В деякій точці і має в ній безперервні приватні похідні, принаймні одна з яких не звертається в нуль, то в околиці цієї точки поверхню, задана рівнянням (1), буде правильної поверхнею.

Крім зазначеного вище неявного способу завдання поверхня може бути визначена явно, Якщо одну з змінних, наприклад z, можна висловити через інші:

також існує параметричний спосіб завдання. В цьому випадку поверхню визначається системою рівнянь:

Поняття про просту поверхні

Більш точно, простий поверхнею називається образ гомеоморфного відображення (тобто взаємно однозначного і взаємно безперервного відображення) нутрощі одиничного квадрата. Цьому визначенню можна дати аналітичний вираз.

Нехай на площині з прямокутною системою координат u і v заданий квадрат, координати внутрішніх точок якого задовольняють нерівності 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

прикладом простий поверхні є півсфера. Вся ж сфера не є простий поверхнею. Це викликає необхідність подальшого узагальнення поняття поверхні.

Підмножина простору, у кожної точки якого є околиця, що є простий поверхнею, називається правильної поверхнею .

Поверхня в диференціальної геометрії

гелікоїд

катеноїд

Метрика не визначає однозначно форму поверхні. Наприклад, метрика гелікоїда і катеноїд, параметрезованих відповідним чином, збігається, тобто між їх областями існує відповідність, що зберігає всі довжини (ізометрія). Властивості, що зберігаються при ізометричних перетвореннях, називаються внутрішньої геометрією поверхні. Внутрішня геометрія не залежить від положення поверхні в просторі і не змінюється при її згинанні без розтягування і стиснення (наприклад, при згинанні циліндра в конус).

Метричні коефіцієнти визначають не тільки довжини всіх кривих, а й взагалі результати всіх вимірювань всередині поверхні (кути, площі, кривизна і ін.). Тому все, що залежить тільки від метрики, відноситься до внутрішньої геометрії.

Нормаль і нормальне перетин

Вектори нормалі в точках поверхні

Однією з основних характеристик поверхні є її нормаль - одиничний вектор, перпендикулярний дотичній площині в заданій точці:

.

Знак нормалі залежить від вибору координат.

Перетин поверхні площиною, що містить нормаль (в даній точці), утворює деяку криву на поверхні, яка називається нормальним перетином поверхні. Головна нормаль для нормального перетину збігається з нормаллю до поверхні (з точністю до знака).

Якщо ж крива на поверхні не є нормальним перетином, то її головна нормаль утворює з нормаллю поверхні деякий кут θ. тоді кривизна k кривої пов'язана з кривизною k n нормального перетину (з тієї ж дотичній) формулою Менье:

Координати орта нормалі для різних способів завдання поверхні наведені в таблиці:

	Координати нормалі в точці поверхні
неявне завдання
явне завдання
параметричне завдання

кривизна

Для різних напрямків в заданій точці поверхні виходить різна кривизна нормального перетину, яка називається нормальної кривизною; йому приписується знак плюс, якщо головна нормаль кривої йде в тому ж напрямку, що і нормаль до поверхні, або мінус, якщо напрямки нормалей протилежні.

Взагалі кажучи, в кожній точці поверхні існують два перпендикулярних напрямки e 1 і e 2, в яких нормальна кривизна приймає мінімальне і максимальне значення; ці напрямки називаються головними. Виняток становить випадок, коли нормальна кривизна в усіх напрямках однакова (наприклад, у сфери або на торці еліпсоїда обертання), тоді всі напрямки в точці - головні.

Поверхні з негативною (зліва), нульовий (в центрі) і позитивної (праворуч) кривизною.

Нормальні кривизни в головних напрямках називаються головними кривизнами; позначимо їх κ 1 і κ 2. величина:

K \u003d Κ 1 κ 2

називається гаусом кривизною, повної кривизною або просто кривизною поверхні. Зустрічається також термін скаляр кривизни, Який має на увазі результат згортки тензора кривизни; при цьому скаляр кривизни вдвічі більше, ніж гауссова кривизна.

Гауссова кривизна може бути обчислена через метрику, і тому вона є об'єктом внутрішньої геометрії поверхонь (відзначимо, що головні кривизни до внутрішньої геометрії не належать). За знаком кривизни можна класифікувати точки поверхні (див. Малюнок). Кривизна площині дорівнює нулю. Кривизна сфери радіуса R всюди дорівнює. Існує і поверхня постійної негативної кривизни - псевдосфера.

Геодезичні лінії, геодезична кривизна

Крива на поверхні називається геодезичної лінією, або просто геодезичної, Якщо у всіх її точках головна нормаль до кривої збігається з нормаллю до поверхні. Приклад: на площині геодезичними будуть прямі і відрізки прямих, на сфері - великі кола і їх відрізки.

Еквівалентну визначення: у геодезичної лінії проекція її головною нормалі на дотичну площину є нульовий вектор. Якщо крива не є геодезичної, то зазначена проекція ненульова; її довжина називається геодезичної кривизною k g кривої на поверхні. Має місце співвідношення:

,

де k - кривизна даної кривої, k n - кривизна її нормального перетину з тією ж дотичній.

Геодезичні лінії відносяться до внутрішньої геометрії. Перерахуємо їх основні характеристики.

• Через дану точку поверхні в заданому напрямку проходить одна і тільки одна геодезична.
• На досить малій ділянці поверхні дві точки завжди можна поєднати геодезичної, до того ж лише однієї. Пояснення: на сфері протилежні полюси з'єднує нескінченну кількість меридіанів, а дві близькі точки можна з'єднати не тільки відрізком великого кола, а й його доповненням до повної окружності, так що однозначність дотримується тільки в малому.
• Геодезична є найкоротшою. Більш строго: на малому шматку поверхні найкоротший шлях між заданими точками лежить по геодезичної.

Площа

Ще один важливий атрибут поверхні - її площа , Яка обчислюється за формулою:

А саме, про те, що ви бачите в заголовку. По суті, це «просторовий аналог» завдання знаходження дотичної і нормалі до графіка функції однієї змінної, і тому ніяких труднощів виникнути не повинно.

Почнемо з базових питань: ЩО ТАКЕ дотична площину і ЩО ТАКЕ нормаль? Багато усвідомлюють ці поняття на рівні інтуїції. Найпростіша модель, що приходить на розум - це куля, на якому лежить тонка плоска картонка. Картонка розташована максимально близько до сфери і стосується її в єдиній точці. Крім того, в точці дотику вона закріплена стирчить строго вгору голкою.

В теорії існує досить дотепне визначення дотичній площині. Уявіть довільну поверхню і належить їй точку. Очевидно, що через точку проходить багато просторових ліній, Які належать даній поверхні. У кого які асоціації? \u003d) ... особисто я представив восьминога. Припустимо, що у кожної такої лінії існує просторова дотична в точці.

визначення 1: дотична площину до поверхні в точці - це площину, Що містить дотичні до всіх кривим, які належать даній поверхні і проходять через точку.

визначення 2: нормаль до поверхні в точці - це пряма, Що проходить через дану точку перпендикулярно дотичній площині.

Просто і витончено. До речі, щоб ви не померли з нудьги від простоти матеріалу, трохи пізніше я поділюся з вами одним витонченим секретом, який дозволяє РАЗ І НАЗАВЖДИ забути про зубріння різних визначень.

З робочими формулами і алгоритмом рішення познайомимося прямо на конкретному прикладі. У переважній більшості завдань потрібно скласти і рівняння дотичної площини, і рівняння нормалі:

приклад 1

Рішення: Якщо поверхня задана рівнянням (Тобто неявно), То рівняння дотичної площини до даної поверхні в точці можна знайти за такою формулою:

Особливу увагу звертаю на незвичайні приватні похідні - їх не слід плутати з приватними похідними неявно заданої функції (Хоча поверхня задана неявно). При знаходженні цих похідних потрібно керуватися правилами диференціювання функції трьох змінних, Тобто, при диференціюванні з якої-небудь змінної, дві інші літери вважаються константами:

Не відходячи від каси, знайдемо приватну похідну в точці:

аналогічно:

Це був самий неприємний момент рішення, в якому помилка якщо не допускається, то постійно ввижається. Проте, тут існує ефективний прийом перевірки, про який я розповідав на уроці Похідна за напрямком і градієнт.

Всі «інгредієнти» знайдено і тепер справа за акуратною підстановкою з подальшими спрощеннями:

– загальне рівняння шуканої дотичній площині.

Настійно рекомендую проконтролювати і цей етап рішення. Спочатку потрібно переконатися, що координати точки дотику дійсно задовольняють знайденому рівнянню:

- вірне рівність.

Тепер «знімаємо» коефіцієнти загального рівняння площини і перевіряємо їх на предмет збігу або пропорційності з відповідними значеннями. В даному випадку пропорційні. Як ви пам'ятаєте з курсу аналітичної геометрії, - це вектор нормалі дотичній площині, і він же - спрямовує вектор нормальної прямої. складемо канонічні рівняння нормалі по точці і направляючої вектору:

В принципі, знаменники можна скоротити на «двійку», але особливої \u200b\u200bпотреби в цьому немає

відповідь:

Рівняння не забороняється позначити якимись літерами, проте, знову ж таки - навіщо? Тут і так гранично зрозуміло, що до чого.

Наступні два приклади для самостійного рішення. Невелика «математична скоромовка»:

приклад 2

Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці.

І завдання, цікаве з технічної точки зору:

приклад 3

Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці

У точці.

Тут є всі шанси не тільки заплутатися, але і зіткнутися з труднощами при записі канонічних рівнянь прямої. А рівняння нормалі, як ви, напевно, зрозуміли, прийнято записувати саме в такому вигляді. Хоча, через забудькуватість або незнання деяких нюансів більш ніж прийнятна і параметричну форма.

Зразкові зразки чистового оформлення рішень в кінці уроку.

У будь-який чи точці поверхні існує дотична площину? У загальному випадку, звичайно ж, немає. Класичний приклад - це конічна поверхня і точка - дотичні в цій точці безпосередньо утворюють конічну поверхню, і, зрозуміло, не лежать в одній площині. В негаразди легко переконатися і аналітично:.

Іншим джерелом проблем є факт неіснування будь-якої приватної похідною в точці. Однак це ще не означає, що в даній точці немає єдиної дотичній площині.

Але то була, скоріше, науково-популярна, ніж практично значима інформація, і ми повертаємося до справ насущних:

Як скласти рівняння дотичної площини і нормалі в точці,
якщо поверхня задана явною функцією?

Перепишемо її у неявному вигляді:

І за тими ж принципами знайдемо приватні похідні:

Таким чином, формула дотичній площині трансформується в наступне рівняння:

І відповідно, канонічні рівняння нормалі:

Як неважко здогадатися, - це вже «справжні» приватні похідні функції двох змінних в точці, які ми звикли позначати буквою «зет» і знаходили 100500 раз.

Зауважте, що в даній статті досить запам'ятати найпершу формулу, з якої в разі потреби легко вивести все інше (Зрозуміло, володіючи базовим рівнем підготовки). Саме такий підхід слід використовувати в ході вивчення точних наук, тобто з мінімуму інформації треба прагнути «витягувати» максимум висновків і наслідків. «Соображаловка» і вже наявні знання в допомогу! Цей принцип корисний ще й тим, що з великою ймовірністю врятує в критичній ситуації, коли ви знаєте дуже мало.

Відпрацюємо «модифіковані» формули парою прикладів:

приклад 4

Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці.

Невелика тут накладка вийшла з позначеннями - тепер буква позначає точку площини, але що поробиш - така вже популярна буква ....

Рішення: Рівняння шуканої дотичній площині складемо за формулою:

Обчислимо значення функції в точці:

обчислимо приватні похідні 1-го порядку в даній точці:

Таким чином:

акуратно, не поспішаємо:

Запишемо канонічні рівняння нормалі в точці:

відповідь:

І заключний приклад для самостійного рішення:

приклад 5

Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці.

Заключний - тому, що фактично всі технічні моменти я роз'яснив і додати особливо нічого. Навіть самі функції, пропоновані в даному завданні, сумовиті й одноманітні - майже гарантовано на практиці вам попадеться «многочлен», і в цьому сенсі Приклад №2 з експонентою виглядає «білою вороною». До речі, набагато ймовірніше зустріти поверхню, задану рівнянням і це ще одна причина, по якій функція увійшла до статті «другим номером».

І наостанок обіцяний секрет: так як же уникнути зубріння визначень? (Я, звичайно, не маю на увазі ситуацію, коли студент щось гарячково зубрить перед іспитом)

Визначення будь-якого поняття / явища / об'єкта, перш за все, дає відповідь на наступне питання: ЩО ЦЕ ТАКЕ? (Хто / така / такий / такі). усвідомлено відповідаючи на це питання, ви повинні постаратися відобразити істотніознаки, однозначно ідентифікують ту чи іншу поняття / явище / об'єкт. Так, спочатку це виходить кілька недорікуваті, неточно і надмірно (викладач поправить \u003d)), але з часом розвивається цілком гідна наукова мова.

Потренуйтеся на самих абстрактних об'єктах, наприклад, дайте відповідь на питання: хто такий Чебурашка? Не так-то все просто ;-) Це «казковий персонаж з великими вухами, очима і коричневою шерстю»? Далеко і дуже далеко від визначення - хіба мало існує персонажів з такими характеристиками .... А ось це вже набагато ближче до визначення: «Чебурашка - це персонаж, придуманий письменником Едуардом Успенським в 1966 р, який ... (перелік основних відмінних ознак)». Зверніть увагу, як грамотно розпочато

Нехай маємо поверхню, задану рівнянням виду

Введемо таке визначення.

Визначення 1. Пряма лінія називається дотичній до поверхні в деякій точці, якщо вона є

дотичній до будь-якої кривої, що лежить на поверхні і проходить через точку.

Так як через точку Р проходить нескінченне число різних кривих, що лежать на поверхні, то і дотичних до поверхні, що проходять через цю точку, буде, взагалі кажучи, безліч.

Введемо поняття про особливі і звичайних точках поверхні

Якщо в точці всі три похідні дорівнюють нулю або хоча б одна з цих похідних не існує, то точка М називається особливою точкою поверхні. Якщо в точці всі три похідні існують і безперервні, причому хоча б одна з них відмінна від нуля, то точка М називається звичайної точкою поверхні.

Тепер ми можемо сформулювати наступну теорему.

Теорема. Всі дотичні прямі до даної поверхні (1) в її звичайної точці Р лежать в одній площині.

Доведення. Розглянемо на поверхні деяку лінію L (рис. 206), що проходить через дану точку Р поверхні. Нехай розглянута крива задана параметричними рівняннями

Дотична до кривої буде дотичній до поверхні. Рівняння цієї дотичної мають вигляд

Якщо вираження (2) підставити в рівняння (1), то це рівняння перетвориться в тотожність щодо t, так як крива (2) лежить на поверхні (1). Диференціюючи його по отримаємо

Проекції цього вектора залежать від - координат точки Р; зауважимо, що так як точка Р звичайна, то ці проекції в точці Р одночасно не звертаються в нуль і тому

дотичний до кривої, що проходить через точку Р і лежить на поверхні. Проекції цього вектора обчислюються на підставі рівнянь (2) при значенні параметра t, відповідному точці Р.

Обчислимо скалярний добуток векторів N і що дорівнює сумі творів однойменних проекцій:

На підставі рівності (3) вираз, що стоїть в правій частині, дорівнює нулю, отже,

З останнього рівності випливає, що вектор ЛГ і дотичний вектор до кривої (2) в точці Р перпендикулярні. Проведене міркування справедливо для будь-якої кривої (2), що проходить через точку Р і лежить на поверхні. Отже, кожна дотична до поверхні в точці Р перпендикулярна до одного і тим самим вектором N і тому всі ці дотичні лежать в одній площині, перпендикулярній до вектора ЛГ. Теорема доведена.

Визначення 2. Площина, в якій розташовані всі дотичні прямі до ліній на поверхні, що проходить через дану її точку Р, називається дотичній площиною до поверхні в точці Р (рис. 207).

Зауважимо, що в особливих точках поверхні може не існувати дотичній площині. У таких точках дотичні прямі до поверхні можуть не лежати в одній площині. Так, наприклад, вершина конічної поверхні є особливою точкою.

Дотичні до конічної поверхні в цій точці лежать в одній площині (вони самі утворюють конічну поверхню).

Напишемо рівняння дотичної площини до поверхні (1) в звичайній точці. Так як ця площина перпендикулярна вектору (4), то, отже, її рівняння має вигляд

Якщо рівняння поверхні задано у формі або рівняння дотичної площини в цьому випадку набуде вигляду

Зауваження. Якщо у формулі (6) покладемо, то ця формула набуде вигляду

її права частина являє собою повний диференціал функції. Отже,. Таким чином, повний диференціал функції двох змінних в точці відповідний приращениям незалежних змінних х і у, дорівнює відповідному збільшенню аппликати дотичній площині до поверхні, яка є графіком даної функції.

Про пределеніе 3. Пряма, проведена через точку поверхні (1) перпендикулярно до дотичної площини, називається нормаллю до поверхні (рис. 207).

Напишемо рівняння нормалі. Так як її напрямок збігається з напрямком вектора N, то її рівняння матимуть вигляд

Рівняння нормальної площини

1.

4.

Дотична площину і нормаль до поверхні

Нехай дана деяка поверхню, A - фіксована точка поверхні і B - мінлива точка поверхні,

(Рис. 1).

ненульовий вектор

→

n

називається нормальним вектором до поверхні в точці A, якщо

lim B → A j \u003d π 2 .

Точка поверхні F (x, y, z) \u003d 0 називається звичайної, якщо в цій точці

1. приватні похідні F "x, F" y, F "z безперервні;
2. (F "x) 2 + (F" y) 2 + (F "z) 2 ≠ 0.

При порушенні хоча б одного з цих умов точка поверхні називається особливою точкою поверхні .

Теорема 1.Якщо M (x 0, y 0, z 0) - звичайна точка поверхні F (x, y, z) \u003d 0, то вектор

→ n \u003d Grad F (x 0, y 0, z 0) \u003d F "x (x 0, y 0, z 0) → i + F "y (x 0, y 0, z 0) → j + F "z (x 0, y 0, z 0) → k

(1)

є нормальним до цієї поверхні в точці M (x 0, y 0, z 0).

Доведеннянаведено в книзі І.М. Петрушко, Л.А. Кузнєцова, В.І. Прохоренко, В.Ф. Сафонова `` Курс вищої математики: Інтегральне числення. Функції декількох змінних. Диференційне рівняння. М .: Изд-во МЕІ, 2002 (стор. 128).

Нормаллю до поверхні в деякій її точці називається пряма, спрямовує вектор якої є нормальним до поверхні в цій точці і яка проходить через цю точку.

канонічні рівняння нормалі можна представити у вигляді

x - x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y - y 0 F "y (x 0, y 0, z 0) = z - z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

дотичній площиною до поверхні в деякій точці називається площина, яка проходить через цю точку перпендикулярно нормалі до поверхні в цій точці.

З цього визначення випливає, що рівняння дотичної площини має вид:

(3)

Якщо точка поверхні є особливою, то в цій точці нормальний до поверхні вектор може не існувати, і, отже, поверхня може не мати нормальний і дотичній площині.

Геометричний сенс повного диференціала функції двох змінних

Нехай функція z \u003d f (x, y) диференційовна в точці a (x 0, y 0). Її графіком є \u200b\u200bповерхня

f (x, y) - z \u003d 0.

Покладемо z 0 \u003d f (x 0, y 0). Тоді точка A (x 0, y 0, z 0) належить поверхні.

Приватні похідні функції F (x, y, z) \u003d f (x, y) - z суть

F "x \u003d f" x, F "y \u003d f" y, F "z \u003d - 1

і в точці A (x 0, y 0, z 0)

1. вони безперервні;
2. F "2 x + F" 2 y + F "2 z \u003d f" 2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Отже, A - звичайна точка поверхні F (x, y, z) і в цій точці існує дотична площина до поверхні. Згідно (3), рівняння дотичної площини має вигляд:

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) \u003d 0.

Вертикальне зміщення точки на дотичній площині при переході з точки a (x 0, y 0) в довільну точку p (x, y) є B Q (рис. 2). Відповідне збільшення аппликати є

(Z - z 0) \u003d f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Тут в правій частині стоїть диференціал d z функції z \u003d f (x, y) в точці a (x 0, x 0). отже,
d f (x 0, y 0). є збільшення аппликати точки площині дотичної до графіка функції f (x, y) в точці (x 0, y 0, z 0 \u003d f (x 0, y 0)).

З визначення диференціала слід, що відстань між точкою P на графіку функції і точкою Q на дотичній площині є нескінченно мала вищого порядку, ніж відстань від точки p до точки a.

1 °

1 °. Рівняння дотичної площини і нормалі для випадку явного завдання поверхні.

Розглянемо одне з геометричних додатків приватних похідних функції двох змінних. нехай функція z = f (x;y) диференційована в точці (x 0; у 0) деякої області DÎ R 2. Розсічений поверхню S,зображає функцію z, площинами х \u003d х 0 і у \u003d у 0 (Рис. 11).

площина х = x 0 перетинає поверхню S за деякою лінії z 0 (y), рівняння якої виходить підстановкою в вираз вихідної функції z \u003d=f (x;y) замість х числа x 0. Крапка M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0))належить кривій z 0 (y). В силу диференціюється z в точці М 0 функція z 0 (y) також є диференційованою в точці у \u003d у 0. Отже, в цій точці в площині х \u003d х 0 до кривої z 0 (y) може бути проведена дотична l 1.

Проводячи аналогічні міркування для перетину у = у 0, побудуємо дотичну l 2 до кривої z 0 (x) в точці х = x 0 - прямі 1 1 і 1 2 визначають площину, яка називається дотичній площиною до поверхні S в точці М 0.

Складемо її рівняння. Так як площина проходить через точку Mo (x 0;y 0;z 0), то її рівняння може бути записано у вигляді

А (х - хо) + В (у - уо) + C (z - zo) \u003d 0,

яке можна переписати так:

z -z 0 \u003d A 1 (x - х 0) + B 1 (y - у 0) (1)

(Розділивши рівняння на -С і позначивши ).

знайдемо A 1 і B 1.

рівняння дотичних 1 1 і 1 2 мають вигляд

відповідно.

дотична l 1 лежить в площині a , отже, координати всіх точок l 1 задовольняють рівняння (1). Цей факт можна записати у вигляді системи

Вирішуючи цю систему відносно B 1, отримаємо, що .Проводя аналогічні міркування для дотичній l 3, Легко встановити, що.

Підставивши значення А 1 і B 1 в рівняння (1), отримуємо дані рівняння дотичної площини:

Пряма, що проходить через точку М 0 і перпендикулярна дотичній площині, побудованої в цій точці поверхні, називається її нормаллю.

Використовуючи умову перпендикулярності прямої і площини, легко отримати канонічні рівняння нормалі:

Зауваження. Формули дотичній площині і нормалі до поверхні отримані для звичайних, т. Е. Особливих, точок поверхні. Крапка М 0 поверхні називається особливої, якщо в цій точці всі приватні похідні дорівнюють нулю або хоча б одна з них не існує. Такі точки ми не розглядаємо.

Приклад. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в її точці М (2; -1; 1).

Рішення. Знайдемо приватні похідні даної функції і їх значення в точці М

Звідси, застосовуючи формули (2) і (3), будемо мати: z-1 \u003d 2 (х-2) +2 (у + 1) або 2х + 2у-z-1 \u003d 0 - рівняння дотичної площини і - рівняння нормалі.

2 °. Рівняння дотичної площини і нормалі для випадку неявного завдання поверхні.

якщо поверхня S задана рівнянням F (x; у;z) \u003d 0, то рівняння (2) і (3), з урахуванням того, що приватні похідні можуть бути знайдені як похідні неявної функції.