Кутів трикутника завжди. Наукова електронна бібліотека

Теорема. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам.

Візьмемо який-небудь трикутник AВС (рис. 208). Позначимо його внутрішні кути цифрами 1, 2 і 3. Доведемо, що

∠1 + ∠2 + ∠3 \u003d 180 °.

Проведемо через якусь вершину трикутника, наприклад В, пряму МN паралельно АС.

При вершині В ми отримали три кути: ∠4, ∠2 і ∠5. Їх сума становить розгорнутий кут, отже, вона дорівнює 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 \u003d 180 °.

Але ∠4 \u003d ∠1 - це внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних прямих МN і АС і січною АВ.

∠5 \u003d ∠3 - це внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних прямих МN і АС і січною ВС.

Значить, ∠4 і ∠5 можна замінити рівними їм ∠1 і ∠3.

Отже, ∠1 + ∠2 + ∠3 \u003d 180 °. Теорема доведена.

2. Властивість зовнішнього кута трикутника.

Справді, в трикутнику ABC (рис. 209) ∠1 + ∠2 \u003d 180 ° - ∠3, але і ∠ВСD, зовнішній кут цього трикутника, що не суміжний з ∠1 і ∠2, також дорівнює 180 ° - ∠3 .

Таким чином:

∠1 + ∠2 \u003d 180 ° - ∠3;

∠BCD \u003d 180 ° - ∠3.

Отже, ∠1 + ∠2 \u003d ∠BCD.

Виведене властивість зовнішнього кута трикутника уточнює зміст раніше доведеної теореми про зовнішній вугіллі трикутника, в якій стверджувалося тільки, що зовнішній кут трикутника більше кожного внутрішнього кута трикутника, що не суміжного з ним; тепер же встановлюється, що зовнішній кут дорівнює сумі обох внутрішніх кутів, не суміжних з нею.

3. Властивість прямокутного трикутника з кутом в 30 °.

Нехай в прямокутному трикутнику АСВ кут В дорівнює 30 ° (рис. 210). Тоді інший його гострий кут дорівнюватиме 60 °.

Доведемо, що катет АС дорівнює половині гіпотенузи АВ. Продовжимо катет АС за вершину прямого кута С і відкладемо відрізок СМ, рівний відрізку АС. Крапку М з'єднаємо з точкою В. Отриманий трикутник ВСМ дорівнює трикутнику АСВ. Ми бачимо, що кожен кут трикутника АВМ дорівнює 60 °, отже, цей трикутник - рівносторонній.

Катет АС дорівнює половині АМ, а так як АМ дорівнює АВ, то катет АС буде дорівнює половині гіпотенузи АВ.

Цілі і завдання:

освітні:

• повторити і узагальнити знання про трикутник;
• довести теорему про суму кутів трикутника;
• практично переконатися в правильності формулювання теореми;
• навчитися застосовувати отримані знання при вирішенні завдань.

Розвиваючі:

• розвивати геометричне мислення, інтерес до предмету, пізнавальну і творчу діяльність учнів, математичну мову, вміння самостійно здобувати знання.

виховні:

• розвивати особистісні якості учнів, таких як цілеспрямованість, наполегливість, акуратність, вміння працювати в колективі.

устаткування: мультимедійний проектор, трикутники з кольорового паперу, УМК «Жива математика», комп'ютер, екран.

Підготовчий етап: учитель дає завдання учневі підготувати історичну довідку про теорему «Сума кутів трикутника».

Тип уроку: Вивчення нового матеріалу.

Хід уроку

I. Організаційний момент

Привітання. Психологічний настрій учнів на роботу.

II. розминка

З геометричною фігурою "трикутник" ми познайомилися на попередніх уроках. Давайте повторимо, що нам відомо про трикутник?

Учні працюють по групах. Їм надано можливість спілкуватися один з одним, кожному самостійно будувати процес пізнання.

Що вийшло? Кожна група висловлює свої пропозиції, вчитель записує їх на дошці. Проводиться обговорення результатів:

Малюнок 1

III. Формулюємо завдання уроку

Отже, про трикутник ми знаємо вже досить багато. Але не всі. У кожного з вас на парті є трикутники і транспортири. Як ви думаєте, яке завдання ми можемо сформулювати?

Учні формулюють завдання уроку - знайти суму кутів трикутника.

IV. Пояснення нового матеріалу

Практична частина(Сприяє актуалізації знань і навичок самопізнання) .Проведіте вимірювання кутів за допомогою транспортира і знайдіть їх суму. Результати запишіть в зошит (заслухати отримані відповіді). З'ясовуємо, що сума кутів у всіх вийшла різна (так може статися, тому що неточно доклали транспортир, недбало виконали підрахунок і т.д.).

Виконайте перегинання по пунктирних лініях і дізнайтеся, чому ще дорівнює сума кутів трикутника:

а)
малюнок 2

б)
малюнок 3

в)
малюнок 4

г)
малюнок 5

д)
малюнок 6

Після виконання практичної роботи учні формулюють відповідь: Сума кутів трикутника дорівнює градусній мірі розгорнутого кута, т. Е. 180 °.

Учитель: У математиці практична робота дає можливість лише зробити якесь твердження, але його потрібно довести. Твердження, справедливість якого встановлюється шляхом докази, називається теоремою. Яку теорему ми можемо сформулювати і довести?

учні: Сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів.

Історична довідка:Властивість суми кутів трикутника було встановлено ще в Стародавньому Єгипті. Доказ, викладене в сучасних підручниках, міститься в коментарях Прокла до «Початкам» Евкліда. Прокл стверджує, що це доказ (рис. 8) було відкрито ще піфагорійцями (5 ст. До н. Е.). У першій книзі «Начал» Евкліда викладає інший доказ теореми про суму кутів трикутника, яке легко зрозуміти за допомогою креслення (рис. 7):

малюнок 7

малюнок 8

Креслення висвічуються на екрані через проектор.

Учитель пропонує за допомогою креслень довести теорему.

Потім доказ проводиться із застосуванням УМК «Жива математика». Учитель на комп'ютері проектує доказ теореми.

Теорема про суму кутів трикутника: «Сума кутів трикутника дорівнює 180 °»

малюнок 9

Доведення:

а)

малюнок 10

б)

малюнок 11

в)

малюнок 12

Учні в зошиті робить коротку запис доведення теореми:

теорема: Сума кутів трикутника дорівнює 180 °.

малюнок 13

дано:Δ АВС

довести: А + В + С \u003d 180 °.

Доведення:

Що потрібно було довести.

V. Фіз. хвилинка.

VI. Пояснення нового матеріалу (продовження)

Слідство з теореми про суму кутів трикутника виводиться учнями самостійно, це сприяє розвитку вміння формулювати власну точку зору, висловлювати і аргументувати її:

У будь-якому трикутнику або всі кути гострі, або два гострих кута, а третій тупий або прямий.

Якщо в трикутнику всі кути гострі, то він називається гострокутним.

Якщо один з кутів трикутника тупий, то він називається тупоугольние.

Якщо один з кутів трикутника прямий, то він називається прямокутним.

Теорема про суму кутів трикутника дозволяє класифікувати трикутники не тільки по сторонам, а й по кутах. (По ходу введення видів трикутників учнями заповнюється таблиця)

Таблиця 1

вид трикутника	рівнобедрений	рівносторонній	різнобічний
прямокутний
тупоугольние
гострокутний

VII. Закріплення вивченого матеріалу.

1. Вирішити завдання усно:

(Креслення висвічуються на екрані через проектор)

(Опорний конспект)

Наочна геометрія 7 клас. Опорний конспект № 4 Сума кутів трикутника.

Великий французький вчений XVII століття Блез Паскаль в дитинстві любив возитися з геометричними фігурами. Він був знайомий з транспортиром і вмів вимірювати кути. Юний дослідник зауважив, що у всіх трикутників сума трьох кутів виходить одна і та ж - 180 °. «Як же це довести? - подумав Паскаль. - Адже не можна ж перевірити суму кутів у всіх трикутників - їх безліч ». Тоді він відрізав ножицями два куточка трикутника і доклав їх до третього кутку. Вийшов розгорнутий кут, який, як відомо, дорівнює 180 °. Це було його перше власне відкриття. подальша доля хлопчика була вже визначена.

У цій темі ви познайомитеся з п'ятьма ознаками рівності прямокутних трикутників і, мабуть, з найпопулярнішим властивістю прямокутного трикутника з кутом 30 °. Воно звучить так: катет, що лежить проти кута 30 °, дорівнює половині гіпотенузи. Розділивши рівносторонній трикутник заввишки, ми відразу отримаємо доказ цього властивості.

ТЕОРЕМА. Сума кутів трикутника дорівнює 180 °. Для доказу проведемо через вершину пряму, паралельну основи. Темні кути рівні і сірі кути рівні як навхрест лежачі при паралельних прямих. Темний кут, сірий кут і кут при вершині утворюють розгорнутий кут, їх сума 180 °. З теореми випливає, що кути рівностороннього трикутника рівні по 60 ° і що сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90 °.

зовнішнім кутом трикутника називається кут, суміжний з кутом трикутника. Тому іноді кути самого трикутника називають внутрішніми кутами.

ТЕОРЕМА про зовнішній вугіллі трикутника. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних з нею. Дійсно, зовнішній кут і два внутрішніх, не суміжних з нею, доповнюють зафарбований кут до 180 °. З теореми випливає, що зовнішній кут більше будь-якого внутрішнього, чи не суміжного з ним.

ТЕОРЕМА про співвідношення між сторонами і кутами трикутника. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута лежить більша сторона. Звідси випливає: 1) Катет менше гіпотенузи. 2) Перпендикуляр менше похилій.

Відстань від точки до прямої . Так як перпендикуляр менше будь-який похилій, проведеної з тієї ж точки, то його довжина приймається за відстань від точки до прямої.

нерівність трикутника . Довжина будь-якого боку трикутника менше суми двох інших його сторін, т. Е. а< b + с , b< а + с , з< а + b . слідство. Довжина ламаної більше відрізка, що з'єднує її кінці.

ОЗНАКИ РІВНОСТІ
ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ

По двох катетам. Якщо два катета одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

За катету і прилеглому гострого кута. Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні катета і прилеглому до нього гострого кута іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

За катету і протилежного гострого кута. Якщо катет і протилежний йому гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні катета і протилежного йому гострого кута іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

За гіпотенузі і гострому куту. Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні гіпотенузі і гострому куту іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Доказ цих ознак відразу зводиться до одного з ознак рівності трикутників.

За катету і гіпотенузі. Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника відповідно рівні катета і гіпотенузи іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

Доведення. Докладемо трикутники рівними катетами. Отримаємо трикутник. Його висота, проведена з вершини, буде і медіаною. Тоді у трикутників рівні і другі катети, і трикутники рівні за трьома сторонами.

ТЕОРЕМА про властивості катета, що лежить проти кута 30 °. Катет, що лежить проти кута 30 °, дорівнює половині гіпотенузи. Доводиться добудованих трикутника до рівностороннього.

ТЕОРЕМА про властивості точок бісектриси кута. Будь-яка точка бісектриси кута рівновіддалена від його сторін. Якщо точка рівновіддалена від сторін кута, то вона лежить на бісектрисі кута. Доводиться проведенням двох перпендикулярів до сторін кута і розглядом прямокутних трикутників.

Друга чудова точка . Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Відстань між паралельними прямими. ТЕОРЕМА. Всі точки кожної з двох паралельних прямих знаходяться на рівній відстані від іншої прямої. З теореми випливає визначення відстані між паралельними прямими.

визначення. Відстанню між двома паралельними прямими називається відстань від будь-якої точки однієї з паралельних прямих до іншої прямої.

Докладні доведення теорем

Це опорний конспект № 4 по геометрії в 7 класі. Виберіть подальші дії:

трикутник . Гострокутний, тупоугольние і прямокутний трикутник.

Катети і гіпотенуза. Рівнобедрений і рівносторонній трикутник.

Сума кутів трикутника.

Зовнішній кут трикутника. Ознаки рівності трикутників.

Чудові лінії і точки в трикутнику: висоти, медіани,

бісектриси, серединнийe перпендикуляри, Ортоцентр,

центр ваги, центр описаного кола, центр вписаного кола.

Теорема Піфагора. Співвідношення сторін в проізвольномтреугольніке.

трикутник - це багатокутник з трьома сторонами (або трьома кутами). Сторони трикутника позначаються часто малими буквами, які відповідають заголовних букв, Що позначає протилежні вершини.

Якщо всі три кута гострі (рис.20), то це гострокутий трикутник . Якщо один з кутів прямий(C, рис.21), то це прямокутний трикутник; бокуa, b, Що утворюють прямий кут, називаються катетами; сторона c, Протилежна прямому куті, називається гипотенузой. Якщо один з кутів тупий (B, рис.22), то це тупоугольние трикутник.


Трикутник ABC (рис.23) - рівнобедрений, якщо дві його сторони рівні (a= c); ці рівні сторони називаються бічними, Третя сторона називається підставою трикутника. трикутникABC (рис.24) - рівносторонній, якщо усе його сторони рівні (a = b = c ). У загальному випадку ( a ≠ b ≠ c) маємо нерівносторонні трикутник .

Основні властивості трикутників. У будь-якому трикутнику:

1. Проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки.

2. Проти рівних сторін лежать рівні кути, і навпаки.

Зокрема, всі кути в рівнобічному трикутнику рівні.

3. Сума кутів трикутника дорівнює 180 º .

З двох останніх властивостей випливає, що кожен кут в рівнобічному

трикутнику дорівнює 60 º.

4. Продовжуючи одну зі сторін трикутника (AC, рис.25), отримуємо зовнішній

кут BCD . Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх кутів,

не суміжних з нею : BCD \u003d A + B.

5. Будь-яка сторона трикутника менша від суми двох інших сторін і більше

їх різниці (a < b + c, a > b – c;b < a + c, b > a – c;c < a + b,c > a – b).

Ознаки рівності трикутників.

Трикутники рівні, якщо у них відповідно рівні:

a ) Дві сторони і кут між ними;

b ) Два кути і прилегла до них сторона;

c) три сторони.

Ознаки рівності прямокутних трикутників.

Два прямокутних трикутника рівні, якщо виконується одна з наступних умов:

1) рівні їх катети;

2) катет і гіпотенуза одного трикутника рівні катета і гіпотенузи іншого;

3) гіпотенуза і гострий кут одного трикутника рівні гіпотенузі і гострому куту іншого;

4) катет і прилеглий гострий кут одного трикутника рівні катета і прилеглому гострого кута іншого;

5) катет і протилежний гострий кут одного трикутника рівні катета і протилежного гострого кута іншого.

Чудові лінії і точки в трикутнику.

Висота трикутника - цеперпендикуляр,опущений з будь-якої вершини на протилежну сторону ( або її продовження). Ця сторона називаєтьсяпідставою трикутника . Три висоти трикутника завжди перетинаютьсяв одній точці, званої ортоцентромтрикутника. Ортоцентр остроугольного трикутника (точкаO , Рис.26) розташований всередині трикутника, аортоцентр тупоугольного трикутника (точкаO , Рис.27) – зовні; Ортоцентр прямокутного трикутника збігається з вершиною прямого кута.

медіана - це відрізок , Що з'єднує будь-яку вершину трикутника з серединою протилежної сторони. Три медіани трикутника (AD, BE, CF, рис.28) перетинаються в одній точці O , Завжди лежить всередині трикутникаі що є його центром тяжіння. Ця точка ділить кожну медіану щодо 2: 1, рахуючи від вершини.

бісектриса - це відрізок бісектрисикута від вершини до точки перетину з протилежною стороною. Три бісектриси трикутника (AD, BE, CF, рис.29) перетинаються в одній точці О, завжди лежить всередині трикутникаі є центром вписаного кола (Див. Розділ «Вписаніі описані многокутники »).

Бісектриса ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам ; наприклад, на рис.29AE: CE \u003d AB: BC.

серединний перпендикуляр - це перпендикуляр, проведений із середньої точки відрізка (сторони). Три серединних перпендикуляра трикутника АВС (KO, MO, NO, рис.30 ) Перетинаються в одній точці О, яка є центром описаного кола (Точки K, M, N - середини сторін трикутника ABC).

У гострокутна трикутнику ця точка лежить всередині трикутника; в тупоугольного - зовні; в прямокутному - в середині гіпотенузи. Ортоцентр, центр ваги, центр описаного і центр вписаного кола збігаються тільки в рівносторонньому трикутнику.

Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат довжинигіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Доказ теореми Піфагора з очевидністю випливає з рис.31. Розглянемо прямокутний трикутникABC з катетами a, bі гіпотенузою c.

побудуємо квадрат AKMB , Використовуючи гіпотенузуAB як сторону. потімпродовжимо боку прямокутного трикутникаABC так, щоб отримати квадрат CDEF , Сторона якого дорівнюєa + b.Тепер ясно, що площа квадратаCDEF дорівнює ( a + b) 2 . З іншого боку, ця площа дорівнює суміплощ чотирьох прямокутних трикутників і квадрата AKMB, тобто

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

звідси,

c 2 + 2 ab= (a + b) 2 ,

і остаточно маємо:

c 2 = a 2 + b 2 .

Співвідношення сторін в довільному трикутнику.

У загальному випадку (для довільного трикутника) маємо:

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab· cos C,

де C - кут між сторонамиa і b .

\u003e\u003e Геометрія: Сума кутів трикутника. повні уроки

ТЕМА УРОКА: Сума кутів трикутника.

Мета уроку:

• Закріплення і перевірка знань учнів по темі: «Сума кутів трикутника»;
• Доказ властивості кутів трикутника;
• Застосування цієї властивості при вирішенні найпростіших завдань;
• Використання історичного матеріалу для розвитку пізнавальної активності учнів;
• Прищеплення навички акуратності при побудові креслень.

Завдання уроку:

• Перевірити вміння учнів розв'язувати задачі.

План уроку:

1. трикутник;
2. Теорема про суму кутів трикутника;
3. Приклад завдань.

Трикутник.

Файл: O.gif Трикутник- найпростіший багатокутник, що має 3 вершини (кута) і 3 боку; частина площини, обмежена трьома точками, і трьома відрізками, попарно з'єднують ці точки.
Трьом точкам простору, які не лежать на одній прямій, відповідає одна і тільки одна площина.
Будь багатокутник можна розбити на трикутники - цей процес називається тріангуляція.
Існує розділ математики, цілком присвячений вивченню закономірностей трикутників - тригонометрія.

Теорема про суму кутів трикутника.

Файл: T.gif Теорема про суму кутів трикутника - класична теорема геометрії Евкліда, стверджує що Сума кутів трикутника дорівнює 180 °.

Доведення" :

Нехай дано Δ ABC. Проведемо через вершину B пряму, паралельну (AC) і відзначимо на ній точку D так, щоб точки A і D лежали по різні боки від прямої BC. Тоді кут (DBC) і кут (ACB) рівні як внутрішні навхрест лежачі при паралельних прямих BD і AC і січною (BC). Тоді сума кутів трикутника при вершинах B і C дорівнює розі (ABD). Але кут (ABD) і кут (BAC) при вершині A трикутника ABC є внутрішніми односторонніми при паралельних прямих BD і AC і січною (AB), і їх сума дорівнює 180 °. Отже, сума кутів трикутника дорівнює 180 °. Теорема доведена.

Слідства.

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, не суміжних з нею.

Доведення:

Нехай дано Δ ABC. Точка D лежить на прямій AC так, що A лежить між C і D. Тоді BAD - зовнішній до кута трикутника при вершині A і A + BAD \u003d 180 °. Але A + B + C \u003d 180 °, і, отже, B + C \u003d 180 ° - A. Звідси BAD \u003d B + C. Слідство доведено.

Слідства.

Зовнішній кут трикутника більше будь-якого кута трикутника, що не суміжного з ним.

Завдання.

Зовнішнім кутом трикутника називається кут, суміжний з яким-небудь кутом цього трикутника. Доведіть, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, не суміжних з нею.
(Рис.1)

Рішення:

Нехай в Δ АВС ∠DАС - зовнішній (Рис.1). Тоді ∠DАС \u003d 180 ° -∠ВАС (по властивості суміжних кутів), по теоремі про суму кутів трикутника ∠В + ∠С \u003d 180 ° -∠ВАС. З цих рівностей отримаємо ∠DАС \u003d ∠В + ∠С

Цікавий факт:

Сума кутів трикутника " :

В геометрії Лобачевського сума кутів трикутника завжди менше 180. В геометрії Евкліда вона завжди дорівнює 180. В геометрії Рімана сума кутів трикутника завжди більше 180.

З історії математики:

Евклід (III ст до н.е.) у праці «Начала» призводить таке визначення: «Паралельні суть прямі, які знаходяться в одній площині і, будучи продовжені в обидві сторони необмежено, ні з того, ні з іншого боку між собою не зустрічаються» .
Посидоний (I ст до н.е.) «Дві прямі, що лежать в одній площині, рівновіддалені один від одного»
Давньогрецький учений Папп (III ст до н.е.) ввів символ паралельних прямих- знак \u003d. згодом англійський економіст Рікардо (1720-1823) цей символ використовував як знак рівності.
Тільки в XVIII столітті стали використовувати символ паралельності прямих - знак ||.
Ні на мить не переривається живий зв'язок між поколіннями, щодня ми засвоюємо досвід, накопичений нашими предками. Стародавні греки на основі спостережень і з практичного досвіду робили висновки, висловлювали гіпотези, а потім, на зустрічах вчених - симпозіумах (буквально «бенкет») - ці гіпотези намагалися обґрунтувати і довести. У той час і склалося твердження: «У суперечці народжується істина».

питання:

1. Що таке трикутник?
2. Що говорить теорема про суму кутів трикутника?
3. Чому дорівнює зовнішній кут трикутника?