Аритметична прогресия: какво е това? Формула на n-тия член на аритметична прогресия. Формула на сумата от n на аритметична прогресия.

Например последователността \(2\); \(5\); \(8\); \(единадесет\); \(14\)… е аритметична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предходния с три (може да се получи от предишния чрез добавяне на три):

В тази прогресия разликата \(d\) е положителна (равна на \(3\)) и следователно всеки следващ член е по-голям от предишния. Такива прогресии се наричат повишаване на.

Въпреки това \(d\) може да бъде и отрицателно число. Например, в аритметична прогресия \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разликата в прогресията \(d\) е равна на минус шест.

И в този случай всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Тези прогресии се наричат намаляващи.

Нотиране на аритметична прогресия

Прогресията се обозначава с малка латинска буква.

Числата, които образуват прогресия, се наричат членове(или елементи).

Те се обозначават със същата буква като аритметичната прогресия, но с цифров индекс, равен на номера на елемента по ред.

Например, аритметичната прогресия \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) се състои от елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така нататък.

С други думи, за прогресията \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Решаване на задачи в аритметична прогресия

По принцип горната информация вече е достатъчна за решаване на почти всеки проблем с аритметична прогресия (включително предлаганите в OGE).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията \(b_1=7; d=4\). Намерете \(b_5\).
Решение:

Отговор: \(b_5=23\)

Пример (OGE). Дадени са първите три члена на една аритметична прогресия: \(62; 49; 36…\) Намерете стойността на първия отрицателен член на тази прогресия..
Решение:

	Дадени са ни първите елементи на редицата и знаем, че тя е аритметична прогресия. Тоест всеки елемент се различава от съседния с едно и също число. Разберете кой, като извадите предишния от следващия елемент: \(d=49-62=-13\).
	Сега можем да възстановим нашата прогресия до желания (първи отрицателен) елемент.
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени са няколко последователни елемента от аритметична прогресия: \(...5; x; 10; 12,5...\) Намерете стойността на елемента, означен с буквата \(x\).
Решение:

	За да намерим \(x\), трябва да знаем колко се различава следващият елемент от предишния, с други думи, разликата в прогресията. Нека го намерим от два познати съседни елемента: \(d=12,5-10=2,5\).
	И сега намираме това, което търсим без никакви проблеми: \(x=5+2.5=7.5\).
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от следните условия: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Намерете сумата от първите шест члена на тази прогресия.
Решение:

	Трябва да намерим сумата от първите шест члена на прогресията. Но ние не знаем техните значения, даден ни е само първият елемент. Затова първо изчисляваме стойностите на свой ред, като използваме дадените ни: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) И след като изчислим шестте елемента, от които се нуждаем, намираме тяхната сума.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Исканата сума е намерена.

Отговор: \(S_6=9\).

Пример (OGE). В аритметична прогресия \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Намерете разликата на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(d=7\).

Важни формули за аритметична прогресия

Както можете да видите, много проблеми с аритметичната прогресия могат да бъдат решени просто чрез разбиране на основното - че аритметичната прогресия е верига от числа и всеки следващ елемент в тази верига се получава чрез добавяне на същото число към предишното (разликата на прогресията).

Въпреки това, понякога има ситуации, когато е много неудобно да се реши "на челото". Например, представете си, че в първия пример трябва да намерим не петия елемент \(b_5\), а триста осемдесет и шестия \(b_(386)\). Какво е, ние \ (385 \) пъти да добавим четири? Или си представете, че в предпоследния пример трябва да намерите сумата от първите седемдесет и три елемента. Броенето е объркващо...

Следователно в такива случаи те не решават „на чело“, а използват специални формули, получени за аритметична прогресия. И основните от тях са формулата за n-тия член на прогресията и формулата за сумата \(n\) на първите членове.

Формула за \(n\)-тия член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), където \(a_1\) е първият член на прогресията;
\(n\) – номер на търсения елемент;
\(a_n\) е член на прогресията с номер \(n\).

Тази формула ни позволява бързо да намерим поне тристотния, дори милионния елемент, знаейки само първия и разликата в прогресията.

Пример. Аритметичната прогресия се дава от условията: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Намерете \(b_(246)\).
Решение:

Отговор: \(b_(246)=1850\).

Формулата за сбора на първите n члена е: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), където

\(a_n\) е последният сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията \(a_n=3.4n-0.6\). Намерете сумата от първите \(25\) членове на тази прогресия.
Решение:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		За да изчислим сумата на първите двадесет и пет елемента, трябва да знаем стойността на първия и двадесет и петия член. Нашата прогресия се дава по формулата на n-тия член в зависимост от неговия номер (вижте подробности). Нека изчислим първия елемент, като заменим \(n\) с единица.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Сега нека намерим двадесет и петия член, като заместим двадесет и пет вместо \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Е, сега изчисляваме необходимата сума без никакви проблеми.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Отговорът е готов.

Отговор: \(S_(25)=1090\).

За сумата \(n\) от първите членове можете да получите друга формула: просто трябва да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) вместо \(a_n\) заменете формулата за него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получаваме:

Формулата за сбора на първите n члена е: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), където

\(S_n\) – исканата сума \(n\) на първите елементи;
\(a_1\) е първият член, който трябва да се сумира;
\(d\) – разлика в прогресията;
\(n\) - броят на елементите в сумата.

Пример. Намерете сумата от първите \(33\)-ex членове на аритметичната прогресия: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

Отговор: \(S_(33)=-231\).

По-сложни задачи с аритметична прогресия

Сега разполагате с цялата необходима информация, за да решите почти всеки проблем с аритметична прогресия. Нека завършим темата, като разгледаме задачи, в които трябва не само да прилагате формули, но и да мислите малко (в математиката това може да бъде полезно ☺)

Пример (OGE). Намерете сумата от всички отрицателни членове на прогресията: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Задачата е много подобна на предишната. Започваме да решаваме по същия начин: първо намираме \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Сега бихме заместили \(d\) във формулата за сумата ... и тук изскача малък нюанс - не знаем \(n\). С други думи, не знаем колко термина ще трябва да се добавят. Как да разберем? Нека да помислим. Ще спрем да добавяме елементи, когато стигнем до първия положителен елемент. Тоест, трябва да разберете броя на този елемент. как? Нека запишем формулата за изчисляване на всеки елемент от аритметична прогресия: \(a_n=a_1+(n-1)d\) за нашия случай.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Трябва \(a_n\) да е по-голямо от нула. Нека да разберем за какво \(n\) ще се случи това.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Разделяме двете страни на неравенството на \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Прехвърляме минус едно, като не забравяме да сменим знаците
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Изчисляване...
\(n>65 333…\)		… и се оказва, че първият положителен елемент ще има числото \(66\). Съответно последният отрицателен има \(n=65\). За всеки случай нека да го проверим.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Следователно трябва да добавим първите \(65\) елемента.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Отговорът е готов.

Отговор: \(S_(65)=-630,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Намерете сумата от \(26\)-ия до \(42\) елемент включително.
Решение:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	В тази задача също трябва да намерите сумата от елементи, но започвайки не от първия, а от \(26\)-ия. Нямаме формула за това. Как да решим? Лесно - за да получите сбора от \(26\)-та до \(42\)-та, първо трябва да намерите сумата от \(1\)-та до \(42\)-та и след това да извадите от нея сумата от първият до \ (25 \) ти (вижте снимката).
	За нашата прогресия \(a_1=-33\) и разликата \(d=4\) (все пак добавяме четири към предишния елемент, за да намерим следващия). Знаейки това, намираме сумата от първите \(42\)-uh елементи.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Сега сумата от първите \(25\)-ти елементи.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	И накрая изчисляваме отговора.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Отговор: \(S=1683\).

За аритметична прогресия има още няколко формули, които не сме разгледали в тази статия поради тяхната ниска практическа полезност. Можете обаче лесно да ги намерите.

Каква е същността на формулата?

Тази формула ви позволява да намерите всякакви ПО НЕГОВИЯ НОМЕР" н" .

Разбира се, трябва да знаете първия член а 1и разлика в прогресията д, добре, без тези параметри не можете да запишете конкретна прогресия.

Не е достатъчно да запомните (или да измамите) тази формула. Необходимо е да се асимилира нейната същност и да се приложи формулата в различни задачи. Да, и не забравяйте в точното време, да ...) Как не забравяйте- Не знам. И тук как да запомнитеАко трябва, ще ви подскажа. За тези, които усвояват урока до края.)

И така, нека се заемем с формулата на n-тия член на аритметичната прогресия.

Какво е формула като цяло - ние си представяме.) Какво е аритметична прогресия, членно число, прогресивна разлика - е ясно казано в предишния урок. Погледнете, ако не сте го чели. Там всичко е просто. Остава да разберем какво n-ти член.

Прогресията като цяло може да бъде записана като поредица от числа:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

а 1- обозначава първия член на аритметичната прогресия, а 3- трети член а 4- четвърти и т.н. Ако се интересуваме от петия мандат, да кажем, че работим с а 5, ако сто и двадесети - от 120.

Как да се определи най-общо всякаквичлен на аритметична прогресия, s всякаквиномер? Много просто! Като този:

a n

Това е, което е n-ти член на аритметична прогресия.Под буквата n всички номера на членовете са скрити наведнъж: 1, 2, 3, 4 и т.н.

И какво ни дава такъв рекорд? Само си помислете, че вместо число те записаха буква ...

Тази нотация ни дава мощен инструмент за работа с аритметични прогресии. Използване на нотацията a n, можем бързо да намерим всякаквичлен всякаквиаритметична прогресия. И куп задачи за решаване в прогресия. Ще видите по-нататък.

Във формулата на n-тия член на аритметична прогресия:

a n = a 1 + (n-1)d

а 1- първият член на аритметичната прогресия;

н- членски номер.

Формулата свързва ключовите параметри на всяка прогресия: a n ; a 1; дИ н. Около тези параметри всички пъзели се въртят в прогресия.

Формулата на n-тия член може също да се използва за записване на конкретна прогресия. Например в задачата може да се каже, че прогресията е дадена от условието:

a n = 5 + (n-1) 2.

Такъв проблем може дори да обърка ... Няма серия, няма разлика ... Но, сравнявайки условието с формулата, е лесно да разберем, че в тази прогресия a 1 \u003d 5 и d \u003d 2.

И може да бъде още по-ядосан!) Ако вземем същото условие: a n = 5 + (n-1) 2,да, отвори скобите и дай подобни? Получаваме нова формула:

an = 3 + 2n.

Това Само не общо, а за конкретна прогресия. Тук се крие капанът. Някои хора смятат, че първият член е тройка. Въпреки че в действителност първият член е пет ... Малко по-ниско ще работим с такава модифицирана формула.

В задачите за прогресия има друго обозначение - a n+1. Това е, познахте, членът "n плюс първия" на прогресията. Значението му е просто и безвредно.) Това е член на прогресията, чийто брой е по-голям от числото n с единица. Например, ако в някакъв проблем приемаме за a nпети мандат, тогава a n+1ще бъде шестият член. и т.н.

Най-често обозначението a n+1среща се в рекурсивни формули. Не се страхувайте от тази ужасна дума!) Това е просто начин за изразяване на термин от аритметична прогресия през предишния.Да предположим, че ни е дадена аритметична прогресия в тази форма, използвайки рекурентната формула:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Четвъртият - през трети, петият - през четвърти и т.н. И как да преброим веднага, да кажем двадесетия член, а 20? Но няма начин!) Докато 19-ият мандат не е известен, 20-ият не може да се брои. Това е фундаменталната разлика между рекурсивната формула и формулата на n-тия член. Рекурсивно работи само чрез предишентермин, а формулата на n-тия член - чрез първии позволява незабавнонамерете всеки член по неговия номер. Без да броим цялата поредица от числа по ред.

В аритметична прогресия една рекурсивна формула може лесно да се превърне в правилна. Пребройте чифт последователни членове, изчислете разликата д,намерете, ако е необходимо, първия член а 1, напишете формулата в обичайната форма и работете с нея. В GIA често се срещат такива задачи.

Приложение на формулата на n-тия член на аритметична прогресия.

Първо, нека да разгледаме директното приложение на формулата. В края на предишния урок имаше проблем:

Дадена е аритметична прогресия (a n). Намерете 121, ако a 1 =3 и d=1/6.

Този проблем може да бъде решен без никакви формули, просто въз основа на значението на аритметичната прогресия. Добавете, да добавете ... Час или два.)

И според формулата решението ще отнеме по-малко от минута. Можете да го засечете.) Ние решаваме.

Условията предоставят всички данни за използване на формулата: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.Остава да видим какво н.Няма проблем! Трябва да намерим 121. Тук пишем:

Моля, обърни внимание! Вместо индекс нсе появи конкретно число: 121. Което е съвсем логично.) Интересува ни членът на аритметичната прогресия номер сто и двадесет и едно.Това ще бъде нашето н.Това е смисълът н= 121 ще заместим по-нататък във формулата, в скоби. Заменете всички числа във формулата и изчислете:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Това е всичко. Също толкова бързо можеше да се намери петстотин и десетият член, а хиляда и третият, всеки. Ние поставяме вместо нжелания номер в индекса на буквата " а"и в скоби, и считаме.

Нека ви напомня същността: тази формула ви позволява да намерите всякаквичлен на аритметична прогресия ПО НЕГОВИЯ НОМЕР" н" .

Нека решим проблема по-умно. Да кажем, че имаме следния проблем:

Намерете първия член на аритметичната прогресия (a n), ако a 17 =-2; d=-0,5.

Ако имате затруднения, ще ви предложа първата стъпка. Запишете формулата за n-тия член на аритметична прогресия!Да да. Напишете на ръка, направо в бележника си:

a n = a 1 + (n-1)d

И сега, гледайки буквите на формулата, разбираме какви данни имаме и какво липсва? На разположение d=-0,5,има седемнадесети член ... Всичко? Ако мислите, че това е всичко, тогава не можете да разрешите проблема, да ...

Имаме и номер н! В състояние а 17 =-2скрит два варианта.Това е както стойността на седемнадесетия член (-2), така и неговия номер (17). Тези. n=17.Това „малкото нещо“ често се изплъзва покрай главата и без него (без „малкото нещо“, а не главата!) проблемът не може да бъде решен. Въпреки че ... и без глава.)

Сега можем просто да заменим нашите данни във формулата:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

О да, а 17знаем, че е -2. Добре, нека го поставим в:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Това по същество е всичко. Остава да изразим първия член на аритметичната прогресия от формулата и да изчислим. Получавате отговора: а 1 = 6.

Такава техника - писане на формула и просто заместване на известни данни - помага много при прости задачи. Е, трябва, разбира се, да можете да изразите променлива от формула, но какво да правите!? Без това умение математиката изобщо не може да се изучава ...

Друг популярен проблем:

Намерете разликата на аритметичната прогресия (a n), ако a 1 =2; а 15 =12.

Какво правим? Ще се изненадате, ние пишем формулата!)

a n = a 1 + (n-1)d

Помислете какво знаем: a 1 =2; а 15 =12; и (специален акцент!) n=15. Чувствайте се свободни да замените във формулата:

12=2 + (15-1)d

Нека направим аритметиката.)

12=2 + 14d

д=10/14 = 5/7

Това е правилният отговор.

И така, задачи a n, a 1И дреши. Остава да научите как да намерите номера:

Числото 99 е член на аритметична прогресия (a n), където a 1 =12; d=3. Намерете номера на този член.

Заместваме известните количества във формулата на n-тия член:

a n = 12 + (n-1) 3

На пръв поглед тук има две неизвестни величини: a n и n.Но a nе някакъв член на прогресията с числото н... И този член на прогресията познаваме! 99 е. Не знаем номера му. н,така че това число също трябва да бъде намерено. Заместете прогресивния член 99 във формулата:

99 = 12 + (n-1) 3

Изразяваме от формулата н, мислим. Получаваме отговора: n=30.

А сега проблем на същата тема, но по-креативен):

Определете дали числото 117 ще бъде член на аритметична прогресия (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Нека напишем формулата отново. Какво, няма опции? Хм... Защо ни трябват очи?) Виждаме ли първия член на прогресията? Виждаме. Това е -3,6. Можете спокойно да напишете: a 1 \u003d -3,6.Разлика дможе да се определи от серията? Лесно е, ако знаете каква е разликата между аритметичната прогресия:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Да, направихме най-простото нещо. Остава да се справим с неизвестен номер ни неразбираемо число 117. В предишната задача поне се знаеше, че е даден членът на прогресията. Но тук дори не знаем, че ... Как да бъдем!? Е, как да бъде, как да бъде ... Включете творческите си способности!)

Ние предполагамче 117 в крайна сметка е член на нашата прогресия. С непознат номер н. И точно както в предишната задача, нека се опитаме да намерим това число. Тези. пишем формулата (да-да!)) и заместваме нашите числа:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Отново изразяваме от формулатан, броим и получаваме:

Опа! Номерът се получи дробна!Сто и една и половина. И дробни числа в прогресии не може да бъде.Какъв извод правим? да Номер 117 не ечлен на нашата прогресия. Това е някъде между 101-ия и 102-ия член. Ако числото се оказа естествено, т.е. положително цяло число, тогава числото ще бъде член на прогресията с намереното число. И в нашия случай отговорът на проблема ще бъде: Не.

Задача, базирана на реална версия на GIA:

Аритметичната прогресия се дава от условието:

a n \u003d -4 + 6,8n

Намерете първия и десетия член на прогресията.

Тук прогресията е зададена по необичаен начин. Някаква формула ... Случва се.) Въпреки това, тази формула (както написах по-горе) - също и формулата на n-тия член на аритметична прогресия!Тя също позволява намерете всеки член на прогресията по неговия номер.

Търсим първия член. Този, който мисли. че първият член е минус четири, е фатална грешка!) Тъй като формулата в задачата е модифицирана. Първият член на аритметична прогресия в него скрит.Нищо, сега ще го намерим.)

Точно както в предишните задачи, ние заместваме n=1в тази формула:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Тук! Първият член е 2,8, а не -4!

По подобен начин търсим десетия член:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Това е всичко.

А сега, за тези, които са прочели до тези редове, обещаният бонус.)

Да предположим, че в трудна бойна ситуация на GIA или Единния държавен изпит сте забравили полезната формула на n-тия член на аритметичната прогресия. Нещо ми хрумва, но някак несигурно... Дали нтам, или n+1, или n-1...Как да бъде!?

Спокоен! Тази формула е лесна за извеждане. Не много строго, но определено достатъчно за увереност и правилно решение!) За заключение е достатъчно да запомните елементарното значение на аритметичната прогресия и да имате няколко минути време. Просто трябва да нарисувате картина. За яснота.

Начертаваме цифрова ос и отбелязваме първата върху нея. втори, трети и т.н. членове. И забележете разликата дмежду членовете. Като този:

Гледаме картината и си мислим: на какво е равен вторият член? Второ един д:

а 2 =a 1 + 1 д

Какъв е третият член? треточлен е равен на първия член плюс две д.

а 3 =a 1 + 2 д

Схващаш ли? Не слагам някои думи с удебелен шрифт за нищо. Добре, още една стъпка.)

Какъв е четвъртият член? Четвърточлен е равен на първия член плюс три д.

а 4 =a 1 + 3 д

Време е да осъзнаем, че броят на пропуските, т.е. д, Винаги с един по-малко от номера на члена, който търсите н. Тоест до бройката n, брой празнинище n-1.И така, формулата ще бъде (без опции!):

a n = a 1 + (n-1)d

Като цяло, визуалните изображения са много полезни при решаването на много задачи по математика. Не пренебрегвайте снимките. Но ако е трудно да нарисувате картина, тогава ... само формула!) В допълнение, формулата на n-тия член ви позволява да свържете целия мощен арсенал от математика към решението - уравнения, неравенства, системи и т.н. Не можете да поставите картина в уравнение...

Задачи за самостоятелно решаване.

За загряване:

1. В аритметична прогресия (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Намерете 3.

Подсказка: според снимката проблемът се решава за 20 секунди ... Според формулата се оказва по-трудно. Но за овладяването на формулата е по-полезно.) В раздел 555 този проблем е решен както чрез картината, така и чрез формулата. Почувствай разликата!)

И това вече не е загрявка.)

2. В аритметична прогресия (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Намерете a 3 .

Какво, нежелание да нарисуваш картина?) Все пак! По-добра формула, да...

3. Аритметичната прогресия се дава от условието:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сто двадесет и петия член на тази прогресия.

В тази задача прогресията се дава по повтарящ се начин. Но като броим до сто двадесет и петия член... Не всеки може да направи такъв подвиг.) Но формулата на n-тия член е по силите на всеки!

4. Дадена е аритметична прогресия (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Намерете номера на най-малкия положителен член на прогресията.

5. Съгласно условието на задача 4 да се намери сумата от най-малкия положителен и най-големия отрицателен член на прогресията.

6. Произведението от петия и дванадесетия член на нарастваща аритметична прогресия е -2,5, а сумата от третия и единадесетия член е нула. Намерете 14.

Не е най-лесната задача, да ...) Тук методът "на пръстите" няма да работи. Трябва да пишете формули и да решавате уравнения.

Отговори (в безпорядък):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Се случи? Това е хубаво!)

Не всичко се получава? Случва се. Между другото, в последната задача има една тънка точка. Ще се изисква внимание при четене на проблема. И логика.

Решението на всички тези проблеми е разгледано подробно в раздел 555. И фантастичният елемент за четвъртия, и финият момент за шестия, и общите подходи за решаване на всякакви проблеми за формулата на n-тия член - всичко е боядисано. Препоръчвам.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Някой третира думата "прогресия" с повишено внимание, като много сложен термин от разделите на висшата математика. Междувременно най-простата аритметична прогресия е работата на брояча на такситата (където те все още остават). И да се разбере същността (а в математиката няма нищо по-важно от „да се разбере същността“) на една аритметична последователност не е толкова трудно, като се анализират няколко елементарни понятия.

Математическа числова последователност

Прието е числовата последователност да се нарича поредица от числа, всяко от които има свой номер.

и 1 е първият член на последователността;

и 2 е вторият член на последователността;

и 7 е седмият член на редицата;

и n е n-тият член на последователността;

Въпреки това, не всеки произволен набор от цифри и числа ни интересува. Ще насочим вниманието си към числова редица, в която стойността на n-тия член е свързана с неговия пореден номер чрез зависимост, която може да бъде ясно формулирана математически. С други думи: числовата стойност на n-то число е някаква функция на n.

a - стойност на член на числовата редица;

n е неговият сериен номер;

f(n) е функция, където порядъкът в числовата последователност n е аргументът.

Определение

Аритметична прогресия обикновено се нарича числова последователност, в която всеки следващ член е по-голям (по-малък) от предходния със същото число. Формулата за n-тия член на аритметична последователност е следната:

a n - стойността на текущия член на аритметичната прогресия;

a n+1 - формулата на следващото число;

d - разлика (определено число).

Лесно е да се определи, че ако разликата е положителна (d>0), тогава всеки следващ член на разглежданата серия ще бъде по-голям от предишния и такава аритметична прогресия ще нараства.

На графиката по-долу е лесно да се види защо числовата последователност се нарича "нарастваща".

В случаите, когато разликата е отрицателна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Стойността на посочения член

Понякога е необходимо да се определи стойността на произволен член a n от аритметична прогресия. Можете да направите това, като изчислите последователно стойностите на всички членове на аритметичната прогресия, от първия до желания. Този начин обаче не винаги е приемлив, ако например е необходимо да се намери стойността на петхилядната или осеммилионната дума. Традиционното изчисление ще отнеме много време. Въпреки това, специфична аритметична прогресия може да бъде изследвана с помощта на определени формули. Има и формула за n-тия член: стойността на всеки член на аритметична прогресия може да се определи като сбор от първия член на прогресията с разликата на прогресията, умножена по броя на желания член, минус едно .

Формулата е универсална за увеличаване и намаляване на прогресията.

Пример за изчисляване на стойността на даден член

Нека решим следната задача за намиране на стойността на n-тия член на аритметична прогресия.

Условие: има аритметична прогресия с параметри:

Първият член на редицата е 3;

Разликата в числовата серия е 1,2.

Задача: необходимо е да се намери стойността на 214 члена

Решение: за да определим стойността на даден член, използваме формулата:

a(n) = a1 + d(n-1)

Замествайки данните от формулировката на проблема в израза, имаме:

a(214) = a1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Отговор: 214-ият член на редицата е равен на 258,6.

Предимствата на този метод на изчисление са очевидни - цялото решение отнема не повече от 2 реда.

Сума от даден брой членове

Много често в дадена аритметична серия се изисква да се определи сумата от стойностите на някои от нейните сегменти. Освен това не е необходимо да изчислява стойностите на всеки термин и след това да ги сумира. Този метод е приложим, ако броят на членовете, чиято сума трябва да се намери, е малък. В други случаи е по-удобно да използвате следната формула.

Сумата от членовете на аритметична прогресия от 1 до n е равна на сумата от първия и n-тия член, умножена по числото на члена n и разделена на две. Ако във формулата стойността на n-тия член се замени с израза от предходния параграф на статията, получаваме:

Пример за изчисление

Например, нека решим задача със следните условия:

Първият член на редицата е нула;

Разликата е 0,5.

В задачата се изисква да се определи сумата от членовете на серията от 56 до 101.

Решение. Нека използваме формулата за определяне на сумата от прогресията:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Първо, определяме сумата от стойностите на 101 члена на прогресията, като заместваме дадените условия на нашия проблем във формулата:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Очевидно, за да се намери сумата от членовете на прогресията от 56-то до 101-во, е необходимо да се извади S 55 от S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Така че сборът от аритметичната прогресия за този пример е:

s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5

Пример за практическо приложение на аритметичната прогресия

В края на статията нека се върнем към примера на аритметичната последователност, дадена в първия параграф - таксиметър (таксиметров автомобил). Нека разгледаме такъв пример.

Качването в такси (което включва 3 км) струва 50 рубли. Всеки следващ километър се заплаща в размер на 22 рубли / км. Разстояние за пътуване 30 км. Изчислете цената на пътуването.

1. Да изхвърлим първите 3 км, чиято цена е включена в цената на кацане.

30 - 3 = 27 км.

2. По-нататъшното изчисление не е нищо повече от анализиране на аритметична числова серия.

Номерът на члена е броят на изминатите километри (минус първите три).

Стойността на члена е сумата.

Първият член в тази задача ще бъде равен на 1 = 50 рубли.

Разлика в прогресията d = 22 p.

числото, което ни интересува - стойността на (27 + 1)-ия член на аритметичната прогресия - показанието на измервателния уред в края на 27-ия километър - 27,999 ... = 28 км.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Изчисленията на календарни данни за произволно дълъг период се основават на формули, описващи определени числови последователности. В астрономията дължината на орбитата е геометрично зависима от разстоянието на небесното тяло до светилото. В допълнение, различни числени серии се използват успешно в статистиката и други приложни клонове на математиката.

Друг вид числова последователност е геометричната

Геометричната прогресия се характеризира с голяма, в сравнение с аритметична, скорост на промяна. Неслучайно в политиката, социологията, медицината често, за да покажат високата скорост на разпространение на определено явление, например заболяване по време на епидемия, казват, че процесът се развива експоненциално.

N-тият член на редицата с геометрични числа се различава от предишния по това, че се умножава по някакво постоянно число - знаменателят, например, първият член е 1, знаменателят е съответно 2, тогава:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - стойността на текущия член на геометричната прогресия;

b n+1 - формулата на следващия член на геометричната прогресия;

q е знаменателят на геометрична прогресия (постоянно число).

Ако графиката на аритметичната прогресия е права линия, тогава геометричната рисува малко по-различна картина:

Както в случая с аритметиката, геометричната прогресия има формула за стойността на произволен член. Всеки n-ти член от геометрична прогресия е равен на произведението от първия член и знаменателя на прогресията на степен n, намален с единица:

Пример. Имаме геометрична прогресия, като първият член е равен на 3 и знаменателят на прогресията е равен на 1,5. Намерете 5-ия член на прогресията

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Сборът на даден брой членове също се изчислява по специална формула. Сумата от първите n членове на геометрична прогресия е равна на разликата между произведението на n-тия член на прогресията и неговия знаменател и първия член на прогресията, разделено на знаменателя, намален с единица:

Ако b n се замени с формулата, обсъдена по-горе, стойността на сумата от първите n членове на разглежданата числова серия ще приеме формата:

Пример. Геометричната прогресия започва с първия член, равен на 1. Знаменателят е равен на 3. Нека намерим сбора на първите осем члена.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

При изучаването на алгебра в средното училище (9 клас) една от важните теми е изучаването на числови редици, които включват прогресии - геометрични и аритметични. В тази статия ще разгледаме аритметична прогресия и примери с решения.

Какво е аритметична прогресия?

За да се разбере това, е необходимо да се даде определение на разглежданата прогресия, както и да се дадат основните формули, които ще бъдат използвани по-нататък при решаването на проблеми.

Аритметична или алгебрична прогресия е такъв набор от подредени рационални числа, всеки член на който се различава от предишния с някаква постоянна стойност. Тази стойност се нарича разлика. Тоест, познавайки всеки член на подредена серия от числа и разликата, можете да възстановите цялата аритметична прогресия.

Да вземем пример. Следващата последователност от числа ще бъде аритметична прогресия: 4, 8, 12, 16, ..., тъй като разликата в този случай е 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Но наборът от числа 3, 5, 8, 12, 17 вече не може да се припише на разглеждания тип прогресия, тъй като разликата за него не е постоянна стойност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важни формули

Сега даваме основните формули, които ще са необходими за решаване на проблеми с помощта на аритметична прогресия. Нека n означава n-тия член на редицата, където n е цяло число. Разликата се обозначава с латинската буква d. Тогава са верни следните изрази:

1. За определяне на стойността на n-тия член е подходяща формулата: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. За да се определи сумата от първите n члена: S n = (a n + a 1)*n/2.

За да разберете всички примери за аритметична прогресия с решение в 9 клас, достатъчно е да запомните тези две формули, тъй като всички проблеми от разглеждания тип се основават на тяхното използване. Освен това не забравяйте, че разликата в прогресията се определя по формулата: d = a n - a n-1 .

Пример #1: Намиране на неизвестен член

Даваме прост пример за аритметична прогресия и формулите, които трябва да се използват за решаване.

Нека е дадена редицата 10, 8, 6, 4, ..., необходимо е да се намерят пет члена в нея.

От условията на задачата вече следва, че първите 4 члена са известни. Петият може да се дефинира по два начина:

1. Нека първо изчислим разликата. Имаме: d = 8 - 10 = -2. По подобен начин може да се вземат всеки два други термина, стоящи един до друг. Например d = 4 - 6 = -2. Тъй като е известно, че d \u003d a n - a n-1, тогава d \u003d a 5 - a 4, откъдето получаваме: a 5 \u003d a 4 + d. Заменяме известните стойности: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Вторият метод също изисква познаване на разликата във въпросната прогресия, така че първо трябва да я определите, както е показано по-горе (d = -2). Знаейки, че първият член a 1 = 10, използваме формулата за числото n на редицата. Имаме: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Като заместим n = 5 в последния израз, получаваме: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Както можете да видите, и двете решения водят до един и същ резултат. Обърнете внимание, че в този пример разликата d на прогресията е отрицателна. Такива последователности се наричат ​​намаляващи, защото всеки следващ член е по-малък от предходния.

Пример #2: разлика в прогресията

Сега нека усложним малко задачата, дайте пример как

Известно е, че в някои първият член е равен на 6, а 7-ият член е равен на 18. Необходимо е да се намери разликата и да се възстанови тази последователност до 7-ия член.

Нека използваме формулата, за да определим неизвестния член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Заменяме известните данни от условието в него, тоест числата a 1 и a 7, имаме: 18 \u003d 6 + 6 * d. От този израз можете лесно да изчислите разликата: d = (18 - 6) / 6 = 2. Така първата част от задачата е решена.

За да възстановите последователността до 7-ия член, трябва да използвате дефиницията на алгебрична прогресия, тоест a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и т.н. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 и 7 = 18.

Пример #3: извършване на прогресия

Нека усложним още повече условието на задачата. Сега трябва да отговорите на въпроса как да намерите аритметична прогресия. Можем да дадем следния пример: дадени са две числа, например 4 и 5. Необходимо е да се направи алгебрична прогресия, така че между тях да се поберат още три члена.

Преди да започнете да решавате този проблем, е необходимо да разберете какво място ще заемат дадените числа в бъдещата прогресия. Тъй като ще има още три термина между тях, след това 1 \u003d -4 и 5 \u003d 5. След като установихме това, преминаваме към задача, подобна на предишната. Отново за n-тия член използваме формулата, получаваме: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. От: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Тук разликата не е цяло число, а е рационално число, така че формулите за алгебричната прогресия остават същите.

Сега нека добавим намерената разлика към 1 и да възстановим липсващите членове на прогресията. Получаваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, което съвпадаше с условието на задачата.

Пример #4: Първият член на прогресията

Продължаваме да даваме примери за аритметична прогресия с решение. Във всички предишни задачи първото число от алгебричната прогресия беше известно. Сега разгледайте задача от различен тип: нека са дадени две числа, където 15 = 50 и 43 = 37. Необходимо е да се намери от кое число започва тази редица.

Формулите, които са използвани досега, предполагат познаване на 1 и d. За тези числа в условието на задачата не се знае нищо. Въпреки това, нека напишем изразите за всеки член, за който имаме информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които има 2 неизвестни величини (a 1 и d). Това означава, че задачата се свежда до решаване на система от линейни уравнения.

Посочената система е най-лесна за решаване, ако изразите 1 във всяко уравнение и след това сравните получените изрази. Първо уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второ уравнение: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Приравнявайки тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, откъдето разликата d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (дадени са само 3 знака след десетичната запетая).

Като знаете d, можете да използвате който и да е от двата израза по-горе за 1. Например, първо: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ако има съмнения относно резултата, можете да го проверите, например да определите 43-ия член на прогресията, който е посочен в условието. Получаваме: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Малка грешка се дължи на факта, че при изчисленията е използвано закръгляване до хилядни.

Пример #5: Сума

Сега нека да разгледаме някои примери с решения за сумата на аритметична прогресия.

Нека е дадена числова прогресия от следния вид: 1, 2, 3, 4, ...,. Как да изчислим сбора на 100 от тези числа?

Благодарение на развитието на компютърните технологии този проблем може да бъде решен, тоест последователно да се съберат всички числа, което компютърът ще направи веднага щом човек натисне клавиша Enter. Задачата обаче може да бъде решена мислено, ако обърнете внимание, че представената редица от числа е алгебрична прогресия и нейната разлика е 1. Прилагайки формулата за сумата, получаваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Любопитно е да се отбележи, че тази задача се нарича "Гаусова", тъй като в началото на 18 век известният германец, едва 10-годишен, успява да я реши наум за няколко секунди. Момчето не знаеше формулата за сумата на алгебрична прогресия, но забеляза, че ако съберете двойки числа, разположени в краищата на редицата, винаги получавате един и същ резултат, тоест 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... и тъй като тези суми ще бъдат точно 50 (100 / 2), тогава, за да получите правилния отговор, е достатъчно да умножите 50 по 101.

Пример #6: сбор от членове от n до m

Друг типичен пример за сумата на аритметична прогресия е следният: дадена е поредица от числа: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите каква ще бъде сумата от нейните членове от 8 до 14.

Проблемът се решава по два начина. Първият от тях включва намиране на неизвестни членове от 8 до 14 и след това последователното им сумиране. Тъй като има малко термини, този метод не е достатъчно трудоемък. Въпреки това се предлага да се реши този проблем чрез втория метод, който е по-универсален.

Идеята е да се получи формула за сумата на алгебрична прогресия между членове m и n, където n > m са цели числа. И в двата случая записваме два израза за сумата:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като n > m, очевидно е, че сумата 2 включва първата. Последният извод означава, че ако вземем разликата между тези суми и добавим члена a m към нея (в случай на вземане на разликата, тя се изважда от сумата S n), тогава получаваме необходимия отговор на проблема. Имаме: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Необходимо е да се заменят формули за n и m в този израз. Тогава получаваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е донякъде тромава, но сумата S mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Замествайки тези числа, получаваме: S mn = 301.

Както може да се види от горните решения, всички задачи се основават на познаването на израза за n-тия член и формулата за сумата от множеството от първите членове. Преди да започнете да решавате някой от тези проблеми, се препоръчва внимателно да прочетете условието, ясно да разберете какво искате да намерите и едва след това да продължите с решението.

Друг съвет е да се стремите към простота, тоест ако можете да отговорите на въпроса, без да използвате сложни математически изчисления, тогава трябва да направите точно това, тъй като в този случай вероятността да направите грешка е по-малка. Например в примера за аритметична прогресия с решение № 6 може да се спре на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и разбийте общата задача на отделни подзадачи (в този случай първо намерете термините a n и a m).

Ако има съмнения относно получения резултат, препоръчително е да го проверите, както беше направено в някои от дадените примери. Разбрахме как да намерим аритметична прогресия. След като го разберете, не е толкова трудно.