Математичне сподівання x y. Математичне сподівання дискретної випадкової величини

Кожна, окремо взята величина повністю визначається своєю функцією розподілу. Також, для вирішення практичних завдань вистачає знати кілька числових характеристик, завдяки яким з'являється можливість представити основні особливості випадкової величини в короткій формі.

До таких величинам відносять в першу чергу математичне очікування і дисперсія .

Математичне очікування - середнє значення випадкової величини в теорії ймовірностей. Позначається як.

самим простим способом математичне сподівання випадкової величини Х (w), Знаходять як інтегралЛебега по відношенню до ймовірнісної мірою Р вихідному імовірнісний просторі

Ще знайти математичне очікування величини можна як інтеграл Лебега від х за розподілом ймовірностей Р Х величини X:

де - безліч всіх можливих значень X.

Математичне сподівання функцій від випадкової величини X знаходиться через розподіл Р Х. наприклад, якщо X - випадкова величина зі значеннями в і f (x) - однозначна борелевскаяфункція Х , То:

якщо F (x) - функція розподілу X, То математичне сподівання представимо інтеграломЛебега - Стілтьєса (або Рімана - Стілтьєса):

при цьому інтегрованість X в сенсі ( * ) Відповідає кінцівки інтеграла

У конкретних випадках, якщо X має дискретний розподіл з ймовірними значеннями х k, k \u003d 1, 2,. , І можливостями, то

якщо X має абсолютно неперервний розподіл з щільністю ймовірності р (х), то

при цьому існування математичного очікування рівносильно абсолютної збіжності відповідного ряду або інтеграла.

Властивості математичного сподівання випадкової величини.

• Математичне сподівання постійної величини дорівнює цій величині:

C- постійна;

• M \u003d C.M [X]

• Математичне сподівання суми випадково взятих величин дорівнює сумі їх математичних очікувань:

• Математичне сподівання добутку незалежних випадково взятих величин \u003d добутку їх математичних сподівань:

M \u003d M [X] + M [Y]

якщо X і Y незалежні.

якщо сходиться ряд:

Алгоритм обчислення математичного очікування.

Властивості дискретних випадкових величин: всі їхні значення можна перенумерувати натуральними числами; кожному значенню прирівняти відмінну від нуля ймовірність.

1. По черзі перемножуємо пари: x i на p i.

2. Складаємо твір кожної пари x i p i.

напрмер, для n = 4 :

Функція розподілу дискретної випадкової величини ступінчаста, вона зростає стрибком в тих точках, ймовірності яких мають позитивний знак.

приклад:Знайти математичне сподівання за формулою.

Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватися меншими відомостями. Іноді навіть вигідніше користуватися числами, які описують випадкову величину сумарно, такі числа називають числовими характеристиками випадкової величини. До числа важливих числових характеристик відноситься математичне очікування.

Математичне сподівання, як буде показано далі, приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини. Для вирішення багатьох завдань досить знати математичне очікування. Наприклад, якщо відомо, що математичне очікування числа вибиваються очок у першого стрільця більше, ніж у другого, то перший стрілок в середньому вибиває більше очок, ніж другий, і, отже, стріляє краще другого.

Определеніе4.1: математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень на їх імовірності.

Нехай випадкова величина X може приймати тільки значення x 1, x 2, ... x n, Ймовірності яких відповідно рівні p 1, p 2, ... p n.Тоді математичне очікування M (X) Випадкової величини X визначається рівністю

M (X) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n.

Eсли дискретна випадкова величина X приймає рахункове безліч можливих значень, то

,

причому математичне сподівання існує, якщо ряд у правій частині рівності сходиться абсолютно.

Приклад.Знайти математичне сподівання числа появ події Aв одному випробуванні, якщо ймовірність події A дорівнює p.

Рішення: Випадкова величина X - число появ події A має розподіл Бернуллі, тому

Таким чином, математичне очікування числа появ події в одному випробуванні дорівнює ймовірності цієї події.

Імовірнісний сенс математичного очікування

нехай вироблено n випробувань, в яких випадкова величина X прийняла m 1 раз значення x 1, m 2 раз значення x 2 ,…, m k раз значення x k, причому m 1 + m 2 + ... + m k \u003d n. Тоді сума всіх значень, прийнятих X, дорівнює x 1 m 1 + x 2 m 2 + ... + x k m k .

Середнє арифметичне всіх значень, прийнятих випадковою величиною, буде

ставлення m i / n- відносна частота W i значення x iприблизно дорівнює ймовірності появи події p i, де , тому

Імовірнісний сенс отриманого результату такий: математичне очікування приблизно дорівнює (Тим точніше, чим більше число випробувань) середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини.

Властивості математичного очікування

Свойство1:Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійної

властивість2:Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування

Определеніе4.2: Дві випадкові величини називаються незалежними, Якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла інша величина. В іншому випадку випадкові величини залежні.

Определеніе4.3: Кілька випадкових величин називають взаємно незалежними, Якщо закони розподілу будь-якого числа з них не залежать від того, які можливі значення прийняли інші величини.

Свойство3:Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань.

слідство: Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань.

Свойство4:Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань.

слідство: Математичне сподівання суми декількох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань.

Приклад.Обчислимо математичне сподівання біноміальної випадкової величини X -числа настання події A в n дослідах.

Рішення: Загальне число X появ події A в цих випробуваннях складається з чисел появ події в окремих випробуваннях. Введемо випадкові величини X i - число появ події в i-ом випробуванні, які є бернуллиевского випадковими величинами з математичним очікуванням, де . По властивості математичного сподівання маємо

Таким чином, математичне очікування біноміального розподілу з параметрами n і p дорівнює добутку np.

Приклад.Ймовірність влучення в ціль при стрільбі з гармати p \u003d 0,6.Знайти математичне сподівання загального числа влучень, якщо буде вироблено 10 пострілів.

Рішення: Попадання при кожному пострілі не залежить від результатів інших пострілів, тому що розглядаються події незалежні і, отже, шукане математичне очікування

Випадкові величини крім законів розподілу можуть описуватися також числовими характеристиками .

математичним очікуванням М (x) випадкової величини називається її середнє значення.

Математичне сподівання дискретної випадкової величини обчислюється за формулою

де – значення випадкової величини, р i -іхвероятності.

Розглянемо властивості математичного очікування:

1. Математичне сподівання константи дорівнює самій константі

2. Якщо випадкову величину помножити на деяке число k, то і математичне очікування примножиться на це ж число

М (kx) \u003d Kм (x)

3. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань

М (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d М (x 1) + М (x 2) + ... + М (x n)

4. М (x 1 - x 2) \u003d М (x 1) - М (x 2)

5. Для незалежних випадкових величин x 1, x 2, ... x n математичне сподівання добутку дорівнює добутку їх математичних очікувань

М (x 1, x 2, ... x n) \u003d М (x 1) М (x 2) ... М (x n)

6. М (x - М (x)) \u003d М (x) - М (М (x)) \u003d М (x) - М (x) \u003d 0

Обчислимо математичне сподівання для випадкової величини з Прикладу 11.

М (x) \u003d \u003d .

Приклад 12. Нехай випадкові величини x 1, x 2 задані відповідно законами розподілу:

x 1 Таблиця 2

x 2 Таблиця 3

Обчислимо М (x 1) і М (x 2)

М (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 · 0,4 + 0,01 · 0,2 + 0,1 · 0,1 \u003d 0

М (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 · 0,2 + 10 · 0,1 + 20 · 0,3 \u003d 0

Математичні очікування обох випадкових величин одінакови- вони дорівнюють нулю. Однак характер їх розподілу різний. Якщо значення x 1 мало відрізняються від свого математичного очікування, то значення x 2 в великій мірі відрізняються від свого математичного очікування, і ймовірності таких відхилень не малі. Ці приклади показують, що за середнім значенням можна визначити, які відхилення від нього мають місце як в меншу, так і в більшу сторону. Так при однаковій середній величині випадають в двох місцевостях опадів за рік не можна сказати, що ці місцевості однаково сприятливі для сільськогосподарських робіт. Аналогічно за показником середньої заробітної плати не можливо судити про питому вагу високо- і низькооплачуваних працівників. Тому, вводиться числова характеристика - дисперсія D (x) , яка характеризує ступінь відхилення випадкової величини від свого середнього значення:

D (x) \u003d M (x - M (x)) 2. (2)

Дисперсія це математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від математичного очікування. Для дискретної випадкової величини дисперсія обчислюється за формулою:

D (x) \u003d = (3)

З визначення дисперсії слід, що D (x) 0.

Властивості дисперсії:

1. Дисперсія константи дорівнює нулю

2. Якщо випадкову величину помножити на деяке число k, то дисперсія примножиться на квадрат цього числа

D (kx) \u003d k 2 D (x)

3. D (x) \u003d М (x 2) - М 2 (x)

4. Для попарно незалежних випадкових величин x 1, x 2, ... x n дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Обчислимо дисперсію для випадкової величини з Прикладу 11.

Математичне сподівання М (x) \u003d 1. Тому за формулою (3) маємо:

D (x) \u003d (0 - 1) 2 · 1/4 + (1 - 1) 2 · 1/2 + (2 - 1) 2 · 1/4 \u003d 1 · 1/4 + 1 · 1/4 \u003d 1/2

Відзначимо, що дисперсію обчислювати простіше, якщо скористатися властивістю 3:

D (x) \u003d М (x 2) - М 2 (x).

Обчислимо дисперсії для випадкових величин x 1, x 2 з Прикладу 12 по цій формулі. Математичні очікування обох випадкових величин дорівнюють нулю.

D (x 1) \u003d 0,01 · 0,1 + 0,0001 · 0,2 + 0,0001 · 0,2 + 0,01 · 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 \u003d 0,00204

D (x 2) \u003d (-20) 2 · 0,3 + (-10) 2 · 0,1 + 10 2 · 0,1 + 20 2 · 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260

Чим ближче значення дисперсії до нуля, тим менше розкид випадкової величини щодо середнього значення.

величина називається среднеквадратическим відхиленням. Модою випадкової величини x дискретного типу Md називається таке значення випадкової величини, якому відповідає найбільша ймовірність.

Модою випадкової величини x безперервного типу Md, Називається дійсне число, яке визначається як точка максимуму щільності розподілу ймовірностей f (x).

Медианой випадкової величини x безперервного типу Mnназивається дійсне число, яке задовольняє рівняння

Теорія ймовірності - особливий розділ математики, який вивчають тільки студенти вищих навчальних закладів. Ви любите розрахунки і формули? Вас не лякають перспективи знайомства з нормальним розподілом, ентропією ансамблю, математичним очікуванням і дисперсією випадкової величини? Тоді цей предмет вам буде дуже цікавий. Давайте познайомимося з декількома найважливішими базовими поняттями цього розділу науки.

Згадаймо основи

Навіть якщо ви пам'ятаєте найпростіші поняття теорії ймовірності, не нехтуйте першими абзацами статті. Справа в тому, що без чіткого розуміння основ ви не зможете працювати з формулами, які розглядаються далі.

Отже, відбувається деяке випадкова подія, Якийсь експеримент. В результаті Ваших дій ми можемо отримати кілька результатів - одні з них зустрічаються частіше, інші - рідше. Імовірність події - це відношення кількості реально отриманих результатів одного типу до загальної кількості можливих. Тільки знаючи класичне визначення даного поняття, ви зможете приступити до вивчення математичного очікування і дисперсії безперервних випадкових величин.

Середнє арифметичне

Ще в школі на уроках математики ви починали працювати із середнім арифметичним. Це поняття широко використовується в теорії ймовірності, і тому його не можна обійти стороною. Головним для нас на даний момент є те, що ми зіткнемося з ним в формулах математичного очікування і дисперсії випадкової величини.

Ми маємо послідовність чисел і хочемо знайти середнє арифметичне. Все, що від нас вимагається - підсумувати все наявне і розділити на кількість елементів в послідовності. Нехай ми маємо числа від 1 до 9. Сума елементів буде дорівнює 45, і це значення ми розділимо на 9. Відповідь: - 5.

дисперсія

Говорячи науковою мовою, дисперсія - це середній квадрат відхилень отриманих значень ознаки від середнього арифметичного. Позначається одна заголовної латинською буквою D. Що потрібно, щоб її розрахувати? Для кожного елемента послідовності порахуємо різниця між наявним числом і середнім арифметичним і зведемо в квадрат. Значний вийде рівно стільки, скільки може бути результатів у розглянутого нами події. Далі ми підсумовуємо все отримане і ділимо на кількість елементів в послідовності. Якщо у нас можливі п'ять випадків, то ділимо на п'ять.

У дисперсії є і властивості, які потрібно запам'ятати, щоб застосовувати при вирішенні завдань. Наприклад, при збільшенні випадкової величини в X раз, дисперсія збільшується в X в квадраті раз (т. Е. X * X). Вона ніколи не буває менше нуля і не залежить від зсуву значень на рівне значення в більшу або меншу сторону. Крім того, для незалежних випробувань дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій.

Тепер нам обов'язково потрібно розглянути приклади дисперсії дискретної випадкової величини та математичного очікування.

Припустимо, що ми провели 21 експеримент і отримали 7 різних результатів. Кожен з них ми спостерігали, відповідно, 1,2,2,3,4,4 і 5 разів. Чому буде дорівнює дисперсія?

Спочатку порахуємо середнє арифметичне: сума елементів, зрозуміло, дорівнює 21. Ділимо її на 7, отримуючи 3. Тепер з кожного числа вихідної послідовності віднімемо 3, кожне значення зведемо в квадрат, а результати складемо разом. Вийде 12. Тепер нам залишається розділити число на кількість елементів, і, здавалося б, все. Але є заковика! Давайте її обговоримо.

Залежність від кількості експериментів

Виявляється, при розрахунку дисперсії в знаменнику може стояти одне з двох чисел: або N, або N-1. Тут N - це число проведених експериментів або число елементів в послідовності (що, по суті, одне і те ж). Від чого це залежить?

Якщо кількість випробувань вимірюється сотнями, то ми повинні ставити в знаменник N. Якщо одиницями, то N-1. Кордон вчені вирішили провести досить символічно: на сьогоднішній день вона проходить по цифрі 30. Якщо експериментів ми провели менше 30, то ділити суму будемо на N-1, а якщо більше - то на N.

завдання

Давайте повернемося до нашого прикладу рішення задачі на дисперсію і математичне очікування. Ми отримали проміжне число 12, яке потрібно було розділити на N або N-1. Оскільки експериментів ми провели 21, що менше 30, виберемо другий варіант. Отже, відповідь: дисперсія дорівнює 12/2 \u003d 2.

Математичне очікування

Перейдемо до другого поняття, яке ми обов'язково повинні розглянути даній статті. Математичне сподівання - це результат складання всіх можливих результатів, помножених на відповідні ймовірності. Важливо розуміти, що отримане значення, як і результат розрахунку дисперсії, виходить всього один раз для цілої завдання, Скільки б результатів в ній не розглядалося.

Формула математичного очікування досить проста: беремо результат, множимо на його ймовірність, додаємо те ж саме для другого, третього результату і т. Д. Все, пов'язане з цим поняттям, розраховується нескладно. Наприклад, сума матожіданія дорівнює матожіданія суми. Для твору актуально те ж саме. Такі прості операції дозволяє з собою виконувати далеко не кожна величина в теорії ймовірності. Давайте візьмемо завдання і порахуємо значення відразу двох вивчених нами понять. Крім того, ми відволікалися на теорію - прийшов час попрактикуватися.

Ще один приклад

Ми провели 50 випробувань і отримали 10 видів результатів - цифри від 0 до 9 - з'являються в різному процентному відношенні. Це, відповідно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Нагадаємо, що для отримання ймовірностей потрібно розділити значення в процентах на 100. Таким чином, отримаємо 0,02; 0,1 і т.д. Уявімо для дисперсії випадкової величини і математичного очікування приклади розв'язання задач.

Середнє арифметичне розрахуємо за формулою, яку пам'ятаємо з молодшої школи: 50/10 \u003d 5.

Тепер переведемо ймовірності в кількість випадків «в штуках», щоб було зручніше вважати. Отримаємо 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 і 9. З кожного отриманого значення віднімемо середнє арифметичне, після чого кожен з отриманих результатів зведемо в квадрат. Подивіться, як це зробити, на прикладі першого елемента: 1 - 5 \u003d (-4). Далі: (-4) * (-4) \u003d 16. Для інших значень виконайте ці операції самостійно. Якщо ви все зробили правильно, то після складання всіх ви отримаєте 90.

Продовжимо розрахунок дисперсії і математичного очікування, розділивши 90 на N. Чому ми вибираємо N, а не N-1? Правильно, тому що кількість проведених експериментів перевищує 30. Отже: 90/10 \u003d 9. дисперсію ми отримали. Якщо у вас вийшло інше число, не впадайте у відчай. Швидше за все, ви допустили банальну помилку при розрахунках. Перевірте написане, і напевно все встане на свої місця.

Нарешті, згадаємо формулу математичного очікування. Не будемо наводити усіх розрахунків, напишемо лише відповідь, з яким ви зможете звіритися, закінчивши всі необхідні процедури. Матожіданіє дорівнюватиме 5,48. Нагадаємо лише, як здійснювати операції, на прикладі перших елементів: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... і так далі. Як бачите, ми просто множимо значення результату на його ймовірність.

відхилення

Ще одне поняття, тісно пов'язане з дисперсією і математичним очікуванням - середнє квадратичне відхилення. Позначається воно або латинськими буквами sd, або грецької рядкової «сигмою». дане поняття показує, наскільки в середньому відхиляються значення від центрального ознаки. Щоб знайти її значення, потрібно розрахувати квадратний корінь з дисперсії.

Якщо ви побудуєте графік нормального розподілу і захочете побачити безпосередньо на ньому квадратичного відхилення, це можна зробити в декілька етапів. Візьміть половину зображення ліворуч або праворуч від моди (центрального значення), проведіть перпендикуляр до горизонтальної осі так, щоб площі одержані фігур були рівні. Величина відрізка між серединою розподілу і вийшла проекцією на горизонтальну вісь і буде являти собою середнє квадратичне відхилення.

Програмне забезпечення

Як видно з описів формул і представлених прикладів, розрахунки дисперсії і математичного очікування - не найпростіша процедура з арифметичної точки зору. Щоб не витрачати час, має сенс скористатися програмою, яка використовується у вищих навчальних закладах - вона називається «R». У ній є функції, що дозволяють розраховувати значення для багатьох понять з статистики та теорії ймовірності.

Наприклад, ви задаєте вектор значень. Робиться це в такий спосіб: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

На закінчення

Дисперсія і математичне очікування - це без яких складно в подальшому щось розрахувати. В основному курсі лекцій в вузах вони розглядаються вже в перші місяці вивчення предмета. Саме через нерозуміння цих найпростіших понять і невміння їх розрахувати багато студентів відразу починають відставати за програмою і пізніше отримують погані оцінки за результатами сесії, що позбавляє їх стипендії.

Потренуйтеся хоча б один тиждень по півгодини в день, вирішуючи завдання, схожі з представленими в даній статті. Тоді на будь-який контрольної за теорією ймовірності ви впораєтеся з прикладами без сторонніх підказок і шпаргалок.

- кількість хлопчиків серед 10 новонароджених.

Цілком зрозуміло, що ця кількість заздалегідь не відомо, і в черговому десятці народжених дітей може виявитися:

Або хлопчиків - один і тільки один з перерахованих варіантів.

І, щоб дотримати форму, трохи фізкультури:

- дальність стрибка в довжину (В деяких одиницях).

Її не в змозі передбачити навіть майстер спорту :)

Проте, ваші гіпотези?

2) Безперервна випадкова величина - приймає усе числові значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку.

Примітка : В навчальній літературі популярні абревіатури ДСВ і НСВ

Спочатку розберемо дискретну випадкову величину, потім - безперервну.

Закон розподілу дискретної випадкової величини

- це відповідність між можливими значеннями цієї величини і їх можливостями. Найчастіше закон записують таблицею:

Досить часто зустрічається термін ряд розподілу, Але в деяких ситуаціях він звучить двозначно, і тому я буду дотримуватися «закону».

А тепер дуже важливий момент: Оскільки випадкова величина обов'язково прийме одне зі значень , То відповідні події утворюють повну групу і сума ймовірностей їх настання дорівнює одиниці:

або, якщо записати згорнуто:

Так, наприклад, закон розподілу ймовірностей випали на кубику очок має наступний вигляд:

Без коментарів.

Можливо, у вас склалося враження, що дискретна випадкова величина може приймати тільки «хороші» цілі значення. Розвіємо ілюзію - вони можуть бути будь-якими:

приклад 1

Деяка гра має наступний закон розподілу виграшу:

... напевно, ви давно мріяли про такі завдання :) Відкрию секрет - я теж. Особливо після того, як завершив роботу над теорією поля.

Рішення: Так як випадкова величина може прийняти тільки одне з трьох значень, то відповідні події утворюють повну групу, А значить, сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

Викриваємо «партизана»:

- таким чином, ймовірність виграшу умовних одиниць становить 0,4.

Контроль:, в чому і було потрібно переконатися.

відповідь:

Не рідкість, коли закон розподілу потрібно скласти самостійно. Для цього використовують класичне визначення ймовірності, теореми множення / додавання ймовірностей подій та інші фішки тервера:

приклад 2

У коробці знаходяться 50 лотерейних квитків, серед яких 12 виграшних, причому 2 з них виграють по 1000 рублів, а решта - по 100 рублів. Скласти закон розподілу випадкової величини - розміру виграшу, якщо з коробки навмання витягується один квиток.

Рішення: Як ви помітили, значення випадкової величини прийнято розташовувати в порядку їх зростання. Тому ми починаємо з самого маленького виграшу, і саме рублів.

Всього таких квитків 50 - 12 \u003d 38, і по класичним визначенням:
- ймовірність того, що навмання витягнутий квиток виявиться безвиграшним.

З іншими випадками все просто. Імовірність виграшу рублів складає:

Перевірка: - і це особливо приємний момент таких завдань!

відповідь: Шуканий закон розподілу виграшу:

Наступне завдання для самостійного рішення:

приклад 3

Імовірність того, що стрілець уразить мішень, дорівнює. Скласти закон розподілу випадкової величини - кількості влучень після 2 пострілів.

... я знав, що ви по ним скучили :) Згадуємо теореми множення й додавання. Рішення і відповідь в кінці уроку.

Закон розподілу повністю описує випадкову величину, проте на практиці буває корисно (а іноді і корисніше) знати лише деякі її числові характеристики .

Математичне сподівання дискретної випадкової величини

Говорячи простою мовою, це середньоочікувана значення при багаторазовому повторенні випробувань. Нехай випадкова величина приймає значення з імовірностями відповідно. Тоді математичне очікування даної випадкової величини дорівнює сумі творів всіх її значень на відповідні ймовірності:

або в згорнутому вигляді:

Обчислимо, наприклад, математичне сподівання випадкової величини - кількості випали на гральному кубику очок:

Тепер згадаємо нашу гіпотетичну гру:

Виникає питання: а чи вигідно взагалі грати в цю гру? ... у кого які враження? Так адже «навскидку» і не скажеш! Але на це питання можна легко відповісти, обчисливши математичне очікування, по суті - середньозважений по можливостям виграш:

Таким чином, математичне очікування даної гри програшно.

Не вір враженням - вір цифрам!

Так, тут можна виграти 10 і навіть 20-30 разів поспіль, але на довгій дистанції нас чекає неминуче розорення. І я б не радив вам грати в такі ігри :) Ну, може, тільки заради розваги.

З усього вищесказаного випливає, що математичне очікування - це вже НЕ ВИПАДКОВА величина.

Творче завдання для самостійного дослідження:

приклад 4

Містер Х грає в європейську рулетку за такою системою: постійно ставить 100 рублів на «червоне». Скласти закон розподілу випадкової величини - його виграшу. Обчислити математичне сподівання виграшу і округлити його до копійок. скільки в середньому програє гравець з кожної поставленої сотні?

Довідка : Європейська рулетка містить 18 червоних, 18 чорних і 1 зелений сектор ( «зеро»). У разі випадання «червоного» гравцеві виплачується подвоєна ставка, в іншому випадку вона йде в дохід казино

Існує багато інших систем гри в рулетку, для яких можна скласти свої таблиці ймовірностей. Але це той випадок, коли нам не потрібні ніякі закони розподілу і таблиці, бо достеменно встановлено, що математичне очікування гравця буде точно таким же. Від системи до системи змінюється лише