır. fonksiyonların incelenmesi. Çeşitli. Ancak beceri, fonksiyonlarla (türevleri hesaplamak, tam programda onları hesaplamak, grafiklerini oluşturmak, grafiklerini oluşturmak için) zaten matematiksel seviyenizi arttırır! Şüphe? Yapamaz. Hala sözlerimi hatırla.)
Hayattaki geometrik ilerlemeye bakalım mı?
Geometrik ilerleme ile çevredeki yaşamda, çok sık karşılaşıyoruz. Şüphelenmeden bile.)
Örneğin, bizi her yere büyük miktarlarda çevreleyen ve mikroskop olmadan bile göremeyen çeşitli mikroorganizmalar, tam olarak geometrik ilerlemeye çarpın.
Diyelim ki, bir bakteriyumun ikilikle çarpıldığı, 2 bakteride yavrular veriyor. Buna karşılık, her biri çarpma, ayrıca 4 bakteri için genel yavrular vererek yarıya bölünmüştür. Gelecek nesil zaten 8 bakteri, daha sonra 16 bakteri, 32, 64 vb. Verecek. Her yeni nesil ile bakteri sayısı iki katına çıkar. Geometrik ilerlemenin tipik örneği.)
Ayrıca geometrik ilerlemede, bazı böcekler üreme, uçar. Ve tavşan bazen, bu arada de.)
Geometrik progresyonun bir başka örneği, günlük yaşamlara yakın, sözde bileşik faiz. Böyle ilginç bir fenomen genellikle banka mevduatlarında bulunur ve denir İlginin büyük harf kullanımı. Ne olduğunu?
Kendin hala, elbette genç. Okulda, öğrenin, bankalara itiraz etmeyin. Ancak aileniz zaten yetişkinler ve bağımsız insanlar. İşe git, ekmeğin için para kazanılır ve paranın bir parçası olarak bankaya tasarruf sağlar.)
Diyelim ki, babanız, Türkiye'deki aile tatilleri için belli bir miktar para podnapolize etmek ve üç yıllık bir süre boyunca yıllık% 10'unda bir banka koymak istiyor. İlinin yıllık kapitalizasyonu ile. Ve bu süre zarfında, katkıyla hiçbir şey yapılamaz. Katkıyı yenilemek ve hesaptan para çekmek imkansızdır. Bu üç yıl boyunca hangi kar elde edecek?
Öncelikle, yılda% 10 olanı çözmek gerekir. Bu demektir bir yıl içinde Banka tarafından mevduatın ilk miktarında% 10 tahakkuk ettirilecektir. Neyden? Tabii ki, İlk para yatırma miktarı.
Bir yıldaki hesabın boyutunu düşünüyoruz. Katkının ilk miktarı 50.000 ruble (yani,% 100), sonra bir yılda, yüzde kaç tane olacak? Doğru,% 110! 50.000 ruble.
İşte 50.000 ruble% 110'u düşünüyoruz:
50000 · 1.1 \u003d 55000 ruble.
Umarım değerin% 110'ını bulduğunuzu anlarsınız, bu miktarı 1.1 numaraya kadar çarpma anlamına gelir? Bunun tam olarak durumun neden olduğunu anlamadıysanız, beşinci ve altıncı sınıfları hatırlayın. Yani - Fraksiyonlar ve parçaların ilgisinin iletilmesi.)
Böylece, ilk yıldaki artış 5.000 ruble olacaktır.
Ve iki yılda hesapta ne kadar para olacak? 60000 ruble? Ne yazık ki (ya da oldukça, neyse ki), her şey çok basit değil. Yüzde tüm kapitalizasyon odaklanma, her yeni faiz tahakkukında, bu ilginin zaten olduğu düşünüleceğidir. yeni miktardan!Birinden zaten Hesapta yatıyor Şu an.Önceki dönem için tahakkuk eden faiz, ilk para yatırma tutarına eklenir ve bu nedenle kendilerini yüzde yeni tahakkuklarına katılıyorlar! Yani, paylaşılan hesabın tam bir parçası olurlar. Veya ortak başkent.Dolayısıyla isim - İlginin büyük harf kullanımı.
Bu ekonomide. Ve matematikte bu ilgileri denir yüzde karmaşık.Veya yüzde yüzde.) Yongaları, her göz önüne alındığında tutarlı bir hesaplama ilgisinin olduğu gerçeğinde yatıyor. yeni bir değerden.Ve ilkden değil ...
Miktarı hesaplamak için iki yılHesapta olacak miktarın% 110'ını hesaplamamız gerekiyor. bir yıl içinde. Bu, zaten 55.000 ruble.
55.000 ruble% 110 olduğunu düşünüyoruz:
55000 · 1.1 \u003d 60500 ruble.
Böylece, ikinci yılın yüzde kazanımı zaten 5,500 ruble olacak ve iki yılda - 10.500 ruble olacak.
Şimdi, üç yıl sonra hesaptaki miktarın 60.500 ruble'nin% 110'ı olacağını tahmin etmek zaten mümkün. Yani,% 110 tekrar öncekinden (geçen yıl)miktarları.
Yani düşünüyoruz:
60500 · 1.1 \u003d 66550 ruble.
Ve şimdi paramızı yıla göre sırayla inşa ediyoruz:
50000;
55000 \u003d 50.000 · 1.1;
60500 \u003d 55000 · 1.1 \u003d (50.000 · 1,1) · 1.1;
66550 \u003d 60500 · 1.1 \u003d ((50000 · 1,1) · 1,1) · 1,1
Nasıl? Geometrik progresyon olmayan nedir? İlk üye b. 1 = 50000 ve mezhepçi s. = 1,1 . Her üye, bir öncekinden daha fazlasıdır. Her şey tanımına göre kesinlikle.)
Babanıza "yemin eder" iken kaç tane ek faiz bonusu, üç yıl boyunca bir banka hesabında 500 ruble oldu mu?
Düşünüyoruz ki:
66550 - 50000 \u003d 16550 ruble
Nehuto, elbette. Ancak bu, ilk para yatırma miktarı küçükse. Ve eğer daha mı? Diyelim ki, 50 ve 200 bin ruble? O zaman üç yıl boyunca artış zaten 66.200 ruble olacaktır (hesaplanırsa). Zaten çok iyidir.) Ve eğer katkı daha da varsa? Bu ne ...
Sonuç: İlk katkı ne kadar yüksek olursa, ilginin büyük harf kullanımı daha karlı hale gelir. Bu nedenle, ilginin büyük harfleri olan mevduatlar bankalar tarafından uzun süredir verilmektedir. Beş yıldır söyleyelim.
Ayrıca geometrik ilerlemede, grip türünün tüm sağanak olmayan hastalıkları, kızamık ve hatta daha korkunç hastalıklar (2000'lerin başında aynı atipik pnömoni veya orta çağlardaki veba) yayılma olasılığı yüksektir. Buradan ve bu gibi epidemik teraziler, evet ...) ve hepsi geometrik ilerlemenin olduğu gerçeğinden dolayı bütün pozitif bir payda (s.>1) - Çok çabuk büyüyen şey! Bakterilerin çoğaltılmasını unutmayın: bir bakteriden iki, iki - dörtte, dört - sekiz ve benzeri bir şekilde elde edilir ... herhangi bir enfeksiyonun aynı şekilde dağılmasıyla.)
Geometrik ilerlemenin en basit görevleri.
Başlayalım, her zaman olduğu gibi basit bir görevle. Tamamen anlamlı anlamı.
1. Geometrik ilerlemenin ikinci üyesinin 6 olduğuna ve payda -0.5 olduğu bilinmektedir. İlk, üçüncü ve dördüncü üyeleri bulun.
Yani biz verildi sonsuz geometrik ilerleme ve bilinen ikinci üye Bu ilerleme:
B 2 \u003d 6
Ek olarak, hala biliniyor payda progresyon:
Q \u003d -0.5
Ve bulmalısın ilk üçüncüsüve dördüncübu ilerlemenin üyeleri.
Öyleyse hareket et. Görevin durumuna göre diziyi kaydedin. Genel olarak, ikinci üyenin sixer olduğu yer:
b 1, 6,b. 3 , b. 4 , …
Ve şimdi aramaya devam edin. Her zaman olduğu gibi, en basitten sonra başlıyoruz. Örneğin, üçüncü dick sayabilirsiniz b 3.? Yapabilmek! Üçüncü dick'in "geometrik ilerlemenin anlamında) zaten biliyoruz. (B 3) İkinciden fazla (b. 2 ) içinde "Q" zaman!
Biz yazarız:
b 3 \u003d.b. 2 · s.
Bunun yerine bu ifadeyi değiştiriyoruz b 2.ve -0.5 yerine s. Ve inanmak. Ve elbette eksi görmezden gelmeyin ...
b 3 \u003d 6 · (-0,5) \u003d -3
Böyle. Üçüncü üye eksi oldu. Harika değil: payımızı s. - Olumsuz. Ve artı eksi ile çoğalır, bilinir, eksi.)
Şimdi bir sonraki, dördüncü ilerlemeyi düşünüyoruz:
b 4 \u003db. 3 · s.
B 4 \u003d -3 · (-0,5) \u003d 1.5
Dördüncü dick - yine bir artı ile. Beşinci üye bir eksi, altıncı - bir artı vb. İşaretler - Alternatif!
Yani, üçüncü ve dördüncü üyeler bulundu. Bu diziyi ortaya çıkardı:
b 1; 6; -3; 1.5; ...
Şimdi ilk üyeyi bulmak için kalır. b 1. Tanınmış bir saniyeye göre. Bunu yapmak için, diğer tarafta yürüyün, sol. Bu, bu durumda, progresyonun ikinci üyesi, payda çarpmamız gerektiği ve bölmek
Bölünüyoruz ve alıyoruz:
Hepsi bu kadar.) Görevin cevabı böyle olacak:
-12; 6; -3; 1,5; …
Gördüğünüz gibi, aynı şeyi çözme ilkesi. Tanımak hiç Üye I. payda Geometrik İlerleme - Başka bir üyeyi bulabiliriz. İstediğimiz, böyle ve sıkma.) İlave / çıkarma işleminin çarpma / bölünme ile değiştirildiği tek farkla.
Hatırladığımızı hatırlıyoruz: Geometrik ilerlemenin en az bir üyesi ve paydası için biliniyorsak, bu ilerlemenin başka bir üyesini her zaman bulabiliriz.
Bir sonraki görev, geleneğe göre, gerçek Oge versiyonundan:
2.
...; 150; x; 6; 1.2; ...
Nasıl? Bu sefer bir ilk üye ya da bir payda yok s., sadece sayılar dizisi ayarlandı ... Tanıdık bir şey zaten doğru mu? Evet! Benzer bir görev zaten aritmetik ilerlemesinde demonte edildi!
Bu yüzden korkma. Hepsi aynı. Kafanı aç ve geometrik ilerlemenin temel anlamını hatırla. Bizim sıramıza dikkatlice bakıyoruz ve üç ana (ilk üye, payda, üye numarası) geometrik ilerlemesinin parametrelerinin içinde gizlendiğini düşünüyoruz.
Üye numaraları? Üye numarası yok, evet ... ama dört tane var tutarlı sayılar. Bu kelime ne anlama geliyor, bu aşamada açıklamak mantıklı değil.) Bu sırayla iki tane var mı? bitişik bilinen sayılar?Var! 6 ve 1.2'dir. Böylece bulabiliriz İlerlemenin paydaşı.İşte ve 1.2 numarasını alın ve bölün önceki numarada. Altıncı.
Alıyoruz:
Alıyoruz:
x. \u003d 150 · 0,2 \u003d 30
Cevap: x. = 30 .
Gördüğün gibi, her şey oldukça basit. Ana zorluk sadece hesaplamalarda oluşur. Özellikle negatif ve fraksiyonel paydalar durumunda zor olur. Böylece sorun sahibi olanlar, aritmetikleri tekrarlayın! Kesirlerle nasıl çalışılır, negatif sayılarla nasıl çalışılır ve bu yüzden ... Aksi takdirde burada acımasızca yavaşlayacaksınız.
Ve şimdi biraz değiştirilmiş bir görev. Şimdi ilginç olacak! Son numarayı 1.2'de çıkarın. İşte şimdi böyle bir görev var:
3. Geometrik ilerlemenin ardışık birkaç üyesi yazılır:
...; 150; x; 6; ...
X harfi ile gösterilen ilerlemenin bir üyesini bulun.
Hepsi aynı, sadece iki komşu tanınmış İlerleme ilerlememiz yok. Bu asıl sorun. Çünkü miktar s. iki komşu üyeden, belirlemeyi çok kolaydır yapamayız. Görevle başa çıkma şansımız var mı? Elbette!
Bilinmeyen üyeyi kesin x."Doğrudan geometrik ilerlemenin anlamında! Genel olarak.
Evet evet! Bilinmeyen bir paydaşla doğru!
Bir yandan, IKSA için bu oranı kaydedebiliriz:
X. \u003d 150 ·s.
Öte yandan, aynı xe, boya ve geçme hakkına sahibiz. takip etme Üye, altı boyunca! Altı kişiyi payda paylaşmak.
Böyle:
X. = 6/ s.
Açıkçası, şimdi bu ilişkilerin her ikisini de eşitleyebilirsiniz. Ekspres olduğumuz için aynısı büyüklük (x), ama iki farklı yollar.
Denklemi elde ediyoruz:
Tüm tarafından çarpma s.Basitleştirme, kesme, denklem elde ediyoruz:
q 2 \u003d 1/25
Karar veriyoruz ve alıyoruz:
q \u003d ± 1/5 \u003d ± 0.2
Oops! Payın çift olduğu ortaya çıktı! +0.2 ve -0.2. Ve hangisini seçecek? Çıkmaz sokak?
Huzur! Evet, görev gerçekten var İki çözüm!Buna yanlış bir şey yok. Olur.) Örneğin, her zamanki çözmeyi, iki kökünü aldığında şaşırmadınız mı? İşte aynı hikaye.)
İçin q \u003d +0.2 Alacağız:
X \u003d 150 · 0,2 \u003d 30
Ve için s. = -0,2 olacak:
X \u003d 150 · (-0.2) \u003d -30
İkili bir cevap alıyoruz: x. = 30; x. = -30.
Bu ilginç gerçek ne anlama geliyor? Ve ne var İki ilerlemeGörev koşulunu tatmin etmek!
Bunlar gibi:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Her ikisi de uygundur.) Split cevabımız olduğumuzdan dolayı ne düşünüyorsunuz? Bir zamanlar, progresyonun belirli bir üyesinin (1.2) ortadan kaldırılmasından dolayı altıdan sonra geliyor. Ve sadece bir önceki (N-1) ve ardından (N + 1)-Geometrik İlerleme Üyesi'ni bilmek, artık aralarında duran N-TH üyesi hakkında hiçbir şey söyleyemeyiz. İki seçenek mümkündür - bir artı ve eksi ile.
Ama sorun değil. Kural olarak, geometrik ilerlemenin görevlerinde, açık bir cevap veren ek bilgiler vardır. Sözler: "İlerleme Hizalama"veya "Olumlu bir mezheple ilerleme" Ve böylece ... bu kelimelerdir ve bir kanca olarak hizmet etmeli, nihai yanıt yapıldığında bir işaret, artı veya eksi seçilmelidir. Böyle bir bilgi yoksa, o zaman - Evet, görev olacak İki çözüm.)
Ve şimdi kendini çözelim.
4. 20 numarasının geometrik ilerlemenin bir üyesi olup olmadığını belirleyin:
4 ; 6; 9; …
5. Geometrik İlerleme Açıklandı:
…; 5; x. ; 45; …
İşaretli bir ilerleme üyesi bulun x. .
6. Geometrik ilerlemenin dördüncü pozitif üyesini bulun:
625; -250; 100; …
7. Geometrik ilerlemenin ikinci üyesi -360'dır ve Beşinci elemanı 23.04'e eşittir. Bu ilerlemenin ilk üyesini bulun.
Cevaplar (Bozuklukta): -15; 900; değil; 2.56.
Tebrikler, eğer her şey oldu!
Bir şey katılmadı mı? Cevabın bir yerde çift çıktı mı? Görevin durumunu dikkatlice okuduk!
Son görev çıkmıyor mu? Orada karmaşık bir şey yok.) Biz doğrudan geometrik ilerlemenin anlamında çalışıyoruz. Peki, resim çizilebilir. Yardımcı olur.)
Gördüğünüz gibi, her şey ilkokul. İlerleme kısa ise. Ve eğer uzunsa? Veya istenen üyenin sayısı çok büyük? Aritmetik ilerlemeyle analoji, bir şekilde kolayca bulmanızı sağlayan uygun bir formül elde etmek istiyorum. hiç Herhangi bir geometrik ilerlemenin üyesi onun numarasına göre. Birçok kez çoğalmadım s.. Ve böyle bir formül var!) Detaylar - bir sonraki derste.
Geometrik progresyonun N-TH üyesinin formülü, çok basittir. Anlamda ve genel zihinle olduğu gibi. Ancak, N-TH üyesi formülündeki görevler her türlü buldu - çok ilkelten oldukça ciddi. Ve tanıdık işlemimizde hem hem hem hem de diğerlerini de düşüneceğiz. İyi, tanıdık?)
Yani, başlangıcın kendisi için formüln.
İşte burada:
b N. = b. 1 · q N. -1
Formül bir formül olarak, doğaüstü bir şey yok. Benzer bir formülden daha kolay ve daha kompakt görünüyor. Formülün anlamı botlar kadar da basittir.
Bu formül, geometrik ilerlemenin herhangi bir üyesini numarasına göre bulmanızı sağlar " n.".
Gördüğünüz gibi, anlamda, aritmetik ilerlemeyle tam bir analoji. N numarasını biliyoruz - biz sayabiliriz ve bu numara altında bir üye. Ne istiyoruz. Sıralı olarak "Q" üzerine birçok kez çarpılmaması. Bütün nokta bu.)
Bu çalışma düzeyinde, tüm büyüklük formülündeki gelenlerin ilerlemesiyle birlikte, zaten anlaşılmalısınız, ancak bunu her birini deşifre etmek için borcum olduğunu düşünüyorum. Her ihtimale karşı.
O zaman hadi gidelim:
B. 1 – ilk geometrik bir ilerleme üyesi;
S. – ;
N. - Üye numarası;
B N. – gelişenn.-y) Geometrik İlerleme Üyesi.
Bu formül, herhangi bir geometrik ilerlemenin dört ana parametresini bağlar - b. N., b. 1 , s. ve n.. Ve bu dört anahtar figürün etrafında ve tüm ilerleme görevleri dönüyor.
"Ve nasıl görüntüleniyor?" - Meraklı bir soru duyuyorum ... İlkokul! Bak!
Eşit olan nedir ikinci İlerleme Üyesi? Sorun değil! Doğrudan yazma:
b 2 \u003d B 1 · q
Ve üçüncü dick? Ayrıca bir sorun değil! İkinci üye iterek bir kez dahas..
Böyle:
B 3 \u003d B 2 · q
Şimdi, ikinci terimin sırayla B 1 · Q'ye eşit olduğunu ve bu ekspresyonu eşitliğimizde eşit olduğunu hatırlayın:
B 3 \u003d B 2 · q \u003d (B 1 · Q) · q \u003d b 1 · q · q \u003d b 1 · q2
Alıyoruz:
B. 3 \u003d B 1 · q 2
Şimdi rekorumuzumuzu okuyun: üçüncü Üye, Q ile çarpılan birinci terime eşittir. ikinci derecesi. Tutmak? Henüz değil? İyi, bir adım daha.
Dördüncü dick nedir? Hepsi aynı! Çarpmak önceki (yani üçüncü dick) q:
B 4 \u003d B 3 · q \u003d (B 1 · S2) · Q \u003d B 1 · Q2 · Q \u003d B 1 · S 3
TOPLAM:
B. 4 \u003d B 1 · q 3
Ve yine Rusça'ya çevir: dördüncü Üye, Q ile çarpılan birinci terime eşittir. Üçüncü derecesi.
Vb. Nasıl? Düzenlilik yakaladı? Evet! Herhangi bir numara bulunan herhangi bir üye için, özdeş faktörün sayısı (yani, payminatör derecesi) her zaman olacaktır. birim başına istenen üyenin numarasından daha azn..
Bu nedenle, formülümüz seçeneksiz olacaktır:
b n \u003db. 1 · q N. -1
Her şey bu.)
Peki, muhtemelen zorlukları kesiyorlar mı?)
Formüldeki görevleri çözmen.- Geometrik İlerleme Üyesi.
Formülün doğrudan kullanımı ile her zamanki gibi başlayalım. İşte tipik bir problem:
Geometrik progresyonunda bilinmektedir ki b. 1 \u003d 512 I. s. \u003d -1/2. Onuncu İlerleme Üyesini bulun.
Tabii ki, bu sorun genellikle bu sorunu çözebilir. Doğrudan geometrik ilerleme anlamında. Ancak, N-TH üyesi formülüyle ısınmamız gerekiyor, değil mi? Yani nefes al.
Formül uygulaması için verilerimiz aşağıdaki gibidir.
Bilinen birinci terim. Bu 512.
B. 1 = 512.
Ayrıca ilerlemenin bilinen paydası: s. = -1/2.
Sadece, n sayısına eşit olanı çözmek için kalır. Sorun değil! Onuncu üyeyle ilgileniyor muyuz? Böylece biz yerine ilk onun genel formülünü değiştiriyoruz.
Ve dikkatlice aritmetik düşünün:
Cevap 1.
Gördüğünüz gibi, onuncu ilerleme üyesi eksi oldu. Hiçbir şey şaşırtıcı: ABD'den İlerleme Mezarı -1/2, yani. olumsuz numara. Ve bu bize ilerlememizin işaretlerinin alternatif olduğunu söylüyor.)
Her şey burada basit. Ve burada benzer bir görev, ancak hesaplamalar açısından biraz daha karmaşık.
Geometrik ilerlemede, şu ki, şunları bilinmektedir:
B. 1 = 3
Onüçüncü progresyon üyesini bulun.
Aynı, sadece bu sefer ilerlemenin paydası - irrasyonel. İkisinden kök. Şey, korkunç bir şey yok. Formül, herhangi bir sayı başa çıkarak evrensel bir şeydir.
Doğrudan Formül tarafından çalışıyoruz:
Tabii ki, formül, olması gerektiği gibi çalıştı, ama ... burada bazıları ve asmak. Kökün yanında ne yapmalı? Onikinci derecede bir kök inşa etmek nasıl?
Gibi ..., elbette herhangi bir formülün iyi olduğunu anlamak gerekir, ancak önceki matematiğin tamamının bilgisi iptal edilmez! Nasıl inşa edilir? Evet, derecelerin özellikleri hatırlıyor! Kök B'yi çevirin. kesirlive - egzersiz derecesinin formülü ile.
Böyle:
Cevap: 192.
Ve her şey.)
N-TH üyesi formülünün doğrudan kullanımı ile ana zorluk nedir? Evet! Ana zorluk derece ile çalışmak! Yani, negatif sayıların, kesirlerin, köklerin ve benzeri tasarımların yapımı. Böylece bununla ilgili sorunları olanlar, dereceyi ve özelliklerini tekrarlamak için acil istek! Aksi takdirde, bu konuda yavaşlayacaksınız, evet ...)
Ve şimdi arama için tipik görevleri kestik. formülün unsurlarından biriDiğerleri verilirse. Bu tür görevleri başarıyla çözmek için, tarifi bir dehşete ve basittir - formül yazıyoruzn.- Genel olarak üye!Durumun yanındaki dizüstü bilgisayarda. Ve sonra durumun dışında, verildiğimiz ve ne eksik olduğunu düşünüyoruz. Ve formülden istenen büyüklüğü ifade eder. Her şey!
Örneğin, bu kadar zararsız bir görev.
Korominator 3 ile geometrik ilerlemenin beşinci üyesi 567'dir. Bu ilerlemenin ilk üyesini bulun.
Hiçbir şey zor. Doğrudan büyü ile çalışıyoruz.
N-TH üyesinin formülünü yazıyoruz!
b N. = b. 1 · q N. -1
Bize ne verilir? İlk olarak, bir ilerleme paydası verilir: s. = 3.
Ek olarak, biz verilir beşinci dick: b. 5 = 567 .
Her şey? Değil! Bir numara verdik. Bu beş: n \u003d 5.
Umarım bunu zaten kayıtta anlıyorsundur. b. 5 = 567 Bir kerede iki parametre gizlenir - bu beşinci dick (567) ve sayısı (5). Benzer bir derste, bu konuda zaten konuştum, ama ben de hatırlatmak için gereksiz olmadığını düşünüyorum.)
Şimdi verilerimizi formülde değiştiriyoruz:
567 = b. 1 · 3 5-1.
Aritmetik olduğunu düşünüyoruz, basit bir doğrusal denklemi basitleştirir ve alırız:
81 b. 1 = 567
Karar veriyoruz ve alıyoruz:
B. 1 = 7
Gördüğünüz gibi, herhangi bir problemin ilk üyesi arayışı ile. Ancak paydayı ararken s. ve sayılar n. Sürprizler de buluşabilir. Ve onlara (sürprizlere), de hazırlanmanız gerekir, evet.)
Örneğin, böyle bir görev:
Olumlu bir payda olan geometrik progresyonun beşinci üyesi 162'ye eşittir ve bu ilerlemenin ilk teriminin 2. progresyonun payını bulun.
Bu sefer birinci ve beşinci üyeler verilir ve ilerlemenin bir paydaşını isterler. İşte ve devam et.
Formül yazıyoruzn.Üye!
b N. = b. 1 · q N. -1
Kaynak verilerimiz aşağıdaki gibi olacaktır:
B. 5 = 162
B. 1 = 2
N. = 5
Yeterli anlamı değil s.. Sorun değil! Şimdi bulacağız.) Bildiğimiz her şeyin formülünü değiştiriyoruz.
Alıyoruz:
162 \u003d 2 ·s. 5-1
2 s. 4 = 162
S. 4 = 81
Dördüncü derecenin basit bir denklemi. Ama şimdi - dikkatlice! Çözümlerin bu aşamasında, birçok öğrenci derhal kökü (dördüncü derece) rahatlatır ve bir cevap alır. s.=3 .
Böyle:
S4 \u003d 81
S. = 3
Ama aslında, bu bitmemiş bir cevap. Daha kesin olarak, eksik. Neden? Gerçek şu ki cevap s. = -3 ayrıca uygun: (-3) 4 ayrıca 81 olacak!
Her şeyden önce güç denkleminin x N. = a. her zaman İki zıt kök için hazırn. . Bir artı ve eksi ile:
Her ikisi de uygundur.
Örneğin, çözme (yani ikinci derece
x 2 \u003d 9
Nedense görünüşten şaşırmazsınız iki Kökler x \u003d ± 3? Yani burada aynı. Ve başka biriyle düşünce (Dördüncü, altıncı, onuncu, vb.) Derecesi de aynı olacaktır. Ayrıntılar - Pro Konusunda
Bu nedenle, doğru karar böyle olacaktır:
S. 4 = 81
S. \u003d ± 3.
İyi, işaretler ile sonuçlandı. Doğru - artı veya eksi nedir? Peki, bir kez daha arama sırasında görevin durumunu okuduk. ek Bilgiler.Tabii ki, olmayabilir, ancak bu konuda bu bilgi mevcut.Doğrudan metnin durumundayız. pozitif mezhepçi.
Bu nedenle, cevap açıktır:
S. = 3
Her şey burada basit. Ve görevin ifadesi böyle olsaydı ne olacağını düşünüyorsun:
Geometrik ilerlemenin beşinci üyesi 162'dir ve bu ilerlemenin ilk teriminin 2. progresyonun payını bulun.
Fark ne? Evet! Durumda hiçbir şey değil Payın işareti hakkında söylenmedi. Ne düz ne de dolaylı olarak. Ve burada görev zaten sahip olurdu İki çözüm!
S. = 3 ve s. = -3
Evet evet! Ve artı ve eksi ile.) Matematiksel olarak bu gerçek, orada olduğu anlamına gelir. İki ilerlemeBu görevin durumu altında uygundur. Ve her biri için - payınız. İlgi uğruna, her birinin ilk beş üyesini yazın ve yazın.)
Ve şimdi üye numarası pratik yapıyor. Bu görev en zor, evet. Ama ama daha yaratıcı.)
Dana Geometrik İlerleme:
3; 6; 12; 24; …
Bu ilerlemedeki 768 numara nedir?
İlk adım hala aynı: formül yazıyoruzn.Üye!
b N. = b. 1 · q N. -1
Ve şimdi, her zamanki gibi, bizimle bilinen verileri değiştiriyoruz. GM ... Değiştirilmemiş! İlk üye nerede, payda nerede, her şey nerede?!
Nerede-nerede ... ve gözler neden ihtiyacımız var? Kirpikler alkışlar? Bu sefer ilerleme doğrudan bize verilir. diziler. İlk üye görüyor musun? Görürüz! Bu bir üçlü (B1 \u003d 3). Ve payda? Henüz görmüyoruz, ama çok kolay düşünülür. Tabii ki, anlayın.
Yani düşünüyoruz. Doğrudan geometrik ilerlemenin anlamı dahilinde: kimseyi (ilk hariç) alın ve öncekine bölün.
En azından şöyle:
S. = 24/12 = 2
Başka ne biliyoruz? Bu ilerlemenin bir üyesinin 768'e eşit olduğunu hala biliyoruz. Bir numara altında N:
B N. = 768
Bizim için bilinmeyen numara, ama görevimiz sadece onu bulmak içindir.) Bu yüzden arıyoruz. Formula'da ikame için gerekli tüm veriler zaten indirdik. Kendin için farkedilemez.)
Yani biz değiştiriyoruz:
768 \u003d 3 · 2 N. -1
İlköğretimini temel alıyoruz - her iki parçayı her iki parçayı ilk üçüne ayırıyoruz ve denklemi her zamanki biçiminde yeniden yazıyoruz: bilinmeyen sol, bilinen - sağ.
Alıyoruz:
2 N. -1 = 256
İşte böyle ilginç bir denklem. "N" bulmak gerekir. Sıradışı nedir? Evet, tartışmıyorum. Aslında, bu en basit. Bilinmeyen olması nedeniyle denir (bu durumda bir sayıdır. n.) İçine değer gösterge derecesi.
Geometrik İlerleme ile tanışma aşamasında (bu dokuzuncu sınıftır), üstel denklemler öğretilmez, evet ... bu lisenin konusudur. Ama korkunç bir şey yok. Bu tür denklemlerin nasıl çözüldüğünü bilmiyorsanız bile, hadi bulmaya çalışalım. n., basit mantık ve sağduyu ile yönlendirilir.
Sebep vermeye başlıyoruz. Solda iki tane var bir dereceye kadar. Özellikle ne derece olduğunu henüz bilmiyoruz, ancak korkutucu değil. Ancak bu derecenin 256 olduğunu kesinlikle biliyoruz! Bu yüzden hatırlıyorum, ne ölçüde bize 256 verir. Evet! İÇİNDE sekizinci Derece!
256 = 2 8
Hatırlamadılar veya sorunun derecelerinin tanınması durumunda, aynı zamanda korkunç bir şey değildir: sadece sürekli olarak karda iki kez, dördüncü derece, beşinci vb. Seçim, aslında, ancak bu seviyede - oldukça yuvarlanma.
Neyse, biz alacağız:
2 N. -1 = 2 8
N.-1 = 8
N. = 9
Böylece, 768 dokuzuncu İlerlememizin Üyesi. Her şey, görev çözüldü.)
Cevap: 9.
Ne? Sıkıcı? İlköğretimden bıktınız mı? Katılıyorum. Ben de. Bir sonraki seviyeye çıkma.)
Daha karmaşık görevler.
Ve şimdi görevleri daha aniden çözüyoruz. Çok fazla süper özel değil, ancak tekrar cevap almak için biraz çalışmak zorundalar.
Örneğin, böyle.
Dördüncü üyesi -24'e eşitse ve yedinci üye 192 ise geometrik ilerlemenin ikinci üyesini bulun.
Bu klasik bir türdür. Progresyonun iki farklı üyesi var ve daha fazla üye bulmak gerekir. Ve tüm üyeler komşu değil. İlk başta hangi kafa karıştırıcı, evet ...
Gibi böyle görevleri çözmek için iki yolla düşünüyoruz. İlk yöntem evrenseldir. Cebirsel. Güvenle ve herhangi bir kaynak veriyle çalışır. Bu nedenle, ondan ve başlar.)
Her üyeyi formülle tanımlıyoruz n.Üye!
Hepsi aritmetik ilerlemesinde olduğu gibi tam olarak #. Sadece bu sefer çalışıyoruz diğer Genel formül. Hepsi bu.) Ama özü aynıdır: al ve sırayla Kaynak verilerimizi N-TH formülünde değiştiriyoruz. Her üye için - kendi.
Dördüncü üye için yazın:
B. 4 = b. 1 · s. 3
-24 = b. 1 · s. 3
Var. Bir denklem hazır.
Yedinci üye için yazıyoruz:
B. 7 = b. 1 · s. 6
192 = b. 1 · s. 6
Toplam iki denklem aldı aynı ilerleme .
Sistemi topluyoruz:
Zorlu görünümüne rağmen, sistem oldukça basittir. En belirgin çözüm normal ikamedir. İfade etmek b. 1 Üst denklemden ve alt tarafa ikame:
Daha düşük denklem ile biraz bakıyorum (dereceleri azaltma ve -24'te bölünür), biz:
s. 3 = -8
Aynı denklemde, bu arada, gelebilir ve daha kolay olabilir! Ne? Şimdi size başka bir sır, ama bu tür sistemleri çözmenin çok güzel, güçlü ve kullanışlı bir yolu. Denklemlerdeki bu sistemler oturan sadece çalışır.En az birinde. Aranan millen algılama yöntemidiğerine bir denklem.
Yani, ABD sisteminin önünde:
Soldaki her iki denklemde - kompozisyonve sağ - sadece bir numara. Bu çok iyi bir işarettir.) Hadi alalım ve ... bölün, diyelim, daha düşük denklemin tepesine! Ne demek, bir denklemi diğerine paylaştınız mı? Çok basit. Almak sol parçası bir denklem (daha düşük) ve dELIM. Onun üzerinde sol parçası başka bir denklem (üstte). Benzer şekilde benzer şekilde: sağ parça bir denklem dELIM. üzerinde sağ parça Diğer.
Bütün bölüm süreci şöyle görünür:
Şimdi, azaltılan her şeyi azaltmak, biz:
S. 3 = -8
Bu şekilde iyi olan nedir? Böyle bir bölünme sürecinde, her şey iyi değil ve uygunsuz değildir, oldukça zararsız denklemi güvenle azaltabilir ve kalabilir! Bu yüzden çok önemli sadece çarpımları En azından sistem denklemlerinden birinde. Çarpma yok - kesilecek bir şey yok, evet ...
Genel olarak, bu yöntem (diğer birçok önemsiz çözme sistemlerinin diğer birçok yolu gibi) bile ayrı bir dersi hak ediyor. Daha ayrıntılı olarak çözdüğünüzden emin olun. Bir gün ...
Ancak, sistemi tam olarak nasıl çözdüğünüz önemli değil, her durumda, şimdi ortaya çıkan denklemi çözmemiz gerekiyor:
S. 3 = -8
Sorun yok: Kök (kübik) ve - hazır!
Lütfen buradaki ekstrakte ederken, artı / eksi koymak gerekli olmadığını unutmayın. Buluşa ait (üçüncü) derece köktir. Ve cevap da yalnız, evet.)
Böylece, ilerlemenin paydası bulunur. Eksi iki. Mükemmel! İşlem gider.)
İlk üye için (diyelim, üst denklemden) alacağız:
Mükemmel! İlk üyeyi biliyoruz, paydayı biliyoruz. Ve şimdi ilerlemenin herhangi bir üyesini bulma fırsatımız var. İkincisi dahil.)
İkinci üye için her şey tamamen basittir:
b. 2 = b. 1 · s. \u003d 3 · (-2) \u003d -6
Cevap: -6
Öyleyse, sorunu çözmenin cebirsel yolu, raflara attık. Karmaşık? Çok değil, katılıyorum. Uzun ve sıkıcı? Evet tabi ki. Ancak bazen iş miktarını önemli ölçüde azaltabilirsiniz. Bunun için grafik Yöntemi.İyi ve eski ve bize bize.)
Bir görev çizin!
Evet! Kesinlikle. Yine sayısal eksendeki ilerlememizi betimliyoruz. Mutlaka lineber üzerinde değil, üyeler arasındaki eşit aralıklara dayanmak gerekli değildir (bu arada, aynı olmayacak, çünkü ilerlemenin geometrik olduğu için), ama basitçe Şematik Bizim sıramızı çekiyoruz.
Bunu beğendim:
Ve şimdi resme bakıyoruz ve düşünüyoruz. Kaç tane aynı çarptı "Q" paylaşıyor dördüncü ve yedinci Üyeler? True, üç!
Bu nedenle, yazma hakkına sahibiz:
-24 ·s. 3 = 192
Buradan şimdi Q tarafından kolayca aranıyor:
s. 3 = -8
s. = -2
Bu iyi, payda zaten cebinizde. Ve şimdi resme tekrar bakıyoruz: Kaç bu payda arasında oturur İkinci ve dördüncü üyeler? İki! Bu nedenle, bu üyeler arasındaki bağlantıyı kaydetmek için, payda belirleyecektir kareden.
Burada yazıyoruz:
b. 2 · s. 2 = -24 Bundan! b. 2 = -24/ s. 2
Bulunan payımızı B2 ifadesinde değiştiriyoruz, inanıyoruz ve alıyoruz:
Cevap: -6
Gördüğünüz gibi, her şey sistemden daha kolay ve daha hızlıdır. Dahası, burada hepimizin ilk dick'i düşünmeleri bile gerek yoktu! Hiç.)
İşte böyle basit ve görsel bir yol ışığı. Ama ciddi bir dezavantajı var. Tahmin? Evet! Sadece çok kısa ilerleme parçaları için uygundur. İlgilenilen üyeler arasındaki mesafelerin çok büyük olmadığı yer. Ancak diğer tüm durumlarda, resim zaten çizilmesi zor, evet ... sonra sorunu analitik olarak, sistem aracılığıyla çözeriz.) Ve sistem evrenseldir. Herhangi bir sayı ile başa çıkmak.
Başka bir epik problem:
Geometrik ilerlemenin ikinci üyesi, birincilden 10'dur ve üçüncü üye saniyenden 30'dur. İlerleme payını bulun.
Soğuk olan nedir? Bir şey değil! Hepsi aynı. Yine Saf Cebir'de görevin durumunu tercüme ediyoruz.
1) Her üyeyi formül ile tanımlayın n.Üye!
İkinci terim: B 2 \u003d B 1 · q
Üçüncü Üye: B 3 \u003d B 1 · S2
2) Üyeler arasında problemin durumundan bir bağlantı yazın.
Durumu oku: "Geometrik ilerlemenin ikinci üyesi, ilkinden 10'dur." Dur, değerli!
Biz yazarız:
B. 2 = b. 1 +10
Ve bu cümle temiz matematiğe çevrilir:
B. 3 = b. 2 +30
İki denklem aldı. Onları sisteme birleştiriyoruz:
Sistem basittir. Ancak gagalarda birçok farklı indeks. İfadelerinin ikinci ve üçüncü üyelerinin yerine ilk üye ve paydaştan ikame! Boşuna, onları ne boyadık?
Alıyoruz:
Ancak bu sistem artık bir hediye değil, evet ... nasıl çözülür? Ne yazık ki, karmaşık çözme konusunda evrensel bir gizli büyü doğrusal olmayan Matematikte sistem yoktur ve olamaz. Fantastik! Fakat güçlü bir Nuthek gibi spryy yapmaya çalışırken akla gelmesi gereken ilk şey - bu tahmin, sistem denklemlerinden biri, örneğin değişkenlerden birini ifade etmeyi sağlayan güzel bir görüşe düşürülmez mi?
Bu yüzden tahmin ediyorum. Sistemin ilk denklemi, ikinci için açıkça daha kolaydır. İşkenceye tabi tutulur.) Ve ilk denklemden denemeyin bir şey ifade etmek bir şey mi? Bir payda bulmak istediğimiz için s., bizim için ifade etmemiz daha karlı olurdu. b. 1 vasıtasıyla s..
Bu yüzden, bu prosedürü ilk denklemle yapmaya çalışacağız, eski iyiliği uygulayarak:
b 1 Q \u003d B 1 +10
B 1 q - B 1 \u003d 10
B1 (q-1) \u003d 10
Her şey! Bu yüzden ifade ettik gereksiz ABD Değişkenliği (B 1) gerekli (S). Evet, alınan en kolay ifade değil. Kesir biraz ... ama sistemiz iyi bir seviyeye sahibiz, evet.)
Tipik. Ne yapmalı - bilir.
Biz yazarız ... (gereklidir!) :
s ≠ 1.
Her şeyi paydaya (Q-1) çarparız ve tüm kesirleri azaltıyoruz:
10 s. 2 = 10 s. + 30(s.-1)
İlk on için her şeyi böledik, parantezleri ortaya çıkardık, soldaki her şeyi topla:
s. 2 – 4 s. + 3 = 0
Elde edilen ve iki kök elde ettik:
s. 1 = 1
s. 2 = 3
Son cevap bir: s. = 3 .
Cevap: 3.
Gördüğünüz gibi, Geometrik Progresyonun N-TH üyesi formülündeki çoğu görevi çözme yolu her zaman birdir: oku dikkatlice Görevin durumu ve N-TH üyesi formülünü kullanarak tüm yararlı bilgileri temiz bir cebire çeviririz.
Yani:
1) Görev üyesinde verilen her birini formül tarafından ayrı olarak tanımladık.n.-Ho üye.
2) Görev şartlarından itibaren, üyeler arasındaki bağlantıyı matematiksel bir biçimde çeviririz. Bir denklem veya denklem sistemi yapın.
3) Elde edilen denklemi veya denklem sistemini çözün, bilinmeyen ilerleme parametrelerini buluruz.
4) Belirsiz bir cevap durumunda, ek bilgi arayışında (eğer varsa) sorunun durumunu dikkatlice okuduk. Ayrıca, sonuçta ortaya çıkan cevabı ODZ (varsa) ile ilgileniyoruz.
Ve şimdi, geometrik ilerlemenin problemlerini çözme sürecinde en sık hatalara giden ana problemleri listeliyoruz.
1. İlköğretim aritmetik. Kesir ve negatif sayılarla yapılan eylemler.
2. Eğer bu üç noktadan en az biri, bu konuda kaçınılmaz olarak karıştırılacaksınız. Ne yazık ki ... bu yüzden tembel olmayın ve yukarıda belirtilenleri tekrar etmeyin. Ve bağlantılarda - gidin. Bazen yardım eder.)
Değiştirilmiş ve tekrarlayan formüller.
Ve şimdi daha az tanıdık bir durum akışıyla birkaç tipik muayene görevini düşünün. Evet, evet, tahmin et! o değiştirilmiş ve tekrarlayan Formüller n-th üyesi. Bu tür formüllerle, zaten karşılaştık ve aritmetik ilerlemesinde çalıştık. Burada her şey benzer. Özü aynıdır.
Örneğin, Oge'dan böyle bir görev:
Geometrik ilerleme formül tarafından belirlenir b N. \u003d 3 · 2 N. . Üyelerinin birinci ve dördüncü toplamını bulun.
Bu sefer, ilerleme bize oldukça aşinamıyor. Bazı formül şeklinde. Ne olmuş yani? Bu formül - ayrıca formüln.Üye! Sizinle N-TH üyesi formülünün hem genel biçimde hem de harflerle yazabileceğini biliyoruz. Özel İlerleme. Dan Özel İlk üye ve paydaş.
Bizim durumumuzda, aslında bu tür parametrelerle birlikte geometrik ilerlemeye genel bir üyenin formülünü sorduk:
b. 1 = 6
S. = 2
Kontrol?) N-TH üyesinin formülünü genel olarak yazıyoruz ve bunun yerine b. 1 ve s.. Alıyoruz:
B N. = b. 1 · q N. -1
B N. \u003d 6 · 2 N. -1
Çarpanların ve derecelerin özelliklerinin ayrışmasını kullanarak basitleştiriyoruz ve biz:
b N. \u003d 6 · 2 N. -1 \u003d 3 · 2 · 2 N. -1 \u003d 3 · 2 N. -1+1 \u003d 3 · 2 N.
Gördüğünüz gibi, her şey dürüst. Ancak sizinle olan hedefimiz, belirli bir formülün sonucunu göstermemektir. Bu öyle, lirik geri çekilme. Tamamen anlayış için.) Amacımız, şartta bize verilen formül için görevi çözmektir. Yakalama?) Bu yüzden doğrudan değiştirilmiş bir formülle çalışıyoruz.
İlk terimi görüyoruz. Vekil n.=1 Genel olarak Formül:
b. 1 = 3 · 2 1 \u003d 3 · 2 \u003d 6
Böyle. Bu arada, dikkatinizi ilk üyenin hesaplanmasıyla tipik kucağa sığdırmam ve ödemiyorum. Yapmayın, formüle bakın. b N. \u003d 3 · 2 N., Hemen ilk üyenin troika olduğunu yazmak için acele et! Brüt bir hata, evet ...)
Devam ediyoruz. Vekil n.=4 ve dördüncü dick'i düşünüyoruz:
B. 4 = 3 · 2 4 \u003d 3 · 16 \u003d 48
Sonunda, gerekli tutarı düşünüyoruz:
B. 1 + b. 4 = 6+48 = 54
Cevap: 54.
Daha fazla görev.
Geometrik ilerlemeye sorulur:
B. 1 = -7;
B N. +1 = 3 b N.
Dördüncü ilerleme süresini bulun.
Burada ilerleme tekrarlayan formül tarafından ayarlanır. İyi tamam.) Böyle bir formül ile nasıl çalışılır - Ayrıca biliyoruz.
Öyleyse hareket et. Adımlar.
1) İki tane düşünüyoruz tutarlı İlerleme Üyesi.
İlk üye zaten ayarlandı. Eksi yedi. Ancak bir sonraki, ikinci üye tekrarlayan formülde kolayca hesaplayabilir. Elbette çalışmalarının ilkesini anlarsanız.)
Burada ikinci üyeyi düşünüyoruz Ünlülere göre ilk:
B. 2 = 3 b. 1 \u003d 3 · (-7) \u003d -21
2) İlerleme payını düşünüyoruz
Ayrıca sorun yok. Düz, Delim. ikinci Üyesi ilk.
Alıyoruz:
S. = -21/(-7) = 3
3) Formül yazn.- Her zamanki formda üye ve istenen üyeyi düşünün.
Öyleyse, ilk üye, payda - de. Burada yazıyoruz:
B N. \u003d -7 · 3 N. -1
B. 4 \u003d -7 · 3 3 = -7 · 27 \u003d -189
Cevap: -189
Gördüğünüz gibi, geometrik progresyon için bu tür formüllerle çalışmak, aritmetik progresyonu için ondan itibaren özünden başka değildir. Bu formüllerin genel özünü ve anlamını anlamak sadece önemlidir. Geometrik ilerlemenin anlamı da anlaşılmalıdır, evet.) Ve sonra aptalca hata olmayacak.
Peki, kendini sevin mi?)
Isınma için temel görevleri tamamlayın:
1. Dana Geometrik İlerleme b. 1 \u003d 243 ve s. \u003d -2/3. İlerlemenin altıncı üyesini bulun.
2. Geometrik ilerlemenin genel üyesi formül tarafından belirlenir. b N. = 5∙2 N. +1 . Bu ilerlemenin son üç basamaklı üyesinin numarasını bulun.
3. Geometrik ilerlemenin şartları ile belirlenir:
B. 1 = -3;
B N. +1 = 6 b N.
İlerlemenin beşinci üyesini bulun.
Biraz daha karmaşık:
4. Dana Geometrik İlerleme:
B. 1 =2048; s. =-0,5
Altıncı olumsuz üye nedir?
Superer gibi görünüyor? Bir şey değil. Geometrik ilerlemenin anlamını mantığını ve anlayışını kaydedin. Tabii ki, N-TH üyesinin formülü.
5. Geometrik ilerlemenin üçüncü üyesi -14'dir ve sekizinci eleman 112'dir. İlerlemenin paydaşını bulun.
6. Geometrik ilerlemenin birinci ve ikinci üyesinin toplamı 75'tir ve ikinci ve üçüncü üyelerin toplamı 150'dir. İlerlemenin altıncı üyesini bulun.
Cevaplar (bozuklukta): 6; -3888; -bir; 800; -32; 448.
Bu neredeyse her şey. Sadece bizi düşünmeyi öğrenmek için kalır geometrik ilerlemenin ilk üyelerinin toplamı Evet, keşfet sonsuz Geometrik İlerlemeyi Düşen ve onun toplamı. Bu arada, çok ilginç ve sıradışı bir şey! Hakkında - aşağıdaki derslerde.)
Matematik budur, bu yüzdenİnsanlar doğayı ve kendilerini kontrol eder.
Sovyet matematikçi, akademisyen A.N. Kolmogorov
Geometrik ilerleme.
Aritmetik ilerlemenin görevleriyle birlikte, geometrik ilerleme konseptiyle ilgili problemler matematikte giriş testlerinde yaygındır. Bu tür görevleri başarıyla çözmek için, geometrik ilerlemenin özelliklerini bilmek ve iyi kullanım becerilerine sahip olması gerekir.
Bu makale, geometrik ilerlemenin ana özelliklerinin sunumuna ayrılmıştır. İşte tipik görevlerin çözümlerine örnekler., Matematikte giriş testlerinin görevlerinden ödünç alındı.
Önceden geometrik progresyonun temel özelliklerini not edin ve en önemli formülleri ve onayını hatırlatın, Bu kavramla ilişkili.
Tanım. Sayısal dizinin, bir önceki kadarıyla bir önceki kişiye eşit olanın aynı numarası ile çarpılmasından başlayarak sayısal dizinin geometrik ilerleme denir. Sayı, geometrik ilerlemenin payında denir.
Geometrik ilerleme içinformüller geçerlidir
, (1)
nerede. Formül (1), geometrik ilerlemenin genel bir üyesinin formülü olarak adlandırılır ve formül (2), geometrik ilerlemenin ana özelliğidir: ilerlemenin her bir üyesi, komşu üyelerinin ortalama geometrikiyle çakışmaktadır.
Not Bu özellik nedeniyle tam olarak, dikkate alınan ilerleme "geometrik" olarak adlandırılır.
Yukarıdaki formüller (1) ve (2) aşağıdaki gibi genelleştirilir:
, (3)
Toplamı hesaplamak için İlk Geometrik İlerleme Üyeleri Formül uygulanır
Eğer belirlerseniz, o zaman
nerede. O zamandan beri, formül (6), formülün (5) genelleştirilmesidir.
Durumunda ne zaman ve geometrik ilerleme sonsuz şekilde azalır. Toplamı hesaplamak içingeometrik ilerlemenin sonsuz azalan tüm üyeleri formül kullanılır.
. (7)
Örneğin , Formül (7) yardımı ile gösterebilirsiniz, ne
nerede. Bu eşitlikler, (ilk eşitlik) ve (ikinci eşitlik) sağlanan formülden (7) elde edilir.
Teorem. Eğer o zaman
Kanıt. Eğer o zaman
Teoremi kanıtlandı.
"Geometrik Progression" konusundaki sorun çözme örnekleri dikkate alınmasına izin verin.
Örnek 1. Dano: ve. Bulmak .
Karar. Formül (5) uygulayınsa, o zaman
Cevap:.
Örnek 2.Bırak olsun. Bulmak .
Karar. Çünkü formülleri (5), (6) kullanıyoruz ve denklem sistemini elde ettik.
İkinci sistem denklemi (9) ilk ayrılırsa, sonra veya. Dolayısıyla I. . İki vakayı düşünün.
1. Eğer, Sonra sistemin ilk denkleminden (9).
2. Eğer öyleyse.
Örnek 3.Ve ve. Bulmak .
Karar. Formül (2) 'den, bunu izler. O zamandan beri ya da.
Durumuna göre. Bununla birlikte. Dan beri Sonra burada bir denklem sistemi var
Sistemin ikinci denklemi birinciye bölünürse, o zaman veya.
O zamandan beri, denklemin tek uygun kökü vardır. Bu durumda, sistemin ilk denkleminden akar.
Formülü (7) dikkate alarak alırız.
Cevap:.
Örnek 4.Danar: ve. Bulmak .
Karar. O zamandan beri.
O zamandan beri ya da
Formül (2) 'de göre sahibiz. Bu bağlamda, eşitlikten (10) alıyoruz.
Ancak, durumla, bu nedenle.
Örnek 5. Bunun bilinmesidir. Bulmak .
Karar. Teorem'e göre iki eşitliğimiz var
O zamandan beri ya da. O zamandan beri.
Cevap:.
Örnek 6. Danar: ve. Bulmak .
Karar. Formülü (5) dikkate alarak,
O zamandan beri. O zamandan beri ve sonra.
Örnek 7. Bırak olsun. Bulmak .
Karar. Formül (1) 'e göre kaydedebilirsiniz.
Bu nedenle, biz var veya. Bu nedenle bilinmesidir.
Cevap:.
Örnek 8. Geometrik ilerlemeyi azalan sonsuz bir mezhepçi bulun
ve.
Karar. Formül (7) 'den ve . Buradan ve görev şartlarından itibaren bir denklem sistemi elde ediyoruz
Sistemin ilk denklemi bir kare inşa etmekse, ve elde edilen denklem ikinci denkleme ayrılır, Alırım
Veya.
Cevap:.
Örnek 9. Dizinin geometrik ilerleme olduğu tüm değerleri bulun.
Karar. Ve ve. Geometrik ilerlemenin temel özelliklerini belirleyen Formül (2) göre kaydedilebilir veya.
Buradan kare bir denklem alıyoruz, Kökleri ve.
Kontrol yapın: eğer, sonra; Eğer, o zaman ve.
İlk durumda biz var Ve ve ikincisinde - ve.
Cevap: ,.
Örnek 10.Denklemi Çözme
, (11)
nerede ve.
Karar. Denklemin sol kısmı (11), aşağıdakileri sağlayan, aşağıdakileri sağlayan sonsuz geometrik ilerlemenin toplamıdır: ve.
Formül (7) 'den, ne . Bu bağlamda, denklem (11) veya . Uygun kök kare denklemi
Cevap:.
Örnek 11.P pozitif sayıların anlaşması Aritmetik ilerlemeyi oluşturur, fakat - Geometrik ilerleme, ne ilgisi var. Bulmak .
Karar.Gibi aritmetik diziT. (Aritmetik ilerlemenin ana özelliği). Gibi, sonra veya. Bu ima eder, Geometrik ilerlemenin formu var. Formüle göre (2), sonra bunu yaz.
Olduğu gibi . Bu durumda, ifade bir görünüm alır veya. Şartla, Bu nedenle, denklemden Söz konusu sorunun tek çözümü. .
Cevap:.
Örnek 12.Toplamı hesapla
. (12)
Karar. 5'e eşitlikte (12) 5'e çarpın ve
Elde edilen ifadeden bastırılmışsa (12)T.
veya.
Hesaplama için, değerlerin (7) formülünde ikame ediyoruz ve biz alırız. O zamandan beri.
Cevap:.
Burada verilen çözme çözümlerinin örnekleri, tanıtım testlerine hazırlanırken başvuru sahiplerine faydalı olacaktır. Problem çözme yöntemlerinin daha derin bir çalışması için, Geometrik ilerleme ile ilişkili, Tavsiye edilen literatür listesinden ders kitaplarını kullanabilirsiniz.
1. Matematikte problemlerin toplanması Toprağın / ed'den gelenler için. Mİ. Schanavi. - m.: Dünya ve Eğitim, 2013. - 608 s.
2. Suprun v.p. Lise öğrencileri için matematik: Okul programının ek bölümleri. - m.: Lenand / urss, 2014. - 216 s.
3. Tıbbi M.M. Görev ve alıştırmalarda temel matematiğin tam seyri. Kitap 2: Sayısal diziler ve ilerleme. - m.: Oditus, 2015. - 208 s.
Sorularım var?
Bir öğretmen yardımı almak için - Kayıt olun.
site, orijinal kaynağa olan malzeme referansının tam veya kısmi kopyalanmasıyla gereklidir.
Aritmetik ve Geometrik İlerleme
Teorik bilgi
Teorik bilgi
Aritmetik ilerleme |
Geometrik ilerleme |
|
Tanım |
Aritmetik ilerleme bir N. Sıra, her bir üyenin, ikinciden başlayarak, önceki üyeye eşittir, aynı sayıda katlanmıştır. d. (d. - İlerleme Farkı) |
Geometrik ilerleme b N. Sıfır olmayan sayıların sırası, her bir üyenin, ikinciden başlayarak önceki üyedir, aynı sayı ile çarpılan s. (s. - İlerleme Denominator) |
Tekrarlayan formül |
Herhangi bir doğal için n. |
Herhangi bir doğal için n. |
Formül yok |
a n \u003d a 1 + d (n - 1) |
b N \u003d B 1 ∙ Q N - 1, B N ≠ 0 |
| Karakteristik özellik |  |
|
| N-ilk üyeler |  |
 |
Yorumlarla görev örnekleri
1. Egzersiz
Aritmetik İlerlemede ( bir N.) 1. = -6, 2.
Üyenin formülüne göre:
22. = 1. + d (22 - 1) \u003d 1. + 21 D.
Şartla:
1. \u003d -6, sonra 22. \u003d -6 + 21 d.
İlerlemedeki farkı bulmak gerekir:
d \u003d. 2 - A 1 = -8 – (-6) = -2
22. = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Cevap: 22. = -48.
Görev 2.
Geometrik ilerlemenin beşinci üyesini bulun: -3; 6; ....
1. yöntem (N formülünü kullanarak)
Geometrik ilerlemenin üyesi formülüne göre:
b 5 \u003d B 1 ∙ Q 5 - 1 = b 1 ∙ Q 4.
Gibi b 1. = -3,
2. yöntem (tekrarlayan bir formül kullanarak)
İlerleme paydasının -2 olduğundan (Q \u003d -2), o zaman:
b 3. = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4. = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5. = 24 ∙ (-2) = -48.
Cevap: b 5. = -48.
Görev 3.
Aritmetik İlerlemede ( a n) bir 74 = 34; a 76. \u003d 156. Bu ilerlemenin yetmiş beşinci üyesini bulun.
Aritmetik ilerleme için, karakteristik özelliğin formu vardır. 
.
Bu nedenle:
.
Formüldeki verileri değiştirin:
Cevap: 95.
Görev 4.
Aritmetik İlerlemede ( a n) a n \u003d 3n - 4. On yedi ilk üyenin toplamını bulun.
N aritmetik ilerlemenin ilk üyelerinin toplamını bulmak için iki formül kullanılır:
.
Ne kadar uygulanacak daha uygun?
Durum altında, ilk ilerlemenin N-WHO üyesinin formülü ile bilinmektedir ( bir N.) bir N. \u003d 3n - 4 hemen bulunabilir ve 1., BEN. a 16. bulmadan d. Bu nedenle, ilk formülü kullanıyoruz.
Cevap: 368.
Görev 5.
Aritmetik İlerlemede ( bir N.) 1. = -6; 2. \u003d -8. Yirmi ikinci bir ilerleme üyesi bulun.
Üyenin formülüne göre:
a 22 \u003d A 1 + D (22 – 1) = 1. + 21d.
Durumun altında 1. \u003d -6 sonra 22. \u003d -6 + 21d. İlerlemedeki farkı bulmak gerekir:
d \u003d. 2 - A 1 = -8 – (-6) = -2
22. = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Cevap: 22. = -48.
Görev 6.
Geometrik ilerlemenin ardışık birkaç üyesi kaydedilir:
X harfi ile gösterilen ilerlemenin bir üyesini bulun.
Çözerken, N-TH üyesinin formülünü kullanıyoruz. b N \u003d B 1 ∙ Q N - 1 Geometrik ilerlemeler için. İlerlemenin ilk üyesi. Q'un ilerlemesinin bir paydaşını bulmak için, ilerlemenin ilerlemesinin verilerini almanız ve öncekine bölünmeniz gerekir. Örneğimize göre, alıp bölünür. Bu q \u003d 3'ü elde ediyoruz, formülde n yerine, 3'ü değiştiririz, çünkü geometrik ilerlemeyle verilen üçüncü bir terimin bulunması gerektiğinden.
Bulunan değerleri formülde taşımak, biz alırız:
.
Cevap:.
Görev 7.
N-TH üyesinin formülüne verilen aritmetik ilerlemeden, durumun yapıldığı birini seçin. 27. > 9:
Progresyonun 27. üyesi için belirtilen koşul yapılması gerektiğinden, dört ilerlemenin her birine n yerine 2'yu değiştireceğiz. 4. Progresyonunda:
.
Cevap: 4.
Görev 8.
Aritmetik İlerlemede 1. \u003d 3, D \u003d -1.5. Eşitsizliğin yapıldığı n'nin en yüksek değerini belirtin bir N. > -6.
Yükleniyor...