Определете ранга на примера за матрица. Намерете ранга на матрица: методи и примери

Тази статия ще обсъди такова понятие като ранг на матрица и необходимите допълнителни понятия. Ще дадем примери и доказателства за намиране на ранга на матрица, а също така ще ви кажем какво е матричен минор и защо е толкова важен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Незначителна матрица

За да разберем какъв е рангът на матрицата, е необходимо да се разбере такова понятие като минор на матрица.

Определение 1

Незначителенк-тия ред матрица е детерминантата на квадратна матрица от порядък k × k, която се състои от елементите на матрицата A, разположени в предварително избраните k-редове и k-колони, като същевременно се запазва позицията на елементите на матрицата A.

Просто казано, ако изтрием (pk) редове и (nk) колони в матрица A и съставим матрица от тези елементи, които остават, запазвайки подредбата на елементите на матрица A, тогава детерминантата на получената матрица е минор от порядък k на матрица A.

От примера следва, че минорите от първи ред на матрицата A са самите елементи на матрицата.

Има няколко примера за непълнолетни от 2-ри ред. Нека изберем два реда и две колони. Например 1-ви и 2-ри ред, 3-та и 4-та колона.

При този избор на елементи минорът от втория ред ще бъде - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Друг минор от втори ред на матрицата A е 0 0 1 1 = 0

Нека предоставим илюстрация на конструкцията на минорите от втори ред на матрицата A:

Минорът от 3-ти порядък се получава чрез изтриване на третата колона от матрицата A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Илюстрация на това как се получава минорът от 3-ти порядък на матрицата A:

За дадена матрица няма минорни числа по-високи от 3-ти ред, т.к

k ≤ m i n (p, n) = m i n (3, 4) = 3

Колко минор от порядък k има за матрица A от порядък p × n?

Броят на непълнолетните се изчислява по следната формула:

C p k × C n k, където e e C p k = p! к! (р - к)! и C n k = n! к! (n - k)! - броят на комбинациите от p до k, от n до k, съответно.

След като решим какви са минорите на матрицата A, можем да пристъпим към определяне на ранга на матрицата A.

Матричен ранг: методи за намиране

Матричен ранг - най-високият порядък на матрицата, различен от нула.

Обозначение 1

ранг (A), Rg (A), Rang (A).

От дефиницията на ранга на матрицата и минора на матрицата става ясно, че рангът на нулевата матрица е нула, а рангът на ненулевата матрица е ненулев.

Намиране на ранга на матрица по дефиниция

Изброяване на непълнолетните - метод, базиран на определяне на ранга на матрица.

Алгоритъм на действия чрез изброяване на непълнолетни :

Необходимо е да се намери ранга на матрицата A от порядък стр× н... Ако има поне един ненулев елемент, тогава рангът на матрицата е най-малко равен на единица ( от е минор от 1-ви ред, който не е равен на нула).

Следва изброяване на непълнолетните от 2-ри ред. Ако всички минорни от 2-ри ред са равни на нула, тогава рангът е равен на единица. Ако има поне един ненулев минор от 2-ри ред, е необходимо да се премине към изброяване на минорите от 3-ти ред и рангът на матрицата в този случай ще бъде равен на поне два.

По подобен начин ще действаме и с ранга от трети ред: ако всички минорни числа на матрицата са равни на нула, тогава рангът ще бъде равен на две. Ако има поне един ненулев минор от трети порядък, тогава рангът на матрицата е поне три. И така нататък, по аналогия.

Пример 2

Намерете ранга на матрица:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Тъй като матрицата е различна от нула, нейният ранг е най-малко равен на единица.

Минорът от 2-ри ред - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 е различен от нула. Оттук следва, че рангът на матрицата A е най-малко два.

Итерираме минорите от 3-ти ред: С 3 3 × С 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 бр.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Минорите от 3-ти ред са равни на нула, следователно рангът на матрицата е равен на две.

Отговор : Ранг (A) = 2.

Намиране на ранга на матрица по метода на граничните минорни

Метод за гранични непълнолетни - метод, който ви позволява да получите резултат с по-малко изчислителна работа.

Изправен пред непълнолетни - второстепенният M ok (k + 1) -тия ред на матрицата A, който граничи с минорния M от порядък k на матрицата A, ако матрицата, която съответства на второстепенното M ok "съдържа" матрицата, която съответства на непълнолетен М.

Най-просто казано, матрицата, която съответства на ограниченото второстепенно M o k, се получава от матрицата, съответстваща на граничното второстепенно M o k, чрез изтриване на елементи от един ред и една колона.

Пример 3

Намерете ранга на матрица:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

За да намерим ранга, вземаме минор от 2-ри ред М = 2 - 1 4 1

Записваме всички граничещи непълнолетни:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

За обосноваване на метода на граничещи непълнолетни, представяме една теорема, чието формулиране не изисква доказателствена основа.

Теорема 1

Ако всички минори, граничещи с k-тия минор на матрицата A от порядък p по n, са равни на нула, тогава всички минори от порядък (k + 1) на матрицата A са равни на нула.

Алгоритъм на действията :

За да се намери ранга на матрица, не е необходимо да се преброяват всички малки, достатъчно е да се погледнат граничните.

Ако граничещите малки са равни на нула, тогава рангът на матрицата е нула. Ако има поне един минор, който не е равен на нула, тогава разглеждаме граничните минорни.

Ако всички са нула, тогава ранг (A) е два. Ако има поне един граничещ минор, различен от нула, тогава продължаваме да разглеждаме неговите граничещи минорни. И така нататък, по подобен начин.

Пример 4

Намерете ранга на матрица по метода на граничните минорни

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Как да решим?

Тъй като елементът a 11 от матрицата A не е равен на нула, тогава вземаме минор от 1-ви порядък. Нека започнем да търсим ненулев граничещ минор:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Открихме граничещ минор от 2-ри ред, който не е равен на нула 2 0 4 1.

Нека повторим граничните минорни - (има (4 - 2) × (5 - 2) = 6 парчета).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Отговор : Ранг (A) = 2.

Намиране на ранга на матрица по метода на Гаус (с помощта на елементарни трансформации)

Нека си припомним какво представляват елементарните трансформации.

Елементарни трансформации:

• чрез пренареждане на редовете (колони) на матрицата;
• чрез умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата по произволно ненулево число k;

чрез добавяне към елементите на всеки ред (колона) елементи, които съответстват на друг ред (колона) от матрицата, които се умножават по произволно число k.

Определение 5

Намиране на ранга на матрица по метода на Гаус - метод, базиран на теорията за еквивалентност на матриците: ако матрица B е получена от матрица A с помощта на краен брой елементарни трансформации, тогава Ранг (A) = Ранг (B).

Валидността на това твърдение следва от дефиницията на матрицата:

• в случай на пермутация на редове или колони на матрица, нейната детерминанта променя знака. Ако е равно на нула, то остава равно на нула при пренареждане на редове или колони;
• в случай на умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата с произволно число k, което не е равно на нула, детерминантата на получената матрица е равна на детерминантата на оригиналната матрица, която се умножава от k;

в случай на добавяне към елементите на определен ред или колона от матрицата на съответните елементи от друг ред или колона, които се умножават по числото k, не променя неговия детерминант.

Същността на метода на елементарните трансформации : редуцираме матрицата, чийто ранг трябва да се намери, до трапецовидна, използвайки елементарни трансформации.

За какво?

Рангът на матрици от този вид е доста лесен за намиране. Той е равен на броя на редовете, които съдържат поне един ненулев елемент. И тъй като рангът не се променя по време на елементарни трансформации, това ще бъде рангът на матрицата.

Нека илюстрираме този процес:

• за правоъгълни матрици A от порядък p по n, чийто брой редове е по-голям от броя на колоните:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 0 0 n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k

• за правоъгълни матрици A от порядък p по n, чийто брой редове е по-малък от броя на колоните:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 1 ⋯ bpn, R ank (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• за квадратни матрици A от порядък n по n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 0 0 n , R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k, k< n

Пример 5

Намерете ранга на матрица A с помощта на елементарни трансформации:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Как да решим?

Тъй като елементът a 11 е различен от нула, е необходимо да се умножат елементите от първия ред на матрицата A по 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Добавете към елементите на 2-ри ред съответните елементи от 1-ви ред, които се умножават по (-3). Към елементите на 3-ти ред добавете елементите от 1-ви ред, които се умножават по (-1):

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Елементът a 22 (2) е различен от нула, така че умножаваме елементите от 2-ия ред на матрицата A по A (2) по a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Към елементите от 3-ия ред на получената матрица добавете съответните елементи от 2-рия ред, които се умножават по 3 2;
• към елементите на 4-ти ред - елементите от 2-ри ред, които се умножават по 9 2;
• към елементите на 5-ти ред - елементите от 2-ри ред, които се умножават по 3 2.

Всички елементи на реда са нула. Така с помощта на елементарни трансформации приведохме матрицата до трапецовидна форма, от която се вижда, че R a n k (A (4)) = 2. Оттук следва, че рангът на оригиналната матрица също е равен на две.

Коментирайте

Ако извършвате елементарни трансформации, тогава приблизителни стойности не са разрешени!

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

По ранга на матрицатасе нарича най-големият ред на неговите ненулеви минорни. Рангът на матрицата се обозначава с или.

Ако всички минори от порядъка на дадена матрица са равни на нула, тогава всички минори от по-висок порядък на тази матрица също са равни на нула. Това следва от определението на детерминанта. Това предполага алгоритъм за намиране на ранга на матрица.

Ако всички минорни елементи от първи ред (матрични елементи) са равни на нула, тогава. Ако поне един от минорите от първи ред е различен от нула и всички минорни от втори ред са равни на нула, тогава. Нещо повече, достатъчно е да се видят само онези второстепенни минори, които граничат с ненулев минор от първи ред. Ако има ненулев минор от втори ред, прегледайте минорите от трети ред, граничещи с ненулевия минор от втори ред. Това продължава, докато стигнат до един от двата случая: или всички минорни порядки, граничещи с ненулевия минор от тия ред, са равни на нула, или няма такива малки. Тогава .

Пример 10. Изчислете ранга на матрицата.

Минорът от първи ред (елемент) е различен от нула. Минорът, граничещ с него, също не е равен на нула.

Всички тези минори са равни на нула, така че.

Горният алгоритъм за намиране на ранга на матрица не винаги е удобен, тъй като включва изчисляване на голям брой детерминанти. Най-удобно е да се използват елементарни трансформации при изчисляване на ранга на матрица, с помощта на които матрицата се свежда до толкова проста форма, че е очевидно какъв е нейният ранг.

Елементарни матрични трансформацииизвикайте следните трансформации:

Ø умножение на произволен ред (колона) матрица с число, различно от нула;

Ø добавяне към един ред (колона) на друг ред (колона), умножено по произволно число.

Полийордановтрансформация на матрични редове:

с разделящ елемент е следният набор от трансформации с матрични редове:

Ø към първия ред добавете 10, умножено по число и т.н.;

Добавете Ø към последния ред, умножено по число.

Полуйорданска трансформация на матрични колонис разделящ елемент е следният набор от трансформации с матрични колони:

Ø към първата колона добавете x, умножено по число и т.н.;

Ø към последната колона добавете x, умножено по число.

След извършване на тези трансформации, матрицата се получава:

Полуйорданската трансформация на редове или колони на квадратна матрица не променя нейната детерминанта.

Елементарните матрични трансформации не променят нейния ранг. Нека покажем например как да изчислим ранга на матрица с помощта на елементарни трансформации. редовете (колони) са линейно зависими.

Нека бъде дадена някаква матрица:

.

Избираме в тази матрица произволни линии и произволни колони
... Тогава детерминантата й ред, съставен от матрични елементи
разположен на пресечната точка на избраните редове и колони се нарича второстепенен -тия ред матрица
.

Определение 1.13.По ранга на матрицата
се нарича най-големият ред на минор на тази матрица, различен от нула.

За да се изчисли ранга на матрица, трябва да се вземат предвид всички нейни минорни от най-малкия ред и, ако поне един от тях е различен от нула, да се пристъпи към разглеждане на минорите от най-висок ред. Този подход за определяне на ранга на матрица се нарича граничния метод (или метода на граничните малки).

Задача 1.4.Използвайки метода на граничните малки, определете ранга на матрицата
.

.

Помислете за кант от първа поръчка, например
... След това се обръщаме към разглеждането на някои граничещи от втори ред.

Например,
.

И накрая, нека анализираме границата от трети порядък.

.

Следователно най-високият ред на ненулев минор е 2, следователно
.

При решаването на задача 1.4 може да се забележи, че редица граничещи второстепенни минорни числа са различни от нула. В тази връзка възниква следната концепция.

Определение 1.14.Основен минор на матрица е всеки ненулев минор, чийто ред е равен на ранга на матрицата.

Теорема 1.2.(Основна минорна теорема). Основните редове (базовите колони) са линейно независими.

Забележете, че редовете (колоните) на матрицата са линейно зависими, ако и само ако поне един от тях може да бъде представен като линейна комбинация от останалите.

Теорема 1.3.Броят на линейно независимите редове на матрицата е равен на броя на линейно независимите колони на матрицата и е равен на ранга на матрицата.

Теорема 1.4.(Необходимо и достатъчно условие за изчезването на детерминантата). За да се определи детерминанта -та поръчка е равно на нула, е необходимо и достатъчно неговите редове (колони) да бъдат линейно зависими.

Изчисляването на ранга на матрица въз основа на използването на нейната дефиниция е твърде тромаво. Това става особено важно за матрици от по-висок порядък. В тази връзка на практика рангът на матрица се изчислява въз основа на прилагането на теореми 10.2 - 10.4, както и използването на концепциите за еквивалентност на матрици и елементарни трансформации.

Определение 1.15.Две матрици
и се наричат ​​еквивалентни, ако ранговете им са равни, т.е.
.

Ако матрици
и са еквивалентни, тогава забележете
 .

Теорема 1.5.Рангът на матрицата не се променя от елементарни трансформации.

Ще наречем елементарни трансформации на матрицата
някое от следните действия върху матрицата:

Замяна на редове с колони и колони със съответни редове;

Пермутация на матрични редове;

Зачеркване на линия, всички елементи на която са равни на нула;

Умножение на низ с ненулево число;

Добавяне към елементите на един ред на съответните елементи от друг ред, умножени по същото число
.

Следствие от теорема 1.5.Ако матрицата
получени от матрицата използвайки краен брой елементарни трансформации, след това матриците
и са еквивалентни.

При изчисляване на ранга на матрица, тя трябва да бъде намалена до трапецовидна форма, като се използва краен брой елементарни трансформации.

Определение 1.16.Ще наречем трапецовидна форма на представяне на матрица, когато в граничния минор от най-висок порядък, различен от нула, всички елементи под диагоналните изчезнат. Например:

.

Тук
, матрични елементи
изчезват. Тогава формата на представяне на такава матрица ще бъде трапецовидна.

Като правило матриците се преобразуват в трапецовидна форма с помощта на алгоритъма на Гаус. Идеята на алгоритъма на Гаус е, че чрез умножаване на елементите от първия ред на матрицата по съответните фактори се постига, че всички елементи на първата колона се намират под елемента
би изчезнал. След това, умножавайки елементите на втората колона по съответните фактори, постигаме, че всички елементи на втората колона се намират под елемента
би изчезнал. След това продължете по същия начин.

Задача 1.5.Определете ранга на матрицата, като я намалите до трапецовидна форма.

.

За удобство на използването на алгоритъма на Гаус можете да размените първия и третия ред.








.

Очевидно тук
... Въпреки това, за да приведете резултата в по-елегантен вид, можете допълнително да продължите трансформациите на колоните.










.

Числото r се нарича ранг на матрицата A, ако:
1) матрицата A съдържа минор от порядък r, различен от нула;
2) всички минорни от порядък (r + 1) и по-високи, ако съществуват, са равни на нула.
В противен случай рангът на матрицата е най-високият ненулев минорен ред.
Обозначения: rangA, r A или r.
От дефиницията следва, че r е цяло положително число. За нулева матрица рангът се счита за нула.

Цел на услугата... Онлайн калкулаторът е предназначен за намиране ранг на матрицата... В този случай решението се записва във формат Word и Excel. виж пример за решение.

Инструкция. Изберете измерението на матрицата, щракнете върху Напред.

Определение . Нека е дадена матрица с ранг r. Всеки минор на матрица, различен от нула и имащ порядък r, се нарича основен, а редовете и колоните на нейните компоненти се наричат ​​основни редове и колони.
Според тази дефиниция матрицата А може да има няколко основни минор.

Рангът на матрицата за идентичност E е n (броят на редовете).

Пример 1. Дадени са две матрици, и техните непълнолетни , ... Кое може да се приеме за изходна линия?
Решение... Незначително M 1 = 0, така че не може да бъде основно за нито една от матриците. Минор M 2 = -9 ≠ 0 и има ред 2, така че може да се вземе като базисни матрици A или / и B, при условие че имат ранг, равен на 2. Тъй като detB = 0 (като детерминанта с две пропорционални колони), тогава rangB = 2 и M 2 могат да се вземат като основен минор на матрицата B. Рангът на матрицата A е 3, тъй като detA = -27 ≠ 0 и следователно, редът на основния минор на тази матрица трябва да бъде равен на 3, тоест M 2 не е основен за матрицата A. Забележете, че матрицата A има един основен минор, който е равен на детерминантата на матрицата A.

Теорема (за основния минор). Всеки ред (колона) на матрица е линейна комбинация от нейните основни редове (колони).
Следствия от теоремата.

1. Всички (r + 1) колони (редове) на матрица с ранг r са линейно зависими.
2. Ако рангът на една матрица е по-малък от броя на нейните редове (колони), тогава нейните редове (колони) са линейно зависими. Ако rangA е равен на броя на неговите редове (колони), тогава редовете (колони) са линейно независими.
3. Детерминантата на матрицата A е равна на нула, ако и само ако нейните редове (колони) са линейно зависими.
4. Ако към ред (колона) от матрицата добавим още един ред (колона), умножен по произволно число, различно от нула, тогава рангът на матрицата няма да се промени.
5. Ако ред (колона) в матрицата е зачеркнат, което е линейна комбинация от други редове (колони), тогава рангът на матрицата няма да се промени.
6. Рангът на матрицата е равен на максималния брой на нейните линейно независими редове (колони).
7. Максималният брой линейно независими редове е същият като максималния брой линейно независими колони.

Пример 2. Намерете ранга на матрица .
Решение. Въз основа на дефиницията на ранга на матрица ще търсим минор от най-висок порядък, различен от нула. Първо, трансформираме матрицата в по-проста форма. За да направите това, умножете първия ред на матрицата по (-2) и добавете към втория, след това го умножете по (-1) и добавете към третия.