Формулирайте следствие от теоремата за бисектриса на ъгъла. Симетрала на триъгълник

Здравей отново! Първото нещо, което искам да ви покажа в това видео, е какво представлява теоремата за ъглополовящи, второто е да ви дам нейното доказателство. И така, имаме произволен триъгълник, триъгълник ABC. И ще начертая ъглополовящата на този горен ъгъл. Това може да се направи за всеки от трите ъгъла, но аз избрах горния (това ще опрости малко доказателството на теоремата). И така, нека начертаем ъглополовящата на този ъгъл, ABC. И сега този ляв ъгъл е равен на този десен ъгъл. Нека наречем точката на пресичане на ъглополовящата със страната AC D. Теоремата за ъглополовящата казва, че съотношението на страните, разделени от тази ъглополовяща... Е, виждате: нарисувах симетрала - и от големия триъгълник ABC две по-малки се получиха триъгълници. Така че, според теоремата за ъглополовящи, съотношенията между другите две страни на тези по-малки триъгълници (т.е. без да се включва страната на ъглополовящи) ще бъдат равни. Тези. тази теорема казва, че съотношението AB / AD ще бъде равно на съотношението BC / CD. Ще маркирам това в различни цветове. Съотношението на AB (тази страна) към AD (от тази страна) ще бъде равно на съотношението на BC (тази страна) към CD (от тази страна). Интересно! Отношението на тази страна към това е равно на отношението на тази към тази ... Отличен резултат, но едва ли ще повярвате на думата ми и определено бихте искали да го докажем сами. И може би се досещате, че тъй като сега имаме установени съотношения на страните, тогава ще докажем теоремата, използвайки сходството на триъгълниците. За съжаление за нас тези два триъгълника не са непременно еднакви. Знаем, че тези два ъгъла са равни, но не знаем, например, дали този ъгъл (BAD) е равен на този (BCD). Ние не знаем и не можем да правим такива предположения. За да установим този вид равенство, може да се наложи да построим друг триъгълник, който ще бъде подобен на един от триъгълниците на тази фигура. И един от начините да го направите е да начертаете друга линия. Честно казано, това доказателство беше неразбираемо за мен, когато за първи път изучавах тази тема, така че ако сега е неразбираемо за вас, всичко е наред. Ами ако разширим тази ъглополовяща на този ъгъл тук? Да го удължим... Да кажем, че продължава вечно. Може би можем да построим триъгълник като този триъгълник тук, BDA, ако начертаем линия тук отдолу, успоредна на AB? Нека се опитаме да направим това. Чрез свойството на успоредни прави, ако точка C не принадлежи на сегмент AB, тогава през точка C винаги можете да начертаете линия, успоредна на сегмент AB. Тогава нека начертаем друг сегмент тук. Нека наречем тази точка F. И да предположим, че тази отсечка FC е успоредна на отсечката AB. Отсечката FC е успоредна на отсечката AB ... Ще напиша това: FC е успоредна на AB. И сега имаме някои интересни точки тук. След като начертахме отсечка, успоредна на отсечката AB, построихме триъгълник, подобен на триъгълника BDA. Да видим как се оказа. Преди да говорим за сходството, нека първо помислим какво знаем за някои от ъглите, образувани тук. Знаем, че тук има вътрешни кръстосани ъгли. Вземете същите успоредни прави... Е, може да си представим, че AB продължава неопределено време, а FC продължава безкрайно. И сегментът BF в този случай е секуща. Тогава, какъвто и да е този ъгъл, ABD, този ъгъл, CFD, ще бъде равен на него (по свойството на вътрешните напречно разположени ъгли). Срещали сме такива ъгли много пъти, когато говорихме за ъглите, образувани от пресичането на успоредни секущи прави. Така че тези два ъгъла ще бъдат равни. Но този ъгъл, DBC, и този, CFD, също ще бъдат равни, т.к ъглите ABD и DBC са равни. В крайна сметка BD е ъглополовяща, което означава, че ъгълът ABD е равен на ъгъла DBC. И така, каквито и да са тези два ъгъла, ъгълът на CFD ще бъде равен на тях. И това води до интересен резултат. Защото се оказва, че в този по-голям BFC триъгълник ъглите при основата са равни. Това от своя страна означава, че триъгълникът BFC е равнобедрен. Тогава страната BC трябва да бъде равна на страната FC. BC трябва да е равно на FC. Глоба! Използвахме свойството на вътрешните ъгли на напречното сечение, за да покажем, че триъгълникът BFC е равнобедрен и следователно страните BC и FC са равни. И това може да ни бъде полезно, т.к. знаем това ... Е, ако не знаем, тогава поне смятаме, че тези два триъгълника ще се окажат подобни. Все още не сме го доказали. Но как това, което току-що доказахме, може да ни помогне да научим нещо за страната на BC? Е, току-що доказахме, че страната на БК е равна на страната на ФК. Ако можем да докажем, че съотношението AB/AD е равно на съотношението FC/CD, считаме, че работата е свършена, защото току-що доказахме, че BC = FC. Но да не се обръщаме към теоремата – да стигнем до нея в резултат на доказателството. И така, фактът, че отсечката FC е успоредна на AB, ни помогна да разберем, че триъгълникът BFC е равнобедрен, а страните му BC и FC са равни. Сега нека разгледаме други ъгли тук. Ако погледнете триъгълника ABD (този) и триъгълника FDC, тогава вече разбрахме, че те имат една двойка равни ъгли. Но също така този ъгъл на триъгълник ABD е вертикален спрямо този ъгъл на триъгълник FDC - това означава, че тези ъгли са равни. И знаем, че ако двата ъгъла на един триъгълник са съответно равни на двата ъгъла на другия (е, тогава третите съответни ъгли също ще бъдат равни), тогава въз основа на сходството на триъгълници в два ъгъла можем да заключим, че тези два триъгълника са подобни. ще го запиша. И трябва да се уверите, че при запис върховете съответстват един на друг. И така, въз основа на сходството в два ъгъла, ние знаем ... И ще започна с ъгъла, отбелязан в зелено. Знаем, че триъгълник B ... След това отивам до ъгъла, отбелязан в синьо ... Триъгълникът BDA е като триъгълник ... И отново започваме от ъгъла, отбелязан в зелено: F (след това отидете до ъгъла, отбелязан в синьо) ... Като триъгълник FDC. Сега да се върнем към теоремата за ъглополовящите. Интересуваме се от съотношението AB/AD. Съотношението на AB към AD ... Както вече знаем, съотношенията на съответните страни на подобни триъгълници са равни. Или може да се намери съотношението на двете страни на един подобен триъгълник и да се сравни със съотношението на съответните страни на друг подобен триъгълник. Те също трябва да са равни. И така, тъй като триъгълниците BDA и FDC са сходни, съотношението AB ... Е, между другото, триъгълниците са подобни в два ъгъла, така че ще го запиша тук. Защото триъгълниците са подобни, тогава знаем, че съотношението AB / AD ще бъде равно ... И можем да погледнем тук твърдението за подобие, за да намерим съответните страни. Страната, съответстваща на AB, е страната CF. Тези. AB / AD е равно на CF, разделено на ... Страната AD съответства на страната CD. Така че CF / CD. И така, получаваме следното съотношение: AB / AD = CF / CD. Но ние вече доказахме, че (тъй като триъгълникът BFC е равнобедрен) CF е равен на BC. Това означава, че тук CF може да бъде заменен с BC. Това трябваше да се докаже. Доказахме, че AB / AD = BC / CD. И така, за да докажете тази теорема, първо трябва да построите друг, този триъгълник. И ако приемем, че сегментите AB и CF са успоредни, можете да получите два съответни равни ъгъла на два триъгълника - това от своя страна показва сходството на триъгълниците. След като построим друг триъгълник, освен че има два подобни триъгълника, ще можем да докажем и че този по-голям триъгълник е равнобедрен. И тогава можем да кажем: съотношението между тази и тази страна на един подобен триъгълник е равно на съотношението на съответните страни (тази и тази) на друг подобен триъгълник. А това означава, че сме доказали, че съотношението между тази страна и тази страна е равно на съотношението BC / CD. Q.E.D. Ще се видим!

Знаете ли каква е средната точка на сегмент? Разбира се, че го правиш. А центърът на кръга? също.

Какво е средата на ъгъла?

Можете да кажете, че това не се случва. Но защо тогава сегментът може да бъде разделен наполовина, но ъгълът не може? Напълно възможно е - просто не е точка, но.... линия.

Спомнете си шегата: Бисектрисата е плъх, който бяга около ъглите и разполовява ъгъла.И така, истинската дефиниция за ъглополовяща е много подобна на тази шега:

Симетрала на триъгълнике сегмент от ъглополовящата на ъгъл на триъгълник, свързващ върха на този ъгъл с точка от противоположната страна.

Някога древните астрономи и математици са открили много интересни свойства на бисектрисата. Това знание значително опрости живота на хората.

Първото знание, което ще помогне за това е...

Между другото, помните ли всички тези термини? Спомняте ли си как се различават един от друг? Не? Не е страшно. Нека го разберем сега.

• Основа на равнобедрен триъгълник- това е страната, която не е равна на никоя друга. Погледнете снимката, от коя страна е според вас? Точно така - това е страната.
• Медианата е линията, изтеглена от върха на триъгълника и разделяща противоположната страна (това отново) наполовина. Забележете, ние не казваме: "Медиана на равнобедрен триъгълник." Знаеш ли защо? Тъй като медианата, изтеглена от върха на триъгълника, разполовява противоположната страна във ВСЕКИ триъгълник.
• Височината е линия, изтеглена от върха и перпендикулярна на основата. Забелязахте ли? Отново говорим за всеки триъгълник, а не само за равнобедрен триъгълник. Височината във ВСЕКИ триъгълник винаги е перпендикулярна на основата.

И така, разбра ли? почти.

За да разберете още по-добре и да запомните завинаги какво са ъглополовяща, медиана и височина, имате нужда от тях сравняват помежду сии да разберете по какво си приличат и как се различават един от друг.

В същото време, за да запомните по-добре, е по-добре да опишете всичко на „човешки език“.

Тогава лесно ще оперирате с езика на математиката, но в началото не разбирате този език и трябва да разберете всичко на вашия език.

И така, как си приличат?

Симетрала, медиана и височина - всички те "излизат" от върха на триъгълника и се допират до противоположната страна и "правят нещо" или с ъгъла, от който излизат, или с противоположната страна.

Според мен просто, нали?

Как се различават?

• Симетралата разделя ъгъла, от който излиза, наполовина.
• Медианата разполовява противоположната страна.
• Височината винаги е перпендикулярна на противоположната страна.

Това е. Лесно е да се разбере. И след като разберете, можете да си спомните.

Сега за следващия въпрос.

Защо тогава в случай на равнобедрен триъгълник ъглополовящата се оказва едновременно и медиана, и височина?

Можете просто да погледнете снимката и да се уверите, че медианата се разделя на два абсолютно равни триъгълника.

Това е всичко! Но математиците не обичат да вярват на очите си. Те трябва да докажат всичко.

Ужасна дума?

Нищо подобно - всичко е просто! Вижте: и двете страни са равни и тяхната страна обикновено е обща и. (- бисектриса!) И така, се оказа, че два триъгълника имат две равни страни и ъгъл между тях.

Припомняме първия знак за равенство на триъгълниците (не помня, погледнете в темата) и заключаваме, че и следователно = и.

Това вече е добре - значи се оказа медианата.

Но какво е то?

Нека да разгледаме снимката -. И ние го разбрахме. Значи, и също! Най-накрая, ура! и.

Намерихте ли това доказателство за малко тежко? Вижте снимката - два еднакви триъгълника говорят сами за себе си.

Във всеки случай, запомнете твърдо:

Сега е по-трудно: ще изчислим ъгълът между ъглополовящите във всеки триъгълник!Не се страхувайте, не всичко е толкова сложно. Погледни снимката:

Нека го преброим. Помниш ли това сумата от ъглите на триъгълник е?

Нека приложим този поразителен факт.

От една страна, от:

Това е.

Сега нека разгледаме:

Но ъглополовящи, ъглополовящи!

Да си припомним за:

Сега през писмата

Не е ли невероятно?

Оказа се, че ъгълът между ъглополовящите на два ъгъла зависи само от третия ъгъл!

Е, ние разгледахме две ъглополовящи. Ами ако са трима??!! Всички ли ще се пресичат в една точка?

Или ще бъде така?

Как смятате? Ето ги мислите, мислеха и доказаха математиците:

Не е ли страхотно?

Искате ли да знаете защо това се случва?

Преминете на следващото ниво - готови сте да покорите нови висоти на познанието за ъглополовящата!

БИСЕКТОРА. СРЕДНО НИВО

Спомнете си какво е ъглополовяща?

Бисектриса е права, която разполовява ъгъл.

Срещнахте ли ъглополовящата в задачата? Опитайте се да приложите едно (а понякога и няколко) от следните невероятни свойства.

1. Бисектриса в равнобедрен триъгълник.

Не те ли е страх от думата "теорема"? Ако се страхувате, тогава - напразно. Математиците са свикнали да наричат ​​с теорема всяко твърдение, което по някакъв начин може да бъде изведено от други, по-прости твърдения.

И така, внимание, теорема!

Да докажемтази теорема, тоест ще разберем защо е така? Вижте равнобедрените.

Нека ги разгледаме отблизо. И тогава ще видим това

1. - общ.

А това означава (по-скоро запомнете първия знак за равенство на триъгълниците!) Това.

И какво тогава? Искаш ли да кажеш така? И фактът, че все още не сме разгледали третите страни и останалите ъгли на тези триъгълници.

Сега да видим. Веднъж, тогава абсолютно точно и дори в допълнение,.

Така се оказа, че

1. раздели страната наполовина, тоест се оказа медианата
2. , което означава, че и двете са включени, защото (погледнете още веднъж снимката).

Така се оказа, че е ъглополовяща и височина!

Ура! Доказахме теоремата. Но представете си, това не е всичко. Също така е вярно обратна теорема:

Доказателство? чудиш ли се? Прочетете следващото ниво на теория!

И ако не е интересно, тогава запомни твърдо:

Защо да запомняте това здраво? Как може това да помогне? Но представете си, че имате задача:

дадено: .

Намирам: .

Веднага разбирате, ъглополовяща и, ето, тя раздели страната наполовина! (по условие...). Ако твърдо помните, че това се случва самов равнобедрен триъгълник, тогава заключаваш какво означава, пишеш отговора:. Страхотно, нали? Разбира се, не всички задачи ще бъдат толкова лесни, но знанията определено ще помогнат!

А сега следващият имот. Готов?

2. Симетралата на ъгъла е мястото на точки, еднакво отдалечени от страните на ъгъла.

уплашен? Всъщност всичко е наред. Мързеливите математици скриха четири в два реда. И така, какво означава това, "половектора - място на точките"? Това означава, че те се изпълняват незабавно. двеизявления:

1. Ако точката лежи върху ъглополовящата, тогава разстоянията от нея до страните на ъгъла са равни.
2. Ако в даден момент разстоянията до страните на ъгъла са равни, тогава тази точка задължителнолежи върху ъглополовящата.

Виждате ли разликата между твърдения 1 и 2? Ако не, тогава си спомнете Шапкаря от Алиса в страната на чудесата: „Значи все още имаш да кажеш нещо хубаво, сякаш „виждам това, което ям“ и „ям това, което виждам“ са едно и също!

И така, трябва да докажем твърдения 1 и 2 и след това твърдението: "полополовящата е мястото на точки, еднакво отдалечени от страните на ъгъла" ще бъде доказано!

Защо 1 е вярно?

Вземете произволна точка от ъглополовящата и я назовете.

Нека пуснем перпендикулярите от тази точка към страните на ъгъла.

А сега... пригответе се да запомните знаците за равенство на правоъгълните триъгълници! Ако сте ги забравили, тогава разгледайте секцията.

И така ... два правоъгълни триъгълника: и. Те имат:

• Обща хипотенуза.
• (защото - ъглополовяща!)

Това означава – по ъгъл и хипотенуза. Следователно съответните катети на тези триъгълници са равни! Това е.

Доказано е, че точката е еднакво (или еднакво) отдалечена от страните на ъгъла. С подредена точка 1. Сега да преминем към точка 2.

Защо 2 е вярно?

И свържете точките и.

Така че, тоест лежи върху ъглополовящата!

Това е всичко!

Как всичко това може да се приложи към решаването на проблеми? Например, в проблемите често има такава фраза: „Кръгът докосва страните на ъгъла….“. Е, и трябва да намериш нещо.

Бързо осъзнаваш това

И можете да използвате равенство.

3. Три ъглополовящи в триъгълник се пресичат в една точка

От свойството на ъглополовящата да е място на точки, еднакво отдалечени от страните на ъгъла, следва следното твърдение:

Как точно следва? Но вижте: две ъглополовящи определено ще се пресичат, нали?

И третата ъглополовяща може да бъде така:

Но всъщност всичко е много по-добре!

Нека разгледаме пресечната точка на две ъглополовящи. Да го наречем.

Какво използвахме тук и двата пъти? да параграф 1, разбира се! Ако точката лежи върху ъглополовящата, тогава тя е еднакво отдалечена от страните на ъгъла.

Така се оказа и.

Но погледнете внимателно тези две равенства! В крайна сметка от тях следва, че и, следователно,.

Но сега ще влезе в действие точка 2: ако разстоянията до страните на ъгъла са равни, тогава точката лежи върху ъглополовящата ... какъв е ъгълът? Вижте отново снимката:

и са разстоянията до страните на ъгъла и са равни, което означава, че точката лежи върху ъглополовящата на ъгъла. Третата сисектриса премина през същата точка! И трите ъглополовящи се пресичат в една точка! И като допълнителен подарък -

Радиус вписанакръгове.

(За да сте сигурни, вижте друга тема).

Е, сега никога няма да забравите:

Точката на пресичане на ъглополовящите на триъгълник е центърът на вписаната окръжност.

Преминаваме към следващия имот... Уау, и ъглополовящата има много свойства, нали? И това е страхотно, защото колкото повече свойства, толкова повече инструменти за решаване на задачи за ъглополовящата.

4. Симетрала и успоредност, ъглополовящи на съседни ъгли

Фактът, че ъглополовящата разделя ъгъла наполовина, в някои случаи води до напълно неочаквани резултати. Например,

Случай 1

Страхотно, нали? Нека разберем защо това е така.

От една страна правим ъглополовящата!

Но, от друга страна, като кръстосани ъгли (запомнете темата).

И сега се оказва, че; изхвърлете средата:! - равнобедрен!

Случай 2

Представете си триъгълник (или погледнете снимката)

Нека продължим страната за точка. Сега имаме два ъгъла:

• - вътрешен ъгъл
• - външният ъгъл - отвън е, нали?

И така, сега някой искаше да начертае не една, а две ъглополовящи наведнъж: за и за. Какво ще се случи?

И ще се окаже правоъгълна!

Изненадващо, това е точно така.

Разбиране.

Каква според вас е сумата?

Разбира се, защото всички заедно образуват такъв ъгъл, че се оказва права линия.

И сега запомнете, че и са ъглополовящи и вижте, че вътре в ъгъла има точно наполовинаот сбора на четирите ъгъла: и - - тоест точно. Можете също да напишете уравнението:

Така че, невероятно, но факт:

Ъгълът между ъглополовящите на вътрешния и външния ъгъл на триъгълника е.

Случай 3

Виждате ли, че тук всичко е същото като за вътрешните и външните ъгли?

Или помислете отново защо е така?

Отново, що се отнася до съседните ъгли,

(както съвпадат на паралелни бази).

И отново гримирайте се точно половинатаот сумата

заключение:Ако задачата съдържа ъглополовящи свързаниъгли или бисектриси съответнитеъгли на успоредник или трапец, тогава в тази задача със сигурностучаства правоъгълен триъгълник и може би дори цял правоъгълник.

5. Симетрала и противоположна страна

Оказва се, че ъглополовящата на ъгъла на триъгълника разделя противоположната страна не по някакъв начин, а по специален и много интересен начин:

Това е:

Удивителен факт, нали?

Сега ще докажем този факт, но се пригответе: ще бъде малко по-трудно от преди.

Отново - излизане в космоса - допълнителна конструкция!

Да начертаем права линия.

За какво? ще видим сега.

Продължете ъглополовящата до пресечната точка с правата линия.

Звучи ли ви познато? Да, да, да, по същия начин, както в параграф 4, случай 1 - оказва се, че (е ъглополовящата)

Като лежа на кръст

Означава - това също.

Сега нека разгледаме триъгълниците и.

Какво можете да кажете за тях?

Те са подобни. Е, да, те имат същите ъгли като вертикалните. Следователно, в два ъгъла.

Сега имаме право да напишем отношенията на съответните страни.

И сега накратко:

Оу! Прилича на нещо, нали? Не е ли това, което искахме да докажем? Да това е!

Виждате колко страхотно се е доказал „изходът в космоса“ – изграждането на допълнителна права линия – без него нищо нямаше да стане! И така, ние го доказахме

Сега можете безопасно да го използвате! Нека анализираме още едно свойство на ъглите на ъглите на триъгълника - не се тревожете, сега най-трудната част приключи - ще бъде по-лесно.

Ние разбираме това

Теорема 1:

Теорема 2:

Теорема 3:

Теорема 4:

Теорема 5:

Теорема 6:

Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега идва най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И отново, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от абсолютното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

Да издържи успешно изпита, да влезе в института на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това са статистики.

Но и това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се откриват още толкова много възможности и животът става по-ярък? Не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да бъдете със сигурност по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?

ВЗЕМЕТЕ РЪЧНО РЕШАВАНЕ НА ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решаване на проблеми за известно време.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), със сигурност ще отидете някъде глупаво сбъркано или просто няма да имате време.

Това е като в спорта – трябва да го повтаряш отново и отново, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция, където искате, задължително с решения, подробен анализи решавай, решавай, решавай!

Можете да използвате нашите задачи (по избор) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да напълните ръката си с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

Как? Има две възможности:

1. Споделете всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - Купете учебник - 899 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и достъпът за всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори наведнъж.

Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не се спирайте на теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.

Намерете проблеми и ги решавайте!

В този урок ще разгледаме подробно какви свойства притежават точките, лежащи върху ъглополовящата на ъгъла, и точките, които лежат в средния перпендикуляр на отсечката.

Тема: Кръг

Урок: Свойства на ъглополовящата и перпендикуляра на отсечката

Разгледайте свойствата на точка, лежаща върху ъглополовящата на ъгъл (виж фиг. 1).

Ориз. един

Даден е ъгъл, неговата ъглополовяща е AL, точка M лежи върху ъглополовящата.

теорема:

Ако точка M лежи върху ъглополовящата на ъгъла, тогава тя е еднакво отдалечена от страните на ъгъла, тоест разстоянията от точка M до AC и BC на страните на ъгъла са равни.

доказателство:

Помислете за триъгълници и. Това са правоъгълни триъгълници и са равни, т.к имат обща хипотенуза AM, а ъглите и са равни, тъй като AL е ъглополовящата на ъгъла. По този начин правоъгълните триъгълници са равни по хипотенуза и остър ъгъл, от което следва, че както се изисква. По този начин една точка върху ъглополовящата на ъгъл е еднакво отдалечена от страните на този ъгъл.

Обратната теорема е вярна.

Ако една точка е еднакво отдалечена от страните на неразвит ъгъл, тогава тя лежи върху неговата ъглополовяща.

Ориз. 2

Задава се неразвит ъгъл, точка M, така че разстоянието от него до страните на ъгъла да е същото (виж фиг. 2).

Докажете, че точка M лежи върху ъглополовящата на ъгъла.

доказателство:

Разстоянието от точка до права линия е дължината на перпендикуляр. Нека начертаем от точка M перпендикулярите MK към страната AB и MP към страната AC.

Помислете за триъгълници и. Това са правоъгълни триъгълници и са равни, т.к имат обща хипотенуза AM, катети MK и MR са равни по условие. По този начин правоъгълните триъгълници са равни по хипотенуза и катет. От равенството на триъгълниците следва равенството на съответните елементи, има равни ъгли срещу равни крака, следователно, , следователно, точка M лежи върху ъглополовящата на този ъгъл.

Преките и обратните теореми могат да се комбинират.

Теорема

Симетралата на неразвит ъгъл е мястото на точки, еднакво отдалечени от страните на даден ъгъл.

Теорема

Симетралите AA 1, BB 1, CC 1 на триъгълника се пресичат в една точка O (виж фиг. 3).

Ориз. 3

доказателство:

Нека първо разгледаме две ъглополовящи BB 1 и CC 1. Те се пресичат, пресечната точка O съществува. За да докажем това, да предположим обратното - нека дадените ъглополовящи не се пресичат, в този случай те са успоредни. Тогава правата BC е секуща и сумата от ъглите , това противоречи на факта, че целият триъгълник е сбор от ъглите.

И така, точката O на пресичане на две ъглополовящи съществува. Помислете за неговите свойства:

Точка O лежи върху ъглополовящата на ъгъла, което означава, че е еднакво отдалечена от неговите страни BA и BC. Ако OK е перпендикулярно на BC, OL е перпендикулярно на VA, тогава дължините на тези перпендикуляри са -. Също така, точка O лежи върху ъглополовящата на ъгъла и е еднакво отдалечена от неговите страни CВ и CA, перпендикулярите ОМ и ОК са равни.

Получаваме следните равенства:

, тоест и трите перпендикуляра, изпуснати от точка O към страните на триъгълника, са равни един на друг.

Интересуваме се от равенството на перпендикулярите OL и OM. Това равенство казва, че точка O е еднакво отдалечена от страните на ъгъла, от което следва, че лежи върху неговата ъглополовяща AA 1.

Така доказахме, че и трите ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка.

Нека да преминем към разглеждане на сегмент, неговия перпендикуляр на средна точка и свойствата на точка, която лежи върху перпендикуляра на средната точка.

Даден е отсечката AB, p е средната точка на перпендикуляра. Това означава, че правата p минава през средата на отсечката AB и е перпендикулярна на него.

Теорема

Ориз. 4

Всяка точка, лежаща на средния перпендикуляр, е еднакво отдалечена от краищата на сегмента (виж фиг. 4).

Докажи това

доказателство:

Помислете за триъгълници и. Те са правоъгълни и равни, т.к имат общ катет OM, а краката AO и OB са равни по условие, така че имаме два правоъгълни триъгълника, равни в два катета. От това следва, че хипотенузите на триъгълниците също са равни, тоест както се изисква.

Обърнете внимание, че отсечката AB е обща хорда за много окръжности.

Например първата окръжност с център в точка M и радиус MA и MB; втора окръжност с център в точка N, радиус NA и NB.

Така доказахме, че ако една точка лежи в средата, перпендикулярна на отсечката, тя е еднакво отдалечена от краищата на отсечката (виж фиг. 5).

Ориз. 5

Обратната теорема е вярна.

Теорема

Ако някаква точка M е еднакво отдалечена от краищата на отсечката, тогава тя лежи върху перпендикуляра на този сегмент.

Даден е сегмент AB, перпендикулярът към него е p, точка M, еднакво отдалечена от краищата на отсечката (виж фиг. 6).

Докажете, че точката M лежи в средната точка, перпендикулярна на отсечката.

Ориз. 6

доказателство:

Помислете за триъгълник. Той е равнобедрен, както по условие. Помислете за медианата на триъгълника: точка O е средата на основата AB, OM е медианата. Според свойството на равнобедрен триъгълник медианата, изтеглена към основата му, е едновременно височината и ъглополовящата. Оттук следва, че. Но правата p също е перпендикулярна на AB. Знаем, че единственият перпендикуляр на отсечката AB може да бъде проведен на точка O, което означава, че правите OM и p съвпадат, от което следва, че точката M принадлежи на правата p, което е необходимо да се докаже.

Преките и обратните теореми могат да бъдат обобщени.

Теорема

Средната точка, перпендикулярна на отсечката, е мястото на точки, еднакво отдалечени от краищата му.

Както знаете, триъгълникът се състои от три сегмента, което означава, че в него могат да бъдат начертани три перпендикуляра. Оказва се, че се пресичат в една точка.

Средните перпендикуляри на триъгълника се пресичат в една точка.

Поставен е триъгълник. Перпендикуляри на страните му: Р 1 към страната BC, Р 2 към страната AC, Р 3 към страната AB (виж фиг. 7).

Докажете, че перпендикулярите Р 1, Р 2 и Р 3 се пресичат в точка O.

Министерство на образованието и науката на Република Татарстан

Дирекция Образование на Изпълнителния комитет

Общински район Бугулма на Република Татарстан

Бугулма

МБОУ СОУ No1 със задълбочено изучаване на отделни предмети

Клас: 9 А

Изследователска работа

тема:Ъгъл бисектриса на триъгълник

Ученик: Александров А.А

Ръководител: И. И. Чуканова

Бугулма, 2012 г

Съдържание.

1. Въведение …………………………………………………………………………3

2.Основна част:

2.1. Формулиране на теоремата за ъглополовящата на ъгъла на триъгълник …………… ... 4

2.2. Различни начини за доказване на теоремата за ъглополовящата на ъгъла на триъгълник ………………………………………………………………………………… ..

2.21. Метод на сходство ………………………………………………………………………

2.22. Метод на площ …………………………………………………………………… 5

2.23. Описаната окръжност ………………………………………………………… ..

2.24 Теорема за синусите. …………………………………………………………………… ... 6

2.25 Векторен метод …………………………………………………………………… 7

2.26. Доказателство с помощта на аксиална симетрия ……………………

2.3. Решаване на задачи за приложение ……………………………………………………… ..8

2.31. Решаване на задачи от учебника …………………………………………… ....

2.32. Решаване на олимпиадни задачи ………………………………………….

3. Заключение ………………………………………………………………...........10

4. Използвана литература …………………………………………………….11

1. Въведение.

Първите геометрични понятия възникват в праисторически времена. Човекът не само пасивно наблюдаваше природата, но практически усвоява и използва нейните богатства. Материалните нужди подтикнаха хората да правят инструменти, да режат камъни и да строят жилища, да извайват керамика и да изтеглят тетивата върху лък. Хората нарисуваха своите лъкове, правеха различни предмети с прави ръбове и постепенно стигнаха до абстрактното понятие за права линия.

Практическата човешка дейност послужи като основа за дълъг процес на развитие на абстрактни понятия, откриване на най-простите геометрични зависимости и връзки.

С течение на времето, когато се натрупат голям брой геометрични факти, хората имат нужда да обобщават, да разбират зависимостта на едни елементи от други, да установяват логически връзки и доказателства. Геометрията е станаланаука едва след появата на теореми и доказателства в нея.

Основните геометрични факти включват теоремата за ъглополовящата на ъгъла на триъгълник.

Теоремата за бисектриса на триъгълника често се използва за решаване на геометрични задачи. Теоремата е интересна, защото има много методи за доказването й (метод на подобие, метод на площ, метод на движение и т.н.). В тази статия предлагаме само 4 начина за доказване на тази забележителна теорема.

Целта и задачите на изследването:

Разгледайте доказателството на теоремата за бисектриса на триъгълника.

Научете се да работите с рисунки.

Решаване на задачи за приложението на теоремата.

Да съставя и решава задачи с практическо съдържание.

Главна част.

2.1. Формулиране на теоремата за ъглополовящата на ъгъла на триъгълник.

Теорема: Симетралата на вътрешния ъгъл на триъгълник се дели

противоположната страна на части, пропорционални

съседни страни на триъгълника.

АкоBDДали ъглополовящата ∆ABC, след това равенството.

2.2. Различни начини за доказване на теоремата за ъглополовящи

ъгъл на триъгълника.

2.21. Метод на сходство

Да начертаем права линиямуспоредна бисектрисаBD.

ABD =  DBC(отBD- ъглополовяща).

DBC = BCD₁ (отмǁ BDипр.н.е- секанс).

BD₁ ° С = ABD(отмǁ BDиBD₁ - секанс).

BCD₁ = BD₁ ° С.

Следователно ∆BCD₁ - равнобедрен=> пр.н.е= BD₁ .

∆ABD ∆ АД₁ ° С(на два ъгъла).

следователно:

Q.E.D.

2.22. Метод на площ.

Помислете за ∆ABDи ∆CBD.

С ∆ ABD : С ∆ CBD = АД : дC (тъй катоз- обща височина).

BDДали ъглополовящата ∆ABC... Всяка точка от ъглополовящатаBDна еднакво разстояние от

партии ∆ ABC... СредстваDH = DM- височини ∆ ABDи ∆CBD.

С ∆ ABD : С ∆ CBD = АБ : пр.н.е.

така: AB: BC = AD: DС=> AB: AD = BC: DС.

Q.E.D.

2.23 Описаната окръжност.

Описваме около ∆ABCкръг. Нека продължимBDпреди пресичане

кръг в точка Е.

∆BAE∆ BDC(на два ъгъла). означава: (1).

∆пр.н.е∆ ЛОШО(на два ъгъла). означава: (2).

Тъй като ∆ACE- равнобедрен, значиAE = CE... ТогаваAB ∙ DC = BC ∙ AD=>

Q.E.D.

2.24. По теоремата на синусите.

В триъгълникABCABD =  DBC = β (отBDДали ъглополовящата ∆ABC).

Помислете за ∆ABD... По теоремата на синусите: (1).

Помислете за ∆BCD... По теоремата на синусите:

(2).

следователно:.

Q.E.D.

2.25 Векторен метод.

За всяка точка D от отсечката AC, векторът ,

къдеток = и 1-к = .

Наистина ли,

В нашия случай векторът успоредно на вектора ∙ + ∙ ,

и следователно = : , тогава = , където = .

Q.E.D.

2.26 Осова симетрия.

Извършете аксиална симетрияСтриъгълникABCотносителноBD,

получиС BD (А) = А 1 , С BD (C) = C 1 иС BD (B) = B.

Тогава ∆CDC 1 ∆ ADA 1 (под два ъгъла) и ∆ CC 1 Б ∆ AA 1 Б(на два ъгъла).

АБ = А 1 Б(тъй като ∆ABA 1 - равнобедрен).

Тогава и ... следователно, .

Q.E.D.

2.3 Решаване на проблеми за приложението.

2.31 Задача от учебника.

Медианата и височината разделят триъгълника на три равни части. Намерете ъглите на триъгълника.

∆ ACH=∆ MCHпо протежение на крака и остър ъгъл.

Следователно, ∆ACM - равнобедрен, AH = HM. Нека AH = HM = a, MB = 2a.

По свойството на SM бисектриса ∆Хпр.н.е. имаме:. Тогава CB = 2СН,

РСВН = 30⁰ , RVSN = 60⁰ , β =30 ⁰ , РС = 90⁰

Отговор: 30⁰ , 60 ⁰ , 90 ⁰ .

2.32 Олимпийски проблем.

В триъгълник ABC точките M и N са отбелязани на страните AB и BC съответно с BM = BN. През точка M е проведена права, перпендикулярна на BC, а през точка N - права, перпендикулярна на AB. Тези прави се пресичат в точка O. Продължението на отсечката BO пресича страната AC в точка P и я разделя на отсечки AP = 5 и PC = 4. Намерете дължината на отсечката BP, ако е известно, че BC = 6.

дадено:

BC = 6cm, VK = 4cm, VK- бисектриса ∆ ABC.

KS = 3 см,Р ∆ BKC= 1 см.С ∆ ABC= 60 см².

Намерете: AB.

Решение:

1. 3. Площите на триъгълници с еднакви височини се наричат

В тази статия, давайки различни методи за това доказателство, показах колко универсална е теоремата.

Лесно е за разбиране, но в същото време ми помага при решаването на много сложни и объркващи проблеми.

След като изучавах тази теорема, открих много нови неща за себе си, разширих знанията си и мисля, че проправих пътя за по-нататъшното изучаване на геометрията..

4. Използвана литература.

Приложение към списание QUANT №1 / 1995г.

Статии: L.N.Smolyakov. Още 13 доказателства на теоремата

ъглополовящата. // Квант, № 2.1985.

С.Р.Сефибеков. Четири доказателства на теоремата

ъглополовящата. // Квант, бр.8, 1983г.

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, И. И.

Юдин. Учебник за учебни заведения.

Образование, 2003г.

И.Ф.Шаригин. Геометрия 7-9 клас. Москва, издателство

Дропла, 1997 г.

Единна колекция на Центъра за ORC.

G.K. Pak "Бисектриса". Поредица: Подготовка за математика

олимпиада. Владивосток, 2003 г.