Рішення ду методом варіації довільних сталих. Приклади на метод варіації довільної сталої
Розглянемо тепер лінійне неоднорідне рівняння
. (2)
Нехай y 1, y 2, .., y n - фундаментальна система рішень, а - загальне рішення відповідного однорідного рівняння L (y) \u003d 0. Аналогічно нагоди рівнянь першого порядку, будемо шукати рішення рівняння (2) у вигляді
. (3)
Переконаємося в тому, що рішення в такому вигляді існує. Для цього підставимо функцію в рівняння. Для підстановки цієї функції в рівняння знайдемо її похідні. Перша похідна дорівнює 
. (4)
При обчисленні другої похідної в правій частині (4) з'явиться чотири доданків, при обчисленні третьої похідної - вісім доданків і так далі. Тому, для зручності подальшого рахунку, перший доданок в (4) вважають рівним нулю. З урахуванням цього, друга похідна дорівнює 
. (5)
За тим же, що і раніше, міркувань, в (5) також вважаємо перший доданок рівним нулю. Нарешті, n-я похідна дорівнює 
. (6)
Підставляючи отримані значення похідних в вихідне рівняння, маємо 
. (7)
Другий доданок в (7) дорівнює нулю, так як функції y j, j \u003d 1,2, .., n, є рішеннями відповідного однорідного рівняння L (y) \u003d 0. Об'єднуючи з попереднім, отримуємо систему алгебраїчних рівнянь для знаходження функцій C "j (x) 
(8)
Визначник цієї системи є визначник Вронського фундаментальної системи рішень y 1, y 2, .., y n відповідного однорідного рівняння L (y) \u003d 0 і тому не дорівнює нулю. Отже, існує єдине рішення системи (8). Знайшовши його, отримаємо функції C "j (x), j \u003d 1,2, ..., n, а, отже, і C j (x), j \u003d 1,2, ..., n Підставляючи ці значення в (3), отримуємо рішення лінійного неоднорідного рівняння.
Викладений метод називається методом варіації довільної сталої або методом Лагранжа.
Приклад №1. Знайдемо загальний розв'язок рівняння y "" + 4y "+ 3y \u003d 9e -3 x. Розглянемо відповідне однорідне рівняння y" "+ 4y" + 3y \u003d 0. Корені його характеристичного рівняння r 2 + 4r + 3 \u003d 0 рівні -1 та - 3. Тому фундаментальна система рішень однорідного рівняння складається з функцій y 1 \u003d e - x і y 2 \u003d e -3 x. Рішення неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді y \u003d C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. Для знаходження похідних C "1, C" 2 складаємо систему рівнянь (8)
C '1 · e -x + C' 2 · e -3x \u003d 0
-C '1 · e -x -3C' 2 · e -3x \u003d 9e -3x
вирішуючи яку, знаходимо, Інтегруючи отримані функції, маємо 
остаточно отримаємо
Приклад №2. Вирішити лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами методом варіації довільних сталих: 
y (0) \u003d 1 + 3ln3
y '(0) \u003d 10ln3
Рішення:
Дане диференціальне рівняння відноситься до лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.
Рішення рівняння будемо шукати у вигляді y \u003d e rx. Для цього складаємо характеристичне рівняння лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами:
r 2 -6 r + 8 \u003d 0
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 8 \u003d 4
Коріння характеристичного рівняння: r 1 \u003d 4, r 2 \u003d 2
Отже, фундаментальну систему рішень складають функції: y 1 \u003d e 4x, y 2 \u003d e 2x
Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд: y \u003d C 1 · e 4x + C 2 · e 2x
Пошук приватного рішення методом варіації довільної сталої.
Для знаходження похідних C "i складаємо систему рівнянь:
C '1 · e 4x + C' 2 · e 2x \u003d 0
C '1 (4e 4x) + C' 2 (2e 2x) \u003d 4 / (2 + e -2x)
Висловимо C "1 з першого рівняння:
C "1 \u003d -c 2 e -2x
і підставимо в друге. В результаті отримуємо:
C "1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C "2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Інтегруємо отримані функції C "i:
C 1 \u003d 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 \u003d ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2
Оскільки y \u003d C 1 · e 4x + C 2 · e 2x, то записуємо отримані вирази у вигляді:
C 1 \u003d (2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x \u003d 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 \u003d (ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2) e 2x \u003d e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким чином, загальне рішення диференціального рівняння має вигляд:
y \u003d 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
або
y \u003d 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Знайдемо приватне рішення за умови:
y (0) \u003d 1 + 3ln3
y '(0) \u003d 10ln3
Підставляючи x \u003d 0, в знайдене рівняння, отримаємо:
y (0) \u003d 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 \u003d 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 \u003d 1 + 3ln3
Знаходимо першу похідну від отриманого загального рішення:
y '\u003d 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln (e -2x +2) + ln (2e 2x +1) -2)
Підставляючи x \u003d 0, отримаємо:
y '(0) \u003d 2 (2C 1 + C 2 +4 ln (3) + ln (3) -2) \u003d 4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 \u003d 10ln3
Отримуємо систему з двох рівнянь:
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 \u003d 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 \u003d 10ln3
або
C * 1 + C * 2 \u003d 2
4C 1 + 2C 2 \u003d 4
або
C * 1 + C * 2 \u003d 2
2C 1 + C 2 \u003d 2
Звідки: C 1 \u003d 0, C * 2 \u003d 2
Приватне рішення запишеться як:
y \u003d 2e 4x · ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x · ln (2e 2x +1) - 2x · e 2x + 2 · e 2x
Метод варіації довільних сталих застосовується для вирішення неоднорідних диференціальних рівнянь. даний урок призначений для тих студентів, хто вже більш-менш добре орієнтується в темі. Якщо ви тільки-тільки починаєте знайомитися з ДУ, тобто є чайником, то рекомендую почати з першого уроку: Диференціальні рівняння першого порядку. приклади рішень. А якщо вже-вже закінчуєте, будь ласка, відкиньте можливе упереджена думка, що метод складний. Тому що він простий.
В яких випадках застосовується метод варіації довільних сталих?
1) Метод варіації довільної сталої можна використовувати при вирішенні лінійного неоднорідного ДУ 1-го порядку. Коль скоро рівняння першого порядку, то і постійна (константа) теж одна.
2) Метод варіації довільної сталої використовують для вирішення деяких лінійних неоднорідних рівнянь другого порядку. Тут варіюються дві постійні (константи).
Логічно припустити, що урок буде складатися з двох параграфів .... Ось написав цю пропозицію, і хвилин 10 напружено думав, яку б ще розумну хрень додати для плавного переходу до практичним прикладам. Але чомусь думок після свят немає ніяких, хоча ніби й не зловживав нічим. Тому відразу візьмемося за перший параграф.
Метод варіації довільної сталої
для лінійного неоднорідного рівняння першого порядку
Перед розглядом методу варіації довільної сталої бажано бути знайомим до статті Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. На тому уроці ми відпрацьовували перший спосіб вирішення неоднорідного ДУ 1-го порядку. Цей перший спосіб вирішення, нагадую, називається метод заміни або метод Бернуллі (Не плутати з рівнянням Бернуллі!!!)
Зараз ми розглянемо другий спосіб вирішення - метод варіації довільної сталої. Я наведу лише три приклади, причому візьму їх з вищезгаданого уроку. Чому так мало? Тому що насправді рішення другим способом буде дуже схоже на рішення першим способом. Крім того, за моїми спостереженнями, метод варіації довільних сталих застосовується рідше методу заміни.
приклад 1
(Діффур з Прикладу №2 уроку Лінійні неоднорідні ДУ 1-го порядку)
Рішення: Дане рівняння є лінійним неоднорідним і має знайомий вигляд: 
На першому етапі необхідно вирішити більш просте рівняння: 
Тобто, тупо Обнуляємо праву частину - замість пишемо нуль.
рівняння Я буду називати допоміжним рівнянням.
В даному прикладі потрібно вирішити наступне допоміжне рівняння:
Перед нами рівняння із перемінними, Рішення якого (сподіваюся) вже не представляє для вас складнощів: 
Таким чином: 
- спільне рішення допоміжного рівняння.
На другому кроці замінимо константу деякої поки ще невідомою функцією, яка залежить від «ікс»:
Звідси і назва методу - варіюємо константу. Як варіант, константа може бути деякою функцією, яку нам належить зараз знайти.
В вихідному неоднорідному рівнянні проведемо заміну:
підставами і 
в рівняння :
Контрольний момент - два доданків в лівій частині скорочуються. Якщо цього не відбувається, слід шукати помилку вище.
В результаті заміни отримано рівняння із перемінними. Поділяємо змінні та інтегруємо.
Яка благодать, експоненти теж скорочуються:
До знайденої функції приплюсовуються «нормальну» константу:
на заключному етапі згадуємо про нашу заміну:
Функція тільки що знайдена!
Таким чином, загальне рішення: 
відповідь: загальне рішення: 
Якщо ви повинні надрукувати два способи вирішення, то легко помітите, що в обох випадках ми знаходили одні і ті ж інтеграли. Відмінність лише в алгоритмі рішення.
Тепер що-небудь складніше, другий приклад я теж прокоментую:
приклад 2
Знайти спільне рішення диференціального рівняння 
(Діффур з Прикладу №8 уроку Лінійні неоднорідні ДУ 1-го порядку)
Рішення: Наведемо рівняння до виду :
Обнулив праву частину і вирішимо допоміжне рівняння:
Загальне рішення допоміжного рівняння:
У неоднорідному рівнянні проведемо заміну:
За правилом диференціювання твори: 
підставами і в вихідне неоднорідне рівняння:
Два доданків в лівій частині скорочуються, отже, ми на вірному шляху: 
Інтегруємо частинами. Смачна буква з формули інтегрування частинами у нас вже задіяна у вирішенні, тому використовуємо, наприклад, літери «а» і «бе»:
Тепер згадуємо проведену заміну:
відповідь: загальне рішення:
І один приклад для самостійного рішення:
приклад 3
Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що відповідає заданому початковому умові.
,
(Діффур з Прикладу №4 уроку Лінійні неоднорідні ДУ 1-го порядку)
Рішення:
Дане ДУ є лінійним неоднорідним. Використовуємо метод варіації довільних сталих. Вирішимо допоміжне рівняння:
Поділяємо змінні та інтегруємо: 
Загальне рішення: 
У неоднорідному рівнянні проведемо заміну: 
Виконаємо підстановку: 
Таким чином, загальне рішення: 
Знайдемо приватне рішення, що відповідає заданому початковому умові: 
відповідь: приватне рішення:
Рішення в кінці уроку може служити зразковим зразком для чистового оформлення завдання.
Метод варіації довільних сталих
для лінійного неоднорідного рівняння другого порядку
з постійними коефіцієнтами
Часто доводилося чути думку, що метод варіації довільних сталих для рівняння другого порядку - штука не з легких. Але я припускаю наступне: швидше за все, метод багатьом здається важким, оскільки зустрічається не так часто. А в дійсності особливих складнощів немає - хід рішення чіткий, прозорий, зрозумілий. І красивий.
Для освоєння методу бажано вміти вирішувати неоднорідні рівняння другого порядку способом підбору приватного рішення по виду правої частини. Даний спосіб докладно розглянуто в статті Неоднорідні ДУ 2-го порядку. Згадуємо, що лінійне неоднорідне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд:
Метод підбору, який розглядався на вищезгаданому уроці, проходить лише в обмеженому ряді випадків, коли в правій частині знаходяться многочлени, експоненти, синуси, косинуси. Але що робити, коли справа, наприклад, дріб, логарифм, тангенс? У такій ситуації на допомогу якраз і приходить метод варіації постійних.
приклад 4
Знайти спільне рішення диференціального рівняння другого порядку 
Рішення: У правій частині даного рівняння знаходиться дріб, тому відразу можна сказати, що метод підбору приватного рішення не прокатує. Використовуємо метод варіації довільних сталих.
Ніщо не віщує грози, початок вирішення абсолютно звичайне:
знайдемо загальне рішення відповідного однорідного рівняння: 
Складемо і вирішимо характеристичне рівняння: 
- отримані пов'язані комплексні корені, Тому спільне рішення:
Зверніть увагу на запис спільного рішення - якщо є дужки, то їх розкриваємо.
Тепер проробляємо практично той же трюк, що і для рівняння першого порядку: варіюємо константи, замінюючи їх невідомими функціями. Тобто, спільне рішення неоднорідногорівняння будемо шукати у вигляді:
де - поки ще невідомі функції.
Схоже на смітник побутових відходів, Але зараз все розсортуємо.
Як невідомих виступають похідні функцій. Наша мета - знайти похідні, причому знайдені похідні повинні задовольняти і першому і другому рівнянню системи.
Звідки беруться «ігреки»? Їх приносить лелека. Дивимося на отримане раніше спільне рішення і записуємо:
Знайдемо похідні:
З лівими частинами розібралися. Що справа?
- це права частина вихідного рівняння, в даному випадку:
Коефіцієнт - це коефіцієнт при другої похідної:
На практиці майже завжди, і наш приклад не виняток.
Все прояснилося, тепер можна скласти систему: 
Систему зазвичай вирішують за формулами Крамера, Використовуючи стандартний алгоритм. Єдина відмінність полягає в тому, що замість чисел у нас функції.
Знайдемо головний визначник системи: 
Якщо забулося, як розкривається визначник «два на два», зверніться до уроку Як обчислити визначник? Посилання веде на дошку ганьби \u003d)
Отже:, значить, система має єдине рішення.
Знаходимо похідну: 
Але це ще не все, поки ми знайшли тільки похідну.
Сама функція відновлюється інтеграцією:
Розбираємося з другої функцією: 
Тут додаємо «нормальну» константу
На заключному етапі вирішення згадуємо, в якому вигляді ми шукали спільне рішення неоднорідного рівняння? В такому:
Потрібні функції тільки що знайдені! 
Залишилося виконати підстановку і записати відповідь:
відповідь: загальне рішення:
В принципі, у відповіді можна було розкрити дужки.
Повна перевірка відповіді виконується за стандартною схемою, яка розглядалася на уроці Неоднорідні ДУ 2-го порядку. Але перевірка буде непростий, оскільки належить знаходити досить важкі похідні і проводити громіздку підстановку. Це неприємна особливість, коли ви вирішуєте подібні діффури.
приклад 5
Вирішити диференціальне рівняння методом варіації довільних сталих
Це приклад для самостійного рішення. Насправді в правій частині теж дріб. згадуємо тригонометричну формулу , Її, до речі, потрібно буде застосувати по ходу рішення.
Метод варіації довільних сталих - найбільш універсальний метод. Їм можна вирішити будь-яке рівняння, яке вирішується методом підбору приватного рішення по виду правої частини. Виникає питання, а чому б і там не використовувати метод варіації довільних сталих? Відповідь очевидна: підбір приватного рішення, який розглядався на уроці Неоднорідні рівняння другого порядку, Значно прискорює рішення і скорочує запис - ніякого трахча з визначниками і інтегралами.
Розглянемо два приклади з завданням Коші.
приклад 6
Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що відповідає заданим початковим умовам
, 
Рішення: Знову дріб і експонента в цікавому місці.
Використовуємо метод варіації довільних сталих.
знайдемо загальне рішення відповідного однорідного рівняння: 
- отримані різні дійсні корені, тому спільне рішення:
Загальне рішення неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді:, де - поки ще невідомі функції.
Складемо систему:
В даному випадку:
,
Знаходимо похідні: 
, 
Таким чином: 
Систему вирішимо за формулами Крамера:
, Значить, система має єдине рішення.
Відновлюємо функцію інтеграцією:
тут використаний метод підведення функції під знак диференціала.
Відновлюємо другу функцію інтеграцією: 
Такий інтеграл вирішується методом заміни змінної:
З самої заміни висловлюємо:
Таким чином: 
Даний інтеграл можна знайти шляхом виділення повного квадрата, Але в прикладах з діффурамі я вважаю за краще розкладати дріб методом невизначених коефіцієнтів
:
Обидві функції знайдені:
В результаті, загальне рішення неоднорідного рівняння:
Знайдемо приватне рішення, яке задовольняє початковим умовам .
Технічно пошук рішення здійснюється стандартним способом, який розглядався в статті Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку.
Тримайтеся, зараз будемо знаходити похідну від знайденого спільного рішення:
Ось таке ось неподобство. Спрощувати його не обов'язково, легше відразу скласти систему рівнянь. Відповідно до початковими умовами :
Підставами знайдені значення констант 
в загальне рішення:
У відповіді логарифми можна трохи запакувати.
відповідь: приватне рішення: 
Як бачите, труднощі можуть виникнути в інтеграли і похідних, але ніяк не в самому алгоритмі методу варіації довільних сталих. Це не я вас залякав, це все збірник Кузнєцова!
Для розслаблення заключний, більш простий приклад для самостійного рішення:
приклад 7
Вирішити задачу Коші
, 
Приклад нескладний, але творчий, коли складете систему, уважно на неї подивіться, перш ніж вирішувати ;-),
В результаті загальне рішення:
Знайдемо приватне рішення, відповідне початкових умов .
Підставами знайдені значення констант в загальне рішення:
відповідь: приватне рішення:
Метод варіації довільних сталих
Метод варіації довільних сталих для побудови рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)
складається в заміні довільних постійних c k в загальному рішенні
z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)
відповідного однорідного рівняння
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0
на допоміжні функції c k (t) , Похідні яких задовольняють лінійної алгебри системі
Визначником системи (1) служить вронскиан функцій z 1 ,z 2 ,...,z n , Що забезпечує її однозначну розв'язність щодо.
Якщо - Первісні для, взяті при фіксованих значеннях постійних інтегрування, то функція
є рішенням вихідного лінійного неоднорідного диференціального рівняння. Інтегрування неоднорідного рівняння при наявності загального рішення відповідного однорідного рівняння зводиться, таким чином, до квадратури.
Метод варіації довільних сталих для побудови рішень системи лінійних диференціальних рівнянь у векторній нормальній формі
полягає в побудові приватного рішення (1) у вигляді
де Z(t) - базис рішень відповідного однорідного рівняння, записаний у вигляді матриці, а векторна функція, що замінила вектор довільних постійних, визначена співвідношенням. Шукане приватне рішення (з нульовими початковими значеннями при t = t 0 має вигляд
Для системи з постійними коефіцієнтами останній вираз спрощується:
матриця Z(t)Z - 1 (τ) називається матрицею Коші оператора L = A(t) .
Розглянуто метод вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків з постійними коефіцієнтами методом варіації постійних Лагранжа. Метод Лагранжа також застосуємо для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь, якщо відома фундаментальна система рішень однорідного рівняння.
змістДив. також:
Метод Лагранжа (варіація постійних)
Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами довільного n-го порядку:
(1)
.
Метод варіації постійної, розглянутий нами для рівняння першого порядку, також застосуємо і для рівнянь більш високих порядків.
Рішення виконується в два етапи. На першому етапі ми відкидаємо праву частину і вирішуємо однорідне рівняння. В результаті отримуємо рішення, що містить n довільних постійних. На другому етапі ми варіюємо постійні. Тобто ми вважаємо, що ці постійні є функціями від незалежної змінної x і знаходимо вид цих функцій.
Хоча ми тут розглядаємо рівняння з постійними коефіцієнтами, але метод Лагранжа також застосуємо і для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь. Для цього, однак, повинна бути відома фундаментальна система рішень однорідного рівняння.
Крок 1. Рішення однорідного рівняння
Як і в разі рівнянь першого порядку, спочатку ми шукаємо спільне рішення однорідного рівняння, прирівнюючи праву неоднорідну частину до нуля:
(2)
.
Загальне рішення такого рівняння має вигляд:
(3)
.
Тут - довільні постійні; - n лінійно незалежних рішень однорідного рівняння (2), які утворюють фундаментальну систему рішень цього рівняння.
Крок 2. Варіація постійних - заміна постійних функціями
На другому етапі ми займемося варіацією постійних. Іншими словами, ми замінимо постійні на функції від незалежної змінної x:
.
Тобто ми шукаємо рішення вихідного рівняння (1) в наступному вигляді:
(4)
.
Якщо ми підставимо (4) в (1), то отримаємо одне диференціальне рівняння для n функцій. При цьому ми можемо пов'язати ці функції додатковими рівняннями. Тоді вийде n рівнянь, з яких можна визначити n функцій. Додаткові рівняння можна скласти різними способами. Але ми це зробимо так, щоб рішення мало найбільш простий вигляд. Для цього, при диференціюванні, потрібно прирівнювати до нуля члени, що містять похідні від функцій. Продемонструємо це.
Щоб підставити передбачуване рішення (4) у вихідне рівняння (1), нам потрібно знайти похідні перших n порядків від функції, записаної у вигляді (4). Диференціюючи (4), застосовуючи правила диференціювання суми і твори:
.
Згрупуємо члени. Спочатку випишемо члени з похідними від, а потім - члени з похідними від:
.
Накладемо на функції перша умова:
(5.1)
.
Тоді вираз для першої похідної по матиме більш простий вигляд:
(6.1)
.
Тим же способом знаходимо другу похідну:
.
Накладемо на функції друга умова:
(5.2)
.
тоді
(6.2)
.
І так далі. В додаткових умовах, Ми прирівнюємо члени, що містять похідні функцій, до нуля.
Таким чином, якщо вибрати такі додаткові рівняння для функцій:
(5.k) ,
то перші похідних по матимуть найбільш простий вигляд:
(6.k) .
Тут.
Знаходимо n -ю похідну:
(6.n)
.
Підставляємо у вихідне рівняння (1):
(1)
;
.
Врахуємо, що всі функції задовольняють рівняння (2):
.
Тоді сума членів, що містять дають нуль. В результаті отримуємо:
(7)
.
В результаті ми отримали систему лінійних рівнянь для похідних:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7 ') .
Вирішуючи цю систему, знаходимо вирази для похідних як функції від x. Інтегруючи, отримаємо:
.
Тут - вже не залежать від x постійні. Підставляючи в (4), отримуємо загальне рішення вихідного рівняння.
Зауважимо, що для визначення величин похідних ми ніде не використовували той факт, що коефіцієнти a i є постійними. Тому метод Лагранжа застосуємо для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь, Якщо відома фундаментальна система рішень однорідного рівняння (2).
приклади
Вирішити рівняння методом варіації постійних (Лагранжа).
Рішення прикладів\u003e\u003e\u003e
Рішення рівнянь вищих порядків методом Бернуллі
Рішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків з постійними коефіцієнтами лінійної підстановкою
Завантаження ...