Як знайти моду якщо числа не повторюються. Статистика

Мода і медіана- особливого роду середні, які використовуються для вивчення структури варіаційного ряду. Їх іноді називають структурними середніми, на відміну від розглянутих раніше статечних середніх.

Мода- це величина ознаки (варіанти), яка найчастіше зустрічається в даній сукупності, тобто має найбільшу частоту.

Мода має велике практичне застосування і в ряді випадків тільки мода може дати характеристику суспільних явищ.

медіана- це варіанта, яка знаходиться в середині упорядкованого варіаційного ряду.

Медіана показує кількісну кордон значення варьирующего ознаки, якої досягла половина одиниць сукупності. Застосування медіани поряд із середньою або замість неї доцільно при наявності в варіаційному ряду відкритих інтервалів, тому що для обчислення медіани не потрібно умовне встановлення меж відритих інтервалів, і тому відсутність відомостей про них не впливає на точність обчислення медіани.

Медіану застосовують також тоді, коли показники, які потрібно використовувати в якості ваг, невідомі. Медіану застосовують замість середньої арифметичної при статистичних методах контролю якості продукції. Сума абсолютних відхилень варіанти від медіани менше, ніж від будь-якого іншого числа.

Розглянемо розрахунок моди і медіани в дискретному варіаційному ряду :

Визначити моду і медіану.

Мода Мо = 4 роки, так як цього значення відповідає найбільша частота f = 5.

Тобто найбільше числоробочих мають стаж 4 роки.

Для того, щоб обчислити медіану, знайдемо попередньо половину суми частот. Якщо сума частот є числом непарним, то ми спочатку додаємо до цієї суми одиницю, а потім ділимо навпіл:

Медианой буде восьма за рахунком варіанту.

Для того, щоб визначити, яка варіанта буде восьмий за номером, будемо накопичувати частоти до тих пір, поки не отримаємо суму частот, що дорівнює або перевищує половину суми всіх частот. Відповідна варіанти і буде медіаною.

ме = 4 роки.

Тобто половина робочих має стаж менше чотирьох років, половина більше.

Якщо сума накопичених частот проти однієї варіанти дорівнює половині сумі частот, то медіана визначається як середня арифметична цієї варіанти і подальшої.

Обчислення моди і медіани в інтервальному варіаційному ряду

Мода в інтервальному варіаційному ряду обчислюється за формулою

де Х М0- початкова межа модального інтервалу,

hм 0 - величина модального інтервалу,

fм 0 , fм 0-1 , fм 0+1 - частота відповідно модального інтервалу, що передує модальному і наступного.

модальнимназивається такий інтервал, якому відповідає найбільша частота.

приклад 1

Визначити моду і медіану.

Модальний інтервал, тому що йому відповідає найбільша частота f = 35. Тоді:

Хм 0 =6, fм 0 =35

медіана- це таке значення ознаки, яке розділяє ранжируваних ряд розподілу на дві рівні частини - зі значеннями ознаки менше медіани і зі значеннями ознаки більше медіани. Для знаходження медіани, потрібно відшукати значення ознаки, яке знаходиться на середині упорядкованого ряду.

Подивитися рішення задачі на знаходження моди і медіаниВи можете

У ранжируваних рядах несгруппірованних дані для знаходження медіанизводяться до пошуку порядкового номера медіани. Медіана може бути обчислена за такою формулою:

де Хm - нижня межа медіанного інтервалу;
im - медіанний інтервал;
Sme- сума спостережень, яка була накопичена до початку медіанного інтервалу;
fme - число спостережень в медіанному інтервалі.

властивості медіани

1. Медіана не залежить від тих значень ознаки, які розташовані по обидва боки від неї.
2. Аналітичні операції з медіаною вельми обмежені, тому при об'єднанні двох розподілів з відомими медианами неможливо заздалегідь передбачити величину медіани нового розподілу.
3. медіана маєвластивістю мінімальності. Його суть полягає в тому, що сума абсолютних відхилень значень х, від медіани є мінімальну величину в порівнянні з відхиленням X від будь-якої іншої величини

Графічне визначення медіани

Для визначення медіани графічним методомвикористовують накопичені частоти, за якими будується кумулятивна крива. Вершини ординат, відповідних нагромадженим частотах, з'єднують відрізками прямої. Розділивши поп олам останню ординату, яка відповідає загальній сумі частот і провівши до неї перпендикуляр перетину з кумулятивною кривою, знаходять ординату шуканого значення медіани.

Визначення моди в статистиці

Мода - значення ознаки, Що має найбільшу частоту в статистичному ряду розподілу.

визначення модипроводиться різними способами, і це залежить від того, представлений чи варьирующий ознака у вигляді дискретного або інтервального ряду.

знаходження модиі медіани відбувається шляхом звичайного просматривания стовпця частот. У цьому стовпці знаходять найбільше число, що характеризує найбільшу частоту. Їй відповідає певне значення ознаки, яке і є модою. В інтервальному варіаційному ряду модою приблизно вважають центральний варіант інтервалу з найбільшою частотою. В такому ряду розподілу мода обчислюється за формулою:

де ХМО - нижня межа модального інтервалу;
imo - модальний інтервал;
fм0, fм0-1, fм0 + 1 - частоти в модальному, попередньому і наступному за модальним інтервалах.

Модальний інтервал визначається за найбільшою частоті.

Мода широко використовується в статистичній практиці при аналізі купівельного попиту, реєстрації цін і т. Д.

Співвідношення між середньою арифметичною, медианой і модою

Для одномодальних симетричного ряду розподілу, медіана і мода збігаються. Для асиметричних розподілів вони не збігаються.

К. Пірсон на основі вирівнювання різних типів кривих визначив, що для помірно асиметричних розподілів справедливі такі наближені співвідношення між середньою арифметичною, медианой і модою:

При вивченні навчального навантаження учнів виділили групу з 12 семикласників. Їх попросили зазначити в певний день час (у хвилинах), витрачений на виконання домашнього завдання з алгебри. Отримали такі дані: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. При вивченні навчального навантаження учнів виділили групу з 12 семикласників. Їх попросили зазначити в певний день час (у хвилинах), витрачений на виконання домашнього завдання з алгебри. Отримали такі дані: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Середнє арифметичне ряду. Середнім арифметичним ряду чисел називається частка від ділення суми цих чисел на число доданків. Середнім арифметичним ряду чисел називається частка від ділення суми цих чисел на число доданків. (): 12 = 27

Розмах ряду. Розмахом ряду називається різниця між найбільшим і найменшим з цих чисел. Розмахом ряду називається різниця між найбільшим і найменшим з цих чисел. Найбільша витрата часу дорівнює 37 хв, а найменший - 18 хв. Знайдемо розмах ряду: 37 - 18 = 19 (хв)

Мода ряду. Модою ряду чисел називається число, яке зустрічається в даному ряду частіше за інших. Модою ряду чисел називається число, яке зустрічається в даному ряду частіше за інших. Модою нашого ряду є число - 25. модою нашого ряду є число - 25. Ряд чисел може мати більше однієї моди, а може не мати. 1) 47,46,50,47,52,49,45,43,53,53,47,52 - дві моди 47 і 52. 2) 69,68,66,70,67,71,74,63, 73,72 - моди немає.

Середнє арифметичне, розмах і мода, знаходять застосування в статистиці - науці, яка займається отриманням, обробкою і аналізом кількісних даних про різноманітні масові явища, що відбуваються в природі і суспільстві. Середнє арифметичне, розмах і мода, знаходять застосування в статистиці - науці, яка займається отриманням, обробкою і аналізом кількісних даних про різноманітні масові явища, що відбуваються в природі і суспільстві. Статистика вивчає чисельність окремих груп населення країни і її регіонів, виробництво і споживання різноманітних видів продукції, перевезення вантажів і пасажирів різними видамитранспорту, природні ресурсиі т. п. Статистика вивчає чисельність окремих груп населення країни і її регіонів, виробництво і споживання різноманітних видів продукції, перевезення вантажів і пасажирів різними видами транспорту, природні ресурси і т. п.

1. Знайдіть середнє арифметичне і розмах ряду чисел: а) 24,22,27,20,16,37; б) 30,5,23,5,28, Знайдіть середнє арифметичне, розмах і моду ряду чисел: а) 32,26,18,26,15,21,26; б) -21, -33, -35, -19, -20, -22; б) -21, -33, -35, -19, -20, -22; в) 61,64,64,83,61,71,70; в) 61,64,64,83,61,71,70; г) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, -12. г) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, В ряду чисел 3, 8, 15, 30, __, 24 пропущено одне число, Знайдіть його, якщо: а) середнє арифметичне ряду дорівнює 18; а) середнє арифметичне ряду дорівнює 18; б) розмах ряду дорівнює 40; б) розмах ряду дорівнює 40; в) мода ряду дорівнює 24. в) мода ряду дорівнює 24.

4. В атестаті про повну загальну середню освіту у чотирьох друзів - випускників школи - були такі оцінки: Ільїн: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4; Ільїн: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4; Семенов: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Семенов: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Попов: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Попов: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Романов: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Романов: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. З яким середнім балом закінчив школу кожен з цих випускників? Вкажіть найбільш типову для кожного з них оцінку в атестаті. Які статистичні характеристики ви використовували при відповіді? З яким середнім балом закінчив школу кожен з цих випускників? Вкажіть найбільш типову для кожного з них оцінку в атестаті. Які статистичні характеристики ви використовували при відповіді?

Самостійна роботаВаріант 1. Варіант Дан ряд чисел: 35, 44, 37, 31, 41, 40, 31, 29. Знайдіть середнє арифметичне, розмах і моду рада. 2. У ряду чисел 4, 9, 16, 31, _, 25 4, 9, 16, 31, _, 25 пропущено одне число. пропущено одне число. Знайдіть його, якщо: Знайдіть його, якщо: а) середнє аріфметічес- а) середнє аріфметічес- дещо дорівнює 19; дещо дорівнює 19; б) розмах ряду - 41. б) розмах ряду - 41. Варіант Дан ряд чисел: 38, 42, 36, 45, 48, 45,45, 42. Знайдіть середнє арифметичне, розмах і моду рада. 2. У ряду чисел 5, 10, 17, 32, _, 26 пропущено одне число. Знайдіть його, якщо: а) середнє аріфметічес- дещо дорівнює 19; б) розмах ряду - 41.

Медианой упорядкованого ряду чисел з непарним числом чисел називається число, записане посередині, а медианой упорядкованого ряду чисел з парним числом чисел називається середнє арифметичне двох чисел, записаних посередині. Медианой упорядкованого ряду чисел з непарним числом чисел називається число, записане посередині, а медианой упорядкованого ряду чисел з парним числом чисел називається середнє арифметичне двох чисел, записаних посередині. У таблиці показано витрата електроенергії в січні мешканцями дев'яти квартир: У таблиці показано витрата електроенергії в січні мешканцями дев'яти квартир: Номерквартіри Расходелектро-енергії

Складемо упорядкований ряд: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91,93. 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, - медіана даного ряду. 78 - медіана даного ряду. Дан упорядкований ряд: Дан упорядкований ряд: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93. (): 2 = 80 - медіана. (): 2 = 80 - медіана.

1. Знайдіть медіану ряду чисел: а) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; а) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; б) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; б) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; в) 16, 18, 20, 22, 24, 26; в) 16, 18, 20, 22, 24, 26; г) 1,2, 1,4, 2,2, 2,6, 3,2, 3,8, 4,4, 5,6. г) 1,2, 1,4, 2,2, 2,6, 3,2, 3,8, 4,4, 5,6. 2. Знайдіть середнє арифметичне і медіану ряду чисел: а) 27, 29, 23, 31,21,34; а) 27, 29, 23, 31,21,34; б) 56, 58, 64, 66, 62, 74; б) 56, 58, 64, 66, 62, 74; в) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2; в) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2; г) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6. г) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6.

3. У таблиці показано число відвідувачів виставки в різні дні тижня: Знайдіть медіану зазначеного ряду даних. У які дні тижня число відвідувачів виставки було більше медіани? Днінеделі Пн Пн Вт Вт Ср Ср Чт Чт Пт Сб Сб Нд Число відвідайте лей

4.Ніже вказана середньодобова переробка цукру (в тис.ц) заводами цукрової промисловості деякого регіону: (в тис.ц) заводами цукрової промисловості деякого регіону: 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6 , 12,2, 18,5, 12,4, 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6, 12,2, 18,5, 12,4, 14, 2, 17 , 8. 14, 2, 17,8. Для представленого ряду знайдіть середнє арифметичне, моду, розмах і медіану. Для представленого ряду знайдіть середнє арифметичне, моду, розмах і медіану. 5. В організації вели щоденний облік надійшли протягом місяця листів. В результаті отримали такий ряд даних: 39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40, 42, 40 , 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0 , 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32. Для представленого ряду знайдіть середнє арифметичне, моду, розмах і медіану. Для представленого ряду знайдіть середнє арифметичне, моду, розмах і медіану.

Домашнє завдання. На змаганнях з фігурного катання виступ спортсмена було оцінено наступними балами: На змаганнях з фігурного катання виступ спортсмена було оцінено наступними балами: 5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5,3. 5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5,3. Для отриманого ряду чисел знайдіть середнє арифметичне, розмах і моду. Для отриманого ряду чисел знайдіть середнє арифметичне, розмах і моду.

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

На тему: "Мода. Медіана. Способи їх розрахунку"

Вступ

Середні величини і пов'язані з ними показники варіації грають в статистиці дуже велику роль, що обумовлено предметом її вивчення. Тому дана тема є однією з центральних в курсі.

Середня є дуже поширеним узагальнюючих показників в статистиці. Це пояснюється тим, що тільки за допомогою середньої можна охарактеризувати сукупність по кількісно варьирующему ознакою. Середньою величиною в статистиці називається узагальнююча характеристика сукупності однотипних явищ по якій-небудь кількісно варьирующему ознакою. Середня показує рівень цієї ознаки, віднесений до одиниці сукупності.

Вивчаючи суспільні явища і прагнучи виявити їх характерні, типові риси в конкретних умовах місця і часу, статистики широко використовують середні величини. За допомогою середніх можна порівнювати між собою різні сукупності по варьирующим ознаками.

Середні, які застосовуються в статистиці, належать до класу статечних середніх. З статечних середніх найбільш часто застосовується середня арифметична, рідше - середня гармонійна; середня гармонійна застосовується тільки при обчисленні середніх темпів динаміки, а середня квадратична - тільки при обчисленні показників варіації.

Середня арифметична є частка від ділення суми варіант на їх число. Вона застосовується в тих випадках, коли обсяг варьирующего ознаки для всієї сукупності утворюється як сума значень ознаки в окремих її одиниць. Середня арифметична - найбільш поширений вид середніх, так як вона відповідає природі суспільних явищ, де обсяг варіюють ознак в сукупності найчастіше утворюється саме як сума значень ознаки в окремих одиниць сукупності.

За своїм визначає властивості середня гармонійна повинна застосовуватися тоді, коли загальний обсяг ознаки утворюється як сума зворотних значень варіант. Її застосовують тоді, коли в залежності від має матеріалу ваги припадати не множити, а ділити на варіанти або, що те ж саме, множити на зворотне їх значення. Середня гармонійна в цих випадках - це величина зворотна середньої арифметичної з зворотних значень ознаки.

До середньої гармонійної слід вдаватися в тих випадках, коли в якості ваг застосовуються не одиниці сукупності - носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки.

1. Визначення моди і медіани в статистиці

Середні арифметична і гармонійна є узагальнюючими характеристиками сукупності з того чи іншого варьирующему ознакою. Допоміжними описовими характеристиками розподілу варьирующего ознаки є мода і медіана.

Модою в статистиці називається величина ознаки (варіанти), яка найчастіше зустрічається в даній сукупності. У варіаційному ряду це буде варіанти, що має найбільшу частоту.

Медіанної в статистиці називається варіанта, яка знаходиться в середині варіаційного ряду. Медіана ділить ряд навпіл, по обидва боки від неї (вгору і вниз) знаходиться однакова кількість одиниць сукупності.

Мода і медіана на відміну від статечних середніх є конкретними характеристиками, їх значення має будь-яка конкретна варіанти у варіаційному ряду.

Мода застосовується в тих випадках, коли потрібно охарактеризувати найбільш часто зустрічається величину ознаки. Якщо треба, наприклад, дізнатися найбільш поширений розмір заробітної плати на підприємстві, ціну на ринку, по якій було продано найбільша кількістьтоварів, розмір черевиків, що користується найбільшим попитом у споживачів, і т.д., в цих випадках вдаються до моди.

Медіана цікава тим, що показує кількісну кордон значення варьирующего ознаки, яку досягла половина членів сукупності. Нехай середня заробітна плата працівників банку склала 650000 крб. у місяць. Ця характеристика може бути доповнена, якщо ми скажемо, що половина працівників отримала заробітну плату 700000 руб. і вище, тобто наведемо медіану. Мода і медіана є типовими характеристиками в тих випадках, коли взяті сукупності однорідні і великої чисельності.

2. Знаходження моди і медіани в дискретному варіаційному ряду

Знайти моду і медіану в варіаційному ряду, де значення ознаки задані певними числами, не представляє великих труднощів. Розглянемо таблицю 1. з розподіл сімей за кількістю дітей.

Таблиця 1. Розподіл сімей за кількістю дітей

Очевидно, в цьому прикладі модою буде сім'я, яка має двох дітей, тому що цьому значенню варіанти відповідає найбільше число сімей. Можуть бути розподілу, де всі варіанти зустрічаються однаково часто, в цьому випадку моди немає або, інакше, можна сказати, що всі варіанти однаково модальності. В інших випадках не одна, а дві варіанти можуть бути максимальної частоти. Тоді буде дві моди, розподіл буде бімодальному. Бімодальне розподілу можуть вказувати на якісну неоднорідність сукупності по досліджуваному ознакою.

Щоб знайти медіану в дискретному варіаційному ряд, потрібно суму частот розділити навпіл і до отриманого результату додати ½. Так, в розподілі 185 сім'ї за кількістю дітей медианой буде: 185/2 + ½ = 93, тобто 93-я варіанту, яка ділить впорядкований ряд навпіл. Яке ж значення 93-ій варіанти? Для того щоб це з'ясувати, потрібно накопичувати частоти, починаючи, від найменшої варіанти. Сума частот 1-й і 2-й варіант дорівнює 40. Ясно, що тут 93 варіанти немає. Якщо додати до 40 частоту 3-й варіанти, то отримаємо суму, рівну 40 + 75 = 115. Отже, 93-я варіанту відповідає третьому значенням варьирующего ознаки, і медіаною буде сім'я, яка має двох дітей.

Мода і медіана в даному прикладізбіглися. Якби у нас була парна сума частот (наприклад, 184), то, застосовуючи зазначену вище формулу, отримаємо номер медіанної варіанти, 184/2 + ½ = 92,5. Оскільки варіанти з дробовим номером не існує, отриманий результат вказує, що медіана знаходиться посередині між 92 і 93 варіантами.

3. Розрахунок моди і медіани в інтервальному варіаційному ряду

Описовий характер моди і медіани пов'язаний з тим, що в них не погашаються індивідуальні відхилення. Вони завжди відповідають певному варіанті. Тому мода і медіана не вимагають для свого знаходження розрахунків, якщо відомі всі значення ознаки. Однак в інтервальному варіаційному ряду для знаходження наближеного значення моди і медіани в межах певного інтервалу вдаються до розрахунків.

Для розрахунку певного значення модальної величини ознаки, укладеного в інтервалі, застосовують формулу:

М о = Х Мо + i Мо * (f Мо - f Мо-1) / ((f Мо - f Мо-1) + (f Мо - f Мо + 1)),

Де Х Мо - мінімальна межа модального інтервалу;

i Мо - величина модального інтервалу;

f Мо - частота модального інтервалу;

f Мо-1 - частота інтервалу, що передує модальному;

f Мо + 1 - частота інтервалу, наступного за модальним.

Покажемо розрахунок моди на прикладі, наведеному в таблиці 2.

Таблиця 2. Розподіл робітників підприємства по виконанню норм виробітку

Щоб знайти моду, спочатку визначимо модальний інтервал даного ряду. З прикладу видно, що найбільша частота відповідає інтервалу, де варіанти лежить в межах від 100 до 105. Це і є модальний інтервал. Величина модального інтервалу дорівнює 5.

Підставляючи числові значення з таблиці 2. в зазначену вище формулу, отримаємо:

М о = 100 + 5 * (104 -12) / ((104 - 12) + (104 - 98)) = 108,8

Сенс цієї формули полягає в наступному: величину тієї частини модального інтервалу, яку потрібно додати до його мінімальній межі, визначають залежно від величини частот попереднього і наступного інтервалів. В даному випадку до 100 додаємо 8,8, тобто більше половини інтервалу, тому що частота попереднього інтервалу менше частоти подальшого інтервалу.

Обчислимо тепер медіану. Для знаходження медіани в інтервальному варіаційному ряду визначаємо спочатку інтервал, в якому вона знаходиться (медіанний інтервал). Таким інтервалом буде такою, комулятівного частота якого дорівнює або перевищує половину суми частот. Комулятівного частоти утворюються шляхом поступового підсумовування частот, починаючи від інтервалу з найменшим значеннямознаки. Половина суми частот у нас дорівнює 250 (500: 2). Отже, згідно таблиці 3. медіанного інтервалом буде інтервал із значенням заробітної плати від 350000 руб. до 400000 крб.

Таблиця 3. Розрахунок медіани в інтервальному варіаційному ряду

До цього інтервалу сума накопичених частот склала 160. Отже, щоб отримати значення медіани, необхідно додати ще 90 одиниць (250 - 160).

Основні поняття

Для експериментальних даних, отриманих за вибіркою, можна обчислити ряд числових характеристик (заходів).

Мода - числове значення, яке зустрічається у вибірці найбільш часто. Мода позначається іноді як Мо.

Наприклад, в ряду значенні (2 6 6 8 9 9 9 10) модою є 9, тому що 9 зустрічається чаші будь-якого іншого числа.

Мода є найбільш часто зустрічається значення (в даному прикладі це 9) а не частоту розповсюдженості цього значення (в даному прикладі дорівнює 3).

Моду знаходять згідно з правилами

1. У разі, коли всі значення у вибірці зустрічаються однаково часто, прийнято вважати, що цей вибірковий ряд не має моди.

Наприклад, 556677 - в цій вибірці моди немає.

2. Коли два сусідніх (суміжних) значення мають однакову частоту і їх частота більше частот будь-яких інших значень, мода обчислюється як середнє арифметичне цих двох значенні.

Наприклад, в вибірці 1 2 2 2 5 5 5 6 частоти поруч розташованих значенні 2 і 5 збігаються і дорівнюють 3. Ця частота більше ніж частота інших значенні 1 і 6 (у яких вона дорівнює 1).

Отже, модою цього ряду буде величина.

3) Якщо два несуміжних (несусідніх) значення у вибірці мають рівні частоти які більше частот будь-якого іншого значення, то виділяють дві моди. Наприклад, в ряду 10 11 11 11 12 13 14 14 14 17 модами є значення 11 і 14. У такому випадку говорять, що вибірка є бімодальною.

Можуть існувати і так звані мультимодальні розподілу, що мають більше двох вершин (мод)

4) Якщо мода оцінюється по безлічі згрупованих даних, то для знаходження моди необхідно визначити групу з найбільшою частотою ознаки. Ця група називається модальної групою.

Медіана - позначається меі визначається як величина по відношенню до якої принаймні 50% вибіркових значенні менше неї і принаймні 50% - більше.

Медіана - це значення яке ділить упорядкований безліч даних навпіл.

Завдання 1. Знайдемо медіану вибірки 9 3 5 8 4 11 13

Рішення Спочатку впорядкуємо вибірку по величинам входять до неї значенні. Отримаємо, 3 4 5 8 9 11 13. Оскільки в вибірці сім елементів, четвертий по порядку елемент матиме значення більше ніж перші три і менше ніж останні три. Таким чином, медианой буде четвертий елемент - 8

Завдання 2. Знайдемо медіану вибірки 20, 9, 13, 1, 4, 11.

Впорядкуємо вибірку 1, 4, 9, 11, 13, 20 Оскільки тут є парне число елементів, то існує дві «середини» - 9 і 13 В цьому випадку медіана визначається як середнє арифметичне цих значень

Середнє арифметичне

Середнє арифметичне ряду з n числових значеньпідраховується як

Щоб показати оманливість цього показника, наведемо відомий приклад: в одному купе вагона помістилася бабуся 60 років з чотирма онуками: один - 4 роки, двоє - по 5 років і один - 6 років. Середнє арифметичне віку всіх пасажирів цього купе 80/5 = 16. В іншому купе розташувалася компанія молоді: двоє - 15-ти літніх, один - 16-річний та двоє - 17-річних. Середній вік пасажирів цього купе так само дорівнює 80/5 = 16. Таким чином, по середнім арифметичним пасажири цих купе не відрізняються. Але якщо звернутися до показника стандартного відхилення, то виявиться, що середній розкид щодо середнього віку в першому випадку виявиться 24,6, а в другому випадку 1.

Крім того, середнє виявляється досить чутливим до дуже маленьким або дуже великим величинам, що відрізняється від основних значень виміряних характеристик. Нехай 9 осіб мають дохід від 4500 до 5200 тис доларів в місяць. Величина їх середнього доходу дорівнює 4900 доларів Якщо ж до цієї групи додати людини має дохід в 20000 тис доларів в місяць, то середня всієї групи зміститься і дорівнюватиме 6410 доларів, хоча ніхто з усієї вибірки (крім однієї людини) реально не отримує такої суми.

Зрозуміло що аналогічне зміщення, але в протилежну сторону можна отримати і в тому випадку, якщо додати до цієї групи людини з дуже маленьким річним доходом.

розкид вибірки

розкид ( розмахом) вибірки- різниця між максимальною і мінімальною величинами даного конкретного варіаційного ряду. Позначається буквою R.

Розмах = максимальне значення - мінімальне значення

Зрозуміло, що чим сильніше варіює вимірюваний ознака, тим більше величина R, і навпаки.

Однак може трапитися так, що у двох вибіркових рядів і середні, і розмах збігаються, проте характер варіювання цих рядів буде різний Наприклад, дано дві вибірки

дисперсія

Дисперсія являє собою найбільш часто що використовується міру розсіювання випадкової величини(Змінної).

Дисперсія - це середнє арифметичне квадратів відхилень значень змінної від її середнього значення