Hipotenüsün uzunluğu nasıl hesaplanır. Sağ Üçgen Çözümü

Sağ üçgen çok sayıda bağımlılık içerir. Bu, onu çeşitli geometrik problemler için çekici bir nesne yapar. En yaygın sorunlardan biri hipotenüsü bulmaktır.

sağ üçgen

Bir dik üçgen, bir dik açı içeren bir üçgendir, yani. 90 derecelik açı. Sadece bir dik üçgende trigonometrik fonksiyonlar kenarlar cinsinden ifade edilebilir. İsteğe bağlı bir üçgende, ek yapıların yapılması gerekecektir.
Bir dik üçgende, kenarlara denk gelen üç yükseklikten ikisine bacak denir. Üçüncü tarafa hipotenüs denir. Hipotenüse çizilen yükseklik, bu üçgen türünde ek yapılar gerektiren tek yüksekliktir.

Pirinç. 1. Üçgen türleri.

Bir dik üçgenin açıları geniş olamaz. Tıpkı ikinci bir dik açının varlığının imkansız olması gibi. Bu durumda, her zaman 180 dereceye eşit olan bir üçgenin iç açıları toplamının özdeşliği bozulur.

Hipotenüs

Doğrudan üçgenin hipotenüsüne gidelim. Hipotenüs üçgenin en uzun kenarıdır. Hipotenüs her zaman bacakların herhangi birinden büyüktür, ancak her zaman bacakların toplamından küçüktür. Bu, üçgen eşitsizliği teoreminin bir sonucudur.

Teorem, bir üçgende kenarların hiçbirinin diğer ikisinin toplamından daha büyük olamayacağını söylüyor. Teoremin ikinci bir formülasyonu veya ikinci kısmı da vardır: bir üçgende, daha büyük kenarın karşısında daha büyük bir açı vardır ve bunun tersi de geçerlidir.

Pirinç. 2. Sağ üçgen.

Bir dik üçgende, dik açı büyük bir açıdır, çünkü daha önce bahsedilen nedenlerden dolayı ikinci bir dik açı veya geniş açı olamaz. Bu, en uzun kenarın her zaman dik açının karşısında olduğu anlamına gelir.

Tam olarak dik açılı bir üçgenin neden her bir kenar için ayrı bir isim hak ettiği anlaşılmaz görünüyor. Aslında, bir ikizkenar üçgende, kenarların da kendi adları vardır: kenarlar ve taban. Ancak öğretmenlerin özellikle ikili koymayı sevdikleri bacaklar ve hipotenüsler içindir. Niye ya? Bir yandan, bu, matematiğin mucitleri olan eski Yunanlıların anısına bir övgüdür. Dik açılı üçgenleri inceleyen ve bu bilgiyle birlikte modern bilimin üzerine inşa edildiği bütün bir bilgi katmanını bırakan onlardı. Öte yandan, bu isimlerin varlığı, teoremlerin ve trigonometrik özdeşliklerin formülasyonunu büyük ölçüde basitleştirir.

Pisagor teoremi

Bir öğretmen bir dik üçgenin hipotenüs formülünü sorarsa, o zaman %90 olasılıkla Pisagor teoremini kastediyor. Teorem diyor ki: bir dik üçgende, hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir.

Pirinç. 3. Bir dik üçgenin hipotenüsü.

Teoremin ne kadar açık ve özlü bir şekilde formüle edildiğine dikkat edin. Böyle bir basitlik, hipotenüs ve bacak kavramlarını kullanmadan elde edilemez.

Teorem aşağıdaki formüle sahiptir:

$c^2=b^2+a^2$ - burada c hipotenüs, a ve b bir dik üçgenin bacaklarıdır.

Ne öğrendik?

Dik üçgenin ne olduğundan bahsettik. Bacak ve hipotenüs isimlerini neden bulduklarını öğrendik. Hipotenüsün bazı özelliklerini bulduk ve Pisagor teoremi aracılığıyla bir üçgenin hipotenüs uzunluğunun formülünü verdik.

Konu testi

Makale değerlendirmesi

Ortalama puanı: 4.6. Alınan toplam puan: 213.

Dik üçgenler konusunu çalıştıktan sonra, öğrenciler genellikle onlar hakkındaki tüm bilgileri kafalarından atarlar. Hipotenüsün nasıl bulunacağı dahil, ne olduğundan bahsetmiyorum bile.

Ve boşuna. Çünkü gelecekte, dikdörtgenin köşegeni tam da bu hipotenüs olacak ve bulunması gerekiyor. Veya dairenin çapı, açılarından biri dik olan üçgenin en büyük kenarına denk gelir. Ve bu bilgi olmadan onu bulmak imkansızdır.

Bir üçgenin hipotenüsünü bulmanın birkaç yolu vardır. Yöntem seçimi, miktarlar problemindeki ilk veri setine bağlıdır.

Yöntem numarası 1: her iki bacak da verilir

Bu en akılda kalan yöntemdir çünkü Pisagor teoremini kullanır. Sadece bazen öğrenciler bu formülün hipotenüsün karesi olduğunu unuturlar. Yani, kenarı bulmak için karekök almanız gerekecek. Bu nedenle, genellikle "c" harfi ile gösterilen hipotenüs formülü şöyle görünecektir:

c = √ (a 2 + a 2), burada "a" ve "b" harfleri bir dik üçgenin her iki ayağında da yazılır.

Yöntem numarası 2: bacak ve ona bitişik açı biliniyor

Hipotenüsü nasıl bulacağınızı öğrenmek için trigonometrik fonksiyonları hatırlamanız gerekir. Yani kosinüs. Kolaylık sağlamak için, "a" ayağının ve ona bitişik olan α açısının verildiğini varsayacağız.

Şimdi bir dik üçgenin açısının kosinüsünün iki kenarın oranına eşit olduğunu hatırlamamız gerekiyor. Pay, bacağın değeri olacak ve payda, hipotenüs olacaktır. Bundan, ikincisi aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

c = a / cos α.

Yöntem numarası 3: bacak ve karşısında duran açı verilir

Formüllerde kafa karıştırmamak için, bu açı - β için bir tanım getiriyoruz ve tarafı "a" olarak bırakıyoruz. Bu durumda, başka bir trigonometrik fonksiyon gereklidir - sinüs.

Önceki örnekte olduğu gibi, sinüs, bacağın hipotenüse oranına eşittir. Bu yöntemin formülü şöyle görünür:

c \u003d a / günah β.

Trigonometrik fonksiyonlarda kafanız karışmaması için basit bir anımsatıcı kuralı hatırlayabilirsiniz: hakkında karşı köşe, o zaman ile kullanmanız gerekir ve nous eğer - oh pr ve yalan, sonra hakkında sinüs. Anahtar kelimelerdeki ilk sesli harflere dikkat edin. çiftler oluştururlar Oh ve veya ve hakkında.

Yöntem numarası 4: çevrelenmiş dairenin yarıçapı boyunca

Şimdi, hipotenüsü nasıl bulacağınızı bulmak için, bir dik üçgen etrafında tanımlanan dairenin özelliğini hatırlamanız gerekir. Aşağıdaki gibi okur. Dairenin merkezi, hipotenüsün orta noktası ile çakışmaktadır. Başka bir deyişle, bir dik üçgenin en uzun kenarı dairenin köşegenine eşittir. Yani, yarıçapı ikiye katlayın. Bu görevin formülü şöyle görünecektir:

c = 2 * r, burada r bilinen yarıçapı gösterir.

Bunların hepsi bir dik üçgenin hipotenüsünü bulmanın olası yollarıdır. Her belirli görevde, veri seti için daha uygun olan yöntemi kullanmanız gerekir.

1 numaralı görev örneği

Durum: dik açılı bir üçgende, medyanlar her iki bacağa da çizilir. Büyük tarafa çizilenin uzunluğu √52'dir. Diğer medyanın uzunluğu √73'tür. Hipotenüsü hesaplamanız gerekir.

Ortancalar bir üçgen içinde çizildiğinden, bacakları iki eşit parçaya bölerler. Akıl yürütmenin ve hipotenüsün nasıl bulunacağını bulmanın rahatlığı için, birkaç gösterim tanıtmanız gerekir. Büyük bacağın her iki yarısı “x” harfiyle ve diğer yarısı “y” ile işaretlensin.

Şimdi hipotenüsleri medyanları bilinen iki dik üçgeni ele almamız gerekiyor. Onlar için Pisagor teoreminin formülünü iki kez yazmanız gerekir:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2 .

Bu iki denklem, iki bilinmeyenli bir sistem oluşturur. Onları çözdükten sonra, orijinal üçgenin bacaklarını ve hipotenüsünü onlardan bulmak kolay olacaktır.

İlk önce her şeyi ikinci dereceye yükseltmeniz gerekir. Çıkıyor:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

İkinci denklemden y 2 \u003d 73 - 4x 2 olduğu görülebilir. Bu ifade birinciye ikame edilmeli ve "x" hesaplanmalıdır:

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

Dönüşümden sonra:

292 - 16 x 2 + x 2 \u003d 52 veya 15 x 2 \u003d 240.

Son ifadeden x = √16 = 4.

Şimdi "y"yi hesaplayabilirsiniz:

y 2 \u003d 73 - 4 (4) 2 \u003d 73 - 64 \u003d 9.

Duruma göre, orijinal üçgenin bacaklarının 6 ve 8 olduğu ortaya çıkıyor. Böylece, formülü ilk yöntemden kullanabilir ve hipotenüsü bulabilirsiniz:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Cevap: hipotenüs 10'dur.

Görev örneği #2

Koşul: Daha küçük kenarı 41 olan bir dikdörtgende çizilen köşegeni hesaplayın. Açıyı 2 ile 1 arasında ilişkili olanlara böldüğü biliniyorsa.

Bu problemde, bir dikdörtgenin köşegeni 90º üçgende en uzun kenardır. Yani her şey hipotenüsün nasıl bulunacağına geliyor.

Sorun köşelerle ilgili. Bu, trigonometrik fonksiyonların bulunduğu formüllerden birini kullanmanız gerekeceği anlamına gelir. Ve önce dar açılardan birinin değerini belirlemeniz gerekir.

Koşulda belirtilen açılardan küçük olanı α ile gösterilsin. O zaman köşegenle bölünen dik açı 3α'ya eşit olacaktır. Bunun matematiksel gösterimi şöyle görünür:

Bu denklemden a'yı belirlemek kolaydır. 30º'ye eşit olacaktır. Ayrıca, dikdörtgenin küçük tarafının karşısında yer alacaktır. Bu nedenle, yöntem No. 3'te açıklanan formül gerekli olacaktır.

Hipotenüs, bacağın karşı açının sinüsüne oranına eşittir, yani:

41 / günah 30º = 41 / (0,5) = 82.

Cevap: Hipotenüs 82'dir.

Üçgen, aynı doğru üzerinde olmayan üç noktayı birleştiren üç parçadan oluşan geometrik bir sayıdır. Bir üçgen oluşturan noktalara noktaları denir ve parçalar yan yanadır.

Üçgenin türüne (dikdörtgen, monokrom vb.) bağlı olarak, giriş verilerine ve problemin koşullarına bağlı olarak üçgenin kenarını farklı şekillerde hesaplayabilirsiniz.

Bir makale için hızlı gezinme

Bir dik üçgenin kenarlarını hesaplamak için, hipotenüsün karesinin bacağın karelerinin toplamına eşit olduğu Pisagor teoremi kullanılır.

Bacakları "a" ve "b" ve hipotenüsü "c" ile etiketlersek, aşağıdaki formüllerle sayfalar bulunabilir:

Bir dik üçgenin (a ve b) dar açıları biliniyorsa, kenarları aşağıdaki formüllerle bulunabilir:

kırpılmış üçgen

Her iki kenarı da aynı olan üçgene eşkenar üçgen denir.

İki bacakta hipotenüs nasıl bulunur

"a" harfi aynı sayfa, "b" taban, "b" tabanın karşısındaki köşe, "a" bitişik köşe ise, sayfaları hesaplamak için aşağıdaki formüller kullanılabilir:

İki köşe ve yan

Herhangi bir üçgenin bir sayfası (c) ve iki açısı (a ve b) biliniyorsa, kalan sayfaları hesaplamak için sinüs formülü kullanılır:

Üçüncü y = 180 - (a + b) değerini bulmalısınız çünkü

bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180°'dir;

İki kenar ve bir açı

Bir üçgenin iki kenarı (a ve b) ve aralarındaki açı (y) biliniyorsa, üçüncü kenarı hesaplamak için kosinüs teoremi kullanılabilir.

Bir dik üçgenin çevresi nasıl belirlenir

Üçgen üçgen, biri 90 derece olan ve diğer ikisi dar olan bir üçgendir. hesaplama çevreçok üçgen hakkında bilinen bilgi miktarına bağlıdır.

Ona ihtiyacın olacak

Duruma bağlı olarak, üçgenin üç kenarından 2'sinin yanı sıra keskin köşelerinden biri.

Talimatlar

ilk Yöntem 1. Üç sayfanın tümü biliniyorsa üçgen Ardından, dik olsun veya olmasın, çevre şu şekilde hesaplanır: P = A + B + C, mümkünse, c hipotenüstür; a ve b bacaklardır.

ikinci Yöntem 2.

Bir dikdörtgenin sadece iki kenarı varsa, Pisagor teoremini kullanarak, üçgenşu formül kullanılarak hesaplanabilir: P = v (a2 + b2) + a + b veya P = v (c2 - b2) + b + c.

üçüncü Yöntem 3. Hipotenüs c ve bir dar açı olsun? Verilen bir dik üçgenin çevresini şu şekilde bulmak mümkün olacaktır: P = (1 + sin?

dördüncü Yöntem 4. Sağ üçgende bir bacağın uzunluğunun a'ya eşit olduğunu ve tam tersine dar bir açıya sahip olduğunu söylüyorlar. sonra hesapla çevre Bu üçgen formüle göre yapılacaktır: P = a * (1 / tg?

1 / oğlum? + 1)

beşinci Yöntem 5.

Üçgen Çevrimiçi Hesaplama

Bacağımız önde olsun ve buna dahil olsun, o zaman aralık şu şekilde hesaplanacaktır: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

benzer videolar

Pisagor teoremi, herhangi bir matematiğin temelidir. Gerçek bir üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi belirtir. Şimdi bu teoremin 367 ispatı var.

Talimatlar

ilk Pisagor teoreminin klasik okul formülasyonu şuna benzer: hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir.

İki Catet'lik bir dik üçgende hipotenüsü bulmak için, bacakların uzunluğunu kareye çevirmeli, birleştirmeli ve toplamın karekökünü almalısınız. İfadesinin orijinal formülasyonunda, piyasa, Catete tarafından üretilen 2 karenin karelerinin toplamına eşit olan hipotenüsü temel alır. Bununla birlikte, modern cebirsel formülasyon, bir alan temsilinin sunulmasını gerektirmez.

ikinciÖrneğin, bacakları 7 cm ve 8 cm olan bir dik üçgen.

O zaman Pisagor teoremine göre kare hipotenüs R + S = 49 + 64 = 113 cm'dir. Hipotenüs 113'ün kareköküne eşittir.

Bir dik üçgenin açıları

Sonuç mantıksız bir sayıydı.

üçüncüÜçgenler 3 ve 4 numaralı bacaklarsa, hipotenüs = 25 = 5. Karekök aldığınızda doğal bir sayı elde edersiniz. 3, 4, 5 sayıları x? bağıntısını sağladığı için bir Pigagor üçlüsü oluşturur. +Y? = Z, ki bu doğaldır.

Pisagor üçlüsünün diğer örnekleri şunlardır: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

dördüncü Bu durumda bacaklar birbiriyle özdeş ise Pisagor teoremi daha ilkel bir denkleme dönüşür. Örneğin, böyle bir el A sayısına eşit olsun ve hipotenüs C için tanımlansın ve sonra c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Bu durumda, A'ya ihtiyacınız yoktur.

beşinci Pisagor teoremi, ikisi arasındaki herhangi bir açı için bir üçgenin üç tarafı arasında bir ilişki kuran genel kosinüs teoreminden daha büyük özel bir durumdur.

İpucu 2: Bacaklar ve açılar için hipotenüs nasıl belirlenir

Hipotenüs, bir dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenar olarak adlandırılır.

Talimatlar

ilkİyi bilinen kateterlerin yanı sıra bir dik üçgenin akut açısı durumunda, hipotenüs boyutu, açının zıt olması durumunda bacağın bu açının kosinüs / sinüsüne oranına eşit olabilir / e şunları içerir: H = C1 (veya C2) / sin, H = C1 (veya С2 ?) / cos?. Örnek: ABC'ye hipotenüsü AB ve dik açısı C olan düzensiz bir üçgen verilsin.

B 60 derece ve A 30 derece olsun. BC sapının uzunluğu 8 cm, AB hipotenüsünün uzunluğu bulunmalıdır. Bunu yapmak için yukarıdaki yöntemlerden birini kullanabilirsiniz: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hipotenüs dikdörtgenin en uzun kenarıdır üçgen. Dik açıda bulunur. Bir dikdörtgenin hipotenüsünü bulma yöntemi üçgen kaynak verilere bağlı olarak.

Talimatlar

ilk Bacaklarınız dik ise üçgen, sonra dikdörtgenin hipotenüsünün uzunluğu üçgen Pisagor analogu tarafından bulunabilir - hipotenüsün uzunluğunun karesi, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir: c2 = a2 + b2, burada a ve b sağdaki bacakların uzunluğudur üçgen .

ikinci Biliniyorsa ve bacaklardan biri dar bir açıdaysa, hipotenüsü bulma formülü, bilinen bacağa göre belirli bir açıda varlığına veya yokluğuna bağlı olacaktır - bitişik (bacak yakın) veya mengene tam tersi (tersi durum nego.V bulunur, belirtilen açının fraksiyonu bacak hipotenüsüne eşittir: kosinüs açısında: a = a / cos; E, diğer yandan, hipotenüs sinüzoidal açıların oranı ile aynıdır: da = a / günah.

benzer videolar

Yardımcı ipuçları
Kenarları 3:4:5 olarak bağlanan bir açısal üçgen, bu figürlerin eski Mısır mimarları tarafından yaygın olarak kullanılmasından dolayı Mısır deltası olarak adlandırılmıştır.

Bu aynı zamanda sayfalar ve alanlar tamsayılarla temsil edilen Jeron üçgenlerinin en basit örneğidir.

Açısı 90° olan üçgene dikdörtgen denir. Sağ köşenin karşısındaki tarafa hipotenüs, diğer tarafa bacaklar denir.

Düzgün üçgenlerin bazı özelliklerinden bir dik üçgenin nasıl oluştuğunu bulmak istiyorsanız, yani dar açıların toplamının 90 ° olduğu ve karşı bacağın uzunluğunun hipotenüsün yarısı olduğu gerçeği kullanılır. 30°'dir.

Bir makale için hızlı gezinme

kırpılmış üçgen

Eşit üçgenin özelliklerinden biri de iki açısının aynı olmasıdır.

Bir dik eşkenar üçgenin açısını hesaplamak için şunları bilmeniz gerekir:

90°'den daha kötü değil.
Dar açıların değerleri şu formülle belirlenir: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, yani.
A ve β açıları 45°'dir.

Dar açılardan birinin bilinen değeri biliniyorsa, diğeri şu formül kullanılarak bulunabilir: β = 180º-90º-α veya α = 180º-90º-β.

Bu oran en çok, açılardan biri 60° veya 30° ise kullanılır.

Anahtar kavramlar

Bir üçgenin iç açıları toplamı 180° dir.

Bir seviye olduğu için, iki keskin kalır.

Üçgeni çevrimiçi hesaplayın

Onları bulmak istiyorsanız, şunu bilmelisiniz:

öbür metodlar

Bir dik üçgenin dar açı değerleri, ortalamadan hesaplanabilir - üçgenin karşı tarafındaki bir noktadan bir çizgi ve yükseklik - çizgi, hipotenüsten dik açıyla çizilen bir diktir.

Medyan, hipotenüsün sağ köşesinden ortasına kadar uzansın ve h yükseklik olsun. Bu durumda ortaya çıkıyor:

sinα = b / (2 * s); günah β = a / (2 * s).
cosα = a / (2 * s); çünkü β = b / (2 * s).
sinα = h / b; günah β = h / a.

İki sayfa

Hipotenüsün ve bacaklardan birinin uzunlukları bir dik üçgende veya iki taraftan biliniyorsa, dar açıların değerlerini belirlemek için trigonometrik özdeşlikler kullanılır:

α=arksin(a/c), β=arksin(b/c).
α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
α = arktan (a / b), β = arktan (b / a).

Bir dik üçgenin uzunluğu

Üçgenin Alanı ve Alanı

çevre

Herhangi bir üçgenin çevresi, üç kenarının uzunluklarının toplamına eşittir. Üçgen bir üçgen bulmak için genel formül:

P üçgenin çevresi, a, b ve c kenarlarıdır.

Bir eşit üçgenin çevresi Kenar uzunluklarını art arda birleştirerek veya kenar uzunluğunu 2 ile çarparak ve taban uzunluğunu ürüne ekleyerek bulunabilir.

Bir denge üçgeni bulmak için genel formül şöyle görünecektir:

burada P, eşit bir üçgenin çevresidir, ancak b, b'den herhangi biri tabandır.

Bir eşkenar üçgenin çevresi Kenar uzunluklarını art arda birleştirerek veya herhangi bir sayfanın uzunluğunu 3 ile çarparak bulunabilir.

Eşkenar üçgenlerin kenarını bulmak için genel formül şöyle görünür:

P bir eşkenar üçgenin çevresi olduğunda, a kenarlarından herhangi biridir.

bölge

Bir üçgenin alanını ölçmek istiyorsanız, onu bir paralelkenarla karşılaştırabilirsiniz. ABC üçgenini düşünün:

Aynı üçgeni alıp bir paralelkenar elde edecek şekilde sabitlersek, bu üçgenle aynı yükseklik ve tabana sahip bir paralelkenar elde ederiz:

Bu durumda, üçgenlerin ortak tarafı, kalıplanmış paralelkenarın köşegeni boyunca birlikte katlanır.

Paralelkenarın özelliklerinden. Bir paralelkenarın köşegenlerinin her zaman iki eşit üçgene bölündüğü bilinir, bu durumda her üçgenin yüzeyi paralelkenar aralığının yarısına eşittir.

Paralelkenarın alanı taban yüksekliğinin ürünü olduğundan, üçgenin alanı o ürünün yarısı olacaktır. Yani ΔABC için alan aynı olacaktır.

Şimdi bir dik üçgen düşünün:

İki özdeş dik üçgen, diğer hipotenüsler olan, onlara yaslanırsa, bir dikdörtgene bükülebilir.

Dikdörtgenin yüzeyi bitişik kenarların yüzeyiyle çakıştığından, bu üçgenin alanı aynıdır:

Bundan, herhangi bir dik üçgenin yüzeyinin, 2'ye bölünen bacakların ürününe eşit olduğu sonucuna varabiliriz.

Bu örneklerden, her üçgenin yüzeyinin, uzunluğun çarpımı ile aynı olduğu ve yüksekliğin tabanın 2'ye bölünmesine indirgendiği sonucuna varabiliriz.

Bir üçgenin alanını bulmak için genel formül şöyle görünecektir:

burada S, üçgenin alanıdır, ancak tabanıdır, ancak yükseklik dibe düşer a.

Bir dik üçgendeki bacaklardan birini bilerek, trigonometrik ilişkileri kullanarak ikinci bacağı ve hipotenüsü bulabilirsiniz - bilinen bir açının sinüsü ve tanjantı. Açının karşısındaki bacağın hipotenüse oranı bu açının sinüsüne eşit olduğundan, hipotenüsü bulmak için bacak açının sinüsüne bölünmelidir. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

İkinci bacak, bilinen açının tanjantından, bilinen bacağın teğete oranı olarak bulunabilir. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Bir dik üçgende bilinmeyen açıyı hesaplamak için α açısını 90 dereceden çıkarmanız gerekir. β=90°-α

Bir dik üçgenin çevresi ve alanı, ikinci bacak ve hipotenüs için daha önce elde edilen ifadeleri formüllerde değiştirerek bacak ve karşı açı ile ifade edilebilir. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Yüksekliği trigonometrik ilişkiler yoluyla da hesaplayabilirsiniz, ancak zaten oluşturduğu a kenarı ile iç dik açılı üçgende. Bunu yapmak için, trigonometrik özdeşliklere göre eşdeğer olduklarından, böyle bir üçgenin hipotenüsü olarak, β açısının sinüsü veya α'nın kosinüsü ile çarpılan a kenarına ihtiyacınız vardır. (şek. 79.2) h=a cos⁡α

Hipotenüsün medyanı, hipotenüsün yarısına veya bilinen a bacağının iki sinüs α'ya bölünmesine eşittir. Bacakların ortancalarını bulmak için formülleri bilinen kenar ve açılara uygun forma getiriyoruz. (şek.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 günah^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Bir üçgende dik açının açıortayı, iki kenarın ve ikinin kökünün çarpımı olduğundan, bu kenarların toplamına bölünerek, bacaklardan biri bilinen bacağın teğete oranıyla değiştirilirse, aşağıdaki sonucu elde ederiz. ifade. Benzer şekilde, oranı ikinci ve üçüncü formüllerde yerine koyarak, α ve β açılarının açıortayı hesaplanabilir. (şek.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Ortadaki çizgi, üçgenin kenarlarından birine paralel uzanırken, tüm kenarları orijinal olanın yarısı kadar olan, aynı açılara sahip başka bir benzer dik açılı üçgen oluşturur. Buna dayanarak, sadece bacak ve karşısındaki açıyı bilerek, aşağıdaki formüller kullanılarak orta çizgiler bulunabilir. (şek.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Yazılı dairenin yarıçapı, bacaklar ve hipotenüs arasındaki farkın ikiye bölünmesine eşittir ve çevrelenmiş dairenin yarıçapını bulmak için hipotenüsü ikiye bölmeniz gerekir. İkinci bacağı ve hipotenüsü, sırasıyla a bacağının sinüs ve tanjanta olan oranlarıyla değiştiriyoruz. (Şek. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Birincisi, dik açıya bitişik olan parçalardır ve hipotenüs şeklin en uzun kısmıdır ve 90 derecelik açının karşısındadır. Bir Pisagor üçgeni, kenarları doğal sayılara eşit olan üçgendir; bu durumda uzunluklarına "Pisagor üçlüsü" denir.

mısır üçgeni

Mevcut neslin geometriyi şu anda okulda öğretildiği biçimde öğrenmesi için, birkaç yüzyıl boyunca geliştirilmiştir. Temel nokta Pisagor teoremidir. Bir dikdörtgenin kenarları tüm dünya tarafından bilinir) 3, 4, 5'tir.

Çok az insan "Pisagor pantolonları her yönden eşittir" ifadesine aşina değildir. Bununla birlikte, aslında, teorem şöyle görünür: c 2 (hipotenüsün karesi) \u003d a 2 + b 2 (bacakların karelerinin toplamı).

Matematikçiler arasında kenarları 3, 4, 5 (cm, m, vb.) olan bir üçgene "Mısır" denir. Şekilde yazılı olanın bire eşit olması ilginçtir. Adı, Yunan filozoflarının Mısır'a seyahat ettiği MÖ 5. yüzyılda ortaya çıktı.

Piramitleri inşa ederken mimarlar ve haritacılar 3:4:5 oranını kullandılar. Bu tür yapıların orantılı, hoş ve ferah olduğu ve ayrıca nadiren çöktüğü ortaya çıktı.

Dik açı oluşturmak için, inşaatçılar üzerine 12 düğümün bağlı olduğu bir ip kullandılar. Bu durumda, dik açılı bir üçgen oluşturma olasılığı %95'e yükseldi.

Rakamların eşitliği belirtileri

Bir dik üçgende dar açı ve ikinci üçgende aynı elemanlara eşit büyük bir kenar, şekillerin eşitliğinin tartışılmaz bir işaretidir. Açıların toplamını hesaba katarak, ikinci dar açıların da eşit olduğunu kanıtlamak kolaydır. Böylece ikinci kriterdeki üçgenler özdeştir.
İki şekil üst üste bindirildiğinde, onları öyle bir döndürüyoruz ki, birleştirildiğinde tek bir ikizkenar üçgen haline geliyorlar. Özelliğine göre, kenarlar veya daha doğrusu hipotenüsler, tabandaki açıların yanı sıra eşittir, bu da bu şekillerin aynı olduğu anlamına gelir.

İlk işaretle, üçgenlerin gerçekten eşit olduğunu kanıtlamak çok kolaydır, asıl mesele iki küçük kenarın (yani bacakların) birbirine eşit olmasıdır.

Üçgenler, özü bacağın eşitliği ve dar açı olan II işaretine göre aynı olacaktır.

Dik açılı üçgen özellikleri

Dik açıdan indirilen yükseklik, şekli iki eşit parçaya böler.

Bir dik üçgenin kenarlarını ve ortancasını kuralla tanımak kolaydır: hipotenüse indirilen ortanca, bunun yarısına eşittir. Hem Heron formülüyle hem de bacakların çarpımının yarısına eşit olduğu ifadesiyle bulunabilir.

Bir dik üçgende 30 o, 45 o ve 60 o açıların özellikleri geçerlidir.

30 ° 'lik bir açıda, karşı bacağın en büyük kenarın 1/2'sine eşit olacağı unutulmamalıdır.
Açı 45o ise ikinci dar açı da 45o olur. Bu, üçgenin ikizkenar olduğunu ve bacaklarının aynı olduğunu gösterir.
60 derecelik bir açının özelliği, üçüncü açının ölçüsünün 30 derece olmasıdır.

Alanı üç formülden biriyle bulmak kolaydır:

yükseklik ve indiği taraf boyunca;
Heron formülüne göre;
kenarlar boyunca ve aralarındaki açı.

Bir dik üçgenin kenarları veya daha doğrusu bacaklar iki yükseklikte birleşir. Üçüncüyü bulmak için ortaya çıkan üçgeni düşünmek ve ardından Pisagor teoremini kullanarak gerekli uzunluğu hesaplamak gerekir. Bu formüle ek olarak, hipotenüsün alanının ve uzunluğunun iki katı oranı da vardır. Öğrenciler arasında en yaygın ifade, daha az hesaplama gerektirdiğinden ilkidir.

Bir dik üçgene uygulanan teoremler

Bir dik üçgenin geometrisi aşağıdaki gibi teoremlerin kullanımını içerir: