Рішення тригонометричних рівнянь розкладанням на множники. тригонометричні рівняння

Ви можете замовити докладний рішення вашого завдання !!!

Рівність, що містить невідому під знаком тригонометричної функції ( `Sin x, cos x, tg x` або` ctg x`), називається тригонометричним рівнянням, саме їх формули ми і розглянемо далі.

Найпростішими називаються рівняння `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, де` x` - кут, який потрібно знайти, `a` - будь-яке число. Запишемо для кожного з них формули коренів.

1. Рівняння `sin x \u003d a`.

При `| a |\u003e 1` не має рішень.

При `| a | \\ Leq 1` має нескінченне число рішень.

Формула коренів: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ in Z`

2. Рівняння `cos x \u003d a`

При `| a |\u003e 1` - як і у випадку з синусом, рішень серед дійсних чисел не має.

При `| a | \\ Leq 1` має безліч рішень.

Формула коренів: `x \u003d \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n \\ in Z`

Окремі випадки для синуса і косинуса в графіках.

3. Рівняння `tg x \u003d a`

Має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x \u003d arctg a + \\ pi n, n \\ in Z`

4. Рівняння `ctg x \u003d a`

Також має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ in Z`

Формули коренів тригонометричних рівнянь в таблиці

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса і котангенс:
Формули рішення рівнянь, що містять зворотні тригонометричні функції:

Методи рішення тригонометричних рівнянь

Рішення будь-якого тригонометричного рівняння складається з двох етапів:

• за допомогою перетворити його до найпростішого;
• вирішити отримане просте рівняння, використовуючи вище написані формули коренів і таблиці.

Розглянемо на прикладах основні методи вирішення.

Алгебраїчний метод.

У цьому методі робиться заміна змінної та її підстановка в рівність.

Приклад. Вирішити рівняння: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0`

`2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`,

робимо заміну: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, тоді` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,

знаходимо коріння: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2`, звідки йдуть два випадки:

1. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1 ',` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`, `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1/2`, `x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3 \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Відповідь: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3 \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Розкладання на множники.

Приклад. Вирішити рівняння: `sin x + cos x \u003d 1 '.

Рішення. Перенесемо вліво всі члени рівності: `sin x + cos x-1 \u003d 0`. Використовуючи, перетворимо і розкладемо на множники ліву частину:

`Sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 (cos x / 2sin x / 2) \u003d 0`,

1. `Sin x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
2. `Cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0`,` tg x / 2 \u003d 1 ', `x / 2 \u003d arctg 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n` , `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Відповідь: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Приведення до однорідного рівняння

Спочатку потрібно дане тригонометрическое рівняння привести до одного з двох видів:

`A sin x + b cos x \u003d 0` (однорідне рівняння першого ступеня) або` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (однорідне рівняння другого ступеня).

Потім розділити обидві частини на `cos x \\ ne 0` - для першого випадку, і на` cos ^ 2 x \\ ne 0` - для другого. Отримаємо рівняння щодо `tg x`:` a tg x + b \u003d 0` і `a tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0`, які потрібно вирішити відомими способами.

Приклад. Вирішити рівняння: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1 '.

Рішення. Запишемо праву частину, як `1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`Sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

Це однорідне тригонометричне рівняння другого ступеня, розділимо його ліву і праву частини на `cos ^ 2 x \\ ne 0`, отримаємо:

`\\ Frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0`

`Tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Введемо заміну `tg x \u003d t`, в результаті` t ^ 2 + t - 2 \u003d 0`. Коріння цього рівняння: `t_1 \u003d -2` і` t_2 \u003d 1 '. тоді:

1. `Tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n \\ in Z`
2. `Tg x \u003d 1 ',` x \u003d arctg 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Відповідь. `X_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`,` n \\ in Z`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Перехід до половинному куті

Приклад. Вирішити рівняння: `11 sin x - 2 cos x \u003d 10`.

Рішення. Застосуємо формули подвійного кута, в результаті: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d `` 10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2 `

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`

Застосувавши описаний вище алгебраїчний метод, отримаємо:

1. `Tg x / 2 \u003d 2`, `x_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`,
2. `Tg x / 2 \u003d 3/4`, `x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Відповідь. `X_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in Z`.

Введення допоміжного кута

У тригонометричному рівнянні `a sin x + b cos x \u003d c`, де a, b, c - коефіцієнти, а x - змінна, розділимо обидві частини на` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

`\\ Frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d` `\\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) `.

Коефіцієнти в лівій частині мають властивості синуса і косинуса, а саме сума їх квадратів дорівнює 1 і їх модулі не більш 1. Позначимо їх наступним чином: `\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi` , `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d sin \\ varphi`,` \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d C`, тоді:

`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d C`.

Детальніше розглянемо на наступному прикладі:

Приклад. Вирішити рівняння: `3 sin x + 4 cos x \u003d 2`.

Рішення. Розділимо обидві частини рівності на `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, отримаємо:

`\\ Frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` `\\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2/5`.

Позначимо `3/5 \u003d cos \\ varphi`,` 4/5 \u003d sin \\ varphi`. Так як `sin \\ varphi\u003e 0`,` cos \\ varphi\u003e 0`, то в якості допоміжного кута візьмемо `\\ varphi \u003d arcsin 4/5`. Тоді наше рівність запишемо у вигляді:

`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2/5`

Застосувавши формулу суми кутів для синуса, запишемо наше рівність в наступному вигляді:

`Sin (x + \\ varphi) \u003d 2/5`,

`X + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`,

`X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Відповідь. `X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Дрібно-раціональні тригонометричні рівняння

Це рівності з дробом, в чисельнику і знаменниках яких є тригонометричні функції.

Приклад. Розв'язати рівняння. `\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Рішення. Помножимо і розділимо праву частину рівності на `(1 + cos x)`. В результаті отримаємо:

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) -`` \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`\\ Frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

З огляду на, що знаменник рівним бути нулю не може, отримаємо `1 + cos x \\ ne 0`,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in Z`.

Прирівняємо до нуля чисельник дробу: `sin x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` sin x (1-sin x) \u003d 0`. Тоді `sin x \u003d 0` або` 1-sin x \u003d 0`.

1. `Sin x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ in Z`
2. `1-sin x \u003d 0`,` sin x \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z`.

З огляду на, що `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in Z`, рішеннями будуть` x \u003d 2 \\ pi n, n \\ in Z` і `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` , `n \\ in Z`.

Відповідь. `X \u003d 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Тригонометрія, і тригонометричні рівняння зокрема, застосовуються майже у всіх сферах геометрії, фізики, інженерії. Починається вивчення в 10 класі, обов'язково присутні завдання на ЄДІ, тому постарайтеся запам'ятати все формули тригонометричних рівнянь - вони вам точно знадобляться!

Втім, навіть запам'ятовувати їх не потрібно, головне зрозуміти суть, і вміти вивести. Це не так і складно, як здається. Переконайтеся самі, переглянувши відео.

Рішення тригонометричного рівняння складається з двох етапів: перетворення рівняння для отримання його найпростішого виду (див. вище) і рішення отриманого найпростішого тригонометричного рівняння.існує сім основних методів вирішення тригонометричних рівнянь.

1. Алгебраїчний метод.

(Метод заміни змінної і підстановки).

2. Розкладання на множники.

П р и м і р 1. Вирішити рівняння:sin x + cos x = 1 .

Р і ш е н і е. Перенесемо всі члени рівняння вліво:

Sin x + cos x – 1 = 0 ,

Перетворимо і розкладемо на множники вираз в

Лівій частині рівняння:

П р и м і р 2. Вирішити рівняння:cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р і ш е н і е. Cos 2 x + sin x · cos x– sin 2 x - cos 2 x = 0 ,

Sin x · cos x– sin 2 x = 0 ,

Sin x · (Cos x– sin x ) = 0 ,

П р и м і р 3. Вирішити рівняння:cos 2 x- cos 8 x + Cos 6 x = 1.

Р і ш е н і е. Cos 2 x+ Cos 6 x \u003d 1 + cos 8 x,

2 cos 4 x cos 2 x \u003d 2 cos ² 4 x ,

Cos 4 x · (Cos 2 x - cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x · 2 sin 3 x · sin x = 0 ,

1). cos 4 x \u003d 0, 2). sin 3 x \u003d 0, 3). sin x = 0 ,

4. Перехід до половинному куті.

Розглянемо цей метод на прикладі:

П р и м і р. Вирішити рівняння: 3sin x - 5 cos x = 7.

Р і ш е н і е. 6 sin ( x/ 2) · cos ( x/ 2) - 5 cos ² ( x/ 2) + 5 sin ² ( x/ 2) =

7 sin ² ( x/ 2) + 7 cos ² ( x/ 2) ,

2 sin ² ( x/ 2) - 6 sin ( x / 2) · cos ( x/ 2) + 12 cos ² ( x/ 2) = 0 ,

tan ² ( x/ 2) - 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Введення допоміжного кута.

Розглянемо рівняння виду:

a sin x + b cos x = c ,

де a, b, c - коефіцієнти;x - невідоме.

Тепер коефіцієнти рівняння мають властивості синуса і косинуса, а саме: Модуль (абсолютне значення) кожного з них не більше 1, а сума їх квадратів дорівнює 1. Тоді можна позначити їх відповідно як cos і sin (тут - так званий допоміжний кут), Інаше рівняння прини

Основними методами рішення тригонометричних рівнянь є: зведення рівнянь до найпростіших (з використанням тригонометричних формул), введення нових змінних, розкладання на множники. Розглянемо їх застосування на прикладах. Зверніть увагу на оформлення запису рішень тригонометричних рівнянь.

Необхідною умовою успішного вирішення тригонометричних рівнянь є знання тригонометричних формул (тема 13 роботи 6).

Приклади.

1. Рівняння, що зводяться до найпростіших.

1) Вирішити рівняння

Рішення:

відповідь:

2) Знайти корені рівняння

(Sinx + cosx) 2 \u003d 1 - sinxcosx, що належать відрізку.

Рішення:

відповідь:

2. Рівняння, що зводяться до квадратних.

1) Вирішити рівняння 2 sin 2 x - cosx -1 \u003d 0.

Рішення: використовуючи формулу sin 2 x \u003d 1 - cos 2 x, отримуємо

відповідь:

2) Вирішити рівняння cos 2x \u003d 1 + 4 cosx.

Рішення: Використовуючи формулу cos 2x \u003d 2 cos 2 x - 1, отримуємо

відповідь:

3) Розв'язати рівняння tgx - 2ctgx + 1 \u003d 0

Рішення:

відповідь:

3. Однорідні рівняння

1) Вирішити рівняння 2sinx - 3cosx \u003d 0

Рішення: Нехай cosx \u003d 0, тоді 2sinx \u003d 0 і sinx \u003d 0 - протиріччя з тим, що sin 2 x + cos 2 x \u003d 1. Значить cosx ≠ 0 і можна поділити рівняння на cosx. отримаємо

відповідь:

2) Розв'язати рівняння 1 + 7 cos 2 x \u003d 3 sin 2x

Рішення:

Використовуємо формули 1 \u003d sin 2 x + cos 2 x і sin 2x \u003d 2 sinxcosx, отримаємо

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x \u003d 6sinxcosx
sin 2 x - 6sinxcosx + 8cos 2 x \u003d 0

Нехай cosx \u003d 0, тоді sin 2 x \u003d 0 і sinx \u003d 0 - протиріччя з тим, що sin 2 x + cos 2 x \u003d 1.
Значить cosx ≠ 0 і можна поділити рівняння на cos 2 x . отримаємо

tg 2 x - 6 tgx + 8 \u003d 0
Позначимо tgx \u003d y
y 2 - 6 y + 8 \u003d 0
y 1 \u003d 4; y 2 \u003d 2
а) tgx \u003d 4, x \u003d arctg4 + 2 k, k
б) tgx \u003d 2, x \u003d arctg2 + 2 k, k .

відповідь: arctg4 + 2 k, Arctg2 + 2 k, k

4. Рівняння виду a sinx + b cosx \u003d с, з≠ 0.

1) Вирішити рівняння.

Рішення:

відповідь:

5. Рівняння, які вирішуються розкладанням на множники.

1) Вирішити рівняння sin2x - sinx \u003d 0.

коренем рівняння f ( х) = φ ( х) Може служити тільки число 0. Перевіримо це:

cos 0 \u003d 0 + 1 - рівність вірно.

Число 0 єдиний корінь даного рівняння.

відповідь: 0.

Тема:«Методи рішення тригонометричних рівнянь».

Мета уроку:

освітні:

Сформувати навички розрізняти види тригонометричних рівнянь;

Поглиблення розуміння методів вирішення тригонометричних рівнянь;

виховні:

Виховання пізнавального інтересу до навчального процесу;

Формування вміння аналізувати поставлену задачу;

розвиваючі:

Формувати навик проводити аналіз ситуації з наступним вибором найбільш раціонального виходу з неї.

устаткування: плакат з основними тригонометричними формулами, комп'ютер, проектор, екран.

Почнемо урок з повторення основного прийому рішення будь-якого рівняння: зведення його до стандартного вигляду. шляхом перетворень лінійні рівняння зводять до вигляду ах \u003d в, квадратні - до виду ax 2 +bx +c \u003d 0. У разі тригонометричних рівнянь необхідно звести їх до найпростіших, види: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, які легко можна вирішити.

В першу чергу, звичайно, для цього необхідно використовувати основні тригонометричні формули, Які представлені на плакаті: формули додавання, формули подвійного кута, зниження кратності рівняння. Ми вже вміємо вирішувати такі рівняння. Повторимо деякі з них:

Разом з тим існують рівняння, рішення яких вимагає знань деяких спеціальних прийомів.

Темою нашого уроку є розгляд цих прийомів і систематизація методів вирішення тригонометричних рівнянь.

Методи рішення тригонометричних рівнянь.

1. Перетворення до квадратного рівняння щодо будь-якої тригонометричної функції з наступною заміною змінної.

Розглянемо кожне з цих методів на прикладах, але більш докладно зупинимося на двох останніх, так як два перших ми вже використовували при вирішенні рівнянь.

1. Перетворення до квадратного рівняння щодо будь-якої тригонометричної функції.

2. Рішення рівнянь методом розкладання на множники.

3. Рішення однорідних рівнянь.

Однорідними рівняннями першого та другого ступеня називаються рівняння виду:

відповідно (а ≠ 0, b ≠ 0, з ≠ 0).

При вирішенні однорідних рівнянь почленно ділять обидві частини рівняння на cosx для (1) рівняння і на cos 2 x для (2). Такий поділ можливо, так як sinx і cosx не рівні нулю одночасно - вони звертаються в нуль в різних точках. Розглянемо приклади розв'язання однорідних рівнянь першого та другого ступеня.

Запам'ятаємо це рівняння: при розгляді наступного методу - введення допоміжного аргументу, вирішимо його іншим способом.

4. Введення допоміжного аргументу.

Розглянемо вже вирішена попереднім методом рівняння:

Як бачимо, виходить той же результат.

Розглянемо ще один приклад:

У розглянутих прикладах було, загалом, зрозуміло, на що потрібно розділити вихідне рівняння, щоб ввести допоміжний аргумент. Але може трапитися, що не очевидно, який дільник вибрати. Для цього існує спеціальна методика, яку ми зараз і розглянемо в загалом вигляді. Нехай дано рівняння.