Який залишок від ділення на 45. Розподіл цілих чисел із залишком, правила, приклади
Ознаки подільності чисел- це правила, що дозволяють не виробляючи поділу порівняно швидко з'ясувати, чи ділиться це число на заданий без залишку.
Деякі з ознак подільності досить прості, деякі складніше. На цій сторінці Ви знайдете як ознаки подільності простих чисел, Таких як, наприклад, 2, 3, 5, 7, 11, так і ознаки подільності складених чисел, таких, як 6 або 12.
Сподіваюся, дана інформація буде Вам корисною.
Приємного навчання!
Ознака подільності на 2
Це один з найпростіших ознак подільності. Звучить він так: якщо запис натурального числа закінчується парною цифрою, то воно парне (ділиться без залишку на 2), а якщо запис числа закінчується непарною цифрою, то це число непарній.
Іншими словами, якщо остання цифра числа дорівнює 2
, 4
, 6
, 8
або 0
- число ділиться на 2, якщо немає, то не ділиться
Наприклад, числа: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
діляться на 2, тому що вони парні.
А числа: 23 5
, 137
, 2303
на 2 не діляться, тому що вони непарні.
Ознака подільності на 3
У цієї ознаки подільності зовсім інші правила: якщо сума цифр числа ділиться на 3, то і число ділиться на 3; якщо сума цифр числа не ділиться на 3, то і число не ділиться на 3.
А значить, щоб зрозуміти, чи ділиться число на 3, треба лише скласти між собою цифри, з яких воно складається.
Виглядає це так: 3987 і 141 діляться на 3, тому що в першому випадку 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27
(27: 3 \u003d 9 - ділиться без остака на 3), а в другому 1 + 4 + 1 \u003d 6
(6: 3 \u003d 2 - теж ділиться без остака на 3).
А ось числа: 235 і 566 на 3 не діляться, тому як 2 + 3 + 5 \u003d 10
і 5 + 6 + 6 \u003d 17
(А ми знаємо, що ні 10 ні 17 не діляться на 3 без залишку).
Ознака подільності на 4
Ця ознака подільності буде складніше. Якщо останні 2 цифри числа утворюють число, що ділиться на 4 або це 00, то і число ділиться на 4, в іншому випадку дане число не ділиться на 4 без залишку.
Наприклад: 1 00
і 3 64
діляться на 4, тому що в першому випадку число закінчується на 00
, А в другому на 64
, Яке в свою чергу ділиться на 4 без залишку (64: 4 \u003d 16)
числа 3 57
і 8 86
не діляться на 4, тому що ні 57
ні 86
на 4 не діляться, а значить не відповідають цією ознакою подільності.
Ознака подільності на 5
І знову перед нами досить простий ознака подільності: якщо запис натурального числа закінчується цифрою 0 або 5, то це число ділиться без залишку на 5. Якщо ж запис числа закінчується інший цифрою, то число без залишку на 5 не ділиться.
Це означає, що будь-які числа, що закінчуються цифрами 0
і 5
, Наприклад 1235 5
і 43 0
, Підпадають під правило і діляться на 5.
А, наприклад, 1 549 3
і 56 4
не закінчував на цифру 5 або 0, а значить вони не можуть ділитися на 5 без залишку.
Ознака подільності на 6
Перед нами складене число 6, яке є твором чисел 2 і 3. Тому ознака подільності на 6 теж є складовим: для того, щоб число ділилося на 6, воно повинно відповідати двом ознаками подільності одночасно: ознакою подільності на 2 і ознакою подільності на 3. при цьому зверніть увагу, що таке складене число як 4 має індивідуальний ознака подільності, адже воно є творів числа 2 на саме себе. Але повернемося до ознаки подільності на 6.
Числа 138 і 474 парні і відповідають ознакам подільності на 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 і 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), а значить вони діляться на 6. Зате 123 і 447 хоч і діляться на 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 і 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), але вони непарні, а значить не відповідають ознакою подільності на 2, а отже і не відповідають ознакою подільності на 6.
Ознака подільності на 7
Ця ознака подільності складніший: число ділиться на 7, якщо результат віднімання подвоєною останньої цифри з числа десятків цього числа ділиться на 7 або дорівнює 0.
Звучить досить заплутано, але на практиці просто. Дивіться самі: число 95
9 ділиться на 7, тому що 95
-2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 ділиться на 7 без залишку). Причому якщо з отриманим під час перетворень числом виникли складності (через його розміру складно зрозуміти, ділиться воно на 7 чи ні, то дану процедуру можна продовжувати стільки раз, скільки Ви вважаєте за потрібне).
наприклад, 45
5 і 4580
1 мають ознаки подільності на 7. У першому випадку все досить просто: 45
-2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. У другому випадку ми вчинимо так: 4580
-2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Нам складно зрозуміти, чи ділиться 457
8 на 7, тому повторимо процес: 457
-2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. І знову скористаємося ознакою подільності, так як перед нами поки що тризначне число 44
1. Отже, 44
-2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, тобто 42 ділиться на 7 без залишку, а значить і 45801 ділиться на 7.
А ось числа 11
1 і 34
5 не діляться на 7, тому що 11
-2 * 1 \u003d 11-2 \u003d 9 (9 не ділиться без залишку на 7) і 34
-2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 не ділиться без залишку на 7).
Ознака подільності на 8
Ознака подільності на 8 звучить так: якщо останні 3 цифри утворюють число, що ділиться на 8, або це 000, то заданий число ділиться на 8.
числа 1 000
або 1 088
діляться на 8: перше закінчується на 000
, У другого 88
: 8 \u003d 11 (ділиться на 8 без залишку).
А ось числа 1 100
або 4 757
не діляться на 8, так як числа 100
і 757
не діляться без залишку на 8.
Ознака подільності на 9
Ця ознака подільності схожий з ознакою подільності на 3: якщо сума цифр числа ділиться на 9, то і число ділиться на 9; якщо сума цифр числа не ділиться на 9, то і число не ділиться на 9.
Наприклад: 3987 і 144 діляться на 9, тому що в першому випадку 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27
(27: 9 \u003d 3 - ділиться без остака на 9), а в другому 1 + 4 + 4 \u003d 9
(9: 9 \u003d 1 - теж ділиться без остака на 9).
А ось числа: 235 і 141 на 9 не діляться, тому як 2 + 3 + 5 \u003d 10
і 1 + 4 + 1 \u003d 6
(А ми знаємо, що ні 10 ні 6 не діляться на 9 без залишку).
Ознаки подільності на 10, 100, 1000 і інші розрядні одиниці
Дані ознаки подільності я об'єднав тому, що їх можна описати однаково: число ділиться на розрядну одиницю, якщо кількість нулів на кінці числа більше або дорівнює кількості нулів у заданій розрядної одиниці.
Іншими словами, наприклад, ми маємо такі цифри: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. з них все діляться на 1 0
; 46400
і 867 000
діляться ще і на 1 00
; і лише одне з них - 867 000
ділиться на 1 000
.
Будь-які числа, у яких кількість нулів на кінці менше ніж у розрядної одиниці, не діляться на цю розрядну одиницю, наприклад 600 30
і 7 93
не діляться 1 00
.
Ознака подільності на 11
Для того, щоб з'ясувати, чи ділиться число на 11, треба отримати різниця між сумою парних і непарних цифр цього числа. Якщо дана різниця дорівнює 0 або ділиться на 11 без залишку, то і саме число ділиться на 11 без залишку.
Щоб було зрозуміліше, пропоную розглянути приклади: 2
35
4 ділиться на 11, тому що ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 теж ділиться на 11, так як ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
А ось 1 1
1 або 4
35
4 не діляться на 11, так як в першому випадку у нас виходить (1 + 1) - 1
\u003d 1, а в другому ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Ознака подільності на 12
Число 12 є складовим. Його ознакою подільності є відповідність ознаками подільності на 3 і на 4 одночасно.
Наприклад 300 і 636 відповідають і ознаками подільності на 4 (останні 2 цифри це нулі або діляться на 4) і ознаками подільності на 3 (сума цифр і першого і втрорих числа діляться на 3), а занчіт, вони діляться на 12 без залишку.
А ось 200 або 630 не діляться на 12, тому що в першому випадку число відповідає лише ознакою подільності на 4, а в другому - лише ознакою подільності на 3. але не обома ознаками одночасно.
Ознака подільності на 13
Ознакою подільності на 13 є те, що якщо число десятків числа, складене з помноженим на 4 одиницями цього числа, буде кратно 13 або дорівнює 0, то і саме число ділиться на 13.
Візьмемо для прикладу 70
2. Отже, 70
+ 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 ділиться без залишку на 13), значить і 70
2 ділиться на 13 без залишку. Ще приклад - число 114
4. 114
+ 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. Число 130 ділиться на 13 без залишку, а значить заданий число відповідає ознакою подільності на 13.
Якщо ж взяти числа 12
5 або 21
2, то отримуємо 12
+ 4 * 5 \u003d 32 і 21
+ 4 * 2 \u003d 29 відповідно, і ні 32 ні 29 не діляться на 13 без залишку, а значить і задані числа не діляться без залишку на 13.
подільність чисел
Як видно з перерахованого вище, можна припустити, що до будь-якого з натуральних чисел можна підібрати свій індивідуальний ознака подільності або ж "складовою" ознака, якщо число кратно кільком різним числам. Але як показує практика, в основному чим більше число, тим складніше його ознака. Можливо, час, витрачений на перевірку ознаки подільності, може виявитися так само або більше ніж сам розподіл. Тому ми і використовуємо зазвичай найпростіші з ознак подільності.
Розглянемо простий приклад:
15:5=3
У цьому прикладі натуральне число 15 ми поділили остачіна 3, без залишку.
Іноді натуральне число повністю поділити не можна без остачі. Наприклад, розглянемо задачу:
У шафі лежало 16 іграшок. У групі було п'ятеро дітей. Кожна дитина взяв однакову кількість іграшок. Скільки іграшок у кожної дитини?
Рішення:
Поділимо число 16 на 5 стовпчиком отримаємо:
Ми знаємо, що 16 на 5 не ділитися. Найближче менше число, яке ділитися на 5 це 15 і 1 в залишку. Число 15 ми можемо розписати як 5⋅3. В результаті (16 - ділене, 5 - дільник, 3 - неповна частка, 1 - залишок). отримали формулу ділення із залишком,по якій можна зробити перевірку рішення.
a=
b⋅
c+
d
a - ділене,
b - дільник,
c - неповна частка,
d - залишок.
Відповідь: кожна дитина візьме по 3 іграшки і одна іграшка залишиться.
Залишок від ділення
Залишок завжди повинен бути менше дільника.
Якщо при діленні залишок дорівнює нулю, то це означає, що ділене ділитися остачі або без залишку на дільник.
Якщо при діленні залишок більше дільника, це означає, що знайдене число не найбільше. Існує число більше, яке поділить ділене і залишок буде менше дільника.
Питання по темі "Розподіл із залишком":
Залишок може бути більше дільника?
Відповідь: ні.
Залишок може бути дорівнює делителю?
Відповідь: ні.
Як знайти ділене за неповним приватному, делителю і залишку?
Відповідь: значення неповного приватного, дільника і залишку підставляємо в формулу і знаходимо ділене. Формула:
a \u003d b⋅c + d
Приклад №1:
Виконайте ділення з залишком і зробіть перевірку: а) 258: 7 б) 1 873: 8
Рішення:
а) Ділимо стовпчиком:
258 - ділене,
7 - дільник,
36 - неповна частка,
6 - залишок. Залишок менше дільника 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
б) Ділимо стовпчиком:
1873 - ділене,
8 - дільник,
234 - неповна частка,
1 - залишок. Залишок менше дільника 1<8.
Підставами в формулу і перевіримо чи правильно ми вирішили приклад:
8⋅234+1=1872+1=1873
Приклад №2:
Які залишки виходять при розподілі натуральних чисел: а) 3 б) 8?
відповідь:
а) Залишок менше дільника, отже, менше 3. В нашому випадку залишок може бути дорівнює 0, 1 або 2.
б) Залишок менше дільника, отже, менше 8. У нашому випадку залишок може бути дорівнює 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 або 7.
Приклад №3:
Який найбільший залишок може вийти при розподілі натуральних чисел: а) 9 б) 15?
відповідь:
а) Залишок менше дільника, отже, менше 9. Але нам треба вказати найбільший залишок. Тобто найближчим число до дільнику. Це число 8.
б) Залишок менше дільника, отже, менше 15. Але нам треба вказати найбільший залишок. Тобто найближчим число до дільнику. Це число 14.
Приклад №4:
Знайдіть ділене: а) а: 6 \u003d 3 (ост.4) б) з: 24 \u003d 4 (ост.11)
Рішення:
а) Вирішимо за допомогою формули:
a \u003d b⋅c + d
(A - ділене, b - дільник, c - неповна частка, d - залишок.)
а: 6 \u003d 3 (ост.4)
(A - ділене, 6 - дільник, 3 - неповна частка, 4 - залишок.) Підставами цифри в формулу:
а \u003d 6⋅3 + 4 \u003d 22
Відповідь: а \u003d 22
б) Вирішимо за допомогою формули:
a \u003d b⋅c + d
(A - ділене, b - дільник, c - неповна частка, d - залишок.)
з: 24 \u003d 4 (ост.11)
(З - ділене, 24 - дільник, 4 - неповна частка, 11 - залишок.) Підставами цифри в формулу:
з \u003d 24⋅4 + 11 \u003d 107
Відповідь: з \u003d 107
завдання:
Дріт 4м. потрібно розрізати на шматки по 13 см. Скільки таких шматків вийде?
Рішення:
Спочатку треба метри перевести в сантиметри.
4м. \u003d 400см.
Можна поділити стовпчиком або в розумі отримаємо:
400: 13 \u003d 30 (ост.10)
перевіримо:
13⋅30+10=390+10=400
Відповідь: 30 шматків вийти і 10 см. Дроту залишиться.
У цій статті ми розберемо розподіл цілих чисел із залишком. Почнемо з загального принципу поділу цілих чисел із залишком, сформулюємо і доведемо теорему про подільність цілих чисел із залишком, простежимо зв'язку між діленим, дільником, неповним приватним і залишком. Далі озвучимо правила, за якими проводиться розподіл цілих чисел із залишком, і розглянемо застосування цих правил при вирішенні прикладів. Після цього навчимося виконувати перевірку результату ділення цілих чисел із залишком.
Навігація по сторінці.
Загальне уявлення про розподіл цілих чисел із залишком
Розподіл цілих чисел із залишком ми будемо розглядати як узагальнення ділення із залишком натуральних чисел. Це обумовлено тим, що натуральні числа є складовою частиною цілих чисел.
Почнемо з термінів і позначень, які використовуються при описі.
За аналогією з розподілом натуральних чисел із залишком будемо вважати, що результатом ділення із залишком двох цілих чисел a і b (b не дорівнює нулю) є два цілих числа c і \u200b\u200bd. Числа a і b називаються діленим і дільником відповідно, число d - залишком від ділення a на b, а ціле число c називається неповним приватним (або просто приватним, Якщо залишок дорівнює нулю).
Домовимося вважати, що залишок є ціле невід'ємне число, і його величина не перевищує b, тобто, (подібні ланцюжки нерівностей ми зустрічали, коли говорили про порівняння трьох і більшої кількості цілих чисел).
Якщо число c є неповним приватним, а число d - залишком від ділення цілого числа a на ціле число b, то цей факт ми будемо коротко записувати як рівність виду a: b \u003d c (ост. D).
Відзначимо, що при розподілі цілого числа a на ціле число b залишок може бути рівним нулю. У цьому випадку говорять, що a ділиться на b без залишку (або остачі). Таким чином, розподіл цілих чисел без залишку є окремим випадком ділення цілих чисел із залишком.
Також варто сказати, що при розподілі нуля на деякий ціле число ми завжди маємо справу з розподілом на всі сто, так як в цьому випадку приватне дорівнюватиме нулю (дивіться розділ теорії розподіл нуля на ціле число), і залишок також буде дорівнює нулю.
З термінологією і позначеннями визначилися, тепер розберемося зі змістом ділення цілих чисел із залишком.
Поділу цілого негативного числа a на ціле позитивне число b теж можна надати сенс. Для цього розглянемо ціле негативне число як борг. Уявімо таку ситуацію. Борг, який становить предметів, повинні погасити b людина, внісши однаковий внесок. Абсолютна величина неповного приватного c в цьому випадку буде визначати величину боргу кожного з цих людей, а залишок d покаже, яка кількість предметів залишиться після сплати боргу. Наведемо приклад. Припустимо 2 людини повинні 7 яблук. Якщо вважати, що кожен з них повинен по 4 яблука, то після сплати боргу у них залишиться 1 яблуко. Цієї ситуації відповідає рівність (-7): 2 \u003d -4 (ост. 1).
Поділу з залишком довільного цілого числа a на ціле негативне число ми не будемо надавати ніякого сенсу, але залишимо за ним право на існування.
Теорема про подільність цілих чисел із залишком
Коли ми говорили про розподіл натуральних чисел із залишком, то з'ясували, що ділене a, дільник b, неповна частка c і \u200b\u200bзалишок d пов'язані між собою рівністю a \u003d b · c + d. Для цілих чисел a, b, c і d характерна така ж зв'язок. Цей зв'язок стверджується наступної теоремою про подільність із залишком.
Теорема.
Будь-яке ціле число a можливо уявити єдиним чином через ціле і відмінне від нуля число b у вигляді a \u003d b · q + r, де q і r - деякі цілі числа, причому.
Доведення.
Спочатку доведемо можливість подання a \u003d b · q + r.
Якщо цілі числа a і b такі, що a ділиться на b без остачі, то за визначенням існує таке ціле число q, що a \u003d b · q. У цьому випадку має місце рівність a \u003d b · q + r при r \u003d 0.