Дайте поняття координатних векторів. Як знайти координати вектора

координатами вектора

величина називається абсциссой вектора , А число - його ординатою

Як утворюється базис на площині

Як утворюється базис в просторі

Базисом векторного простору називається впорядкована максимальна лінійно незалежна система векторів з цього простору.

Визначення Система векторів a1, a2,. . . , An з векторного простору V називається системою утворюючих цього простору, якщо будь-який вектор з V лінійно виражається через вектори a1, a2,. . . , An.

Упорядкована система векторів є базисом векторного простору V тоді і тільки тоді, коли вона є лінійно незалежною системою утворюють цього простору

Що називається декартовим базисом

Якщо вектори e1, e2, e3 взаємно ортогональні і по модулю рівні одиниці, то вони називаються ортами прямокутної декартової системи координат, а сам базис ортонормованим декартових базисом.

Сформулювати властивості координат векторів в декартовом базисі

Що називається координатами точки

Відстані точки від координатних площин називають координатами точки.
Відстань АА 1 точки від площини П 1 називають аплікатою точки і позначають у А, відстань АА 2 точки від площини П 2 - ординатою точки і позначають - у А, відстань АА 3 точки від площини П 3 - абсциссой точки і позначають х А.
Очевидно, координата точки аппликата z A є висота АА 1, координата точки ордината у A - глибина АА 2, координата точки абсциса х А - шіротаАА 3.

Як обчислюються координати вектора якщо відомі координати його кінця і початку

Як обчислювати відстань між двома точками якщо відомі їх координати

Сама знаєш що АВ (x1-x2; y1-y2)
Відстань між точками це довжина вектора АВ.

Що таке напрямні косинуси

Направляючі косинуси вектора - це косинуси кутів, які вектор утворює з позитивними півосями координат.

Направляючі косинуси однозначно задають напрямок вектора.

Що називається проекцією вектора на вісь, довести властивості проекцій.

проекцією вектора на вісь l () Називається довжина його компоненти на вісь l , Взята зі знаком «плюс», якщо напрямок компоненти збігається з напрямком осі l, І зі знаком «мінус», якщо напрямок компоненти протилежно напрямку осі.

якщо \u003d , то вважають = .

Теорема I Проекція вектора на вісь l дорівнює добутку його модуля на косинус кута між цим вектором і віссю l.

Доведення. Так як вектор \u003d вільний, то можна припустити, що початок його Про лежить на осі l(Рис. 34).

якщо кут гострий, то напрямок компоненти \u003d, вектора збігається з напрямком осі l(Рис 34, а).

У цьому випадку маємо = + = . Якщо ж кут (Рис. 34, б) , то напрямок компоненти = вектора протилежно напрямку осі l. Тоді отримуємо \u003d \u003d cos (-) \u003d сos

Те ж - на вектор.

Що таке скалярний добуток векторів

скалярним добутком двох ненульових векторів а й b називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Сформулювати умова ортогональності векторів

Умова ортогональності векторов.Два вектора a і b ортогональні (перпендикулярні), Якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Довести властивості скалярного твори векторів

Властивості скалярного добутку векторів

Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більше або дорівнює нуля:

Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:

a · a \u003d 0<=> a \u003d 0

Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:

Операція скалярного множення комунікативна:

Якщо скалярний добуток двох не нульовий векторів дорівнює нулю, то ці вектора ортогональні:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b \u003d 0<=> a ┴ b

(Αa) · b \u003d α (a · b)
Операція скалярного множення дистрибутивну:

(A + b) · c \u003d a · c + b · c

Вивести вираз скалярного твори через координати

Сформулювати властивості векторного добутку

ТІЛЬКИ 1 ФОРМУЛУ

Зверху це визначник.

аналітична геометрія

1. Довести теореми про загальний рівнянні прямої на площині

2. Провести дослідження загального рівняння прямої на площині

3. Вивести рівняння прямої на площині з кутовим коефіцієнтом і рівняння прямої в відрізках на осях

4. Вивести канонічне рівняння прямої на площині, записати параметричні рівняння, вивести рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

5. Як визначають кут між прямими на площині, якщо вони задані канонічними рівняннями або рівняннями з кутовим коефіцієнтом?

6. Вивести умови паралельності, збігу і перпендикулярності прямих на площині

7. Отримати формулу для обчислення відстані від точки до прямої на площині

8. Довести теореми про загальний рівнянні площини

9. Сформулювати і довести теорему про взаємне розташування пари площин

10. Провести дослідження загального рівняння площини

11. Отримати рівняння площини в відрізках і рівняння площини, що проходить через дві задані точки

12. Отримати формулу для обчислення відстані від точки до площини

13. Як обчислюється кут між площинами?

14. Вивести умови паралельності і перпендикулярності двох площин

15. Записати загальний вигляд рівнянь прямої в просторі, отримати канонічний вид рівнянь прямої в просторі

16. Вивести параметричні рівняння прямої в просторі, а також прямої, що проходить через дві точки простору.

17. Як визначаться кут між двома прямими в просторі? Записати умови паралельності і перпендикулярності прямих в просторі

18. Як визначається кут між прямою і площиною? Записати умови перпендикулярності і паралельності прямої і площини

19. Отримати умова приналежності двох прямих одній площині

Математичний аналіз

1. Що таке функція, які способи її завдання?

2. Що таке парна і непарна функції, як будувати їх графіки

3. Що таке періодична і зворотна функції, як будувати їх графіки

4. Зобразити в графіках показову і логарифмічну функції при a\u003e 1, a<1.

5. Що таке гармонійна залежність, який вид ЇЇ графіка?

6. Зобразити графіки y \u003d arcsinx, y \u003d arccosx, y \u003d arctgx, y \u003d arcctgx

7. Що таке елементарна функція. Графіки основних елементарних функцій

8. Як будувати графіки виду y \u003d cf (x), y \u003d f (cx), y \u003d f (x) + c, y \u003d f (x + c)

9. Що таке числова послідовність, які способи її завдання?

10. Що таке монотонна і обмежена послідовність?

11. Що називається межею послідовності? Записати визначення того, що дане число не є межею цієї послідовності

12. Сформулювати властивості меж послідовностей

13. Довести дві основні властивості збіжних послідовностей

14. Яке з них дає необхідна умова збіжності?

15. Сформулювати теорему, яка дає достатня умова збіжності послідовності

16. Довести одну з властивостей меж послідовностей

17. Що таке нескінченно мала (велика) послідовність?

18. Сформулювати властивості нескінченно малих послідовностей

19. Що називається межею функції?

20. Сформулювати властивості границь функцій

21. Що називається одностороннім межею?

22. Записати перший чудовий межа і вивести його наслідок

23. Записати другий чудовий межа і вивести його слідства

24. Які функції називають нескінченно малою, обмеженою, нескінченно великою?

25. Сформулювати властивості нескінченно малих функцій, довести будь-яке з них

26. Які поняття вводяться для порівняння нескінченно малих функцій, дати їх визначення

27. Яка функція називається неперервною в заданій точці?

28. Сформулювати критерій безперервності і охарактеризувати види розривів

29. Що таке похідна функції в фіксованій точці?

30. Що називається односторонніми похідними?

31. Що таке диференціал функції та як він пов'язаний з приростом функції?

32. Фізичний сенс першої і другої похідних

33. Що таке похідна функція від функції?

34. Перерахувати властивості похідних, довести два з них (u + v) "і (uv)"

35. Записати таблицю похідних, довести будь-які дві формули

36. Який геометричний зміст похідної і диференціала?

37. Вивести рівняння дотичної і нормалі до графіка функції

38. Довести теорему про похідну складної функції

39. Вивести похідну оберненої функції (привести приклад її знаходження)

40. Обгрунтувати теорему про обчислення похідних

41. Довести все теореми про повну загальну середню для диференційовних функцій

42. Сформулювати і довести правило Лопіталя

43. Які функції називаються зростаючими і спадними на інтервалі?

44. Довести теореми про зв'язок похідною зі зростанням функції

45. Що таке точки екстремуму?

46. \u200b\u200bОбгрунтувати необхідна умова екстремуму

47. Вивести два види достатньої умови екстремуму

48. Як знаходити найбільше і найменше значення функції на відрізку?

49. Що називається опуклою і увігнутою функцією?

50. Як дослідити функцію на опуклість і увігнутість? Що називається точками перегину?

51. Асимптоти - дати визначення, пояснити способи знаходження

52. Вивести формулу знаходження похідної (першої та другої) параметрически заданої функції

53. Що таке вектор-функція, її годограф і його механічний зміст?

54. Охарактеризувати за величиною і напрямком швидкість і прискорення матеріальної точки при рівномірному русі по колу

55. Охарактеризувати за величиною і напрямком швидкість і прискорення матеріальної точки при нерівномірному русі по колу

56. Одержати похідні функції y \u003d e x, y \u003d sinx, y \u003d cosx, y \u003d tgx, y \u003d lnx, y \u003d arcsinx, y \u003d arccosx

Що називається координатами вектора

координатами вектора називаються проекції і даного вектора на осі і відповідно:

величина називається абсциссой вектора , А число - його ординатою. Те, що вектор має координати і, записується таким чином:.

Для початку дамо визначення координат вектора в заданій системі координат. Щоб ввести дане поняття, визначимо що ми називаємо прямокутної або декартовій системою координат.

визначення 1

Прямокутна система координат вдає із себе прямолінійну систему координат з взаємно перпендикулярними осями на площині або в просторі.

За допомогою введення прямокутної системи координат на площині або в тривимірному просторі стає можливим описування геометричних фігур разом з їх властивостями за допомогою рівнянь і нерівностей, тобто використовувати алгебраїчні методи при вирішенні геометричних задач.

Тим самим, ми можемо прив'язати до заданої системі координат вектори. Це значно розширить наші можливості при вирішенні певних завдань

Прямокутна система координат на площині зазвичай позначається O x y, де O x і O y - осі коорднат. Ось O x називають віссю абсцис, а вісь O y - віссю ординат (у просторі з'являється ще одна вісь O z, яка перпендикулярна і O x і O y).

приклад 1

Отже, нам дана прямокутна декартова система координат O xy на площині якщо ми відкладемо від початку координат вектори i → і j →, напрямок яких відповідно співпаде з позитивними напрямками осей O x і O y, і їх довжина буде дорівнює умовної одиниці, ми отримаємо координатні вектори. Тобто в даному випадку i → і j → є координатними векторами.

координатні вектори

визначення 2

вектори i → і j → називаються координатними векторами для заданої системи координат.

приклад 2

Відкладаємо від початку координат довільний вектор a →. Спираючись на геометричне визначення операцій над векторами, вектор a → може бути представлений у вигляді a → \u003d a x · i → + a y · j →, де коефіцієнти a x і a y - єдині в своєму роді, їх одиничність досить просто довести методом від противного.

розкладання вектора

визначення 3

розкладанням вектора a → по координатним векторах i → і j → на площині називається уявлення виду a → \u003d a x · i → + a y · j →.

визначення 4

Коефіцієнти a x і a y називаються координатами вектора в даній системі координат на площині.

Координати вектора в даній системі координат прийнято записувати в круглих дужках, через кому, при цьому задані координати слід відокремлювати від позначення вектора знаком рівності. Наприклад, запис a → \u003d (2; - 3) означає, що вектор a → має координати (2; - 3) в даній системі координат і може бути представлений у вигляді розкладання по координатним векторах i → і j → як a → \u003d 2 · i → - 3 · j →.

зауваження

Слід звернути увагу, що порядок запису координат, має важливе значення, якщо ви запишіть координати вектора в іншому порядку, ви отримаєте зовсім інший вектор.

Спираючись на визначення координат вектора і їх розкладання стає очевидним, що одиничні вектори i → і j → мають координати (1; 0) і (0; 1) відповідно, і вони можуть бути представлені у вигляді наступних розкладів i → \u003d 1 · i → + 0 · j →; j → \u003d 0 · i → + 1 · j →.

Також має місце бути нульовий вектор 0 → з координатами (0; 0) і розкладанням 0 → \u003d 0 · i → + 0 · j →.

Рівні і протилежні вектори

визначення 5

Вектори a → і b → рівні тоді, коли їх відповідні координати рівні.

визначення 6

протилежним вектором називається вектор протилежний даному.

Звідси випливає, що координати такого вектора будуть протилежні координатами даного вектора, тобто, - a → \u003d (- a x; - a y).

Все вищевикладене можна аналогічно визначити і для прямокутної системи координат, заданої в тривимірному просторі. У такій системі координат має місце бути трійка координатних векторів i →, j →, k →, а довільний вектор a → розкладається не по двом, а вже по трьох координатах, причому єдиним чином і має вигляд a → \u003d ax · i → + ay · j → + az · k →, а коефіцієнти цього розкладання (ax; ay; az) називаються координатами вектора в даній (тривимірної) системі координат.

Отже, координатні вектори в тривимірному просторі приймають також значення 1 і мають координати i → \u003d (1, 0, 0), j → \u003d (0; 1; 0), k → \u003d (0; 0; 1), координати нульового вектора також дорівнюють нулю 0 → \u003d (0; 0; 0), і в такому випадку два вектора будуть вважатися рівними, якщо всі три відповідні координати векторів між собою рівні a → \u003d b → ⇔ ax \u003d bx, ay \u003d by, az \u003d bz , і координати протилежної вектора a → протилежні відповідним координатам вектора a →, тобто, - a → \u003d (- ax; - ay; - az).

Щоб ввести дане визначення, потрібно показати в даній системі координат зв'язок координат точки і координат вектора.

Нехай нам дана деяка прямокутна декартова система координат O x y і на ній задана довільна точка M з координатами M (x M; y M).

визначення 7

вектор O M → називається радіус-вектором точки M .

Визначимо, які координати в даній системі координат має радіус-вектор точки

вектор O M → має вигляд суми OM → \u003d OM x → + OM y → \u003d x M · i → + y M · j →, де точки M x і M y це проекції точки М на координатні прямі Ox і Oy відповідно (дані міркування випливають з визначення проекція точки на пряму), а i → і j → - координатні вектори, отже, вектор O M → має координати (x M; y M) в даній системі координат.

Інакше кажучи, координати радіус-вектора точки М дорівнюють відповідним координатам точки М в прямокутній декартовій системі координат.

Аналогічно в тривимірному просторі радіус-вектор точки M (x M; y M; z M) розкладається по координатних векторах як OM → \u003d OM x → + OM y → + OM z → \u003d x M · i → + y M · j → + z M · k →, отже, OM → \u003d (x M; y M; z M).

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

До цих пір вважалося, що вектори розглядаються в просторі. Починаючи з цього моменту будимо вважати, що всі вектори розглядаються на площині. Будемо також вважати, що на площині задана Декартова система координат (навіть якщо про це не говориться), що представляє дві взаємно перпендикулярні числові осі - горизонтальна вісь і вертикальна вісь . Тоді кожній точці
на площині ставиться у відповідність пара чисел
, Які є її координатами. Назад, кожній парі чисел
відповідає точка площині така, що пара чисел
є її координатами.

З елементарної геометрії відомо, що якщо на площині є дві точки
і
, То відстань
між цими точками виражається через їх координати по формулі

Нехай на площині задана Декартова система координат. орт осі будемо позначати символом , А орт осі символом . проекцію довільного вектора на вісь будемо позначати символом
, А проекцію на вісь символом
.

нехай - довільний вектор на площині. Має місце наступна теорема.

Теорема 22.

Для будь-якого вектора на площині існує пара чисел

При цьому
,
.

Доведення.

Нехай дано вектор . відкладемо вектор від початку координат. позначимо через вектор-проекцію вектора на вісь , А через вектор-проекцію вектора на вісь . Тоді, як видно з малюнка 21, має місце рівність

Згідно з теоремою 9,

позначимо
,
. тоді отримуємо

Отже, доведено, що для будь-якого вектора існує пара чисел
таких, що справедливо рівність

При іншому розташуванні вектора щодо осей доказ аналогічно.

Визначення.

пара чисел і таких, що
, Називаються координатами вектора . число називається іксів координатою, а число ігрековой координатою.

Визначення.

Пара ортов осей координат
називається ортонормованим базисом на площині. Подання будь-якого вектора у вигляді
називається розкладанням вектора по базису
.

Безпосередньо з визначення координат вектора випливає, що якщо координати векторів рівні, то рівні і самі вектори. Справедливо також і зворотне твердження.

Теорема.

Рівні вектори мають рівні координати.

Доведення.

і
. Доведемо, що
,
.

З рівності векторів випливає, що

Припустимо, що
, а
.

тоді
і значить
, Що не вірно. Аналогічно, якщо
, але
, то
. Звідси
, Що не вірно. Нарешті, якщо допустити, що
і
, То отримуємо, що

Це означає, що вектори і коллінеареи. Але це не вірно, так як вони перпендикулярні. Отже, залишається, що
,
, що і потрібно було довести.

Таким чином, координати вектора повністю визначають сам вектор. знаючи координати і вектора можна побудувати сам вектор , Побудувавши вектори
і
і склавши їх. Тому часто сам вектор позначають у вигляді пари його координат і пишуть
. Такий запис означає, що
.

Безпосередньо з визначення координат вектора слід наступна теорема.

Теорема.

При додаванні векторів їх координати складаються а при множенні вектора на число його координати множаться на це число. Записуються ці твердження у вигляді

Доведення.

Теорема.

нехай
, Причому початок вектора точка має координати
, А кінець вектора є точка
. Тоді координати вектора пов'язані з координатами його кінців наступними співвідношеннями

Доведення.

нехай
і нехай вектор-проекція вектора на вісь сонаправлени з віссю (Див. Рис. 22). тоді

т ак як довжина відрізка на числової осі дорівнює координаті правого кінця мінус координата лівого кінця. якщо вектор

протівонаправлени осі (Як на Рис. 23), то

Мал. 23.

якщо
, То в цьому випадку
і тоді отримуємо

Таким чином, при будь-якому розташуванні вектора
щодо осей координат його координата дорівнює

Аналогічно доводиться, що

Приклад.

Дано координати кінців вектора
:
. Знайти координати вектора
.

Рішення.

У наступній теоремі наводиться вираз довжини вектора через його координати.

Теорема 15.

нехай
.Тоді

Доведення.

нехай і - вектор-проекції вектора на осі і , Відповідно. Тоді, як показано при доведенні теореми 9, має місце рівність

При цьому, вектори і взаємно перпендикулярні. При складанні цих векторів за правилом трикутника отримуємо прямокутний трикутник (див. Рис. 24).

По теоремі Піфагора маємо

отже

Приклад.

.Знайти .

Введемо поняття напрямних косинусів вектора.

Визначення.

нехай вектор
складає з віссю кут , А з віссю кут (Див. Рис. 25).

отже,

Так як для будь-якого вектора має місце рівність

де - орт вектора , Тобто вектор одиничної довжини, сонаправленнимі з вектором , то

вектор визначає напрямок вектора . його координати
і
називаються напрямними косинусами вектора . Направляючі косинуси вектора можна виразити через його координати за формулами

Має місце співвідношення

До теперішнього моменту в цьому параграфі вважалося, що всі вектори розташовуються в одній і тій же площині. Тепер зробимо узагальнення для векторів в просторі.

Будемо вважати, що в просторі задана Декартова система координат з осями ,і .

орти осей ,і будемо позначати символами ,і , Відповідно (Рис. 26).

Можна показати, що всі поняття і формули, які були отримані для векторів на площині, узагальнюються для

Мал. 26.

векторів в просторі. Трійка векторів
називається ортонормованим базисом в просторі.

нехай ,і - вектор-проекції вектора на осі ,і , Відповідно. тоді

В свою чергу

якщо позначити

Те отримуємо рівність

Коефіцієнти перед базисними векторами ,і називаються координатами вектора . Таким чином, для будь-якого вектора в просторі існує трійка чисел ,,, Які називаються координатами вектора таких, що для цього вектора справедливо уявлення

вектор в цьому випадку також позначають у вигляді
. При цьому, координати вектора дорівнюють проекція цього вектора на координатні осі

де - кут між вектором і віссю ,- кут між вектором і віссю ,- кут між вектором і віссю .

довжина вектора виражається через його координати по формулі

Справедливі твердження про те, що рівні вектори мають рівні координати, при додаванні векторів їх координати складаються, а при множенні вектора на число його координати множаться на це число.
,
і
називаються напрямними косинусами вектора . Вони пов'язані з координатами вектора формулами

,
,
.

Звідси випливає співвідношення

Якщо кінці вектора
мають координати
,
, То координати вектора
пов'язані з координатами кінців вектора співвідношеннями

Приклад.

дано точки
і
. Знайти координати вектора
.

На осі абсцис і ординат називаються координатами вектора. Координати вектора загальноприйнято вказувати у вигляді (Х, у), А сам вектор як: \u003d (х, у).

Формула визначення координат вектора для двомірних задач.

Що стосується двомірної задачі вектор з відомими координатами точок A (х 1; у 1) і B (x 2 ; y 2 ) можна обчислити:

\u003d (X 2 - x 1; y 2 - y 1).

Формула визначення координат вектора для просторових задач.

У разі просторової задачі вектор з відомими координатами точокA (Х 1; у 1;z 1 ) і B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) можна обчислити застосувавши формулу:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Координати дають всеосяжну характеристику вектора, оскільки за координатами є можливість побудувати і сам вектор. Знаючи координати, легко обчислити і довжину вектора. (Властивість 3, наведене нижче).

Властивості координат вектора.

1. Будь-які рівні вектори в єдиній системі координат мають рівні координати.

2. Координати колінеарних векторів пропорційні. За умови, що жоден з векторів не дорівнює нулю.

3. Квадрат довжини будь-якого вектора дорівнює сумі квадратів його координат.

4. При операції множення вектора на дійсне число кожна його координата множиться на це число.

5. При операції додавання векторів обчислюємо суму відповідні координати векторів.

6. Скалярний твір двох векторів дорівнює сумі добутків їх відповідних координат.

Знаходження координат вектора досить часто зустрічається умова багатьох завдань в математиці. Уміння знаходити координати вектора допоможе вам в інших, більш складних завданнях зі схожою тематикою. У даній статті ми розглянемо формулу знаходження координат вектора і кілька завдань.

Знаходження координат вектора в площині

Що таке площину? Площиною вважається двомірний простір, простір з двома вимірами (вимір x і вимір y). Наприклад, папір - площину. Поверхня столу - площину. Якась необ'ємний фігура (квадрат, трикутник, трапеція) теж є площиною. Таким чином, якщо в умові завдання потрібно знайти координати вектора, який лежить на площині, відразу згадуємо про x та y. Знайти координати такого вектора можна наступним чином: Координати AB вектора \u003d (xB - xA; yB - xA). З формули видно, що від координат кінцевої точки потрібно відняти координати початкової точки.

приклад:

Вектор CD має початкові (5; 6) і кінцеві (7; 8) координати.
Знайти координати самого вектора.
Використовуючи вищезазначену формулу, отримаємо такий вираз: CD \u003d (7-5; 8-6) \u003d (2; 2).
Таким чином, координати CD вектора \u003d (2; 2).
Відповідно, x координата дорівнює двом, y координата - теж двом.

Знаходження координат вектора в просторі

Що таке простір? Простір це вже тривимірне вимір, де дані 3 координати: x, y, z. У разі, якщо потрібно знайти вектор, який лежить в просторі, формула практично не змінюється. Додається тільки одна координата. Для знаходження вектора потрібно від координат кінця відняти координати початку. AB \u003d (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

приклад:

Вектор DF має початкові (2; 3; 1) і кінцеві (1; 5; 2).
Застосовуючи вищезгадану формулу, отримаємо: Координати вектора DF \u003d (1-2; 5-3; 2-1) \u003d (-1; 2; 1).
Пам'ятайте, значення координат може бути і негативним, в цьому немає ніякої проблеми.

Як знайти координати вектора онлайн?

Якщо з якихось причин вам не хочеться знаходити координати самостійно, можна скористатися онлайн калькулятором. Для початку, виберіть розмірність вектора. Розмірність вектора відповідає за його вимірювання. Розмірність 3 означає, що вектор знаходиться в просторі, розмірність 2 - що на площині. Далі вставте координати точок у відповідні поля і програма визначить вам координати самого вектора. Все дуже просто.

Натиснувши на кнопку, сторінка автоматично прокрутиться вниз і видасть вам правильну відповідь разом з етапами рішення.

Рекомендовано добре вивчити дану тему, тому що поняття вектора зустрічається не тільки в математиці, але і у фізиці. Студенти факультету Інформаційних Технологій теж вивчають тему векторів, але на більш складному рівні.