Диференциране на експоненциални и логаритмични функции. Антипроизводната на експоненциалната функция в задачите на UNT

Приключена работа

ДИПЛОМНИ РАБОТИ

Много вече е зад гърба ви и вече сте дипломант, ако, разбира се, напишете дипломната си работа навреме. Но животът е такова нещо, че едва сега ви става ясно, че след като сте престанали да сте студент, ще загубите всички студентски радости, много от които никога не сте опитвали, отлагайки всичко и отлагайки за по-късно. И сега, вместо да наваксате загубеното време, работите усилено върху дипломната си работа? Има отличен изход: изтеглете необходимата ви дисертация от нашия уебсайт - и веднага ще имате много свободно време!
Дисертации са успешно защитени във водещите университети на Република Казахстан.
Цената на работата от 20 000 тенге

КУРСОВА РАБОТА

Курсовият проект е първата сериозна практическа работа. Именно с написването на курсова работа започва подготовката за разработване на дипломни проекти. Ако студентът се научи как правилно да представи съдържанието на темата в курсов проект и правилно да го проектира, тогава в бъдеще той няма да има проблеми нито с писането на доклади, нито с изготвянето на тези, нито с изпълнението на други практически задачи . За да подпомогне студентите при написването на този вид студентска работа и да изясни въпросите, които възникват при изготвянето й, всъщност беше създадена тази информационна секция.
Цената на работата от 2500 тенге

МАГИСТРИ

В момента във висшите учебни заведения на Казахстан и страните от ОНД нивото на висше професионално образование е много разпространено, което следва бакалавърска степен - магистърска степен. В магистратурата те учат с цел получаване на магистърска степен, която се признава в повечето страни по света повече от бакалавърска степен, а също така се признава и от чуждестранни работодатели. Резултатът от обучението в магистърска степен е защитата на магистърска теза.
Ще Ви предоставим актуален аналитичен и текстов материал, в цената са включени 2 научни статии и резюме.
Цената на работата от 35 000 тенге

ДОКЛАДИ ОТ ПРАКТИКАТА

След завършване на всякакъв вид студентска практика (учебна, производствена, преддипломна) се изисква изготвяне на протокол. Този документ ще бъде потвърждение за практическата работа на студента и основа за формиране на оценката за практиката. Обикновено, за да съставите доклад за практиката, трябва да съберете и анализирате информация за предприятието, да разгледате структурата и работния график на организацията, в която се провежда практиката, да съставите календарен план и да опишете практиката си.
Ще ви помогнем да напишете отчет за стажа, като вземете предвид спецификата на дейността на конкретно предприятие.

Диференциране на експоненциални и логаритмични функции

1. Число д. Функция y = e x, нейните свойства, графика, диференциация

Помислете за индикативна функция y = ax, където a> 1. За различни бази a получаваме различни графики (фиг. 232-234), но можете да видите, че всички те преминават през точката (0; 1), всички имат хоризонтална асимптота y = 0 при , всички те са изпъкнали надолу и накрая всички имат допирателни във всичките си точки. Нека начертаем, например, допирателна към графикифункция y = 2x в точката x = 0 (фиг. 232). Ако правите точни конструкции и измервания, можете да се уверите, че тази допирателна образува ъгъл от 35 ° с оста x (приблизително).

Сега начертаваме допирателна линия към графиката на функцията y = 3 x също в точката x = 0 (фиг. 233). Тук ъгълът между допирателната и оста x ще бъде по-голям - 48 °. И за експоненциалната функция y = 10 x в подобна
ситуация, получаваме ъгъл от 66,5 ° (фиг. 234).

Така че, ако основата a на експоненциалната функция y = ax постепенно нараства от 2 до 10, тогава ъгълът между допирателната към графиката на функцията в точката x = 0 и оста на абсцисата постепенно се увеличава от 35 ° до 66,5 ° . Логично е да се предположи, че има основа а, за която съответният ъгъл е 45 °. Тази основа трябва да бъде между числата 2 и 3, тъй като за функцията y-2x интересният за нас ъгъл е 35°, което е по-малко от 45°, а за функцията y = 3 x е 48°, което е вече малко повече от 45°. Базата, която ни интересува, обикновено се обозначава с буквата е. Установено е, че числото е е ирационално, т.е. представлява безкраен десетичен непериодичен фракция:

e = 2,7182818284590 ...;

на практика обикновено се приема, че e = 2,7.

Коментирайте(не много сериозно). Ясно е, че Л.Н. Толстой няма нищо общо с числото e, въпреки това, в обозначението на числото e, имайте предвид, че числото 1828 се повтаря два пъти подред - годината на раждане на L.N. Толстой.

Графиката на функцията y = ex е показана на фиг. 235. Това е експонента, която се различава от другите експоненциали (графики на експоненциални функции с други бази) по това, че ъгълът между допирателната към графиката в точката x = 0 и оста на абсцисата е 45 °.

Свойства на функцията y = e x:

1)
2) не е нито четно, нито нечетно;
3) увеличава;
4) не ограничен отгоре, ограничен отдолу;
5) няма нито най-високите, нито най-ниските стойности;
6) непрекъснат;
7)
8) изпъкнал надолу;
9) диференцируеми.

Върнете се към § 45, разгледайте списъка със свойствата на експоненциалната функция y = ax за a> 1. Ще намерите същите свойства 1-8 (което е съвсем естествено) и деветото свойство, свързано с
диференцируемост на функцията, не споменахме тогава. Нека го обсъдим сега.

Нека изведем формула за намиране на производната y-ex. В този случай няма да използваме обичайния алгоритъм, който разработихме в раздел 32 и който успешно сме използвали повече от веднъж. В този алгоритъм на последния етап е необходимо да се изчисли границата, а познанията ни за теорията на границите все още са много, много ограничени. Следователно ще разчитаме на геометрични предпоставки, като се има предвид, по-специално, самият факт за съществуването на допирателна към графиката на експоненциалната функция без съмнение (затова толкова уверено записахме деветото свойство в горния списък със свойства - диференцируемостта на функцията y = ex).

1. Забележете, че за функцията y = f (x), където f (x) = ex, вече знаем стойността на производната в точката x = 0: f / = tan45 ° = 1.

2. Въведете под внимание функцията y = g (x), където g (x) -f (x-a), т.е. g (x) -ex "a. Фиг. 236 показва графиката на функцията y = g (x): тя се получава от графиката на функцията y - fx) чрез изместване по оста x с | a | мащаб единици. Допирателната към графиката на функцията y = g (x) в точка xa е успоредна на допирателната към графиката на функцията y = f (x) в точката x -0 (виж фиг. 236), което означава, че образува ъгъл от 45 ° с оста х. Използвайки геометричното значение на производната, можем да запишем, че g (a) = tan45 °; = 1.

3. Да се ​​върнем към функцията y = f (x). Ние имаме:

4. Установихме, че за всяка стойност на a връзката е валидна. Вместо буквата a, можете, разбира се, да използвате буквата x; тогава получаваме

От тази формула се получава съответната формула за интегриране:

A.G. Алгебра Мордкович 10 клас

Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище изтегляне

Съдържание на урока план на урокаподкрепа рамка презентация урок ускорителни методи интерактивни технологии Практика задачи и упражнения семинари за самопроверка, обучения, казуси, куестове домашни задачи дискусия въпроси реторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, диаграми, таблици, схеми хумор, вицове, вицове, комикси притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любопитни шпаргалки учебници основен и допълнителен речник на термини други Подобряване на учебниците и уроцитекорекции на грешки в урокаактуализиране на фрагмент в учебника, елементи на иновация в урока, замяна на остарелите знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината методически препоръки на дискусионната програма Интегрирани уроци

Алгебра и начало на математическия анализ

Диференциране на експоненциални и логаритмични функции

Съставено от:

учител по математика MOU SOSH №203 KHEC

град Новосибирск

Т. В. Видутова

номер д.Функция y = e х, неговите свойства, графика, диференциация

1. Да построим графики за различни бази: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (опция 2) (опция 1) "ширина =" 640 "

Помислете за експоненциалната функция y = a х, където е 1.

Нека строим за различни бази а графики:

1. y = 2 х

3. y = 10 х

2. y = 3 х

(Вариант 2)

(Опция 1)

1) Всички диаграми минават през точката (0; 1);

2) Всички графики имат хоризонтална асимптота y = 0

в х  ∞;

3) Всички те са обърнати с изпъкналост надолу;

4) Всички те имат допирателни във всичките си точки.

Нека начертаем допирателна към графиката на функцията y = 2 х в точката х= 0 и измерете ъгъла, който допирателната образува с оста х

С помощта на точно начертаване на допирателните линии към графиките можете да видите, че ако основата аекспоненциална функция y = a хосновата постепенно нараства от 2 до 10, след което ъгълът между допирателната към графиката на функцията в точката х= 0 и абсцисата постепенно се увеличава от 35 'до 66,5'.

Следователно има причина а, за който съответният ъгъл е 45'. И това значение ае между 2 и 3, защото в а= 2 ъгълът е 35 ', за а= 3 е равно на 48 '.

В хода на математическия анализ беше доказано, че тази основа съществува, обичайно е да се обозначава с буквата д.

Определи това д - ирационално число, тоест е безкрайна непериодична десетична дроб:

e = 2, 7182818284590 ... ;

На практика обикновено се приема, че д ≈ 2,7.

Графика на функциите и свойства y = e х :

1) Г (е) = (- ∞; + ∞);

3) увеличава;

4) не ограничен отгоре, ограничен отдолу

5) няма нито най-голямото, нито най-малкото

стойности;

6) непрекъснат;

7) Д (е) = (0; + ∞);

8) изпъкнал надолу;

9) диференцируеми.

Функция y = e х са наречени изложител .

В хода на математическия анализ беше доказано, че функцията y = e х има производна във всяка точка х :

(напр х ) = e х

(напр 5x ) "= 5e 5x

(напр х-3 ) "= д х-3

(напр -4x + 1 ) "= -4e -4x-1

Пример 1 . Начертайте допирателна към графиката на функцията в точката x = 1.

2) f () = f (1) = e

4) y = e + e (x-1); y = напр

Отговор:

Пример 2 .

х = 3.

Пример 3 .

Проверете функцията за екстремум

x = 0 и x = -2

х= -2 - максимална точка

х= 0 - минимална точка

Ако основата на логаритъма е числото д, тогава казват, че е дадено естествен логаритъм ... За естествените логаритми се въвежда специална нотация вътрешен (l е логаритъмът, n е естествено).

Графика и свойства на функцията y = ln x

Свойства на функцията y = ln x:

1) Г (е) = (0; + ∞);

2) не е нито четно, нито нечетно;

3) се увеличава с (0; + ∞);

4) неограничени;

5) няма нито най-високите, нито най-ниските стойности;

6) непрекъснат;

7) E (f) = (- ∞; + ∞);

8) изпъкнал връх;

9) диференцируеми.

0 формулата за диференциране е валидна "ширина =" 640 "

В хода на математическия анализ се доказва, че за всяка стойност x0формулата за диференциация е валидна

Пример 4:

Изчислете стойността на производната на функция в точка х = -1.

Например:

Интернет ресурси:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Конспект на урока

Тема: Алгебра

Дата: 2.04.13.

Клас: 11 клас

Учител: Тишибаева Н.Ш.

тема: Диференциране на логаритмични и експоненциални функции. Антипроизводната на експоненциалната функция.

Цел:

1) формулират формули за производни на логаритмични и експоненциални функции; учат да намират първообразната на експоненциалната функция

2) развиват паметта, наблюдателността, логическото мислене, математическата реч на учениците, способността за анализиране и сравняване, развиват познавателен интерес към предмета;

3) да възпитава комуникативна култура на учениците, умения за колективна дейност, сътрудничество, взаимопомощ.

Тип урок: обясняване на нов материал и затвърждаване на усвоените знания, способности и умения.

Оборудване : карти, интерактивна дъска.

технология: диференциран подход

По време на часовете:

1.Орг. момент (2 минути).

2. Решаване на кръстословица (8 минути)

1. Френският математик от 17-ти век Пиер Ферма дефинира тази линия като „Правата линия, която е най-близо до кривата в малък квартал на точка“.

Тангента

2. Функцията, която се дава с формулата y =а х

Показателен

3. Функция, която се дава с формулата y = logа х

Логаритмичен

4. Производна на преместването

Скорост

5. Как се казва функцията F (x) за функцията f (x), ако условието F "(x) = f (x) е изпълнено за която и да е точка от интервала I.

Антидериват

6. Как се казва връзката между X и Y, при която всеки елемент от X е свързан с един елемент от Y.

Функция

7. Ако функцията f (x) може да бъде представена във формата f (x) = g (t (x)), тогава тази функция се нарича ...

Комплекс

Дума вертикално фамилно име на френски математик и механик

Лагранж

3.Обяснение на новия материал: (10 мин.)

Експоненциалната функция във всяка точка от областта на дефиницията има производна и тази производна се намира по формулата:

(.в a във формулата заменете числотои на e получаваме

(e x) "= e x_ формула производна степен
Логаритмичната функция има производна във всяка точка в областта на дефиницията и тази производна се намира по формулата:

(log a x) "= във формулата заменете числотои на e получаваме

Експоненциална функция y =(а във всяка точка в областта на дефиниция има антипроизводна и тази антипроизводна се намира по формулата F (x) =+ C

4. Фиксиране на нов материал (20 минути)

Математически диктовка.

1. Напишете формулата за производната на експоненциалната функция (aХ )"

(a x) "= a x · ln a

2. Запишете формулата за производната на степента. (напрХ )"

(e x) "= e x

3. Запишете формулата за производната на естествения логаритъм

4. Запишете формулата за производната на логаритмичната функция (log a x) "=?

(log a x) "=

5. Запишете общия вид на първопроизводните за функцията f (x) = aХ .

F (x) = + C

6. Запишете общия изглед на антипроизводните за функцията:, x ≠ 0. F (x) = ln | x | + С

Работа на черната дъска

№255,№256,№258,№259(2,4)

6.D / h # 257, # 261 (2 минути)

7. Резюме на урока: (3 минути)

- Каква е формулата за логаритмичната функция?

Каква е формулата за експоненциалната функция?

Каква е формулата за производната на логаритмичната функция?

Каква е формулата за производната на експоненциалната функция

Тема на урока: „Диференциране на експоненциални и логаритмични функции. Антипроизводната на експоненциалната функция "в задачите на UNT

Цел : развиват уменията на учениците за прилагане на теоретични знания по темата „Диференциране на експоненциални и логаритмични функции. Антипроизводната на експоненциалната функция „за решаване на задачите на UNT.

Задачи

Образователни: да се систематизират теоретичните знания на учениците, да се затвърдят уменията за решаване на задачи по тази тема.

Разработване:развиват паметта, наблюдателността, логическото мислене, математическата реч на учениците, вниманието, уменията за самооценка и самоконтрол.

Образователни:насърчаване на:

възпитаване на отговорно отношение към ученето сред учениците;

развиване на устойчив интерес към математиката;

създаване на положителна вътрешна мотивация за изучаване на математика.

Методи на преподаване: словесно, визуално, практично.

Форми на работа:индивидуално, фронтално, по двойки.

По време на занятията

Епиграф: "Умът се състои не само в знанието, но и в способността да се прилага знанието на практика" Аристотел (слайд 2)

I. Организационен момент.

II. Решаване на кръстословица. (слайд 3-21)

Френският математик от 17-ти век Пиер Ферма дефинира тази линия като „Правата линия, която е най-близо до кривата в малък квартал на точка“.

Тангента

Функцията, която се дава от формулата y = log ах.

Логаритмичен

Функцията, която се дава с формулата y = аХ.

Показателен

В математиката тази концепция се използва за намиране на скоростта на движение на материална точка и наклона на допирателната към графиката на функция в дадена точка.

Производна

Какво е името на функцията F (x) за функцията f (x), ако условието F "(x) = f (x) е изпълнено за всяка точка от интервала I.

Антидериват

Как се казва връзката между X и Y, при която всеки елемент от X е свързан с един елемент от Y.

Производна на изместване

Скорост

Функцията, която се дава с формулата y = e x.

Изложител

Ако функцията f (x) може да бъде представена като f (x) = g (t (x)), тогава тази функция се нарича ...

III. Математически диктовка. (Слайд 22)

1. Запишете формулата за производната на експоненциалната функция. ( а x) "= а x ln а

2. Запишете формулата за производната на степента. (e x) "= e x

3. Запишете формулата за производната на естествения логаритъм. (ln x) "=

4. Запишете формулата за производната на логаритмичната функция. (дневник а x) "=

5. Запишете общия вид на първопроизводните за функцията f (x) = аХ. F (x) =

6. Запишете общия вид на първопроизводните за функцията f (x) =, x ≠ 0. F (x) = ln | x | + C

Проверете работата (отговорите на слайд 23).

IV. Решаване на UNT проблеми (симулатор)

А) No 1,2,3,6,10,36 на дъската и в тетрадката (слайд 24)

Б) Работа по двойки No 19.28 (симулатор) (слайд 25-26)

V. 1. Намерете грешки: (слайд 27)

1) f (x) = 5 e - 3x, f "(x) = - 3 e - 3x

2) f (x) = 17 2x, f "(x) = 17 2x ln17

3) f (x) = log 5 (7x + 1), f "(x) =

4) f (x) = ln (9 - 4x), f "(x) =
.

Vi. Ученическа презентация.

Епиграф: „Знанието е толкова ценно нещо, че не е срамно да го получиш от какъвто и да е източник“ Тома Аквински (слайд 28)

VII. Домакинско задание No 19.20 стр. 116

VIII. Тест (резервна задача) (слайд 29-32)

IX. Резюме на урока.

„Ако искате да участвате в големия живот, тогава напълнете главата си с математика, докато можете. Тогава тя ще ви окаже голяма помощ през целия ви живот" М. Калинин (слайд 33)